CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS SISTEMAS BIOLÓGICOS E … · algébricas FCTUC/EngBiomedica/ADC/2007 8...
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CAPÍTULO 3
DINÂMICA DOS SISTEMAS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS
FCTUC/EngBiomedica/ADC/2007 2
Objectivos
Modelo: equações diferenciais• Resolução de equações diferencias ?• Transformada de Laplace !
Função de Transferência• Plano complexo• Estabilidade• Resposta transitória e estacionária• Sistemas de primeira e segunda ordem
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Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace
• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade reposta natural
3.4 Função de Transferência• Estabilidade reposta forçada• Pano complexo• Polos: resposta transitória• Zeros
3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior
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Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace
• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo• Estabilidade resposta natural
3.4 Função de Transferência• Estabilidade resposta forçada• Plano complexo• Polos• Zeros
3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior
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Do capítulo 2 …
….. como ???
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Indice3.1 Modelização: equações diferenciais
3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo
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O problema ?
Resolução de uma equação diferencial
Resolução de uma equação algébrica
Transformada de Laplace
domínio s
domínio t
Solução no domínio s
domínio sManipulações
Transformada Inversa
A Solução !
Solução no domínio temporal
domínio tMétodo normal
algébricas
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Indice3.1 Modelização: equações diferenciais
3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade
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Transforma Laplace
( )f t ( )F sL
∫∞
−==0
)()()]([ dtetfsFtfL st
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Algumas transformadas
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Indice3.1 Modelização: equações diferenciais
3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares
• Propriedades da TLP• Linearidade• Derivação • Integração• Deslocamento• Teorema Valor inicial e final
3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade
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Linearidade
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Derivação
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Derivação
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Integração
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Integração
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Deslocamento
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Deslocamento temporal
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Teoremas valor inicial e final
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Utilidade da Transformada?
Se a entrada (força) for igual a f=5 qual a saída (posição) ?
Resolução de uma equação diferencial !
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Utilidade da Transformada?
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Utilidade da Transformada?
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Utilidade da Transformada?
Está calculada a saída !
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Algumas transformadas
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ConcluindoConcluindo, a determinação da saída torna-se num problema de fácil resolução • a resolução de uma eq. diferencial transforma-se na
resolução de uma eq. algébrica
No entanto obteve-se a solução em Y(s)Em termos práticos apenas nos interessa y(t)
Será possível usando Y(s), calcular y(t) ?
Para tal recorre-se à inversa da transformada de Laplace.
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O problema ?
Resolução de uma equação diferencial
Resolução de uma equação algébrica
Transformada de Laplace
domínio s
domínio t
Solução no domínio s
domínio sManipulações
Transformada Inversa
A Solução !
Solução no domínio temporal
domínio tMétodo normal
algébricas
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Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade
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Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade
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Resolução equações diferenciais
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Resolução equações diferenciais
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Resolução equações diferenciais
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Y =Yzi + Yzs
Efeito das condições iniciais
Efeito da entrada externa
Resolução equações diferenciais
Função de Transferência
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Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais
• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade
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Problema da inversa resolvido !Uso de transformada inversa !
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Problema resume-se a decomposição em fracções parciais
Cálculo dos residuos (raizes denominador)
• Raizes simples
• Raizes Multiplas
• Raizes complexas conjugadas
Resolução equações diferenciais
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Resolução equações diferenciais
Inversa
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1
t
Resolução equações diferenciais
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1
t
Raizes Simples
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1
t
Raizes Simples
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1
t
Raizes de multiplicidade r
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1
t
Raizes de multiplicidade r
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Raizes de multiplicidade r
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Raizes complexas
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Raizes complexas
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Raizes complexas
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Matlab: residuesExemplo de Scripts em MatLab
%---------- factores simples - estritamente propria-----num=1;den=[1 3 2]; %---- den=(s+1)(s+2)[A,P,Ao]=residue(num,den);
%---------------------------------- output ------A=[ -1 1 ]P=[ -2 -1 ]Ao=[ ]
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Matlab: residues
%--------- factores simples - bipropria ----------------num=[1 0 -9];den=[1 0 -1]; %---- den=(s+1)(s-1)[A,P,Ao]=residue(num,den);
%---------------------------------- output ------A=[ 4 -4]P=[ -1 1]Ao=1
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Matlab: residues
%---------- factor de multiplicidade 3 --------------num=1;den=[1 3 3 1 ]; %---- den=(s+1)3
[A,P,Ao]=residue(num,den);
%---------------------------------- output ------A=[ 1 -2 -8]P=[ -1 -1 -1]Ao=[ ]
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Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais
• Polinómio característico • Estabilidade da resposta natural
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Polinómio característico e modos do sistema
Se entrada nula, Y = Yzi, resposta não-forçada ou resposta natural
Polinómio característico
Modos (característicos)
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A resposta natural é uma combinação linear dos modos
Os coeficientes da combinação linear dependem das condições iniciais
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Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP
3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico
• Estabilidade resposta natural
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Estabilidade (resposta natural)
Modos (característicos)
Se um dos modos tender para infinito, a resposta natural tende para infinito, o sistema diz-se instável
Condição necessária e suficiente de estabilidade:
• Se as raízes do polinómio forem todas menores que zero
• Se as raízes do polinómio forem menores que zero excepto uma (e só uma) que pode ser zero