Capítulo 2 CINEMÁTICA DE UM SISTEMA DE …...48 Capítulo 2 CINEMÁTICA DE UM SISTEMA DE...

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Capítulo 2

CINEMÁTICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

2.1 INTRODUÇÃO

Por sistema de partículas, ou sistema de pontos materiais, designa-se um conjunto finito ou infinito de partículas, de tal modo que a distância entre qualquer dos seus pontos permanece invariável durante o movimento. Isto significa que apenas se irá considerar sistemas de partículas rígidos.

O sistema constituído por um número discreto ou finito de partículas é vulgarmente designado por sistema de partículas discreto ou simplesmente por sistema de partículas.

O sistema constituído por um número infinito de partículas é vulgarmente designado por sólido.

Note-se que a noção de corpo rígido é uma abstracção científica porque na realidade se sabe que não existem corpos completamente indeformáveis.

Neste capítulo será abordado a cinemática de corpos rígidos, investigando-se as relações existentes entre o tempo, as posições, as velocidades e as acelerações das várias partículas que formam um corpo rígido.

Os vários tipos de movimento de corpos rígidos podem ser agrupados da seguinte maneira:

• Movimentos simples

– Translação: quando qualquer linha recta no interior do corpo se mantiver na mesma direcção durante o movimento.

Capítulo 2

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– Rotação (em torno de um eixo fixo): as partículas movem-se em planos paralelos e segundo circunferências em torno do mesmo eixo fixo, designado por eixo de rotação (as partículas situadas nesse eixo têm velocidade e aceleração nulas).

• Movimentos compostos

– Movimento plano geral: todas as partículas se movem em planos paralelos podendo, os seus movimentos, ser decompostos nos dois movimentos simples (translação e rotação).

– Movimento em torno de um ponto fixo: trata-se de um movimento tridimensional de um corpo rígido ligado num ponto fixo (por exemplo, o movimento de um pião numa superfície rugosa).

– Movimento geral: qualquer movimento de um corpo que não se enquadre em nenhum dos anteriores.

2.2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO

2.2.1 Definição e características

Considere-se um sistema de partículas em movimento e sejam A e B duas partículas quaisquer. No instante de tempo t, os vectores posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo designam-se por Arr e Br

r , respectivamente, designando ABr /

r o vector que liga A a B.

Figura 2.1 – Movimento de translação.

Cinemática de um sistema de partículas

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Assim, o vector posição Brr pode ser obtido a partir do vector posição Arr , se

for conhecido ABr /r , da seguinte maneira:

)()()( / trtrtr ABABrrr

+= (2.1)

Se o movimento do sistema de partículas é de translação (rectilínea ou curvilínea), então o vector ABr /

r tem direcção e grandeza constante. Isto é, um segmento que une dois pontos quaisquer de um sistema de partículas em movimento de translação mantém-se com um comprimento constante e paralelo a si mesmo.

Derivando a expressão (2.1) em ordem ao tempo, t, vem:

dtrd

dtrd

dtrdv ABAB

B/

rrrr

+== (2.2)

tendo em conta que ABr /r é constante no tempo, portanto, 0/

rr=dtrd AB , e

dtrdv AArr

= , então:

BAvv AB ,, ∀=rr

(2.3)

portanto, num sistema de partículas em translação, a velocidade é igual em todos os pontos.

Derivando uma vez mais:

BAaa AB ,, ∀=rr

(2.4)

identicamente, a aceleração é igual em todos os pontos.

Assim, quando um sistema de partículas se encontra em translação, todos os pontos do corpo têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e a mesma aceleração. Portanto, a caracterização cinemática do movimento de translação de um corpo rígido é a mesma para uma partícula qualquer desse corpo.

Capítulo 2

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2.2.2 Casos particulares do movimento de translação

1º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea constante

Se em qualquer instante t, a velocidade é constante em direcção, sentido e grandeza em todos os pontos do corpo rígido, isto é:

constante)(:,, =∀ tvBAt r (2.5)

Figura 2.2 – Translação rectilínea e uniforme.

então as trajectórias de todos esses pontos são rectilíneas. Neste caso, o movimento é designado de translação rectilínea e uniforme.

2º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea constante em grandeza – Translação curvilínea

Como só a grandeza da velocidade é constante, isto é:

constante)(:,, =∀ tvBAt r (2.6)

então o sentido e a direcção podem variar.

Figura 2.3 – Translação uniforme curvilínea.

Neste caso, o movimento é designado de translação uniforme curvilínea.

3º caso) Translação com velocidade vectorial instantânea não constante

Neste caso, como a velocidade é variável no tempo, a translação diz-se variável.


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2.3 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO (EM TORNO DE UM EIXO FIXO)

2.3.1 Definição e características

Diz-se que um sólido executa um movimento de rotação quando existem pontos de uma dada linha recta, ∆, que se encontram fixos (em repouso) durante o movimento. A esta direcção, ∆, de pontos fixos dá-se o nome de eixo de rotação.

Todas as partículas que não se encontram sobre o eixo de rotação descrevem uma trajectória circular cujo plano é normal ao eixo e cujo centro se situa sobre esse eixo.

Figura 2.4 – Rotação em torno de um eixo fixo.

Portanto, todas as partículas do corpo rígido têm a mesma velocidade angular no mesmo instante, podendo, todavia, ser diferente de instante para instante.

Por isso, o movimento de rotação de um sólido é mais facilmente descrito em termos de deslocamentos angulares e de velocidades angulares, uma vez que eles são, num dado instante, iguais entre as diferentes partículas.

O movimento de rotação é, usualmente, descrito de dois modos alternativos:

− através do ângulo de rotação, θ(t); ou,

− através do vector rotação ou vector velocidade angular, ω(t).

2.3.2 Descrição do movimento de rotação através do ângulo de rotação θ(t)

Considere-se um corpo rígido em movimento de rotação e sejam A e B duas partículas quaisquer não pertencentes ao eixo de rotação. Sejam θA e θB os ângulos de rotação nesses pontos medidos em relação a um plano de referência que contém o eixo de rotação Oz e o eixo Ox, e seja ϕ o ângulo de desfasamento dos planos

Capítulo 2

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temporais que contêm, respectivamente, A e B e o eixo de simetria. O ângulo de rotação θA(t) pode ser definido por:

BAtt BA ,,)()( ∀+= ϕθθ (2.7)

a) Representação no sistema Oxyz. b) Corte por um plano perpendicular ao eixo de rotação Oz.

Figura 2.5 – Movimento de rotação em torno do eixo Oz.

Como o movimento do corpo rígido é de rotação, então o ângulo de desfasamento, ϕ, é constante durante esse movimento. Portanto, derivando a expressão em ordem ao tempo, vem:

dtd

dtd

dtd BA

Aϕθθω +== (2.7)

como o ângulo ϕ é constante no tempo, a derivada dtdϕ é igual a zero, logo:

BABA ,; ∀=ωω (2.8)

ou seja, as velocidades angulares instantâneas são iguais em todas as partículas.

Face ao exposto, fica evidente que as grandezas cinemáticas, como a velocidade vectorial instantânea, )(tvr , e a aceleração vectorial instantânea, )(tar , de um corpo rígido em movimento de rotação, podem ser definidos de forma idêntica àquela abordada para a cinemática da partícula, uma vez que o ângulo de rotação, a velocidade angular e, consequentemente, a aceleração angular é igual em todos os pontos do corpo.


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Assim, a velocidade vectorial instantânea de um corpo rígido sujeito a um movimento de rotação é definida por ter:

− Direcção: tangente à trajectória no ponto considerado, que se encontra localizado num plano perpendicular ao eixo de rotação passando pela partícula considerada.

− Sentido: o da progressão do movimento associado à trajectória circular de cada partícula.

− Grandeza: ωθ ⋅== )()()( trtvtv rrr

Da mesma forma, a aceleração vectorial instantânea de um corpo rígido sujeito a um movimento de rotação é definido por:

⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=+=

nrnRvta

urudt

sdudtdvta

tatata

n

t

ntrrr

rrrr

rrr

22

2

2

)(

)(;)()()(

ω

α (2.9)

− Direcção: é definida de forma a que nt aatg =)(δ .

− Sentido: para o interior da trajectória.

− Grandeza: 4222 ωα +⋅=+= raaa ntr

2.3.3 Descrição do movimento de rotação através do vector rotação

Quando se estudou o movimento circular de uma partícula viu-se que a velocidade vectorial instantânea pode ser expressa por:

Atrttv AA ∀×= ;)()()( rrr ω (2.10)

Também se viu no ponto anterior que num corpo rígido em rotação as velocidades angulares em todas as partículas desse corpo são iguais num dado instante, isto é:

)()(, ttBA BA ωω =∀ (2.11)

Isto significa que a velocidade angular de qualquer partícula de um corpo rígido em rotação designa a velocidade angular do sólido.

Capítulo 2

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Sabendo que o vector velocidade angular tem direcção perpendicular ao plano do movimento circular (ou seja, a direcção do eixo de rotação, ∆) então esse vector pode ser definido como:

∆⋅= utt rr )()( ωω (2.12)

onde ∆ur é o versor do eixo de rotação ∆.

Deforma idêntica, o vector aceleração angular, αr , do sólido em rotação é definido por:

∆∆ ⋅=⋅== utudt

tddt

tdt rrr

r )()()()( αωωα (2.13)

Verifica-se que a velocidade vectorial instantânea do sólido em rotação é sempre dada por:

)()()()( trtdt

trdtv rrr

r×== ω (2.14)

independentemente da origem do sistema de eixos cartesiano, desde que esteja situado no eixo de rotação.

Figura 2.6 – Definição do movimento de rotação através do vector rotação.

A justificação da afirmação anterior pode ser obtida definindo o vector posição )(trr ilustrado na figura 2.6 através da seguinte adição vectorial:

OOtrtr ')(')( +=rr (2.15)

então,

[ ] OOttrtOOtrttrtdt

trdtv ')()(')(')(')()()()()( ×+×=+×=×== ωωωω rrrrrrrr

r (2.16a)

como os vectores )(tωr e OO' são paralelos, então o produto vectorial OOt ')( ×ωr é igual ao vector nulo. Verifica-se portanto que:


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',;)(')()()()()( OOtrttrtdt

trdtv ∀×=×==rrrr

rr ωω (2.16b)

Assim, a determinação do vector velocidade instantânea pode ser obtida a partir do vector rotação e do vector posição, independentemente da origem, O ou O', considerada no eixo de rotação.

De igual modo, a aceleração vectorial instantânea de qualquer partícula P de um corpo rígido em movimento de rotação é definida como:

[ ] =×+×=×==dt

trdttrdt

tdtrtdtd

dttvd

ta PPP

pp

)()()()()()()(

)(r

rrr

rrr

r ωωω

)()()()( tvttrt pPrrrr

×+×= ωα (2.17)

A aceleração vectorial instantânea par pode ser definida através da soma das seguintes duas parcelas:

×=

×=+=

)()()(

)()()(com;)()()(

tvtta

trttatatata

pn

Pt

ntp

P

P

PP rrr

rrrrrr

ω

α (2.18)

2.3.4 Operador de rotação, ×ωr

Como se viu anteriormente, a velocidade vectorial instantânea, )(tvr , de um sólido em rotação é dada por:

)()()( trttv rrr×=ω (2.19)

independentemente da posição do ponto de origem situado no eixo de rotação.

Como, por definição:

dt

trdtv )()(r

r= (2.20)

então igualando as expressões (2.19) e (2.20), vem:

)()()( trtdt

trd rrr

×=ω (2.21)

Capítulo 2

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Isto significa que o operador matemático dtd de derivação temporal é equivalente ao operador matemático ×ωr , desde que o operando (neste caso rr ) sobre o qual o operador actua seja um vector de grandeza constante. Na realidade, num corpo rígido em rotação, todas as partículas mantêm a mesma distância ao eixo de rotação, embora a direcção e o sentido de rr se altere.

NOTA: Em geral, o movimento de rotação de um sólido apresenta uma velocidade vectorial instantânea de grandeza variável. Por isso é que:

)()()( tvtdt

tvd rrr

×≠ω (2.22)

No entanto, quando o movimento circular é uniforme (isto é, vr =constante) então verifica-se a seguinte igualdade:

)()()( tvtdt

tvd rrr

×=ω (2.23)

De facto, viu-se anteriormente que no movimento circular uniforme o vector aceleração instantânea só tem componente normal dada por:

)()()( tvttanrrr

×=ω (2.24)

Mais uma vez se confirma que o operador de rotação ×ωr tem o significado do operador matemático dtd quando o operando tem grandeza constante.

Exercício de aplicação


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Capítulo 2

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2.4 MOVIMENTO GERAL DO SÓLIDO

2.4.1 Velocidade e aceleração

O movimento geral de um corpo rígido no espaço pode ser decomposto em movimentos simples elementares independentes constituídos por movimentos de translação e rotação.

O movimento de um corpo rígido pode ser caracterizado por um dos seguintes movimentos-tipo:

– Movimento plano: Todas as partículas se deslocam em planos paralelos.

– Movimento em torno de um ponto fixo: O corpo efectua a designada precessão em torno de um ponto fixo (por exemplo, o pião a girar em torno de um ponto de contacto com o solo).

– Movimento de rotação e deslizamento (movimento roto-translatório): Os pontos do eixo de rotação deslocam-se sobre ele, permanecendo sobre essa direcção (exemplo: movimento de um parafuso ou movimento helicoidal).

Sejam A e B duas partículas de um corpo rígido. Como se viu anteriormente, o vector posição

Brr pode ser obtido da seguinte maneira:

)()()( / trtrtr ABABrrr

+= (2.25)

Desta forma, o vector velocidade em B, Bvr , é por definição igual a:

dttrd

dttrd

dttrdtv ABAB

B)()()()( /

rrrr

+==

(2.26) Figura 2.7 – Movimento geral.

Capítulo 2

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Ou seja:

)()()( / tvtvtv ABABrrr

+= (2.27)

em que )(/ tv ABr é a velocidade de B relativamente ao referencial Ax'y'z', ligado ao

ponto A e de orientação fixa. Dado que o ponto A está fixo neste referencial, o movimento do corpo relativo a Ax'y'z' é o movimento de um corpo com um ponto fixo. Assim, a velocidade )(/ tv AB

r pode obter-se como a velocidade em torno do ponto fixo A, ou seja, do movimento circular, com vector rotação ωr , em torno do eixo de rotação que passa pelo ponto A:

)()()( // trttv ABABrrr

×=ω (2.28)

Portanto, a velocidade num ponto qualquer, B, de um corpo rígido com um movimento geral é dado por:

)()()()( / trttvtv ABABrrrr

×+= ω (2.29)

em que a primeira parcela da soma vectorial, )(tvAr , representa a componente de

translação e a segunda parcela, )()( / trt ABrr

×ω , representa a componente de rotação.

A aceleração de B obtém-se por um raciocínio idêntico. Primeiro escreve-se:

)()()( / tatata ABABrrr

+= (2.30)

em que ABa /r é a aceleração de B relativamente ao referencial Ax'y'z' ligado a A e de

orientação fixa. Assim, a aceleração ABa /r pode obter-se como a aceleração em torno

do ponto fixo A, ou seja, do movimento circular em torno do eixo de rotação que passa por A e é caracterizado pelo vector rotação ωr :

( ) ( ) =+= )()()( /// tatata nABtABABrrr

=×+×= )()()()( // tvttrt ABABrrrr ωα

[ ])()()()()( // trtttrt ABABrrrrr

××+×= ωωα (2.31)

Portanto, a aceleração num ponto qualquer, B, de um corpo rígido em movimento (geral) é dado por:

[ ])()()()()()()( // trtttrttata ABABABrrrrrrr

××+×+= ωωα (2.32)


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em que a primeira parcela da soma vectorial, )(taAr , representa a componente de

translação e as segunda e terceira parcelas representam a componente de rotação, correspondendo a segunda parcela, )()( / trt AB

rr×α , à componente tangencial e a

terceira parcela, [ ])()()( / trtt ABrrr

×× ωω , à componente normal.

As equações de velocidade e de aceleração de um corpo rígido em movimento geral mostram que esse movimento é equivalente, num dado instante, à soma de uma translação, na qual todas as partículas do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração que a partícula de referência A, e um movimento (de rotação) no qual a partícula A se considera fixa.

2.4.2 Teoria do campo das velocidades de um corpo rígido

Como se viu no ponto anterior, a velocidade absoluta da partícula B em movimento geral, no referencial absoluto ou fixo, é dada por:

=+=dtrd

dtrdv ABA

B/

rrr

dtkdz

dtjdy

dtidxvA

'''rrr

r⋅+⋅+⋅+= (2.33)

sendo Avr a velocidade no ponto A do referencial móvel relativamente ao referencial fixo.

Por outro lado, de acordo com o conceito de operador de rotação, visto em 2.3.4, o operador matemático dtd de derivação temporal é equivalente ao operador matemático ×ωr desde que os operandos (neste caso 'i

r, 'jr

e 'kr

) sobre o qual o operador actua, sejam vectores de grandeza constante. Assim,

'' idtid rrr

×=ω (2.34a)

'' jdtjd rrr

×=ω (2.34b)

'' kdtkd rrr

×=ω (2.34c)

representando estas três expressões as fórmulas de Poisson. Assim,

Capítulo 2

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( )''' kzjyixvv AB

rrrrrr⋅+⋅+⋅×+= ω (2.35)

ou seja, como se viu anteriormente:

ABAB rvv /rrrr

×+= ω (2.36)

representando esta expressão a designada lei das velocidades de um corpo rígido, onde Bvr representa o vector do campo de velocidades. Assim,

Bvr – Velocidade absoluta de B pertencente ao sólido móvel em movimento geral, no referencial fixo ou absoluto.

Avr – Velocidade vectorial instantânea no referencial fixo do ponto A do sólido móvel e, portanto, do referencial móvel; como se o sólido não rodasse no espaço, isto é, como se o sólido apenas estivesse submetido ao movimento de translação independente da velocidade de todas as partículas dada por

Avr .

ABr /rr

×ω – Velocidade vectorial instantânea de qualquer partícula B do sólido móvel, devido ao movimento de rotação instantâneo do sólido em torno do seu eixo de rotação instantâneo caracterizado pelo vector ωr .

NOTAS: O vector do campo de velocidades do movimento geral de um sólido contém os casos particulares de translação pura e rotação pura.

1. Translação pura (movimento geral de um corpo rígido sem rotação):

AB vvBA rrrr=⇒=∀ 0, ω (2.37)

2. Rotação pura (movimento geral de um corpo rígido sem translação):

ABBA rvvBA /0, rrrrr×=⇒=∀ ω (2.38)

3. ωr é um vector livre

Verifica-se que a expressão (2.36) é sempre a mesma qualquer que seja o referencial considerado:

ABAB rvv /rrrr

×+= ω (2.39a)


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ACAC rvv /rrrr

×+= ω (2.39b)

subtraindo as expressões (2.39a) e (2.39b) obtém-se:

( ) ⇒−×=− ACABCB rrvv //rrrrr ω

CBCB rvv /rrrr

×+=⇒ ω (2.40)

ou seja, ωr é um vector livre.


Capítulo 2

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66

2.5 MOVIMENTO PLANO DO SÓLIDO

2.5.1 Definição

O movimento plano de um corpo rígido é um movimento durante o qual todos os pontos do corpo se deslocam paralelamente a um plano fixo. Durante o movimento plano, todos os pontos do corpo situados sobre uma perpendicular ao plano deslocam-se do mesmo modo. 2.5.1.1.1.1.1.1

a) Movimento paralelo a um plano fixo π.

Por isso, para se estudar o movimento do corpo basta estudar o movimento de qualquer secção, S(t), obtida pela intersecção do corpo por um plano paralelo ao plano fixo de referência.

b) Corte obtido pelo plano β paralelo ao plano π.

Figura 2.8 – Movimento plano de um sólido.

Figura 2.9a – Decomposição do movimento plano (exemplo 1).

Capítulo 2

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Figura 2.9b – Decomposição do movimento plano (exemplo 2).

Como se pode observar nos dois exemplos das figuras 2.9 (a e b), o movimento plano geral de um sólido pode ser considerado como a soma de uma translação com uma rotação.

2.5.2 Velocidade absoluta e velocidade relativa no movimento plano

No ponto anterior viu-se que qualquer movimento plano de uma placa pode ser substituído por uma translação, definida pelo movimento de qualquer ponto de referência A e, simultaneamente, por uma rotação em torno de A. A velocidade absoluta Bvr de uma partícula B da placa obtém-se a partir da fórmula da velocidade relativa deduzida em 2.4.1:

)()()( / tvtvtv ABABrrr

+= (2.41)

Figura 2.10 – Velocidade absoluta e velocidade relativa.


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A velocidade Avr corresponde à translação da placa com o ponto A, enquanto que a velocidade relativa ABv /

r está associada à rotação da placa em torno do ponto A e é medida em relação ao referencial centrado em A e com orientação fixa.

Representando por ABr /r o vector posição de B relativamente a A, e por ωr (ou

kr⋅ω ) a velocidade angular da placa em relação aos eixos com orientação fixa

então, a velocidade relativa, ABv /r , pode ser definida por:

ωω ⋅=×= rvtrttv ABABAB /// com;)()()( rrrr (2.42)

na qual r é a distância do ponto A ao ponto B. Substituindo na expressão (2.41), vem:

)()()()( / trkttvtv ABABrrrr

×⋅+= ω (2.43)

A caracterização da cinemática do movimento plano através das representações vectoriais com produtos vectoriais é, de certo modo, mais trabalhosa que outros tipos de representação cinemática do movimento plano que recorrem a outras características do movimento plano.

Assim, como a teoria do campo de velocidades (TCV), isto é a cinemática, é uma teoria de campo de momentos (TCM) do vector campo de velocidade, também existe uma propriedade projectiva da TCV obtida de modo análogo à propriedade projectiva da TCM (vista na disciplina de Mecânica I):

⇒×+= ABAB rvv /rrrr ω

ABABABAABB rrrvrv ////rrrrrrr⋅×+⋅=⋅⇒ ω (2.44)

como os vectores ABr /rr

×ω e ABr /r são

perpendiculares, então o seu produto escalar é nulo, vindo:

Figura 2.11 – Propriedade projectiva.

⇒⋅⋅=⋅⋅⇒ αβ coscos // ABAABB rvrv rrrr

αβ coscos ⋅=⋅⇒ AB vv (2.45)

Capítulo 2

69

Por intermédio desta relação, se for conhecido o vector velocidade num ponto e a direcção da velocidade noutro ponto, a grandeza dessa outra velocidade é determinável pelo teorema das projecções das velocidades.

A caracterização cinemática do movimento plano pode então ser feito através das trajectórias dos pontos da secção plana, das suas velocidades e acelerações, como já referido anteriormente.

– Equações paramétricas (duas equações temporais para a localização no espaço, para cada instante t, e uma equação temporal para definir a variação angular, ϕ, em cada instante t):

=

=

=

)(

)(

)(

t

tyy

txx

ϕϕ

(2.46)

O ângulo de rotação de qualquer direcção será:

0geralmente;)()()( 00 =−= tttt ϕϕθ (2.47)

– As velocidades de qualquer ponto B serão tais que:

)()()()( / trkttvtv ABABrrrr

×⋅+= ω (2.48)

– As acelerações serão:

[ ])()()()()()()()( // trktkttrkttadt

tvdta ABABAB

Brrrrrr

rr

×⋅×⋅+×⋅+== ωωα (2.49)

em que a primeira parcela da soma vectorial, )(taAr , representa a

componente de translação e as segunda e terceira parcelas representam a componente de rotação, correspondendo a segunda parcela,

)()( / trkt ABrr

×⋅α , à componente tangencial e a terceira parcela, [ ])()()( / trktkt AB

rrr×⋅×⋅ ωω , à componente normal.


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Capítulo 2

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2.5.3 Centro instantâneo de rotação (CIR) no movimento plano

O conceito de centro instantâneo de rotação (CIR) permite aplicar um processo alternativo ao anterior de descrever o campo de velocidades de uma secção plana

em movimento geral.

Define-se centro instantâneo de rotação como sendo o ponto do plano da secção que num determinado instante tem velocidade nula.

Figura 2.12 – Centro instantâneo de rotação (CIR).


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Assim, as velocidades de todas as partículas da secção são as mesmas que se obteriam pela rotação dessa secção em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passasse pelo ponto CIR:

CIRAA rv /⋅= ω (2.50)

em que CIRAr / representa a distância entre o ponto genérico A e o centro instantâneo de rotação (CIR). Note-se que os vectores Avr e CIRAr /

r são perpendiculares.

A posição do CIR pode definir-se através da consideração das direcções dos vectores velocidade de duas partículas, A e B, da secção. O CIR obtém-se pelo traçado da perpendicular a Avr passando por A e da perpendicular a Bvr passando por B e determinando o ponto de intersecção destas duas linhas.

Figura 2.13 – Determinação da posição do CIR.

Para verificar que de facto o ponto assim determinado é o centro instantâneo de rotação, considere-se, por redução a uma hipótese absurda que a velocidade no CIR não era nula, isto é, 0≠CIRv . Por aplicação do teorema das projecções das velocidades tem-se que:

βα coscos ⋅=⋅ CIRA vv (2.51)

como os vectores Avr e CIRAr /r são perpendiculares, ou seja α é igual a 90° (portanto,

0cos =α ), então:

0cos0cos =⋅⇒=⋅ βα CIRA vv (2.52)

como se considerou por hipótese que a velocidade no CIR não era nula ( 0≠CIRv ) então a segunda igualdade expressa em (2.52) só seria possível se 0cos =β , ou seja, se β fosse igual a 90°. Neste caso, a velocidade no CIR teria que se perpendicular a CIRAr /

r .

Considerando o mesmo raciocínio entre B e CIR, e mantendo a mesma hipótese (absurda) inicial, concluí-se que a velocidade em CIR também teria que ser perpendicular a CIRBr /

r . Como CIRAr /r e CIRBr /

r não têm a mesma direcção, então a igualdade:

Capítulo 2

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0cos =⋅ βCIRv (2.53)

só é possível se a velocidade no CIR for nula ( 0=CIRv ).

O grande interesse na aplicação do conceito de centro instantâneo de rotação consiste na possibilidade de determinar de forma expedita a velocidade em qualquer ponto da secção, uma vez conhecida a localização do CIR. Nesta situação, a velocidade em qualquer ponto da secção pode ser obtida multiplicando unicamente a velocidade angular com a distância desse ponto ao CIR. De facto, pela lei geral das velocidades tem-se que:

CIRBCIRB rvv /rrrr

×+= ω (2.54)

como 0rr

=CIRv , então:

CIRBB rkv /rrr

×⋅= ω (2.55)

ou seja:

CIRBB rv /

rr⋅= ω (2.56)

Portanto, a grandeza das velocidades em dois quaisquer pontos são proporcionais às suas distâncias ao CIR:

CIRB

CIRA

CIRB

CIRA

B

A

rr

rr

vv

/

/

/

/ =⋅⋅

=ωω (2.57)

Alguns casos particulares de localização do CIR

1º) Movimento plano de rolamento, sem deslizamento, de um cilindro qualquer sobre uma superfície fixa

O centro instantâneo de rotação em qualquer instante – CIR(t) – situa-se no ponto de contacto do corpo com a superfície fixa (vsup.fixa=0):


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Figura 2.14 – Localização do CIR na superfície fixa de contacto.

Neste caso, a superfície fixa é a trajectória dos CIR’s (lugar geométrico dos pontos instantâneos com velocidade nula)

2º) Localização do CIR quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B são paralelas e a direcção AB não é perpendicular à direcção comum das velocidades

Figura 2.15 – Localização do CIR dum corpo em translação instantânea.

Pelo teorema das projecções das velocidades, vem:

βα coscos ⋅=⋅ BA vv (2.58)

como o ângulo α é igual ao ângulo β, então os respectivos co-senos são iguais, logo, a igualdade (2.58) só será válida se as velocidades em A e B forem iguais:

BAvv BA ,;coscos ∀=⇒=⇒= βαβα (2.59)

Este caso corresponde a uma situação de translação instantânea pura, logo as velocidades em qualquer ponto são iguais e, consequentemente, o CIR encontra-se no infinito.

3º) Localização do CIR quando as velocidades em dois pontos quaisquer A e B são paralelas e a direcção AB perpendicular à direcção comum das velocidades

Capítulo 2

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Como se viu anteriormente,

CIRB

CIRA

B

A

rr

vv

/

/= (2.60)

Pelo teorema de Tales é possível determinar a posição do CIR.

Figura 2.16 – Localização do CIR.



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2.6 CINEMÁTICA DO MOVIMENTO RELATIVO

2.6.1 Considerações gerais e definições

O objectivo deste sub-capítulo é estudar as características do movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas num referencial móvel, conhecida a descrição desse movimento num referencial (pseudo-)fixo em relação ao qual o movimento do referencial móvel é detectado.

Existem inúmeras aplicações deste tipo de movimento, como por exemplo:

– movimento de um passageiro num comboio em movimento relativamente à estação;

– movimento de um astronauta relativamente à nave em movimento relativamente à Terra;

– movimento de zonas atmosféricas ou oceânicas relativamente a outras zonas atmosféricas ou oceânicas em movimento;

– etc.

Neste tipo de movimentos consideram-se dois referenciais: um referencial S1(x, y, z) considerado absoluto ou fixo e um referencial S(x, y, z) considerado móvel em relação ao referencial S1 fixo.

O movimento absoluto de uma partícula M, ou de um sistema de partículas, em relação ao referencial fixo S1, pode ser considerado como a resultante cinemática do movimento de condução e do movimento relativo, assim definidos:

– Movimento relativo – movimento de qualquer partícula M em relação ao referencial móvel S.

– Movimento de condução, transporte ou arrastamento – movimento do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1, como se as partículas M não se movessem no referencial móvel S, isto é, como se pertencessem a um corpo que está “colado” ao referencial S.

Capítulo 2

77

No exemplo atrás referido de um passageiro em movimento num comboio em movimento relativamente à estação (fixa), as analogias são as seguintes:

– Movimento relativo – é o movimento do passageiro em relação ao comboio (ou seja, está ligado ao referencial móvel);

– Movimento de condução, transporte ou arrastamento – é o movimento do comboio relativamente ao exterior ou à estação (ou seja, é o movimento que o passageiro teria em relação ao exterior se estivesse “amarrado” à cadeira);

– Movimento absoluto ou resultante – é o movimento do passageiro que se encontra sobre um comboio que, por sua vez, também está em movimento relativamente à estação (fixa).

Figura 2.17 – Movimento relativo.

Neste caso, a posição de um ponto M qualquer pode ser obtido da seguinte forma:

tMtrtrtr OMOOOM ∀∀+= ,;)()()( /// 11

rrr (2.61)

ou seja,

)()()()()()()()()()(1/111111 tktztjtytitxtrktzjtyitx OO

rrrrrrr⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅ (2.62)


78

onde 1ir

, 1jr

e 1kr

são os versores espacialmente e temporalmente fixos; e, ir

, jr

e kr

são os versores de orientação espacial variável no tempo.

De seguida vai-se identificar quais as variáveis e as constantes associadas aos movimentos absoluto, relativo e de transporte (ou condução).

– Movimento relativo:

variáveis – x1(t), y1(t), z1(t), x(t), y(t), z(t), )(tir

, )(tjr

, )(tkr

, )(1/ tr OO

r

constantes – 1ir

, 1jr

, 1kr

– Movimento condução, transporte ou arrastamento:

variáveis – )(tir

, )(tjr

, )(tkr

, )(1/ tr OO

r

constantes – x(t), y(t), z(t)

– Movimento relativo:

variáveis – x(t), y(t), z(t)

constantes – )(tir

, )(tjr

, )(tkr

, )(1/ tr OO

r

2.6.2 Teorema da composição das velocidades

Por definição, a velocidade absoluta é dada por:

111111/ )()()(

)()( 1 ktzjtyitx

dttrd

tv OMabs

r&

r&

r&

rr

⋅+⋅+⋅== (2.63)

ou então,

[ ])()()( // 1trtr

dtdtv OMOOabs

rrr+=

[ ])()()()()()()(

1/ tktztjtytitxdtd

dttrd OO

rrrr

⋅+⋅+⋅+=

dtkdzkz

dtjdyjy

dtidxix

dttrd OO

rr

&

rr

&

rr

&

r

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=)(

1/

Capítulo 2

79

( )

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

dtkdz

dtjdy

dtidxkzjyix

dttrd OO

rrrr

&r

&r

&

r )(1/ (2.64)

Mas, por sua vez, a velocidade relativa é:

[ ] ⇒⋅+⋅+⋅== ktzjtyitxdtd

dttrdtv OM

rel

rrrrr )()()()()( /

⇒ kzjyixtvrel

r&

r&

r&

r⋅+⋅+⋅=)( (2.65)

Comparando com a velocidade absoluta e tendo em conta que,

)()()( tvtvtv condrelabsrrr

+= (2.66)

então conclui-se que a velocidade de condução ou de transporte, condvr , é dada por:

⋅+⋅+⋅+=

dtkdz

dtjdy

dtidx

dttrd

tv OOcond

rrrrr )(

)( 1/ (2.67)

Tendo em conta as fórmulas de Poisson, apresentadas nas expressões 2.34, sabe-se que:

×=

×=

×=

kdtkd

jdtjd

idtid

cond

cond

cond

rrr

rrr

rrr

ω

ω

ω

(2.68)

onde condωr é o vector rotação associado à rotação do corpo rígido (e, portanto, do referencial móvel que lhe está associado), com movimento de condução de velocidade angular condωr . Deste modo,

dtkdz

dtjdy

dtidx

dttrd

tv OOcond

rrrrr

⋅+⋅+⋅+=)(

)( 1/

kzjyixdt

trdcondcondcond

OOrrrrrr

r

×⋅+×⋅+×⋅+= ωωω)(

1/

( )kzjyixdt

trdcond

OOrrrr

r

⋅+⋅+⋅×+= ω)(

1/


80

)()()(

// 1 trtdt

trdOMcond

OO rrr

×+= ω (2.69)

ou seja, é uma expressão do tipo:

)()()()( /0 trttvtv OMcondcondrrrr

×+= ω (2.70)

que traduz a cinemática do movimento geral do corpo rígido.

Resumindo, o teorema da composição das velocidades refere que a velocidade vectorial absoluta de uma partícula M que se encontra em movimento em relação a um referencial fixo é a soma vectorial da velocidade relativa dessa partícula em relação ao referencial móvel com a velocidade do referencial móvel em relação ao referencial fixo (velocidade de transporte, condução ou arrastamento), ou seja:

)()()( tvtvtv condrelabsrrr

+=

kzjyixtvrel

r&

r&

r&

r⋅+⋅+⋅=)(

)()()()( /0 trttvtv OMcondcondrrrr

×+= ω

2.6.3 Teorema da composição das acelerações ou teorema de Coriólis

Por definição, a aceleração absoluta é dada por:

1111112/

2

)()()()(

)( 1 ktzjtyitxdt

trdta OM

abs

r&&

r&&

r&&

rr

⋅+⋅+⋅== (2.71)

ou então,

2

2

2

2

2

2

2/

2

/

)(

)()(

1

1

dtkdz

dtkdz

dtkdzkz

dtjdy

dtjdy

dtjdyjy

dtidx

dtidx

dtidxix

dttrd

dtkdzkz

dtjdyjy

dtidxix

dttrd

dtdta

OO

OOabs

rr

&

r

&r

&&

rr

&

r

&r

&&

rr

&

r

&r

&&

r

rr

&

rr

&

rr

&

rr

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

Capítulo 2

81

( )

⋅+⋅+⋅⋅+

+

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=

dtkdz

dtjdy

dtidx

dtkdz

dtjdy

dtidxkzjyix

dttrd

ta OOabs

r

&

r

&

r

&

rrrr

&&r

&&r

&&

rr

2

)()( 2

2

2

2

2

2

2/

21

(2.72)

Por sua vez, a aceleração relativa é:

[ ] ⇒⋅+⋅+⋅== ktzjtyitxdtd

dttvdta rel

rel

r&

r&

r&

rr )()()()()(

⇒ ktzjtyitxtarel

r&&

r&&

r&&

r⋅+⋅+⋅= )()()()( (2.73)

Também por definição, a aceleração de transporte é:

⇒

⋅+⋅+⋅+==

dtkdz

dtjdy

dtidx

dtrd

dtd

dttvdta OOcond

cond

rrrrrr

1/)()(

⇒ 2

2

2

2

2

2

2/

2 )()( 1

dtkdz

dtjdy

dtidx

dttrd

ta OOcond

rrrrr

⋅+⋅+⋅+= (2.74)

Identificando os termos respectivos com a expressão (2.72), verifica-se que:

⋅+⋅+⋅⋅++=

dtkdz

dtjdy

dtidxaaa condrelabs

r

&

r

&

r

&rrr 2 (2.75)

onde a parcela adicional que surge nesta expressão (e que não aparece na correspondente expressão da velocidade) é designada de aceleração complementar ou aceleração de Coriólis:

⋅+⋅+⋅⋅=

dtkdz

dtjdy

dtidxacor

r

&

r

&

r

&r 2 (2.76)

ou aplicando as fórmulas de Poisson (2.34):

( )

( )kzjyix

kzjyixa

cond

condcondcondcorr

&r

&r

&r

rr&

rr&

rr&

r

⋅+⋅+⋅×⋅=

×⋅+×⋅+×⋅⋅=

ω

ωωω

2

2 (2.77)

relvr


82

assim a aceleração de Coriólis pode ser definida condensadamente pela seguinte expressão:

relcondcor va rrr×⋅= ω2 (2.78)

Então, o teorema da composição das acelerações diz que:

corcondrelabs aaaa rrrr++= (2.79)

Note-se que esta parcela adicional da aceleração (a aceleração de Coriólis) é calculada a partir de características dos movimentos elementares tais como a velocidade angular condωr do movimento de condução e a velocidade relvr do movimento relativo.

Logo, em qualquer corpo móvel, num referencial móvel em movimento relativamente a um referencial fixo existirá aceleração de Coriólis, a qual implicará o desenvolvimento de uma força adicional (ou complementar) sobre o corpo (de acordo com o princípio fundamental da dinâmica: amF rr

⋅= ), que é designada de força de Coriólis, corF

r.

Entre as aplicações e as consequências da existência da força de Coriólis em problemas de cinemática de movimento relativo, menciona-se alguns exemplos:

– sentido de rotação dos vórtices atmosféricos nos hemisférios norte e sul;

– forças de Coriólis associadas ao movimento do astronauta reparando um satélite no espaço;

– forças de Coriólis associadas a determinados fenómenos marítimos;

– variação terrestre das marés;

– estudo da evolução de fenómenos meteorológicos.

2.6.4 Casos particulares – Princípio da relatividade newtoniana

Se o sistema referencial móvel S tiver um movimento de translação em relação ao referencial fixo S1, então os versores i

r, jr

e kr

, bem como qualquer direcção considerada no referencial móvel, ocuparão durante o movimento posições paralelas entre si, pelo que os versores i

r, jr

e kr

, serão vectores constantes. Logo:

Capítulo 2

83

0r

rrr

===dtkd

dtjd

dtid (2.80)

e os teoremas da composição das velocidades e da composição das acelerações serão expressos, respectivamente, por:

=

⋅+⋅+⋅=

+=

dttrd

v

kzjyixv

vvvOO

cond

rel

condrelabs )(que em;1/

rr

r&

r&

r&

r

rrr (2.81)

=

=

⋅+⋅+⋅=

+=

0

)(que em; 2

/2

1

rr

rr

r&&

r&&

r&&

r

rrr

cor

OOcond

rel

condrelabs

a

dttrd

a

kzjyixa

aaa (2.82)

A aceleração de Coriólis é nula atendendo ao facto dos versores ir

, jr

e kr

, serem vectores constantes, ou seja, as respectivas derivadas são nulas, como está expresso em (2.80), resultando, de acordo com a expressão (2.76), no anulamento da aceleração de Coriólis.

Note-se que dtrd OO 1/r e 2

/2

1dtrd OO

r representam, respectivamente, as velocidades e as acelerações do centro do referencial móvel em movimento de translação, as quais coincidem com as velocidades e as acelerações do designado movimento de transporte (condução ou arrastamento) do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1.

Se para além das premissas anteriores, o movimento de translação do referencial móvel S relativamente ao referencial fixo S1, for um movimento rectilíneo e uniforme, então 02

/2

1

rr=dtrd OO e o teorema da composição das

acelerações será:

relabs aa rr= (2.83)

Desta expressão conclui-se que um corpo terá a mesma aceleração em dois referenciais que executem, um em relação ao outro, um movimento de translação


84

rectilíneo e uniforme. Isto traduz o designado Princípio da Relatividade Newtoniana. Assim:

1º) Um movimento de translação rectilíneo e uniforme comum aos aparelhos de medida e aos observadores, não altera as observações mecânicas;

2º) É impossível justificar com experiências mecânicas, realizadas num sistema de partículas mecânico, se este está em repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme. Ou seja, repouso e movimento rectilíneo e uniforme são duas facetas equivalentes da mesma realidade mecânica.

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