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___________________________________________Instituto de Ciências Exatas - Departamento de MatemáticaCálculo I – Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo

Capítulo 1: Números Reais

1.1- Conjuntos Numéricos

Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos ou naturais. Temos então o conjunto

{ },...4,3,2,1 =N .

Os números –1, –2, –3, –4, ... são chamados inteiros negativos. A união do conjunto dos números naturais com os inteiros negativos e o zero define o conjunto dos números inteiros que denotamos por

{ },...4 ,3 ,2 ,1 ,0 ±±±±=Ζ .

Os números da forma qp

, onde p e q são inteiros e q ≠ 0 são chamados de frações e formam o conjunto dos

números racionais. Denotamos por

≠Ζ∈Ζ∈= 0q , ;Q eqpqp

.

Cada número racional qp

possui, também, uma representação decimal. Para obtê-la, basta efetuar a divisão

de p por q. Por exemplo:

,641,0125 e 142857,0

71 ,25,0

41 ===

onde a barra acima dos algarismos indica que aquele grupo de algarismos repete-se indefinidamente. Dizemos, nesse caso, que se trata de uma dízima periódica.

Observe que, dado o número racional qp

, ao dividirmos p por q, temos, em cada passo da divisão, apenas

um número finito de possibilidades para o resto, a saber, 0, 1, 2, ... , q – 1. Portanto, após no máximo q passos,

chegaremos ao resto zero, que é o que ocorre com 41

, e a representação decimal será finita, ou repetiremos algum

resto, que é o que ocorre com 125 e

71

, quando teremos uma representação decimal na forma de dízima periódica.

Reciprocamente, se x possuir uma representação decimal finita ou for uma dízima periódica, então x será um número racional. Os exemplos a seguir podem ser generalizados para dízimas quaisquer e permitem entender como obter uma fração a partir de uma representação decimal.

Exemplo 1: 41

1002525,0 == .

Exemplo 2: Como 142857,0=x possui um período de 6 dígitos, multiplicamos por 106 para obter

.142857,142857106 =x Assim, ( ) resulta e 142857110 que modo de ,14285710 66 =−=− xxx

71

777111

101011443

11111115873

999999142857

110142857

6 =====−

=x .

Regra Geral: 9...999

......,0 321321

tt

aaaaaaaax == , onde o denominador tem tantos dígitos iguais a 9 quantos

forem os algarismos do período (t, nesse caso).

1

Exemplo 3: Como os dois primeiros dígitos da parte decimal de 641,0=x não fazem parte do período,

multiplicamos x por 102 para obter 3

1253

23.413241

96416,0416,41102 =+=+=+=+==x ; portanto,

125

300125 ==x .

Existem números que não podem ser representados na forma qp

, onde p e q são inteiros e q ≠ 0, ou seja,

números cuja expansão decimal não é finita e nem periódica, tais como 2,101001000100001..., . ...7182818,2 ...,1415927,3 ...,41421,12 === eπ Estes números formam o conjunto dos números

irracionais que denotaremos por QC.

Da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais resulta o conjunto dos números reais, que denotaremos por

CQQR ∪= .

Temos também os números da forma bia + , onde ba e são números reais e 12 −=i , que constituem o conjunto dos números complexos denotado por

{ } 1 , ; −=∈∈+= ieRbRabiaC .

Observação: As letras N, Q, R e C são as iniciais das palavras número (ou natural), quociente, real e complexo, respectivamente. A letra Z é a inicial da palavra zahl, que significa número em alemão.

1.2- O Corpo dos Números Reais

No conjunto dos números reais introduziremos duas operações, chamadas adição e multiplicação, as quais satisfazem os axiomas a seguir.

A adição faz corresponder a cada par de elementos a, b ∈ R sua soma a + b ∈ R, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto a . b ∈ R.

- Axiomas da adição

A1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a + b) + c = a + (b + c).A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a + b = b + a.A3. Elemento neutro: Existe 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a, qualquer que seja a ∈ R.A4. Simétrico: Todo elemento a ∈ R possui um simétrico em R, denotado por –a, tal que a + (–a) = (–a) + a = 0.

- Axiomas da multiplicação

M1. Associatividade: Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se (a . b) . c = a . (b . c).M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam a, b ∈ R, tem-se a . b = b . a.M3. Elemento neutro: Existe 1 ∈ R tal que 1 ≠ 0 e a . 1 = 1 . a = a, qualquer que seja a ∈ R.M4. Inverso multiplicativo: Todo elemento a ≠ 0 em R possui um inverso multiplicativo em R, denotado por a-1 ou 1/a, tal que a . a-1 = a-1. a = 1.

D1. - Axioma da distributividade:Quaisquer que sejam a, b, c ∈ R, tem-se a . (b + c) = a . b + a . c e (a + b) . c = a . c + b . c.

2

Observações:

1. Outros conjuntos numéricos apresentam-se munidos das operações de adição e multiplicação, satisfazendo as nove propriedades anteriormente referidas. Por exemplo, o conjunto Q dos números racionais e o conjunto C dos números complexos.

2. Um conjunto K munido de duas operações satisfazendo aos nove axiomas anteriores é denominado corpo. Portanto, relativamente às operações de adição e multiplicação, R é um corpo. Também Q e C são corpos.

3. Usando os axiomas A.4 e M.4 podemos definir a subtração e a divisão de números reais.

- Subtração: Se a e b são números reais, a diferença entre a e b, denotada por a – b, é definida por a – b = a + (– b). A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R sua diferença a – b ∈ R chama-se subtração.

- Divisão: Se a e b são números reais e b ≠ 0, o quociente de a por b, denotado por ba

, é definido por

baba

ba 1 . . 1 == − . A operação que associa a cada par de elementos a, b ∈ R, com b ≠ 0, o quociente R

ba ∈

chama-se divisão.

1.3- Algumas propriedades que se deduzem dos axiomas de corpo

P.1. O elemento neutro da adição em R é único.

Vamos supor que 0 e 0’ são elementos neutros para a adição em R.Temos:0 é neutro e 0’∈ R ⇒ 0 + 0’= 0’; 0 ∈ R e 0’é neutro ⇒ 0 + 0’ = 0.Logo, 0’= 0. Portanto o elemento neutro da adição em R é único.

P.2. O elemento simétrico em R é único.

Vamos supor que –a e a’são simétricos de a ∈ R.Então: a' = a’+ 0 = a’+ [a + (–a)] = (a’+ a) + (–a) = 0 + (–a) = –a.Portanto o elemento simétrico de a ∈ R é único.

P.3. O elemento neutro da multiplicação em R é único.

Vamos supor que 1 e 1’ são elementos neutros para a multiplicação em R.Temos:1 é neutro e 1’∈ R ⇒ 1 . 1’= 1’; 1 ∈ R e 1’é neutro ⇒ 1 . 1’ = 1.Logo, 1’= 1. Portanto o elemento neutro da multiplicação em R é único.

P.4. O elemento inverso em R é único.

Vamos supor que a-1 e a’ são inversos de a ∈ R, a ≠ 0.Então: a' = a’. 1 = a’. (a . a-1) = (a’. a) . a-1 = 1 . a-1 = a-1.Portanto o elemento inverso de a ∈ R, a ≠ 0, é único.

P.5. Se a ∈ R então a . 0 = 0.

Temos:a.0 = a. (0 + 0) = a.0 + a.0 ⇒ a.0 + [– (a.0)] = a.0 + a.0 + [– (a.0)] ⇒ 0 = a.0.Logo, a.0 = 0.

3

P.6. Se a, b ∈ R tais que a . b = 0 então a = 0 ou b = 0.

Se a = 0, não temos nada a mostrar.Vamos supor, então, a ≠ 0. Assim existe a-1 ∈ R e obtemos:a.b = 0 ⇒ a-1 (a.b) = a-1.0 ⇒ (a-1.a).b = 0 ⇒ 1.b = 0 ⇒ b = 0.

P.7. Se a, b, c ∈ R então, a – b = c ⇔ a = b + c.

Temos:a – b = c ⇒ a + (–b) = c ⇒ [a + (–b)] + b = c + b ⇒ a + [(–b) + b] = b + c ⇒ a + 0 = b + c ⇒ a = b + c.a = b + c ⇒ (–b) + a = (–b) + (b + c) ⇒ a + (–b) = [(–b) + b] + c ⇒ a – b = 0 + c ⇒ a – b = c.

P.8. Se a, b, c ∈ R, com b ≠ 0, então, cbacba .=⇔= .

Temos:

( ) ( )

( ) ( ) ..1........

...1.......

11111

111

cbacbacbbbacbbabcba

cbacbacbbbabcbbacbacba

=⇒=⇒=⇒=⇒=

=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=

−−−−−

−−−

P.9. Se a, b, c ∈ R então, a + c = b + c ⇒ a = b.

Temos:a + c = b + c ⇒ (a + c) + (–c) = (b + c) + (–c) ⇒ a + [c + (–c)] = b + [c + (–c)] ⇒ a + 0 = b + 0 ⇒ a = b.

P.10. Se a, b, c ∈ R, com c ≠ 0, então, a . c = b . c ⇒ a = b.

Temos: a.c = b.c ⇒ (a.c).c-1 = (b.c).c-1 ⇒ a.(c.c-1) = b.(c.c-1) ⇒ a.1 = b.1 ⇒ a = b.

P.11. Se a, b ∈ R então, – a = (– 1) . a; – ( – a) = a; (– a) b = a (– b) = – (a b); (– a) (– b) = a b.

1) (–1).a + a = (–1).a + 1.a = [(–1) + 1].a = 0.a = 0; logo o simétrico de a é (–1).a, ou seja, –a = (–1).a.2) a + (–a) = 0; logo o simétrico de (–a) é a, isto é, –(–a) = a.3) (–a).b + a.b = [(–a) + a].b = 0.b = 0; logo (–a).b é o simétrico de a.b, isto é, (–a).b = –(a.b).

a.(–b) + a.b = a.[(–b) + b] = a.0 = 0; logo a.(–b) é o simétrico de a.b, ou seja, a.(–b) = –(a.b).4) (–a).(–b) = –[a(–b)] = –[ –(a.b)] = a.b.

P.12. Se a, b ∈ R então, a2 = b2 se, e somente se, a = ± b.

Temos:( ) ( ) 00.02222 =−⇔=+−⇔=−⇔= bababababa ou baba =⇔=+ 0 ou ba −= .

1.4- Desigualdades e suas propriedades

- Axioma de Ordem

No conjunto dos números reais, existe um subconjunto denominado de conjunto dos números positivos tal que as seguintes condições são satisfeitas:

(i) dado a ∈ R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou a = 0, ou a é positivo ou – a é positivo;

(ii) a soma de dois números positivos é positiva;(iii) o produto de dois números positivos é positivo.

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- Definições

1. O número real a é negativo se, e somente se, – a é positivo.

2. Os símbolos < (menor que) e > (maior que) são definidos como segue:(i) a b ⇔ a – b é positivo.

3. Os símbolos ≤ (menor que ou igual a) e ≥ (maior que ou igual a) são definidos como segue:(i) a ≤ b ⇔ a b ou a = b.

4. Expressões envolvendo os símbolos <, >, ≤ ou ≥ são chamadas desigualdades. Expressões do tipo a b são desigualdades estritas, enquanto a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não estritas.

- Propriedades

Sejam a, b, c e d números reais. Temos:

P.1. a > 0 ⇔ a é positivo

a > 0 ⇔ a – 0 é positivo ⇔ a é positivo

P.2. a < 0 ⇔ a é negativo

a < 0 ⇔ 0 – a é positivo ⇔ – a é positivo ⇔ a é negativo P.3. a > 0 ⇔ – a < 0

a > 0 ⇔ a é positivo ⇔ – a é negativo ⇔ – a < 0 P.4. a < 0 ⇔ – a > 0

a < 0 ⇔ a é negativo ⇔ – a é positivo ⇔ – a > 0

P.5. Se a ∈ R e a ≠ 0 então a2 > 0. Em particular, 1 > 0.

Como a ∈ R e a ≠ 0 temos, pelo axioma de ordem, que a > 0 ou – a > 0.Também pelo axioma de ordem obtemos que se a > 0 então a2 = a.a > 0 e se – a > 0 então a2 = a.a = (– a).( – a) > 0. Em particular, 1 ≠ 0 e 1 = 12; logo 1 > 0.

P.6. Dados a, b ∈ R, ocorre exatamente uma das alternativas seguintes: ou a = b, ou a b.

Sendo a, b ∈ R então b – a ∈ R e, pelo axioma de ordem, temos: ou b – a = 0, ou b – a > 0 ou – (b – a) > 0. Assim, ou a = b, ou a b.

P.7. Se a 0 e c – b > 0 ⇒ (b – a) + (c – b) > 0 ⇒ c – a > 0 ⇒ a < c.

P.8. Se a 0 ⇒ b + c – c – a > 0 ⇒ (b + c) – (a + c) > 0 ⇒ a + c < b + c.

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P.9 Se a 0 então a c 0 ⇒ b – a > 0 e c > 0 ⇒ c. (b – a) > 0 ⇒ b.c – a.c > 0 ⇒ a.c < b.c

P.10. Se a b c. Em particular, a – b.

Temos:a 0 e – c > 0 ⇒ (b – a).( – c) > 0 ⇒ a c – b c > 0 ⇒ a c > b c.

P.11. Se a 0 e d – c > 0 ⇒ (b – a) + (d – c) > 0 ⇒ (b + d) – (a + c) > 0 ⇒ a + c 0 ⇒ ac < bcc < d e b > 0 ⇒ bc < bdLogo, ac < bd.

P.13. Se a > 0 e b < 0 então a b < 0.

Temos:a > 0 e b < 0 ⇒ a > 0 e – b > 0 ⇒ a.( – b) > 0 ⇒ – (ab) > 0 ⇒ ab < 0.

P.14. Se a > 0 então a-1 > 0. Segue-se que a > 0 e b > 0 implica 0>ba

.

Como a > 0 e a.a-1 = 1 > 0 então a-1 > 0, pois se a-1 = 0 então a.a-1 = a.0 = 0 e se a-1 < 0 então a.a-1 < 0.

Se a > 0 e b > 0 então a > 0 e b-1 > 0; logo 01 >= −abba

.

P. 15. Se 0 < a −=−=

−=

−=−=− −−− ababab

abbab

aab

abbaabab

baba .

Logo, b-1 < a-1.

- Observações:

1. As propriedades P.7 a P.15 válidas para a relação < também são válidas para as relações >, ≤ e ≥. É evidente que se a ∈ R então a ≤ a, e dados a, b ∈ R, tem-se a = b se, e somente se, a ≤ b e b ≤ a.

2. Um corpo ordenado é um corpo K no qual se destaca um subconjunto P ⊂ K, chamado o conjunto dos elementos positivos de K, tal que as seguintes condições são satisfeitas:P.1. Dado x ∈ K, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x ∈ P ou – x ∈ P.P.2. A soma e o produto de elementos positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ P então x + y ∈ P e x.y ∈ P.Os elementos – x de K tais que x ∈ P chamam-se negativos. Portanto, R e Q são corpos ordenados. 3. Num corpo ordenado K, se a ≠ 0 então a2 ∈ P. De fato, sendo a ≠ 0, ou a ∈ P ou – a ∈ P. No primeiro caso, a2

= a.a ∈ P. No segundo caso, a2 = (– a).( – a) ∈ P, pois valem as mesmas regras de sinais vistas para o conjunto R.Em particular, num corpo ordenado 1 = 1. 1 é sempre positivo e, segue que, – 1 é negativo. Portanto, num corpo ordenado, – 1 não é quadrado de elemento algum. Assim, concluímos que C não é ordenado.

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4. Geometricamente, o conjunto dos números reais pode ser visto como uma reta, através de uma correspondência entre os números reais e os pontos da reta. Para tanto, escolhemos um ponto arbitrário da reta, que denominamos origem, e uma unidade de medida. A origem fica em correspondência com o número 0 (zero). Na semi-reta da direita representamos os números reais positivos e, na semi-reta da esquerda, os números reais negativos. Essa reta, provida da origem e da correspondência com os números reais, costuma ser denominada reta real e denotada, também, por R. Na correspondência com a reta real, ba < significa que a fica à esquerda de b.

1.5- Valor absoluto de um número real

Se quisermos obter, para cada número real x, a distância entre x e a origem, devemos considerar os seguintes casos:

Nos dois primeiros casos, dizemos que a distância entre x e 0 é o próprio x. No terceiro caso, a distância é –x.

- Definição

O valor absoluto (ou módulo) de um número real x, denotado por x , é definido por:

<−≥

=.0 ,

0 ,xsex

xsexx

De acordo com a definição temos que se x ∈ R então 0≥x , e 0=x se, e somente se, x = 0.Além disso, se x ∈ R, ou x e – x são ambos zero, ou um é positivo e o outro é negativo. Aquele, dentre

x e – x, que não for negativo, é x . Logo, x é o maior dos elementos x e – x, ou seja, x = máx { x, – x}.

Temos, portanto, xx ≥ e xx −≥ . Esta última desigualdade pode ser escrita xx ≤− e obtemos

xxx ≤≤− .

Pelo que vimos, geometricamente, o valor absoluto de um número real x é a distância entre x e 0 (zero).

Para encontrarmos a distância entre dois números reais a e b quaisquer, devemos analisar três situações possíveis para pontos a e b arbitrários da reta real:

No primeiro caso, como 0>− ab , temos abab −=− ; no segundo caso, como 0=− ab , temos

abab −==− 0 ; no terceiro caso, como 0<− ab , temos ( ) baabab −=−−=− . Assim, em qualquer

caso, temos baab e entre distância =− .

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- Propriedades

P.1. Para todo a ∈ R temos 22 aa = .

Como a é um dos elementos a ou -a então 22 aa = ou ( ) 222 aaa =−= .

Logo, 22 aa = .

P.2. Se a ∈ R então aa =− .

Se a = 0 então –a = 0 e aa ==− 0 .

Se a > 0 então –a < 0; assim ( ) aaa =−−=− e aa = .

Se a < 0 então –a > 0; segue que aa −=− e aa −= .Portanto, aa =− .

P.3. Se ax = então x = a ou x = – a, onde 0 e , ≥∈ aRax .

Como ax = e x é um dos elementos x ou –x então x = a ou – x = a. Logo, x = a ou x = – a.

P.4. Se a, b ∈ R e ba = então a = b ou a = – b.

Como a = a ou – a, b = b ou – b e ba = então a = b ou a = – b.

P.5. ax < se, e somente se, axa <<− , onde 0 e , >∈ aRax .

Temos:{ } axaaxaxaxaxaxxx <<−⇔−><⇔<−<⇔<−= e e ,max .

P.6. ax ≤ se, e somente se, axa ≤≤− , onde 0 e , >∈ aRax .

Demonstração análoga a P.5.

P.7. ax > se, e somente se, axax −<> ou , onde 0 e , >∈ aRax .

( )( ) a. obtemos como e então Se . temos como e Se

.ou logo ;ou então ou e Como

>−≥>−−<>≥>⇐

−<>>−>−=>⇒

xxxaxaxaxxxax

axaxaxaxxxxax

P.8. ax ≥ se, e somente se, axax −≤≥ ou , onde 0 e , >∈ aRax .

Demonstração análoga a P.7.

P.9. Se a, b ∈ R então baba . . = .

Temos:

( ) ( ) bababababababa ....... 2222222 ±=⇒==== .

Como baba . e . são reais não negativos obtemos baba . . = .

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P.10. Se a, b ∈ R e b ≠ 0 então ba

ba = .

Inicialmente vamos mostrar que bb11 = . De fato, 11 . .1 −− == bbbb ; assim 1 −b é o inverso multiplicativo

de b , ou seja, 11 −− = bb . Logo,

bb11 = .

Portanto, ba

ba

ba

ba

ba ==== 1.1.1. .

P.11. Se a, b ∈ R então baba +≤+ . (Desigualdade triangular)

Se a = b = 0, é claro que baba +≤+ . Se a ≠ 0 ou b ≠ 0, temos:

( ) babababababbbaaa +≤+⇒+≤+≤+−⇒≤≤−≤≤− e .

P.12. Se a, b ∈ R então baba +≤− .

Temos:( ) babababa +=−+≤−+=− .

P.13. Se a, b ∈ R então bababa −≤−≤− .

Se a = b, é claro que bababa −≤−≤− .Se a ≠ b, temos:

( ) bababbabbaa −≤−⇒+−≤+−=

( ) bababaababaabaabb −−≥−⇒−=−≤−⇒+−≤+−=

Assim obtemos: bababa −≤−≤−−

Logo, baba −≤− e, portanto, bababa −≤−≤− .

P.14. Se a, b, c ∈ R então cbbaca −+−≤− .

Temos:cbbacbbaca −+−≤−+−=− .

P.15. Se a ∈ R então aa =2 .

Explicação:

Dados um número real a ≥ 0 e um número natural n, demonstra-se que sempre existe um único real positivo ou nulo b tal que bn = a.

Ao número b chamamos raiz n-ésima de a e indicamos por n ab = , onde a é chamado radicando, o

símbolo é o radical e n é o índice.

9

Por exemplo: 2325 = , pois 25 = 32 007 = , pois 07 = 0

39 = , pois 32 = 9 116 = , pois 16 = 1

Conseqüências:1. Da definição decorre que ( ) aa

nn = .

2. Pela definição temos que 636 = e não 636 ±= . Mas, 39 ,24 ,283 ±=±−=−−=− são sentenças verdadeiras, onde o radical não é o causador do sinal que o antecede.

3. Note que no cálculo da raiz quadrada de um quadrado perfeito temos: aa =2 .

De fato, 2a é, por definição, o único número real positivo ou nulo que elevado ao quadrado resulta 2a . Como 22 aa = e 0≥a , segue que aa =2 .

Por exemplo, ( ) ( ) 55 não e 555 22 −=−=−=− .

1.6- Intervalos - Definições

Sejam a e b números reais, com a ≤ b. Os nove subconjuntos de R definidos a seguir são chamados intervalos:

[ ] { } ( ] { }( ) { } ( ) { }[ ) { } [ ) { }( ] { } ( ) { }

( ) ., ,;, ,;,,;, ,;,,;, ,;,,;, ,;,

RxaRxabxaRxbaxaRxabxaRxbabxRxbbxaRxbabxRxbbxaRxba

=+ ∞∞−<∈=+ ∞≤<∈=≤∈=+ ∞<≤∈=<∈=∞−<<∈=≤∈=∞−≤≤∈=

Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [ ]ba, é um intervalo fechado, ( )ba, é aberto, [ )ba, é fechado à esquerda, ( ]ba, é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: ( ]b,∞− é a semi-reta esquerda, fechada, de origem b; ( )b,∞− é a semi-reta esquerda, aberta, de origem b; [ )+ ∞,a é a semi-reta direita, fechada, de origem a; ( )+ ∞,a é a semi-reta direita, aberta, de origem a; ( )+ ∞∞− , pode ser considerado aberto ou fechado. Quando a = b, o intervalo fechado [ ]ba, reduz-se a um único elemento [ ] { }aaa =, , chama-se um intervalo degenerado, e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios.

- Observações:

1. Os símbolos – ∞ (leia-se menos infinito) e +∞ (leia-se mais infinito) não representam números reais.

2. Todo intervalo não-degenerado é um conjunto infinito e contém números racionais e números irracionais.

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1.7- Exemplos

1. Encontre um número racional c e um número irracional d tais que bdca <<< , para os números reais a e b dados, com a < b.

a) 31 e

41 == ba

b) 328994,0 e 327994,0 == bac) ...8714799,0 e 479871,0 == bad) 10010002,0 e ...10010001,0 == ba

2. “O resultado da soma de dois números irracionais é um número irracional.” Verifique se é verdadeira ou falsa essa afirmação, justificando sua resposta.

3. Encontre os números reais que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica na reta real.a) 2 + 3x < 5x + 8

b) 4 < 3x – 2 ≤ 10

c) 0 , 27 ≠> xx

d) 3 , 43

≠<−

xx

x

e) (x + 3) (x + 4) > 0

4. Resolva as seguintes equações:a) 523 =+x

b) 3412 +=− xx

c) 345 −=+x

d) xxx 4122 +=−+

5. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:a) 45 <−x

b) 2 ,42

23 −≠≤+

− xxx

c) 523 >+x

1.8- Exercícios

Páginas 10 e 11 do livro texto.

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