CapIV - Hidráulica 1

7/25/2019 CapIV - Hidrulica 1

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CAPITULO IV PROPRIEDADES HIDRULICAS DO ESCOAMENTO EM LEITOMVEL

1.1 Generalidades

Os escoamentos de fronteira fixa so caracterizados por leis que relacionam asgrandezas relativas ao escoamento lquido (como vazo, velocidade, profundidade, etc), e ageometria do canal (declividade, rugosidade, seo transversal). Nos escoamentos a fundomvel, estas leis so mais complexas, uma vez que deve-se somar as grandezas relativas aoescoamento na fase slida. Esta complexidade deve-se principalmente ao fato de que ageometria do leito apresenta conformaes que variam em funo do estgio doescoamento. Estas conformaes, denominadas de rugosidade de forma, representamuma forma de resistncia ao escoamento da fase lquida.

Um segundo fator que contribui para a complexidade no tratamento destamodalidade de escoamento, representado pelo material transportado em suspenso. Emfuno dos nveis de concentrao do material em suspenso, algumas caractersticas doescoamento lquido podem ser afetadas. Como exemplo podem-se ver na figura 4.1 duasdistribuies de velocidades de um determinado escoamento onde h somente variao nasconcentraes.

Pretende-se, neste captulo, estudar algumas propriedades fundamentais doescoamento bifsico, abordando inicialmente o caso particular do escoamento comfronteira fixa, para depois estender as consideraes aos escoamentos com fundo mvel.


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4.2 Propriedades mecnicas do escoamento a fundo fixo4.2.1 Distribuio das tenses de atrito

As hipteses assumidas para o desenvolvimento das propriedades mecnicas doescoamento a fundo fixo so as seguintes:

- escoamento a superfcie livre, bidimensional- regime permanente e uniforme- fluido real e homogneo

Para o estudo da distribuio de tenses, considera-se que o volume de controleABCD, na figura 4.2, tem largura unitria, e dimenses AB e CD que tambm so unitrias.

Os esforos externos ao volume de controle so:G peso do fluido contido em ABCDE1e E2 resultantes das foras de empuxo nas sees de entrada e sada, respectivamenteC tenso de atrito de interface BC

As componentes de G segundo os eixos x e y so:

Gy G = (h y)quando pequenoGx GJ

Fazendo o equilbrio das foras, considerando-se que E1 = E2 (regime uniforme),tem-se:

y= J h (1 (y/h)) (4.1)commn = 0 quando y = hmax = o= J h quando y = 0

Os conceitos contemporneos de mecnica dos fluidos permitem exprimir a tensode atrito total, a uma profundidade y, como sendo a soma de duas componentes:y= l + t (4.2)

onde t a tenso de atrito devido viscosidade molecular, dada por:

l = . d/dx (4.3)e t a tenso de atrito aparente devido s flutuaes turbulentas, dada por:

t = - . uv (4.4)


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uv mdia temporal do produto das flutuaes de velocidades nas direes x e y,respectivamente.

A tenso turbulenta t,pode ainda ser expressa pela equaode L. Prandtl:t= . l

2(du/dy)2 (4.5)

onde l uma quantidade que tem a dimenso de comprimento. O parmetro l foidenominado por L. Prandtl de comprimento de mistura, por ser uma medida da distnciamdia de translado das partculas fluidas envolvidas no processo de mistura devida turbulncia. De acordo com interpretaes mais recentes, l seria uma quantidadeproprcional a dimenso dos vrtices macroturbulentos, e ao comprimento dos respectivosdeslocamentos durante o processo de mistura. Como estas quantidades variam de acordocom a profundidade, h uma variao de l com y, que no atual estgio de conhecimentos,no se sabe bem como ocorre. Tudo o que se sabe, que nas proximidades do escoamento sua fronteira, a relao entre l e y linear do tipo:

l = .y (4.6)onde tem a denominao de constante de Von Karmann.

Nos escoamentos em que n h transporte de material slido adota-se o valor =0,4, embora comparaes experimentais demonstrem haver alguma variao em torno destevalor. A presena de sedimentos em suspenso afetam o valor de X, fazendo com que estevalor tenha uma tendncia a diminuir com o aumento dos nveis de concentrao. Adiantesero apresentados os resultados de alguns estudos sobre a variabilidade da constante deVon Karmann.

A representao esquemtica da figura 4.3, apresenta as distribuies de tensesviscosa e turbulenta, que obedecem s seguintes caractersticas:a) K< y


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4.2.1 Discusses sobre a variabilidade da constante de Von Karmann

Segundo Einstein-Chien, a parcela de energia utilizada para manter o sedimento emsuspenso ( pela unidade de peso do fluido e de tempo), dada por:

so

Jum

Cm

.. (4.9)

que pode ser correlacionada com X, como se v na figura 4.4. Apesar da disperso dospontos, esta uma indicao razovel de que o valor de X pode atingir valores da ordem de0,2, quando as concentraes so elevadas. Vanoni e Nomicos (1960) propuseram umarelao de k com um parmetro ligeiramente diferente do proposto por Einstein e Chien.

)(.

)(

..12012 syy

h

yy

Jum

C (4.10)


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onde Cy2y1 a concentrao mdia entre as profundidades y1 e y2, tomados a 0,001.h e0,010h, respectivamente, portanto muito prximas ao leito. A correlao encontrada, comose v na figura 4.5 melhor que a de Einstein-Chien.

Outras contribuies sobre o assunto foram apresentadas. Entre elas destaca-se a deGarde e Paintal(1964) que estenderam este tipo de anlise a escoamentos aluvionares,encontrando uma variao de X entre 0,15 e 0,60. Verificaram ainda que nos escoamentosaluvionares a constante X influenciada tambm pela conformao do leito. Desde que o * um importante parmetro na caracterizao do transporte de fundo e na conformao doleito, Garde e Paintal plotaram valores medidos de X contra * e obtiveram a relaoapresentada na figura 4.6. Apesar da disperso dos pontos, nota-se a tendncia dadiminuio de X com o aumento de *.

4.2.2 Distribuio de velocidades4.2.2.1 Escoamento em regime laminar

Considerando o mesmo conjunto de hipteses anteriores das equaes 4.1 e 4.3chega-se a:

)/1(0 hydy

du=

(4.11)


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ou ainda, integrando-se a equao 4.11, obtm-se a expresso da distribuio develocidades:

= )2

11(0

h

y

h

yhu

(4.12)

que pode tambm ser escrita numa forma mais conveniente:

= )

211(Re

* h

y

h

y

v

ua (4.13)

onde:v* = (o/)

1/2 que tem a dimenso de velocidade, e que, por definio, denomina-sevelocidade de atrito.Rea= (v*h)/ que representa o nmero de Reynolds de atrito.

A distribuio parablica da expresso 4.13 pode ser vista na figura 4.7, com osseguintes valores fundamentais:velocidade mxima (y/h=1)

umx/v*= 1/2 Rea (4.14)velocidade mdiaum/v*= 1/3 Rea (4.15)

4.2.2.2 Escoamento em regime turbulento

Nos escoamentos turbulentos nas vizinhanas do leito, ou seja:

ymin< y


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Integrando-se a operao 4.5 em relao a y, entre ymine y, resulta a expresso geralde distribuio de velocidades:

*min* v

minln.

1

v

u

y

y

X+=

(4.16)

Em princpio, este tipo de distribuio de velocidades vlida somente nas

vizinhanas do leito, onde vlida a lei l=X.y, porm comprovaes experimentais tmdemonstrado que vlida a extrapolao para toda a profundidade.

O limite inferior ymn assume a espessura da camada viscosa , se > K, em queK representa um dimenso a partir da qual a rugosidade do leito passa a interferir noescoamento.

Quando ymn= , o escoamento nas proximidades do leito fica definido a partir doconhecimento das caractersticas do fluido (, ), das propriedades mecnicas doescoamento (v*) e da condio de fronteira, ou seja, da rugosidade absoluta K. Oadimensional representativo neste caso, toma a forma de m nmero de Reynolds.

ReK= v*K/ (4.17)A influncia da espessura da camada viscosa , pode ser obtida da seguinte relao

funcional:

)v

( *

k

k= (4.18)

No caso em que > K, a rugosidade do leito deixa de ser uma grandezacaracterstica do fenmeno, o que somente possvel se a relao 4.18 for do tipo:

k

constK

K

a

*

*

v

v=

= (4.19)

ou

= consta. /v* (4.20)

Portanto a equao (4.16) assume a forma:

aCyu

+

=

*

*

vln

1

v (4.21)

onde:

aa constub

C ln1

= (4.22)

umin= uQuando ymin assume o valor da rugosidade do leito K, ou seja quando < K, em

que a grandeza K uma dimenso a partir da qual a viscosidade deixa de influir noescoamento , a equao 4.16 assume a forma:

u/v*=(1/).ln(y/k) + Cb (4.23)onde:

Cb= uk/v*= constante (4.24)umin= uk

A equao 4.16 pode ainda Ter um tratamento mais genrico fazendo-se:


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u/v*=(1/).ln(y/k) + B (4.25)onde:

B =(1/).ln(v*k/) + Ca para > k (4.26 a)B = Cb para < k (4.26 b)

A constante B um adimensional que representa uma propriedade do escoamento

nas proximidades do leito. Desta forma, possvel estabelecer-se uma funo do tipo:

=

k

B B*v (4.27)

Uma relao entre B e log (v*k)/ foi obtida experimentalmente por J. Nikuradse(1933), utilizando a rugosidade de areias uniformes coladas s paredes de condutos, figura4.8.

Observa-se na figura 4.8, que os pontos experimentais se ajustam bem s retas S aeSbpara os valores:v*k/< =5 (regime turbulento liso)

v*k/> =70 (regime turbulento rugoso)respectivamente, de onde se podem extrair as seguintes constantes:Ca= 5,5Cb= 8,51/X =2,5

Os limites 5 e 70 so valores aproximados, podendo Ter alguma variao,dependendo de cada autor.

As equaes 4.26a e 4.26b, tornam-se ento em:B = 2,5 ln v*k/+ 5,5 para v*k/< =5 (4.28 a)B = 8,5 para v*k/> =70 (4.28b)

Nos escoamentos a fundo mvel, a rugosidade k determinada pela deformao doleito e no mais pela dimenso do sedimento ks. Em funo disto, a constante B determinada pela configurao do leito, como se v esquematicamente na figura 4.9. Por


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sua vez, a configurao do leito depende da intensidade do transporte slido. Os limites ae b, neste caso, dependem de parmetros que definam a configurao do leito.

interessante apresentar valores fundamentais para o escoamento turbulento liso erugoso.a) Regime turbulento liso ((v*k)/< 5.0)- velocidade mxima y = h

5,5v

ln5,2v

*

*

max +

=

hu

(4.29)

- velocidade mdia

=

h

m dyuh

u

.

1

v* (4.30)

Substituindo o valor d umx = u(h) na equao 4.30 e tratando /h como uminfinitesimal de primeira ordem, chega-se a:

0,3v

ln5,25,2vv

*

*

max

*

+==

huum (4.31)

b) Regime turbulento rugoso ((v*k)/> 70.0)- velocidade mxima y=h

5,8ln5,2v*

max +=ks

hu (4.32)

- velocidade mdia

=h

k

m dyukh

u.

1

v* (4.33)

dando o mesmo tratamento que na equao 4.30, chega-se a:

0,6ln5,25,2vv *

max

*

+==k

huum (4.34)


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As figuras 4.10a e 4.10b, apresentam as distribuies de velocidades para o regimeturbulento.

Nos casos em que o escoamento turbulento liso, na interface com o escoamentolaminar so vlidas as equaes 4.13, 4.25 e 4.28a. Como y=e


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6,11v* =

ou = 11,6/v*

portanto, a constante da equao 4.20 tem o valor 11,6.

4.2.3 Formulaes empricas para a determinao da resistncia ao escoamento

As primeiras frmulas para a determinao da resistncia ao escoamento eram decarter puramente emprico. Algumas delas ainda encontram grande aceitao, como asfrmulas:

- Chzyum= C (RJ)

0,5 (4.37)onde C conhecido por coeficiente de Chzy.- Manning:

um= 1/n R2/3J1/2 (MKS) (4.38)

onde n conhecido por coeficiente de rugosidade de Manning.

Os coeficientes das frmulas 4.37 e 4.38 esto na forma dimensionalizada, eportanto dependem do sistema de unidades; no consideram o efeito de viscosidade, o queas restringe aos casos em que o regime de escoamento turbulento rugoso. Daadimensionalizao destes coeficientes resulta uma expresso mais conveniente:formula 4.39onde f o coeficiente de resistncia de Darcy-Weisbach.

- Strickler

A frmula de Strickler consiste na conjugao das frmulas logartmica (4.34) e de

Manning na forma adimensionalizada (4.39):formula 4.40Para simplificao de clculo, Strickler aproximou a expresso 4.40 por uma funo

mais simples, correlacionando R/kscom R1/6/n, e obteve:

formula 4.41ouformula 4.42

Em 1923, analisando dados de inmeros rios suos, com leito constitudo pormateriais grosseiros, Strickler (1948) recomendou o uso da expresso:formula 4.43

Quando o material de fundo no uniforme, na condio de no haver

movimentao d sedimentos, Meyer-Peter e Mller (1948) propem a adoo do dimetrod90 para substituir a rugosidade equivalente ks, ao passo que Einstein (1950) prope aadoo de d65. Estas diferentes proposies, de maneira geral, no introduzem um erromuito grande na determinao de n, uma vez que o dimetro entra na frmula com apotncia 1/6.

4.3 Configurao do leito4.3.1 Classificao das configuraes do leito


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O regime de escoamento em fundo mvel, encontra a seguinte definio por Garde

e Albertsoon(1959): A natureza da configurao do leito e da superfcie lquida varia de acordo com as

caractersticas do sedimento, do escoamento e/ou caractersticas do fluido. Estes tipos de

configuraes do leito e da superfcie lquida so classificados de acordo com suascaractersticas e denominados regime de escoamento. Deve-se tomar o cuidade de noconfundir esta definio com outras nomenclaturas semelhantes da hidrulica de canais.

Os diferentes regimes de escoamento foram observadas em canais naturais, edescritos por Albertson, simons e Richardson (1961). A partir do repouso e por sucesso deocorrncias, medida que a velocidade de escoamento aumenta, distinguem-se as seguintesconfiguraes de fundo, figura 4.11:- leito plano: at o instante em que os sedimentos no atingem as condies-limites para

o inco de movimentao, o leito se mantm em repouso.- rugas: quando o sedimento inicia sua movimentao, ocorrem pequenas deformaes

cujo corte longitudinal se assemelha a dentes de serra. Em geral, o talude montante bastante abatido e o de jusante mais inclinado, atingindo o ngulo de talude natural dosedimento. Se o material de fundo for fino, de modo geral as rugas formam-serapidamente, logo no incio da movimentao do material. Os materiais relativamentegrosseiros, com dimenses da ordem de 1.0 mm ou mais, no produzem este tipo deformao. Dessa forma o leito permanece plano por mais tempo, at o surgimento dedunas.

- dunas: quando a velocidade aumenta, aparecem conformaes peridicas maiores, coma forma semelhante s das rugas, porm com a superfcie mais irregular. As dunaspodem atingir grandes propores, que por vezes recebem a denominao de bancos. Seo material do leito for relativamente fino pode ocorrer a formao de rugas no dorso dasdunas, que por sua vez podem sr varridas medida que a velocidade aumenta.

- transio: o regime de transio caracteriza-se por uma situao bastante instvel, ondepodem ocorrer rpidas mudanas na forma da superfcie livre, e do leito com apenaspequenas mudanas nas condies de escoamento. Geralmente ocorrem quando onmero de Froude da ordem de 0,8. com o aumento progressivo da velocidade, asdunas vo se alongando e diminuindo na amplitude, e se o material for relativamentefino, o leito pode assumir a forma plana. Continuando com o aumento da velocidade,pode ocorrer a formao de ondulaes suaves no leito e na superfcie livre (ambas emfase). Estas ondulaes formam-se e desaparecem, nunca crescendo em amplitude.

- antidunas: quando o escoamento atinge o regime torrencial, desenvolvem-se novasondulaes no fundo, com a forma que normalmente se aproxima da sinuzoidal em fasecom as ondas da superfcie livre, sendo que estas, em geral, so de maior amplitude.Esta denominao prende-se ao fato de que em geral este tipo de configurao tem umcaminhamento no sentido contrario s dunas, ou seja, para montante; no entanto podemtambm manter-se estacionrias, ou deslocar-se para jusante.


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Nos estgios mais avanados deste regime ocorrem instabilidades na superfcie

lquida, acarretando a formao de roletes na superfcie.- Regime de rpidos: neste regime ocorre uma sucesso de regimes rpidos e lentos

entremeados por ressaltos hidrulicos. Ocorrem nos estgios avanados do escoamento.Um resumo de um exaustivo estudo realizado pelo U.S. Geological Survey.

Colorado State University, sobre deformaes do leito, foi preparado por Simons et alli

(1961) resultando na tabela:tabela 4.1

Regime deEscoamento

Forma doLeito

ConcentraoP.P.M.

Forma detransporte

slido

Tipo deRugosidade

Coeficientede

RugosidadeC/g1/2

RegimeInferior

rugasrugas sobre

dunas

dunas

10 200100-1200

200-2000

saltosdiscretos

Predomina arugosidade de

forma

7,8 12,4

7,0 13,2Transio dunas emremoo

1000-3000 varivel 7,0 20,0

RegimeSuperior

Leito planoantidunas

rpidos comressaltos

2000-600020002000

ContnuoPredomina a

rugosidade dogro

16,3 20,010,8 10,79,4 10,7


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4.3.2 Mtodos previsores das configuraes de fundo

- Critrio de Albertson, Simons e Richardson (1961)

Liu em 1957, apresentou um critrio, relacionando os parmetros */0 e (*d)/,

restrito apenas ao regime de rugas. Posteriormente Albertson, Simons e Richardson,propuseram um critrio, relacionando estes mesmos parmetros, vlido para todos osregimes de escoamento. Esta foi a primeira tentativa de previso generalizada, figura 4.12.

A crtica que feita a este mtodo que no considera um parmetro quecaracterize o estgio do escoamento lquido, no caso, o nmero de Froude.

- Critrio de Garde e Albertson(1959)

Garde e Albertson, partindo do pressuposto de que o estgio do escoamento lquido,caracterizado pelo nmero de Froude, seria um segundo parmetro importante para acaracterizao do regime de escoamento, estabeleceram um critrio relacionando * e Fr,figura 4.13.


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Estes dois adimensionais, como sabido, representam um nmero de mobilidade dosedimento e do fluido, respectivamente.

- Critrio de Garde e Ranga-Raju (1963)

Este critrio foi desenvolvido em funo de um mtodo de clculo de resistncia aoescoamento, proposto pelos autores, e que ser discutido oportunamente. Neste mtodo socontrapostos R/d e J/S*, como se v na figura 4.14. O mrito deste mtodo que seutilizado nos clculos da previso de curvas de descarga, no necessita do conhecimento doestgio do escoamento. As retas indicadas a 45 com a horizontal indicam situaes de *constante, que pode assumir qualquer regime, em princpio, em funo da profundidade.Esta a caracterstica que difere este mtodo, do apresentado por Albertson, Simons e

Richardson.


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- Critrio de Engelund e Hansen (1966)

A partir de uma abordagem terica, Engelund e Hansen propuseram um critrio, apartir de relaes entre os parmetros um/ v* e u/(gh)

1/2, figura 4.15.O parmetro um/v* determinado pela expresso logartmica 4.34, ks= 2d65. Portanto detodos os parmetros envolvidos (um, h, J e d), o dimetro exerce uma influncia muitopequena na determinao do regime.


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Os critrios supracitados, assim como outros no mencionados neste trabalho,apresentam comprovaes bastantes restritas. Existem ainda inmeras dificuldades para aaplicao destes mtodos em cursos de gua naturais devido complexidade dos regimesde escoamento que ocorrem. A ttulo de exemplo, cita-se o caso do rio Virgin em Utah,USA (1961), que apresentava, numa determinada seo transversal, dois tipos deconfiguraes distintas, devido variao de profundidade, figura 4.16. Neste caso no correto fazer uso das caractersticas mdias do escoamento. No entanto, a determinao daconfigurao do leito, seja atravs de algum mtodo preditor, ou por observao direta, importante para a avaliao correta da rugosidade de forma, fator que est intimamenteligado distribuio de velocidades e intensidade de transporte slido.


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4.4 Expresses gerais de resistncia do escoamento em leito mvel

4.4.1 Consideraes preliminares

Inmeros mtodos tm sido desenvolvidos na tentativa de relacionar parmetroshidrulicos, geomtricos e sedimentomtricos, dentro de uma preciso compatvel com asnecessidades para a aplicao na engenharia. Estes mtodos podem ser divididos em doisgrandes grupos, cada qual com um determinado enfoque do problema. O primeiro grupotrata a resistncia ao escoamento como um todo, e utiliza a expresses matemticasrelativamente simples, de natureza emprica, relacionando os parmetros envolvidos nofenmeno. No segundo grupo, considera-se que a resistncia ao escoamento devida soma dos efeitos da rugosidade dos gros, que funo somente da geometria dossedimentos, e da rugosidade de forma, que corresponde parcela de resistncia devido conformao do leito.

Num tratamento mais generalizado deveriam ser considerados, tambm, os efeitos

da carga de sedimentos em suspenso, de sorte que a tenso de atrito 0seria subdividida deforma:0= 0 + 0 + 0onde:0 parcela correspondente tenso de atrito sobre o leito plano com a rugosidade dosgros. tambm conhecida como tenso efetiva, por ser a nica parcela que contribui paraa movimentao do sedimento no leito.0 parcela correspondente tenso de atrito necessria para que o escoamento vena osobstculos do fundo, ou seja, as deformaes do leito. Por este motivo conhecida comotenso aparente.0 - parcela correspondente tenso de atrito necessria para manter o material em

suspenso. Da mesma forma que a anterior, conhecida como tenso aparente.

A figura 4.17 representa esquematicamente o diagrama de tenses. Os valores de0,0e0 podem ser expressas da forma:0 = Jh ou 0 = Jh0 = Jh ou 0 = Jh0 = Jh ou 0= Jhcom: J = J + J+ J ou h = h + h + h

Em funo da influncia de cada componente pode-se descrever algumas situaestpicas:

- leito plano, no incio do movimento dos sedimentos: evidente que , numa situaocomo esta, os componentes 0 e 0 so desprezveis, e 0 = 0;

- leito irregular, num estgio intermedirio do escoamento: neste caso, a influncia de0 desprezvel, e 0= 0 + 0;

- leito plano, num estgio avanado do escoamento: neste caso, a influncia de 0 desprezvel e 0=0 + 0.


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4.4.2- Mtodos de resistncia global ao escoamento

Mtodo de Garde e Raju (1966)

Os autores, analisando dados de canais e cursos naturais, propuseram uma equaode carter emprico para a determinao da velocidade mdia do escoamento.

Partindo da anlise dimensional do escoamento bifsico, estabeleceram a seguinterelao funcional:

(formula 4.45 pg 70)

O adimensional g d 3/2 / que reflete a influncia da viscosidade, em primeiraaproximao foi considerado como no sendo caracterstico do fenmeno. Estaconsiderao, portanto, restringe a frmula aos escoamentos em regime turbulento rugoso.

A frmula proposta assemelha-se de Manning-Strickler:

(frmula 4.46 pg 70)

onde:k = 7,66 leito planok = 3,20 rugas e dunask = 6,00 transio e antidunas

Investigaes posteriores demonstraram que o valor de k variava continuamentecom um/(s*gd)

1/2. Esta variao pode ser vista na figura 4.18, onde so contrapostos osparmetros um/(s*gd)

1/2 e (R/d)1/3. J/s*. O critrio para a caracterizao do regime deescoamento, proposto pelos autores, relaciona R/d com J/s*. Z.U. Alam (1967) numadiscusso sobre esta metodologia, relata ter encontrado uma larga margem de erros nasaplicaes em alguns rios americanos.


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Ranga Raju (1970) verificou, analisando um rol adicional de dados, que h uma

dependncia de k com a dimenso do sedimento. Para corrigir este efeito, introduziu osfatores k1 e k2, que so funes da dimenso dos sedimentos, figura 4.19, resultando naseguinte relao:(formula 4.47 pg 71)

Esta funo apresentada na figura 4.20.


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- Frmula de Cruickshank Maza (1973)

Esta metodologia de clculo foi desenvolvida para escoamentos turbulentos sobrefundo arenoso, com 0,2 mm


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d84= gd50 (4.48)

O material em suspenso representado pelo dimetro d50.Numa primeira anlise, realizada com dados do Rio Grande (Novo Mxico) e Guy

et alli (1966), os autores obtiveram uma famlia de curvas, que representam a relaofuncional entre os trs adimensionais, figura 4.21. O fator (s-)/foi excludo, uma vez quea anlise se prendeu a dados em que os materiais envolvidos so gua e areia. No diagramaficam definidas claramente as regies de rugas e dunas, transio e antidunas.

As curvas da figura 4.21, foram ajustadas em equaes do tipo exponencial, para oregime inferior e superior resultando em:

u/w50= 6,03 . (h/d84)0,634. J0,456 (4.49)

para o regime inferior, aplicvel quando1/J 70 (h/d84)0,350 (4.50)

u/w50= 5,45. (h/d84)0,644. J0,352 (4.51)

para o regime superior, aplicvel quando1/J 55(h/d84)0,382 (4.52)

Os expoentes das equaes 4.49 e 4.51, referentes profundidade e declividade,aproximam-se dos encontrados por Simons e Albertson para a equao do regime:

v~R2/3. J1/3


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- Frmula de Brownlie (1983)

Esta uma das mais recentes contribuies sobre o assunto (1983), e caracteriza-se,a exemplo de outros mtodos, por partir de uma anlise dimensional, e procurar estabelecerrelaes funcionais simples. Os parmetros adimensionais escolhidos foram:


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-*. (s-)/= h/d50-g desvio padro parmetros da fase slida

distribuio log-normal

- q*= q/(gd3

50)1/2

= u/(gd50)1/2

. h* parmetros da fase lquida- J

No foram considerados o adimensional ((s-)/), e o nmero de Reynolds, o querestringe o mtodo a escoamentos turbulentos. Em se tratando de mistura, um determinadodimetro da mistura representado por:

ds = g50 (4.53)

Brownlie props uma relao do tipo

h.J/d50= (q*, J, ) (4.54)que pode ser expressa da forma

h.J/d50= . q*. J. (4.55)

onde , , e so constantes ajustadas empiricamente, atravs de uma regresso linearmltipla. Os ajustes foram efetuados a partir de levantamentos obtidos de 22 fontesdiferentes. O resultado destes ajustes so:

Regime Coeficientede correlao

Inferior 0,3724 0,6539 -0,2542 0,1050 r = 0,992

Superior 0,2836 0,6248 -0,2877 0,08013 r = 0,999

As 22 fontes utilizadas para o trabalho foram selecionadas para que cobrissem umamplo campo de variao dos parmetros envolvidos.

- Frmula de Raudkivi (1971)

O autor, a partir de uma anlise fsica do processo e utilizando a anlisedimensional, props a seguinte relao funcional:

(um/v*) . l/(l-(*/(*cr)) = (*) (4.56)Esta relao, apresentada na figura 4.22, foi obtida utilizando-se uma grande

quantidade de dados experimentais em canais de laboratrio, e de curvas naturais:


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Na regio que corresponde transio do regime de rugas e dunas para leito plano,h uma grande disperso nos pontos. A maioria destes, situados mais direita da figura4.22 so representativos do regime de leito plano e antidunas. evidente que nesta relaofuncional existem famlias de curvas, porm o autor na sua apresentao no deixa claroeste aspecto.

- Frmula de Tsubaki e Furuya

Utilizando a expresso 4.34, onde a nica indeterminao a rugosidade k,(um/v*) = 2,5 ln (R/K) + 6,0 (4.57)

os autores japoneses, atravs de investigaes de inmeros rios do Japo, propuseram umaexpresso da variao de k com parmetros pertinentes, vlida para o regime de rugas edunas:

log (k/d) = 3,48 (1 0,225*)-1/2 (4.58)

Ishihara, Iwagaki e Sueishi estenderam o trabalho para o regime de leito plano, comdados de experimentos em canais, obtendo a expresso:

k/d = 10 *0,769 (4.59)

Este mtodo foi tratado por Garde e Raju (1966) utilizando dados de cursos

naturais, e os resultados no foram satisfatrios.

4.4.3 Mtodos com a subdiviso da resistncia ao escoamento

- Mtodo de Einstein-Barbarossa (1952)

Este o primeiro mtodo desenvolvido, que sugere a subdiviso da resistncia aoescoamento, considerando:


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0 = 0 + 0 (4.60)onde:

0 = R h (tenso efetiva) (4.60 a)0 = R h (tenso aparente) (4.60 b)

A resistncia ao escoamento devido rugosidade dos gros pode ser calculada por:

um/v*= 5,75 log ( 12,27 (R/ks) . x) (4.61)

que uma variao da equao logartmica, onde o coeficiente 12,27 j conta com acorreo proposta por Keulegan (1938) ao considerar o raio hidrulico em lugar daprofundidade h. o fator de correo x, figura 4.23, que considera os efeitos da viscosidadena camada laminar, para efeito prticos pode ser ignorado. Os autores sugerem, ainda, autilizao da forma simplificada:

um/v* = 7,66 (R/ks)1/6 (4.62)

ks = d65

Essa expresso uma associao das frmulas de Manning (4.38) e Strickler (4.40),

vlidas para o regime turbulento rugoso.A resistncia ao escoamento devido rugosidade de forma, representada peloadimensional u/v*, segundo os autores depende do transporte de fundo, que por sua vez funo do adimensional (viu-se em 4.4.1 que somente a tenso efetiva o a parcelaresponsvel pelo transporte slido de fundo):

=((s-) d35)/ o (4.63)


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Utilizando dados de diversos cursos naturais, Einstein-Barbarossa definiram afuno:

um/v* = () (4.64)representada na figura 4.24.

A objeo feita a este mtodo, que levantamentos realizados em diversos rios,demonstraram que a rugosidade de forma no depende somente do adimensional , como

sugerem os autores. As anlises feitas por Garde e Raju (1966), revelam uma dispersomuito grande entre os pontos experimentais e a curva proposta por Einstein-Barbarossa(1952), figura 4.25.


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- Mtodo de Alam-Kennedy (1969)

Os autores deste mtodo preferiram utilizar a subdiviso da resistncia aoescoamento proposta por Meyer-Peter e Muller, que considera

J = J + J (4.65)

A razo para este procedimento, que a diviso da declividade de fcilcompreenso, sendo portanto, de assimilao mais fcil que a subdiviso proposta porEinstein-Barbarossa (1952).

Inserindo-se o fator de frico f de Darcy-Weisbach, na expresso 4.65, pode-seescrever:

f = f + f (4.66)onde:

f = (8g RJ)/(u2m) (4.66 a)

Nos casos em que o escoamento se d em leito plano com transporte de material, acomponente f correspondente rugosidade de forma deixa de ser significativa, de sorteque:

f = f (4.67)

A partir da anlise dimensional, Lovera e Kennedy (1969) estabeleceram umarelao do tipo:

f' = f (Re, R/d) (4.68)

A diferena fundamental entre este tipo de relao, representada na figura 4.26, e aque considera o escoamento em leito plano sem movimento, consiste em que, quando h


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transporte slido, existe uma forte dependncia entre f e os adimensionais Re e R/d. Nosegundo caso, onde f determinado graficamente pelo diagrama de Moody, o coeficientede rugosidade independe do nmero de Reynolds, quando este tem a mesma ordem degrandeza dos valores apresentados na figura 4.26.

Alam e Kennedy fizeram uso da relao 4.68, para a determinao da componentef. Para a determinao da componente f, utilizaram a anlise dimensional, considerandoas seguintes grandezas envolvidas:

f' = f (um, R, , , g, , , d50, , s) (4.69)

Estas grandezas geraram o seguinte grupo de adimensionais:

f' = f formula 4.70 pag 88ou:f = f 4.71)onde:- desvio padro da distribuio granulomtrica- altura da deformao do leito- comprimento da deformao do leitoFs = um.(gd50)

-1/2 nmero de Froude do sedimento

Aps uma anlise deste grupo de adimensionais, os autores reduziram a relao 4.71a:

f' = f (Fs, h*) (4.72)uma vez que:- as influncias de Re e sno so significativas;- foram considerados somente os casos em que o fluido gua e o sedimento areia,

com s= 2650 kg/m3, e neste caso s* torna-se constante;

- h uma dependncia de /e /d50, com os adimensionais da relao 4.72.


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Utilizando dados de medies de campo, estabeleceram uma relao grfica para arelao 4.72, figura 4.27.

Na figura 4.27, percebe-se uma regio em que f praticamente independe de h*(ascurvas tendem a horizontalizar-se e, neste caso, a relao grfica equivale curva deresistncia do mtodo de Einstein-Barbarossa, seno veja-se:

um/v*= (8/f)1/2 (4.73)

e(formula 4.74 pg 90)

No grfico de Lovera e Kennedy, v-se que f apresenta pouca variao nos diversosdados analisados; portanto lcito escrever:

~ gd50/um2 (4.75)

uma vez que d35 ~ d50. Portanto, nestas condies, os parmetros utilizados na curva deEinstein-Barbarossa, podem ser transformados pelas equaes 4.73 e 4.75, nos parmetrosdas curvas de Alam-Kennedy.

A outra concluso a que se chega que provavelmente a grande dispersoobservada por Ranga Raju (figura 4.25), talvez seja decorrente da utilizao do mtodo deEinstein-Barbarossa fora da regio acima descrita.

- Mtodo d Engelund-Hansen (1967)


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Partindo dos princpios de semelhana, Engelund e Hansen desenvolveram um

mtodo, baseando-se nas seguintes hipteses:As perdas de carga do escoamento se devem s rugosidades do gro e de forma, que

so expressas por uma relao do tipo:

J = J + J (4.76)Onde:J = 0,5 (formula 4.76 (pg. 92)- amplitude de deformao- comprimento da deformao

ou:

f = f +f (4.77)onde:

f=2/(h) (4.77 a)

- No foi considerada a influncia da viscosidade, e portanto qualquer nmero deReynolds est excludo. Desde que a viscosidade foi excluda, este mtodo aplicvel ao regime de dunas e antidunas. Nas aplicaes do regime de rugas pode-se esperar um efeito de escala.

- Dois estgios diferentes de um escoamento, pertencentes ao mesmo regime, soconsiderados semelhantes com escala distorcida. Neste caso as condies desemelhana so:

a) 1 = 2 ou *1 = *2b) as perdas por rugosidade de forma representam a mesma frao nos dois

escoamentos.

Denominando-se uma determinada grandeza, quando em prottipo por 1 e emmodelo por 2, a escala de semelhana ser ento = 2/1. A escala geomtrica nadireo do escoamento ser x e na direo normal ao leito ser y. Do princpio desemelhana possvel escrever-se:

= x (4.78)h = = y (4.78 a)

portanto:(2)/(h) = y/x = distoro (4.79)

A terceira hiptese pode ento ser escrita, matematicamente, na forma:f1= f1+ (1

2)/(1h1) = prottipo (4.80)f2= f2+ (2

2)/(2h2) = modelo (4.80 a)ou ainda:(formula 4.81 pag 94)

Dividindo-se 4.81 por 4.80 obtm-se a expresso:(formula 4.82 e 4.82 a)


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A interpretao que os autores do a esta hiptese de trabalho, que um escoamentoaluvionar tende a ajustar a sua rugosidade, provocando deformaes de fundo similares(num mesmo regime), de acordo com as leis de semelhana, com distoro. Como:

f'/f = J/J =*/* (4.83)

h uma correspondncia entre os valores de * e *, ou seja:* = (*) (4.84)que os autores determinaram experimentalmente, de acordo com a figura 4.28.

A velocidade mdia do escoamento, determinada pela expresso logartmica:um/v*= 2,5 ln(h/ks) + 6,0 (4.85)

onde:v*= v*(*/*) (4.85 a)

ksdwo quando se trata de leito plano sem movimento de sedimentosks2,5 dwo quando se trata de leito com transporte de sedimentosdwo dimetro de sedimentao (ligeiramente inferior ao de peneiramento)

Uma simplificao foi introduzida por Engelund (1967), aproximando a equao4.83 por uma expresso na forma de potncia, o que a torna mais prtica na utilizao:

um/v* = 9,45 (h/ks)1/8 (4.86)No intervalo 13 < h/ks < 1,5 104, a margem de erro desta aproximao inferior a

5%.Portanto, conhecido o valor de * e conseqentemente de *, atravs da funo

4.85, determina-se a velocidade mdia do escoamento, a partir da expresso 4.86.A acuracidade deste mtodo foi testada por Mittal (1968), com o uso de dados de

escoamentos naturais. Na maioria dos casos, os erros das velocidades previstas esteve em


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torno de 30%, dando uma indicao de que este mtodo produz resultados satisfatriospara efeito de aplicao engenharia.

- Mtodo de Chi-Emeka (1975)

Esta recente metodologia (1975), proposta por Chi-Emeka, apesar de ser umatcnica de desdobramento das resistncias de forma e do gro, tem uma conceituaosimples, e tambm de manipulao bastante prtica.Partindo do princpio que a resistncia de forma depende do transporte slido de fundo, eque este, por sua vez, funo da diferena entre a tenso de cizalhamento atuante, e atenso de cizalhamento crtica de incio de arraste, pode-se escrever que:

* = 0/(s-)d50= (0/0cr) (4.87)

O fator de rugosidade de Darcy-Weisbach expresso em funo da razo entre astenses de cizalhamento de forma e gro:

f = 8v*2/u2= (0/0) (4.88)

Utilizando-se dados de diversas fontes, determinaram-se as expresses para as funes 4.87e 4.88 (figuras 4.29 e 4.30):

0/(s-)d50 = 0,0246 (0/c) (4.89)u = 21,75 v*e

-0,20/0 (4.90)


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CapIV - Hidráulica 1

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