CAPÍTULO3 - PRIMITIVAÇÃO

Captulo 3 PRIMITIVAO

CAPTULO 3 PRIMITIVAO

41

CAPTULO 3 - PRIMITIVAO DE FUNES REAIS DE VARIVEL REAL

DEFINIO 1

Seja f uma funo real de varivel definida no intervalo a,b . Chama-se primitiva da funo f em a ,b a

outra funo F definida em a,b , tal que )()( xfxF , para todo o x a,b .

Temos ento

)()()()( xfxFxFxPf

NOTAO

A primitiva de uma funo f(x) representa-se por f x dx ou por Pf x .

EXEMPLO 1

Dada por exemplo a funo 523 2 xxxf podemos encontrar uma outra funo xF , cuja derivada,

xF , seja xf . No caso presente se tomarmos 2523 xxxxF , temos xF 23x 2x 5 ,

que a funo f(x).

Ento, isto significa que a derivada da funo xF a funo xf e tambm que uma primitiva da funo

xf a funo xF .

Decorre directamente da definio de primitiva de uma funo que, se f primitivvel num intervalo I, ou

seja se existe uma primitiva de f em I, ento:

- Existe um nmero infinito de primitivas de f em I.

(Se dxxfxF , ento dxxfCxF , qualquer que seja a constante real C.

- Toda a primitiva de f em I uma funo contnua em I (uma primitiva uma funo derivvel e portanto

contnua)

OBSERVAO:

H funes que no so primitivveis.

DEFINIO 2

A CxF )( chama-se expresso geral das primitivas de f(x), ou famlia das primitivas de f(x). A f(x) chama-se

funo integranda.


42

TEOREMA 1

Se F e H so duas primitivas de f em a,b ento F e H diferem entre si apenas por uma constante no intervalo

a,b , ou seja, C,CxHxF

TEOREMA 2

Se f uma funo contnua em a,b , ento f tem primitiva em a,b , ou seja, primitivvel em a,b .

NOTAO

habitual representar uma primitiva de f(x) por P f(x), ou por dxxf )( .

PROPRIEDADES

1) k,dx)x(fkdx)x(kf

2) Se 1 2 nF(x)=f (x)+f (x)+...+f (x) , em que f1, f2,, fn so primitivveis, ento:

1 2 nF(x)dx= f (x)dx+ f (x)dx +...+ f (x)dx

3. 1 - PRIMITIVAO IMEDIATA

Enquanto que para a derivao o clculo diferencial (em ) nos fornece uma regra de derivao, o mesmo no

acontece com a primitivao.

O problema da primitivao resume-se sempre em transformar a funo que se pretende primitivar numa

decomposio de funes onde cada uma delas d, atravs do seu aspecto, uma pista, da regra de derivao

que a ela conduziu. Em seguida, reduzi-la a uma das chamadas primitivas imediatas que facilmente se

resolver com (ou sem) a ajuda da tabela adequada.

EXERCCIOS 1


43

1. Verifique, usando a definio de primitiva de uma funo, se

I) 2 5x e 2 1000x so duas primitivas de 1

x.

II) 44

19

x x uma primitiva de 32x x .

III) 33

ln( x )arctg

uma primitiva de 2

3

3

x

ln x.

IV) 2 3 2 1

73 3

tarctg

uma primitiva de

2

1

1t t .

2. Calcule as seguintes primitivas:

a) 6

5dx b)

3x dx

c) 3 2x dx d)

3 cossen x x dx

e) 1

1dx

x f)

5

2dx

x

f)

6

6 8dx

x g)

cos( )

( )

xdx

sen x

h) tan 2sec

g xe x dx i)

1

, 0ln

x dx xx

j) 2

2 xxe dx k) 3 3sen x dx

l) 25sec 5x dx m)

5

6

6xdx

x

n)

22

1 2dx

x o)

2

5

1 5dx

x

p)

2cos( )

1

xdx

sen x q)

23 2x dx

r) cossen x

e x dx s)

21

1dx

x

3. Calcule as primitivas das seguintes funes:


44

a) 3

1

x b) 243 1 xx

c) 21

1

x d) 2sec ( x ) tg( x )

e) 1x .ln x f) 3 2xx

g)

2x41

x2arctg

i) 53 xe

j) x

x10 k)

xx

x

4

22

l) tgx m) 2

1

x

e x

n) 44

x

x o)

sen(ln x )

x

p) 24

x

x q)

1

x

x

e

e

r)21

x

x

e

e s)

45

1

x

x

t)2

cos x

1 sen x u)

4

3x

1 x

v) senxe cos x x))xln1(x

1

y) )x2(tg w) 2

5

4 x

z)

2

4 2

x arctg 1 x

x 2x 2 a1)

x

x

e

e 21

b1) 2

1 ln

1 ln

arcsen x

x x

c1)

)xln1(x

xln2

d1) 22 x1ln1x1

x5

e1)

1

2 1xe

f1) 4x94

x

g1) )ecos(e x2x2


45

h1) xsen2

xcossenx

4 i1)

2

3

x

3 ln x

j1) 2x42

1x

k1)

3 2

sen6x

sen 3x 1

l1) 5x

x8

3

m1)

2 23 2

1 2x x

x

n1) 29 25

x

x

e

e 01)

2

2

2

6

x x

x x

e e

e xe

p1) 1

x

x

e

e q1)

21

x

x

e

e

r1) 2

8

3

x

x s1)

28

3 x

t1) 2

8

4

x

x u1)

28

4x

3. 2 - MTODOS DE PRIMITIVAO

3.2.1 - PRIMITIVAO POR DECOMPOSIO

Se 1 2 nF(x)=f (x)+f (x)+...+f (x) , em que f1, f2,, fn so primitivveis, ento

1 2 nF(x)dx= f (x)dx+ f (x)dx +...+ f (x)dx

EXERCCIOS 2

1 - Calcule as primitivas das seguintes funes:

a) 3 2x 5x 2x 1 b) 1 cos( 2x )

2

b) c) 3

2

x tgx

4 cos x d)

senx cos x

cos x

e) 3

1 x f) 2

cos x 3

g) 2

2x xe e h)x 2

x

i) 2

2arctgx

x1

1)x1ln(xe

j)

1 cos 2x2


46

2 - Determine a funo f que satisfaz a equao "f x x 1 e que verifica as condies 1)0(f e

0)0(f .

3.2.2 - PRIMITIVAO POR PARTES

Quando se pretende primitivar um produto de duas funes e no se est perante uma primitiva imediata,

usa-se, de um modo geral, o mtodo de primitivao por partes:

'1 2 1 2 1 2f .f f f f f

que resulta da seguinte identidade:

Seja F(x) = Pf(x) e G(x) =Pg(x).

Derivando o produto de F(x).g(x), obtemos :

)().()().()().( xgxFxgxFxgxF e ento

Mas da definio de primitiva de uma funo podemos escrever que fxF )( , e ento a igualdade anterior

ficar:

)().())().(()().( xgxFxgxFxgxf

Primitivando esta igualdade obtemos:

)().())().(()().( xgxFPxgxFPxgxfP

=F( x).g( x) -P F( x).g ( x)

O sucesso da aplicao deste mtodo est na escolha da funo pela qual se comea a primitivar, assim sendo,

apresentam-se abaixo algumas sugestes:

1) Sabendo-se primitivar apenas um dos factores, por ele que se comea.

1

2

x ln x dx

f ln x

f x

)().())().(()().( xgxFxgxFxgxF


47

2) Se a funo a primitivar o produto de um polinmio por uma funo transcendente:

2.1) Se a funo transcendente tal que a sua derivao conduz a outra funo transcendente

que lhe semelhante ( por exemplo as funes circulares e exponencial), deve-se comear a

primitivar por ela.

1

2

x 1 sen x dx

f x 1

f sen x

2.2) Quando a derivao da funo transcendente conduz a uma funo no transcendente (

por exemplo a funo logartmica e as funes circulares inversas), comea-se a primitivar pelo

polinmio.

1

2

x ln x dx

f ln x

f x

3) Quando existe apenas uma funo cuja primitiva no se conhece, multiplica-se a funo pelo

factor 1 e comea-se a primitivar por este.

1

2

ln x dx

1ln x dx

f ln x

f 1

4) Quando se aplica a regra da primitivao por partes vrias vezes seguidas, pode obter-se no

segundo membro uma primitiva igual que se pretende calcular. Neste caso, isola-se essa

primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se como uma equao, onde a incgnita

a primitiva em causa.

12

sen ln x dx

f sen ln x

f 1


48

EXERCCIOS 3

1- Calcule as primitivas das seguintes funes:

a) xln x b) senxx 1

c) ln x d) 2xe senx

e) arcsenx f) sen(lnx)

g) xe cos2x h) 2xarctg x

i) sen( x) ln(1 sen( x) j) xx5

k) xxe l) )32(3 xe x

m)sen(2x)cos(3x) n) x 2sec x

o) 2

2

ln x

x p) 2arcsenx

q) 2

3

1 x

x

r) xx 2 e

s) 3 2x cos( x ) t) x

xln

u) x2 e)5x2x( v) arctg

x

1

x) xcos3x y) 23 xx e

z) 2

lnx x a1) 3 2cosx x

b1) 2 sx enx c1) 2 ln( 2)x x

d1) x xe arctg e e1) 6x 2 ln x

2 - Determine a funo f que satisfaz 152 xexxf e f 1 f 1 5 .


49

3.2.3 - PRIMITIVAO DE FUNES RACIONAIS

Funo Racional o quociente de dois polinmios inteiros em x e representada por

)x(d

)x(D)x(f

Onde D(x) o polinmio dividendo e d(x) o polinmio divisor.

Na primitivao de funes racionais, o primeiro passo a dar tornar a fraco dada numa fraco prpria (o

grau do numerador menor que o grau do denominador ), caso esta ainda no o seja. Para tal, h que efectuar

a diviso do polinmio D(x) por d(x), obtendo:

)x(d

)x(r)x(Q)x(f

Onde Q(x) o polinmio quociente e r(x) o polinmio resto.

Como a fraco )x(d

)x(r irredutvel, podemos escrever:

dx)x(d

)x(rdx)x(Qdx

)x(d

)x(D

dx)x(Q uma primitiva imediata, pois trata-se de um polinmio. dx)x(d)x(r

poder ser imediata ou no.

Caso no seja, h que determinar as razes do polinmio do denominador e factoriz-lo. Neste caso,

poderemos deparar-nos com quatro hipteses possveis:

A - O polinmio d(x) admite somente razes REAIS E TODAS DIFERENTES.

B - O polinmio d(x) admite somente razes REAIS , ALGUMAS OU TODAS MLTIPLAS.

C - O polinmio d(x) admite razes IMAGINRIAS E DIFERENTES, podendo tambm ter razes reais.

D - O polinmio d(x) admite razes IMAGINRIAS MLTIPLAS, podendo tambm ter quaisquer outras

razes reais ou imaginrias.

Analisemos o caso A, ou seja, o caso de o polinmio d(x) admitir somente razes REAIS E TODAS DIFERENTES

Consideremos d(x) = nnn a...xaxa 110 com razes nx,...,x,x,x 321 todas reais e todas diferentes.

Factorizando d(x), teremos:


50

nxx...xxxxxxa)x(d 3210

logo:

nxx...xxxxxxa)x(r

)x(d

)x(r)x(f

3210

Esta fraco pode decompor-se em n fraces, cujos numeradores so constantes a determinar e cujos

denominadores so cada um dos factores da decomposio. Podemos ento escrever:

n

n

n xx

A...

xx

A

xx

A

xx

A

axx...xxxxxxa

)x(r

3

3

2

2

1

1

03210

1

Os coeficientes podem ser determinados atravs de dois mtodos:

- Mtodo dos coeficientes indeterminados

- Regra prtica do tapa.

EXEMPLOS

1. Determinar a primitiva de

f(x)=)x)(x(

x

32

Podemos escrever:

)x(

A

)x(

A

)x)(x(

x

3232

21

Vamos determinar as constantes atravs do mtodo dos coeficientes indeterminados:

Desembaraando de denominadores, temos:

)AA(x)AA(x

AxAAxAx

)x(A)x(Ax

2121

2211

21

23

23

23

Ento, podemos escrever

3

2

023

1

2

1

21

21

A

A

AA

AA

Determinemos as mesmas constantes atravs da regra do tapa:

)x(

A

)x(

A

)x)(x(

x

3232

21


51

Para determinar 1A : suprime-se fraco )x)(x(

x

32 o denominador de

1A , substituindo na expresso resultante x pelo valor que anula o denominador de 1A , ou seja x = 2:

1A = 23 2

xx

x

Para determinar 2A : suprime-se fraco )x)(x(

x

32 o denominador de

2A , substituindo na expresso resultante x pelo valor que anula o denominador de 2A , ou seja x = 3 :

2A =

3

32 x

x

x

Ento agora estamos aptos a determinar x

dx( x 2)( x 3)

:

dx

)x(dx

)x(dx

)x)(x(

x

3

3

2

2

32

= -2ln(x-2)+3ln(x-3)+C.

2. Calcular 3

3 2

x 1dx

x x 2x

Estamos perante uma fraco racional imprpria (o grau do numerador igual ao grau do denominador) tendo

portanto que efectuar em primeiro lugar a diviso de um polinmio pelo outro, para tornar a fraco numa

fraco prpria:

xxx

xx

xxx

x

2

121

2

123

2

23

3

O segundo passo a dar factorizar o denominador:

)x)(x(x)xx(xxxx 2122 223

Vamos agora decompor a fraco em elementos simples:

2121

12

2

12 3212

23

2

x

A

x

A

x

A

)x)(x(x

xx

xxx

xx


52

Finalmente, determinar os coeficientes 321 AeA,A pela regra do tapa:

2

1

21

12

0

2

1

x)x)(x(

xxA

3

2

2

12

1

2

2

x)x(x

xxA

6

7

1

12

2

2

3

x)x(x

xxA

Ento:

dx

xdx

xdx

xdxdx

xxx

x

2

67

1

32

21

12

123

3

= C)xln()xln(xlnx 26

71

3

2

2

1

NOTA

Quando o polinmio d(x) admitir somente razes reais e todas diferentes, qualquer que seja o nmero de

fraces TODAS AS PRIMITIVAS SO LOGARTMOS.

Analisemos agora o caso B, ou seja, o caso de o polinmio d(x) admitir razes REAIS , ALGUMAS OU TODAS

MLTIPLAS

Consideremos d(x) = nnn a...xaxa 110 com uma raz b de multiplicidade n. Factorizando d(x), teremos:

nbxa)x(d 0

logo:

nbxa)x(r

)x(d

)x(r)x(f

0


53

Esta fraco pode decompor-se em n fraces, cujos numeradores so constantes a determinar e cujos

denominadores so cada um dos factores da decomposio, ou seja:

)bx(

A...

)bx(

A

)bx(

A

)bx(

A

abxa

)x(r nnnnn 2

3

1

21

00

1

Os coeficientes podem ser determinados atravs do mtodo dos coeficientes indeterminados.

3. Determinar dx)x)(x( 311

1

O denominador admite uma raiz simples que 1 e uma raz tripla que 1. Ento podemos escrever:

)x(

B

)x(

B

)x(

B

x

A

)x)(x( 111111

1 32

2

3

1

3

A constante A correspondente raiz simples, calculada como j foi visto nos exemplos anteriores. Temos

ento

8

1

1

1

1

3

x)x(

A

As restantes constantes , relativas raiz de multiplicidade 3, sero calculadas atravs do mtodo dos

coeficientes indeterminados, como se segue abaixo:

)BBB()xBxBx()xBxBx()xBx

(

)x)(x(B)x)(x(B)x(B)x(A

32131

2

3

2

2

23

3

3

2

321

3

8

1

8

3

8

3

81

1111111


54

3

32

31

321

8

10

8

30

8

30

8

11

B

BB

BB

BBB

8

1

4

1

2

1

3

2

1

B

B

B

Finalmente, podemos escrever:

dx)x(

dx)x(

dx)x(

dxx

dx)x)(x(

1

81

1

41

1

21

1

81

11

1233

Cxln)x()x(xlndx)x)(x(

181

14

111

8

1

11

1 123

NOTA

No caso das razes reais mltiplas, as primitivas cujos expoentes do denominador so um, so logaritmos.

Todas as outras primitivas so potncias.

Analisemos agora o caso C, ou seja, o caso em que o polinmio d(x) admite razes IMAGINRIAS

DIFERENTES, podendo tambm ter razes reais.

Consideremos o polinmio d(x) = nnn axaxa 110 , cujas razes so:

1x - raiz real de multiplicidade 1

2x - raiz real de multiplicidade a

3x = a+bi (raiz imaginria)

4x =a-bi (raiz imaginria conjugada de a-bi)

(Nota: Se um polinmio de coeficientes reais admite uma raiz imaginria admite tambm a sua conjugada).

Podemos escrever d(x) como:

d(x) = )bia(x)bia(x)xx()xx(a a 210


55

= 22210 b)ax()xx()xx(a a .

Para efectuar a decomposio de uma fraco em elementos simples, j vimos que cada raiz real , com

multiplicidade 1, d origem a uma fraco do tipo )x(

Ai

.

Para as razes imaginrias, cada par de razes da forma bia , corresponde um trinmio do 2 grau que se

exprime como a soma de quadrados 22 b)ax( e que d origem a uma fraco do tipo 22 b)ax(

BAx

.

4. Decompor a fraco )xx)(xx)(x(x

x

1221

1222

em fraces simples.

Vejamos ento quais as razes do denominador

0 (raiz simples),

1 (raiz dupla),

i1 (raiz imaginria)

i2

3

2

1 (raiz imaginria).

Sabemos ento que 1122 22 )x(xx (decomposio numa soma de quadrados e que

4

3

2

11 22 )x(xx . Ento podemos escrever que:

4

3

2

1111

12

222 )x()x()x(x

x

4

3

2

11111 22

3

2

21

)x(

DCx

)x(

BAx

)x(

A

)x(

A

x

A

Temos assim a fraco dada decomposta em fraces simples.

5. Calcular dx)x( 1

13

.


56

O primeiro passo a dar efectuar a factorizao do denominador para posteriormente se decompor a

fraco em elementos simples. Aplicando a regra de Ruffini obtemos:

)xx)(x(x 111 23

A raiz de (x-1) 1 e as de 12 xx so os nmeros imaginrios i2

3

2

1

e i

2

3

2

1

. Ento o

polinmio )xx( 12 no se factoriza, mas para efeitos da primitivao decompe-se numa soma de

quadrados. Assim sendo:

2

2 1 3( x x 1) x2 4

e a decomposio da fraco ser:

4

3

2

1111

1

1

12

21

23

x

BxA

)x(

A

)xx)(x(x.

Teremos agora que determinar o valor das constantes 1A , 2A e B. Para determinar o valor de 1A , usamos a

regra do tapa e para determinar o valor das restantes usaremos o mtodo dos coeficientes

indeterminados. Assim sendo, temos:

3

1

1

1

1

21

xxxA

Para a determinao de 2A e B:

BAx)BAA(x)AA(

)x)(BxA()xx(A

121

2

21

2

2

1

1

111

logo

1

0

0

1

21

21

BA

BAA

AA

3

2

3

1

3

1

2

1

B

A

A

Resta-nos agora calcular a primitiva:


57

32

1 2x1

1 3 3 3dx dx dx1 3x 1 ( x 1)

( x )2 4

.

Comecemos pela primeira parcela, que uma primitiva imediata:

113 dx ln x 1

x 1 3

.

Vamos agora segunda parcela:

2

1 2x

3 3 dx1 3

( x )2 4

.

dx

x

dx

x

x

dx

x

x

4

3)

2

1(

3

2

4

3)

2

1(

3

1

4

3)

2

1(

3

2

3

1

222

=

dx

x

dx

x

x

4

3)

2

1(

1

3

2

4

3)

2

1(

112

2

1

3

1

22


58

3.2.4 - PRIMITIVAO DE FUNES TRIGONOMTRICAS

Atravs de frmulas conhecidas da trigonometria, possvel calcular a primitiva de algumas potncias de

funes trigonomtricas.

I - POTNCIAS DE FUNES TRIGONOMTRICAS

1. Potncias mpares de sen x , cos x

Destaca-se uma unidade potncia e potncia de expoente par aplica-se uma das frmulas

fundamentais:

sen x+ cos x =12 2

2. Potncias pares de sen x , cos x

Passam-se para o arco duplo atravs das frmulas :

sen x =1

2(1-cos 2x)2

ou

cos x =1

2(1+ cos 2x)2

3. Potncias pares e mpares de tg x , cotg x

Destaca-se tg2x, cotg2x, th2x, coth2x e aplica-se uma das frmulas:

tg x = sec x -12 2

cotg x = cosec x -12 2

4. Potncias pares de sec x , cosec x

Destaca-se sec2x, sech2x, cosec2x, cosech2x e ao factor resultante aplica-se uma das frmulas:

sec x = 1+ tg x2 2

cosec x = 1+ cotg x2 2


59

5. Potncias mpares de sec x , cosec x

Destaca-se xcosec x,sec 22 e primitiva-se por partes comeando por esse factor.

II - PRODUTOS DE POTNCIAS DAS FUNES SEN X E COS X

1. Potncia mpar em sen x por qualquer potncia em cos x

Destaca-se sen x ou sh x e o factor resultante passa-se para a co-funo atravs da frmula fundamental :

sen x =1-cos x2 2

2. Potncia mpar em cos x por qualquer potncia de sen x

Destaca-se cos x e o factor resultante passa-se para a co-funo atravs da frmula fundamental :

cos x =1-sen x2 2

3. Potncia par em sen x por potncia par em cos x

Aplicam-se as frmulas :

sen 2x=2 sen x cos x

2 1-cos 2xsen x=2

ou 21+cos 2x

cos x=2

IIIIII -- PPRROODDUUTTOOSS EEMM QQUUEE AAPPAARREECCEEMM FFAACCTTOORREESS DDOO TTIIPPOO SSEENN((mmxx)) EE CCOOSS((nnxx))

Aplicam-se as frmulas :

1

sen x sen y= cos(x-y)-cos(x+y)2

1

sen x cos y= sen(x+y)+sen(x-y)2

1

cos x cos y= cos(x+y)+cos(x-y)2


60

IIVV -- PPRROODDUUTTOOSS EEMM QQUUEE AAPPAARREECCEEMM PPOOTTNNCCIIAASS DDAASS FFUUNNEESS TTAANN((XX)) EE SSEECC((XX))

a) Se a potncia da secante par, destaca-se 2sec x e usa-se a frmula 2 2sec x 1 tg x para

expressar os factores remanescentes em termos de tg(x).

b) Se a potncia da tangente mpar, destaca-se um factor de sec(x)tg(x) e usa-se a frmula

2 2tg x sec x 1 para expressar os factores remanescentes em termos de sec(x).

EXERCCIOS 4

9- Calcule as primitivas das seguintes funes:

a) senx cos x b) senx 3 cos x c) cosec x d) 3 2tg x sec x

e) 3tg xcos x f) 3cos x

g) 4sen x h) 3sec x i ) 3tg x j) 2 2sen xcos x

k) 4sec x l) 3tg x + 4tg x

m) 3sen x n) 2sec x

cotg x o)

2sec x

3 2tgx p)

2

2

sec x

3 tg x

q) 4 6sec x tg x r) 7 5sec x tg x

s) sen 4xcos 5x t) cosx cos(2x)


61

3.2.5 - PRIMITIVAO POR SUBSTITUIO

Em certos casos no possvel determinar dx)x(f devido natureza da expresso analtica de funo f(x).

Para contornar este problema, procura-se uma mudana de varivel que permita calcular a primitiva. isto

que o mtodo da substituio faz.

Este mtodo consiste no seguinte:

Seja f(x)dx . Se substituirmos a varivel x por g(t), sendo esta uma funo injectiva e derivvel,

teremos:

x = g(t) e dttgxd )()(

Ento:

CCdttgtgfdxxf ,

Primitivando a funo assim obtida em ordem varivel t e seguidamente substituindo t por 1( )g x .

Tem-se ento:

CCdttgtgfdxxf xgt ,1

EXEMPLO

Determinar dxxa 22

Vamos efectuar a seguinte substituio: x= g(t) = a sent. Teremos ento tcosa)x(g , logo:

2 2 2 2a x dx ( a (asent) acost ) dt

= 2 2( a (1 sen t ) acost ) dt

= acost acost ) dt

=a 2 2cos t dt

Ora esta primitiva j nossa conhecida (primitiva de uma funo trigonomtrica (potncia par de cost). Logo:

a 2 tdtcos2 =

dt

tcosa

2

212


62

= dttcos

adta2

2

2

1 22

=

)t(sent

a2

2

1

2

2

Voltando varivel x, temos:

x = arcsen(t), logo )a

x(arcsentesent

a

x

sen(2t)=2sen(t)cos(t) e sen(t) = a

x, logo sen (2t)= 2

2

1

a

x

a

x( lembre-se que 122 tcostsen ).Logo:

dxxa22

22

12

1

2 a

x

a

x

a

xarcsen

a+C.

Resumindo:

Para efectuar o processo de primitivao por substituio no clculo de uma primitiva f x dx , deve-se

proceder do seguinte modo:

i) Identificar a mudana de varivel adequada x g t , onde g uma funo diferencivel e

invertvel.

ii) Calcular f g t g t dt

iii) Substituir no resultado obtido na alnea anterior a varivel t por 1( )g x .

A escolha da funo que vai substituir a varivel x (passo ii) depende do tipo de funo em causa. A cada tipo

de funo corresponde uma substituio adequada que pode ser vista nas tabelas de primitivao por

substituio.


63

EXERCCIOS 5

1.Calcule as primitivas das funes abaixo, usando primitivao por substituio.

a) 24 x b)

x 1

x 1 c) 21 4x d)

x

3x x

e

e e e)

1 sen x

1 cos x

f) x

x

3

1 9 g)

2

2

9 x

x h)

2ln x

,x 0x

i) 3

x

x x j)

x 1x

x 1

k) 3

2

x

2 x l)

1

3

x

x

EXERCCIO 6

1. Utilizando as tcnicas de primitivao que aprendeu, determine as primitivas das seguintes funes:

a) 2

3

4

2

x

x x

b) xe sen(x) c)

2

22 ln

x

xxx

d) cos(ln(x)) e) xx

xx

)1(

132

2

f)

92

3

x

x

g) )ln1(

)(ln(2 xx

xarctg

h)

xx

x

33

32

i) x

x

e

e

4

2

1

j)

2ln

21 4 ln

arctg xe

x x k)

92

3

x

x l) )x(sen)x(gcote x

m) x

x))cos(ln( n)

x

x

e

e2

3

1

o) 2)1(4

1

x

p) 2arcsen xx q)2x1

x

r) xx

x

2

s) x

x )1ln( t )

)1x(x

1

22 u)

2

1

2 xx

v) 21

21

xx

xx x)

xx 2

1

2 z) 222 xx

a1) 21

1

xx a2)

24 x a3) x

x

1

a4)

1

1

2 x

a5) 43

1

2

xx

x a6)

3

1

xx

x


64

a7) 1

2

x

x

e

e a8)

161

3

x

x a9)

)2()1(

1

3 xx

a10) 232 32 xx a11) 23

31

2

xx a12) xe sen(3x)

a13)

2

3

2 22

1ln

5

11

1 ln5

xarcsen

xx dx

xx

a14) x 1

x

a15) 5 x

x a16)

2arcsenx

1 x a17)

x

2 x

e

e 1

2. a)i) Mostre que

2 2

3 4 3

ln t 1 x 1dt dx

t ln t ln t 1 x x

ii) Atendendo a que

2

2 31

4 3 3 2

A AAx 1 B

x x x x x x 1, determine as constantes 1 2 3A ,A ,A e B e

determine

2

3

ln t 1dt

t ln t ln t 1

.

b) Determine a funo que verifica as seguintes condies:

f x ln x e f 1 1 .

3. Mostre que

a)i) dtt

tdx

x

x

1

61

3

73

ii) 13

7

t

t=

134

t

ttt

iii)

4

3

2

11123

t

CBt

t

A

t

t

b) Calcule a constante A da alnea anterior.

4. Determine a funo Df : que satisfaz as condies

xe

xxf

21

e 00 f .

5.a) Utilizando o mtodo de primitivao por partes, mostre que

dxxx

xdx

x

x

222

32

2

1

1

11

.


65

b) Calcule

dxx 21

1, usando uma substituio adequada.

c) Indique uma primitiva para a funo

232

2

11 x

x

x

xxf

CAPÍTULO3 - PRIMITIVAÇÃO

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