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CAPÍTULO 1 Retas, Pontos e Planos no Espaço

Objetivos

I. Relembrar alguns conceitos básicos da geometria plana;

II. Utilizar os postulados que relacionam ponto, reta e plano;

III. Estabelecer posições relativas entre retas, entre retas e

planos e entre dois planos;

Introdução

Neste capítulo1, inicialmente veremos um pouco da história da geometria

de forma resumida, dando uma visão geral da disciplina; mas nosso

enfoque será a Geometria Euclidiana Espacial, que chamaremos de

Geometria II.

A seguir relembramos as idéias iniciais, que são introduzidas no ensino da

Geometria Plana, apresentando os alguns conceitos básicos, necessários à

compreensão do texto como um todo, de modo a dar suporte àqueles

leitores que nunca viram ou aprofundaram seus estudos na disciplina de

Geometria I.

Como a geometria é uma parte da matemática, serão necessários um

pouco de intuição e raciocínio lógico no decorrer da leitura. Entretanto só

através da resolução de exercícios propostos o leitor poderá fixar o

conteúdo, e aplicá-lo de forma contextualizada e integrada às demais

ciências.

Boa leitura.

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História da Geometria

O mundo em que vivemos é repleto de formas geométrica, as mais

variadas possíveis. Portanto acredita-se que o homem se apropriou desse

conhecimento e o desenvolveu como ciência até os dias atuais. Mas, foi

Euclides de Alexandria, 300 a.C. que organizou e o sistematizou, reunindo

grande parte desse conhecimento em sua obra de 13 volumes, chamada,

“Os Elementos”.

Existem outras contribuições muito importantes, antes de Euclides, como a

de Pitágoras de Samos, Tales de Mileto, e após Euclides surgiram também

os trabalhos de Arquimedes e Eratóstenes. Depois surgiram outras

geometrias, talvez motivadas pelo quinto postulado de Euclides, segundo o

qual, “dado uma reta qualquer e um ponto fora desta reta, existe uma única

paralela à reta dada, passando por este ponto”.

Essas outras geometrias, chamadas não-euclidianas, foram estruturadas

inicialmente por Riemann, Lobachevski e Gauss.

A geometria euclidiana é por vezes, também chamada de parabólica; a

geometria de Lobachevski, é chamada hiperbólica e a geometria do

Riemann, é conhecida como elíptica ou esférica.

Estas duas últimas novas geometrias, chamadas de não-euclidianas,

permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os

quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955). O

que permitiu provar que essas teorias, ao contrário do que muitos

afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.

Atualmente os tipos de geometrias existentes se multiplicam de acordo com

a evolução e necessidades do homem. Para aprofundar seu conhecimento

em geometria, sugerimos ao leitor que faça uma pesquisa sobre os tipos de

geometrias existentes hoje, descobrindo quais as suas finalidades e

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propósitos.

É oportuno lembrar que a geometria acompanha o homem desde os

primórdios de nossa civilização, onde quer seja, pois se faz presente na

natureza, na arte, nas construções, nas curvas de sua própria forma

humana, e por fim torna realidade um projeto artístico onde modela traços

representativos de sua cultura.

Veja a seguir, algumas geometrias:

Geometria Euclidiana é a geometria sobre planos ou em três dimensões

baseados nos postulados de Euclides de Alexandria;

Geometria computacional estuda os problemas geométricos sob o ponto

de vista algorítmico numa abordagem geométrica; tais como: computação

gráfica, robótica, sistemas de informações geográficas, visão

computacional, processamento de imagens, entre outras;

Geometria projetiva é o estudo das propriedades descritivas das figuras

geométricas;

Geometria analítica é o estudo da geometria através dos princípios da

álgebra;

Geometria descritiva estuda a representação dos objetos de três

dimensões em um plano bidimensional;

Geometria esférica é a geometria da superfície bi-dimensional duma

esfera; é um exemplo de geometria não euclidiana;

Geometria hiperbólica é o estudo da geometria numa superfície de

curvatura negativa, como numa sela;

Geometria elíptica, aquela na qual a soma dos ângulos de um triângulo é

maior que 180 graus.;

A geometria elíptica tem como caso particular a geometria esférica.

Geometria dos números complexos trata da representação dos números

complexos como vetores de um plano, chamado plano de Gauss;

Geometria molecular é o estudo de como os átomos estão distribuídos

espacialmente em uma molécula.

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Primeiras Noções

Entes Geométricos

Os entes geométricos elementares, que fundamentam a geometria, são:

pontos, retas e planos. Esses entes geométricos elementares são aceitos

sem nenhuma definição.

Notação Pontos Retas Planos

Textual

A, B, C, D,..., Z

a, b, c, d,..., z

α, β, γ, δ,..., Ω

Gráfica

• •

Conceitos e Proposições

Na geometria os conceitos primitivos, são aceitos sem demons-tração.

Espaço - é o conjunto de todos os pontos. Na geometria espacial, há três

dimensões.

Exemplo: Qualquer conjunto de pontos, uma reta, um quadrado, um círculo

ou um plano, é um subconjunto do espaço.

Axioma - princípio tão evidente, que não precisa de demonstração. Em

matemática, o termo “axioma”, “postulado” e “hipótese”, são palavras

sinônimas.

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Exemplo 1 - Axioma Fundamental – “Existem infinitos pontos, retas e

planos.”

Exemplo 2 - “Dois pontos distintos A e B, determinam uma reta ←→

AB ”

Postulado - Afirmação ou fato admitido como ponto de partida, sem

necessidade de demonstração. Veremos outros postulados mais adiante.

Veja os exemplos abaixo.

Exemplo 1 - Postulado da reta – “Por um ponto, passam infinitas retas”.

Exemplo 2 - Postulado de determinação – “ Dois pontos distintos,

determinam uma única reta que passa por eles”.

Proposição - Afirmação lógica que faz parte de um argumento, podendo se

verdadeira ou falsa; é uma entidade abstrata, pensamento que uma frase

declarativa exprime literalmente.

Exemplo 1 - Por dois pontos passa uma única reta. ( F )

Exemplo 2 - Três pontos não-colineares determinam um plano. ( V)

Argumento - É um conjunto de proposições que utilizamos para provar algo. O

argumento se compõe de premissa e conclusão.

A sentença do exemplo logo abaixo, esta estruturada do seguinte modo:

(premissa logo, conclusão)

Exemplo 1 - A, B, e C são pontos distintos e colineares logo, existe uma

reta que passa por eles.

Simbologia - Grande parte dos símbolos usados na teoria dos conjuntos

será usada a partir desse ponto, e para maior comodidade vamos citar

alguns deles no quadro abaixo, para que você possa interpretar melhor sua

leitura.

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Símbolos Significado Símbolos Significado ∈ pertence ∩ intersecção ∉ não pertence ∪ união ∅ conjunto vazio ⊂ está contido ∃ existe ⊄ não está contido ∃ ! existe um só ⊃ contém ∄ não existe ⊥ perpendicular ∀ para todo ortogonal

AB segmento × concorrente com

≠ diferente ⇒ então ≡ coincidentes ( equivale

/ / paralela a α r β diedro

r α semi-plano AÔB ângulo

Vamos exemplificar com a leitura de algumas sentenças:

1) P ∉ r ... o ponto P não pertence à reta r;

2) ∃ ! α | s ⊂ α ... existe um só plano α tal que, a reta s esta contida em α;

3) α // β ⇒ α ∩ β = ∅ ... se os planos α e β são paralelos, então a

intersecção é o conjunto vazio.

Teoremas - São proposições que podem ser aceitas como verdadeira por

meio de deduções lógicas, mas, necessita de demonstração. O teorema se

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compõe de duas partes: Hipótese e Tese.

A demonstração do teorema também se compõe de duas etapas,

existência e unicidade.

Exemplo: Teorema 1 – Dada uma reta e um ponto fora dela, então eles

determinam um único plano que os contém.

.

Sejam, M o ponto, r a reta, e α o plano.

Hipótese: M ∉ r Tese: ∃ ! α | A ∈ α e r⊂ α

Demonstração do teorema:

1ª etapa - Existência:Tomando dois pontos distintos A e B em r, temos que

A, B e M não sendo colineares, (pois A, B∈r e M∉r) determinam um

plano α .

α = (A, B, M) ⇒ M∈ α Isto é o plano α contém o ponto M.

como α = (A,B,M) e A ≠ B e além disso A,B∈ r ⇒ r⊂ α; “ou seja” ,o plano

α contém a reta r.

2ª etapa – Unicidade: Vamos mostrar que α, é o único plano determinado

por r e M. Se existissem α e α’ distintos, passando por r e M, teríamos:

[α = (r, M); A, B ∈ r] ⇒ α = (A,B,M)

⇒ α = α’

[ α’ = (r,M); A,B ∈ r] ⇒ α’ = (A,B,M)

Logo não existe mais que um plano (r,M), portanto ∃ ! α | A ∈ α e r⊂ α.

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Postulados que relacionam ponto, reta, e plano

P1. A reta é infinita;

P2. Por um ponto qualquer, podem ser passar infinitas retas;

P3. Por dois pontos distintos, pode passar uma única reta;

P4. Um ponto qualquer de uma reta, divide essa reta em duas semi-retas;

P5. Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

P6. Por três pontos não-colineares passam um único plano;

P7. O plano é infinito ou ilimitado;

P8. Por uma reta podem ser traçadas uma infinidade de planos;

P9. Toda reta pertencente a um plano, o divide em duas regiões chamadas

semi-espaço.

O 5º Postulado

“Existe uma única reta que passa num ponto dado e é paralela a uma

reta dada”(ver FIG1)

Embora Euclides tenha enunciado vários postulados, o 5º postulado é

conhecido como postulado de Euclides.

Isso porque, foi a partir dele, que surgiram todas as demais geometrias

não-euclidianas. Os postulados são importantes porque nos ajudam a

provar os teoremas.

FIG1

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Os postulados utilizados por Euclides nos Elementos, são os

seguintes:

P1. Pode-se traçar uma única reta ligando quaisquer dois pontos;

P2. Pode-se continuar (de uma maneira única) qualquer reta finita

continuamente em uma reta;

P3. Pode-se traçar um círculo com qualquer centro e com qualquer raio;

P4. Todos os ângulos retos são iguais;

P5. Se uma reta, ao cortar outras duas, forma ângulos internos, no mesmo

lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então estas duas retas

encontrar-se-ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que

dois ângulos retos.

Posições relativas de duas retas

No espaço duas retas distintas, podem ser: concorrentes, paralelas ou

reversas.

Exemplo 1 - Considere que os pontos, as retas e os planos citados são

distintos e verifique se cada afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F)

a) Por dois pontos passa uma única reta; ( V )

b) Três pontos são sempre colineares; ( F )

c) Existem três pontos não-coplanares; ( F )

r ∩ s = P r ∩ s = Ø r ∩ s = Ø FIG2

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d) Pontos coplanares podem ser colineares. ( V )

Exemplo 2 - As retas r e s têm dois pontos em comum. Então elas são: a)

paralelas distintas, b) paralelas iguais, c) não-colanares

Solução: Por definição se duas retas tem um ponto comum, são

concorrentes, portanto as retas não são concorrentes. Se a reta não tem

pontos comuns, então são paralelas distintas, que não é o caso de r e s.

Logo elas são paralelas iguais ou coincidentes.

Casos particulares

1) r ⊥ s perpendiculares ;

2) s t ortogonais, onde r // t.

Exemplo 1 - Coloque verdadeiro (V) ou falso (F) nas sentenças abaixo:

a) Duas retas distintas são sempre paralelas ou concorrentes; ( F )

b) Retas reversas não são paralelas nem concorrentes; ( V )

c) Duas retas não-coplanares são sempre reversas; ( F )

d) Duas retas são reversas quando não existe um plano que as contém. (V)

Exemplo 2 - Marque três pontos distintos A, B, e C numa reta r e um ponto

D fora de r. Quantas retas ficam determinadas por estes pontos?

Solução: Quatro retas determinadas pelos pontos: AB, AD, BD e CD

FIG3

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Determinação de planos

O plano fica determinado de maneira única, quando temos:

Exemplo 1 - Coloque verdadeiro (V), ou falso nas sentenças abaixo.

Um plano fica determinado por:

( F ) uma reta e um ponto qualquer.

( F ) por duas retas reversas.

( F ) por duas retas não paralelas.

Exemplo 2 - Quantas retas ficam determinadas pelos vértices de um

losango ?

Solução: São seis retas, sendo que quatro correspondem aos lados e as

outras duas são as diagonais.

Exemplo 3 - Quantas são as retas determinadas pelos vértices de um

cubo?

Solução: São ao todo 28, sendo que 12 correspondem às arestas, 12

diagonais das faces, e 4 são diagonais do próprio cubo.

Nota: Se duas retas são perpendiculares, então são sempre ortogonais; Se duas retas são ortogonais, podem ser perpendiculares ou não.

FIG4

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Posições relativas de Reta e Plano

r ⊂ α r ∩∩∩∩ α = P r //s e s ⊂ α ⇒⇒⇒⇒ r // α

Exemplo 1 - Uma reta s é concorrente com um plano α, Se r é uma reta de

α, quais podem ser as posições relativas de r e s?

Solução: Suponha que a intersecção de s e α é o ponto P. Então há duas

possibilidades: A reta r contém ou não o ponto P. Se contém, é concorrente

com s, caso contrário s e r são reversas.

Exemplo 2 - Uma reta s é paralela a um plano α. Se r é uma reta contida

em α, quais podem ser as posições relativas de r e s?

Solução: Como s é paralela ao plano α, jamais podem ser concorrentes,

então só podem ser paralelas ou reversas.

Exemplo 3 - Dois planos α e β, são paralelos distintos e uma reta r é

paralela a α. Quais as posições relativas de r e β.

Solução: r esta contida em β, ou r é paralela a β.

Nota: Observe que A, B e C são pontos distin-tos e não são coli-neares.

FIG5

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Posições relativas de dois planos

Exemplo 1 - Coloque verdadeiro (V) ou falso (F), nas sentenças:

a) Se α e β são planos paralelos, então α ∩ β =Ø ; . ( F )

b) Se α e β são planos paralelos e distintos, então α ∩ β =Ø; . ( V )

Exemplo 2 - Diga se são verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações:

a) Dois planos paralelos a uma reta, são paralelos entre si; ( F )

b) Se dois planos são paralelos, qualquer reta de um deles é paralela a

qualquer reta do outro; ( F )

c)Se um plano intersecta dois planos paralelos, então as intersecções são

paralelas; ( V );

d) Se dois planos são paralelos, então qualquer reta que intersecta um

deles também intersecta o outro; ( V )

e) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.

( F )

Perpendicularismo

Perpendicularismo entre reta e plano

Para que uma reta r, seja perpendicular a um plano α, basta ser

Perpendicular a duas retas de α.

FIG6

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Propriedades sobre perpendicularidade entre reta e plano

1ª Propriedade: Para que uma reta seja perpendicular a um plano é

necessário e suficiente que ela seja perpendicular a duas retas

concorrentes desse plano no ponto de intersecção;

2ª Propriedade: Por um ponto de uma reta (ou fora dela) existe somente um

plano perpendicular a essa reta;

3ª Propriedade: Se uma reta é perpendicular a um plano, qualquer reta

paralela a ela é também perpendicular ao plano;

4ª Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é

também perpendicular ao outro;

5ª Propriedade: Dada uma reta r perpendicular a um plano α no ponto P,

uma reta s, contida em α, que não passa por P, uma reta t, contida em α,

que passa por P e é perpendicular a s no ponto A. Então, se B é um ponto

de r, a reta AB é perpendicular a reta s.

FIG7

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Perpendicularismo entre planos

Dois planos α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta

de um deles que é perpendicular ao outro.

Então α ⊥ β ⇒ ∃ r ⊂ β e r ⊥ α

Dado um plano α, existe uma infinidade de planos perpendiculares que

podem ser paralelos ou secantes entre si.

FIG8