Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A 1o Lei da Termodinâmica considera a energia fornecida,

retirada e que se acumula em um sistema ou volume de controle

Classificação da energia em 2 categorias

Capítulo VI - Conservação de Energia: Abordagem para

volume de controle

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Energia armazenada Energia em transição

associada a uma massa Energia que passa de um

sistema a outro1

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Análise para o Sistema

Q

W

sistema

Sistema arbitrário, que pode se mover e se deformar sem restrição, mas

não pode transferir massa através de sua fronteira

Trabalho líquido executado

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Calor líquido adicionado

ao sistema

Trabalho líquido executado

pelo sistema

sobre as vizinhanças durante o intervalo de tempo ∆t

Energias em Transição 2

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Calor é a energia em transição de uma massa para outra,

resultante de uma diferença de temperatura

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Trabalho é a energia em transição para ou de um sistema, quando

forças externas, atuantes sobre o sistema, movem-se

através de uma distância

3

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Energia Total Armazenada Q - W = ∆E

∆E = Ec + Ep +U

1o Lei da termodinâmica pode ser escrita na forma diferencial

WQdE δδ −=

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

WQdE δδ −=

* lembrar que não são diferenciais exatas

pois dependem do caminho

dtdtDt

DE WQ δδ−= Energia total do sistema em um

intervalo de tempo4

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Campo de escoamento t)z,y,(x,vr

IIIIIILinhas de corrente

num tempo t

x

y

z

Configuração do Sistema e Volume de Controle em um

Campo de Escoamento

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I num tempo tz

VC estacionário

Região I : ocupada pelo sistema no tempo t (sist. e VC coincidem)

Região II : ocupada pelo sistema no tempo t+∆t

Região III : ocupada pelo sistema nos tempos t e t+∆t 5

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Energia total do sistema

No tempo t:

No tempo t+∆t

tIIItItEEE +=

EEE +=

(1)

(2)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

ttIIIttIIttEEE

∆+∆+∆++=

t

EEEE

t

EEtIIItIttIIIttIIttt

∆

−−+=

∆

−∆+∆+∆+

(2)

(3)

Subtraindo (1) e (2) e dividindo pelo intervalo de tempo ∆t, obtém-se:

6

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Agrupando os termos e levando ao limite quando ∆t tende a zero(0)

t

EElim

t

EElim

t

EElim tIttII

0t

tIIIttIII

0t

ttt

0t ∆

−+

∆

−=

∆

−∆+

→∆

∆+

→∆

∆+

→∆

Termo 1 Termo 2 Termo 3

(4)

Definição de cada termo:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Definição de cada termo:

Termo 1

Termo 3

Energia total: expressa a 1o Lei da Termodinâmica

Termo 2 Taxa de variação da energia total do sistema VC

Taxa líquida da energia saindo através da

SC em um intervalo de tempo ∆t7

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

=−

que energia de Taxa

fluido do escoamento ao

devido VC do sai que

energia de Taxa

as vizinhanças sobre

VC pelo realizado

trabalhode Taxa

VC o para

as vizinhançdascalor

de adição de Taxa

Fisicamente a 1o Lei da Termodinâmica pode ser escrita:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

(5)

+−VC do dentro energia

de acúmulo de taxa

fluido do escoamento ao

devido VC no entra

que energia de Taxa

8

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Aplicando para o volume de controle geral em um campo de

escoamento e avaliando cada termo

dA

rv

θ

linhas de corrente

num tempo t

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escoamento de fluido através de um volume de controle

dArn

θnum tempo t

9

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Taxa de adição de calor para o VC

Taxa do trabalho realizado pelo VC

t

Q

∂

δ

t

W

∂

δ

Taxa de energia que sai do VC )v.dA.cos.( θρe

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Taxa de energia que sai do VC

através de dA)v.dA.cos.( θρe

Taxa de massa que sai do

VC através de dA

Energia específica ou energia

por unidade de massa

10

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Energia específica - e

Energia cinética Energia potencial Energia interna

v 2gy u

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

2

v 2gy u

Velocidade do

fluido

Posição do fluido contínuo

no campo gravitacionalEstado térmico

ugz2

ve

2

++=Então:11

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

A quantidade dA.cos θ representa a área, dA, projetada normal ao

vetor velocidade,vr

Theta(θ) é o ângulo entre e o vetor normal, direcionado

para fora de dA

vr

nr

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Escreve-se: [ ] )dAn.v(cosnvdA)(dA.cos v).(rrrr

ρθρθρ eee ==

massa e movimento

Similaridade

12

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Integrando essa quantidade sobre a superfície de controle, tem-se:

∫∫=

−

SC)dAn.v(e

VC do entra que

energia de taxa

VC do sai que

energia de taxa rrρ

Efluxo líquido

de energiaTaxa de acúmulo de energia no VC

∂

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

∫∫∫ ∀VC

det

ρ∂

∂

( ) ∫∫∫∫∫ ∀ρ∂

∂+ρ=

δ−

δVCSC

et

n.edd

ddAv t

W

t

Q rr

Forma Final da 1o Lei da termodinâmica:

13

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

3 tipos de trabalho

Trabalho de eixo, WsTrabalho efetuado na SC

pelas tensões tangenciais, Wτ

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Trabalho efetuado na SC pelas

tensões normais, Wσ

(trabalho de escoamento)

pelas tensões tangenciais, Wτ

14

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Trabalho de escoamento e

cisalhante para um VC geralrv

rn

Sr

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

direções normais e

tangenciais a superfície

Sr

intensidade de força componentes σii e τij

Força = dASr

15

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Taxa do trabalho realizado pelo

escoamento do fluido através de dA vdA.Srr

Taxa líquida do trabalho realizado

pelo VC nas vizinhanças devido a

presença de Sr

∫∫−SC

.dAS.vrr

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Então, re-escreve-se:

( ) ∫∫∫∫∫∫∫ ∀+=+−VC

dt

dA.v .dAS.vdt

W

dt

Q s ρ∂

∂ρ

δδene

SCSC

rrrr

Taxa de trabalho de eixo16

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Escrevendo as componentes de , com o obtêm-se:nr

iiσSr

Taxa líquida do trabalho realizado na tensão normal

( ) ∫∫∫∫∫∫ ==SCSCSC

).dAn.v.(.dAn..v.S.dAv iiii

rrrrrσσ

normal

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Taxa de Trabalho

dt

W

dt

W

dt

W

dt

W s τσ δδδδ++=

( )dt

Wn.v

dt

W

SCii

s τδ+σ−

δ= ∫∫

rr

17

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Incluindo os termos do trabalhos na equação geral:

( ) ( ) ∫∫∫∫∫∫∫ ∀+=−+−VC

dt

dA.v dt

WdA.v

dt

W

dt

Qii

s ρ∂

∂ρ

δσ

δδ τ enenSCSC

rrrr

Forma Usual: Simplificação

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

Agrupa-se a porção viscosa para a tensão normal com o trabalho

cisalhante para ter um simples termo:

dt

Wµδ

O termo da tensão normal= Σ efeitos de pressão e viscosos

18

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous( ) ( )

dt

WdA.v

dt

WdA.vii

µτδδ

σ −=− ∫∫∫∫ SCSCnPnrrrr

Termos do trabalho de escoamento e cisalhamento pode ser escrito:

Forma Final:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

( ) ∫∫∫∫∫ +∀++=−VC dt

Wd

tdA.v

dt

W

dt

Q s µδρ

∂

∂

ρ

δδen

Pe

SC

rr

19

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Equação de Bernoulli

Sob certas condições de escoamento:1. Escoamento Permanente

2. Fluido incompressível

3. Escoamento unidimensional

4. Fluido invíscido

5. Sem perdas por fricção

6. Não há Transferência de Calor

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

6. Não há Transferência de Calor

7. Sem trabalho de eixo

8. Não há variação da energia interna

9. Propriedades constantes nas seções 1 e 2

( ) ∫∫∫∫∫ +∀+

+=−

VC dt

Wd

tdA.v

dt

W

dt

Q s µδρ

∂

∂ρ

ρ

δδen

Pe

SC

rr

0(6) 0(7) 0(1),(2) 0(4),(5)

20

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫∫

+

=

+++

21 AAdA.vdA.vdA.v nnn

Pe

Pe

Pe

SC

rrrrrrρρρ

ρρρ

( ) ( )PvPv

Então:

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

( ) ( )2222

21111

1 Avρ

P

2

vgyAv

P

2

vgy0 ρρ −

+++−

++=ρ

Pela eq. da continuidade:

( ) ( )222111 AvAv ρρ −=

21

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Dividindo as equações:

ρρ

2

2

21

2

1

P

2

vgy

P

2

v

gy 21 ++=++

Dividindo por g:

gρ

P

2g

vy

ρg

P

2g

vy 2

2

22

1

2

11 ++=++ (unidade de L)

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I gρ2gρg2g

Carga de altura

Carga de velocidade

Carga de pressão

A soma destas energias é chamada de energia mecânica total e

pode ser diferente para cada linha de corrente 22

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I -

Pro

fa. K

atia T

annous

Exemplo:

A água escoa através da turbomáquina da figura abaixo, com uma

velocidade de 10ft3/s. Para os dados fornecidos, determine a taxa de

realização de trabalho da turbomáquina. A turbomáquina é uma bomba

ou uma turbina? Considerar escoamento de fluido incompressível.

ρ =20 psia

Unic

am

p/F

EQ

/EQ

541 F

enôm

enos d

e T

ransport

e I

1

2

turbomáquina

ρ1=100 psia

A1=0,5 ft 2

Z1=120ft

ρ2=20 psia

A2=1,0 ft 2

Z2=220ft

γ = 62,4 lbf/ft3

23