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F-107 Capítulo I Mauro M.G. de Carvalho

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CAPÍTULO I

MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

O valor 0,01cm é avaliado, podendo ser mais do que 0,01 dependendo da régua e de quem mede.

Qualquer algarismo à direita, no sentido usual de leitura, do primeiro algarismo não nulo é um algarismo

significativo e

Exemplos:

0,02 1 algarismo significativo

0,2 1 algarismo significativo

2 1 algarismo significativo

2,0 2 algarismos significativos

2,00 3 algarismos significativos

2000 4 algarismos significativos

2,0 x 103 2 algarismos significativos

0 1 2 3 7 4 5 6

Qual é o comprimento afinal? 4,32 cm

Algarismo duvidoso

4,32 0,01 cm

0 1 2 3 7 4 5 6

É melhor dizermos que a medida é:


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Regras de arredondamentos

N = 3,88 Se X > 5

N = 3,87XY N = 3,87 Se X < 5 N = 3,88 se Y ≥ 5

Se X =5

N = 3,87 se Y < 5

Operações levando em conta os algarismos significativos

Soma:

135 + 2,73 - 10,57 - 4,3 + 0,8 123

Multiplicação e divisão:

24,63 x 12,3 = 302 no de algs.significativos = ao que tem menos

Valor Médio e Desvio Padrão:

Sejam X1, X2, X3... as diversas medidas de uma mesma grandeza.

O Valor Médio da grandeza é: X = <X> = (X1 + X2 + X3 + ... + XN) / N

O Desvio Padrão da medida é dado por , onde: <>2 = (<X> - X1)2 (<X> - X2)

2 + ........+ (<X> - XN)2 / (N-1)

Exemplo:

MEDIDAS (em metros)

20,34 20,32 20,38 20,30 20,35 20,37 20,35 20,35

<X> = (20,34 + 20,32 + 20,38 + 20,30 + 20,35 + 20,37 + 20,35 + 20,35) / 8

<X> = 20,34 m

= [ (20,34-20,34)2 + (20,34-20,32)2 (20,34-20,38)2 (20,34-20,30)2 + (20,34-20,35)2 (20,34-20,37)2 ...

+(20,34-20,35)2 (20,34-20,35)2 ] / 7

= 0,03

A medida se expressa por : 20,34 0,03


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REVISÃO DE MATEMÁTICA

Relações trigonométricas

senB =AC/BC cosecB = 1/senB

cosB = AB/BC secB = 1/cosB

tgB = AC/AB

tgB= senB/cosB

(AB)2 +(AC)

2 = (BC)

2

sen2B+cos

2B = 1

tg2B+1 = sec

2B

sen(x±y) = senx.cosy ± cosx.seny

cos(x±y) = cosx.cosy senx.senyy

sen2x = 2senx.cosx

cos2x = cos2x – sen

2x

Gráficos

Representação de pontos (x,y) no gráfico cartesiano.

Na figura estão os pontos (1,4); (-4,2); (-3,-3); (2, -5)

Exercício: (a) Marque os pontos (1,1), (3,2), (-2,3), (-4, -1), (-2,3)

(b) Marque os pontos (-4,-1), (-2,0), (0,1), (2,2) e

(4,3).

Em seguida ligue esses pontos. Qual a realção que eles

guardam entre si?

Fig.2 – Eixos Cartesianos

A C

B

Fig.1 – Triângulo equilátero

(1,4)

(2,-5)

(-3,-3)

(-4,2)

X

Y


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Cosideremos a equação: y = x2 + x - 2

Calculando y para alguns valores de x (abaixo) podemos

traçar a curva ao lado

x y

-3 4

-2 0

-1 -2

0 -2

1 0

2 4

3 10

F

Fig. 3 – Parábola


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Derivada

Fixando x1 e fazendo x2 x1 (fig.4a), a secante se transforma em tangente à curva em (x1,y1) (fig.4b) e:

(a)

(b)

Fig4: A secante (em vermelho) de transforma em tangente quano x2 → x1

y2

y1

x1 x2

dx

dy

x

y

x1

y1

dx

dytgα


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dy/dx é a derivada da curva em (x1,y1).

Portanto, a derivada num ponto dá a tangente trigonométrica (tgdo ângulo que a tangente geométrica, no ponto considerado, forma com o eixo dos X.


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VETORES

Nomenclatura: A é normalmente representado por A (em negrito). O módulo de A é representado por A (sem negrito)

Se A e B têm o mesmo módulo direção e sentido, então A = B

Algumas propriedades importantes:

a) Soma de vetores: Método geométrico

b) Propriedade comutativa

A + B+ C = B + C + A = C + B + A

c) Propriedade associativa (A+B) + C = A+ (B+ C)

d) Produto de escalar por vetor

K1>1

0<K2<1

K3<0

direção

sentido

A

Módulo

A A

A

B

B

B

C

C C

A k1A

k2A

k3A

A B

A + B

A

B

A + B


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Diferença entre vetores: Note que se B + (A - B) = A . Essa operação pode ser visualizada abaixo

Soma (diferença) de vetores colineares. É só somar (subtrair) seus módulos:

A

Ax

Ay

A2 = Ax2+Ay

2

Ax =Acos

Ay=Asen

C

B

A

y

x

Ry Rx

R

Projeção de um vetor nos eixos

cartesianos

x A

y A tg

eixo x = Rx

eixo y = Ry

R2x+R2

y= R2

xRyR

tg

Soma de vetores através de suas projeções

x

y

A

B

A - B

A

B

A+B


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Produto escalar entre dois vetores A e B: A.B = ABcosonde é o aângulo entre A e B.

Produto vetorial entre dois vetores A e B: AxB = ABsenonde é o ângulo entre A e B.

O resultado do produto vetorial entre A e B é um vetor perpendicular a A e a B e cujo sentido pode ser dado pela regra

da mão direita. O produto vetorial não é comutativo: A x B = -BXA

O produto escalar é uma escalar e dá projeção de A sobre B multiplicada por B (em módulo). O produto vetorial é um

vetor cujo módulo é a área do paralelogramo formado a aprtir de A e B.

A.B = ABcos AxB = ABsen

Área do paralelogramo: base x altura = B.AsenAxB

A

B AxB

B

A

Acos

B

A

Asen


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EXERCÍCIOS

1) Na figura abaixo, dê o resultado das medidas de AB.

2) Quantos algarismos significativos têm os números abaixo:

a) 98,75 b) 2,00 c) 0,003 d) 0,0450 e) 3000 f) 1,0 x 103

3) Faça as aproximações solicitadas:

a) = 3,14159 Para uma, duas, três e quatro casas decimais b) e = 2,71828 Para uma, duas, três e quatro casas decimais.

c).me = 9,1091 x 10-31kg Para uma e duas casas decimais

d) e = 1,6021 C Para uma e duas casas decimais

4) Transforme: a) 2,3 mm → m

b) 2,303 m → mm

c) 2,8 km →m

d) 2,0kg →g

e) 2,753mg →g

5) Resolva as contas abaixo:

a) 2,0 cm x 3 =

b) 2,0 cm x 3,0 cm =

c) 2,215 cm x 2,20 mm =

d) 0,73g / 1,00 cm3 =

e) 1,000m + 20,5cm = f) 1200 -23,2 + 1,9 -0,8+0,2+10 =

g) sen 13o =

A

0 2 1

0 2 1

0 2 1

0 2 1

A B

biol

biol

biol

biol

AB =

AB =

AB =

AB =

B


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6) Calcule x nas figuras abaixo:

7) Considere o gráfico abaixo:

a) Onde a função é crescente?

b) Onde é decrescente?

c) Onde a derivada é positiva?

d) Onde a derivada é negativa? e) Onde a derivada é nula?

f) Onde estão os máximos da curva?

g) Onde estão os mínimos da curva?

h) Onde a derivada é crescente?

i) Onde a derivada é decrescente?

j) Qual o valor máximo da função no intervalo

considerado?

k) Onde a função é nula?

l) Qual a grandeza física que a derivada representa?

5,0 cm

30o

30o

2,0 cm

75o 75o

x

x x

x

4,0 cm

6,0 cm

10,0 m

5o

x

2,0 cm

60o

x

(a) (b)

(c)

(d)

(e) (f)

litros

horas 30

5

-5 10 20


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A

C

D

E

B

Cada quadrado desta página tem lado equivalente a 1N. (a) Qual o módulo das forças A, B, C, D e E acima.? (b)

Abaixo, calcule geométricamente: A+B; A+B+D; A-D; D+E-A; A+C-D

(c) Calcule o módulo das forças resultantes nas operações realizadas no item (b); Determine a força F talque

F+A+B+C+D+E=0


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REVISÃO DE FÍSICA BÁSICA Cinemática

x= xo + vt Movimento relilíneo uniforme

x = xo + vot + (1/2)at2 Movimento relilíneo com aceleração constante

v2 = vo2 + 2a x Movimento relilíneo com aceleração constante

= /t Velocidade angular (movimento circular uniforme)

v = R Movimento circular uniforme

Ondas

v = f Onda progressiva de comprimento de onda frequência f e velocidade v. T = 1/f Relação entre período T e frequência f

No caso da luz v = c = 3x 108 m/s Propriedades exclusivas das ondas:

a) Difração

b) Polarização

Eletromagnetismo

F= qE Força F sobre uma carga q num ponto onde o campo elétrico é E (equação vetorial)

W qE.d Trabalho da força F ao se deslocar de d na sua direção sentido.

V = W/q = E.d Diferença de potencial elétrico entre dois pontos distantes de d na direção e sentido do campo

elétrico constante E

Energia

K = (1/2)mv2 Energia cinética

U = - G (m.MT)/r Energia potencial gravitacional d massa m a uma distância r do centro da terra (mssa MT)

U = mgh Diferença de energia potencial gravitacional entre dois pontos quando diferença de altura

entre eles é h e a distância à superfície terrestre é muito menor do que o raio da terra.

Sistemas de Unidades:Definem as unidades fundamentais de massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Para

eletricidade é definida a unidade de carga.

Os principais são: Sistema Internacional de Unidades (SI) que é o MKS (M de metro, K de kilograma e S de segundo).

Muito usado em laboratório é o CGS ( Centímetro, Grama e Segundo).

Nos dois sistema a unidade de carga é o Coulomb.

Temperatura não faz parte de nenhum sistema, mas em ciências o Kelvin é o mais usado.

Todas as unidades da mecânica são derivadas das três unidades que definem o sistema.

Exemplos:

Sistema

Definiçãos

MKS CGS

Unidades básicas Nome (símbolo) Unidades básicas Nome (símbolo)

Força (F = m.a) kg.m/s2 Newton (N) g.cm/s2 dina (dyn)

Momento Linear kg.m/s g.cm/s

Trabalho ( = F.d) kg.m2/s2 Joule (J) g.cm2/s2 erg

Potência (P = W/t) kg.m2/s3 Watt(W) g.cm2/s3 erg/s

Pressão (P = F/A) kg/(m.s2) Pascal (P) g/(cm.s2) dyn/cm2

Densidade (d= m/V) kg/m3 g/cm3

Torque(N = F.d) N.m dyn.cm

Momento Angular kg.m2/s g.cm2/s

Unidades em eletricidade:Não vamos utilizar o CGS eletrostático. Somente o SI. A Unidade de carga é o Coulomb (C).

Sistema

Definição

MKS

Unidades básicas Nome (símbolo)

Força (F = m.a) kg.m/s2 Newton (N)

Trabalho ( = F.d) kg.m2/s2 Joule (J) e Watt.hora (W.h)

Potência (P = W/t) kg.m2/s3 Watt(W)

DDP ( /q) kg.m2/(C.s2) J/C = Volt (V)

Campo Elétrico (F/q) kg.m/(C.s2) N/C = V/m

Corrente (q/t) C/s Ampère (A)


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Na física atômica usa-se uma unidade de energia chamada eletronvolt (eV). Isto ocorre porque o Joule é uma unidade

muito grande para medir as energias envolvidas. Define-se 1 eV como sendo a energia cinética de um elétron livre

acelerado por uma ddp de 1 V. Observe que = q.1V. Logo:

1eV = 1,6 x 10-19C.1V = 1,6 x 10-19 J

Aplic.1: Qual a velocidade do elétron com energia de 1 eV?

A energia cinética para o elétron é dada por T = (1/2)mv2

Existe um sistema chamado MK*S. Neste sistema as unidades básicas são o metro, o quilograma-força (kgf) e o

segundo. Quilograma-força é unidade de força definida como: 1 kgf é o peso de um corpo de 1kg de massa onde a

aceleração da gravidade é 9,8 m/s2. Logo, 1kgf = 1kgx9,8m/s2 = 9,8 N Este sistema de unidades é usado com uma certa frequência em engenharia mecânica.

Algumas unidades não pertencem a sistema algum, mas são usadas até hoje em certos nichos por uma questão de

tradição.Exemplos:

Os médicos usam centímetro de mercúrio para medir pressão arterial;

O frentista do posto de gasolina usa o psi (Pound force per Square Inch) para calibrar pneus;

Alguns encanadores usam a polegada para dar o diâmetro dos tubos;

Os fabricantes de alimentos usam a caloria para o valor da energia gerada pelos alimentos;

Alguns livros antigos usam o Angstron (Ǻ) para a medida de comprimento de onda da luz. 1Ǻ = 10-10m.

Espectro da radiação eletromagnética

A luz visível é uma pequena parte do espectro da radiação eletromagnética. A figura abaixo mostra o espectro em

função do comprimento de onda da radiação (http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2007/12/espectro-visivel-

da-luz.jpg)

Observe que a luz visível tem comprimento de onda compreendido entre aproximadamente 380nm (violeta) e 740 nm

(vermelho)

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