CAPÍTULO 6 Gases quânticos sem interação · a energia média de uma partícula é E=(3/2)kT e o...

UFABC - Mecânica Estatística Curso 2018.1 Prof. Germán Lugones

CAPÍTULO 6 Gases quânticos sem interação

!1

Para um gás ideal clássico em equilíbrio térmico a uma temperatura T, a energia média de uma partícula é E=(3/2)kT e o comprimento de onda de de Broglie é

Por outro lado, o comprimento de onda térmico

é da mesma ordem de grandeza que !B. Por isso, tanto ! quanto !B dão uma ideia da ``extensão espacial'' ou tamanho de uma partícula do gás.

Para grandes temperaturas as partículas se tornam localizadas e tendem a ter um comportamento clássico. A baixas temperaturas as partículas ficam mais “deslocalizadas" e se a densidade for grande o suficiente podemos ter um overlapping entre as suas funções de onda.

Regime clássico e regime quântico

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Capítulo 7

Gases quânticos

7.1 Regime clássico e regime quântico

Para um gás ideal em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia média de uma partículaé E = 3

2kT e o comprimento de onda de de Broglie é

�B =h

p=

hp2mE

=hp

3mkT. (7.1)


� =hp

2⇡mkT. (7.2)

é da mesma ordem de grandeza que �B. Por isso, tanto � quanto �B dão uma ideia da “extensãoespacial” ou tamanho de uma partícula do gás. Para grandes temperaturas as partículas se tornamlocalizadas e tendem a ter um comportamento clássico. A baixas temperaturas as partículas ficammais “deslocalizadas” e se a densidade for grande o suficiente podemos ter um overlapping entre assuas funções de onda.

A distância média entre partículas pode ser estimada por

d = v1/3 = n�1/3 (7.3)

onde n = N/V é o número de partículas por unidade de volume, e v ⌘ 1/n é o volume específico(volume ocupado por uma partícula do gás).

A relação entre as grandezas d e � permite identificar os regimes clássico e quântico:

⇧ Regime clássico. O tamanho das partículas é muito menor que a separação entre as mesmas,i.e. , � ⌧ n�1/3, logo,

�3n ⌧ 1 (7.4)

⇧ Regime quântico. O tamanho das partículas é da ordem ou maior que a separação entre asmesmas, i.e. , � & n�1/3, logo,

�3n & 1 (7.5)

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Capítulo 7

Gases quânticos




�B =h

p=

hp2mE

=hp

3mkT. (7.1)


� =hp

2⇡mkT. (7.2)



d = v1/3 = n�1/3 (7.3)




�3n ⌧ 1 (7.4)


�3n & 1 (7.5)

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onde n=N/V é o número de partículas por unidade de volume, e v ≣ 1/n é o volume específico (volume ocupado por uma partícula do gás).

A relação entre as grandezas d e ! permite identificar os regimes clássico e quântico:

Regime clássico. O tamanho das partículas é muito menor que a separação entre as mesmas, i.e. , ! ≪ n-1/3, logo,

!3

Capítulo 7

Gases quânticos




�B =h

p=

hp2mE

=hp

3mkT. (7.1)


� =hp

2⇡mkT. (7.2)



d = v1/3 = n�1/3 (7.3)




�3n ⌧ 1 (7.4)


�3n & 1 (7.5)

69

Capítulo 7

Gases quânticos




�B =h

p=

hp2mE

=hp

3mkT. (7.1)


� =hp

2⇡mkT. (7.2)



d = v1/3 = n�1/3 (7.3)




�3n ⌧ 1 (7.4)


�3n & 1 (7.5)

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Regime quântico. O tamanho das partículas é da ordem ou maior que a separação entre as mesmas, i.e. , ! ≿ n-1/3, logo,

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Capítulo 7

Gases quânticos




�B =h

p=

hp2mE

=hp

3mkT. (7.1)


� =hp

2⇡mkT. (7.2)



d = v1/3 = n�1/3 (7.3)




�3n ⌧ 1 (7.4)


�3n & 1 (7.5)

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Consideremos um gás quântico composto por N partículas livres sem spin (bósons ou férmions).

Atenção! Obviamente, não existem férmions sem spin na natureza. O conceito de férmions sem spin indica apenas que temos partículas que verificam o principio de exclusão de Pauli, e que o número de partículas possível em cada nível de energia é 0 ou 1. Para descrever férmions reais, basta introduzir um fator de degenerescência que leve em consideração o número de partículas permitido em cada nível de energia.

Como as partículas são não-interagentes, o Hamiltoniano do sistema de N partículas é a soma de N Hamiltonianos de uma partícula,

onde os operadores ĥi são formalmente idênticos, e diferem apenas nas coordenadas e momentos qi, pi.

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7.2 Número de ocupação

Consideremos um gás quântico composto por N partículas livres sem spin (bósons ou férmions).Obviamente, não existem férmions sem spin na natureza. O conceito de férmions sem spin indicaapenas que temos partículas que verificam o principio de exclusão de Pauli, e que o número departículas possível em cada nível de energia é 0 ou 1. Para descrever férmions reais, basta introduzirum fator de degenerescência que leve em consideração o número de partículas permitido em cadanível de energia.

Como as partículas são não-interagentes, o Hamiltoniano do sistema de N partículas é a somade N Hamiltonianos de uma partícula,

H(q, p) =NX

i=1

hi(qi, pi) (7.6)

onde os hi são formalmente idênticos, e diferem apenas no valor dos argumentos qi, pi.A equação de Scrödinger independente do tempo para este sistema é

H(q, p) E(q) = E E(q) (7.7)

onde E(q) são as autofunções de energia e E os correspondentes autovalores. Pela forma dohamiltoniano, um estado estacionário do sistema de N partículas pode ser descrito em função dosautoestados do hamiltoniano de uma partícula. A função de onda tem a forma

E(q) =NY

i=1

�✏i(qi), (7.8)

e os autovalores ficam da forma

E =NX

i=1

✏i, (7.9)

onde �✏i e ✏i são as autofunções e autovalores do hamiltoniano de uma partícula, i.e. hi�✏i(qi) =✏i�✏i(qi).

Assim, podemos caracterizar o estado do sistema através de um conjunto de números de ocupação

{ni} ⌘ {n1, n2, ...ni, ...} que indicam o número de partículas ni que ocupa cada estado de energia✏i. Os números de ocupação verificam os vínculos

E =X

i

ni✏i, (7.10)

N =X

i

ni. (7.11)

Adicionalmente, devemos levar em consideração a indistinguibilidade das partículas. Todos osmicroestados resultantes das permutações de N partículas devem ser considerados como um únicoestado. Por isso, a função de onda de um sistema de N partículas deve ser simétrica ou anti-simétrica pela troca das coordenadas de qualquer par de partículas (isso garante que ao fazermos

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Bósons e Férmions

A equação de Schrödinger independente do tempo para esse sistema é

onde "E(q) são as autofunções de energia e E os correspondentes autovalores.

Pela forma do hamiltoniano, um estado estacionário do sistema de N partículas pode ser descrito em função dos autoestados do hamiltoniano de uma partícula. A função de onda tem a forma


onde φεi e εi são as autofunções e autovalores do hamiltoniano de uma partícula, i.e. ĥiφ#i(qi) = εiφ#i(qi). !6




H(q, p) =NX

i=1

hi(qi, pi) (7.6)


H(q, p) E(q) = E E(q) (7.7)


E(q) =NY

i=1

�✏i(qi), (7.8)


E =NX

i=1

✏i, (7.9)




E =X

i

ni✏i, (7.10)

N =X

i

ni. (7.11)


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H(q, p) =NX

i=1

hi(qi, pi) (7.6)


H(q, p) E(q) = E E(q) (7.7)


E(q) =NY

i=1

�✏i(qi), (7.8)


E =NX

i=1

✏i, (7.9)




E =X

i

ni✏i, (7.10)

N =X

i

ni. (7.11)


70




H(q, p) =NX

i=1

hi(qi, pi) (7.6)


H(q, p) E(q) = E E(q) (7.7)


E(q) =NY

i=1

�✏i(qi), (7.8)


E =NX

i=1

✏i, (7.9)




E =X

i

ni✏i, (7.10)

N =X

i

ni. (7.11)


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Eq. (*)

Adicionalmente, devemos levar em consideração a indistinguibilidade das partículas:

• Todos os microestados resultantes das permutações de N partículas devem ser considerados como um único estado.

• Por isso, a função de onda de um sistema de N partículas deve ser simétrica ou anti-simétrica pela troca das coordenadas de qualquer par de partículas (i.e ao fazermos ""* obteremos a mesma densidade de probabilidade).

• As partículas que são descritas por uma função de onda simétrica são denominadas bósons e as descritas por uma função de onda anti-simétrica são denominadas férmions.

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Portanto, a função de onda apresentada anteriormente [na Eq. (*)] deve ser simetrizada ou anti-simetrizada em relação às coordenadas qi, ou, equivalentemente, em relação aos índices i. A função de onda resultante é da forma

onde P é um operador que permuta os índices da funções de onda de uma partícula.

A soma deve ser realizada sobre as N! permutações possíveis.

O fator $P é

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⇤ obteremos a mesma densidade de probabilidade). As partículas que são descritas por umafunção de onda simétrica são denominadas bósons e as descritas por uma função de onda anti-simétrica são denominadas férmions.

De acordo com isto, a função de onda apresentada na Eq. (7.8) deve ser simetrizada ou anti-simetrizada em relação às coordenadas qi, ou, equivalentemente, em relação aos índices i. A funçãode onda resultante é da forma

E(q1, ..., qN ) =1pN !

X

P

�PP [�✏1(q1)....�✏N (qN )], (7.12)

onde P é um operador que permuta os índices da funções de onda de uma partícula, e a soma deveser realizada sobre as N ! permutações possíveis. O fator �P é

�P = 1 (para bósons), (7.13)

�P =

(1 se P é uma permutação par�1 se P é uma permutação impar

(para férmions). (7.14)

No caso dos férmions, a função de onda adota a forma do determinante de Slater

E(q1, ..., qN ) =1pN !

��

�✏1(q1) �✏1(q2) ... �✏1(qN )�✏2(q1) �✏2(q2) ... �✏2(qN )

...... ...

...�✏N (q1) �✏N (q2) ... �✏N (qN )

��

. (7.15)

A partir desta expressão, fica evidente que a função de onda E é identicamente nula se duas funçõesde onda de uma partícula forem iguais (e.g. �✏1(q) = �✏2(q) ), já que o determinante teria duas filasidênticas. Este é o princípio de exclusão de Pauli.

De acordo com a discussão anterior, não há restrições adicionais sobre o número de bósons quepodem ocupar um certo estado. Porém, no caso de “férmions de spin zero”, podemos ter no máximouma partícula em cada estado. Assim, os números de ocupação devem verificar a condição adicional

ni =

(0, 1, 2, ... para bósons0, 1 para férmions

. (7.16)

7.3 Gás ideal quântico no ensemble macrocanônico

Precisamos determinar a função de partição macrocanônica

⌅(z, V, T ) =1X

N=0

zNQN . (7.17)

onde a função de partição canônica QN =P

Ee��E é obtida somando para todos os valores de

energia de um sistema com N partículas. Como estamos tratando sistemas de partículas livres,temos

E =X

i

ni✏i, (7.18)

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E(q1, ..., qN ) =1pN !

X

P

�PP [�✏1(q1)....�✏N (qN )], (7.12)


�P = 1 (para bósons), (7.13)

�P =




E(q1, ..., qN ) =1pN !

��

�✏1(q1) �✏1(q2) ... �✏1(qN )�✏2(q1) �✏2(q2) ... �✏2(qN )

...... ...

...�✏N (q1) �✏N (q2) ... �✏N (qN )

��

. (7.15)



ni =


. (7.16)



⌅(z, V, T ) =1X

N=0

zNQN . (7.17)




E =X

i

ni✏i, (7.18)

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Note que cada fila contém sempre a mesma função de onda de uma partícula, enquanto cada coluna contém o mesmo argumento na função de onda de uma partícula.

A partir desta expressão, fica evidente que a função de onda "E é identicamente nula se duas funções de onda de uma partícula forem iguais, já que o determinante teria duas filas idênticas. Este é o princípio de exclusão de Pauli.

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E(q1, ..., qN ) =1pN !

X

P

�PP [�✏1(q1)....�✏N (qN )], (7.12)


�P = 1 (para bósons), (7.13)

�P =




E(q1, ..., qN ) =1pN !

��

�✏1(q1) �✏1(q2) ... �✏1(qN )�✏2(q1) �✏2(q2) ... �✏2(qN )

...... ...

...�✏N (q1) �✏N (q2) ... �✏N (qN )

��

. (7.15)



ni =


. (7.16)



⌅(z, V, T ) =1X

N=0

zNQN . (7.17)




E =X

i

ni✏i, (7.18)

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Construiremos um formalismo que nos permitirá levar em conta o princípio de Pauli sem precisar rotular as partículas indistinguíveis.

O Hamiltoniano de partículas não-interagentes no espaço de Hilbert de N partículas, EH(N) , tem a forma de de uma soma de operadores idênticos que se referem respectivamente às partículas i = 1,2,... ,N.

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Base de Fock

10.2 Fock Bases 15

of non-interacting particles. Such a Hamiltonian has, in the A'^-particle Hilbert space £^ , the" form,

N

of a sum of identical operators referring, respectively, to the particles i = 1,2,... ,N. If we want to avoid the complications due to the symmetrization or antisymmetrization of the wavefunctions (Exerc.lOa), it will be useful to leave N arbitrary and work in the Fock space already introduced in §§ 2.3.6 and 4.3.2. Let us remind ourselves that we are dealing with the space 5H = © £}. ' which is the direct sum of spaces of N indistinguishable particles

which can be bosons or fermions. Note that we shall use the same notation for those two kinds of particles, even though the corresponding spaces are not equivalent as soon as AT > 2. We refer to §§2.1.1 and 2.1.2 for the algebraic concepts used below when we shall be dealing with Hilbert spaces and operators.

10.2.1 Single-Particle States

We start from the Hilbert space £^ ' of the single-particle states. In contrast to the complete Fock space, this space has the same structure for fermions as for bosons: the nature of the particles does not manifest itself until there are several particles present. We choose for the base {q} of the space 5^ the set of eigenvectors of the single-particle Hamiltonian h. We indicate the set of quantum numbers which characterize each of these vectors by q, and the value of the corresponding energy eigenvalue by £,. Sometimes Sg depends only on some of the quantum numbers q and one must take care in such cases of degeneracy to sum over the other quantum numbers when one evaluates traces.

To fix the ideas, we shall give a few examples. For a particle, such as a helium atom, enclosed in a parallelepiped shaped box of edge lengths Lx,Ly,Lz, the single-particle Hamiltonian h reduces to the kinetic energy, plus a potential which is zero inside and infinite outside the box. The eigen-kets which span the space 5^ are stationary plane waves which vanish at the walls of the box and which are characterized by three quantum numbers mx,my,mz,= 1,2,... . The absolute values of the momentum components are given by

hn hn hn . . Px = mx^j-, Py = my—, pz = m^-—. (10.8)

Lix ^y J-'z

The corresponding (single-particle) eigenfunction is 1/2 . PxX . PyV . PzZ sm ——- sin ^— sm

LlxJ^yi-Jz J ft ft ft

Para evitar as complicações devidas à simetrização ou antissimetrização das funções de onda, trabalharemos no espaço de Fock deixando o número de partículas N arbitrário.

Lembremos que estamos lidando com o espaço de Fock

que é a soma direta de espaços de Hilbert de N partículas indistinguíveis (bósons ou férmions).

Usaremos a mesma notação para esses dois tipos de partículas, mesmo que os espaços correspondentes não sejam equivalentes (exceto no caso N ≤ 2).

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EH =1M

N=0

E(N)H

<latexit sha1_base64="OjHefi3tz9Zi46of31lO9WbklxM=">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</latexit><latexit sha1_base64="OjHefi3tz9Zi46of31lO9WbklxM=">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</latexit><latexit sha1_base64="OjHefi3tz9Zi46of31lO9WbklxM=">AAACJHicbVDLSgMxFM34rPU16tJNsAh1U6YiqGChKEJXpYK1hU47ZNJMG5rJDElGKGF+xo2/4saFFRdu/BbTx6K2HggczjmXm3v8mFGpHOfbWlldW9/YzGxlt3d29/btg8MnGSUCkzqOWCSaPpKEUU7qiipGmrEgKPQZafiDu7HfeCZC0og/qmFM2iHqcRpQjJSRPPtGuxgxeJ96upJCWIKuT3tRzBLp6WrJSTvapTxQwxTOBzs6Xz1LoWfnnIIzAVwmxRnJgRlqnj1yuxFOQsIVZkjKVtGJVVsjoShmJM26iSQxwgPUIy1DOQqJbOvJlSk8NUoXBpEwjys4UecnNAqlHIa+SYZI9eWiNxb/81qJCq7amvI4UYTj6aIgYVBFcFwZ7FJBsGJDQxAW1PwV4j4SCCtTbNaUUFw8eZnUzwvXBefhIle+nbWRAcfgBORBEVyCMqiAGqgDDF7AG/gAI+vVerc+ra9pdMWazRyBP7B+fgHFX6Rn</latexit>

Single-Particle States:

We start from the Hilbert space EH(1) of the single-particle states. In contrast to the complete Fock space, this space has the same structure for fermions as for bosons: the nature of the particles does not manifest itself until there are several particles present.

We choose for the base {%i} of the space EH(1) the set of eigenvectors of the single-particle Hamiltonian ĥ.

We indicate the set of quantum numbers which characterize each of these vectors by %i, and the value of the corresponding energy eigenvalue by &i.

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Estados de Partículas Individuais::

Analisemos o espaço de Hilbert EH(1) dos estados de uma única partícula.

Em contraste com o espaço Fock completo, este espaço tem a mesma estrutura para férmions e bósons: a natureza das partículas não se manifesta até que haja várias partículas presentes.

Para a base {%i} do espaço EH(1) escolhemos o conjunto de autovetores do Hamiltoniano ĥ de uma única partícula.

Cada um dos elementos da base tem associado um conjunto de números quânticos. O autovalor de energia correspondente é &i.

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Números de ocupação:

Para descrever um estado de N bósons ou de N férmions adotamos a seguinte estratégia.

- vamos olhar para o conjunto de estados de uma partícula {%1, %2, %3,…,%∞} e especificar qual deles está ocupado e qual deles está vazio.

- isto definirá para cada estado de uma partícula, %i, um número de ocupação ni, que pode ser zero.

Descrição do vácuo:

O vácuo é um estado (único) do espaço de Hilbert de zero partículas EH(0). No formalismo de números de ocupação, ele é descrito como o estado no qual todos os ni são nulos.

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Descrição de estados de uma única partícula:

Como descrevemos os estados de uma partícula, pertencentes ao espaço de Hilbert EH(1) ?

Para expressar que a partícula está no estado q, usamos a seguinte linguagem:

- dizemos que o número de ocupação ni do estado %i é igual a 1 e que os números de ocupação nj dos outros estados %j (j≠i) são todos zero.

- Cada estado de uma partícula da base {%} será então denotado por um conjunto de números de ocupação {ni} que são todos iguais a 0, exceto um deles que é igual a 1.

Portanto, o ket | %i⟩ que representa a partícula no estado %i, é escrito como: |0, 0, …, {nq}=1, 0, 0, … 0⟩ onde organizamos os estados de uma única partícula, %i, em uma ordem padrão e onde os números de ocupação são escritos nessa ordem padrão.

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Descrição de estados de duas partículas:

Os estados de duas partículas pertencem ao espaço de Hilbert EH(2). Para partículas não interagentes, o Hamiltoniano é da forma:

Ĥ(2) = ĥ1 + ĥ2

Se desconsiderarmos a indistinguibilidade, as autofunções de Ĥ(2) são simplesmente o produto de duas funções, %(1) para a partícula 1 e %'(2) para a partícula 2, e a energia é & + &’.

No caso de férmions, o espaço de Hilbert EH(2) é o espaço de Hilbert das funções anti-simétricas. A função de onda tem a forma

e é representada por

!16

1p2[�(1)�0(2)� �0(1)�(2)]

<latexit sha1_base64="nIs/6I/7rTIgLdqYqK+/eK2AcvI=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAjbwdEOQY9DLztOcB/Q1pFm6RaWtDVJhVH6L3nxPxEvOyji1X/CdOtBNx+EPN57P5Lf82NGpbKsmbG2vrG5tV3aKe/u7R8cmkfHXRklApMOjlgk+j6ShNGQdBRVjPRjQRD3Gen5k9vc7z0RIWkU3qtpTDyORiENKEZKSwOz5QYC4dTOUlc+CpU2sgw6bjymVbsG8/shdWNBOcmqjRq8WJKKjLa8gVmx6tYccJXYBamAAu2B+eoOI5xwEirMkJSObcXKS5FQFDOSld1EkhjhCRoRR9MQcSK9dL5xBs+1MoRBJPQJFZyrvydSxKWccl8nOVJjuezl4n+ek6jg2ktpGCeKhHjxUJAwqCKY1weHVBCs2FQThAXVf4V4jHSFSpdc1iXYyyuvkm6jblt1++6y0rwp6iiBU3AGqsAGV6AJWqANOgCDZ/AG3sGH8WLMjE/jaxFdM4qZE/AHxvcPmdaohQ==</latexit><latexit sha1_base64="nIs/6I/7rTIgLdqYqK+/eK2AcvI=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAjbwdEOQY9DLztOcB/Q1pFm6RaWtDVJhVH6L3nxPxEvOyji1X/CdOtBNx+EPN57P5Lf82NGpbKsmbG2vrG5tV3aKe/u7R8cmkfHXRklApMOjlgk+j6ShNGQdBRVjPRjQRD3Gen5k9vc7z0RIWkU3qtpTDyORiENKEZKSwOz5QYC4dTOUlc+CpU2sgw6bjymVbsG8/shdWNBOcmqjRq8WJKKjLa8gVmx6tYccJXYBamAAu2B+eoOI5xwEirMkJSObcXKS5FQFDOSld1EkhjhCRoRR9MQcSK9dL5xBs+1MoRBJPQJFZyrvydSxKWccl8nOVJjuezl4n+ek6jg2ktpGCeKhHjxUJAwqCKY1weHVBCs2FQThAXVf4V4jHSFSpdc1iXYyyuvkm6jblt1++6y0rwp6iiBU3AGqsAGV6AJWqANOgCDZ/AG3sGH8WLMjE/jaxFdM4qZE/AHxvcPmdaohQ==</latexit><latexit sha1_base64="nIs/6I/7rTIgLdqYqK+/eK2AcvI=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAjbwdEOQY9DLztOcB/Q1pFm6RaWtDVJhVH6L3nxPxEvOyji1X/CdOtBNx+EPN57P5Lf82NGpbKsmbG2vrG5tV3aKe/u7R8cmkfHXRklApMOjlgk+j6ShNGQdBRVjPRjQRD3Gen5k9vc7z0RIWkU3qtpTDyORiENKEZKSwOz5QYC4dTOUlc+CpU2sgw6bjymVbsG8/shdWNBOcmqjRq8WJKKjLa8gVmx6tYccJXYBamAAu2B+eoOI5xwEirMkJSObcXKS5FQFDOSld1EkhjhCRoRR9MQcSK9dL5xBs+1MoRBJPQJFZyrvydSxKWccl8nOVJjuezl4n+ek6jg2ktpGCeKhHjxUJAwqCKY1weHVBCs2FQThAXVf4V4jHSFSpdc1iXYyyuvkm6jblt1++6y0rwp6iiBU3AGqsAGV6AJWqANOgCDZ/AG3sGH8WLMjE/jaxFdM4qZE/AHxvcPmdaohQ==</latexit><latexit sha1_base64="nIs/6I/7rTIgLdqYqK+/eK2AcvI=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAjbwdEOQY9DLztOcB/Q1pFm6RaWtDVJhVH6L3nxPxEvOyji1X/CdOtBNx+EPN57P5Lf82NGpbKsmbG2vrG5tV3aKe/u7R8cmkfHXRklApMOjlgk+j6ShNGQdBRVjPRjQRD3Gen5k9vc7z0RIWkU3qtpTDyORiENKEZKSwOz5QYC4dTOUlc+CpU2sgw6bjymVbsG8/shdWNBOcmqjRq8WJKKjLa8gVmx6tYccJXYBamAAu2B+eoOI5xwEirMkJSObcXKS5FQFDOSld1EkhjhCRoRR9MQcSK9dL5xBs+1MoRBJPQJFZyrvydSxKWccl8nOVJjuezl4n+ek6jg2ktpGCeKhHjxUJAwqCKY1weHVBCs2FQThAXVf4V4jHSFSpdc1iXYyyuvkm6jblt1++6y0rwp6iiBU3AGqsAGV6AJWqANOgCDZ/AG3sGH8WLMjE/jaxFdM4qZE/AHxvcPmdaohQ==</latexit>

|0, · · · , 0, n� = 1, 0, · · · , 0, n�0 = 1, 0, · · · i<latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit>

No caso de bósons, o espaço de Hilbert EH(2) é o espaço de Hilbert das funções simétricas. A função de onda tem a forma


O uso da mesma notação para o estado antissimétrico e para o estado simétrico não deve levar a qualquer confusão, desde que deixemos claro desde o início se estamos lidando com férmions ou com bósons.

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|0, · · · , 0, n� = 1, 0, · · · , 0, n�0 = 1, 0, · · · i<latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit><latexit sha1_base64="oEMftYr9kCCbnGKMa9tteROKmxw=">AAACO3icbVDLSgMxFM34rPVVdekmWAQXpcyIoBuh6MZlFfuATi2Z9E4bmskMSUYo4/yXG3/CnRs3LhRx6950WkHbXkg4Oedcbu7xIs6Utu0Xa2FxaXllNbeWX9/Y3Nou7OzWVRhLCjUa8lA2PaKAMwE1zTSHZiSBBB6Hhje4HOmNe5CKheJWDyNoB6QnmM8o0YbqFG4esF3CLu2GWpVGUHQSN+qz9NzJnnOkO3NLFkD66xlbsCuJ6HHAnULRLttZ4VngTEARTaraKTy73ZDGAQhNOVGq5diRbidEakY5pHk3VhAROiA9aBkoSACqnWS7p/jQMF3sh9IcoXHG/u1ISKDUMPCMMyC6r6a1ETlPa8XaP2snTESxBkHHg/yYYx3iUZC4yyRQzYcGECqZ+SumfSIJ1SbuvAnBmV55FtSPy45ddq5PipWLSRw5tI8O0BFy0CmqoCtURTVE0SN6Re/ow3qy3qxP62tsXbAmPXvoX1nfP03DqiY=</latexit>

1p2[�(1)�0(2) + �0(1)�(2)]

<latexit sha1_base64="ENY1F5YYnU0bILBV8DkpkZNfmek=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAgbwmiHoMehlx0nuA9o60izdAtL2pqkwij9l7z4n4iXHRTx6j9huvWgmw9CHu+9H8nv+TGjUlnWzFhb39jc2i7tlHf39g8OzaPjrowSgUkHRywSfR9JwmhIOooqRvqxIIj7jPT8yW3u956IkDQK79U0Jh5Ho5AGFCOlpYHZcgOBcGpnqSsfhUobWQYdNx7Tql2D+f2QurGgnGTVRg1eLElFRlvewKxYdWsOuErsglRAgfbAfHWHEU44CRVmSErHtmLlpUgoihnJym4iSYzwBI2Io2mIOJFeOt84g+daGcIgEvqECs7V3xMp4lJOua+THKmxXPZy8T/PSVRw7aU0jBNFQrx4KEgYVBHM64NDKghWbKoJwoLqv0I8RrpCpUsu6xLs5ZVXSbdRt626fXdZad4UdZTAKTgDVWCDK9AELdAGHYDBM3gD7+DDeDFmxqfxtYiuGcXMCfgD4/sHlpqogw==</latexit><latexit sha1_base64="ENY1F5YYnU0bILBV8DkpkZNfmek=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAgbwmiHoMehlx0nuA9o60izdAtL2pqkwij9l7z4n4iXHRTx6j9huvWgmw9CHu+9H8nv+TGjUlnWzFhb39jc2i7tlHf39g8OzaPjrowSgUkHRywSfR9JwmhIOooqRvqxIIj7jPT8yW3u956IkDQK79U0Jh5Ho5AGFCOlpYHZcgOBcGpnqSsfhUobWQYdNx7Tql2D+f2QurGgnGTVRg1eLElFRlvewKxYdWsOuErsglRAgfbAfHWHEU44CRVmSErHtmLlpUgoihnJym4iSYzwBI2Io2mIOJFeOt84g+daGcIgEvqECs7V3xMp4lJOua+THKmxXPZy8T/PSVRw7aU0jBNFQrx4KEgYVBHM64NDKghWbKoJwoLqv0I8RrpCpUsu6xLs5ZVXSbdRt626fXdZad4UdZTAKTgDVWCDK9AELdAGHYDBM3gD7+DDeDFmxqfxtYiuGcXMCfgD4/sHlpqogw==</latexit><latexit sha1_base64="ENY1F5YYnU0bILBV8DkpkZNfmek=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAgbwmiHoMehlx0nuA9o60izdAtL2pqkwij9l7z4n4iXHRTx6j9huvWgmw9CHu+9H8nv+TGjUlnWzFhb39jc2i7tlHf39g8OzaPjrowSgUkHRywSfR9JwmhIOooqRvqxIIj7jPT8yW3u956IkDQK79U0Jh5Ho5AGFCOlpYHZcgOBcGpnqSsfhUobWQYdNx7Tql2D+f2QurGgnGTVRg1eLElFRlvewKxYdWsOuErsglRAgfbAfHWHEU44CRVmSErHtmLlpUgoihnJym4iSYzwBI2Io2mIOJFeOt84g+daGcIgEvqECs7V3xMp4lJOua+THKmxXPZy8T/PSVRw7aU0jBNFQrx4KEgYVBHM64NDKghWbKoJwoLqv0I8RrpCpUsu6xLs5ZVXSbdRt626fXdZad4UdZTAKTgDVWCDK9AELdAGHYDBM3gD7+DDeDFmxqfxtYiuGcXMCfgD4/sHlpqogw==</latexit><latexit sha1_base64="ENY1F5YYnU0bILBV8DkpkZNfmek=">AAACMXicbVDNS8MwHE39nPOr6tFLcAgbwmiHoMehlx0nuA9o60izdAtL2pqkwij9l7z4n4iXHRTx6j9huvWgmw9CHu+9H8nv+TGjUlnWzFhb39jc2i7tlHf39g8OzaPjrowSgUkHRywSfR9JwmhIOooqRvqxIIj7jPT8yW3u956IkDQK79U0Jh5Ho5AGFCOlpYHZcgOBcGpnqSsfhUobWQYdNx7Tql2D+f2QurGgnGTVRg1eLElFRlvewKxYdWsOuErsglRAgfbAfHWHEU44CRVmSErHtmLlpUgoihnJym4iSYzwBI2Io2mIOJFeOt84g+daGcIgEvqECs7V3xMp4lJOua+THKmxXPZy8T/PSVRw7aU0jBNFQrx4KEgYVBHM64NDKghWbKoJwoLqv0I8RrpCpUsu6xLs5ZVXSbdRt626fXdZad4UdZTAKTgDVWCDK9AELdAGHYDBM3gD7+DDeDFmxqfxtYiuGcXMCfgD4/sHlpqogw==</latexit>

No caso de dois bósons, existe ainda a possibilidade de colocar as duas partículas no mesmo estado %. A função de onda tem a forma


!18

�(1)�(2)<latexit sha1_base64="ajbY9qQ/ZOqzvj7ZqxPgmnqp8Oc=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBahvZSkCHosevFYwbSFNpTNdtMu3WzC7qZQQv+JFw+KePWfePPfuE1z0NYHwzzem2FnX5BwprTjfFulre2d3b3yfuXg8Oj4xD4966g4lYR6JOax7AVYUc4E9TTTnPYSSXEUcNoNpvdLvzujUrFYPOl5Qv0IjwULGcHaSEPbHiQTVnPrKO/NOhraVafh5ECbxC1IFQq0h/bXYBSTNKJCE46V6rtOov0MS80Ip4vKIFU0wWSKx7RvqMARVX6WX75AV0YZoTCWpoRGufp7I8ORUvMoMJMR1hO17i3F/7x+qsNbP2MiSTUVZPVQmHKkY7SMAY2YpETzuSGYSGZuRWSCJSbahFUxIbjrX94knWbDdRru43W1dVfEUYYLuIQauHADLXiANnhAYAbP8ApvVma9WO/Wx2q0ZBU75/AH1ucPyP6Ryg==</latexit><latexit sha1_base64="ajbY9qQ/ZOqzvj7ZqxPgmnqp8Oc=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBahvZSkCHosevFYwbSFNpTNdtMu3WzC7qZQQv+JFw+KePWfePPfuE1z0NYHwzzem2FnX5BwprTjfFulre2d3b3yfuXg8Oj4xD4966g4lYR6JOax7AVYUc4E9TTTnPYSSXEUcNoNpvdLvzujUrFYPOl5Qv0IjwULGcHaSEPbHiQTVnPrKO/NOhraVafh5ECbxC1IFQq0h/bXYBSTNKJCE46V6rtOov0MS80Ip4vKIFU0wWSKx7RvqMARVX6WX75AV0YZoTCWpoRGufp7I8ORUvMoMJMR1hO17i3F/7x+qsNbP2MiSTUVZPVQmHKkY7SMAY2YpETzuSGYSGZuRWSCJSbahFUxIbjrX94knWbDdRru43W1dVfEUYYLuIQauHADLXiANnhAYAbP8ApvVma9WO/Wx2q0ZBU75/AH1ucPyP6Ryg==</latexit><latexit sha1_base64="ajbY9qQ/ZOqzvj7ZqxPgmnqp8Oc=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBahvZSkCHosevFYwbSFNpTNdtMu3WzC7qZQQv+JFw+KePWfePPfuE1z0NYHwzzem2FnX5BwprTjfFulre2d3b3yfuXg8Oj4xD4966g4lYR6JOax7AVYUc4E9TTTnPYSSXEUcNoNpvdLvzujUrFYPOl5Qv0IjwULGcHaSEPbHiQTVnPrKO/NOhraVafh5ECbxC1IFQq0h/bXYBSTNKJCE46V6rtOov0MS80Ip4vKIFU0wWSKx7RvqMARVX6WX75AV0YZoTCWpoRGufp7I8ORUvMoMJMR1hO17i3F/7x+qsNbP2MiSTUVZPVQmHKkY7SMAY2YpETzuSGYSGZuRWSCJSbahFUxIbjrX94knWbDdRru43W1dVfEUYYLuIQauHADLXiANnhAYAbP8ApvVma9WO/Wx2q0ZBU75/AH1ucPyP6Ryg==</latexit><latexit sha1_base64="ajbY9qQ/ZOqzvj7ZqxPgmnqp8Oc=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBahvZSkCHosevFYwbSFNpTNdtMu3WzC7qZQQv+JFw+KePWfePPfuE1z0NYHwzzem2FnX5BwprTjfFulre2d3b3yfuXg8Oj4xD4966g4lYR6JOax7AVYUc4E9TTTnPYSSXEUcNoNpvdLvzujUrFYPOl5Qv0IjwULGcHaSEPbHiQTVnPrKO/NOhraVafh5ECbxC1IFQq0h/bXYBSTNKJCE46V6rtOov0MS80Ip4vKIFU0wWSKx7RvqMARVX6WX75AV0YZoTCWpoRGufp7I8ORUvMoMJMR1hO17i3F/7x+qsNbP2MiSTUVZPVQmHKkY7SMAY2YpETzuSGYSGZuRWSCJSbahFUxIbjrX94knWbDdRru43W1dVfEUYYLuIQauHADLXiANnhAYAbP8ApvVma9WO/Wx2q0ZBU75/AH1ucPyP6Ryg==</latexit>

|0, · · · , 0, n� = 2, 0, · · · i<latexit sha1_base64="Lal/JaopFFt/9Xz5H1P4IriGbfU=">AAACGHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhyChzHbIehFGHrxOMG9wFpKmqZbWJqWJBVG3cfw4lfx4kERr7v5bUy7HnTzgcAv///zkDx/P2FUKsv6NlZW19Y3Nitb1e2d3b198+CwK+NUYNLBMYtF30eSMMpJR1HFSD8RBEU+Iz1/fJv7vUciJI35g5okxI3QkNOQYqS05JnnT9CqQwcHsZL1HLmXOcmITq+bxbW0oCMQHzICPbNmNayi4DLYJdRAWW3PnDlBjNOIcIUZknJgW4lyMyQUxYxMq04qSYLwGA3JQCNHEZFuViw2hadaCWAYC324goX6eyJDkZSTyNedEVIjuejl4n/eIFXhlZtRnqSKcDx/KEwZVDHMU4IBFQQrNtGAsKD6rxCPkEBY6SyrOgR7ceVl6DYbttWw7y9qrZsyjgo4BifgDNjgErTAHWiDDsDgGbyCd/BhvBhvxqfxNW9dMcqZI/CnjNkPxcydIQ==</latexit><latexit sha1_base64="Lal/JaopFFt/9Xz5H1P4IriGbfU=">AAACGHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhyChzHbIehFGHrxOMG9wFpKmqZbWJqWJBVG3cfw4lfx4kERr7v5bUy7HnTzgcAv///zkDx/P2FUKsv6NlZW19Y3Nitb1e2d3b198+CwK+NUYNLBMYtF30eSMMpJR1HFSD8RBEU+Iz1/fJv7vUciJI35g5okxI3QkNOQYqS05JnnT9CqQwcHsZL1HLmXOcmITq+bxbW0oCMQHzICPbNmNayi4DLYJdRAWW3PnDlBjNOIcIUZknJgW4lyMyQUxYxMq04qSYLwGA3JQCNHEZFuViw2hadaCWAYC324goX6eyJDkZSTyNedEVIjuejl4n/eIFXhlZtRnqSKcDx/KEwZVDHMU4IBFQQrNtGAsKD6rxCPkEBY6SyrOgR7ceVl6DYbttWw7y9qrZsyjgo4BifgDNjgErTAHWiDDsDgGbyCd/BhvBhvxqfxNW9dMcqZI/CnjNkPxcydIQ==</latexit><latexit sha1_base64="Lal/JaopFFt/9Xz5H1P4IriGbfU=">AAACGHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhyChzHbIehFGHrxOMG9wFpKmqZbWJqWJBVG3cfw4lfx4kERr7v5bUy7HnTzgcAv///zkDx/P2FUKsv6NlZW19Y3Nitb1e2d3b198+CwK+NUYNLBMYtF30eSMMpJR1HFSD8RBEU+Iz1/fJv7vUciJI35g5okxI3QkNOQYqS05JnnT9CqQwcHsZL1HLmXOcmITq+bxbW0oCMQHzICPbNmNayi4DLYJdRAWW3PnDlBjNOIcIUZknJgW4lyMyQUxYxMq04qSYLwGA3JQCNHEZFuViw2hadaCWAYC324goX6eyJDkZSTyNedEVIjuejl4n/eIFXhlZtRnqSKcDx/KEwZVDHMU4IBFQQrNtGAsKD6rxCPkEBY6SyrOgR7ceVl6DYbttWw7y9qrZsyjgo4BifgDNjgErTAHWiDDsDgGbyCd/BhvBhvxqfxNW9dMcqZI/CnjNkPxcydIQ==</latexit><latexit sha1_base64="Lal/JaopFFt/9Xz5H1P4IriGbfU=">AAACGHicbZBNS8MwGMdTX+d8q3r0EhyChzHbIehFGHrxOMG9wFpKmqZbWJqWJBVG3cfw4lfx4kERr7v5bUy7HnTzgcAv///zkDx/P2FUKsv6NlZW19Y3Nitb1e2d3b198+CwK+NUYNLBMYtF30eSMMpJR1HFSD8RBEU+Iz1/fJv7vUciJI35g5okxI3QkNOQYqS05JnnT9CqQwcHsZL1HLmXOcmITq+bxbW0oCMQHzICPbNmNayi4DLYJdRAWW3PnDlBjNOIcIUZknJgW4lyMyQUxYxMq04qSYLwGA3JQCNHEZFuViw2hadaCWAYC324goX6eyJDkZSTyNedEVIjuejl4n/eIFXhlZtRnqSKcDx/KEwZVDHMU4IBFQQrNtGAsKD6rxCPkEBY6SyrOgR7ceVl6DYbttWw7y9qrZsyjgo4BifgDNjgErTAHWiDDsDgGbyCd/BhvBhvxqfxNW9dMcqZI/CnjNkPxcydIQ==</latexit>

Podemos estender facilmente esses argumentos a um número de partículas arbitrário.

Para N férmions, cada microestado pode estar ocupado por, no máximo, uma partícula, devido ao princípio de exclusão de Pauli. Assim, um estado qualquer tem a forma:

onde os números de ocupação podem adotar apenas os valores 0 ou 1.

O número de partículas do sistema é dado por:

e a energia da configuração caracterizada por {ni} é:

!19

|n1, · · · , ni, · · · i<latexit sha1_base64="UYgFfWnSsq7N0o/Wty0c8o6oG+w=">AAACEXicbVC7TsMwFHV4lvIKMLJYVEgdqipBSDBWsDAWiT6kNoocx2mtOk5k3yBVob/Awq+wMIAQKxsbf4PbZoCWI1k+PudeXd8TpIJrcJxva2V1bX1js7RV3t7Z3du3Dw7bOskUZS2aiER1A6KZ4JK1gINg3VQxEgeCdYLR9dTv3DOleSLvYJwyLyYDySNOCRjJt6sPWPpuDfdpmICuYfPK+cTchYL7isiBYNi3K07dmQEvE7cgFVSg6dtf/TChWcwkUEG07rlOCl5OFHAq2KTczzRLCR2RAesZKknMtJfPNprgU6OEOEqUORLwTP3dkZNY63EcmMqYwFAvelPxP6+XQXTp5VymGTBJ54OiTGBI8DQeHHLFKIixIYQqbv6K6ZAoQsGEWDYhuIsrL5P2Wd116u7teaVxVcRRQsfoBFWRiy5QA92gJmohih7RM3pFb9aT9WK9Wx/z0hWr6DlCf2B9/gAZyptO</latexit><latexit sha1_base64="UYgFfWnSsq7N0o/Wty0c8o6oG+w=">AAACEXicbVC7TsMwFHV4lvIKMLJYVEgdqipBSDBWsDAWiT6kNoocx2mtOk5k3yBVob/Awq+wMIAQKxsbf4PbZoCWI1k+PudeXd8TpIJrcJxva2V1bX1js7RV3t7Z3du3Dw7bOskUZS2aiER1A6KZ4JK1gINg3VQxEgeCdYLR9dTv3DOleSLvYJwyLyYDySNOCRjJt6sPWPpuDfdpmICuYfPK+cTchYL7isiBYNi3K07dmQEvE7cgFVSg6dtf/TChWcwkUEG07rlOCl5OFHAq2KTczzRLCR2RAesZKknMtJfPNprgU6OEOEqUORLwTP3dkZNY63EcmMqYwFAvelPxP6+XQXTp5VymGTBJ54OiTGBI8DQeHHLFKIixIYQqbv6K6ZAoQsGEWDYhuIsrL5P2Wd116u7teaVxVcRRQsfoBFWRiy5QA92gJmohih7RM3pFb9aT9WK9Wx/z0hWr6DlCf2B9/gAZyptO</latexit><latexit sha1_base64="UYgFfWnSsq7N0o/Wty0c8o6oG+w=">AAACEXicbVC7TsMwFHV4lvIKMLJYVEgdqipBSDBWsDAWiT6kNoocx2mtOk5k3yBVob/Awq+wMIAQKxsbf4PbZoCWI1k+PudeXd8TpIJrcJxva2V1bX1js7RV3t7Z3du3Dw7bOskUZS2aiER1A6KZ4JK1gINg3VQxEgeCdYLR9dTv3DOleSLvYJwyLyYDySNOCRjJt6sPWPpuDfdpmICuYfPK+cTchYL7isiBYNi3K07dmQEvE7cgFVSg6dtf/TChWcwkUEG07rlOCl5OFHAq2KTczzRLCR2RAesZKknMtJfPNprgU6OEOEqUORLwTP3dkZNY63EcmMqYwFAvelPxP6+XQXTp5VymGTBJ54OiTGBI8DQeHHLFKIixIYQqbv6K6ZAoQsGEWDYhuIsrL5P2Wd116u7teaVxVcRRQsfoBFWRiy5QA92gJmohih7RM3pFb9aT9WK9Wx/z0hWr6DlCf2B9/gAZyptO</latexit><latexit sha1_base64="UYgFfWnSsq7N0o/Wty0c8o6oG+w=">AAACEXicbVC7TsMwFHV4lvIKMLJYVEgdqipBSDBWsDAWiT6kNoocx2mtOk5k3yBVob/Awq+wMIAQKxsbf4PbZoCWI1k+PudeXd8TpIJrcJxva2V1bX1js7RV3t7Z3du3Dw7bOskUZS2aiER1A6KZ4JK1gINg3VQxEgeCdYLR9dTv3DOleSLvYJwyLyYDySNOCRjJt6sPWPpuDfdpmICuYfPK+cTchYL7isiBYNi3K07dmQEvE7cgFVSg6dtf/TChWcwkUEG07rlOCl5OFHAq2KTczzRLCR2RAesZKknMtJfPNprgU6OEOEqUORLwTP3dkZNY63EcmMqYwFAvelPxP6+XQXTp5VymGTBJ54OiTGBI8DQeHHLFKIixIYQqbv6K6ZAoQsGEWDYhuIsrL5P2Wd116u7teaVxVcRRQsfoBFWRiy5QA92gJmohih7RM3pFb9aT9WK9Wx/z0hWr6DlCf2B9/gAZyptO</latexit>

N =X

i

ni

<latexit sha1_base64="kNDihHn++N12J0UBAaGoKP5DGc8=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBbBU0lE0ItQ9OJJKtgPaEPYbDft0t1N2N0USug/8eJBEa/+E2/+G7dtDtr6YODx3gwz86KUM20879spra1vbG6Vtys7u3v7B+7hUUsnmSK0SRKeqE6ENeVM0qZhhtNOqigWEaftaHQ389tjqjRL5JOZpDQQeCBZzAg2Vgpd9wHdoJ7ORJizKZIhC92qV/PmQKvEL0gVCjRC96vXT0gmqDSEY627vpeaIMfKMMLptNLLNE0xGeEB7VoqsaA6yOeXT9GZVfooTpQtadBc/T2RY6H1RES2U2Az1MveTPzP62Ymvg5yJtPMUEkWi+KMI5OgWQyozxQlhk8swUQxeysiQ6wwMTasig3BX355lbQuar5X8x8vq/XbIo4ynMApnIMPV1CHe2hAEwiM4Rle4c3JnRfn3flYtJacYuYY/sD5/AFqQZLd</latexit><latexit sha1_base64="kNDihHn++N12J0UBAaGoKP5DGc8=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBbBU0lE0ItQ9OJJKtgPaEPYbDft0t1N2N0USug/8eJBEa/+E2/+G7dtDtr6YODx3gwz86KUM20879spra1vbG6Vtys7u3v7B+7hUUsnmSK0SRKeqE6ENeVM0qZhhtNOqigWEaftaHQ389tjqjRL5JOZpDQQeCBZzAg2Vgpd9wHdoJ7ORJizKZIhC92qV/PmQKvEL0gVCjRC96vXT0gmqDSEY627vpeaIMfKMMLptNLLNE0xGeEB7VoqsaA6yOeXT9GZVfooTpQtadBc/T2RY6H1RES2U2Az1MveTPzP62Ymvg5yJtPMUEkWi+KMI5OgWQyozxQlhk8swUQxeysiQ6wwMTasig3BX355lbQuar5X8x8vq/XbIo4ynMApnIMPV1CHe2hAEwiM4Rle4c3JnRfn3flYtJacYuYY/sD5/AFqQZLd</latexit><latexit sha1_base64="kNDihHn++N12J0UBAaGoKP5DGc8=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBbBU0lE0ItQ9OJJKtgPaEPYbDft0t1N2N0USug/8eJBEa/+E2/+G7dtDtr6YODx3gwz86KUM20879spra1vbG6Vtys7u3v7B+7hUUsnmSK0SRKeqE6ENeVM0qZhhtNOqigWEaftaHQ389tjqjRL5JOZpDQQeCBZzAg2Vgpd9wHdoJ7ORJizKZIhC92qV/PmQKvEL0gVCjRC96vXT0gmqDSEY627vpeaIMfKMMLptNLLNE0xGeEB7VoqsaA6yOeXT9GZVfooTpQtadBc/T2RY6H1RES2U2Az1MveTPzP62Ymvg5yJtPMUEkWi+KMI5OgWQyozxQlhk8swUQxeysiQ6wwMTasig3BX355lbQuar5X8x8vq/XbIo4ynMApnIMPV1CHe2hAEwiM4Rle4c3JnRfn3flYtJacYuYY/sD5/AFqQZLd</latexit><latexit sha1_base64="kNDihHn++N12J0UBAaGoKP5DGc8=">AAAB+XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/oh69LBbBU0lE0ItQ9OJJKtgPaEPYbDft0t1N2N0USug/8eJBEa/+E2/+G7dtDtr6YODx3gwz86KUM20879spra1vbG6Vtys7u3v7B+7hUUsnmSK0SRKeqE6ENeVM0qZhhtNOqigWEaftaHQ389tjqjRL5JOZpDQQeCBZzAg2Vgpd9wHdoJ7ORJizKZIhC92qV/PmQKvEL0gVCjRC96vXT0gmqDSEY627vpeaIMfKMMLptNLLNE0xGeEB7VoqsaA6yOeXT9GZVfooTpQtadBc/T2RY6H1RES2U2Az1MveTPzP62Ymvg5yJtPMUEkWi+KMI5OgWQyozxQlhk8swUQxeysiQ6wwMTasig3BX355lbQuar5X8x8vq/XbIo4ynMApnIMPV1CHe2hAEwiM4Rle4c3JnRfn3flYtJacYuYY/sD5/AFqQZLd</latexit>

E =X

i

ni✏i<latexit sha1_base64="HOzYRWKcbEEHlCieROkQmr3q34g=">AAACBHicbVBNS8NAEN3Ur1q/oh57WSyCp5KIoBehKILHCvYDmhA220m7dLMJuxuhhB68+Fe8eFDEqz/Cm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MOVMacf5tkorq2vrG+XNytb2zu6evX/QVkkmKbRowhPZDYkCzgS0NNMcuqkEEoccOuHoeup3HkAqloh7PU7Bj8lAsIhRoo0U2NUbfIk9lcVBziZYBAx7kCrGjccCu+bUnRnwMnELUkMFmoH95fUTmsUgNOVEqZ7rpNrPidSMcphUvExBSuiIDKBnqCAxKD+fPTHBx0bp4yiRpoTGM/X3RE5ipcZxaDpjoodq0ZuK/3m9TEcXfs5EmmkQdL4oyjjWCZ4mgvtMAtV8bAihkplbMR0SSag2uVVMCO7iy8ukfVp3nbp7d1ZrXBVxlFEVHaET5KJz1EC3qIlaiKJH9Ixe0Zv1ZL1Y79bHvLVkFTOH6A+szx+z7ZeA</latexit><latexit sha1_base64="HOzYRWKcbEEHlCieROkQmr3q34g=">AAACBHicbVBNS8NAEN3Ur1q/oh57WSyCp5KIoBehKILHCvYDmhA220m7dLMJuxuhhB68+Fe8eFDEqz/Cm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MOVMacf5tkorq2vrG+XNytb2zu6evX/QVkkmKbRowhPZDYkCzgS0NNMcuqkEEoccOuHoeup3HkAqloh7PU7Bj8lAsIhRoo0U2NUbfIk9lcVBziZYBAx7kCrGjccCu+bUnRnwMnELUkMFmoH95fUTmsUgNOVEqZ7rpNrPidSMcphUvExBSuiIDKBnqCAxKD+fPTHBx0bp4yiRpoTGM/X3RE5ipcZxaDpjoodq0ZuK/3m9TEcXfs5EmmkQdL4oyjjWCZ4mgvtMAtV8bAihkplbMR0SSag2uVVMCO7iy8ukfVp3nbp7d1ZrXBVxlFEVHaET5KJz1EC3qIlaiKJH9Ixe0Zv1ZL1Y79bHvLVkFTOH6A+szx+z7ZeA</latexit><latexit sha1_base64="HOzYRWKcbEEHlCieROkQmr3q34g=">AAACBHicbVBNS8NAEN3Ur1q/oh57WSyCp5KIoBehKILHCvYDmhA220m7dLMJuxuhhB68+Fe8eFDEqz/Cm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MOVMacf5tkorq2vrG+XNytb2zu6evX/QVkkmKbRowhPZDYkCzgS0NNMcuqkEEoccOuHoeup3HkAqloh7PU7Bj8lAsIhRoo0U2NUbfIk9lcVBziZYBAx7kCrGjccCu+bUnRnwMnELUkMFmoH95fUTmsUgNOVEqZ7rpNrPidSMcphUvExBSuiIDKBnqCAxKD+fPTHBx0bp4yiRpoTGM/X3RE5ipcZxaDpjoodq0ZuK/3m9TEcXfs5EmmkQdL4oyjjWCZ4mgvtMAtV8bAihkplbMR0SSag2uVVMCO7iy8ukfVp3nbp7d1ZrXBVxlFEVHaET5KJz1EC3qIlaiKJH9Ixe0Zv1ZL1Y79bHvLVkFTOH6A+szx+z7ZeA</latexit><latexit sha1_base64="HOzYRWKcbEEHlCieROkQmr3q34g=">AAACBHicbVBNS8NAEN3Ur1q/oh57WSyCp5KIoBehKILHCvYDmhA220m7dLMJuxuhhB68+Fe8eFDEqz/Cm//GbZuDtj4YeLw3w8y8MOVMacf5tkorq2vrG+XNytb2zu6evX/QVkkmKbRowhPZDYkCzgS0NNMcuqkEEoccOuHoeup3HkAqloh7PU7Bj8lAsIhRoo0U2NUbfIk9lcVBziZYBAx7kCrGjccCu+bUnRnwMnELUkMFmoH95fUTmsUgNOVEqZ7rpNrPidSMcphUvExBSuiIDKBnqCAxKD+fPTHBx0bp4yiRpoTGM/X3RE5ipcZxaDpjoodq0ZuK/3m9TEcXfs5EmmkQdL4oyjjWCZ4mgvtMAtV8bAihkplbMR0SSag2uVVMCO7iy8ukfVp3nbp7d1ZrXBVxlFEVHaET5KJz1EC3qIlaiKJH9Ixe0Zv1ZL1Y79bHvLVkFTOH6A+szx+z7ZeA</latexit>

Para N bósons, cada microestado pode estar ocupado por mais de uma partícula. Assim, um estado qualquer tem a forma:

onde os números de ocupação podem adotar qualquer valor inteiro (ou zero):

ni = 0, 1, 2, ..…



!20


N =X

i

ni


E =X

i


Para N bósons, cada microestado pode estar ocupado por mais de uma partícula. Assim, um estado qualquer tem a forma:

onde os números de ocupação podem adotar qualquer valor inteiro (ou zero):

ni = 0, 1, 2, ..…



!21


N =X

i

ni


E =X

i


Partindo dos estados de uma partícula no espaço de Hilbert EH(1), conseguimos construir uma base completa para o espaço de Fock de estados com um número arbitrário de partículas

EH = EH(0) ⊕ EH(1) ⊕ EH(2) ⊕EH(3) + ….

em dois casos diferentes: quando as funções de onda devem ser antisimétricas (férmions) ou quando devem ser simétricas (bósons).

Cada estado desta base, é caracterizado através dos números quânticos ni (números de ocupação), cada um dos quais pode assumir os valores 0,1 para férmions, ou 0,1,2, ... para bósons .

A base é chamada base de Fock associada à base {%i} dos estados de uma única partícula.

!22

Segunda quantização:

A construção da base de Fock, a partir do espaço dos estados de um única partícula, é chamada de segunda quantização.

Este nome é justificado pela existência de dois níveis de números quânticos, que são diferentes em caráter e no papel que desempenham:

- Os vetores da base {%i} do espaço de Hilbert EH(1) dos estados de uma única partícula são caracterizados por certos números quânticos % de uma partícula (por exemplo mx, my, mz = 1, 2, …. para uma partícula livre numa caixa).

- Quando mudamos para o espaço de Fock EH com um número arbitrário de bósons ou férmions, temos um novo conjunto de números quânticos que caracterizam os elementos da base de Fock ➝ os números de ocupação {ni}.

Na representação de Fock, não é mais necessário considerar os números % como números quânticos; eles passam a desempenhar o papel de índices dos números de ocupação n. !23

!24

Calcularemos a função de partição grande canônica na base de Fock:

Como os estados da base são autoestados do hamiltoniano Ĥ e do operador número N, ambos operadores podem ser substituídos por seus autovalores E = ∑i&ini e N= ∑ini respectivamente:

Função de partição grande canônica

⌅ = Tr⇣e��H+�µN

⌘=

X

n1,··· ,n1

hn1, · · · , n1|e��H+�µN |n1, · · · , n1i<latexit sha1_base64="szdElcFnIYMslK7wO7C50t1YQ0E=">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</latexit><latexit sha1_base64="szdElcFnIYMslK7wO7C50t1YQ0E=">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</latexit><latexit sha1_base64="szdElcFnIYMslK7wO7C50t1YQ0E=">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</latexit><latexit sha1_base64="szdElcFnIYMslK7wO7C50t1YQ0E=">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</latexit>

ˆ

⌅ =X

n1,··· ,n1

hn1, · · · , n1|e��E+�µN |n1, · · · , n1i

=X

n1,··· ,n1

hn1, · · · , n1|e��P

i ✏ini+�µP

i ni |n1, · · · , n1i<latexit sha1_base64="sHiqP+6SHSY5P2Ku0w4z1UDpYpY=">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</latexit><latexit sha1_base64="sHiqP+6SHSY5P2Ku0w4z1UDpYpY=">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</latexit><latexit sha1_base64="sHiqP+6SHSY5P2Ku0w4z1UDpYpY=">AAADGHictVJNaxRBEO0Zv+L6tdGjl8JFEYzLjAjJRQiK4EkiuMnC9jr09NZsmnT3DN01wjKZn+HFv+LFgyJec/Pf2Ls7B5MY8GLRDY9Xr6qrqiuvtPKUJL+i+NLlK1evbVzv3bh56/ad/ubdfV/WTuJIlrp041x41MriiBRpHFcOhck1HuRHr5b+g4/ovCrte1pUODViblWhpKBAZZvRkI8VPIIXANzXJmtslm4Bl7OSPGyBzRqubEGLtg0CLexcI1wkOQb80DwFniMJeA1POsRNDW9bOL4oDLhb5+W89x8KWWVTwLHySoeWVTinausEgf6HIrP+IBkmK4PzIO3AgHW2l/VP+KyUtUFLUgvvJ2lS0bQRjpTU2PZ47bES8kjMcRKgFQb9tFl9bAsPAzODonThWoIV+2dEI4z3C5MHpRF06M/6luTffJOaip1po2xVE1q5fqioNVAJyy2BmXIoSS8CENKpUCvIQ+GEpLBLvTCE9GzL58H+s2GaDNN3zwe7L7txbLD77AF7zFK2zXbZG7bHRkxGn6Iv0bfoe/w5/hr/iH+upXHUxdxjpyw++Q2WFvYl</latexit><latexit sha1_base64="sHiqP+6SHSY5P2Ku0w4z1UDpYpY=">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</latexit>

!25

Agora, a exponencial é um número e pode ser escrita como um produto de exponenciais:

⌅ =X

n1,··· ,n1

hn1, · · · , n1|eP

i[��(✏i�µ)ni]|n1, · · · , n1i

=X

n1,··· ,n1

hn1, · · · , n1|Y

i

e[��(✏i�µ)ni]|n1, · · · , n1i

=X

n1,··· ,n1

Y

i

he��(✏i�µ)

ini

=X

n1,··· ,n1

he��(✏1�µ)

in1

· · ·he��(✏1�µ)

in1

=

X

n1

he��(✏1�µ)

in1

!· · · X

n1

he��(✏1�µ)

in1

!

<latexit sha1_base64="THfIfHYxlCspAr2+mSGqeTdleg8=">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</latexit><latexit sha1_base64="THfIfHYxlCspAr2+mSGqeTdleg8=">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</latexit><latexit sha1_base64="THfIfHYxlCspAr2+mSGqeTdleg8=">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</latexit><latexit sha1_base64="THfIfHYxlCspAr2+mSGqeTdleg8=">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</latexit>

!26

No caso de férmions, temos ni = 0, 1, logo

A expressão anterior pode ser escrita na forma:

onde z=exp('() é a fugacidade do sistema.

⌅ =

X

n1=0,1

he��(✏1�µ)

in1

!· · · X

n1=0,1

he��(✏1�µ)

in1

!

=⇣1 + e��(✏1�µ)

⌘· · ·⇣1 + e��(✏1�µ)

⌘

=Y

i

⇣1 + e��(✏i�µ)

⌘

<latexit sha1_base64="AqJkQS6F6idHnd+FF7EUeAnarcs=">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</latexit><latexit sha1_base64="AqJkQS6F6idHnd+FF7EUeAnarcs=">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</latexit><latexit sha1_base64="AqJkQS6F6idHnd+FF7EUeAnarcs=">AAADfXicjVJda9swFFXsfXTZV7o97uWy0JFsbbDGoH0plO1ljx0sbSByjSzLiagsG0kuBONfsX+2t/2VvWxy6kDnlJELgqNzP86RuHEhhbFB8Kvn+Q8ePnq896T/9NnzFy8H+68uTF5qxqcsl7mexdRwKRSfWmElnxWa0yyW/DK+/tLkL2+4NiJX3+2q4GFGF0qkglHrqGi/94PMBLyDUwAieWpHQEyZRZWK8GlwiGto+TnwqwqOgMTcUhgRXhgh3QDccFk5hhqIFoulDa+a3s1tDIQluTXd4RURKrWrutX4r8Sm9l6lTfKOIOk3z2kFMXyAXa13zTa9O1rqihc6TyIBsIMNsW0jGgyDSbAO2Aa4BUPUxnk0+EmSnJUZV5ZJaswcB4UNK6qtYJLXfVIaXlB2TRd87qCiGTdhtd6eGg4ck0Caa3eUhTV7t6OimTGrLHaVGbVL08015H25eWnTk7ASqigtV+xWKC0l2ByaVYREaM6sXDlAmRbOK7Al1ZRZt7B99wm4++RtcPFxgoMJ/vZpePa5/Y499Aa9RSOE0TE6Q1/ROZoi1vvtgTf23nt//AP/0J/clnq9tuc1+if8479jiA9G</latexit><latexit sha1_base64="AqJkQS6F6idHnd+FF7EUeAnarcs=">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</latexit>

⌅ =Y

i

�1 + ze��✏i

�

<latexit sha1_base64="S9XJhlHNsGPcTo0wRXCyblw73Ho=">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</latexit><latexit sha1_base64="S9XJhlHNsGPcTo0wRXCyblw73Ho=">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</latexit><latexit sha1_base64="S9XJhlHNsGPcTo0wRXCyblw73Ho=">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</latexit><latexit sha1_base64="S9XJhlHNsGPcTo0wRXCyblw73Ho=">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</latexit>

!27

No caso de bósons, o número de ocupação pode ser qualquer valor inteiro, ni = 0, 1, …, portanto temos:

Logo, se a grandeza exp[–'(&i - ()] for menor do que 1 para todo i, teremos um conjunto de séries geométricas.

Usando ∑n qn = (1 − q)−1 com |q| < 1, obtemos:

⌅ =

X

n1=0,1,··· ,1

he��(✏1�µ)

in1

!· · ·

X

n1=0,1,··· ,1

he��(✏1�µ)

in1

!

<latexit sha1_base64="Dg7wdj9sgozF+TQnH6mebvP6teA=">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</latexit><latexit sha1_base64="Dg7wdj9sgozF+TQnH6mebvP6teA=">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</latexit><latexit sha1_base64="Dg7wdj9sgozF+TQnH6mebvP6teA=">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</latexit><latexit sha1_base64="Dg7wdj9sgozF+TQnH6mebvP6teA=">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</latexit>

⌅ =

✓1

1 + e��(✏1�µ)

◆· · ·

✓1

1 + e��(✏1�µ)

◆

=Y

i

1

1 + e��(✏i�µ)=

Y

i

1

1 + ze��✏i<latexit sha1_base64="OdBVEAIxSEcXFiNJ1+R1bZJIaPw=">AAAC/3icjVJNbxMxEPVu+SjhoymIE5cRESgVItpFleCCVMGFY5FIGykOkdc7m1j1fsierRSWPfSvcOHQCnHlb3Dj3+DdRiI0EWJsS09v/J7HY0eFVpaC4Jfnb127fuPm9q3O7Tt37+10d+8f2bw0Eocy17kZRcKiVhkOSZHGUWFQpJHG4+jkbZM/PkVjVZ59oEWBk1TMMpUoKchR013vIR8peAqvgWtMqA88MUJWYV1BCM8A8GMFz4FHSAL6HAurtJOFDZeWe1C7wY2azWkPuIxzsus+rdFmn4qrLKFFvdGOd9qyCpPHUwUu/qs09cfLzX/pP606rOgb4bTbCwZBG7AOwiXosWUcTrs/eZzLMsWMpBbWjsOgoEklDCmpse7w0mIh5ImY4djBTKRoJ1X7fjU8cUwMSW7cyghadlVRidTaRRq5namgub2aa8hNuXFJyatJpbKiJMzk5UFJqYFyaD4DxMqgJL1wQEijXK0g58J1idyX6bgmhFevvA6OXgzCYBC+3+8dvFm2Y5s9Yo9Zn4XsJTtg79ghGzLpffa+eOfehX/mf/W/+d8vt/reUvOA/RX+j99TNuTZ</latexit><latexit 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sha1_base64="OdBVEAIxSEcXFiNJ1+R1bZJIaPw=">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</latexit><latexit sha1_base64="OdBVEAIxSEcXFiNJ1+R1bZJIaPw=">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</latexit>

!28

No caso de bósons deve verif icar-se exp[–'(&i - ( ) ]<1 ou

equivalentemente ze-'εi < 1 para todo i, para que - não fique divergente.

A condição exp[–'(&i - ()] <1 implica '(&i - () >0, portanto:

( < &i

Isto é, o potencial químico deve ser menor que qualquer um dos autovalores de energia de uma única partícula.

Ou seja, o para bósons o potencial químico deve ser menor que a energia do estado fundamental de uma única partícula:

( < &0

Em muitos casos temos &0=0, e portanto, ( < 0.

Se essa condição não se verifica, a função de partição ficará divergente, não podendo representar um sistema físico.

!29

De forma unificada, podemos escrever a função de partição macrocanônica para um gás ideal quântico como

onde o sinal (+) corresponde a férmions e o sinal (−) a bósons.

onde os ni devem verificarP

ini = N . Portanto, temos

QN =X

{ni}

exp

��X

i

ni✏i

!. (7.19)

onde a soma deve ser realizada sobre todas as combinações {ni} que verificam a Eq. (7.16) ePini = N . A função de partição macrocanônica fica

⌅(z, V, T ) =1X

N=0

zNX

{ni}

exp

��X

i

ni✏i

!=

1X

N=0

X

{ni}

zNY

i

⇣e��✏i

⌘ni

. (7.20)

Por outro lado, temoszN = z

Pini =

Y

i

zni , (7.21)

logo

⌅(z, V, T ) =1X

N=0

X

{ni}

Y

i

⇣ze��✏i

⌘ni

. (7.22)

Na expressão anterior temos duas somatórias, uma sobre todas as combinações {ni} para N fixo, eoutra sobre todos os valores possíveis de N . Isto é equivalente a somar sobre todos os valores de ni

independentemente um dos outros. Portanto, temos

⌅(z, V, T ) =X

n0,n1,...

⇣ze��✏0

⌘n0⇣ze��✏1

⌘n1

· · · = (7.23)

=

"X

n0

⇣ze��✏0

⌘n0

#"X

n1

⇣ze��✏1

⌘n1

#· · · (7.24)

No caso de férmions, temos ni = 0, 1, logo

⌅(z, V, T ) = [ 1|{z}n0=0

+ ze��✏0

| {z }n0=1

][1 + ze��✏1 ] · · · =Y

i

(1 + ze��✏i) (7.25)

No caso de bósons, ni = 0, 1, ..., e obtemos um produto de séries geométricas. UsandoP

nqn =

(1 � q)�1 com |q| < 1, temos

⌅(z, V, T ) =

1

1 � ze��✏0

� 1

1 � ze��✏1

�· · · =

Y

i

1

1 � ze��✏i, (7.26)

onde ze��✏i < 1 para todo i, para que ⌅ não fique divergente quando N ! 1.De forma unificada, podemos escrever a função de partição macrocanônica para um gás quântico

como

⌅(z, V, T ) =Y

i

(1 ± ze��✏i)±1, (7.27)

72

!30

Para estabelecer a conexão com a Termodinâmica, usamos

Esta expressão pode ser escrita de forma genérica como

onde

onde o sinal + corresponde a férmions e o sinal � a bósons.Para estabelecer a conexão com a Termodinâmica, utilizamos PV = kT ln ⌅:

PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) = ±

X

i

ln(1 ± ze��✏i). (7.28)


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) =

1

a

X

i

ln(1 + aze��✏i), (7.29)

onde

a =

8><

>:

�1 para bósons+1 para férmions0 no limite clássico .

(7.30)

A partir de ⌅ podemos obter o número médio de partículas N

N = hNi = z@

@zln ⌅

��V,T

=z

a

X

i

ae��✏i

1 + aze��✏i=

X

i

1

z�1e�✏i + a. (7.31)

Lembrando que N =P

ini podemos identificar o número de ocupação médio ni de cada nível de

energia como

ni =1

z�1e�✏i + a. (7.32)

Finalmente, a energia interna U é dada por

U = hEi = � @

@�ln ⌅

��z,V

=X

i

✓�1

a

◆�az✏ie��✏i

1 + aze��✏i=

X

i

✏iz�1e�✏i + a

(7.33)

que, como era de esperar, ficou da forma E =P

ini✏i.

73

a =

(�1 para bosons

+1 para fermions

Termodinâmica do gás ideal quântico

⌦(z, V, T ) = �PV = �kT ln⌅(z, V, T )

PV

kT= kT ln⌅(z, V, T ) = kT ln

Y

i

(1± ze��✏i)±1

PV

kT= ±kT

X

i

ln(1± ze��✏i)<latexit sha1_base64="7JmDibJDCnBHaUiai03qUcN2UuU=">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</latexit><latexit sha1_base64="7JmDibJDCnBHaUiai03qUcN2UuU=">AAACw3ichVFda9swFJW9ry77aLY97uWysJFCE+wx2F4KoWOwt2WQuIEoDbJynQpLtpDkQmr8J/u2/ZrJaaBbG9gFocM5954r3ZtqKayLol9B+ODho8dPDp52nj1/8fKw++p1YsvKcJzyUpZmljKLUhQ4dcJJnGmDTKUSz9L8a6ufXaKxoiwmbqNxodi6EJngzHlq2f1Nfyhcs/7VMSTHMDmCD3ACAxhD4m8Y5BOgsgA6E7cZlHZoZhivx0lT55NmW7Iv8ZbVplwtBfRjDxVcAZ7XA5qiY0BRWyH9S0RzdF63atzs79BqrZ+tlLdqbf9jt+z2omG0DbgP4h3okV2Ml91ruip5pbBwXDJr53Gk3aJmxgkusenQyqJmPGdrnHtYMIV2UW930MB7z6wgK40/hYMt+3dFzZS1G5X6TMXchb2rteQ+bV657MuiFoWuHBb8plFWSXAltAuFlTDIndx4wLgR/q3AL5ifnvNr7/ghxHe/fB8kH4dxNIx/fuqNTnfjOCBvyTvSJzH5TEbkOxmTKeHBKMiCMtDhtzAPTehuUsNgV/OG/BNh8wcSEc/k</latexit><latexit sha1_base64="7JmDibJDCnBHaUiai03qUcN2UuU=">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</latexit><latexit sha1_base64="7JmDibJDCnBHaUiai03qUcN2UuU=">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</latexit>

!31

A partir de Ξ podemos obter o número médio de partículas N

Lembrando que N = ∑i ni podemos identificar o número de ocupação médio ni de cada nível de energia como


que, como era de esperar, ficou da forma U = ∑i εi ⟨ni⟩.


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) = ±

X

i

ln(1 ± ze��✏i). (7.28)


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) =

1

a

X

i

ln(1 + aze��✏i), (7.29)

onde

a =

8><

>:


(7.30)


N = hNi = z@

@zln ⌅

��V,T

=z

a

X

i

ae��✏i

1 + aze��✏i=

X

i

1

z�1e�✏i + a. (7.31)

Lembrando que N =P


energia como

ni =1

z�1e�✏i + a. (7.32)


U = hEi = � @

@�ln ⌅

��z,V

=X

i

✓�1

a


1 + aze��✏i=

X

i

✏iz�1e�✏i + a

(7.33)


ini✏i.

73


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) = ±

X

i

ln(1 ± ze��✏i). (7.28)


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) =

1

a

X

i

ln(1 + aze��✏i), (7.29)

onde

a =

8><

>:


(7.30)


N = hNi = z@

@zln ⌅

��V,T

=z

a

X

i

ae��✏i

1 + aze��✏i=

X

i

1

z�1e�✏i + a. (7.31)

Lembrando que N =P


energia como

ni =1

z�1e�✏i + a. (7.32)


U = hEi = � @

@�ln ⌅

��z,V

=X

i

✓�1

a


1 + aze��✏i=

X

i

✏iz�1e�✏i + a

(7.33)


ini✏i.

73


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) = ±

X

i

ln(1 ± ze��✏i). (7.28)


PV

kT= ln ⌅(z, V, T ) =

1

a

X

i

ln(1 + aze��✏i), (7.29)

onde

a =

8><

>:


(7.30)


N = hNi = z@

@zln ⌅

��V,T

=z

a

X

i

ae��✏i

1 + aze��✏i=

X

i

1

z�1e�✏i + a. (7.31)

Lembrando que N =P


energia como

hnii =1

z�1e�✏i + a. (7.32)


U = hEi = � @

@�ln ⌅

��z,V

=X

i

✓�1

a


1 + aze��✏i=

X

i

✏iz�1e�✏i + a

(7.33)


ini✏i.

73

CAPÍTULO 6 Gases quânticos sem interação · a energia média de uma partícula é E=(3/2)kT e o...

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