Capítulo 5 Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 2ª Edição © Gerson Lachtermacher,2005...
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Capítulo 5
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões
2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005
Problemas de Rede
Capítulo 5
Conteúdos do Capítulo
Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas
Sem/Com Dummy Como Modelos de Rede
Caso LCL Fórmula 1 Ltda. Caso LCL Construções S.A.
Problemas de Rede de Distribuição; Caso Frod Brasil Caso LCL Eletrodomésticos
Problemas do Menor Caminho; Problemas de Fluxo Máximo;
Capítulo 5
Problema de TransporteCaso LCL Bicicletas
Centro Consumidor
Fábrica Recife Salvador Manaus Capacidade
Rio 25 20 30 2000São Paulo 30 25 25 1500B.Horizonte 20 15 23 1500Demanda 2000 2000 1000
A LCL Bicicletas possui 3 fábricas localizadas no Rio, São Paulo e Belo Horizonte. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador e Manaus. Considerando os custos de transporte unitários, as capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.
Capítulo 5
Problema de Transporte:Modelo Tradicional
Existem 9 variáveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possíveis vias. xij = Quantidade transportada da fábrica i para o centro
consumidor j.
Horizonte Belo 3
Paulo São 2
Rio 1
i
Manaus 3
Salvador 2
Recife 1
j
Capítulo 5
Problema de Transporte:Variáveis de Decisão
RIO
SP
BHZ
REC
SSA
MAN
x11
x12
x13
x21
x22
x23
x31
x32
x33
Centro Consumidor
Fábrica REC SSA MAN
Rio x11 x12 x13
SP x21 x22 x23
BH x31 x32 x33
Capítulo 5
Problema de Transporte:Modelo Tradicional
0
1000
2000
2000
1500
1500
2000
s.t.
231520
252530302025
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231
232221131211
ijx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxMin
Capítulo 5
Problemas de Transporte:Propriedades
Soluções Inteiras:
Para problemas de transporte onde os valores das ofertas, oi e
demandas dj , sejam números inteiros, todos os valores das
variáveis das soluções básicas viáveis, incluindo a solução
ótima, também serão inteiros.
Capítulo 5
A condição necessária e suficiente para um problema de transporte com n fábricas e m centros consumidores tenha solução é dada por:
Total da Capacidade = Total da demanda
m
jj
n
ii df
11
Problemas de Transporte:Propriedades
Capítulo 5
Problema de TransporteOferta Diferente da Demanda
A regra das variáveis fantasma (Dummy): No caso de Oferta Demanda devemos introduzir
um destino fantasma; No caso de Demanda Oferta devemos introduzir
uma oferta fantasma; Todos os custos relacionados às variáveis fantasma
serão nulos; A oferta ou a demanda fantasma será dada pela
diferença entre o total ofertado e total demandado.
Capítulo 5
Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas
Modificando a oferta de São Paulo de 1500 para 3000
Demanda total menor que a Oferta total!
Centro Consumidor Capacidade
Fábrica Recife Salvador Manaus (oferta)
Rio 25 20 30 2000
São Paulo 30 25 25 3000
B.Horizonte 20 15 23 1500
Demanda 2000 2000 1000
Capítulo 5
Problema de Transporte Caso LCL Bicicletas
Centro Consumidor
Fábrica Recife Salvador Manaus Dummy Capacidade
Rio 25 20 30 0 2000
São Paulo 30 25 25 0 3000
B.Horizonte 20 15 23 0 1500
Demanda 2000 2000 1000 1500
Cria-se um consumidor Dummy:
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Parâmetros e Opções do Solver
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Resolvendo no Excel
Capítulo 5
Problemas de TransporteSolução Alternativa
As Variáveis Dummy não são obrigatórias, apenas facilitam a interpretação do resultado da otimização.
Capacidade > Demanda: Criação de consumidor
dummy Interpretação: capacidade
ociosa Alternativa: restrições
de oferta com sinal
Demanda > Capacidade: Criação de fábrica
dummy Interpretação: demanda
não atendida; Alternativa: restrições
de demanda com sinal
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel
Todas as fórmulas são idênticas...
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel
As restrições de oferta estão com sinal
Capítulo 5
Caso LCL Bicicletas Modelo sem Fantasma no Excel
Capítulo 5
Modelos em Rede
Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas.
Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos.
Nós
arcos
Capítulo 5
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede
Sem Utilização de Variáveis Dummy
Capítulo 5
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede
Com Utilização de Variáveis Dummy
Capítulo 5
Regra de Fluxo Balanceado
Uma maneira de modelar um problema de rede é seguir
a Regra Fluxo Balanceado para cada nó.
No Caso de Oferta Total = Demanda Total
nó do
andaOferta/Dem
nó no
saídas de total
nó no
entradas de total
Capítulo 5
Regra de Fluxo Balanceado
nó do
andaOferta/Dem
nó no
saídas de total
nó no
entradas de total
nó do
andaOferta/Dem
nó no
saídas de total
nó no
entradas de total
Caso a Oferta Total > Demanda Total
Caso a Oferta Total < Demanda Total
Capítulo 5
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede
=SOMASE($C$4:$C$15;H4;$F$4:$F$15)-SOMASE($A$4:$A$15;H4;$F$4:$F$15)
Capítulo 5
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede
Capítulo 5
Caso LCL BicicletasRepresentação Como Problema de Rede
Capítulo 5
Problema de TransporteAplicações
O problema de transporte não é aplicado apenas a
problemas de distribuição de mercadorias das fábricas
para centros distribuidores;
O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros
tipos de problema, tais como: Problemas de Escalas de Produção;
Problemas de Lay-out de fábricas;
Capítulo 5
Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
A LCL Fórmula 1 Ltda. fornece motores para um grande nº de equipes de fórmula 1. A companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano. As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com as necessidades das equipes. A tabela resume as entregas programadas, a capacidade máxima de produção, o custo de produção por trimestre e o custo de armazenamento. Formule o problema para achar o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre de maneira a atender os pedidos contratados.
* em milhões de reais
Capítulo 5
Fonte i = Produção de motores no trimestre i (i=1,..,4)
Destino j= entrega dos motores às equipes no trimestre j (j=1,..,4)
xij = nº de motores produzidos no trimestre i para entrega no trimestre j
cij = custo associado ao motor xi
Dj = nº de pedidos contratados Fi = capacidade de produção
no mês i
Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
30202515101001,13043001,11533501,1402
2501,1251,1101,0951,0801Oferta5(D)4321
1,110 1,1251,10
Entrega dos Motores (trimestre)
Produçãono
Trimestre
Demanda
Capítulo 5
Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
Capítulo 5
Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
Capítulo 5
Caso LCL Fórmula 1 Ltda.
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
A Frod Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma na Bahia e outra
em São Paulo, e está estudando a forma de distribuição de seus
carros para as diversas revendas de Minas Gerais.
A seguir é apresentada a possível rede de distribuição dos
veículos, seus custos de transporte unitários, demandas por
revenda e as capacidades das fábricas.
Formule o Problema de LP que resolva as rotas que devem ser
seguidas a partir das fábricas para atender as diversas revendas.
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
SP1
BA2
3
4
5
6
7
-500
-600
+200
+300
+250
+350
+350
40
20
2025
25
35
40
10
1010 10
1015
ofertademanda
Capítulo 5
Variáveis de Decisão xij – Nº de Carro remetidos de i para j Exemplo:
x14 – Nº de Carro remetidos de 1 para 4
Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição
76
656756474536
272423151314
10
101015253525
402010402010
X
XXXXXX
XXXXXXMin
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Como a oferta total é menor que a demanda total
devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:
Entradas – Saídas < Oferta / Demanda no nó
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Capítulo 5
Problemas de Rede de Distribuição Caso Frod Brasil
Capítulo 5
A LCL Eletrodomésticos Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua produção para os próximos 4 meses. Sua fábrica pode produzir mensalmente em horário normal 150 ferros de passar a um custo de R$5, e em horário extra, 50 unidades a um custo de R$ 7. Considere que é possível armazenar durante um mês a um custo unitário de R$1. Suponha que as demandas para os próximos quatro meses são de 120, 200,120 e 180.
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
Capítulo 5
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
Para resolver este problema, criaremos uma rede onde:
Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 8 unidades produtoras (2 por mês), e 5 unidades receptoras (4 meses mais o Dummy – visto que a capacidade produtiva é maior que a demanda);
Cada arco está relacionado ao custo de produção ou armazenagem.
Capítulo 5
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
-150
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3-150
5-150
7-150
2-50
4-50
6-50
8-50
D +180
C +120
B +200
A +120
5
7
5
7
5
7
5
7
Dummy
E
+800-620=+180
1
1
1
Capítulo 5
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
=SOMASE($C$3:$C$21;F15;$E$3:$E$21)-SOMASE($B$3:$B$21;F15;$E$3:$E$21)
=somarproduto(D3:D21;E3:E21)
Capítulo 5
Caso LCL Eletrodomésticos Ltda.
Capítulo 5
Problemas de Menor Caminho
Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a
distância entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a
rota que une estes pontos com distância mínima,
teremos um problema do tipo do Menor caminho.
Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado
a distribuição de produtos, entre outros.
Capítulo 5
Problemas de Menor Caminho Exemplo
Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.
A B
4
3
2
140
30
3030
20
20
20
Capítulo 5
Este problema pode ser visto como um problema de rede de distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos da malha sem demanda ou oferta (=0)
Problemas de Menor Caminho Exemplo
[-1] [+1]A B
4
3
2
140
30
3030
20
20
20
Capítulo 5
Problemas de Menor Caminho Exemplo
Capítulo 5
Problemas de Menor Caminho Exemplo
Capítulo 5
Problemas de Menor CaminhoSolução
Capítulo 5
Problema do Fluxo Máximo
Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos,
e desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa
fluir de um determinado nó para outro.
Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser
utilizado simultaneamente.
Aplicações Rede de distribuição de água, luz, gás e tráfego na internet.
Capítulo 5
Como resolver o problema? Adicionar um arco artificial ligando o ponto de saída (A) ao
ponto de chegada (B).
Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande).
Utilizar a regra de balanceamento de redes.
As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em
cada trecho da rede, portanto restrições no modelo.
O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero.
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo
Capítulo 5
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo
30
30
A B
4
3
2
140
30
20
20
40
30
30
A B
4
3
2
140
30
20
20
40
Capítulo 5
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo
Capítulo 5
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo
Capítulo 5
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo
Capítulo 5
Problemas de RedeProblema do Fluxo Máximo