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Capítulo 3

VIGAS 3.1 – Módulos para cálculo de vigas

Na fig. 3.1.1, apresenta-se uma parte da janela principal do PACON 2006, mostrando os submenus correspondentes aos módulos para cálculo e dimensionamento de vigas.

Fig. 3.1.1 – Módulos sobre vigas

Conforme se observa, o programa possui os seguintes módulos: • Estado limite último

Módulos para dimensionamento e verificação de seções de concreto armado no estado limite último. Estão disponíveis os seguintes submenus: “Flexão simples”, “Esforço cortante”, “Torção”, “Ancoragem” e “Emendas”. A) Flexão simples: Módulos para dimensionamento e verificação de seções transversais submetidas à flexão simples normal. Neste caso, há quatro submenus. A.1) Dimensionamento: Seção retangular: Realiza o dimensionamento de seções retangulares sob flexão simples normal. O programa calcula as áreas das armaduras e permite fazer o

Curso de Concreto Armado 34

detalhamento completo, até o desenho da seção transversal com a disposição das barras de aço. A.2) Dimensionamento: Seção T: Realiza o dimensionamento de seções T sob flexão simples normal. O programa calcula as áreas das armaduras e permite fazer o detalhamento completo, até o desenho da seção transversal com a disposição das barras de aço. A.3) Verificação: Seção retangular: Calcula o momento fletor de ruína de uma seção retangular com diversas camadas de armadura. As áreas de aço e a disposição das barras são dados de entrada.

A.4) Verificação: Seção T: Calcula o momento fletor de ruína de uma seção T com diversas camadas de armadura. As áreas de aço e a disposição das barras são dados de entrada. B) Esforço cortante: Módulo para dimensionamento ao esforço cortante. O programa fornece a área da armadura transversal e o espaçamento dos estribos para um diâmetro escolhido. C) Torção: Módulo para dimensionamento de seções retangulares submetidas à torção com flexão. O programa calcula as armaduras para o momento fletor, esforço cortante e momento torçor e faz a superposição das mesmas. D) Ancoragem: Calcula os comprimentos de ancoragem reta e com gancho das barras da armadura. Neste caso, há dois submenus: “No vão” e “No apoio”.

D.1) No vão: Calcula os comprimentos de ancoragem das barras que são ancoradas ao longo dos vãos das vigas. Esses valores são usados para determinar os comprimentos das barras que são escalonadas.

D.2) No apoio: Calcula os comprimentos de ancoragem das barras que são ancoradas nos apoios de extremidade das vigas.

Calculando com o PACON 2006 35

E) Emendas: Calcula os comprimentos das emendas por traspasse de barras tracionadas e de barras comprimidas. • Estados limites de utilização

Módulo para cálculo da flecha e da abertura das fissuras das vigas. O programa analisa um vão genérico de uma viga contínua submetido a diversos tipos de carga. A flecha e a abertura das fissuras são calculadas empregando-se os métodos da NBR-6118, do CEB e do EC-2. • Esforços

Módulo para cálculo de esforços em vigas contínuas. O programa faz dois cálculos: como viga contínua; engastando os apoios internos. Os momentos para dimensionamento são determinados a partir desses dois cálculos, conforme exigido pela NBR-6118. O programa permite considerar momentos iniciais devidos ao vento e ligações elásticas com os pilares de apoio. 3.2 – Vigas – Estado limite último – Flexão simples – Dimensionamento: Seção retangular O dimensionamento das armaduras longitudinais das vigas de seção retangular é feito empregando-se a metodologia desenvolvida no capítulo 3 do Volume 1 [1]. O detalhamento segue as regras apresentadas no capítulo 5 do Volume 2 [1].

Além dos alertas gerais descritos no capítulo 1, esse módulo apresenta diversas mensagens de aviso específicas.

Sempre que a largura b da seção retangular for menor do que 12cm, é exibida uma mensagem informando que esta é a menor largura das seções das vigas admitida na NBR-6118. Entretanto, o programa permite que o projeto seja feito, mesmo para 12<b cm.

O momento fletor de serviço pode ser positivo ou negativo. O sinal do momento irá afetar a disposição das armaduras. Se , a armadura tracionada (de área ) será disposta na face inferior da viga e a armadura comprimida (de área

kM

0>kM sA

sA′ ) será disposta na face superior da viga. Se 0<kM , essas posições serão invertidas.


Após o dimensionamento, é feita a comparação da armadura tracionada com a armadura mínima, sA bhAs minmin, ρ= , onde

é a altura da seção transversal e

h

minρ é a taxa de armadura mínima, dada na equação (2.2.2). Além disso, o programa verifica a armadura máxima. Se resultar ( ) ( ) %4>′+ bhAA ss , é exibida uma mensagem de alerta para que o usuário aumente as dimensões da seção transversal. O dimensionamento é interrompido nessas condições. Concluído o dimensionamento, pode-se visualizar e imprimir um relatório contendo apenas essa etapa do projeto. Para isto, basta clicar no botão “Imprimir”, situado na barra de ferramentas. Esse botão só fica habilitado após a conclusão do dimensionamento. Exemplo: Dimensionar as armaduras longitudinais da viga indicada na fig. 3.2.1. Considerar 20=ckf MPa, 500=ykf MPa (aço CA-

50) e GPa. Os coeficientes parciais de segurança são 200=sE4,1=cγ ; 15,1=sγ e 4,1=fγ . Observa-se que todos esses dados

correspondem aos valores padronizados no programa.

pk=15 kN/m

l=4m

15cm

A's

As

40

4

36

Fig. 3.2.1 – Viga do exemplo

O momento fletor de serviço na seção central é

3082 == lpM kk kNm. Na fig. 3.2.2, apresenta-se o formulário com os dados e os resultados do dimensionamento.


Fig. 3.2.2 – Formulário com dados e resultados do dimensionamento Observa-se pela fig. 3.2.2 que, após a realização do dimensionamento, o botão “Imprimir”, situado na barra de ferramentas, e o botão de comando “Detalhamento” ficam habilitados. Clicando em “Imprimir”, pode-se visualizar e imprimir o relatório apresentado na fig. 3.2.3. Clicando no botão “Detalhamento”, será exibido um novo formulário para fornecimento dos seguintes dados: - Diâmetro da armadura tracionada: φ (mm) - Diâmetro da armadura comprimida: φ′ (mm) - Diâmetro dos estribos: tφ (mm) - Cobrimento das armaduras: (cm) nomc- Diâmetro máximo do agregado: (mm) maxd- Espaço para o vibrador: (cm) oe O programa verifica se o cobrimento nominal escolhido atende as exigências da NBR-6118, conforme a classe de agressividade ambiental. A classe de agressividade é admitida pelo programa em


função do valor de . Por exemplo, se for especificado MPa, o programa admite que se trata da Classe II. Neste

caso, o cobrimento nominal exigido pela NBR-6118 é igual a 3,0 cm. Se for escolhido

ckf25=ckf

5,2=nomc cm (valor correspondente à Classe I), será exibida uma mensagem de alerta. Na verdade, pode-se empregar um concreto com 25=ckf MPa para a Classe I. Se este for o caso, a mensagem de alerta deve ser ignorada, podendo-se adotar

cm. 5,2=nomc

Fig. 3.2.3 – Relatório do dimensionamento O diâmetro máximo do agregado é limitado aos seguintes valores

⎩⎨⎧

≤nomc

bd

2,14

max (3.2.1)


O programa não aceita valores de em desacordo com a equação (3.2.1).

maxd

A disposição das barras situadas na face inferior da viga é feita em conformidade com a fig. 3.2.4.

eh

ev

φ

eo

Fig. 3.2.4 – Disposição das barras na face inferior

O espaçamento mínimo das barras nas camadas horizontais é dado por

⎪⎩

⎪⎨

⎧′≥

max2,1)(

2

doucm

eh φφ (3.2.2)

No plano vertical, é respeitado o espaçamento mínimo

⎪⎩

⎪⎨

⎧′≥

max5,0)(

2

doucm

ev φφ (3.2.3)

Quando resultar mais de uma camada, o programa verifica se é possível garantir o espaço livre para a passagem da agulha do vibrador.

oe

Se não for possível colocar 2 barras por camada, o programa alerta para a necessidade de revisão do projeto. Neste caso, pode-se


reduzir o diâmetro das barras e/ou aumentar a largura da seção da viga. A disposição das barras situadas na face superior da viga é feita em conformidade com a fig. 3.2.5.

> eoeh

ev

Fig. 3.2.5 – Disposição das barras na face superior

Se não for possível passar a agulha do vibrador, conforme indicado na fig. 3.2.5, o programa exibe uma mensagem para que o projeto seja revisado. A partir dos resultados do dimensionamento, e sA sA′ , e das escolhas feitas para φ , φ′ , tφ , , e , o programa calcula o número de barras necessárias para garantir as áreas de aço requeridas. Esse número de barras corresponde a uma solução preliminar, pois ainda é necessário estudar o alojamento dessas barras na seção transversal. O programa indica o posicionamento das armaduras nas faces superior e inferior da viga, conforme o sinal do momento fletor .

nomc maxd oe

kM Na fig. 3.2.6, apresenta-se o formulário com os resultados para o problema do exemplo. Após essa etapa do cálculo, pode-se clicar no botão “Ver seção” para ver um desenho da seção transversal com as barras da armadura.

Para permitir o alojamento das barras, de acordo com os critérios apresentados anteriormente, pode ser necessário adotar mais de uma camada de armadura. Se resultar mais do que 10 camadas em cada face, o programa é interrompido para que o projeto seja revisado.


Fig. 3.2.6 – Formulário com dados e resultados do detalhamento

Em alguns casos pode ocorrer que, para manter a simetria, o número de barras seja aumentado de 01 barra em relação à solução preliminar da fig. 3.2.6.

Após o detalhamento, o programa localiza o centróide das armaduras com a disposição adotada, conforme indicado na fig.3.2.7 para momento fletor positivo. Se o momento for negativo, as armaduras serão invertidas. De acordo com a fig. 3.2.7, são definidas as seguintes dimensões:

ed = altura útil exata (valor correto de com a disposição de barras adotada);

d

ed ′ = distância exata do centróide das armaduras comprimidas até a face da seção (valor correto de d ′ )

oy = distância do centróide das armaduras tracionadas até a primeira camada de armadura.


d'e

yo

deh

A's

As

Fig. 3.2.7 – Localizações corretas dos centróides das armaduras

Se resultar , é exibida uma mensagem de que deve-se considerar a disposição correta das barras. De acordo com a NBR-6118, não é permitido realizar o dimensionamento concentrando as armaduras no centróide, como é feito no início deste módulo. O programa sugere o emprego do módulo de “Verificação” para confirmar se o momento de ruína de serviço , obtido com a disposição de barras adotada, é maior ou igual ao momento de serviço . Alternativamente, pode-se modificar os dados, como empregar barras de maior diâmetro, aumentar as dimensões da seção transversal, etc., e refazer a parte do detalhamento.

hyo 1,0>

ukM

kM

Se resultar hyo 1,0≤ , o dimensionamento realizado concentrando as armaduras no centróide é válido. Entretanto, os valores de e d d ′ adotados no início podem ser diferentes dos valores exatos e ed ed ′ . Desse modo, o programa refaz o dimensionamento, considerando os valores exatos e ed ed ′ , e verifica se as armaduras adotadas são suficientes. Caso as armaduras adotadas sejam menores que as armaduras necessárias, considerando

e , é exibida uma mensagem indicando que é necessário refazer o dimensionamento com os valores corretos da altura útil e da distância

ed ed ′

ed

ed ′ . Neste caso, deve-se retornar ao início do módulo,


alterar o valor de para , alterar o valor de d ed d ′ para ed ′ , e refazer todo o projeto desde o início. Na fig. 3.2.8, apresenta-se o último formulário correspondente ao projeto da viga do exemplo.

Fig. 3.2.8 – Formulário com o resultado final do projeto Conforme se observa na fig. 3.2.8, 38,36=ed cm e

cm são diferentes dos valores adotados no início, cm e 25,3=′ed

36=d 4=′d cm. Entretanto, o dimensionamento realizado com os valores corretos confirmou que as armaduras são suficientes e nenhuma mensagem foi exibida. Neste caso, isto é evidente, pois

. Porém quando o número de camadas de armadura for dde >


grande, será necessário refazer o projeto com os valores corretos e .

ed

ed ′

Os valores corretos 38,36=ed cm e 25,3=′ed cm devem ser utilizados em novos cálculos relativos a essa viga como, por exemplo, para o dimensionamento ao esforço cortante, cálculo de flechas, etc.. A partir da janela da fig. 3.2.8, pode-se visualizar e imprimir um relatório completo, incluindo o desenho da seção transversal. Exercícios: 1. Repetir o exemplo anterior considerando 25=ckf MPa e

MPa. Ignorar a mensagem referente ao cobrimento nominal.

30=ckf

2. Repetir o dimensionamento para os três valores de e para o momento fletor de serviço

ckf70=kM kNm/m.

Que conclusões podem ser tiradas desses resultados? Comparar os resultados com aqueles obtidos nos exercícios propostos na seção 2.2 (Lajes maciças – Flexão simples). Observar que, em ambos os problemas, a solicitação é de flexão simples. 3.3 – Vigas – Estado limite último – Flexão simples – Dimensionamento: Seção T O dimensionamento das armaduras longitudinais das vigas de seção T é feito empregando-se a metodologia desenvolvida no capítulo 4 do Volume 1 [1]. O detalhamento segue as regras apresentadas no capítulo 5 do Volume 2 [1].

Após o dimensionamento, é feita a comparação da armadura tracionada com a armadura mínima, sA cs AA minmin, ρ= , onde

é a área da seção transversal, considerando-se a mesa e a nervura. A taxa mínima

cA

minρ é dada na equação (2.2.2). A armadura total é limitada em ( ) %4≤′+ css AAA .


Neste módulo, o momento fletor de serviço deve ser sempre positivo, pois só se considera a seção T com mesa superior. Se , a viga funciona como seção retangular de largura e altura .

kM

0<kM wbh Na fase de detalhamento das armaduras, são feitas as mesmas

verificações descritas para a seção retangular. 3.4 – Vigas – Estado limite último – Flexão simples – Verificação: Seção retangular Este módulo destina-se à verificação da capacidade resistente de seções retangulares submetidas à flexão simples normal. Ele deve ser usado nas verificações de projetos, quando a estrutura já foi dimensionada.

A metodologia utilizada é apresentada no capítulo 5 do Volume 1 [1]. Dada a seção com uma armadura conhecida, emprega-se o processo iterativo da bissecante para encontrar a profundidade da linha neutra. Em seguida, determina-se o momento fletor de ruína de cálculo . dM

Deve-se observar que, nos módulos de verificação, o programa fornece o momento fletor de cálculo. Para obter o momento de serviço, basta calcular fdk MM γ= , onde fγ é o coeficiente parcial de segurança desejado.

Neste módulo, a seção transversal pode ter até 300 camadas de armadura. As armaduras são distribuídas, conforme a fig. 3.4.1. Após fornecer a largura da seção (em cm) e o número de camadas, deve-se clicar no botão “Entrar com dados das camadas” para fornecer a área (em cm

b n

siA 2) e a altura útil (em cm) de cada camada de armadura. As camadas podem ser numeradas de maneira desordenada. O programa se encarrega de fazer a ordenação, conforme indicado na fig. 3.4.1.

id

Deve-se observar que os módulos de dimensionamento, apresentados anteriormente, só consideram duas camadas de armadura: uma camada tracionada, de área , e uma camada comprimida, de área

sA

sA′ . Quando o detalhamento indicar a disposição das barras em várias camadas, o dimensionamento será


aproximado. Conforme foi salientado na seção 3.2, se hyo 1,0≤ o erro é pequeno e o dimensionamento é aceito. Entretanto, quando

, deve-se fazer uma verificação, considerando a disposição real das camadas de armadura.

hyo 1,0>

b

Asi

dn

di

d1hMd

Fig. 3.4.1 – Seção retangular com várias camadas de armadura

Exemplo: Determinar o momento de ruína de cálculo da seção transversal indicada na fig. 3.4.2. A seção é armada com 7 barras de 16mm na zona tracionada e 2 barras de 16mm na borda comprimida. O concreto possui 20=ckf MPa e o aço é o CA-50. Este exemplo é apresentado no capítulo 5 do Volume 1 [1]. Após clicar no botão “Entrar com dados das camadas”, deve-se preencher a grade, conforme indicado na tabela 3.4.1.

Tabela 3.4.1 – Dados da grade Camada Área (cm2) Altura útil d (cm)

1 6,03 36 2 4,02 32 3 4,02 28 4 4,02 4


4

2832

36

15

40

Área de 1 barra = 2,01cm2

Fig. 3.4.2 - Seção transversal do exemplo Na fig. 3.4.3, apresenta-se o formulário com o resultado

kNm. Observa-se que o botão “Imprimir” da barra de ferramentas está habilitado para a visualização e/ou impressão do relatório.

14,129=dM

Fig. 3.4.3 – Formulário da verificação de seções retangulares


3.5 – Vigas – Estado limite último – Flexão simples – Verificação: Seção T Este módulo destina-se à verificação da capacidade resistente de seções T submetidas à flexão simples normal. Ele deve ser usado nas verificações de projetos, ou quando resultar no módulo de dimensionamento de seções T.

hyo 1,0>

A metodologia é a mesma utilizada para as seções retangulares e pode ser encontrada no capítulo 5 do Volume 1 [1] (com as fórmulas específicas no final do capítulo).

O uso do programa é análogo ao apresentado para a seção retangular. Para caracterizar a seção T, é necessário fornecer a largura da mesa , a espessura da mesa , a largura da nervura

e o número de camadas de armadura . Em seguida, deve-se preencher a grade com as informações das camadas de aço: e

. O programa fornece o momento fletor de ruína de cálculo .

fb fh

wb n

siA

id dM 3.6 – Vigas – Estado limite último – Esforço cortante O dimensionamento ao esforço cortante é feito com base no procedimento descrito no capítulo 6 do Volume 1 [1]. Além dos alertas gerais, o programa avisa sobre a restrição imposta pela NBR-6118, sempre que a largura 12<wb cm. Além dos valores previamente inicializados, deve-se fornecer os seguintes dados:

wb = largura das seções retangulares ou largura da nervura das seções T (em cm); d = altura útil (em cm);

tφ = diâmetro dos estribos (em mm);

kV = esforço cortante de serviço (em kN). O programa calcula a área dos estribos verticais em

cmswA

2/m. Além disso, é fornecido detalhamento dos estribos, na forma: diâmetro, espaçamento, número de ramos.


Para o cálculo dos estribos, é feita a limitação da tensão de escoamento de cálculo do aço em 435≤ydf MPa, conforme exigência da NBR-6118.

A armadura mínima, , é dada por min,swA

wwsw bA 100min,min, ρ= , cm2/m (3.6.1) onde

yk

ctmw f

f2,0min, =ρ (3.6.2)

No emprego da expressão (3.6.2), é imposta a restrição

MPa. A resistência média à tração do concreto, , é

obtida a partir de , conforme o capítulo 1 do Volume 1 [1].

500≤ykf ctmf

ckf O espaçamento S dos estribos respeita os limites cm e

. O espaçamento máximo, , depende da relação entre as tensões

7≥SmaxSS ≤ maxS

wdτ e wuτ , conforme o capítulo 5 do Volume 2 [1]. Exemplo: Dimensionar os estribos da viga representada na fig. 3.2.1. O esforço cortante de serviço é 302 == lpV kk kN. A largura da seção da viga é 15=wb cm. A altura útil correta, após o detalhamento indicado na fig. 3.2.8, é cm. 38,36=d Na fig. 3.6.1, apresenta-se o formulário com os dados e a resposta.


Fig. 3.6.1 – Formulário do dimensionamento ao esforço cortante 3.7 – Vigas – Estado limite último – Torção Este módulo destina-se ao dimensionamento à torção com flexão de seções retangulares. O dimensionamento à torção é feito conforme descrito no capítulo 1 do Volume 4 [1]. Os dados da seção transversal são os seguintes: b = largura da seção retangular; h = altura total da seção; d ′ = distância entre o eixo das armaduras do canto e as faces da seção transversal.

Os esforços solicitantes são os seguintes: kM = momento fletor de serviço;

kV = esforço cortante de serviço;

kT = momento torçor de serviço. O momento torçor deve ser sempre diferente de zero. Os outros esforços podem ser nulos (caso particular de torção pura).


O programa verifica o esmagamento das bielas de compressão com o emprego da expressão

1≤+wu

wd

tu

tdττ

ττ

(3.7.1)

conforme o capítulo 1 do Volume 4 [1]. As armaduras longitudinais e os estribos respeitam os valores mínimos, conforme o Volume 4 [1].

Para o detalhamento dos estribos verticais, a área total de estribos é dada por

TswVswtotsw AAA ,,, 2+= (3.7.2) onde é a área de estribos para o esforço cortante e é a área de estribos para torção.

VswA , TswA ,

Essa área total respeita a armadura mínima dada na equação (3.6.1). O espaçamento dos estribos respeita os limites cm e .

S 7≥SmaxSS ≤

Do dimensionamento à flexão simples para o momento fletor de cálculo , obtém-se as áreas de aço (armadura tracionada) e (armadura comprimida). Do dimensionamento para o momento torçor de cálculo , resulta a armadura longitudinal . Essas armaduras são distribuídas na seção, conforme as seguintes regras:

dM sA

sA′

dT slA

Caso 1) cm e 40≤b 40≤h cm Neste caso, a armadura para torção pode ser concentrada nos cantos da seção. A superposição é feita conforme indicado na fig. 3.7.1. A armadura total na face inferior é 21 slss AAA += e na face superior é 22 slss AAA +′= . Nenhuma armadura é indicada para as faces verticais da seção.


+ =

A's

As

Asl/2

Asl/2 As1

As2

Para Md > 0 Para TdResultadono PACON

Fig. 3.7.1 – Superposição das armaduras longitudinais para seções

transversais de pequenas dimensões Caso 2) cm ou cm 40>b 40>h Neste caso, a armadura para torção é distribuída mantendo-se constante a relação uAk sl= , onde u é o perímetro da linha média da seção vazada equivalente. A superposição das armaduras longitudinais é feita conforme indicado na fig. 3.7.2, onde t representa a espessura da parede da seção vazada equivalente.

+ =

A's

As

k(b-t)

k(b-t)

As1

As2

Para Md Para Td

Resultadono PACON

k(h-

t)

k(h-

t)

As3 As3

Fig. 3.7.2 – Superposição das armaduras longitudinais para seções transversais de grandes dimensões


A armadura total é disposta da seguinte forma: - na face inferior: )(1 tbkAA ss −+= ; - na face superior: )(2 tbkAA ss −+′= ; - nas faces verticais: )(3 thkAs −= . Exemplo: Dimensionar a viga da marquise indicada na seção 1.5 do Volume 4 [1] Dados da seção: 25=b cm; 40=h cm; 4=′d cm Esforços de serviço:

89,13=kM kNm; 36,17=kV kN; 6,9=kT kNm Na fig. 3.7.3, apresenta-se o formulário com os dados do problema. Na fig. 3.7.4, apresenta-se o formulário com os resultados. A partir dessa janela, pode-se visualizar e/ou imprimir um relatório completo do dimensionamento.


Fig. 3.7.3 – Formulário com os dados do exemplo

Fig. 3.7.4 – Formulário com os resultados


3.8 – Vigas – Estado limite último – Ancoragem – No vão Este módulo destina-se ao cálculo do comprimento de ancoragem necessário, , para o escalonamento das barras da armadura das vigas. A metodologia é apresentada no capítulo 7 do Volume 1 [1].

necbl ,

O comprimento de ancoragem necessário é dado por

min,,

1, bse

calsbnecb l

AA

ll ≥= α (3.8.1)

sendo

bd

ydb f

fl

4φ

= (3.8.2)

cmll bb 10;10;3,0min, φ≥ (3.8.3)

A resistência da aderência, , em zonas de boa aderência, é calculada com a expressão

bdf

32

4,142,0 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛= ck

bdf

kf , MPa (3.8.4)

onde é um coeficiente que depende da conformação superficial da barra de aço (nervurado, entalhado ou liso).

k

Para zonas de má aderência, a expressão (3.8.4) é multiplicada por 0,7. Na expressão (3.8.1), 11 =α para ancoragem reta e 7,01 =α para ancoragem com gancho. A área de aço corresponde à área efetivamente obtida no dimensionamento à flexão simples da seção transversal. A área é a área de aço empregada, após o detalhamento das armaduras da seção.

calsA ,

seA


Exemplo: Calcular os comprimentos de ancoragem reta e com gancho das barras tracionadas da viga representada na fig. 3.2.1, para o escalonamento ao longo do vão. De acordo com o dimensionamento realizado (ver fig. 3.2.6), têm-se os seguintes dados: - armadura calculada: 98,2, =calsA cm2

- armadura existente: 68,3=seA cm2 (área de 5,123φ mm) - zona de boa aderência (as barras estão na face inferior da viga) - barras nervuradas (aço CA-50) Na fig. 3.8.1, apresenta-se o formulário com os dados e os resultados: 45, =necbl cm (para ancoragem reta) e 31, =necbl cm (para ancoragem com gancho). Em geral, é feita a ancoragem reta.

Esses valores são usados para o cálculo do comprimento das barras que serão cortadas (apenas uma barra poderá ser cortada neste exemplo), conforme as regras de escalonamento apresentadas no capítulo 5 do Volume 2 [1] e no capítulo 5 da referência [2].

Fig. 3.8.1 – Formulário com dados e resultados do problema


3.9 – Vigas – Estado limite último – Ancoragem – No apoio Este módulo destina-se ao cálculo do comprimento de ancoragem nos apoios de extremidade das vigas. As expressões anteriores permitem calcular o comprimento de ancoragem reta

. Neste caso, a armadura é dada por necbl , calsA ,

yd

dlcals f

Vda

A ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=, (3.9.1)

onde é o esforço cortante de cálculo no apoio de extremidade. dV No programa, considera-se a simplificação usual dal = . A armadura existente é aquela que será realmente prolongada até o apoio (será menor que a armadura existente no meio do vão, quando for feito escalonamento).

seA

Empregando-se ancoragem com gancho nos apoios de extremidade, o comprimento mínimo é dado por min,bl

⎩⎨⎧ +

≥cm

Rlb 6

5,5min,

φ (3.9.2)

onde R é o raio de dobramento, conforme o capítulo 7 do Volume 1 [1]. Exemplo: Calcular o comprimento de ancoragem nos apoios da viga representada na fig. 3.2.1, considerando que apenas 2 barras chegarão até os apoios (uma barra será cortada). Os seguintes dados são necessários: - armadura existente: 45,2=seA cm2 (área de 5,122φ mm) - esforço cortante de cálculo: 424,1 == kd VV kN

Na fig. 3.9.1, apresenta-se o formulário com os dados e os resultados: 22, =necbl cm (para ancoragem reta) e 15, =necbl cm


(para ancoragem com gancho). Em geral, é feita a ancoragem com gancho.

Fig. 3.9.1 – Formulário com dados e resultados do problema 3.10 – Vigas – Estado limite último – Emendas Este módulo destina-se ao cálculo do comprimento das emendas por traspasse das barras da armadura. A metodologia é apresentada no capítulo 7 do Volume 1 [1]. O comprimento do traspasse, , das barras tracionadas é dado por

ol

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥=

bot

necboto

l

cmll

αφα

3,015

20

, (3.10.1)

onde otα é um coeficiente que depende da porcentagem de barras emendadas na mesma seção. O comprimento de ancoragem é calculado com as equações (3.8.1) e (3.8.2).

necbl ,


O comprimento do traspasse para barras comprimidas é dado por

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥=

b

necbo

l

cmll

6,015

20

, φ (3.10.2)

O programa fornece o comprimento da emenda, considerando a barra com extremidade reta ou com gancho. Para barras comprimidas, só é fornecido o comprimento de emenda com extremidade reta, pois não é permitido o emprego de ganchos. Na fig. 3.10.1, apresenta-se o formulário com os dados e os resultados para um exemplo.

Fig. 3.10.1 – Formulário do módulo sobre emendas por traspasse 3.11 – Vigas – Estados limites de utilização Este módulo permite calcular a flecha e a abertura da fissura em vigas de concreto armado. O programa faz o cálculo para uma viga biapoiada ou para um vão genérico de uma viga contínua. O modelo estrutural é apresentado na fig. 3.11.1.


l

Xa XbpQ X

Fig. 3.11.1 – Viga biapoiada ou vão de viga contínua com diversos

tipos de carga O carregamento pode ser constituído das seguintes parcelas: • Momentos aplicados nas extremidades e aX bX

Quando o vão em estudo pertencer a uma viga contínua, e são os momentos negativos resultantes do cálculo da viga contínua. Para uma viga biapoiada, em geral esses momentos são nulos.

aX

bX

• Cargas uniformemente distribuídas p

O programa permite considerar até 20 segmentos de carga uniformemente distribuída. • Cargas concentradas no vão Q e X

O programa permite considerar até 20 pontos de cargas concentradas ao longo do vão. Em cada ponto de carga, pode-se ter uma força e/ou um momento Q X . Os sentidos positivos das cargas são aqueles indicados na fig. 3.11.1 (força dirigida para baixo e momento no sentido horário). Desse modo, se e representam os momentos negativos resultantes do cálculo de viga contínua (conforme a convenção usual), deve ser fornecido com o sinal negativo e deve ser fornecido com o sinal positivo.

aX bX

aX bX

O programa resolve a viga da fig. 3.11.1 e determina o momento fletor solicitante em diversas seções transversais, tomadas ao longo do vão. A flecha é calculada na seção central, enquanto a


abertura da fissura é calculada na seção de momento máximo . maxM

Para o cálculo da flecha de vigas de seções retangulares, empregam-se os seguintes métodos: método bilinear do CEB, fórmula prática do CEB/90, método da NBR-6118 e método do Eurocode 2. Para vigas de seção T, só estão disponíveis os métodos da NBR-6118 e do Eurocode 2.

A abertura da fissura é calculada com o método do CEB/90 e com o método da NBR-6118. Em todos os modelos, a rigidez da estrutura é determinada com base na geometria da seção central da viga. Desse modo, as áreas de aço e as dimensões da seção referem-se à seção central. Assim, e sA sA′ representam as áreas das armaduras tracionada e comprimida existentes no meio do vão da viga. A seguir apresenta-se um breve resumo dos métodos de cálculo empregados. A) Métodos para cálculo da flecha A.1) Método bilinear do CEB Esse método é descrito em detalhes no capítulo 6 do Volume 2 [1]. Em cada seção ao longo do eixo da viga, determina-se a curvatura total χ , como a soma de três parcelas: a curvatura inicial, a curvatura adicional devida à fluência e a curvatura adicional devida à retração. Essas parcelas são determinadas para o estádio I e para o estádio II. A curvatura inicial no estádio I é dada por

Io KM=1,χ (3.11.1) onde M é o momento fletor solicitante na seção considerada e IK é a rigidez à flexão no estádio I, determinada com as características da seção central.

A curvatura devida à fluência no estádio I é dada por

1,11, occcc r ϕχχ = (3.11.2)


onde ϕ é o coeficiente de fluência e é um adimensional. 1ccr A curvatura devida à retração no estádio I é dada por

dr cscscs

εχ 11, = (3.11.3)

onde csε é a deformação específica de retração, é a altura útil da seção transversal e é um coeficiente.

d

1csrOs coeficientes e são determinados conforme o

capítulo 6 do Volume 2 [1], empregando-se o módulo efetivo ajustado

1ccr 1csr

ϕ8,01+= cs

caE

E (3.11.4)

A curvatura total no estádio I é dada por

1,1,1,1 cscco χχχχ ++= (3.11.5) Expressões análogas são empregadas para determinar a curvatura 2χ no estádio II. Após a determinação das curvaturas em cada seção transversal, é realizada uma integração numérica para a obtenção da flecha na seção central da viga, sendo a flecha no estádio I e a flecha no estádio II.

1W 2W

Finalmente, a flecha W provável é determinada como

( ) 211 WWW ηη +−= (3.11.6) O coeficiente η é dado por

0=η , se rMM ≤max (3.11.7)

max5,01

MM r−=η , se (3.11.8) rMM >max


O momento de fissuração rM é dado por

( )Ics

ctIr xhE

fKM

−= (3.11.9)

conforme demonstrado no capítulo 6 do Volume 2 [1]. A.2) Fórmula prática do CEB/90 O cálculo é feito de forma idêntica ao apresentado na seção 6.10 do Volume 2 [1]. A flecha total é dada por

( ) rcscsct fd

lrWKdhW

8201

2

2

3ερ +′−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (3.11.10)

A primeira parcela inclui a fluência e a segunda parcela inclui a retração, com os termos definidos no Volume 2 [1]. A flecha de referência na seção central é obtida a partir da integração das curvaturas, determinadas em função da rigidez da seção de concreto simples .

cW

ccs IE A.3) Método da NBR-6118 O cálculo é feito de forma idêntica ao apresentado na seção 6.12 do Volume 2 [1]. A flecha inicial é obtida a partir da integração das curvaturas, determinadas em função da rigidez equivalente , onde

oW

eqcs IE

cr

cr

eq IIMM

IMM

I ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2

3

max

3

max1 (3.11.11)

sendo

cI = momento de inércia da seção de concreto simples;


2I = momento de inércia da seção de concreto armado no estádio II; O momento de fissuração rM é dado por

t

ctcr y

fIM

α= (3.11.12)

com 2,1=α para seções T e 5,1=α para seções retangulares. A flecha adicional devida à fluência e à retração do concreto é dada por

oWW ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+

=Δρ501

32,1 (3.11.13)

com os termos definidos na seção 6.12 do Volume 2 [1]. A.4) Método do Eurocode 2 Neste método, a curvatura total χ em cada seção transversal da viga é dada por

( ) 211 ηχχηχ +−= (3.11.14) onde 1χ e 2χ são as curvaturas totais no estádio I e no estádio II, respectivamente. O coeficiente de interpolação η é dado por

0=η , se rMM ≤ (3.11.15)

25,01 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

MM rη , se rMM > (3.11.16)

Observa-se que a interpolação é feita para a curvatura em cada seção transversal, em função do momento fletor M que atua na


seção. Por isso, o coeficiente η é diferente do modelo bilinear, apresentado anteriormente. O momento de fissuração rM é calculado com a equação (3.11.9), substituindo o módulo secante pelo módulo efetivo csE

( )ϕ+= 1csce EE . As curvaturas totais no estádio I e no estádio II são dadas por

I

Iscs

I KSE

KM εχ +=1 (3.11.17)

II

IIscs

II KSE

KM εχ +=2 (3.11.18)

onde a rigidez IK (no estádio I) e a rigidez IIK (no estádio II) são determinadas considerando o módulo efetivo . ceE Nas expressões (3.11.17) e (3.11.18), é o módulo de elasticidade do aço e

sE

IS e IIS representam os momentos estáticos das armaduras em relação ao centróide da seção de concreto armado no estádio I e no estádio II, respectivamente. Após a determinação da curvatura total em cada seção, com o emprego da expressão (3.11.14), realiza-se uma integração numérica para obter a flecha no meio do vão da viga. Observações: 1) O método do Eurocode 2 e o método bilinear do CEB consideram os efeitos da fluência e da retração do concreto conforme os valores de ϕ e de csε fornecidos como dados. Portanto, para obter o valor da flecha inicial, basta entrar com 0=ϕ e 0=csε . 2) O efeito da fluência é sempre considerado na fórmula prática do CEB/90. Portanto, esse método nunca fornecerá a flecha inicial. Para desconsiderar a retração, basta entrar com 0=csε .


3) O método da NBR-6118 fornece a flecha inicial e a flecha total, incluindo a fluência e a retração. A flecha total independe dos valores de ϕ e de csε fornecidos. B) Métodos para cálculo da abertura da fissura O cálculo é feito de forma idêntica ao apresentado no capítulo 6 do Volume 2 [1]. A formulação do CEB/90 é apresentada na seção 6.11 e a formulação da NBR-6118 é apresentada na seção 6.13. A diferença fundamental entre as duas formulações resulta do fato de que a NBR-6118 não leva em conta a retração no cálculo da abertura das fissuras. Exemplo: Calcular a flecha e a abertura da fissura da viga indicada na fig. 3.11.2. Esse problema encontra-se resolvido no capítulo 6 do Volume 2 [1].

l=5m

pk=17kN/m

15cm

50

4

462φ16

2φ6,3

Fig. 3.11.2 – Viga biapoiada

Dados adicionais:

20=ckf MPa; 25757=csE MPa (CEB); 200=sE GPa (CEB);

5,2=ϕ ; ; 51050 −= xcsε 02,4=sA cm2 ; 62,0=′sA cm2

Na fig. 3.11.3, apresenta-se o formulário principal com os dados. Os dados do carregamento são fornecidos em outro formulário, que será visualizado a partir do botão “Cargas”. Na fig. 3.11.4, apresenta-se o formulário com os resultados.


Fig. 3.11.3 – Formulário com dados do problema

Fig. 3.11.4 – Resultados da análise

Deve-se observar que a flecha obtida com o método da NBR-6118 difere um pouco do valor calculado na seção 6.12 do Volume 2 [1]. Isto ocorreu porque foram considerados os módulos

MPa e 25757=csE 200=sE GPa, conforme o CEB, além dos arredondamentos introduzidos no cálculo manual. Se o programa for


executado com as propriedades de acordo com a NBR-6118 ( MPa e 21287=csE 210=sE GPa), resulta 69,10=oW mm e

mm. Entretanto, essas diferenças são insignificantes. 19,24=totW Exercícios: 1) Resolver o problema anterior, considerando 0=ϕ , 0=csε e os valores da carga 5=kp kN/m, kN/m e 10=kp 17=kp kN/m. Comparar a flecha inicial do método da NBR-6118 com os valores obtidos segundo o Eurocode 2 e segundo o método bilinear do CEB.

oW

2) Resolver o mesmo, considerando 5,2=ϕ , e os valores da carga

51050 −= xcsε5=kp kN/m, kN/m e 10=kp 17=kp kN/m.

Comparar a flecha final do método da NBR-6118 com os valores obtidos segundo o Eurocode 2, método bilinear do CEB e fórmula prática do CEB/90.

totW

A partir desses resultados, identificar o ponto de divergência

entre os métodos de cálculo. 3) Na fig. 3.11.5, apresenta-se o modelo de cálculo da viga V226 (capítulo 5 da referência [2]), com o carregamento quase permanente.

11,11kN/m 13,33kN/m

P192,94 4,20mP16 P12

Fig. 3.11.5 – Carregamento quase permanente da viga V226

Na fig. 3.11.6, apresentam-se as seções críticas para o cálculo da rigidez.


2φ12,5

2φ8 2φ12,5P19 P16 P12

2φ5 S12φ5S2

2φ52φ8

12

40 36

Seção S1

2φ52φ12,5

12

40 36

Seção S2

Fig. 3.11.6 – Seções críticas para cálculo da rigidez Resolvendo a viga com o carregamento da fig. 3.11.5, resulta o momento negativo no apoio interno igual a –22,23kNm. O concreto possui 25=ckf MPa. Repetir a análise dos exercícios 1 e 2, considerando o carregamento quase permanente e os casos: ( 0=ϕ , 0=csε ) e

( 5,2=ϕ , ). 51050 −= xcsε Procurar estabelecer uma conclusão sobre os resultados obtidos com os diversos métodos. 3.12 – Vigas – Esforços Este módulo resolve as vigas contínuas pelo método da rigidez. O programa faz dois cálculos: um primeiro cálculo como viga contínua e um segundo cálculo, engastando os apoios internos, conforme exigência da NBR-6118. O modelo de viga contínua permite considerar as ligações elásticas com os pilares. Além disso, o programa permite considerar momentos iniciais nas extremidades dos vãos. Esses momentos podem ser decorrentes de outras ações, como a ação do vento. Desse modo, pode-se determinar os esforços finais para o dimensionamento das vigas de contraventamento.


A título de exemplo, considera-se a viga representada na fig. 3.12.1.

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5

2 4 m 3 4 1,5

Fig. 3.12.1 – Viga do exemplo A viga possui 5 vãos, sendo um balanço à esquerda e outro à direita. Conforme se observa, os vãos são numerados seqüencialmente, da esquerda para a direita. Cada vão (ou barra) possui dois nós: um nó inicial e um nó final. Os nós também são numerados seqüencialmente, da esquerda para a direita. O número de nós é sempre igual ao número de vãos mais um.

A viga possui 4 apoios simples (do tipo 1, conforme a convenção adotada no programa). Os apoios estão situados nos nós 2, 3, 4 e 5. Para desconsiderar as ligações com os pilares, basta fornecer em cada apoio. 0=gI

Na fig. 3.12.2, apresenta-se o carregamento na viga.

2 4 m 3 4 1,5

10 10kN 10

10 10 1015kN/m 15

1 1

Fig. 3.12.2 – Carregamento na viga

Para fornecer o carregamento corretamente, deve-se observar a seguinte convenção:


A) Cargas concentradas O programa faz distinção entre cargas aplicadas diretamente nos nós e cargas aplicadas nas barras. Em cada ponto de carga concentrada pode-se aplicar uma força e/ou um momento. No exemplo da fig. 3.12.2, há três pontos de aplicação de carga concentrada, sendo dois diretamente nos nós e um aplicado nas barras. A.1) Cargas nodais Nó = 1; Força = 10 kN; Momento = 0 Nó = 6; Força = 10 kN; Momento = 0 A.2) Cargas nas barras Vão = 2 Distância a (até o início do vão) = 1 m Força = 10 kN Momento = 0 B) Cargas distribuídas Deve-se fornecer o número total de segmentos de carga distribuída. Em uma mesma barra pode haver vários segmentos de carga uniforme de intensidades diferentes. Por outro lado, uma carga uniforme de determinada intensidade pode atuar em duas ou mais barras adjacentes. Neste caso, cada barra é considerada como um segmento de carga. No exemplo da fig. 3.12.2, há 6 segmentos de carga uniforme. Essas cargas são indicadas na tabela 3.12.1, conforme devem ser fornecidas no programa.

Os dados correspondentes a esse exemplo estão gravados no arquivo C:\PACON\EXEMPLOS\Viga1.pac. A viga possui seção retangular com largura igual a 12cm e altura igual a 40cm (momento de inércia igual a 64000 cm4). A seção é a mesma em todos os vãos. Não há momentos iniciais devidos ao vento, pois esta viga não faz parte da subestrutura de contraventamento.


Tabela 3.12.1 – Cargas uniformes Vão b (m) c (m) p (kN/m)

1 0 2 10 2 0 4 15 3 0 1 10 3 1 2 15 4 0 4 15 5 0 1,5 10

b = distância entre o início do segmento e o início da barra; c = comprimento do segmento; p = valor da carga

Na fig. 3.12.3, apresenta-se o formulário com os diagramas de esforços solicitantes fornecidos pelo programa.

Fig. 3.12.3 – Formulário com os diagramas de esforços solicitantes Esses resultados são obtidos do cálculo como viga contínua, com as condições de apoio fornecidas. Nas grades ao lado dos diagramas são fornecidas as distâncias dos pontos de momento nulo


e dos pontos de momento máximo até o início de cada vão. Esses dados são úteis para o escalonamento das armaduras longitudinais. Além do cálculo como viga contínua, o programa faz um segundo cálculo engastando os apoios internos, conforme procedimento descrito no capítulo 5 do Volume 2 [1]. De acordo com a NBR-6118, as armaduras positivas dos vãos devem ser dimensionadas para os maiores momentos fletores obtidos dos dois cálculos. Na fig. 3.12.4, apresenta-se o formulário com os resultados numéricos desses dois cálculos.

Fig. 3.12.4 – Formulário com valores numéricos dos esforços Conforme se observa na fig. 3.12.4, são fornecidos os valores numéricos das reações de apoio, dos esforços cortantes e dos momentos fletores, resultantes do cálculo como viga contínua. Além disso, são fornecidos os esforços para dimensionamento. Na grade intitulada ”Esforços para dimensionamento” são fornecidos os seguintes resultados: V (kN): esforço cortante máximo em cada vão, em valor absoluto, para o dimensionamento dos estribos verticais;


M (+) (kNm): maiores momentos fletores positivos em cada vão, resultantes dos dois cálculos, para o dimensionamento das armaduras positivas em cada vão; M (-) (kNm): momentos para dimensionamento das armaduras sobre os apoios. Observa-se que o momento positivo para dimensionamento no vão número 3 é igual a 5,35 kNm. Esse valor é maior que aquele indicado na fig. 3.12.3. O programa permite considerar a solidariedade da viga com os pilares, conforme o modelo apresentado no capítulo 5 da referência [2]. Para isto, deve-se fornecer a inércia equivalente nos apoios, sendo

gI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

inf

inf

sup

sup6LI

LI

I g (3.12.1)

onde

supI e = inércia e altura do pilar superior à viga; supL

infI e = inércia e altura do pilar inferior à viga. infL Exercícios: 1) Resolver a viga do exemplo indicado na página 81 da referência [2], considerando 0=gI (modelo tradicional) e calculado em função das dimensões dos pilares (modelo alternativo). Comparar os diagramas de momentos fletores com aqueles apresentados na referência [2].

gI

2) Resolver a viga de contraventamento V202, indicada na página 135 da referência [2], considerando as combinações do carregamento vertical com os esforços do vento. Estes últimos são fornecidos como “Momentos iniciais”.

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