Cap9 - ControloDigital-BreveIntrodução · l Capítulo 9-ControloDigital Introao Controlo | 1º...

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, Ant

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Pas

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Capítulo 9- Controlo Digital

Intro ao Controlo | 1º sem 2018/2019

Cap 9 – Breve Introdução ao Controlo Digital

Eduardo MorgadoIsabel Ribeiro

António Pascoal

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (lecionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLOMEEC

1º semestre – 2018/2019

Cap.9 - 1

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Objectivo e Sumário

Ø O que é o controlo digital ?

Ø Componentes de um sistema de controlo digital

Ø Como se projectam controladores digitais

Ø Técnicas de projecto

Ø Projecto por emulação

Ø A transformada zØ Referências

o Cap.8 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)o Maria Isabel Ribeiro, Análise de Sistemas Lineares, ISR Press, 2002 (Secção

2.13)o Notas de Eduardo Morgado

Cap.9 - 2

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Diagrama de blocos básicos

G(s)

1

Processo

Sensor

C(s)+_

y(t)e(t)r(t) u(t)

y(t)

G(s)

1

Processo

Sensor

algoritmo de controlo

+_

y(t)e(kT)r(t) u(kT)

y(kT)

Clock

A/D

Equação às diferenças

D/Au(t)

y(t)

r(kT)

Controlador digital

Controlador contínuo

Cap.9 - 3

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Diagrama de blocos básicos

G(s)

1

Processo

Sensor

algoritmo de controlo

+_

y(t)e(kT)r(t) u(kT)

y(kT)

Clock

A/D

Equação às diferenças

D/Au(t)

y(t)

r(kT)

Controlador digital

• O cálculo do erro e o controlador são implementados em computador digital

• O controlador digital actua sobre amostras da saída (contínua) do processo

• A saída do controlador digital é gerada por uma equações algébricas recursivas

sinais contínuossinais digitais

Cap.9 - 4

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Componentes do controlador digital

A/Dy(t)

A/D

• Amostra um sinal contínuo e converte cada amostra num número binário com um

número de bits que depende da resolução do A/D. Usualmente 10 ou 16 bits

• Entrada = sinal contínuo

• Saída = sinal digital

• A conversão ocorre com período de amostragem T

• Usualmente o computador tem um relógio que fornece interrupts a cada T segundos. O

A/D envia um número para o computador de cada vez que lhe chega uma interrupção

Conversor A/D = Conversor Analógico Digital

Clock

sinal contínuosinal digital

Cap.9 - 5

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Amostrador ideal

y(t)

Clock

sinal contínuosinal discreto

y(kT)

t

y(t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

y(kT)

Nesta análise vamos considerar amostradores ideais• i.e., desprezar erros de quantificação devidos à resolução finita do conversor

A amplitude de cada amostra é um valor real

Cap.9 - 6

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Conversor D/A = Conversor Digital Analógico

u(kT)

Clock

D/Au(t)

• converte um sinal digital num sinal analógico

• Retentores de amostrasde ordem zero = Zero order Hold (ZOH)de primeira ordem = First Order Hold (FOH)

• ZOH = a saída num intervalo [kT, (k+1)T[ é igual à entrada no instante kT

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

u(kT)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

u(t)

ZOH

Cap.9 - 7

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ZOH: Retentor de amostras de ordem zero

• Qual é a Função de Transferência de um ZOH?

ZOH

• Sabendo qual é a resposta (TL da resposta) para uma entrada(TL da entrada) pode obter-se a Função de Transferência.

0

)(td

TImpulso de DiracResposta ao impulso

)()()( Ttututh --=

see

ssthTLsH

sTsT

-- -

=-==111)]([)(

Cap.9 - 8

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Transformada z

t

x(t) x*(t)

t

x(t)

x(kT)

åå¥

=

¥

=

-=-=00

* )()()()()(kk

kTtkTxkTttxtx dd

amostrador ideal

x[k]

k

kTttxkx

== )(][

x(t)

amostrador ideal

x(t) – sinal causal contínuo

x[k]– sinal causal discreto resultado de uma amostragem de x(t) com intervalo de amostragem T 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Cap.9 - 9

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Transformada z

x(t) – sinal causal contínuo x[k]– sinal causal discreto resultado de umaamostragem de x(t) com intervalo de amostragem T

)]([)( txTLsX u=

dtetxsX stò¥

-=0

)()(

{ }][)( kxZzX =Transformada de Laplace unilateral Transformada z unilateral

å¥

=

-=0

][)(k

kzkxzX

•x[k] resulta da amostragem de x(t)

•Existe alguma relação entre X(s)=TL(x(t)] e X(z)=Z{x[k]}?

Cap.9 - 10

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Transformada z

åå¥

=

¥

=

-=-=00

* )()()()()(kk

kTtkTxkTttxtx dd

)(tx

Sinal contínuo resultante da amostragem ideal de x(t)

dtkTtekTxdtetxtxTLsXk

stst å òò¥

=

¥-

¥- -===

0 00

*** )()()()]([)( d

skTe-

amostragem

TL unilateral

å¥

=

-=0

* )()(k

sTkekTxsX

å¥

=

-=0

][)(k

kzkxzX

x[k] =x(kT)

sTezsXzX

== )()( *

Cap.9 - 11

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Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)

)()( tuetx at-=

assX

+=1)(

)()( kTuekTx akT-=sinal amostrado

aTezzzX --

=)(

10 1

1)( ---

¥

=

-

-==å ze

zezX aTk

k

akT

Plano complexo s Plano complexo z

pólo de X(s) em s=-a

Exemplo

pólo de X(z) em z=e-aT

T período de amostragem

sTez =Cap.9 - 13

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Relação entre pólos de X(s) e pólos de X(z)

T período de amostragemsTez =

• Relação entre os pólos da transformada de Laplace de um sinal contínuo e os pólos da transformada z do sinal resultanteda amostragem, com período T

• Esta relação é geral

• Não há uma relação geral para os zeros

Cap.9 - 14

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Estabilidade

Cap.9 - 15

Pólos no semi-plano complexo esquerdo0<±= sws com js

Pólos correspondentes no plano zTjTsT eeez ws ±== (T>0)

0<s 1<= Tez s

Condição de estabilidade para sistemas causais em tempo discreto descritos porfunções de transferência racionais em z:

ÛTodos os pólos no interior do círculo unitário no plano-z

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Estabilidade

Cap.9 - 16

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Localização de pólos no plano-z e Resposta Transitória

Cap.9 - 17

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org

ad

o,

Isa

be

l R

ibe

iro

, A

ntó

nio

Pa

sco

al



Sistema discreto “visto” pelo computador

G(s)

Processo

+

_

y(t)e(kT)r(t)u(kT)

y(kT)A/D

Equação às

diferenças

D/Au(t)

y(t)

r(kT)

Controlador digital

Sistemacontínuo

Sistemadiscreto

G(s)

Processo

+

_

y(t)e(kT)r(t) u(kT)y(kT)

A/D

Equação às

diferenças

D/Au(t)

r(kT)

Sistema discreto visto pelo computador

Computador

Cap.9 - 19

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G(s)Processo

y(t)u(kT) y(kT)A/DZOH u(t)


Vai admitir-se que o D/A é um ZOH

Gd(z)u(kT) y(kT)

Pergunta: Qual é a função de transferência Gd(z) que relaciona a sequêncianumérica u(kT) fornecida pelo computador ao conversor D/A (no modoZOH) com a sequência numérica y(kT) à saída do conversor A/D ?

Resposta: • Teste-se o sistema com uma entrada (discreta) conhecida• Calcule-se a resposta correspondente• A FT é o quociente da Transformada z da saída pela Transformada z da entrada.

Cap.9 - 20

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G(s)Processo



][][ kTkTu d= )()( Ttutu --

se

s

sT-

-1

TL

se sT--1

T

=sesGsYsT--

=1)()(

TL do sinal de entrada de G(s)

TL do sinal de saída de G(s)

Cap.9 - 21

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G(s)Processo



sesGsYsT--

=1)()(

( ))()( 1 sYTLty -=

÷÷ø

öççè

æ -=

--

sesGTLtysT1)()( 1

kTttykTy

== )()(

kTt

sT

sesGTLkTy

=

--

÷÷ø

öççè

æ -=

1)()( 1

Cap.9 - 22

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G(s)Processo



][][ kTkTu d=

T

kTt

sT

sesGTLkTy

=

--

÷÷ø

öççè

æ -=

1)()( 1

Transformada z Transformada z

1} == ][{)( kTZzU dïþ

ïýü

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ -==

=

--

kTt

sT

sesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 1

Cap.9 - 23

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G(s)Processo


Sistema discreto visto pelo computadorGd(z)

1} == ][{)( kTZzU dïþ

ïýü

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ -==

=

--

kTt

sT

sesGTLZkTyZzY 1)()}({)( 1

þýü

îíì

÷øö

çèæ-=

=

--

kTtssGTLZzzY 1)()1()( 11

þýü

îíì

÷øö

çèæ-=

=

--

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11

þýü

îíì-= -

ssGZzzGd)()1()( 1

Notação abreviada

Cap.9 - 24

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Metodologias de projecto de controladores digitais

Sistema contínuo a controlar

Controlador discreto

Modelo discreto

Controlador contínuo

Projecto de controlador em tempo discreto

Projecto de controlador em tempo contínuo

Amostragem

Aproximação

PROJECTO POR EMULAÇÃO

PROJECTO DIRECTO

Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a implementar no computador digital

Cap.9 - 25

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Controlo Digital Directo


Controlador discreto

Modelo discreto

Projecto de controlador em tempo discreto

Amostragem

PROJECTO DIRECTO

Equação às diferenças (ou a equivalente função de transferência C(z)) a implementar no computador digital

= Gd(z)?

Dados:• Especificações à pólos no plano-s

z=esT

à pólos no plano-z

Cadeia de acção= Gd(z)

Projecto no plano-z

não vai ser objecto de

estudo nesta disciplina

Cap.9 - 26

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du

ard

o M

org

ad

o,

Isa

be

l Rib

eir

o,

An

tón

io P

asc

oa

l



Projecto por Emulação


Controlador discretoControlador contínuo

Projecto de

controlador em

tempo contínuo

Aproximação

PROJECTO POR EMULAÇÃO

Equação às diferenças (ou a equivalente

função de transferência C(z)) a

implementar no computador digital

G(s)

G(s)C(s)+

_

C(s) C(z)

Cap.9 - 27

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Projecto por Emulação• projecto no plano-s, seguido de discretização do controlador

Dados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada

Etapas do processoi. Especificações –> pólos desejados no plano-s –> escolha e

dimensionamento do controlador C(s)ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital

“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o

projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário

Cap.9 - 28

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org

ad

o,

Isa

be

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o,

An

tón

io P

asc

oa

l



Discretização de C(s)

• C(z) = aproximação discreta de C(s)

• C(z) controlador equivalente a C(s)

• Como encontrar?

– Não há uma solução exacta

• C(z) tem apenas acesso às amostras do sinal de entrada nos instantes de

amostragem, enquanto C(s) processa continuamente no tempo

• Dois métodos:

– Mapeamento dos pólos e zeros

– Método de Tustin ou da transformação bilinear

Cap.9 - 29

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Discretização de C(s): Mapeamento dos pólos e zeros

• Os pólos de C(z) e de C(s) relacionam-se como z=esT

• Os zeros de C(z) e de C(s) relacionam-se como z=esT

• Ganhos estáticos iguais: C(s)|s=0 =C(z)|z=1

É atraente pela simplicidade

Cap.9 - 30

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Discretização de C(s): Método de Tustin

• Baseia-se numa aproximação numérica da integração

Exemplo

E(s) U(s)C(s) ssE

sUsC 1)()()( ==

C(s) é um integrador puro

)()()()(

tetusEssU

==

!ò=t

detu0

)()( tt

válido para todo o t, t≥0

ò=kT

dekTu0

)()( tt

òò-

-

+=kT

Tk

Tk

dedekTu)1(

)1(

0

)()()( tttt

ò-

+-=kT

Tk

deTkukTu)1(

)())1(()( tt

e(t)

t(k-1)T kT

Área de e(t) no intervalo [(k-1)T, kT]

Cap.9 - 31

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, Ant

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• Método de Tustion– A área é aproximada trapezoidalmente

ò-

+-=kT

Tk

deTkukTu)1(

)())1(()( tt e(t)

t(k-1)T kT

Aproximação da área

)]())1(([2

)()1(

kTeTkeTdekT

Tk

+-@ò-

tt

)]())1(([2

))1(()( kTeTkeTTkukTu +-+-@

)}({)( kTuZzU =chamando

)]()([2

)()( 11 zEzEzTzUzzU ++= --

1

1

1)1(

2)()()( -

-

-+

==zzT

zEzUzC

Cap.9 - 32

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org

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o,

Isa

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o,

An

tón

io P

asc

oa

l




1

1

1)1(

2)()()( -

-

-+

==zzT

zEzUzCs

sC 1)( =

Esta aproximação numérica corresponde à relação

÷øö

çèæ

+-

=112

zz

Ts (transformação bilinear)

• A discretização por aplicação do método de Tustin, preserva a estabilidade• Mapeia o semi-plano complexo esquerdo (plano-s) no círculo de raio unitário

(plano-z)

• A transformação bilinear (derivada para um exemplo) aplica-se em qq. caso geralCap.9 - 33

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, Ant

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Método de Tustin: Exemplo

asasC+

=)( ?)( =zCpor aplicação do método de Tustin

÷øö

çèæ

+-

=112

zz

Ts

azz

T

azC+÷øö

çèæ

+-

=

112

)(

TaTaz

z

Ta

azC

/2/21.2)(

+-

+

+

+=

Pólo em s=-aSem zeros

Pólo em z=-(a-2/T)/(a+2/T)Zero em z=-1

Cap.9 - 34

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Projecto por Emulação• projecto no plano-s, seguido de discretização do controlador

Dados• G(s) – processo a controlador• especificações da resposta temporal em tempo contínuo, em malha fechada


dimensionamento do controlador C(s)ii. Escolha do período de amostragem, Tiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital

“equivalente” C(z)iv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o

projecto e fazer ajustes nos parâmetros se necessário

Cap.9 - 35

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org

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Isa

be

l Rib

eir

o,

An

tón

io P

asc

oa

l



Projecto por Emulação: Escolha da frequência de

amostragem

Como escolher o intervalo de amostragem T ?

.202³=

Tspw Largura de banda (-3dB) da malha fechada

valor em rad/s

T intervalo de amostragem (seg)

Cap.9 - 36

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org

ado

, Isa

be

l Rib

eir

o, A

ntó

nio

Pas

coal



Projecto por Emulação: Exemplo

G(s)

Processo

+

_

y(t)e(kT)r(t) u(kT)

y(kT)A/D

Equação às

diferençasD/A

u(t)

y(t)

r(kT)

5,05,0)(

+=s

sG

Especificações pretendidas (em cadeia fechada) na resposta ao escalão• erro em regime permanente nulo

• Sobreelevação ≤ 16%

• Tempo de estabelecimento a 5% ≤ 10 seg

Cap.9 - 37

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org

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o,

Isa

be

l R

ibe

iro

, A

ntó

nio

Pa

sco

al





dimensionamento do controlador C(s)

Pólos desejados no plano-s

(supostos dominantes)• Sobreelevação ≤ 16%

• Tempo de estabelecimento a 5% ≤ 10 seg

S1,2=-0,3 +- j0,51

• erro em regime permanente nulo, na

resposta à entrada escalãoControlador PI

sasKsC +

=)(

G(s)

Processo

C(s)+

_

y(t)e(t)r(t) u(t)

Cap.9 - 38

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, Ant

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)()(1)()(

)()(

sGsCsGsC

sRsY

+=

1+ K s + as. 0,5s + 0,5

= 0equação característica

05,0)()5,0( =+++ asKssPolinómio característico desejado

S=-0,3 +- j0,51 035,06,02 =++ ss

por comparação

K=0,20a = 3,5

sssC )5,3(20,0)( +

=

Cap.9 - 39

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, Ant

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coal



Projecto por emulação: Exemplo

Etapas do processoii. Escolha do período de amostragem, T

Cap.9 - 41

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, Ant

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Etapas do processoiii. A partir de C(s) e de T, encontrar o controlador digital “equivalente” C(z)

Utilizando o método de Tustin (ou transformação bilinear)

Cap.9 - 42

)(0589,0)1(34,0)()1()(0589,0)(34,0)()(kekekukuzEzzEzUzzU

-+=-+-=-

)1(0589,0)(34,0)1()( --=-- kekekukuEquação às diferenças implementada em computador digital

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, Ant

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Etapas do processoiv. Usar análise digital, simulação ou experimentação para validar o projecto e

fazer ajustes nos parâmetros se necessário

Simular em tempo discreto

Gd(z)C(z)+_

Cap.9 - 43

1)176,0(340,0)(

--

=zzzC

þýü

îíì

÷øö

çèæ-=

=

--

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11 com5,05,0)(

+=s

sG

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Cap.9 - 44

1)176,0(340,0)(

--

=zzzC

þýü

îíì

÷øö

çèæ-=

=

--

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11com

5,05,0)(

+=s

sG

)()1()5,0(

5,0 5,01 tuess

TL t-- -=÷÷ø

öççè

æ+

)()()5,0(

5,0 5,01 kTuekTuss

TL kT

kTt

-

=

- -=÷÷ø

öççè

æ+

TkTt

ezz

zz

ssTLZ 5,0

1

1)5,0(5,0

-=

-

--

-=

ïþ

ïýü

ïî

ïíì

÷÷ø

öççè

æ+

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eiro

, Ant

ónio

Pas

coal




Cap.9 - 45

þýü

îíì

÷øö

çèæ-=

=

--

kTtd s

sGTLZzzG 1)()1()( 11

819,0181,01

1)1()( 5,0

5,0

5,01

-=

--

=÷øö

çèæ

--

--= -

-

--

zeze

ezz

zzzzG T

T

Td

T=0,4seg

Gd(z)C(z)+_

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808,0758,10109,00615,0

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Cap.9 - 47

O que acontecerá se na escolha do período de amostragem nos desviarmos do critério

.202³=

Tspw Largura de banda (-3dB) da malha fechada ?

Seja T=1seg

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