cap5_dinâmica classica
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1CAPTULO 5 Problemas resolvidos
Problema 1 A acelerao lateral mxima que um carro pode ter sem derrapar,trafegando em pista horizontal, denominada aderncia lateral, e usualmente expressaem termos da acelerao da gravidade. Assim, se um carro tem aderncia lateral igual aXL, ele pode atingir aceleraes laterais de XLg. (a) Calcule a velocidade mxima com aqual um carro, cuja aderncia lateral 0,90, pode fazer uma curva de raio R = 200 m, emuma pista horizontal. (b) Qual o valor mximo da componente lateral da fora de atritoque a pista pode exercer sobre os pneus do carro?
Soluo :
(a) A acelerao centrpeta do carro
gXa Lc == RgX L
2v==\\ .
Portanto,
km/h 151m/s42m200ms8,990,0 2 ======== --gRX Lv .
(b) A fora de atrito dos pneus do carro tem duas componentes: 1 componente paralela velocidade do carro, que em movimento horizontal supera o atrito do ar quando o carroaumenta sua velocidade ou a neutraliza quando o carro anda com velocidade constante, epermite ao carro subir ladeiras; 2 componente lateral, ortogonal velocidade do carro, eque o obriga a realizar curvas. Nas curvas, a acelerao lateral do carro a aceleraocentrpeta mencionada anteriormente. Pela Segunda lei, podemos escrever
cmaF ==lateral ,
onde m a massa do carro. Finalmente,
LmgXF ==lateral .
ac
-
2Problema 2 Um carro de trao dianteira tem massa m, e metade de seu peso se apianas rodas dianteiras. Sendo m o coeficiente de atrito esttico entre os pneus e a pista, esupondo que o motor do carro seja suficientemente possante, qual a acelerao mximaque o carro pode atingir em pista plana?
Soluo A fora de atrito mxima que a pista pode exercer para impulsionar o carro
2mg
Fa m== .
Com essa fora, o carro tem a acelerao
2,
2g
amg
Fma a mm ==\\==== .
Problema 3 Quando um avio viaja com velocidade vetorial constante na horizontal,suas turbinas ou hlices sentem uma fora horizontal para a frente. A resistncia do ar nocorpo e asas do avio exerce uma fora com uma componente horizontal para traz e outracomponente vertical para cima, que sustenta o avio. (a) Por que o avio no conseguefazer uma curva na horizontal sem inclinar as asas? (b) De que ngulo devem as asas serinclinadas para que o avio realize uma curva na horizontal de raio R?
Soluo
(a) Porque nesse caso no haveria nenhuma fora lateral ao avio.
(b) A figura mostra as foras que tm componentes verticais que atuam sobre o avio. Asforas sobre as turbinas, que impulsionam o avio para a frente, e a fora de atrito do ar,oposta velocidade do avio, so omitidas na figura. A fora E denominada empuxo doar sobre o avio. Sua componente vertical sustenta o avio no ar, equilibrando o seu pesomg. Podemos escrever
qq
coscos
mgEmgE ==\\== . (1)
mg
E
q
ac
-
3A componente horizontal de E gera a acelerao centrpeta do avio, que o fora arealizar uma curva.Podemos escrever
qq
Rsenm
ER
mEsen
22 vv ==\\== (2)
Combinando (1) e (2), gR
senmgRsenm 22
coscosvv ==\\==
qq
qq.
Finalmente,
==
gRarctg
2vq .
Problema 4 O operrio est seu prprio esforo braal para elevar-se juntamente comsua plataforma de trabalho, como mostra a figura. Os cabos e a roldana tm pesosdesprezveis, e a roldana roda livre de atrito. (a ) Calcule a intensidade das foras atuandosobre o operrio, a roldana e a plataforma, indicadas na figura, quando o operrio,juntamente com a plataforma, tm acelerao cuja componente vertical vale a.
Soluo Aplicando a Segunda lei ao operrio e depois plataforma obtemos,respectivamente,
)(1 agMNT ++==++ , (1)
mN
N
M
Mg mg
1T
1T1T
1T
T
-
4)(1 agmNT ++==-- . (2)
Somando as eqs. (1) e (2),
)(2
),)((2 11 agmM
TagmMT ++++==\\++++++ .
Subtraindo a eq. (2) da eq. (1),
)(2
),)((2 agmM
NagmMN ++--==\\++--== .
Como a roldana permanece em equilbrio, temos
))((2 1 agmMTT ++++====
Deve-se notar que essa soluo somente vale se Mm .
Problema 5 O sistema mostrado na figura est em equilbrio. Calcule as tenses T1 e T2nos cabos.
Soluo Pela condio de equilbrio, obtemos
.sensen
,0coscos
2211
2211
mgTT
TT
==++==--
qqqq
Na forma matricial, esse sistema pode ser escrito
==
--mgT
T 0
sensen
coscos
2
1
21
21
qqqq
.
Para a soluo do sistema de equaes, calculamos
T1 T2q1 q2
m
-
5)(coscossensen
coscos212121
21
21 qqqqqqqqqq
D ++==++==--
== sensensen ,
22
21 cossen
cos0q
qq
D mgmg
==--
== ,
11
12 cos
0cosq
qq
D mgmgsen
==== .
Com esses resultados, podemos escrever
)(sencos
21
211 qq
qDD
++====
mgT ,
)(sencos
21
122 qq
qD
D++
====mg
T .
Problema 6 A roldana da figura gira livremente, sem atrito, e tem massa desprezvel. Ocabo resiste somente uma tenso de 300 N. Que faixa de valores deve ter a massa m dobloco menor para que o cabo no se rompa?
Soluo Seja T a tenso no fio e M a massa do bloco maior. Aplicando a Segunda leiaos dois blocos, teremos,
.
,
mamgT
MaTMg
==--==--
(1)
m
50 kg
-
6Somando as duas equaes, obtemos
gmMmM
aamMgmM++--==\\++==-- ,)()( .
Levando esta equao segunda equao do sistema (1), obtemos
gmM
Mmg
mMmM
mmgT++
==++--++== 2 . (2)
Com um pouco de manipulao algbrica, obtemos
TMgTM
m--
==2
.
O valor mximo de m corresponde a T = 300 N.
Portanto,
kg22kg680
15000N300N8,9100
kg50N300mx ====--
==m
O grfico acima mostra o comportamento da tenso T com o valor da massa m, onde sev que T atinge o valor de ruptura (300 N) quando m = 22 kg.
Problema 7 Dois corpos se atraem com uma fora F que independe de sua distncia(esse tipo de atrao no corresponde a nenhuma das quatro foras conhecidas naNatureza), e no instante t = 0 eles esto em repouso na configurao mostrada na figura.Desprezando os dimetros dos corpos, calcule (a) o instante e (b) o quanto cada corpo sedesloca at a o momento da coliso.
0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
m (kg)
T (N)
m M
x0 L
-
7Soluo Sejam x(t) e X(t) as coordenadas dos corpos de massa m e M, respectivamente.Pela Segunda lei, podemos escrever
.
,
FXM
Fxm
--==
==&&
&&
Temos ento as expresses para x(t) e X(t):
.2
)(
,2
)(
2
2
tMF
LtX
tmF
tx
--==
==
O instante tc da coliso pode ser calculado pela condio )()( cc tXtx == :
.22
22cc tM
FLt
mF --==
(a) Calculamos facilmente
mMMm
FL
tc ++==
2.
(b) O ponto da coliso ser 22
)( cc tmF
tx == e, portanto,
LmM
MmM
MmFL
mF
txd c ++==
++==== 2
2)( (deslocamento do corpo de massa m).
O deslocamento do corpo de massa M ser
LmM
mL
mMM
LtxLD c ++==
++--==--== )( .
Observe que
mM
Dd == .
-
8Problema 8 Um fio de comprimento l e massa desprezvel, com uma pequena esfera demassa m preso sua extremidade, pendurado ao teto de um nibus. O nibus realizauma curva de raio r com velocidade de mdulo constante v no plano horizontal. Calcule(a) o ngulo que o fio faz com a vertical e (b) a tenso no fio.
Soluo A figura mostra o sistema com as foras atuantes sobre a esfera. Ela estsubmetida mesma acelerao centrpeta do nibus. Podemos escrever
.cos
,sen2
mgTr
mT
==
==
q
v
Portanto,
(a)
==\\==
rgactg
rm
mg22
,tgvv qq ,
(b)qcos
mgT == .
Por outro lado,
,cos
cos1 22
rgv==--
qq
que aps alguma manipulao algbrica d
22
4
1cos
1
gr
v++==q
.
m
l
mg
ac
q
T
-
9Finalmente,
22
4
1gr
mgTv++== .
Problema 9 Uma barra homognea de massa M e comprimento L est presa a umamesa horizontal por um pino passando por uma das suas extremidades. No h atritoentre a mesa e a barra, que gira com velocidade angular w em torno do pino. Calcule atenso na barra distncia x do centro de rotao.
Soluo A fora de tenso T atuando na parte externa ao ponto de coordenada x nabarra responsvel pela acelerao centrpeta daquela referida parte. Tal parte da barratem massa igual a )/)( LMxL -- . Podemos ento escrever
w=L
x
dmxxT 2)( .
O elemento de massa dm se exprime na forma
xdLM
dm = .
Portanto,
)1(2
)(21
)(2
222222
L
xL
MxL
LM
xdxLM
xTL
x
-w=-w=w= .
Nota: Esse problema relevante no comportamento de uma hlice de avio. O clculo datenso ao longo das ps da hlice no pode ser realizado exatamente da forma aquiapresentada porque a p no tem seo uniforme, mas levando-se em conta a variaodessa seo ao longo da p, o clculo pode ser realizado facilmente.
Problema 10* Reconsiderando o Problema 9, suponha que a barra seja elstica, ouseja, submetida a uma tenso elongativa ela aumenta seu comprimento e submetida a umatenso compressiva ela tem seu comprimento reduzido. Sejam Lo o comprimento da barrana ausncia de tenso e L seu comprimento quando submetida a uma tenso T. Se oLL -- pequeno e a tenso na barra homognea, podemos escrever:
0 L
w
x
T
-
10
TAYL
LL oo ==-- ,
onde Y uma grandeza caracterstica do material, denominada mdulo de Young, e A area de seo transversal da barra. Calcule o comprimento L da barra considerada noProblema 9, sendo Lo seu comprimento na ausncia de rotao. Como mostra a figura ,quando sujeita tenso elongativa devida
rotao, cada segmento da barra se alonga, de forma que o ponto de coordenada xo vaipara a posio x e o pequeno segmento dxo se transforma em dx. Podemos escrever
oo dxAYxT
dxdx)(++== ,
e usando a soluo do problema 9 obtemos
oo dxL
xL
MAY
dxdx ))
1(2
12
22 -w+=
Para no termos de usar matemtica acima do nvel praticado neste curso, faremos aaproximao
oo
ooo dx
L
xL
MAY
dxdx )1(2
12
22 -w+= ,
ou seja, no levaremos em conta as alteraes na tenso da barra devidas sua elongao.Na prtica esta uma tima aproximao. Podemos agora calcular L usando a integrao
-w+=oo L
oo
oo
L
o dxLx
LM
AYdxL
0
22
0
)(2
1.
Efetuando a integrao,
3
222
2o
oL
AYM
LAY
MLoL
w-w+= .
0
0
L
L
x
x
oo
odx
dx
-
11
Finalmente, obtemos
)3
21(
2
oLAYM
LoLw+= .
Problemas propostos
5.1P A coluna mostrada na figura repousa apoiada em um piso. Sabendo-se que apresso sobre uma superfcie a fora normal a ela dividida pela rea da mesma, calculea presso na coluna altura h do piso.
Resposta : )( hHA
Mgp --==
5.2P Um garoto anda em uma roda gigante de raio R que gira a uma velocidadeangular w . A fora que a cadeira faz para sustentar o garoto varivel durante o ciclo, eseu valor mximo Fmx. (a) qual a massa do garoto? (b) Qual o valor mnimo dafora da cadeira sobre o garoto?
Resposta : (a) Rg
Fm
2mx
w++== ; (b)
Rg
RgFF
2
2
mxmn ww
++--== .
5.3P Uma pedra de massa m, amarrada a uma linha de comprimento L com umaextremidade fixa, gira em um crculo no plano vertical. Qual a velocidade mnima dapedra ao passar pelo ponto mais alto para que esse movimento seja possvel?
Resposta : gL==mnv
5.4 A Terra faz uma rbita aproximadamente circular em torno do Sol, cujo raio dem105,1 11 . Qual a intensidade da fora que a Terra exerce sobre o Sol?
A
MH
-
12
Resposta : N106,3 22==F
5.5P - Ignore a atmosfera da Terra. Com que velocidade um corpo teria de ser atiradohorizontalmente do alto do monte Everest para que realizasse uma volta ao mundo echegasse ao ponto inicial
Resposta : v = 7,92 km/s
5.6P A Terra realiza um giro em torno de seu eixo em um dia sideral, cuja durao 86.164 s. (a) Qual a reduo percentual do peso aparente de um objeto situado na linhado Equador devido rotao da Terra? (b) Qual deveria ser a durao T do dia para que opeso aparente do objeto fosse nulo? (c) O que ocorreria se o dia fosse menor do que T?
Resposta : (a) %345,0=DPP
; (b) T = 1h25min. (c) A Terra se desintegraria, ou melhor,
no teria se formado como .
5.7P Um bloco de massa igual a 1000 kg cai de uma altura de 100 m. De quando move-se a Terra nesse processo?
Resposta : m1067,1 20--==d .
5.8P Um garom empurra um copo sobre o balco para seu cliente com velocidadeinicial de 5,0 m/s. Dois metros adiante o cliente pega o copo, que nesse momento jperdera 40% de sua velocidade. (a) qual foi a acelerao do copo ao deslizar sobre obalco, suposta constante? (b) Qual o coeficiente de atrito cintico entre o balco e ocopo?
Resposta: (a) 2m/s0,4--==a ; (b) 41,0==cm
5.9P Um bloco desliza em uma rampa de inclinao 60o no mesmo tempo quedeslizaria em uma rampa sem atrito de mesmo comprimento e inclinao de 30o. Qual coeficiente de atrito cintico entre o bloco e a rampa?
Resposta: 73,0==cm .
5.10P Uma caixa de massa m arrastada sobre um piso horizontal atravs de uma cordafazendo um ngulo de 45o com a horizontal. Os coeficientes de atrito esttico e cinticoentre a caixa e o piso so respectivamente 0,70 e 0,50. (a) Estando a caixa inicialmenteem repouso, qual a fora mnima necessria para iniciar o movimento? (b) Quando afora atinge esse valor mnimo, com que acelerao inicia-se o movimento da caixa?
Resposta : (a) mgF 58,0mn == ; (b) ga 11,0== .
-
13
5.11P - O atrito entre os dois blocos mostrados na figura nulo e o bloco pequeno nodesliza pela rampa. (a) qual o valor da acelerao a? (b) Sendo m a massa do blocopequeno, qual o mdulo da fora de contato entre os dois blocos?
Resposta : (a) ga == . (b) mgF 2==
a