DISTRIBUIÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE POISSONPOISSON

Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonCaracterísticaCaracterística

Experimento ser realizado em repetições Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);(repetitivo);

Em cada Repetição ser um Experimento de Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) tende a ZERO;tende a ZERO;

5.5. Repetir uma quantia fixa de vezes, Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n, e que n tende a infinito;denotada por n, e que n tende a infinito;

7.7. repetições sejam independentes;repetições sejam independentes;

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonCaracterísticaCaracterística

1.1. Ter uma variável aleatória, digamos X, Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições.sucessos nas n repetições.

NotaNota

Pela característica da Poisson, Pela característica da Poisson, percebe-se que são as mesmas da percebe-se que são as mesmas da Binomial, com o detalhe é que: Binomial, com o detalhe é que:

i) p i) p →→ 0,000 ; 0,000 ;

i i) n i i) n →→ ∞.∞.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonNota – Cont.Nota – Cont.

Por: Por: p p →→ 0,000 0,000 diz-se que a diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.de eventos raros.

Na quase totalidade da Distribuição Na quase totalidade da Distribuição de Poisson, o valor de p depende da de Poisson, o valor de p depende da unidade do tempo, é preciso atentar para unidade do tempo, é preciso atentar para este fato para achar o seu valor. Por diz-este fato para achar o seu valor. Por diz-se que a distribuição de Poisson é a se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.distribuição de eventos raros.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo de Eventos RarosExemplo de Eventos Raros

No caso de saúde, existe uma quantidade muito No caso de saúde, existe uma quantidade muito grande de eventos raros, aos quais pode grande de eventos raros, aos quais pode ilustrar:ilustrar:

Ocorrer óbito, em mulheres grávidas devido à Ocorrer óbito, em mulheres grávidas devido à gestação;gestação;

Criança, no útero da mãe, sofrer uma Criança, no útero da mãe, sofrer uma anomalia grave;anomalia grave;

Na sociedade, escolher um adolescente e ele Na sociedade, escolher um adolescente e ele ser usuário de cocaína;ser usuário de cocaína;

Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson;Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson;Etc.Etc.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonNotaçõesNotações

No caso da distribuição de Poisson, a No caso da distribuição de Poisson, a

média é denotada por: média é denotada por: λλ, ao qual se , ao qual se

compara-la com a da binomial chega que:compara-la com a da binomial chega que:

Denota-se: X ~ Poisson (Denota-se: X ~ Poisson (λλ))

n.p = λ

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonTeorema: SeTeorema: Se X ~ Poisson ( X ~ Poisson (λλ))

Cálculo de probabilidade:Cálculo de probabilidade:

e = 2,71828 . . . (Número e, e = 2,71828 . . . (Número e,

base do logaritmo natural)base do logaritmo natural)

!xe

)x(pxλλ ×

=−

...,,,,,x 43210=

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonTeorema: SeTeorema: Se X ~ Poisson ( X ~ Poisson (λλ))

Cálculo da Média:Cálculo da Média:

Cálculo da variância:Cálculo da variância:

λμ =X

λσ =2X

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1Exemplo 1

Em Angola, de cada 100 mil mulheres Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem devido à grávidas, 1 500 morrem devido à gravidez (OMS 09/04/2005). Numa gravidez (OMS 09/04/2005). Numa comunidade Angolana em que houver comunidade Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez, 300 mulheres em estado de gravidez, ache a probabilidade de que morrerão:ache a probabilidade de que morrerão:

a.a. Nenhuma Nenhuma

b.b. 3 delas 3 delas

c.c. 5 delas.5 delas.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

εε →→ Avaliar condições de saúde de 300 Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas.mulheres grávidas.

Característica do experimento:Característica do experimento:

i.i. 300 mulheres estarem grávidas: 300 mulheres estarem grávidas: Experimento Repetitivo;Experimento Repetitivo;

Possui dois tipos (sobreviver, não-Possui dois tipos (sobreviver, não-sobreviver): Experimento de Bernoulli;sobreviver): Experimento de Bernoulli;

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Característica do experimento(cont.):Característica do experimento(cont.):

i.i. Número de Repetições 300: Quantia Número de Repetições 300: Quantia fixa;fixa;

i.i. Óbito de uma não influência na Óbito de uma não influência na saúde da outra: Repetições saúde da outra: Repetições Independentes;Independentes;

Nota: As características acima designam Nota: As características acima designam um um ExperimentoExperimento Binomial.Binomial.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Característica do experimento(cont.): Característica do experimento(cont.):

i.i. Variável Aleatória X: “número de Variável Aleatória X: “número de óbitos entre as 300 grávidas”óbitos entre as 300 grávidas”

(X possui distribuição binomial)(X possui distribuição binomial)

Devido à definição da variável aleatória, Devido à definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer óbito, e assim:Sucesso é ocorrer óbito, e assim:

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

n = 300 (Número de Repetições);n = 300 (Número de Repetições);

Nota: Em uma pesquisa, este número é Nota: Em uma pesquisa, este número é chamado de “Prevalência”.chamado de “Prevalência”.

Assim: Assim: X X ∼∼ b(300 ; 0,015) b(300 ; 0,015)

0150

000100

5001,

ferenciaRedeNúmeroóbitosdeNúmero

p ===

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

Devido aos valores de n e de p, esta Devido aos valores de n e de p, esta variável aproxima de uma distribuição de variável aproxima de uma distribuição de Poisson com:Poisson com:

λλ = 300x0,0015 = 4,5= 300x0,0015 = 4,5

Este número indica que em 300 mulheres Este número indica que em 300 mulheres gestantes em Angola é de se esperar que gestantes em Angola é de se esperar que 4,5 delas virão a óbito devido à gravidez.4,5 delas virão a óbito devido à gravidez.

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

a.a. Nenhum óbitoNenhum óbito

e.e. 3 Óbitos3 Óbitos

Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87%Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87%

011100

540

054

,!

,e)(p

,

=×

=−

Resposta: 0,011 ou 1,11%

16870

3

543

354

,!

,e)(p

,

=×

=−

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

a.a. Nenhum óbitoNenhum óbito

011100

540

054

,!

,e)(p

,

=×

=−

Resposta: 0,011 ou 1,11%

Lembrete

!xe

)x(pxλλ ×

=−

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

a.a. 3 Óbitos3 Óbitos

Resposta: 0,1687 Resposta: 0,1687 é equivalente a : 16,87%é equivalente a : 16,87%

16870

3

543

354

,!

,e)(p

,

=×

=−

Lembrete

!xe

)x(pxλλ ×

=−

Distribuição de PoissonDistribuição de PoissonExemplo 1 - SoluçãoExemplo 1 - Solução

5 óbitos5 óbitos

Resposta: 0,1708 (17,08%)Resposta: 0,1708 (17,08%)

17080

5

545

554

,!

,e)(p

,

=×

=−

Lembrete

!xe

)x(pxλλ ×

=−

DISTRIBUIÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE

POISSONPOISSON

FIMFIM. Prof Gercino Monteiro Filho. Prof Gercino Monteiro Filho