Cap.1rev.0

Curso: Eng. Civil

Resistência dos Materiais 2

2014/02

Profo Leandro Rogel da Silva

Capítulo 1 – Flexão Assimétrica e

Cargas Combinadas

Centro Universitário para o Desenvolvimento para o Alto Vale do Itajaí

Sumário

Flexão Simétrica – Recapitulação;

Flexão Assimétrica;

Vasos de Pressão de Paredes Finas;

Cargas Combinadas.

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Flexão Assimétrica

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Flexão Simétrica Flexão simétrica

• Condição de que a área da seção transversal fosse simétrica em relação o eixo perpendicular ao eixo neutro;

• Momento interno resultante deveria agir ao longo do eixo neutro.

E quando a seção transversal não for simétrica em relação ao referido eixo?

E quando o momento interno não agir ao longo do eixo neutro?

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Flexão Assimétrica Momento aplicado ao longo do eixo principal

• Viga com seção assimétrica;

• Origem do sistema de coordenadas sobre o centroide;

• Momento na seção atua na direção do eixo z.

𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 0 = − 𝜎 𝑑𝐴𝐴

𝑀𝑅 𝑦 = 𝑀𝑦 0 = 𝑧𝜎 𝑑𝐴𝐴

𝑀𝑅 𝑧 = 𝑀𝑧 𝑀 = − 𝑦𝜎 𝑑𝐴𝐴

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• Considerando que o material comporta-se de uma maneira linear-

elástica, a lei de Hooke é válida:

𝜎 = 𝐸𝜖

• Sabe-se que as deformações variam linearmente com y.

Consequentemente, as tensões também devem variar linearmente

com y;

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• Fazendo-se somatório de forças na seção:

𝐹𝑅 = 𝐹𝑥 ;

0 = 𝑑𝐹𝐴

= 𝜎 𝑑𝐴𝐴

0 = −𝑦

𝑐𝜎𝑚á𝑥 𝑑𝐴

𝐴

0 = −𝜎𝑚á𝑥𝑐 𝑦 𝑑𝐴𝐴

0 = 𝑦 𝑑𝐴𝐴

→ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 1ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚

• Conclusão: se o momento de 1ª ordem deve ser nulo, o eixo neutro passa pelo centroide da seção transversal analisada. Logo determinando-se o centroide da seção transversal, a posição da linha neutra também estará determinada.

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• Pode-se determinar a fórmula da flexão fazendo um somatório de momento na seção transversal:

𝑀𝑅 𝑧 = 𝑀𝑧 ;

𝑀 = 𝑦 𝑑𝐹𝐴

= 𝑦𝜎 𝑑𝐴𝐴

𝑀 = 𝑦𝑦


𝐴

𝑀 =𝜎𝑚á𝑥𝑐 𝑦2 𝑑𝐴𝐴

𝐼 = 𝑦2 𝑑𝐴𝐴

→ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 2ª 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑚

𝑜𝑢 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐼𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎

• A fórmula da flexão será então:

𝜎 =𝑀𝑦

𝐼𝑧

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• A última condição é que:

𝑀𝑅 𝑦 = 𝑀𝑦 0 = 𝑧𝜎 𝑑𝐴𝐴

;

0 = 𝑧𝑦


𝐴

0 =𝜎𝑚á𝑥𝑐 𝑧𝑦 𝑑𝐴𝐴

𝐼𝑧𝑦 = 𝑧𝑦 𝑑𝐴𝐴

→ 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎

𝐼𝑧𝑦 = 𝑧𝑦 𝑑𝐴𝐴

= 0

• Portanto, o produto de inércia deve ser nulo. Isso significa que os eixos y e z devem ser escolhidos como eixos principais de inércia.

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Flexão Assimétrica Produto de Inércia:

𝐼𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 𝑑𝐴𝐴

Quando um ou ambos os eixos x e y são eixos de simetria da superfície A,

tais eixos já serão eixos principais e o produto de Inércia será nulo;

Para uma área de forma qualquer, a orientação dos eixos principais deve ser

determinada pelas equações de transformação de inércia ou pelo círculo de

Mohr;

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Flexão Assimétrica Momento aplicado arbitrariamente

• Quando o momento aplicado não atua em torno de um dos eixos

principais, ele deve ser decomposto em componentes segundo

estes eixos;

• A fórmula da flexão será utilizada para calcular a tensão normal

provocada por cada componente do momento; 11


• Por fim, será utilizado o princípio da superposição para determinar a tensão resultante.

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• A fórmula da flexão pode ser escrita em termos gerais, para

calcular a tensão em cada ponto do domínio, por:

𝜎 = −𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧+𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦

Onde:

• 𝜎 – tensão normal no ponto;

• 𝑦, 𝑧 – coordenadas do ponto medidas em relação aos eixos

𝑥, 𝑦, 𝑧 com origem no centroide da área da seção transversal. Os

eixos 𝑦 e 𝑧 representam respectivamente, os eixos principais dos

momentos de inércia mínimo e máximo;

• 𝑀𝑦, 𝑀𝑧 – componentes do momento interno resultante

direcionadas ao longo dos eixos principais 𝑦 e 𝑧;

• 𝐼𝑦 , 𝐼𝑧 – momentos principais de inércia calculados em torno dos

eixos principais 𝑦 e 𝑧.

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Flexão Assimétrica Orientação do eixo neutro

• O ângulo do eixo neutro (𝛼) é determinado fazendo 𝜎 = 0 na equação anterior;

0 = −𝑀𝑧𝑦

𝐼𝑧+𝑀𝑦𝑧

𝐼𝑦

𝑦 =𝑀𝑦

𝑀𝑧

𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧

𝑦 =𝑀 sin 𝜃

𝑀 cos 𝜃

𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧

𝑦 = tan 𝜃𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧

tan 𝛼 =𝐼𝑧𝐼𝑦tan 𝜃

• Tanto 𝛼 como 𝜃, são medidos de 𝑧 para 𝑦.

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Flexão Assimétrica - Exemplo

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Flexão Assimétrica - Exemplo

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Vasos de Pressão de Paredes Finas

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Vasos de Pressão com Paredes Finas • Aplicação: Indústrias de Caldeiras ou Reservatórios;

• Razão entre raio (𝑟) e espessura (𝑡): 𝑟

𝑡≥ 10

• Hipótese: tensão é uniforme na espessura;

• Na abordagem que será apresentada, a pressão (𝑝) representará

a pressão manométrica (𝑝𝑚𝑎𝑛). Lembrando:

𝑝𝑚𝑎𝑛 = 𝑝𝑎𝑏𝑠 − 𝑝𝑎𝑡𝑚

𝑝𝑎𝑏𝑠 - Pressão absoluta;

𝑝𝑚𝑎𝑛 - Pressão manométrica;

𝑝𝑎𝑡𝑚 - Pressão atmosférica.

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Vasos de Pressão com Paredes Finas Vasos Cilíndricos

• Tensões de tração desenvolvidas no vaso:

• 𝜎1 → Sentido circunferencial ou tangencial;

• 𝜎2 → Sentido longitudinal ou axial.

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Equilíbrio de forças em x:

Equilíbrio de forças em y:

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𝐹𝑥 = 0

2 𝜎1 𝑡 𝑑𝑦 − 𝑝(2𝑟 𝑑𝑦) = 0

𝝈𝟏 =𝒑𝒓

𝒕

𝐹𝒚 = 0

𝜎2 (2𝜋𝑟𝑡) − 𝑝(𝜋𝑟2) = 0

𝝈𝟐 =𝒑𝒓

𝟐𝒕


Portanto:

Tensão normal circunferencial:

Tensão normal longitudinal:

Nomenclatura:

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Portanto: 𝜎1 = 2𝜎2

Direção de falha sempre na direção longitudinal:

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Vasos de Pressão com Paredes Finas Vasos Esféricos

Equilíbrio de forças em x:

Orientação é a mesma independentemente da orientação do plano

de corte;

A existência da tensão radial: desprezível para vasos de parede

fina, pois 𝑟

𝑡≥ 10

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𝐹𝒚 = 0

𝜎2 (2𝜋𝑟𝑡) − 𝑝(𝜋𝑟2) = 0

𝝈𝟐 =𝒑𝒓

𝟐𝒕

Vasos de Pressão com Paredes Finas-

Exemplo Um vaso de pressão cilíndrico tem diâmetro interno de 1,2 𝑚 e

espessura de 12 𝑚𝑚. Determine a pressão interna máxima que ele

pode suportar de modo que nem a componente de tensão

circunferencial nem a tensão longitudinal ultrapasse 140 𝑀𝑃𝑎. Sob as

mesmas condições, qual a pressão interna um vaso esférico de

tamanho semelhante suporta?

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Cargas Combinadas

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Cargas Combinadas Exemplo:

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Cargas Combinadas - Exemplo Uma força de 15 𝑘𝑁 é aplicada à borda do elemento mostrado na

figura. Despreze o peso do elemento e determine o estado de tensão

nos pontos B e C.

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Cargas Combinadas - Exemplo

28

Cargas Combinadas - Exemplo O elemento mostrado na figura tem seção transversal retangular.

Determinar o estado de tensão que a carga produz no ponto C.

29

Cargas Combinadas - Exemplo A haste maciça mostrada na figura tem um raio de 0,75 𝑐𝑚. Se

estiver sujeita a carga mostrada determine o estado de tensão no

ponto A.

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Cargas Combinadas - Exemplo

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Referências bibliográficas Livro-texto:

• HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7.ed. São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

• BEER, Ferdinand O.; JOHNSTON, Russel E..

Resistência dos Materiais. McGraw-Hill do Brasil.

1982.

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