cap1

Matemática II-Funções Reais de Variável Real

Engenharia Informática, ESTGF-IPP

Teófilo Melo

2015/2016

Engenharia Informática, ESTGF-IPP Matemática I 1 / 80

Indíce

1 Conceitos básicos sobre funções

2 Funções e os seus gráficos

3 Funções trigonométricas

4 Funções trigonométricas inversas

5 Limite e continuidade

6 Assintotas


Conceitos básicos sobre funções

Sumário






6 Assintotas



Conceito de função

DefiniçãoUma função f de A com valores em B (f : A→ B) consiste em dois conjuntos: o conjunto departida A, o conjunto de chegada B e uma regra que associa a cada elemento x (objeto) de A, ume só um elemento y = f (x) (imagem) de B.



Conceito de função

DefiniçãoConsidere-se uma função:

f : A→ B,

então:1 O domínio da função, representado por Df = A, é constituído pelos objetos.2 O conjunto de chegada é o conjunto B.3 O contradomínio, representado por D

′f ⊆ B, é o conjunto das imagens.

4 O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x , f (x)) de um plano coordenado, onde xpertence ao domínio de f .



Zeros de uma função. Interseção com os eixos

DefiniçãoOs zeros de uma função são:

{x ∈ R : f (x) = 0}

e correspondem à interseção do gráfico da função com o eixo dos xx . A interseção do gráfico dafunção com o eixo do y é obtida através do cálculo de f (0).



Zeros de uma função. Interseção com os eixos

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

y=x2-x-2

Figura: x = −1, x = 2, y = −2.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

y=x2-x+2

Figura: y = 2.



Função injetiva

DefiniçãoUma função diz-se injetiva, se e só se, a objetos diferentes correspondem a imagens diferentes,isto é:

∀x1,x2 ∈ R : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

1 Em termos gráficos a injetividade pode ser verificada através do “teste da reta horizontal”.2 Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico de uma função no máximo num ponto.



Função sobrejetiva e bijetiva

DefiniçãoUma função diz-se sobrejetiva, se e só se, o conjunto de chegada coincidir com o contradomínio.

1 Em termos gráficos a sobrejetividade pode ser verificada através de outro “teste da retahorizontal”.

2 Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico da função.

DefiniçãoUma função diz-se bijectiva quando é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

1 Em termos gráficos a bijetividade pode ser verificada através de outro “teste da retahorizontal”.

2 Qualquer reta horizontal intersecta sempre o gráfico da função em apenas um ponto.



Função sobrejetiva e bijetiva

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura: Função sobrejetiva.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura: Função bijetiva.



Monotonia

DefiniçãoConsidere-se A ⊆ Df e ∀x1, x2 ∈ A, diz-se que:

1 f é monótona crescente em A, se e só se:

x1 > x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

2 f é monótona decrescente em A, se e só se:

x1 > x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).



Monotonia

DefiniçãoConsidere-se A ⊆ Df e ∀x1, x2 ∈ A, diz-se que:

1 f é estritamente crescente em A, se e só se:

x1 > x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

2 f é estritamente decrescente em A, se e só se:

x1 > x2 ⇒ f (x1) < f (x2).



Extremos

DefiniçãoUma função real diz-se possuir um máximo absoluto num conjunto S, se existir pelo menos umponto c em S tal que:

f (x) < f (c),

para todo x em S.

DefiniçãoUma função real diz-se possuir um máximo relativo num conjunto S, se existir pelo menos umponto c em S tal que:

f (x) ≤ f (c),

para todo x em S.



Extremos

DefiniçãoUma função real diz-se possuir um mínimo absoluto num conjunto S, se existir pelo menos umponto c em S tal que:

f (c) < f (x),

para todo x em S.

DefiniçãoUma função real diz-se possuir um mínimo relativo num conjunto S, se existir pelo menos umponto c em S tal que:

f (c) ≤ f (x),

para todo x em S.



Extremos

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura: Máximo absoluto.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4y

x

Figura: Minímo absoluto.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

Figura: Máximo e mínimo relativo.



Paridade de uma função

DefiniçãoUma função f diz-se par, se ∀x ∈ Df , tem-se:

f (−x) = f (x).

O gráfico de uma função par é simétrico ao eixo dos yy .

DefiniçãoUma função f diz-se ímpar, se ∀x ∈ Df , tem-se:

f (−x) = −f (x).

O gráfico de uma função ímpar é simétrico relativamente à origem.



Paridade de uma função

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2 2.5

3

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

y=cos(x)+1

Figura: Função par.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

y

x

y=x3

Figura: Função ímpar.



Periodicidade

DefiniçãoUma função real f é uma função periódica de período p se:

∃p ∈ R \ {0} : f (x) = f (x + p),

para todo x em Df .



Função composta

DefiniçãoDadas duas funções f e g, a função composta de f com g, denotada por f ◦ g é definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

O domínio de f ◦ g é o conjunto de todos os pontos x no domínio de g tais que g(x) está nodomínio de f .

Domínio de f

Domínio de g

g(x) f(g(x))

x

gf

f º g



Função inversa

DefiniçãoConsidere-se uma função f : A→ B, a função inversa f−1 é definida da seguinte forma:

f−1(b) = a se f (a) = b.

1 O domínio de f−1 é o contradomínio de f .2 O contradomínio de f−1 é o domínio de f .3�f−1 ◦ f

�(x) = x , para todo x no domínio de f .

4�f ◦ f−1

�(y) = y , para todo y no domínio de f−1.



Função inversa

Nota1 Uma função só admite inversa se for bijetiva, por forma a garantir que a cada objecto

corresponde uma e uma só imagem.2 Caso contrário, é sempre possível definir uma restrição onde tal seja verdade.



Função inversa

Passos para determinar a função inversa1 Resolver a equação y = f (x) em ordem a x . Tal origina:

x = f−1(y),

onde x é expresso como função de y .

2 As variáveis x e y invertem as suas posições, obtendo-se:

y = f−1(x),

onde f−1 é expressa no formato convencional.



Transformações de funções

f (x) + cO gráfico sobe c unidades (c > 0) ou desce c unidades (c < 0).

f (x + c)O gráfico vai para a esquerda c unidades (c > 0) ou vai para a direita c unidades (c < 0).




-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y=x2

y=x2+2

Figura: Translação vertical.

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y

x

y=x2

y=(x+2)2

Figura: Translação horizontal.




cf (x)A escala vertical é multiplicada por c.

f (cx)A escala horizontal é dividida por c.




-6

-4

-2

0

2

4

6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

y

x

y=x2

y=-x2

Figura: Escala vertical.

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4

y

x

y=x2

y=(4x)2

Figura: Escala horizontal.




|f (x)|Mantêm-se os pontos de ordenada positiva ou nula e transforma-se os pontos de ordenadanegativa por uma simetria em relação ao eixo dos xx .

f |x |Mantêm-se os pontos onde x ≥ 0, e para os pontos onde x < 0, a sua imagem é obtida por umasimetria em relação ao eixo do yy .




-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4

y

x

y=x3

y=|x3|

Figura: Simetria no eixo do x para y < 0.

-2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

y=cos(x-1)y=cos(|x|-1)

Figura: Simetria no eixo do y para x < 0.


Funções e os seus gráficos

Sumário






6 Assintotas



Função constante

DefiniçãoA função constante é toda a função do tipo

f (x) = k ,

que associa a qualquer número real x , um mesmo número real k .1 O domínio da função f (x) = k é R.2 O gráfico de f (x) é uma reta horizontal.



Declive de uma reta

DefiniçãoSabendo dois pontos da função (x0, y0) e (x1, y1), o declive k de uma reta é obtido da seguinteforma:

k =y1 − y0

x1 − x0.



Função linear

DefiniçãoA função linear tem a forma:

f (x) = kx ,

com k ∈ R. O gráfico é uma reta que passa na origem. O k representa o declive da função.Têm-se que:

1 se k > 0, a função é crescente.2 se k = 0, a função é constante.3 se k < 0, a função é decrescente.



Função afim

DefiniçãoA função afim é do tipo

f (x) = kx + b,

onde k ,b ∈ R.O seu gráfico é uma reta e b é designado por ordenada na origem.Sabendo dois pontos da reta, (x0, y0) e (x1, y1) é sempre possível determinar a equação da reta:

1 determina-se o valor do declive k =y1−y0x1−x0

.

2 determina-se o valor de b por substituição de um dos pontos conhecidos na expressão dafunção.



Exemplos

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

y=1

Figura: Função constante.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4y

x

y=2x

Figura: Função linear.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

y=2x+2

Figura: Função afim.



Função quadrática

DefiniçãoA função quadrática é do tipo

f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0,

onde a,b, c ∈ R. O seu gráfico é uma parábola.A concavidade do gráfico pode ser voltada para cima ou para baixo:

1 se a > 0, concavidade do gráfico é voltada para cima.2 se a < 0, a concavidade do gráfico é voltada para baixo.



Função quadrática

DefiniçãoOs zeros da função, ou seja, as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico de f com o eixodos xx podem ser obtidas usando a fórmula resolvente:

x =−b ±

pb2 − 4ac

2a.

1 Se b2 − 4ac = 0, existe um zero duplo.2 Se b2 − 4ac < 0, não existem zeros reais.3 Se b2 − 4ac > 0, existem dois zeros reais distintos.



Função cúbica

DefiniçãoA função cúbica é do tipo

f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , a 6= 0,

onde a,b, c ∈ R.1 O gráfico de f (x) é uma curva em forma de S "esticado".2 Para determinar os zeros de f (x) resolve-se a equação:

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

através da regra de Ruffini.



Função polinomial

DefiniçãoConsidere-se um polinómio genérico:

P(x) = anxn + ...+ a2x2 + a1x + a0, an 6= 0,

onde an, ...,a2,a0 são números reais designados por coeficientes do polinómio.1 O grau do polinómio é dado por n ≥ 0.2 O domínio de qualquer função polinomial é R.



Exemplos

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

y

x

y=x2-4x+3

Figura: Função quadrática.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4y

x

y=x3-4x2+3x-1

Figura: Função cúbica.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

x

y=x4+3x3+x+1

Figura: Função polinomial (n=4).



Função racional

DefiniçãoUma função racional é uma função real definida por:

f (x) =n(x)

d(x), d(x) 6= 0,

onde n(x) e d(x) são polinómios e d(x) é diferente do polinómio nulo. O domínio Df de umafunção racional f é o conjunto dos números reais em que o denominador não se anula, isto é:

Df = {x ∈ R : d(x) 6= 0}.



Função racional

DefiniçãoOs zeros de uma função racional,

f (x) =n(x)

d(x),

é o conjunto dos números números reais, tais que:

n(x)

d(x)= 0⇔ n(x) = 0∧ d(x) 6= 0.



Função irracional

DefiniçãoUma função diz-se irracional quando a variável independente está sob o símbolo de radical, comopor exemplo y =

px e y = 3px .

O domínio das funções irracionais insere-se num dos seguintes casos:1 radical de índice par - o domínio corresponde aos valores que tornam o radicando não

negativo.2 radical de índice ímpar - não se impõe nenhuma condição ao radicando.



Função módulo

DefiniçãoPara qualquer número real x ,

|x | =§

x se x ≥ 0,−x se x < 0,

onde |x | se lê módulo de x ou valor absoluto de x .O gráfico da função y = |x |, obtém-se do gráfico de y = x da seguinte forma:

1 mantêm-se os pontos de ordenada positiva ou nula.2 transforma-se os pontos de ordenada negativa por uma simetria em relação ao eixo do x .



Exemplos

-6-4-2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

y=1/x

Figura: Função racional.

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4y

x

sqrt(x+1)

Figura: Função irracional.

-6-4-2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

y=|x|

Figura: Função módulo.



Função exponencial

DefiniçãoA expressão analítica de uma função exponencial tem a forma:

f (x) = ax , a ∈ R+.

1 O que distingue a função exponencial da função potência é o local onde figura a variável, nafunção exponencial a variável está no expoente, e na função potência a variável está na base.

2 A configuração da exponencial depende do valor da sua base, ou considera-se a > 1 ou0 < a < 1.



Função exponencial de base a com a > 1

Propriedades1 Df = R

2 D′f = R

+

3 Função crescente

4 limx→+∞

f (x) = +∞

5 limx→−∞ f (x) = 0

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

yx

y=3x



Função exponencial de base a (0 < a < 1)


2 D′f = R

+

3 Função decrescente

4 limx→+∞

f (x) = 0

5 limx→−∞ f (x) = +∞

-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

yx

y=0.5x



Função exponencial de base e

DefiniçãoUma base natural muito usada é o número de Neper representado por e. Tem-se que:

limn→+∞

�1 +

1

n

�n

= e,

onde e ≈ 2.718281828459045235360287.

Nota

A função g(x) = a−x é equivalente a função h(x) =�

1

a

�x

, isto é a−x =

�1

a

�x

.



Noção de logaritmo

DefiniçãoO logaritmo de um número x numa base a, é o expoente y a que é necessário elevar a, para obterx ( a > 0 e a 6= 1), isto é:

ay = x ⇔ y = loga x .

Propriedades1 loga ax = x

2 aloga x = x

3 loga a = 1

4 loga 1 = 0

Propriedades1 loga(xy) = loga x + loga y , x , y ∈ R+,a ∈ R+ \ {1}

2 loga

�x

y

�= loga x − loga y , x , y ∈ R+,a ∈ R+ \ {1}

3 loga xp = p loga x , x ∈ R+, a ∈ R+ \ {1}, p ∈ R



Função logaritmo


+

2 D′f = R

3 Função crescente

4 limx→+∞

f (x) = +∞

5 limx→0+

f (x) = −∞-4

-2

0

2

4

-4 -2 0 2 4

yx

y=log(x)


Funções trigonométricas

Sumário






6 Assintotas



Relações trigonométricas de um ângulo agudo

Relações trigonométricas numtriângulo retângulo

1 sen(θ) =b

r

2 cos(θ) =a

r

3 tg(θ) =b

a

4 cotg(θ) =a

b

�

y

�

�

�

br



Relação entre as medidas de radiano e grau de ângulos comuns

�

y

0�

30�

60�90�

120�

150�

180�

210�

240�270�

300�

330�

360�

�6

�4

�3

�2

2�3

3�4

5�6

�

7�6

5�4

4�3

3�2

5�3

7�4

11�6

2�

⇣p3

2 , 12

⌘

⇣p2

2 ,p

22

⌘

⇣12 ,p

32

⌘

⇣�p

32 , 1

2

⌘

⇣�p

22 ,p

22

⌘

⇣� 1

2 ,p

32

⌘

⇣�p

32 ,� 1

2

⌘

⇣�p

22 ,�

p2

2

⌘

⇣� 1

2 ,�p

32

⌘

⇣p3

2 ,� 12

⌘

⇣p2

2 ,�p

22

⌘

⇣12 ,�

p3

2

⌘

(�1, 0) (1, 0)

(0,�1)

(0, 1)



Identidades trigonométricas

tg(x) =sen(x)

cos(x)

cotg(x) =cos(x)

sen(x)

cosec(x) =1

sen(x)

sec(x) =1

cos(x)

sen2(x) + cos2(x) = 1sen(2x) = 2 sen(x)cos(x)

cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

sen2(x) =1− cos(2x)

2

cos2(x) =1 + cos(2x)

2



Função seno


2 D′f = [−1,1]3 Máximos em x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z4 Mínimos em x = 3π

2 + 2kπ, k ∈ Z5 Zeros em x = kπ, k ∈ Z6 Periódica de período 2π7 Função ímpar

sen(−x) = − sen(x),∀x ∈ R-2

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=sen(x)



Função cosseno


2 D′f = [−1,1]3 Máximos em x = 2kπ, k ∈ Z4 Mínimos em x = π + 2kπ, k ∈ Z5 Zeros em x = π

2 + kπ, k ∈ Z6 Periódica de período 2π7 Função par

cos(−x) = cos(x),∀x ∈ R -2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=cos(x)



Função tangente

Propriedades1 Df = R \

�x = π

2 + kπ, k ∈ Z

2 D′f = R3 Não existem máximos e mínimos4 Zeros em x = kπ, k ∈ Z5 Periódica de período π6 Função ímpar

tg(−x) = − tg(x),∀x ∈R \ �x = π

2 + kπ, k ∈ Z -2-1.5

-1-0.5

0 0.5

1 1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=tg(x)



Função cotangente

Propriedades1 Df = R \ {x = kπ, k ∈ Z}2 D′f = R3 Não tem máximos e mínimos4 Zeros em x = kπ

2 , k ∈ Z5 Periódica de período π6 Função ímpar

cotg(−x) = − cotg(x),∀x ∈R \ {x = kπ, k ∈ Z} -2

-1.5-1

-0.5 0

0.5 1

1.5 2

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=cotg(x)


Funções trigonométricas inversas

Sumário






6 Assintotas



Função arco seno

DefiniçãoConsidere-se a função f : R→ [−1,1]definida por y = sen(x).A sua função inversa chamada defunção arco seno, é

f−1 : [−1,1]→�− π

2,π

2

�

tal que:y = arcsen(x). -3

-2-1 0 1 2 3

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=arcsen(x)



Função arco seno

Nota1 A função y = sen(x) não é bijetiva em todo o seu domínio.2 Determina-se a função y = arcsen(x) num intervalo onde seja bijetiva por forma a admitir

função inversa.3 Há inúmeros intervalos onde a função seno é bijetiva, mas selecionou-se este intervalo,

designado por intervalo principal.4 O contradomínio da função arco seno é

�− π2 ,

π2

�.

5 Não se verifica, arcsen(sen(x)) = x , para todo x , mas somente para x ∈ �− π2 ,

π2

�.

6 sen(arcsen(x)) = x , ∀x ∈ [−1,1].7 arcsen(sen(x)) = x , ∀x ∈

�− π2 ,

π2

�.



Função arco cosseno

DefiniçãoConsidere-se a função f : R→ [−1,1]definida por y = cos(x). A sua funçãoinversa , chamada de função arcocosseno, é

f−1 : [−1,1]→ [0, π]

tal que :

y = arccos(x).-1 0 1 2 3 4 5 6

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=arccos(x)



Função arco cosseno

Nota1 cos(arccos(x)) = x , ∀x ∈ [−1,1].

2 arccos(cos(x)) = x , ∀x ∈ [0, π].



Função arco tangente

DefiniçãoConsidere-se a funçãof : R \ �x = π

2 + kπ, k ∈ Z→ Rdefinida por y = tg(x). A funçãoinversa, chamada de função arcotangente é:

f−1 : R→�− π

2,π

2

�

tal que:y = arctg(x).

-6-4-2 0 2 4 6

-6 -4 -2 0 2 4 6y

x

y=arctg(x)


Limite e continuidade

Sumário






6 Assintotas



Conceito de limite

DefiniçãoSeja f (x) uma função injetiva e definida num intervalo aberto para todos os valores de x navizinhança de x = x0, com a possível exceção de x = x0. Diz-se que o número L é o limite de f (x)quando x se aproxima de x0 e escreve-se:

limx→x0

f (x) = L,

se para todo o número positivo ε, é possível determinar um número positivo δ tal que0 < |x − x0| < δ, quando |f (x)− L| < ε.



Limites laterais

DefiniçãoConsidere-se x e x0 como pontos da reta real, onde x0 é fixo e x está a mover-se; x podeaproximar-se de x0 pela esquerda ou direita. Tal escreve-se x → x−0 ou x → x+

0 , respetivamente.Se lim

x→x−0f (x) = l1 e lim

x→x+0

f (x) = l2, então l1 e l2 são os limites laterais de f (x) em x0. Se

l1 = l2 = L, então limx→x0 f (x) = L.

Nota1 Uma função tem limite num ponto x0, se e só se os seus limites laterais são iguais.2 Quando o limite de uma função existe ele é único.



Propriedades dos limites

TeoremaSeja lim

x→x0f (x) = A, lim

x→x0g(x) = B e C uma constante qualquer então:

1 limx→x0

Cf (x) = C × limx→x0

f (x) = C × A.

2 limx→x0

(f (x)± g(x)) = limx→x0

f (x)± limx→x0

g(x) = A± B.

3 limx→x0

(f (x)× g(x)) = limx→x0

f (x)× limx→x0

g(x) = A× B.

4 limx→x0

f (x)

g(x)=

limx→x0

f (x)

limx→x0

g(x)=

A

B, B 6= 0.

5 limx→x0

[f (x)]n = An, n ∈ N.

6 limx→x0

nÆ

f (x) = np

A = A1n , n ∈ N.



Limites de funções polinomiais e racionais

TeoremaSe p é uma função polinomial e c um número real então:

limx→c

p(x) = p(c).

Se r é uma função racional dada por r(x) =p(x)

q(x)e c é um número real tal que q(x) 6= 0, então

limx→c

r(x) = r(c) =p(c)

q(c).



Limite de uma função envolvendo um radical

TeoremaSeja n um inteiro positivo. O limite,

limx→c

npx =npc,

é válido para todo c, se n for ímpar, e é válido para todo c > 0, se n for par.



Limite de uma função composta

TeoremaSe f e g são funções tais que:

limx→c

g(x) = L e limx→L

f (x) = f (L),

então,limx→c

f (g(x)) = f�

limx→c

g(x)�= f (L).



Limites de funções trigonométricas

TeoremaSeja c um número real no domínio de uma da função trigonométrica, então:

1 limx→c

sen(x) = sen(c).

2 limx→c

cos(x) = cos(c).

3 limx→c

tg(x) = tg(c).

4 limx→c

cotg(x) = cotg(c).

5 limx→c

sec(x) = sec(c).

6 limx→c

cosec(x) = cosec(c).



Limites notáveis e indeterminações

Limites notáveis

1 limx→0

ex − 1

x= 1

2 limx→0

ln(1 + x)

x= 1

3 limx→1

ln x

x − 1= 1

4 limx→0

sen x

x= 1

5 limx→0

1− cos x

x= 0

Indeterminações1 ∞ −∞2∞

∞

30

04 0.∞5 1∞

6 00

7 ∞0



Continuidade num ponto

DefiniçãoUma função diz-se contínua num ponto x = x0 quando:

1 f (x0) está definida.2 lim

x→x−0f (x) = lim

x→x+0

f (x).

3 limx→x0

f (x) = f (x0).

Caso contrário, a função diz-se descontínua em x = x0.



Continuidade num intervalo

DefiniçãoSe f é contínua em todos os pontos de um intervalo aberto (a,b), então diz-se que f é contínuaem (a,b).

DefiniçãoDiz-se que f é contínua num intervalo fechado [a,b], se f for contínua no intervalo aberto (a,b) e

limx→a+

f (x) = f (a) e limx→b−

f (x) = f (b).



Teorema do valor intermédio

DefiniçãoAdmita-se que f é contínua num intervalo fechado [a,b] e W é um número qualquer entre f (a) ef (b). Então existe um número c ∈ [a,b] para o qual f (c) = W .

DefiniçãoAdmita-se que f é contínua num intervalo fechado [a,b] e f (a) e f (b) têm sinais opostos. Entãoexiste pelo menos um número c ∈ [a,b] para o qual f (c) = 0.


Assintotas

Sumário






6 Assintotas


Assintotas

Conceito de assintota

DefiniçãoSe a distância entre um gráfico da função e uma dada reta aproxima-se de zero, à medida que ospontos do domínio se afastam da origem. Então, diz-se que o gráfico aproxima-se da retaassintoticamente, e que essa reta é uma assintota do gráfico. As assintotas podem ser:

1 horizontais.2 verticais.3 oblíquas.


Assintotas

Assintota horizontal e vertical

DefiniçãoUma reta y = b é uma assintota horizontal de um gráfico de uma função y = f (x) se:

limx→+∞

f (x) = b ou limx→−∞ f (x) = b

DefiniçãoUma reta x = x0 é uma assintota vertical de um gráfico de uma função y = f (x) se:

limx→x+

0

f (x) = ±∞ ou limx→x−0

f (x) = ±∞.


Assintotas

Assintota oblíqua

DefiniçãoUma reta y = mx + b é uma assintota oblíqua de um gráfico de uma função y = f (x) se:

limx→±∞[f (x)− (mx + b)] = 0,

sendo:

1 m = limx→±∞

f (x)

x.

2 b = limx→±∞[f (x)− mx ].


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