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Cap.10 Energia
Do professor para o aluno ajudando na avaliação de compreensão do capítulo.
É fundamental que o aluno tenha lido o capítulo.
Produto Escalar
Define-se o produto escalar entre dois vetores como sendo o produto entre os seus módulos e o cosseno do ângulo formado pelos vetores.
cos( )A B A B q· =r r
O símbolo, . , denota a operação produto escalar. O
resultado desta operação é um valor escalar.
O produto escalar é comutativo: A B B A· = ·rr rr
Exemplo: Alguns exemplos de produto escalar.
(a) Entre os vetores unitários:
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ. . . 1; . . . 0i i j j k k i j k j i k= = = = = =
(b) Projeção de um vetor sobre o eixo ( ou sobre o eixo y):
ˆ ( )(1)cos( ) cos( )xA A i A Aq q= · = =r
(c) Se A é perpendicular a B, q=90o, então A . B = 0. Essa igualdade também se mantém no caso trivial, onde A ou B é zero.
(d) Se A for paralelo a B e os dois apontarem para mesma direção, q=0o, então A . B = AB.
(e) Se o vetor A for paralelo a B e os dois apontarem para direções opostas, q=180o, então A.B = -AB.
(f) Operação geral entre os vetores A e B:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ; x y k x y kA A i A j A k B B i B j B k= + + = + +r r
Utilizando as operações fornecidas no item (a), resulta em
x x y y k kA B A B A B A B· = + +r r
(g) No caso especial em que A = B,
2 2 2 2 x y kA A A A A A· = = + +rr
Este é o módulo do vetor A.
10.1 Trabalho, Energia Cinética
► As definições de posição, velocidade e aceleração e as leis de Newton permitem resover uma variedade de problemas. No entanto, o estudo de interação entre os corpos é muito difícil de se resolver somente utilizando as leis de Newton, por isso uma outra abordagem foi utilizada: as definições de momento linear e impulso e a lei de conservação do momento linear.
►Continuaremos nessa nova abordagem, definindo novas quantidades, conhecidas ou não, mas de significados mais específicos na Física, tais como, o trabalho, a energia cinética e a energia potencial.
► Na nossa análise de conservação de momento linear, concentramos a nossa atenção em um sistema onde incluímos todas as partículas ou uma parte delas.
►Trataremos, com mais atenção, a noção de sistema.
► Sistemas e ambientes
►Sistema: pequena porção do espaço de interesse e ignorando os detalhes fora do sistema.
►Não importa qual seja o sistema específico em um determinado problema, identificamos uma fronteira do sistema- uma superfície imaginária que divide o espaço dentro so sistema- e o ambiente no entorno dele.
►Exemplo: O sistema pode ser definido como a combinação da parede, da mola e do bloco.
A influência do ambiente inclui a força gravitacional no bloco, a força normal e de atrito no bloco. Asforças exercidas pela mola no bloco e na parede são internas ao sistema e, portanto, não são incluídascomo uma influência do ambiente.
► Há vários mecanismos pelos quais um sistema pode ser influenciado por seu ambiente. O primeiroque devemos investigar é o trabalho.
► Trabalho
► Considere uma força aplicada, constante ou não, a um corpo, que identificamos como o sistema, e o corpo desliza sobre uma superfície horizontal.
► Qual é a eficácia da força ao mover o corpo?
► Faremos o procedimento semelhante como foi realizado na formulação de conceitos de momento linear e impulso.
Consideramos que a força resultante Fres sobre uma partícula envolvida na expressão da segunda leide Newton ser dependente de posição:
( ) ( )res res
dv dv drF r m F r dr mdr m dv
dt dt dt= Þ · = · = ·
rrrrr rrrrr
O produto escalar foi realizado entre o vetor dr e os membros da esquerda e da direita na expressão acima. O dt foi deslocado para baixo de dr e utiliza-se a definição v = dr/dt. A integração é realizada, fazendo a mudança de variáveis e usando a regra de cadeia no integrando:
( )2( )2
f f
i i
r v
resr v
mF r dr mv dv d v· = · =ò ò òr rrrr
Note-se que foi utilizado o procedimento (g) apresentado no produto escalar.
► Resulta em
2 2
( )2 2
f
i
r f iresr
mv mvF r dr· = -òr rr
onde vi é a velocidade escalar (rapidez) da partícula em ri e vf é sua velocidade escalar (rapidez) em rf.
► Define-se trabalho a expressão apresentada no membro à esquerda da equação acima:
( )f
i
r
ext resrW F r dr= ·ò
r rr
► O trabalho W realizado sobre um sistema por um agente externo que exerce uma força F(r) sobre ele é a integral do produto escalar entre a força F e o deslocamento dr do ponto de aplicação da força.
► Se a força for aplicada a uma partícula ou um corpo rígido, também considerado como partícula, o deslocamento dr é o mesmo que o da partícula.
►Para um sistema deformável, como o balão, ao pressionar esse corpo com ambas as mãos, o ponto aplicação, dr, se move, ou seja, as superfícies do balão se movem, mas o centro desse corpo não se move e os deslocamentos não são iguais.
► O significado físico do trabalho é a transferência de energia.
Se Wext é o trabalho realizado sobre um sistema, e Wext é positivo, a energia é transferida para osistema; se Wext é negativo, a energia é transferida do sistema.
Uma vez que um sistema interage com seu ambiente, a transferência de energia ocorre através da fronteira do sistema. O resultado é uma mudança na energia armazenada no sistema.
A mudança pode ser positiva ou negativa, como apresentado anteriormente.
► Unidade de trabalho: Joule- [J]
►Expressando o trabalho conforme a direção da força Fres com o deslocamento dr:
( ) ( )cos( )
( ) 0; / 2;
( ) 0; / 2;
( ) 0; / 2 ;
f f
i i
r r
ext res resr r
ext
ext
ext
W F r dr F r dr
a W
b W
c W
q
q pq pp q p
= · =
> <= =
< < £
ò òr rrr
► Pergunta: A força gravitacional exercida pelo Sol sobre a Terra a mantém em órbita em torno do Sol. Considerando que a órbita é perfeitamente circular, o trabalho realizado por essa força gravitacional durante um curto intervalo de tempo no qual a Terra se desloca em sua trajetória orbital é (a) zero; (b) positivo; (c) negativo; (d) impossível de determinar.
►Importante: Calculamos o trabalho realizado por uma força sobre um corpo, mas a força não é necessariamente a causa do seu deslocamento. Por exemplo, se levantar um corpo, um trabalho negativo é realizado sobre ele pela força gravitacional, embora a gravidade não seja a causa do movimento dele para cima.
Trabalho realizado por uma força constante
► ext resW F r= ·Dr r
Exemplo: Uma partícula que se move no plano XY sofre um deslocamento dado por Dr = (2,0i + 3,0j)m, enquanto uma força F = (5,0i + 2,0j)N age sobre a partícula. Calcule o trabalho realizado porF sobre a partícula.
Sugestão: No produto escalar F.Dr envolve as operações i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0.
Resp. 16J
Trabalho realizado por uma força variável
► No caso unidimensional, direção X, a expressão integral se torna
f
i
x
ext xxW F dx= òonde substituímos dr cosq por dx.
► Problema: Uma bala de 100 g é disparada de um rifle com um cano de 0,600 m de comprimento. A força exercida pelo gás expandindo sobre a bala é 15.000 +10.000 x – 25.000 x2, onde x está dado em metros. (a) Faça o gráfico de força versus comprimento do cano. (b) Determine o trabalho realizado pelo gás sobre a bala quando ela percorre o comprimento do cano.
Solução: (a) Gráfico:
O gráfico mostra que a força de expansãodo gás não se anula em x=0,600m, mas emx=1,00m. Significa que o cano do riflepode ser mais longo, no máximo, até 1,00mpar aproveitar a força expansiva do gássobre a bala.
(b) O trabalho realizado pela força sobre a bala é calculado.
0,600 2
0
0,6002 3
0
(15.000 10.000 25.000 )
10.000 25.000 = 15.000
2 3
9,00
ext
ext
W x x dx
x xx
W kJ
= + -
æ ö+ -ç ÷
è ø=
ò
Energia Cinética
► Estudamos o trabalho e o identificamos como um mecanismo para transferir energia para um sistema. Afirmamos que o trabalho é uma influência do ambiente sobre um sistema, mas ainda não discutimos o resultado da influência sobre o sistema. Temos obtido que
2 2
2 2f i
ext
mv mvW = -
Um resultado possível de realizar trabalho sobre um sistema é que muda sua velocidade escalar (rapidez). Essa energia é definida como energia cinética,
2
2
mvK º
► A energia cinética representa a energia associada com o movimento da partícula; é uma quantidade escalar.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x0
5000
10 000
15 000
20 000Força
► Escrevemos
ext f iW K K K= - = D
► O trabalho realizado sobre uma partícula por uma força resultante F que age sobre ela é igual à variação na energia cinética da partícula. A expressão acima é um resultado importante denominado como teorema do trabalho-energia cinética:
Quando o trabalho é realizado sobre um sistema e a única mudança nele acontece em sua velocidade escalar (rapidez), o trabalho resultante sobre o sistema é igual a variação da energia cinética do sistema.
► Obs. O teorema do trabalho-energia cinética é importante, mas limitado em sua aplicação. O princípio mais geral que envolve a energia é a conservação de energia que será estudado posteriormente.
►Obs. O teorema do trabalho-energia cinética relaciona trabalho a uma mudança na velocidade escalar de um sistema, não uma mudança em sua velocidade vetorial. Por exemplo, um corpo em movimento circular uniforme, sua velocidade escalar( rapidez) é constante. Embora sua velocidade (vetor velocidade) esteja mudando, nenhum trabalho é realizado sobre o corpo pela força que causa o movimento circular. O mesmo se aplicar em qualquer movimento circular, ou seja, a rapidez constante ou não.
►Energia cinética e momento linear
Podemos expressar a energia cinética de uma partícula em termos de seu momento linear e da massa.
Escrevemos a velocidade como p
p mv vm
= Þ =
Substituindo na energia cinética, obtemos
2 2
2 2
mv pK K
m= Þ =
Comparação entre o momento linear e a energia cinética
Veremos a diferença fundamental entre o momento linear e energia cinética de uma partícula. O teorema do impulso-momento linear J = pf - pi afirma que as variações do momento linear de umapartícula são produzidas pelo impulso, que depende do tempo durante o qual a força resultante atua.Por outro lado, o teorema do trabalho-energia cinética
ext f iW K K= - afirma que quando um trabalho é realizado sobre uma partícula ocorre uma
variação da sua energia cinética; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a força resultante atuou.
Por exemplo, considere uma partícula que parte do repouso no instante ti de modo que vi = 0. Seu momento linear inicial é pi =0, e sua energia cinética inicial é Ki = 0. Suponha que uma força resultante constante F atue sobre a partícula no intervalo entre os instantes ti e tf . Durante o
intervalo tempo, Dt= tf - ti , a partícula se desloca de uma distância Ds na direção da força. O momento linear da partícula no instante tf é
fp J F t= = D ,
onde J é o impulso que atua sobre a partícula. Logo, o momento linear de uma partícula é igual ao impulso que a acelera do repouso à sua velocidade atual; o impulso, por sua vez, é igual ao módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado pelo tempo necessário para essa aceleração.
Compare com a energia cinética da partícula que no instante tf é dada por
f extK W F s= = D ,
ou seja, é igual ao trabalho total realizado sobre a partícula para acelerá-la a partir do repouso. O trabalho total realizado é igual ao módulo da força resultante que acelerou a partícula multiplicado pela distância necessária para essa aceleração.
Exemplo: Agarrar qual entre a bola de m1 = 0,50kg que se desloca a 4,0 m/s ou uma bola de m2=0,10kg que se desloca a 20 m/s?
Solução: Os momentos lineares das bolas são iguais: p1 =0,50x4,0 = 2,0 kg m/s e p2 = 0,10x20 = 2,0 kg m/s. A energia cinética da bola mais leve é maior do que a outra mais pesada:
K1 = 4,0 J e K2 = 20 J.
Como os momentos são iguais, logo ambas necessitam do mesmo impulso para fazê-las entrarem em repouso: J1=J2 = 2,0 N s No entanto, K2 = 5K1, implica que o trabalho realizado por sua mão ao fazer a bola mais leve parar é 5 vezes maior do que realizado para fazer a bola mais pesada parar. Para umadada força média exercida pela sua mão, leva o mesmo tempo para fazer as bolas pararem, porém o deslocamento da sua mão e do seu braço é 5 vezes maior para agarrar a bola mais leve do que a bola mais pesada.
Portanto é preferível escolher a agarrar a bola mais pesada para minimizar a deformação do seu braço.
Problema: Uma bola de beisebol lançada com grande velocidade possui uma energia cinética aproximadamente igual à energia cinética de uma bala de calibre 22 disparada por um rifle, e a bala possui um momento linear menor do que o da bola de beisebol. Entretanto, você escolheria agarrar a bola de beisebol em vez da bala do rifle. Por quê?
Problema: Dois barcos de vela construídos para deslizar no gelo está em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito e eles apostam uma corrida. O barco A possui massa m e outro B, massa 2m. As velas de ambos os barcos são idênticas, de modo que o vento exerce a mesma força
constante F sobre cada barco. Os dois barcos partem do repouso e a distância entre a partida e a linhade chegada é igual a d.
(a) O barco A chegará ao final da linha com a energia cinética maior, menor ou igual a do barco B?
(b) Na linha de chegada, qual deve ser a razão vA/vB entre as velocidade dos dois barcos?
(c) O barco A leva igual, menos ou mais tempo do que o barco B para chegar ao final da linha?
(d) Na linha final, qual deve ser a razão tA/tB entre os tempos dos dois barcos?
Resp. (a) igual; (b) vA/vB = 2 ; (c) tB > tA; (d) tA/tB =1/ 2 .
10.2 Energia Potencial Gravitacional
► Objetivo desta seção é apresentar o conceito da energia potencial gravitacional e para isso, definimos um sistema bloco+Terra, figura, onde as forças gravitacionais são forças internas ao sistema. A Terra tem muita massa que pode ser considerada parada durante a aplicação de uma forçaexterna, Fap.
► Sistema bloco+Terra
A força externa Fap é aplicada no bloco e realiza trabalha sobre o sistema ao levantar o bloco muito lentamente partir do repousopor um deslocamento vertical
Dy = yf – yi. O trabalho é umatransferência de energia,portanto, este trabalho realizadosobre o sistema deve aparecercomo um aumento ( oudiminuição) da energia dosistema. Interpreta-se atransferência de energia pelotrabalho realizado sobre osistema como sendo a mudançana configuração do sistema de seu Estado inicial ao Estadofinal, conforme apresentada nasfiguras ao lado.
O bloco parte do repouso e fica
em repouso após o trabalho realizado, logo, DK = 0 do sistema:
2 2
02 2
ext ap
f i
W F y
mv mvK
= D
D = - =
A partir da posição mais alta, yf, pode-se soltar o bloco e deixá-lo cair em direção à posição yi. Observa-se que o bloco durante a queda possui energia cinética. A origem desta energia está no trabalho realizado pela força Fap sobre o sistema ao levantar o bloco. Enquanto o bloco estava na posição mais alta, dizemos que o sistema tinha o potencial de possuir energia cinética, que surge quando o bloco é solto.
► Denominamos a energia armazenada de energia potencial.
► A energia potencial de um sistema só pode ser associada a tipos específicos de forças agindo entre os membros de um sistema. Citando algumas: força gravitacional, força elástica e força elétrica.
►Voltando ao exemplo do sistema bloco – Terra, na figura acima Fap + m g =0 , pois, a rapidez é muito lenta e se considera constante:
ˆ ˆ 0ap apF j mg j F mg- = Þ =
A força aplicada possui a mesma intensidade da força gravitacional. O trabalho realizado pela Fap sobre o sistema é
( )ext ap f i
ext f i
W F y mg y y
W mgy mgy
= D = -
= -
É o trabalho realizado sobre o sistema, pois a força aplicada, Fap, é a única do ambiente sobre o
sistema. Este trabalho é uma diferença entre os valores inicial e final de uma quantidade mgy definida como a energia potencial gravitacional:
gU mgyº
Obs. Expressão é válida para corpos próximos da superfície terrestre. Não se diz energia potencial do corpo, mas energia potencial do sistema (bloco (m) + Terra (g) )
► Escrevemos
ext gW U= D
onde gUD é a mudança na energia potencial do sistema (com nenhuma mudança na energia cinética
ou interna)
► O trabalho realizado pela força gravitacional (interna), mg, sobre um corpo (componente) do sistema movendo-se entre dois pontos já descritos e ilustrados do sistema bloco+ Terra é
ˆ ˆ( ) ( )g f i f i
g g
W mgj y y j mgy mgy
W U
= - · - = - -
= -D
O trabalho realizado por essa força interna ao sistema causa uma redução ( sinal negativo) na energia potencial do sistema.
► A partir do teorema trabalho-energia cinética, o trabalho realizado sobre o bloco é igual à variação da energia cinética do bloco
bloco bloco f iW K K K= D = -
► Como o bloco é a única parte do sistema em movimento, então blocoK KD = D , onde K é a energia
cinética do sistema.
►Por sua vez o trabalho realizado sobre o bloco é igual a
( )bloco g gf giW U U U= -D = - -
onde Ug é a energia potencial gravitacional do sistema.
► Igualando as duas equações acima, escrevemos
0gK UD + D =
ou
f gf i giK U K U+ = +
► Dizemos que a soma K+Ug da energia cinética com a energia potencial gravitacional, permanece invariável durante o movimento de componente do sistema.
► O lado esquerdo da expressão 0gK UD + D = representa a soma das variações da energia
armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+Terra é isolado do meio.
► Exemplo: Refaça o Exemplo 10.1 do livro texto, página 271, sem utiliza r as equações cinemáticas.
► Pergunta: Uma pedra de massa m é jogada ao chão de uma altura h. Uma segunda pedra, de massa 2m, é jogada da mesma altura. Quando a segunda pedra atinge o chão, qual é sua energia cinética em relação à primeira pedra? (a) o dobro, (b) quatro vezes, (c) a mesma, (d) metade, (e) impossível determinar.
► Pergunta: Três bolas idênticas são jogadas do topo de umedifício, todas com a mesma velocidade inicial. A primeira éjogada horizontalmente, a segunda a um ângulo acima da linhahorizontal e a terceira a um ângulo abaixo da linha horizontal.Desprezando a resistência do ar, classifique os módulos dasvelocidades das bolas no instante em que cada uma atinge o chão.
► Responda a questão Pare E Pense 10.1
► O zero da energia potencial
► Escolher uma configuração de referência para a qual a energia potencial gravitacional do sistema
é nula. A escolha da configuração referencial é arbitrária, pois gUD é uma diferença e independe da
escolha da configuração referencial.
► Pergunta: A energia potencial gravitacional de um sistema (a) é sempre positiva, (b) é sempre negativa, (c) pode ser positiva ou negativa?
► 10.3 Uma olhada de perto na energia potencial gravitacional
► Responda a questão Pare E Pense 10.2
► (a) Refaça o Exemplo 10.4. Acrescentar as perguntas: (b) Calcule a diferença de energias cinéticas após e antes. (c) A energia que falta foi transferida para o ambiente de que forma?
► Conservação da energia mecânica
Foi concluído que
0gK UD + D =
Definimos as energias cinética e potencial de um sistema como sua energia mecânica:
0mec
mec
E K U
E
= +
D =
► Aqui U representa a energia total de todos os tipos de energia potencial, que será abordado posteriormente. Como o sistema sob consideração é isolado, as equações acima nos dizem que a energia mecânica é conservada; a soma das energias cinética e potencial permanece constante
►Veremos, posteriormente, que existe uma classe de força que define a energia potencial do sistema,e consequentemente, em que condições a energia mecânica é conservada.
► Responda a questão Pare E Pense 10.3
► 10.4 Forças restauradoras e lei de Hooke
► O modelo físico, no qual a força varia com a posição, é um sistema composto de um bloco sobre uma superfície horizontal sem atrito e conectado a uma mola, sem massa, cuja outra extremidade estáfixa a uma parede. Ver a figura. O sistema bloco+mola+parede se assemelha ao sistema bloco +Terra, pois tanto a parede como a Terra estão parados. A interação entre o bloco e a parede é através da mola. A mola esticada, x>0, ou comprimida, x<0, a uma pequena distância de sua posição de equilíbrio, x=0, exercerá sobre o bloco uma força a retornar o sistema ao seu estado de equilíbrio. Esta força é chamada de força restauradora.
► Força elástica na forma vetorial:
ˆelF kxi= -r
onde x é a posição do blocoem relação à sua posição deequilíbrio (x = 0), e k é umaconstante positiva chamada deconstante de força ou constante elástica da mola
► Lei de Hooke:
A força necessária para esticarou comprimir uma mola éproporcional à quantidade dedistensão ou compressão x.
► O valor de k é a medida da rigidez da mola: molasrígidas, k grandes, e flexíveis,k pequenos.
► Responda a questão Pare E Pense 10.4
► Pergunta: Ao cortar a mola de constante elástica k pela metade, qual é a nova constante elástica? Resp.: 2 k
► Trabalho realizado por uma mola
► Se o bloco sofrer um deslocamento de x = xi a x = xf, o trabalho realizado pela força elástica sobre o bloco será
2
ˆ ˆ( ) ( ) ( )2
f
f f
i i
i
xx x
el x xx
kxW kxi dxi kx dx
ù= - · = - = - ú
ûò ò
22
2 2fi
el
kxkxW = -
► O trabalho realizado pela mola, numericamente, é área do triângulo que tem base x e altura kx, mostrada na figura acima.
► 10.5 Energia potencial elástica
Agora descreveremos o trabalho realizado sobre o bloco por um agente externo, quando ele aplica uma força Fap
sobre o bloco movendo-o muito lentamente de x=xi a x =xf. Na condição de movimento muito lento pode-seconsiderar que o bloco está em equilíbrio dinâmico,
Fap + Fel = 0,
então,
Fap = kx i.
O trabalho realizado por essa força aplicada (agente externo) sobre o sistema de bloco+mola+parede é
2
2 2
ˆ ˆ( ) ( ) ( )2
2 2
f
f f
i i
i
xx x
ext x xx
f iext
kxW kxi dxi kx dx
kx kxW
ù= · = = ú
û
= -
ò ò
► Como no caso gravitacional, vemos que o trabalho realizado sobre o sistema por uma força externa é igual a diferença entre os valores inicial e final de uma expressão relacionada à configuração do sistema.
►Este trabalho é igual ao negativo daquele realizado pela força elástica:
ext elW W= -
► A energia potencial elástica do sistema é definida por
2
2el
kxU º
Associa a energia armazenada na mola deformada (configuração do sistema, que é mola comprimida ou distendida) e é zero sempre que a mola não está deformada ( x = 0).
►Escrevemos
ext el elf eliW U U U= D = -
► Aplicando o teorema de trabalho-energia cinética, como foi realizado no caso gravitacional, obtemos
f elf i eliK U K U+ = +
► Dizemos que a soma K+Uel da energia cinética com a energia potencial elástica, permanece invariável durante o movimento de componente do sistema.
► O lado esquerdo da expressão 0elK UD + D = representa a soma das variações da energia
armazenada no sistema. O lado direito é nulo, porque não há transferência de energia através do limite do sistema, ou seja, o sistema bloco+mola+parede é isolado do meio.
► A energia mecânica, mec elE K U= + é conservada para um sistema bloco+mola+parede.
► Refazer os Exemplos 10.6, 10.7 e 10.8. No Exemplo 10.7, note que duas energias potenciais sãoutilizadas. Exemplo 10.8 é semelhante ao problema 3 da lista 10. A resposta do item (d) deste problema se encontra no primeiro parágrafo da Resolução do Exemplo 10.8.
► Responda a questão Pare E Pense 10.5
► 10.6 Colisões elásticas
►Numa colisão, estudamos que o momento linear do sistema se conserva:
f ip p=rr
O momento linear definido como p = mv e a energia cinética
2
2 2 2
mv mv v mv mvK
m
· ·= = =
rrrr
onde se aplicou a definição do produto escalar e no último termo multiplicou-se e dividiu-se por m. Utilizando o vetor momento linear e a definição do produto escalar, obtemos
2
2
pK
m=
A energia cinética é escrita como função do momento linear escalar.
Numa colisão inelástica, temos Kf < Ki. Uma parte da energia mecânica do sistema é transferida parao ambiente. Se, na primeira metade de uma colisão, toda a energia cinética for transformada em
energia potencial elástica e, na fase final da colisão, toda esta for convertida de volta em energia cinética, a colisão é denominada colisão elástica.
► Temos duas leis de conservação
f i
f i
p p
K K
=
=
rr
a do momento linear e da energia cinética. A primeira expressão é vetorial e a segunda escalar.
► Deduzir: Considere duas partículas de massas diferentes movendo ao longo de uma reta como mostra a figura. As duas partículas se colidem frontalmente e depois se movem cada uma com velocidade diferente da que possuía. A colisão é elástica.
Equações das conservações de momento linear e energiacinética são utilizadas
1 1 2 2 1 1 2 2
2 22 21 21 2
2 2 2 2
i i f f
f fi i
m v m v m v m v
mv mvmv mv
- = +
+ = +
Mostrar que as velocidades das partículas após a colisão são
1 2 21 1 2
1 2 1 2
1 2 12 1 2
1 2 1 2
2
2
f i i
f i i
m m mv v v
m m m m
m m mv v v
m m m m
-= +
+ +-
= ++ +
No caso particular em que a partícula 2 está em repouso, as velocidades após a colisão são apresentadas na Equação 10.43 do livro texto.
► Atenção: O problema 10.27 do livro-texto não se trata de uma colisão elástica.
► Resolver: Após deduzir as equações acima, resolver o problema 10.57 do livro –texto. Recomendação de sempre: não decorar as expressões deduzidas!
► 10.7 Gráficos de Energia Cinética e Potencial e Equilíbrio de um Sistema
► A energia mecânica de um sistema, onde os membros interagem por meio da força gravitacional, é a soma das energias potencial gravitacional, Ug = m g y, e cinética, K = 0,5 m v2.
Emec = K + Ug.
A figura abaixo mostra o diagrama de energiade um corpo de massa m= 2,0 kg lançadoverticalmente para cima e atingindo a alturamáxima yf = 3,0m. Usa-se g = 10 m/s2. Aenergia mecânica do sistema é Emec = Ug =mgyf = 60 J, pois, na altura máxima, aenergia cinética é nula. Inicialmente, y = 0,a energia mecânica é somente cinética e avelocidade escalar pode ser determinada,0,5 m vi
2 = 60 J. A curva da energia cinéticaé determinada, em cada posição y, peladiferença entre a energia mecânica e energiapotencial gravitacional, K = Emec – Ug. Na posição em que Emec = Ug, ou seja, onde K = 0, é um ponto de retorno, em que o corpo inverte o sentido de movimento ( isto já foi visto em cinemática).
► A extremidade esquerda da mola de constante elástica igual a 1,25x103 N/m é presa na parede e a outra, no bloco de massa 0,500 kg. Quando o bloco é empurrado contra a mola por um agente externo, a energia potencial elástica e a energia total do sistema aumentam. Quando a mola é comprimida em 5,00cm, posição à esquerda de x = 0, a energia potencial elástica armazenada na mola é
2 3 2 2
mec
1,25 10 ( 5,0 10 )E 1,56
2 2
kxJ
-´ ´ - ´= = =
Na posição de compressão máxima, x= -5,00cm, a energia cinética é nula. Quando o bloco é liberado, a mola exerce uma força sobre ele e o empurra para a direita. A energia mecânica do sistema, 1,56J, é transformada emcinética do bloco, K, e potencialelástica, U. Nessa mudança deconfiguração do sistema, a molaretorna a seu comprimento original,isto é, na posição de equilíbrio, x=0, aenergia potencial elástica armazenadaé completamente transformada emenergia cinética. A energia potencialmecânica é totalmente cinética. Como a mola está presa ao bloco, ela édistendida pelo movimento (inércia)do bloco e continua a troca de energia
cinética do bloco em potencial elástica. A transferência é total quando a mola é esticada em x=xf = 5,00cm. Este é o ponto de retorno. Retoma o movimento para a esquerda repetindo o processo de transformação da energia. Outro ponto de retorno é em x= -5,00cm.
A descrição está representada na figura.
► O movimento de um sistema pode ser entendido por meio de um gráfico de sua energia potencial pela posição de um membro do sistema. A mudança na energia potencial é dada por
f
i
x
xxU W F dxD = - = -ò
Quando 0UD < , a Fx e dx , estão na mesma direção. Por exemplo, quando o corpo é baixado em um campo gravitacional ou quando uma mola empurra um corpo em direção ao equilíbrio. Temos
f iU U UD = -
Considerando Ui(xi) a configuração de referência do sistema, e medir todas as diferenças de energia potencial em relação a ela. Escrevemos
( )f
i
x
f x ixU x F dx U= - +ò
A variação infinitesimal na energia potencial do sistema, dU, será
xdU F dx= -
A força conservativa é relacionada à função energia potencial por meio da relação
x
dUF
dx= -
Ou seja, o componente x da força, atuando sobre um membro dentro de um sistema, é igual à derivada negativa da energia potencial do sistema em relação a x.
Exemplos:
(a)
( )
ˆ
g y
y
d mgyU mgy F
dy
F mg F mgj
= Þ = -
= - Þ = -r
(b)
2
2ˆ
g x
kxU F kx
F kxi
= Þ = -
Þ = -r
► O gráfico abaixo ilustra a variação da energia potencial de uma partícula do sistema. As E1 e E2 são as energias mecânicas a uma dada configuração do sistema. Se uma partícula é solta em x1, U1 = E1, ela começa a se mover para direita. Acelera até x2 , pois Fx >0 , e desacelera até x3, pois Fx < 0. Em x3, ela para, K = 0. Esta posição é posição de equilíbrio instável. Uma pequena perturbação quea partícula sofra, ela pode se move paradireita ou para esquerda. Se ela for paraa esquerda, Fx < 0, retorna para x1 e sefor para a direita, Fx >0, ela para em x7.Como nessa posição, Fx < 0, elaretorna para x3. A x7 como a x1 são posições de retorno para a partícula deum sistema com energia total E1.Outras posições de retorno são x4 e x6
para a partícula de um sistema comenergia total E2. Na posição x2, Fx = 0, apartícula está em repouso, e qualquerperturbação que a partícula sofra,produz uma pequena oscilação emtorno desta posição, por isso, esta posição é conhecida como posição de equilíbrio estável.
►Pergunta: (a) Nas posições de retorno, x1, x4 , x6 e x7 ,citadas no texto acima, a força sobre a partícula é positiva, negativa ou nula? Justificar. (b) As energias mecânicas E1 e E2 citadas no texto acima podem ser positivas ou negativas? Explicar.
► Responda a questão Pare E Pense 10.6.