Cap VI - Hidráulica 1

7/25/2019 Cap VI - Hidrulica 1

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CAPITULO VI TRANSPORTE DE SEDIMENTOS EM CANAIS

6.1 Generalidades

Du Boys, em 1879, sugeria que o movimento dos sedimentos do leito deveria

ocorrer em camadas com espessuras iguais s dos gros. A camada da superfcie teria maiorvelocidade, e a partir deste ponto a velocidade decresceria linearmente com a profundidade,figura 6.3. Esta foi uma das primeiras tentativas de formalizar um modelo que representasse

o fenmeno de transporte slido. Aparentemente foi Krey quem, em 1910, observou que o

modelo idealizado por Du Boys no correspondia realidade. As observaes feitas por

Krey e outras posteriores, revelaram que somente a camada superficial era passvel demovimento. Ademais, o movimento no se realizava pelo escorregamento da camada

superficial. Na verdade, existem mecanismos distintos para o transporte de material slido,

ou seja, junto ao fundo existem as modalidades de transporte por arrastamento e porsaltitao, e nos estgios mais avanados do escoamento, ocorre o transporte de materiais

em suspenso no seio lquido.

Os diversos estgios do escoamento dos sedimentos podem ser sintetizados daseguinte forma:

1) 0< 0cr qs =0

no h transporte de sedimentos

2) 0cr< 0< 0cr qs = qsf

O material transportado por arrastamento ou saltitao (qsf), numa determinada camada

do escoamento y < .3) 0cr < 0 qs = qsf + qss

O material transportado por rolamento ou saltitao (qsf) na camada y < , e emsuspenso (qss) na camada < y < h.

A partcula que arrancada do leito pelas foras da turbulncia, no ter uma

trajetria determinada Tb (figura 6.1). Sua trajetria estar merc das foras deturbulncia, de natureza randmica, e portanto, a partcula se movimentar numa trajetria

probabilstica Ts (figura 6.1).

A limitao convencional entre o transporte de fundo (por arrastamento ou

saltitao) e o transporte em suspenso, em essncia, uma idealizao que na realidadeno existe. Desde que as trajetrias Tb e Ts so tpicas de materiais transportados pelo

fundo e em suspenso, e que a transio entre as duas modalidades no abrupta (existem


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entre elas outras trajetrias tpicas de situaes intermedirias T1, T2, T3.... (figura 6.2), no

existe um valor determinado de 0cr que determine o incio do transporte em suspenso,nem uma camada de espessura y = , que separe as regies das duas modalidades detransporte.

No estudo das modalidades de transporte de fundo, em suspenso e total, que seroapresentadas a seguir, foram selecionadas algumas frmulas de transporte slido mais

utilizadas. Destas, algumas mais consagradas, sero analisadas com maior profundidade.

6.2 Transporte slido de fundo

Existem basicamente duas modalidades de transporte de fundo, definidas pelo

Subcommittee on Sediment Terminology da American Geophysical Union como:

Transporte de contacto, em que o material se movimenta atravs de rolamento ou

escorregamento sobre a superfcie do leio.Transporte por saltitao, em que o material se desloca em pequenos saltos.

Em ambos os casos os movimentos so descontnuos, caracterizados pordeslocamentos relativamente rpidos, entremeados de perodos de repouso.

Nos cursos naturais, de maneira geral, o transporte de fundo predomina nas regies

de cabeceira, devido s caractersiticas gerais dos sedimentos, que nestas regies, so mais

grosseiros. O transporte por saltitao nestes casos, pode representar uma parcelaimportante.

De maneira geral, a medio do transporte por saltitao muito difcil, alm do

que esta modalidade pouco representativa nos casos de escoamentos em leitos arenosos.Por esta razo, os transportes por contato e por saltitao so agrupados sem distino, para

representar o transporte de fundo, ou seja, o transporte nas imediaes do leito.

A pesar de existirem modelos tericos que expliquem razoavelmente o transporte de

fundo, no se conseguiu ainda nenhum mtodo de clculo que o quantifique, dentro dospadres normais de preciso para a engenharia. Os mtodos de clculo foram

desenvolvidos basicamente com dados de Laboratrio, uma vez que os dados das mediesna natureza so bastante escassos. Mesmo assim os resultados de Laboratrio so efetuados

em sua acuracidade, por dificuldade tcnicas de medio. Quando os sedimentos so muito

finos, parte deste material transportado em suspenso, e muitas vezes contabilizado como

transporte de fundo. As medies realizadas numa determinada seo apresentam umavariabilidade no tempo, e existem exemplos que apontam uma disperso em relao ao


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valor mdio da ordem de 300 a 500 por cento. Isto se deve variabilidade da intensidade detransporte nos diversos pontos de ondulao do leito.

Para tornar ainda mais complexo o problema, h uma interdependncia entre o

transporte de fundo e a resistncia ao escoamento, devido rugosidade de forma. A falta deum completo entendimento de como equacionar corretamente a resistncia em canais

aluvionais, alm de todas as incertezas que cercam os dados de medies, dificultasobremaneira o equacionamento do transporte de fundo.Partindo destas evidncias pode-se esperar uma diferena significativa nos

resultados das aplicaes das diversas metodologias de clculo que sero apresentadas a

seguir. Estas metodologias foram classificadas de acordo com a natureza da formulao:

a- Formulaes de natureza empricab- Formulaes baseadas na anlise dimensional

c- Formulaes terico-experimentais

6.2.1 Mtodos de clculo do transporte slido de fundo

6.2.1.1 Formulaes de natureza emprica

- Frmula de Du BoysA primeira frmula de transporte slido de fundo foi proposta em 1879 por Du

Boys, que imaginou o escoamento do material de fundo em camadas (figura 6.3), com a

velocidade mxima superfcie, decrescendo linearmente com a profundidade. Destaforma, a vazo slida especfica seria:

qs = s N . h (N-1) V/2 (6.1)onde:

N nmero de camadas.

V variao da velocidade por camadas.

A tenso de cizalhamento sobre o leito deveria ser igual tenso da resistncia aoescoamento:

0= s N h tg (6.2)onde:

- ngulo de repouso

O nmero de camadas N, pode ser obtido atravs da condio crtica de incio de

arraste, em que N = 1.


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0cr= s h tg (6.3)ou

ocr

N

0=

Portanto a equao 6.1 fica na forma:

( 00022

cr

ocr

s Vhqs

= ) (6.4)

-Frmulas empricas gerais

Apesar do modelo proposto por Du Boys ser incorreto, existem inmeras frmulas

de natureza emprica, que apresentam muita semelhana com a expresso 6.4. a restrio

que feita a frmulas deste tipo, que no consideram o efeito da rugosidade de forma.Na tabela 6.1, so apresentadas algumas frmulas empricas. Os coeficientes a e b

das frmulas representam coeficientes empricos.


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-Frmulas de Meyer-Peter e Muller

A frmula emprica de maior aceitao a que foi desenvolvida por Meyer-Peter e

Muller (1948). Nos primeiros estudos realizados por Meyer-Peter, Favre e Einstein (1934)este grupo chegou seguinte equao, vlida para sedimentos grosseiros:

174,0 3

2

3

2

=d

Jq

d

qsb (6.5)

porm, esta frmula apresentou grandes discrepncias quando testada com sedimentosfinos. Posteriormente, Meyer-Peter e Muller modificaram a equao 6.5, baseados nos

seguintes fatos:

a a desuniformidade do material alterava o valor das constantes da equao;

b uma parcela da tenso de atrito era utilizada para vencer as ondulaes do leito, noparticipando do transporte de material slido.

A partir destas consideraes, propuseram um mtodo de clculo, em que a perda decarga unitria do escoamento se subdividia em duas parcelas: uma correspondente

rugosidade do gro e outra rugosidade de forma.

J = J + J (6.6)A interpretao fsica simples, tratando-se de uma superposio de efeitos. A

primeira parcela corresponde perda de carga num canal de seo regular, contando apenas

com a rugosidade dos gros, e a segunda parcela corresponde perda de carga num canal

com a rugosidade das deformaes decorrentes do transporte slido.O valor de J determinado pela frmula de Manning-Strickler:

2

1

3

2

'.1

JRns

um= (6.7)

0,26

61

90dns= (6.8)

Igualando a expresso 6.7 frmula de Manning (4.35), chega-se a:2

'

=n

ns

J

J (6.9)

Introduzindo esta relao na equao 6.5 a rearranjando-a, Meyer-Peter e Mullerobtiveram a equao:

( ) ( ) dass

qsb

gdas

RJ

n

ns

3

1

3

2

3

1

2

3

125,0047,0

+=

(6.10)

onde da o dimetro caracterstico, representado pela mdia aritmtica dos dimetros da

mistura. Nos sedimentos utilizados por Meyer-Peter e Muller da variou entre d 50e d60.A equao 6.10 foi obtida para o seguinte campo de variveis:

J = 4.10-4

a 2.10-2

m/m

d = 0,4 mm a 30 mmh = 1 cm a 120 cm


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25,0=

sa 3,2

O amplo campo de dados em que a frmula foi utilizada com resultados poucodispersivos, tornaram a aplicao deste mtodo mais confivel em aplicaes generalizadas.

Ning Chien (1954), obteve sucesso no teste comparativo da equao 6,10 com a frmula de

Einstein, figura 6.4, o que no deixa de ser tambm um bom indicador para o seu uso.

A equao 6.10, pode ser reescrita numa forma mais conveniente, figura 6.5:

3

2

*

2

3

25,0047,0 +=

n

ns (6.11)

onde:

3

adgs

s

qsb

=

(6.12)

ou ( )23

* 047,0'8 = (6.13)

onde *

2

3

*'

=n

ns (6.14)

e2

3

'

=n

ns

R

R (6.15)


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( )dsJR

='

'* (6.16)

A equao 6.13, desenvolvida por Chien, utiliza a metodologia proposta porEinstein, em que a subdiviso dos efeitos das rugosidades do gro e de forma feita atravs

do raio hidrulico.

A formula 6.13, nesta forma, torna-se similar frmula do tipo Du Boys, onde a

vazo slida se anula para um particular valor de *=0,047. Este valor concorda com osresultados do diagrama de Shields, figura 6.5. O resultado bastante coerente, uma vez que

os autores trabalharam na maioria dos casos com sedimentos grados. Yalin (1977) aindaprope uma forma generalizada para a expresso 6.13.

23

* )'(8 cr = (6.17)

6.2.1.2 Formulaes baseadas na anlise dimensional

As frmulas de transporte slido, que sero apresentadas no restante deste captulo,sero expressas em termos dos adimensionais desenvolvidos no captulo II (tabela 2.1). Os

adimensionais mais utilizados so:

d*

*

vRe = (6.18)

ds

2

**

v

= (6.19)

d

hh =* (6.20)

sW= (6.21)


8/61

3gd

qsb

ss

=

(6.22)

*

1

= (6.23)

*v

8 um

fc == (6.24)

- Frmula de Shields

Em 1936, Shields, apresentou uma formulao para o clculo do transporte de

fundo, na forma adimensionalizada:

=

dJq

sqsb

s

cr

0010

1

(6.25)

que tambm pode ser escrita da forma:

( crw

c **2

5

*

110 = ) (6.26)

Esta formulao se assemelha maioria das frmulas vistas at o momento,relacionando o transporte slido com o excedente de tenso acima da crtica. O efeito da

rugosidade do leito est representado pelo adimensional c. Shields tambm considerou a

variabilidade da natureza do material, atravs do adimensional W, fazendo-o variar entre1,06 e 4,20. A granulometria esteve compreendida entre 1,56 mm e 2,47 mm.

Uma verificao posterior desta frmula, indicou erros de at 200%. Todavia, tal

magnitude de erros tpica em formulaes para o clculo do transporte slido.

- Mtodo de Rottner

Rottner (1959) apresentou uma relao grfica (figura 6.6) de quatro adimensionais.

3gh

qsb

ss

;d

h;

gh

u

s

;

s

J (6.27)

baseado em dados de 2500 observaes em canais de laboratrio.


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Os adimensionais podem ser reescritos na forma:

23

*

3

= hgh

qsb

ss

(6.28)

*hd

h= (6.29)

2

1

*

*

=

h

c

gh

u

s

(6.30)

*

*

h

J

s

=

(6.31)

Assim, o conjunto de adimensionais passa a ser:

23

*

h ; ;*h

2

1

*

*

h

c

;*

*

h

(6.32)


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No captulo II foi visto que nos casos em que o regime de escoamento de leitoplano, rugas ou ondulaes suaves (Ks ~ d), o adimensional h* no uma grandeza

caracterstica, e este aspecto no ficou claro na relao proposta por Rottner.

As taxas de transporte obtidas por este mtodo so muito superiores s taxascalculadas por outros mtodos tradicionais, como Meyer-Peter e Muller, Einstein, Garde e

diversos autores.

- Mtodo de Garde e Albertson

Garde e Albertson (1961) verificaram que a maioria das frmulas de transporte de

fundo estabelecem uma relao do tipo:

( crG ** = ) (6.34)ou ainda nos casos em que > cr** >

) (6.35)( *fG=onde:

Jhd

qsb

s

G

**v

==

Para os casos em que o leito plano, os dados definem uma nica curva, como as

relaes encontradas por Kalinske e Einstein (figura 6.8). Por outro lado, nos regimes de

rugas ou dunas, relaes deste tipo apresentam grandes disperses, uma vez que oescoamento slido nestes casos tambm est condicionado rugosidade de forma. Garde e

Albertson concluram, ento, que haveria necessidade de uma terceira varivel,

representada pelo adimensional c. O uso deste adimensional parece lgico, uma vez que

para um determinado estgio do escoamento representados na relao *x Fr (figura 4.13).O transporte de fundo poderia ento ser expresso em funo do parmetro de

Shields * , e do regime do escoamento. Este, por sua vez, representado pela resistncia aoescoamento, ou seja, pelo adimensional c (figura 6.9).


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Este critrio pretende considerar todos os aspectos que afetam o transporte slido de

fundo sem , no entanto, entrar em refinamentos concernentes subdiviso da tenso decizalhamento devido s rugosidades do gro e de forma. Desta maneira, bastam as curvas

representadas nas figuras 4.14, 6.8 e 6.9.

6.2.13 Mtodos Semitericos

- Mtodo de Einstein (1942 a 1950)


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O mtodo de clculo formulado por Einstein (1950) representa um marco naevoluo das frmulas de transporte de slido. O modelo fsico em que se baseia, abandona

o conceito da condio crtica de incio de movimento. O transporte de fundo, neste

modelo, est relacionado s flutuaes de velocidades. O movimento da partcula funoda probabilidade de ocorrncia do desequilbrio das foras atuantes sobre o gro.

Evidncias experimentais levaram Einstein a concluir que:a Existe uma intensa e estvel troca de partculas entre o material do leito em repouso e odo leito em movimento.

b Os movimentos das partculas ocorrem em passos rpidos, entremeados de longos

perodos de repouso.

c Em mdia, os passos dados pelas partculas carreadas so constantes, e aparentementeindependem do estgio do escoamento lquido, slido ou da composio granulomtrica.

d A variao no transporte slido atribuda mudana nos intervalos de tempo em que

as partculas permanecem em repouso.

Partindo destes conceitos, Einstein desenvolveu seu mtodo, inicialmente de

natureza emprica (1942), modificando-o posteriormente atravs de um tratamento analtico(1950).

Modelo fsico

O modelo fsico idealizado por Einstein, para explicar o fenmeno, consiste em queo transporte slido resulte da intensa troca entre as partculas que esto em movimento e as

que esto em repouso. O equilbrio destas trocas implica em que as quantidades de

partculas retiradas e depositadas, por unidade de tempo e rea, devam ser iguais.

Deposio

Cada partcula com um dado dimetro d, percorre uma distncia Ald. Seja umasuperfcie retangular de largura unitria e comprimento Ald, ento o nmero de partculas

que se depositam nesta superfcie, por unidade de tempo e rea :

4

2

3

2 dikAl

qsbis

dkdiAl

qsbisn

ss

T

=

=

(6.36)

onde:

is qsb o transporte slido em peso, da frao is do material transportado, que tem

dimetro di, por unidade de tempo.

sk2di

3- peso seco de uma partcula de dimetro di. (k2 coeficiente de forma do volume)

Remoo

O nmero de partculas por unidade da rea do leito, para uma frao ib do material

do leito com granulometria di, dado por:

2kldi

ibNB= (6.37)

onde:

k1 um coeficiente de forma de superfcie.


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Seja p a probabilidade de remoo de uma partcula do leito, ento o nmero de

partculas que so removidas do leito, por unidade de rea e tempo :

tedik

ibpnB 2

1

= (6.38)

onde:te o tempo consumido para uma troca total na superfcie AL. D. 1, entre o material emrepouso e o transportado.

No existe forma para determinar te diretamente. Einstein, em 1942, props marelao de dependncia de te, com a velocidade de queda da partcula.

te ~0w

d (6.39)

ou

)(3

=sg

dikte (6.40)

Equilbrio

Desde que as taxas de deposio e remoo estejam em equilbrio, ou seja, que o

transporte slido esteja em regime, pode-se exprimir a relao:

( )

= S

SL di

g

dikk

pib

dikA

sbisq2

31

4

2

(6.41)

Probabilidade de remoo

A probabilidade de remoo p, a frao do tempo em que as foras ascensionais

que agem sobre a partcula superam o seu peso. Einstein interpretou que a probabilidadepoderia ser utilizada para o clculo da distncia AL. d.

Seja a probabilidade p de valor pequeno, ento a distncia de transporte limitada

inferiormente, portanto virtualmente constante, e pode ser escrita:

ALd = bd (6.42)Sendo buma constante de percurso unitrio tendo um valor em torno de 100.

Considere-se agora uma situao contrria, em que a probabilidade de remoo pseja grande, de sorte que apenas (1-p) partculas se depositam aps o percurso bd, aopasso que p continuam em movimento. No percurso seguinte, correspondente a 2bd, p(1-p) se depositam, enquanto p

2continuam em movimento. No ensimo percurso, ou seja a n.

b.d, pn-1

(1-p) se depositam, ao passo que pnseguem o percurso.

Seguindo este raciocnio, o percurso mximo AL.d para que haja uma troca total,

expressa em termos de probabilidade de remoo :


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AL.d =p

bdnpp

d

b

n

n =+

= 1)1()1(

0

(6.43)

Este valor substitudo na equao 6.41, fornece a expresso:

=

3

2

31 1

1 gdi

qsb

ib

is

k

kk

p

p

ssb

(6.44)

ou

**1

Ap

p=

(6.45)

onde:

=*A b

k

kk

2

31 (6.46)

constante determinada experimentalmente.

=ib

is* (6.47)

Formulao emprica (1942)

A primeira formulao apresentada por H. Einstein em 1942, aplicvel a sedimentos

uniformes e misturas, apresenta uma relao similar equao 6.45:

4242

*1

Ap

p=

(6.48)

onde:

3

12

314242

*

1

)(

1

gdi

qs

Fk

kkA

ssb

=

(6.49)

onde:

ss gdgd

F2

33

2

1

3636

3

2+= (6.50)

que representa o coeficiente da equao de Rubey (1933), para a determinao da

velocidade de queda da partcula (3.10).Ainda nesta ocasio Einstein no discretizava a dimenso da partcula, sugerindo

para os casos de misturas, que fosse utilizada como dimenso caracterstica um dimetro de

peneiramento situado entre d35e d45.

Determinao da probabilidade de remoo

A probabilidade de remoo de uma partcula do leito, como sabido, depende da

relao entre a fora de sustentao e peso da partcula.

=G

Ffp (6.51)

onde:


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22

2

1ubdikipCF L = (6.52)

3'

2 dkG s= (6.53)ub velocidade nas proximidades do leito, que em se tratando de regime viscoso:

ub 11,6 v*11,6 JgR' (6.54)A funo 6.51 pode ser reescrita na forma:

)( 4242*Bfp= (6.55)onde:

LCk

kB

1

135

2

1

242

* = (6.56)

B*42

admitido constante, porm deve-se observar que CL varivel com Re*= v*d/noregime laminar.

JR

d

H

s

'

)(1'

*

42

== (6.57)

Na expresso 6.57, percebe-se a subdiviso da tenso de cizalhamento proposta por

H. Einstein, onde ele considera a parcela = , correspondente ao gro, como acomponente que efetivamente contribui para o transporte slido.

JR '0 '

Para o caso particular, em que a probabilidade p pequena (42< 0,4), a equao6.48 simplifica-se a:

)( 4242*4242

* BfAp == (6.58)As constantes A*

42e B*

42, foram determinadas empiricamente, e a funo 6.57 foi

ajustada aos dados de Gilbert (1914) e Meyer-Peter(1934), figura 6.10, resultando na

equao:

391,01

465,0 =eF (6.59)


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Nos regimes de transporte slido intenso (42>0,4), a equao 6.58 desvia-se

consideravelmente dos dados. Este fato de se esperar, uma vez que nessas condies ahiptese da equao 6.58 no mais vlida. Para estes casos a equao completa 6.48 deve

ser utilizada, resultando na curva 2 da figura 6.9. O desvio da curva em relao aos dados

observados explicado pelo fato de que nestes esto includas parcelas de material emsuspenso.

Posteriormente Brown (1950) revisando estes dados, sugeriu um ajuste da curva,

vlida para 09,01

*>= , atravs da expresso:

3

140

=

(6.60)

onde:

ds )(

0*

= (6.61)

0 - tenso de atrito total.As expresses 6.59 para 0,09 (figura 6.10) passaram a ser

denominadas de frmula de Einstein e Brown.* *

Percebe-se ainda que para valores de inferiores a =0,06 (=17), ocorretransporte apesar de pequeno, contrariando os resultados das frmulas tradicionais quecalculam o transporte em funo do excedente de tenso acima da crtica.

* cr*


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Formulao analtica (1950)

O mtodo de Einstein, na sua apresentao com um desenvolvimento analtico

(1950) adquiriu um carter mais abrangente que a formulao emprica (1942). Representauma possibilidade mais generalizada para o clculo do transporte de fundo, uma vez que, ao

contrrio da formulao original, esta considera os efeitos da deformao do leito.

Determinao da funo da probabilidade de remoo

A probabilidade de remoo da partcula, determinada pela funo 6.51, pode ainda

ser expressa pela probabilidade da fora de sustentao superar o peso da partcula.

( ) 11 >+G

F (6.62)

onde:

- uma funo randmica distribuda de acordo com a distribuio normal, comdesvio padro 0 = 0,5 (constante)

22

11..2

1ubdkCF L= (6.52)

CL= 0,178 (obtido experimentalmente)

A velocidade nas proximidades do leito ub, considerada a uma distncia de 0,35Xdo leito onde X representa o dimetro caracterstico da mistura, com:

Xx

d6577,0= se 80,1'

65 >x

d (6.63)

X = 1,39 se' 80,1'

65 (6.68)

onde:

JR

d

H

s

'

= (6.69)

1

2

2

1

2 34,0)75.5)(178,0(

2

k

k

k

kB == (6.70)

65

6,10logd

xXx

= (6.71)

Fatores de correo

Einstein introduziu na expresso 6.68, o fator de correo que considera oencobrimento de sedimentos finos por outros grosseiros, ou pela camada limite laminar.

Neste caso, a fora de sustentao dever ser corrigida por

-1

que funo de d/X, figura6.11.

Um segundo fator foi introduzido, para corrigir o coeficiente de sustentao, que varivel de acordo com a rugosidade das diversas misturas, e portanto funo de d65/,figura 6.12. Para material de granulometria uniforme, tais constantes so unitrias.


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A expresso 6.68, com algumas manipulaes, toma a forma:

2

*

2

*

2

*

0

1Bn

n>

+ (6.72)

onde:n*=n/n0 (6.73)

(razo entre n e desvio padro n0).

2

0

* =n

BB (6.74)

=

2

2

*x

(6.75)

em que = log 10,6.

No limite do equilbrio de foras, a condio de incio de movimento das partculas

:

2

*

2

*

2

*

0

1=

+ Bn

n (6.76)

ou

n*limite=0

**

1

nB (6.77)

Como n, por hiptese, tem distribuio normal, a probabilidade de remoo daspartculas, que vem a ser a integrao da funo n, fica sendo:

p = 1 -

dte tn

B

nB

20

*

0*

1*

1*

1

(6.78)

onde: t a varivel de integrao.

Combinando as expresses 6.45 e 6.78, chega-se formulao final de H. Einstein(1950), figura 6.13:


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+=+

11 **

**

A

A

dte tn

B

nB

20

*

0*

1*

1*

1

(6.79)

em que os coeficientes forma obtidos experimentalmente, fornecendo os valores:

A*= 43,8

B*= 0,143

O clculo do transporte slido, como foi visto, feito individualmente para cadafaixa granulomtrica (is/ib) da mistura, e totalizado com a soma destes clculos parciais. Se

o sedimento do leito no tiver uma granulometria muito variada, ento o clculo poder serfeito, utilizando-se o dimetro d35como dimenso caracterstica.

Mtodo de Kalinske

O mtodo proposto por Kalinske (1947), parte de trs premissas bsicas:

a- Existe uma condio crtica para o incio do movimento das partculas, definidopela tenso crtica de cizalhamento.

b- As foras do escoamento que atuam sobre as partculas, flutuam em torno de umvalor mdio, devido s flutuaes turbulentas.

c- A taxa de transporte slido funo do nmero, dimenses e velocidade mdia dossedimentos.

Utilizando um mtodo semelhante ao proposto por White (1940), Kalinske definiu oincio de transporte slido a partir de :

ocr= 0,039 s d (6.80)


22/61

condio que se aproxima do critrio de Shields para o caso de regime turbulento rugoso.A velocidade de escoamento do sedimento determinado por:

Us= k(ub ubcr) (6.81)

onde Us a velocidade instantnea do sedimento e ubcre ubso as velocidades instantnea ecrtica de incio de movimento nas proximidades do leito. K uma constante determinada

experimentalmente e de valor unitrio.Admitindo que a velocidade instantnea do escoamento obedea a uma distribuionormal, a equao 6.81 fica:

= rum

ucrf

u

Us , (6.82)

Os valores com barra indicam mdias temporais, e r =u

, com 2)( uu= .

Lembrando que existe uma proporcionalidade entre ucr/u e , a funo 6.82pode ser reescrita na forma:

0/ocr

= rf

u

sU

o

ocr ,

(6.83)

O transporte slido calculado em funo da velocidade mdia de escoamento dosedimento:

)(64/.

3

2

1

= SSs Ud

d

Pq (6.84)

onde:

4/. 2

1

d

P

- o nmero d gros por unidade de rea.

P1 a frao do leito ocupado pelos gros.

Com alguma manipulao de equao 6.84, chega-se a:

um

UP

du

q S

s

s1

3

2

)(=

(6.85)

ou utilizando uma das propriedades da lei de distribuio de velocidades, 0,11*

=v

u, ento:


23/61

( ) ( ) umU

d

q s

s

s

s

s 57,2.v **

=

=

(6.86)

ou

( )um

Us

s

s ..57,2 * = (6.87)

A funo 6.83 foi determinada experimentalmente, figura 6.14, para osvalores r = 0 e r = 0,25, representando as condies de regime laminar, e regimeturbulento, respectivamente, nas proximidades do leito.

Kalinske verificou esta formulao atravs de dados experimentais,considerando r = 0,25, obtendo resultados satisfatrios, figura 6.15.


24/61

A frmula foi desenvolvida para sedimentos de granulometria uniforme.

Para os casos de misturas o autor recomenda o uso de dimetro mdio, para que seobtenham melhores resultados. A principal limitao deste mtodo, contudo, est emno considerar as deformaes do leito. Portanto este mtodo deve encontrar bons

resultados somente nos casos em que o leito plano.

6.3 Transporte slido em suspenso

O transporte slido em suspenso ocorre nos estgios mais avanados doescoamento lquido, quando parte das partculas slidas que entram em movimento,atingem regies em que a turbulncia capaz de produzir esforos ascensionais demesma magnitude dos pesos das partculas.

Para entender o mecanismo que mantm o sedimento em suspenso,considere-se um plano horizontal, orientado segundo o sistema de coordenadas dafigura 6.16, e uma superfcie elementar de rea dx . dz.


25/61

A velocidade do escoamento representa a somatria de todas as

componentes:zvyvxvv

rrrr

++= (6.88)onde

vx'xvvx += (6.89 a)

vy'yvvy += (6.89 b)

vz'zvvz += (6.89 c)

as componentes vx, vy e vz, correspondem s flutuaes de velocidade devido

turbulncia. Estas componentes variam em mdulo e sentido no transcorrer do tempo,de sorte que a mdia temporal nula.A vazo slida instantnea que atravessa a superfcie elementar dx dz ser

portanto:

qs = vy . C dx . dz (6.90)

Como a concentrao instantnea tambm pode ser decomposta em:' (6.91)ccc +=

ento:

' (6.92)'''')'(' cvycvycvyccvyqsy =+=+=

pois:cvy' =0

Nos escoamentos com transporte em suspenso, a concentrao mdiac decresce medida que cresce a distncia do leito, devido ao da foragravitacional sobre os gros. No movimento ascensional, o fluido se movimenta de umaregio de maior concentrao para uma regio de menor concentrao, portanto comgrande possibilidade de que a concentrao 'c+c , do ponto de partida seja maior que a


26/61

concentrao local. No movimento da descida, partindo do mesmo raciocnio, aafirmao oposta vlida. Por esta razo, no movimento ascendente a componente+vy1 est associada a +c no movimento descendente a componente vy est associada

a c, resultando, nestes dois casos, num produto ''v y c positivo, fazendo com que se

produza um movimento ascendente dos sedimentos, mantendo-os em suspenso.

Evidentemente podem ocorrer alguns casos em que tal produto seja negativo. A relaoentre as flutuaes de concentrao c, e de velocidade vz, algo do tipo do diagramada figura 6.17, cujo coeficiente de correlao definido por:

221

'v.'c

vy''

y

c= (6.93)

onde 2'c a mdia quadrtica da flutuao de concentraes, que pode ser calculadada forma:

dy

cdl*

2'c = (6.94)

onde l*tem a dimenso de um comprimento caracterstico, anlogo ao comprimento demistura l, definido por Prandtl (equao 4.5).

Das equaes 6.92, 6.93 e 6.94, pode-se expressar a vazo slida em

suspenso no sintido ascensional da forma:

dy

dcEsqsy = (6.96)

onde:

- C=c por simplicidade de notao- ( ) *

21 ' lcEs = definido como coeficiente de difuso do sedimento


27/61

- o sinal negativo representa que o transporte ocorre na direo em que aconcentrao decresce.

Se por um lado a turbulncia do escoamento produz um movimento de ascensodas partculas, o peso desats produz um movimento em sentido contrrio:

0.WCqsy = (6.97)onde Wo representa a velocidade final de queda das partculas.No caso em que o escoamento est em regime, ou seja, quando h equilbrio entre as

foras de turbulncia e peso das partculas, e portanto a vazo slida qsy nula, ento:C wo + Es (dc/dy) = 0 (6.98)

Esta equao foi desenvolvida por Wilhelm Schmidt em 1925 para partculas finasna atmosfera, e posteriormente por M.P.OBrian (1933), em estudos de transporte desedimentos em suspenso em cursos de gua.

A equao de difuso dos sedimentos, pode ainda ser escrita numa forma maisgeneralizada:

y

c

woz

c

Ezzy

c

Eyyx

c

Exxz

c

y

c

x

c

t

c

+

+

+

+= vzvyvx (6.99)

6.3.1 Distribuio da concentrao do material transportado em suspenso

A expresso da distribuio da concentrao do material em suspenso obtida pelaintegrao da equao 6.99, ou ainda, no caso particular do escoamento ser bidimensional esem variao da concentrao ao longo do eixo x, a partir da integrao da equao 6.98.Neste ltimo caso, considerando ainda que a turbulncia seja uniforme em toda aprofundidade do escoamento, portanto com o coeficiente de difuso Es constante, aintegrao da equao 6.98 resultar em:

)( ayEs

wo

eCaC

= (6.100)

onde: Ca uma concentrao de referncia a uma distncia, a do fundo.

Nos escoamentos em canais, no entanto, o coeficiente de difuso Es varivel deacordo com a profundidade. Para a determinao do coeficiente de difuso Es, considere-seque a tenso de cizalhamento possa ser determinada de maneira anloga ao que foi feitonas equaes 6.92 a 6.96:

o

vy'vx' = (6.101)ento:

dy

duE. = (6.102)

onde E = 2 vy l representa o coeficiente de difuso da quantidade de movimento, ou

ainda um coeficiente cinemtico da viscosidade turbulenta.Evidncias experimentais indicam haver uma relao entre os coeficientes de

difuso do sedimento e da quantidade de movimento, do tipo:


28/61

EEs 3= (6.103)

onde uma constante de proporcionalidade. Para efeito prtico, pode ser adotado o

valor unitrio.3

Com as equaes 6.102, 6.103 e as equaes de distribuio da velocidade e tensode cizalhamento vistas no captulo IV.

0.

1xydy

du= (6.104)

h

yh=

0

(6.105)

obtm-se:

)(.03 yhh

yEs =

(6.106)

Substituindo a equao 6.106 em 6.98, tem-se:

dyyhy

hwoc

dc)(v*3

=

(6.107)

Integrando a equao 6.107 obtm-se:z

ah

a

y

yh

Ca

C

= . (6.108)

onde:

*vwo

z= (6.109)

admitindo = 1.03

A equao 6.108, foi desenvolvida por H. Rouse (1965) e por esta razo recebeu sua

denominao. comum tambm encontrar na literatura, o expoente z da equao 6.109,referindo como o nmero de Rouse. A figura 6.18 um grfico da equao 6.108,preparada por Rouse, para diversos valores de z.


29/61

A verificao experimental da equao 6.108, foi feita por diversos pesquisadores,

sempre apresentando resultados satisfatrios. A ttulo de exemplo, a figura 6.19 representadados de medies no rio Missouri (E.U.A.) e resultados de experimentos em laboratrioobtidos por V. Vanoni (1953). Percebe-se claramente o ajuste das curvas tericas com osdados experimentais. Os valores dos expoentes z foram obtidos indiretamente, a partir dascurvas que melhor se ajustaram aos pontos.


30/61

Existem ainda outras abordagens para a determinao da distribuio da

concentrao, como as apresentadas por Bagnold (1966), Velikanov (1954), Einstein eChien (1954), Tanaka e Fugimoto (1958) e outros, mas que dispensam maiores

comentrios, uma vez que estes mtodos no representam um avano significativo emrelao equao 6.108.

6.3.2 Clculo do transporte slido em suspenso por Einstein

Desde que se conheam as curvas de distribuio da velocidade e concentrao, avazo slida com suspenso obtida pela integrao:

= h

yoCudyqss (6.110)

ou

=

h

a

z

dyd

xyah

ay

yhCaqss65

* .2.30ln'v.

(6.111)

o limite inferior a adotado por Einstein, corresponde a dois dimetros do sedimento(a=2d). A velocidade de atrito, refere-se ao gro (v*), para considerar o efeito dadeformao do leito.

Desenvolvendo a integral 6.111, chega-se a:


31/61

+

=

1 1

65

*1..2,30

lnln.1

1

'v

na na

y

z

y

y

y

z

y

y

z

a

a dnn

n

d

xhdnny

n

nhCaqss

(6.112)

ondeh

ana = e

h

yny =

Fazendo-se a transformao:

I1(nai; Zi) = 0,216 dnyny

ny

nai

naiz

na

z

z

.1

)1(

11

(6.113)

I2(nai; Zi) = 0,216 dnynyny

ny

nai

naiz

na

z

z

.ln1

)1(

11

(6.114)

65

..2,30ln

d

xRPr= (6.115)

A expresso 6.112 toma a forma:

[ ]),(),(..'v.64,4

21*

iaiiair ZnIZnIPaiCaiqssis +

=

(6.116)

Nas expresses 6.113 a 6.118, feita a discretizao da distribuio granulomtrica,ai = 2dsi, proposta por Einstein, e a profundidade h substituda pelo raio hidrulico R.

Considerando que a vazo slida de fundo pode ser representada por:

= aiCaiqi bb

'v64,4 * (6.117)

a expresso 6.116 toma a forma final:

)),(),(.( 21 ZinaiIZiaiIPqiqssis rbb += (6.118)

As integrais I1 (nai, Zi) e I2 (nai,Zi), so obtidas graficamente atravs das figuras6.20 e 6.21.


32/61


33/61

6.4 Transporte Slido Total

O material slido transportado num escoamento, corresponde soma do materialpredominante na constituio do leito e da carga de lavagem. Esta ltima parcela constituda por um material mais fino, raramente encontrado no leito.

A carga de lavagem resultado da eroso do solo da bacia, das margens, ou doprprio desgaste do material. A produo deste material est ligada a fatores externos aoescoamento, no permitindo uma correlao com parmetros hidrulicos. Este fato noacarreta maiores problemas nas aplicaes da prtica, uma vez que a carga de lavagem, namaioria dos casos, praticamente no interfere na evoluo do leito.

A separao da parcela correspondente carga de lavagem difcil de ser feita, e oscritrios so muito subjetivos. Einstein (1940), por exemplo, sugere de forma arbitrria, quese exclua 10% do material mais fino da composio granulomtrica do leito. A taxa dacarga de lavagem quantificada por Benedict e Matejka no Middle Loup River em dunning(USA) era em torno de 10% do transporte slido total. Em alguns canais da ndia e doPaquisto foram observadas taxas muito maiores.

No estudo do transporte slido total, desenvolvido neste captulo, exclui-se aparcela correspondente carga de lavagem.

Existem dois enfoques distintos no que tange ao equacionamento do transporteslido total, que Garde (1977), definiu da seguinte forma:

Mtodos Macroscpicos:

Neste enfoque, o transporte slido total considerado como um todo. Os autoresque advogam esta forma de tratamento, argumentam que o transporte slido em suspenso um estgio avanado da trao do escoamento sobre o leito. Portanto o transporte slidototal deve estar relacionado com estes esforos de trao do escoamento, no havendonecessidade de distinguir as modalidades de transporte. As metodologias compreendidasneste grupo so baseadas em anlise dimensional, intuio ou, por vezes, em completoempirismo. So exemplos desta categoria os mtodos de Laursen (1958), Bishop et alli(1965), Engelund e Hansen (1967), Achers e White (1973), Garde e Raju (1981).

Mtodos Microscpicos:

Neste grupo esto as metodologias que fazem a subdiviso do transporte slido totalem transporte de fundo e transporte em suspenso. Como se sabe, os mecanismos nestasduas modalidades so totalmente distintos, de forma que os equacionamentos so diferentespar cada uma das modalidades. So exemplos desta categoria os mtodos de Einstein(1950), Colby et alli (1955), Toffaleti(1969).

6.4.1 Exemplos de mtodos macroscpicos

Mtodo de Laursen (1958)

Partindo de uma anlise intuitiva, Laursen considerou que o transporte slido,representado pela concentrao mdia Cm(em porcentagem de peso), poderia ser expressaem funo de adimensionais representativos do transporte slido. O autor escolheu os


34/61

adimensionais v*/wo ecr

o

' , como representativos do transporte em suspenso e de fundo,

respectivamente.A tenso de atrito calculada pela frmula de Strickler (Captulo IV):

3/150

20 )/(74,1' hdmu= (6.119)

e a tenso crtica determinada pelo grfico de Shields (Captulo V).

Para testar o grau de importncia do parmetrocr

o

' , Laursen relacionou Cm com

(cr

o

'

- 1) e obteve uma variao praticamente linear. Por razo intuitiva,

acrescentou relao de parmetros o adimensional (d/h)7/6, obtido da equao de Strickler.A relao final a que chegou foi:

)/v(1')/(

*6/7

i

cr

owof

hdipi

Cm

=

(6.120)

representada pela funo da figura 6.22, vlida para dimetros entre 0,11 mm e 4.08 mm. Oautor ainda sugere, para que se tenha maior acuracidade nos clculos, que estes sejam feitoscom o fracionamento da composio granulomtrica, conforme est indicado na equao6.120.

Bondurant (1958), ao aplicar o mtodo em diversos trechos do rio Missouri,verificou que os valores observados localizava-se esquerda da curva de Laursen (figura6.22), e concluiu que seria necessrio fazer uma reviso da funo. Bogardi , desenvolveuuma relao similar apresentada por Laursen, figura 6.23:


35/61

),v/(1')/(

2*

6/7dgd

hdi

Cm

cr

o

=

(6.121)

Mtodo de Bishop, Simons e Richardson (1965)

A metodologia desenvolvida por Bishop, Simons e Richardson, decorrncia deuma simplificao do mtodo de Einstein, e baseia-se na seguinte premissa:

O transporte slido do material do leito por definio, a parcela do transporteslido total que possui a mesma granulometria de uma grande parte do material encontradono leito (exclui-se portanto a carga de lavagem). razovel considerar que as causas queproduzem o transporte de material em suspenso e de fundo sejam as mesmas. Portanto,pode-se admitir o clculo do transporte slido de uma forma global. Desta forma,eliminam-se as dificuldades decorrentes da diviso do transporte slido em suspenso e defundo, assim como a diviso das zonas correspondentes a cada uma das modalidades detransporte.

Partindo de medies em laboratrio, com sedimentos cujos dimetros mdiosforma 0,19 mm, 0,27 mm, 0,47 mm e 0,93 mm, os autores verificaram que a aplicao domtodo de Einstein fornecia valores abaixo do real nos regimes de rugas e a tendnciaoposta era verificada para o regime de antidunas. Um outro aspecto interessante que pode


36/61

ser visto que a composio granulomtrica do material transportado em suspensoapresenta variaes em funo do regime de escoamento. Nos regimes de rugas e dunas, asdimenses dos gros transportados so inferiores aos da composio do leito, apresentandouma curva mais graduada, figura 6.24. Este fato pode explicar em parte as discrepnciasverificadas na aplicao do mtodo de Einstein, uma vez que os clculos so efetuados em

funo da composio granulomtrica do leito.

O mtodo utiliza uma relao entre parmetros Te , definidos por:

3gd

qst

ss

T

= (6.122)

JR

ds

'

)(' 35

= (6.123)

onde qst representa a vazo slida total por unidade de comprimento.As figuras 6.25 e 6.28, apresentam as curvas ajustadas aos resultados dos

experimentos, para cada granulometria. As linhas cheias representam as curvas ajustadasvisualmente, e as linhas tracejadas representam a adequao dos parmetros A*e B*.

As curvas ajustadas visualmente, apresentam o mesmo tipo de conformao, comopode ser visto na figura 6.29, distinguindo-se trs regies distintas correspondentes aosregimes inferior (parte inferior da curva), de transio (regio de inflexo) e superior (parte

superior da curva). A curva de Einstein, com o ajuste de A*e B*adere bem aos dados naregio correspondente ao regime inferior, desviando-se bastante na regio de transio.

Esta metodologia foi testada para oito rios dos E.U.A., apresentando resultados umpouco melhores em relao ao mtodo de Einstein. A grande vantagem na aplicao destemtodo reside na sua simplicidade de aplicao.

A aplicao deste mtodo pode ser feita fazendo-se uso da figura 6.30, e da curvacorrespondente granulometria obtida atravs de interpolao grfica. Outra forma de


37/61

aplicao pode ser feita, utilizando-se a equao 6.80, de Einstein, com os valores de A*eB*obtidos atravs da figura 6.30, desde que o escoamento esteja em regime inferior.


38/61


39/61

Mtodo de Graf et alli (1968)

Esta metodologia foi desenvolvida por Graf et alli, para calcular o transporte slidototal, tanto em escoamentos livres como em condutos forados. As hipteses assumidas so

as seguintes:a) leito plano e estacionrio;b) granulometria uniforme;c) seo transversal constante;d) utiliza o critrio de condio crtica de incio de movimento;

A condio de movimento incipiente de uma partcula slida, determinada, comofoi visto no captulo 5, a partir do equilbrio entre a fora hidrodinmica atuante sobre apartcula e a respectiva fora de resistncia ao movimento:

rr

DFtgsG = (6.124)

onde:

Gs peso submerso da partculaGs = k3(s- ) gd

3tg - coeficiente de atrito (ngulo de repouso)FD fora hidrodinmica sobre a partcula calculada por

2

22 udkCF iDD

= (6.125)

CD coeficiente de arrasto

= 21 ,K

dufCD

(6.126)

K1, K2e K3 coeficientes de forma

uf velocidade nas proximidades do leito

= CKs

yufKsuf,,

v

v*

2*

(6.127)

yuf profundidade onde ocorre uf, que por definio :yuf = k4d

C concentrao de partculas slidasKs rugosidade equivalente de Nikuradse

Fazendo-se a substituio destas variveis em 6.124, obtm-se a expresso:

( )2

4

*

2213

1

,,

v

,2

1

=

Ck

d

k

dub

tgk

kd

ocr

s

(6.128)que para uma determinada partcula toma a forma simplificada:

= Cd

cr ,v*

3

(6.129)


40/61

Este um critrio de incio de movimento de material do leito, semelhante ao deShields, apresentado no captulo 5. A diferena bsica que leva em considerao aconcentrao de material transportado.

O transporte slido total, definido atravs de:

P

QCq sst ).( = (6.130)

onde:Q vazo lquida totalP - Permetro molhado (constante)

foi relacionado com a potncia do escoamento disponvel para o transporte slido, ou seja,com o excesso de tenso acima da crtica, expressa por:

)(4 = umN o (6.131)

onde a funo foi adotada intuitivamente pelos autores, para representar a parcelaresponsvel pelo transporte slido.

)(4

Por uma questo de coerncia de notao o transporte slido total foi multiplicadopelo fator um/wo, para transformar o resultado em termos de potncia, de onde se obtm:

)(.. 40 = umwo

umqst (6.132)

ou)(.. 40 = woqst (6.133)

A equao 6.133 pode ser adimensionalizada, dividindo-se os dois membros por

/)( ocrocr , ou seja

)(.. 4

=ocrocr

o

ocrocr

woqst

(6.134)

A velocidade de queda calculada por:

D

s

c

gdwo

=

3

4 (6.135)

a tenso de atrito crtica, obtida atravs do parmetro de Shields:dKs socr )( = (6.136)

e a razo uma funo de , ou seja:ocro /

)(5 =ocr

o (6.137)

Substituindo 6.130, 6.135, 6.136 em 6.134, obtm-se

5543 3

4)()(

)(

.K

CdP

CQ

Ds

=

(6.138)

ou:


41/61

( ) 6=A (6.139)

Onde: representam, respectivamente, o primeiro e o segundo membros da

expresso 6.138.

( ) 6eA

A relao funcional 6.138, foi obtida por Grafet alli (1968), utilizando dados de

medies de transporte slido total em canais, rios e condutos forados, de diversas fontes.A partir de uma anlise de regresso os autores obtiveram o seguinte resultado:

( ) 52,239,10 = A (6.140) interessante observar que este mtodo apresentou, nas aplicaes efetuadas pelos

autores, resultados melhores nos escoamentos livres do que nos escoamentos forados,embora as hipteses para a aplicao desta metodologia se ajustem mis a este ltimo caso.

Mtodo de Raju et alli (1981)

O recente trabalho apresentado por Garde e Raju em 1981, representa uma evoluodo mtodo proposto por Vital, Garde e Raju (1973). Neste ltimo, aps uma anlise de uma

grande quantidade de dados de diversas fontes, os autores verificaram que nos escoamentosem regime plano, com concentraes baixas, h uma relao bem definida entre osadimensionais Te (equaes 6.122 e 6.123), figura 6.31.

Nos casos em que o leito ondulado, com transporte em suspenso, a tenso decizalhamento efetiva oe, responsvel pelo transporte slido, definida como:

oe = (o + o) (6.141)(ver captulo IV, 4.1).

O parmetro *e, definido como:

ds

oee )(*

= (6.142)

determinado neste mtodo atravs de uma relao emprico-experimental, tomando-secomo varivel o parmetro *, figura 6.32. O transporte slido total para o rgime de rugase dunas calculado atravs da curva experimental T= (*e), figura 6.33.

Verificaes posteriores demonstraram que a acuracidade do mtodo bastanteafetada por erros na determinao de *e, decorrente de uma falha conceitual. Ao contrriodos casos em que o transporte de material em suspenso discreto, e portanto *e*,quando a concentrao de material em suspenso elevada, pode-se esperar umadependncia de *e/* com u*/wo, e a relao apresentada na figura 6.32 torna-seinsuficiente.

A partir da anlise dimensional pode-se escrever a relao:oe=(, , , s, o, um) (6.143)

que pode ser simplificada, resultando: oe=(, wo, o, o) (6.144)ou na forma adimensionalizada


42/61

=

0

*v,'

' wo

o

o

oe

(6.145)


43/61

Plotando os parmetros */* e v*/wo contra *e/*, com dados provenientes de

diversas fontes, os autores puderam verificar as tendncias da relao 6.145, figura 6.34, de

que resultou a seguinte expresso:m

o

oe

=

0

0 '

'

(6.146)

Quando no h transporte slido em suspenso, ou seja, quando:

5,00

* w

u (z 5,0)

ento: m=0 e *e= * (leito plano)


44/61

A partir da figura 6.34, foram determinados valores de m em funo de u*/wo

resultando na seguinte equao, quando u*/wo 0,5:

m = 0,2 v*/wo 0,10 (6.147)

A expresso 6.146 pode ser escrita em termos de *e, ou seja:m

e

=

0

0**

''

(6.148)

e a funo de transporte slido torna-se:

)'

'.( *

m

o

oT

=

(6.149)

que resulta na relao experimental da figura 6.35. A curva experimental 6.149, foi ajustada

resultando na expresso:

3

*

''.60

=

m

o

oT

(6.150)

vlida para 0,05 m

o

o

'

'.* 1,0.

O campo da validade da equao, cobre a maioria das situaes prticas. Os erros

encontrados na aplicao da funo 6.150, est compreendido entre 40 % para 80 % doscasos analisados.

Mtodo de Engelund e Hansen (1967)

Utilizando os princpios de semelhana, Engelund e Hansen desenvolveram umametodologia d clculo baseada nas mesmas hipteses do trabalho desenvolvido no captulo

4, para o clculo da resistncia em canais aluvionais.


45/61

A partir da anlise dimensional, sabe-se que qualquer grandeza fsica pertinente aofenmeno pode ser expressa em funo dos adimensionais caractersticos (captulo 2).

Portanto, o adimensional de transporte slido e o fator de frico podem ser expressos naforma:

),( **1 d = (6.151)

),( **2 df = (6.152)o que permite escrever:

),( *3 f = (6.153)

Considerando-se que a energia para transportar as partculas a uma altura h da

mesma ordem de grandeza das deformaes do leito, igual ao trabalho exercido pelas

foras de arraste para o movimento das partculas no mesmo intervalo de tempo, pode-seescrever a equao:

( ) *0 v)'( = lhqs

ocr

s

s

(6.154)

onde uma constante de proporcionalidade que multiplicada pela velocidade de atrito,representa a velocidade de deslocamento das partculas.

h e l representam os deslocamentos nas direes vertical e horizontal, respectivamente, damesma ordem de grandeza das deformaes do leito.

A equao 6.154 pode ser reescrita numa forma mais conveniente:

( ) d

dfl

hqf

s

ocr

s

s

= *

0 v)'(

(6.155)

ou

**

)06,0'( =f (6.156)

pois atravs do grfico de Shields, segundo Rouse, *cr=0,06, para os casos em que oregime turbulento rugoso. No captulo 4, foi visto que:

l

hf

= (6.157)

portanto:

1=

=

h

lf

h

lf

(6.158)

Da equao da resistncia proposta por Engelund e Hansen, sabe-se que no regime

de dunas:


46/61

2

** 4,006,0' = (6.159)portanto a equao 6.156, toma a forma:

25

*~ f (6.160)

A relao 6.160 foi determinada experimentalmente para todos os regimes de

escoamento, resultando em:

25

*1,0 =f (6.161)Segundo os autores, seria mais lgico considerar a velocidade de atrito relativa ao

gro, v* ( referente tenso efetiva). Portanto a expresso 6.161, deveria ser expressa da

forma:

')06,0'(~. ** f (6.162)O ajuste da curva da figura 6.162 (tracejada), possui uma expresso diferente:

15,0077,0.2

*

2

* += f (6.163)

Quando * pequeno, a equao aproxima-se assintoticamente de uma relao dotipo f~*2, o que indica uma predominncia do transporte de fundo. Quando * assumevalores elevados, a relao aproxima-se de f~*

3, indicando uma predominncia do

transporte em suspenso. Os autores, baseados nos dados analisados, afirmam no poder

definir a relao mais adequada ao uso (equao 6.162 ou 6.163). Sugerem apenas por uma

questo de convenincia de lgebra o uso da expresso 6.161.

Mtodo de Ackers e White (1973)

O embasamento terico desta metodologia foi feito por Peter Ackers (1972), a partirde consideraes fsicas, e atravs do uso de Anlise Dimensional. O objetivo, como nos

demais mtodos macroscpicos, era o de desenvolver uma metodologia de clculo que

utilizasse dados de fcil determinao e que fosse simples de ser aplicada. O transporteslido expresso em termo do adimensional G, atravs da funo:

)Re,( **1 =G (6.164)onde:

n

d

hCG

=

um

v*

(6.165)

A novidade do mtodo est no fato de que os parmetros de mobilidade *, e o detransporte slido so definidos distintamente para sedimentos grosseiros, finos e para afaixa de transio. Considerando que a velocidade mdia de escoamento, para sedimentos

grosseiros, pode ser calculada da forma:

=sK

h

g

um 3,12log32

v* (6.166)

ento o nmero de mobilidade *pode se calculado atravs de:


47/61

=

d

hdg

um

s

log

1

32

21

* (6.167)

onde uma constante que depende da rugosidade.Quando se trata de sedimentos finos * calculado atravs de:

dg

f

s

=

32

v*21* (6.168)

Generalizando as expresses 6.167 e 6.168, pode-se escrever:n

s

n

d

h

um

dg

f

=

1

*21

*

log3232

v

(6.169)

n=0 a equao aplicada a sedimentos grosseiros.

n=1 a equao aplicada a sedimentos finos

0


48/61

n

s

s

r

T

um

v

FG

= *

(6.173)

A partir de anlises experimentais, de diversas fontes, Ackers e White propuseram

uma expresso geral para o clculo do transporte slido:

m

AKG )1(

5,0

* = (6.174)

onde, para sedimentos finos e na faixa de transio, 1,0 < d*< 60.n=1,00 = 0,56 log d*

14,023,0

*

+=d

A

34,166,9

*

+=d

m

log K = 2,86 . log d*- (log d*)2 3,53

para sedimentos grosseiros, d*>60n=0,00A=0,17

m=1,50

K=0,025


49/61

Mtodo de Colby(1964)

Colby partiu de uma investigao da influncia das caractersticas do escoamento,

do fluido e do sedimento no transporte de material slido, para o desenvolvimento de seu

mtodo. Procurou relacionar o transporte slido com a tenso de cizalhamento efetiva etotal, com a energia do escoamento e com a velocidade. Aps uma anlise destas quatro

variveis, observando alguns aspectos, como a acuracidade, a disponibilidade de dados, a

simplicidade e convenincia de utilizao dos parmetros, concluiu que a melhor forma de

relacionar o transporte slido,seria com a utilizao da velocidade mdia como varivel.Numa anlise mais avanada, Colby verificou haver uma estreita relao entre o

transporte slido total e a velocidade mdia, para uma determinada profundidade do canal e

dimenso do sedimento. Para chegar a esta concluso, Colby fez uso do mtodo de H.Einstein, e de inmeros dados de escoamentos naturais, obtendo relaes bem definidas.

Relaes como estas podem ser determinadas empiricamente para sedimentos de variadas

granulometrias. Por uma questo de praticidade, estas curvas foram representadas na formada figura 6.37 a.

As curvas da figura 6.37 a, representadas em linhas descontnuas representam

extrapolaes tericas, confrontadas com um nmero reduzido dedados. Parte dos dadosutilizados na elaborao destes grficos no continham a parcela correspondente regio

no mensurvel. Estes dados foram corrigidos com a utilizao do mtodo de Einstein

modificado (Colby et alli (1955)).

Um segundo conjunto de grficos apresentados a figura 6.37b, foi determinadoexperimentalmente por Colby, para corrigir os efeitos secundrios (temperatura,

concentrao de material fino e dimenso do sedimento). Portanto, o clculo da vazo

slida especfica em peso, feito atravs das expresses:

[ qsikkkqs 321 01,0).1.(1 += ] (6.175)


50/61

onde:

qsi = (h, d, um) (figura 6.37a) (6.176)

k1, k2e k3fatores de correo (figura 6.37 a)


51/61

6.4.2 Exemplos de Mtodos Microscpicos

Mtodo de Einstein(1950)

O clculo pelo mtodo de Einstein feito individualmente para todas as fraes que

compem a mistura do material do leito. A soma destas fraes fornece o transporte slidototal:

= qsiqs (6.177)As fraes do transporte slido total qsi so calculadas atravs da soma dos

transportes slidos em suspenso e de fundo, resultante das equaes 6.118 e 6.79:

[ ]1),(),(Pr 21 ++= iaiiaibi ZIZIqsqsi (6.178)

Mtodo de Toffaleti (1969)

A metodologia desenvolvida por Toffaleti, baseou-se nas conceituaes de Einstein

(1950) e Einstein e Chien (1952) partindo das seguintes consideraes:

a) O escoamento bidimensional. A curva granulomtrica do material do leito, assim

como no mtodo de Einstein, discretizada de forma que em cada intervalo odimetro mximo o dobro da dimenso do dimetro mnimo de cada frao, e o

dimetro caracterstico representado pela mdia geomtrica dos valores extremos.

O clculo do transporte slido feito para cada frao, e totalizado no final.

b) Os fatores corretivos do parmetro d escoamento , , e (/x)2, todos de certaforma ligados espessura da camada viscosa , so agrupados num nico fator A,funo de:

'v10

2,32

10

*

31

5

g

figura 6.38a. So utilizados ainda o fator corretivo k4, funo de:

)..10('v10

2,32

10

65

5

*

31

5

dJ

g

figura 6.38b, e o fator que considera o efeito da temperatura Tt, calculada por:Tt = 1,10 (0,051 + 0,00009T) (6.179)

Onde T a temperatura da gua em graus Fahrenheit.

c) A equao da distribuio de velocidades calculada pela expresso emprica:uhyumu u

)/()1( += (6.180)onde:

u = 0,1198 + 0,00048 T (6.181)d) A distribuio de concentrao apresenta trs zonas distintas, alm da camada de

dois dimetros junto ao leito, sugerida no mtodo de Einstein como zona de

transporte de fundo. A delimitao destas zonas, assim como as curvas de


52/61

distribuio de concentrao, foram determinadas a partir de dados de medies noRio Atchafalaya, figura 6.39:

NZi

ojj hyCC = )/( (6.182)

(o ndice j refere-se a uma das trs zonas)

onde:

1) zona superior, para 2,5>h/y>1(6.182 a)

Coj= Cos

N = 1,5

2) Zona intermediria, para 11,24>h/y>2,5

(6.182 b)Coj= Com

N = 1,0

3) Zona inferior, para h/2di>h/y>11,24

(6.182 c)

Coj= CoIN = 0,756


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O expoente Z assemelha-se ao nmero de Rouse,

*vK

wz oii = (6.183)

onde K pode ser calculado, de acordo com Vanoni e Brooks da forma:

umkk

'

v303,2 *= (6.184)

Portanto:

hJ

=K

umwz oii (6.185)

onde:

'

2,32303,2

kkz

= (sistema ingls) (6.186)

o parmetro Kz calculado a partir da expresso emprica:

kz= 260,67 0,667 T (6.187)

Clculo do transporte slido

O transporte slido em suspenso calculado a partir de:

=ys

yI

j dyuCjqss .. (6.188)

As concentraes de referncia Cos e Com, da camada superior e

intermediria (6.182a e 6.182b) podem ser expressas em funo da concentrao da

camada inferior, da mesma forma que as respectivas vazes slidas calculadas por


54/61

6.188. a determinao da vazo slida na camada inferior, feita a partir da expressoemprica:

3/53

5

2

4

0058,0

600,0

=

di

um

kATt

ibqssi (ton/dia.p) (6.189)

quando o valor de K4 resultar num produto A . K4 < 16,0, utiliza-se arbitrariamente o

valor A . K4= 16,0.


55/61

Resolvendo a integrao 6.188, para cada zona, obtm-se:

)756,01(

)2(24,11

756,01

758,01

Zi

dih

kq

qss

u

Zi

Zi

I+

=

++

(6.190)

[ ]

)1(

)24,11/()5,2/(24,11

11

244,0

Zi

hhh

kq

qssu

ZiZi

Zi

M+

=

++

(6.191)

[ ]

)5,11(

)5,2/(5,224,11

5,115,11

5,0244,0

Zi

hhhh

kq

qssu

ZiZi

ZiZi

S+

=

++

(6.192)

Para obter o valor da concentrao de referncia na camada inferior, basta igualar asequaes 6.189 e 6.190, que a nica incgnita passa a ser CoI.

O transporte slido de fundo na camada y = 2di, calculado por:

Qsbi = kq (2 dsi) (6.194)Zi758,01 +

A descarga slida total determinada por:qsti = qsbi+ qssI+ qssm+qsss (6.195)

qst = qsti (6.196)Note-se que todas as dimenses, com exceo da vazo slida, esto no sistema

ingls.

O mtodo de Toffaleti foi desenvolvido a partir de dados de sete rios dos E.U.A., e

de canais de laboratrio, com profundidades que variaram de 1 p a 50 ps, com leitosconstitudos por areia fina e mdia.


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Mtodo de Einstein modificado Colby e Hembree (1955)

Esta metodologia foi desenvolvida por Colby e Hembree, para contornar algumas

falhas das medies de transporte slido, ou seja, a dificuldade de medir o transporte slidode fundo dentro dos limites razoveis de preciso, e a impossibilidade de amostragens

numa faixa prxima ao leito em que os amostradores de material em suspenso noconseguem varrer. Em determinadas circunstncias, a parcela de material transportadonesta regio no amostrada pode representar uma grande parcela do material transportado.

O mtodo de clculo, consiste basicamente em calcular, atravs do mtodo de

Einstein, o transporte slido na regio amostrada, partindo dos dados das medies da

regio amostrada e de outros parmetros caractersticos do fenmeno.Os dados necessrios para o clculo so basicamente os mesmos do mtodo de

Einstein, alm da concentrao mdia do material amostrado, o valor da respectiva

profundidade, as distribuies granulomtricas do material transportado em suspenso, domaterial do leito, e a temperatura da gua. Deve-se tomar o cuidado de retirar a parcela da

concentrao correspondente carga de lavagem. A discretizao da curva granulomtrica

para efetuar o clculo fracionado, segue o mesmo procedimento que no mtodo de Einstein.A vazo slida em suspenso na regio amostrada calculada por:

==h

a

mib

miQCdyuCssiq

'

''.'' (6.197)

onde:

a altura correspondente regio no mensurvel

miC' - concentrao mdia na regio medida

Q vazo lquida na faixa mensurvel

Considerando-se que a distribuio de velocidades pode ser escrita na forma

logartmica:

65

*

2,30log'75,5

d

xyvu= (6.198)

Fazendo-se estas substituies, e a integrao de 6.197, tem-se:

Q=2,50v*.h.b[(1-) (Pm-1)-2,3vlogv] (6.199)Em que:

V=a/h (6.200a)Pm=2,3 log 30,2 x.hm/d65 (6.200b)

hm = A/b = rea/largura b (6.200c)

A vazo lquida total obtida a partir de 6.197, fazendo v --> 0:Q = 2,50 v* h (Pm-1) (6.201)

Portanto a vazo lquida na regio mensurvel obtida atravs de 6.200 e 6.201.

1

log3,2)1(

'

=

Pm

nnn

Q

Q vvv (6.202)

e a vazo em suspenso, atravs da equao 6.203:

1

log3,2)1('

=

Pm

nnnmQCqssi vvv (6.203)


57/61

A expresso que permite o clculo da vazo slida em suspenso na regiomensurvel:

=h

a

dyuiCissiq'

' (6.204)

onde:

Ci distribuio vertical de concentraoUi distribuio vertical de velocidade

Quando integrada pelo mtodo de Einstein, toma a forma:

[ ]),()',(1

1'' 21

'

iviv

Z

oi

v

v

ZnIZnPmIqsbin

n

n

oinssiq

i

+

= (6.205)

onde:

hm

dinoi

2= (6.205a)

h

anv

'= (6.205b)

A vazo slida de fundo qsbi calculada atravs da funo de Einstein (figura

6.13), com a seguinte simplificao no clculo de *.* = m (6.206)

onde m o maior valor entrem= (0,4)(1,65) . di/(RJ)m (6.206a)

m= 1,65 . d35/(RJ)m (6.206b)e (RJ)m obtido atravs da expresso logartimica para a determinao da velocidade

mdia.

65

2,12log)(75,5

d

xhmRJgum= (6.207)

Uma vez determinados os valores de (RJ)m, *e conseqentemente *, calcula-se avazo slida de fundo:

3

*5,0 is

s gdPiqsbi

=

(6.208)

Portanto, a nica incgnita da equao passa a ser Zi, que pode ser determinada por

tentativas, com o uso das figuras 6.20 e 6.21. Podem ocorrer casos em que o escoamentosendo raso, o parmetro nv = a/h, seja superior a 0,1, limite superior das abcissas das

figuras 6.20 e 6.21. Neste caso, devem-se utilizar os grficos correspondentes preparados

por Colby e Hembree (1955) ou Hubbell e Matejka (1959).Conhecidos todos os parmetros, o transporte slido total calculado atravs da

expresso de Einstein 6.209:[ ]1)','()','( 21 ++= iZnIiZnIPqssiqsti oioiE (6.209)

Colby e Hubbell (1957) apresentaram uma simplificao substancial do mtodo,

introduzindo uma srie de grficos que reduzem o volume de clculo.


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Mtodo de Colby (1957) para o clculo do transporte slido a partir de medies

O mtodo de Colby consiste na utilizao de algumas relaes semi-empricas,

baseadas em medies de escoamentos utilizadas para o desenvolvimento do Mtodo deEinstein Modificado. A sua aplicao extremamente simples, e no necessita de

subdiviso da composio granulomtrica. Requer somente uma determinao precisa davelocidade mdia, uma vez que a parcela no medida do transporte slido muito sensvel

s mudanas de velocidade.Os dados necessrios para a aplicao do mtodo so: a velocidade mdia (um) e a

profundidade mdia (h) do escoamento, a concentrao mdia da regio mensurvel,

descontada a parcela da carga de lavagem (Cm). O limite considerado para a carga delavagem (wash-load) d = 0,062 mm.

O clculo efetuado com auxlio das figuras 6.40, 6.41 e 6.42, seguindo o seguinte

roteiro:1 A partir da figura 6.40, feita a determinao do transporte slido da regio no medida

em funo da velocidade mdia.

2 Com a figura 6.41, determina-se a concentrao relativa (em partes por milho) paradeterminadas velocidade e profundidade.

3 Calcula-se a razo entre a concentrao medida e a concentrao obida no passo 2. Estarelao denominada de coeficiente de eficcia.

4 Entrando com o valor do coeficiente de eficcia no grfico da figura 6.42, obtm-se o

fator de correo do transporte slido da regio no medida.

5 O transporte slido real na regio no medida, o produto dos valores obtidos nospassos 1 a 4.

6 O transporte slido total determinado por:

Qst = (qsm+ qsn) . b (ton/dia) (6.210)Onde:

qsm= 43.2 Cm.q vazo slida medida.

qsn= vazo slida na regio no medida, obtida no passo 5.q=Q/b vazo lquida especfica

43.2 fator de transformao de unidades


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60/61

7 Se a concentrao total medida Cs(incluindo a carga de lavagem) for

excepcionalmente baixa ou elevada, o autor sugere a introduo de um outro fator de

correo K5, que multiplicado ao valor obtido no passo 5, fornece uma estimativa melhor


61/61

do transporte slido na regio no medida, A determinao do fator K5 feita atravs daequao:

K5= 0,18(Cs)0,23

(6.211)

Onde: Cs em partes por milho.

Cap VI - Hidráulica 1

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