Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos

6.1 - Equações de Euler

6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente

6.3 – Equação de Bernoulli

6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli

6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente

6.6 – Escoamento irrotacional

6.1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito

Equações de Euler :

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

x

pgx

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

y

pgy

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

z

pgz

pgDt

VD

Se a coordenada z for orientada verticalmente:

kz

zgkgg

k00kz

zj

y

zi

x

zzzgrad

pgDt

VD

pzgDt

VD

p

zgDt

VD

V.Vt

V

Dt

VDpzg

r

V

z

VV

V

r

V

r

VV

t

Va

r

p1g

2r

zrr

rr

rr

r

VV

z

VV

V

r

V

r

VV

t

Va

p

r

1g r

zr

z

VV

V

r

V

r

VV

t

Va

z

p1g z

zzz

rz

zz

Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:

6.2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente

)t,s(VV

dxdndsadxdndssengdxdn2

ds

s

ppdxdn

2

ds

s

pp s

sasengs

p

szsen

sas

zg

s

p1

)t,s(VV ss

s

VV

t

V

Dt

DVa s

sss

s

s

VV

t

V

s

zg

s

p1

Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa:

s

VV

t

V

s

zg

s

p1

0

s

VV

s

p1

Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:

dsdxdnadsdxdncosgdxds2

dn

n

ppdxds

2

dn

n

pp n

nacosgn

p

nzcos nan

zg

n

p1

R

Va

2

n R

V

n

zg

n

p1 2

6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente

6.3.1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente:

0s

VV

s

zg

s

p1

Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds:

dVdss

V

dzdss

z

dpdss

p

variação de pressão ao longo de s

variação de elevação ao longo de s

variação de velocidade ao longo de s

0s

VV

s

zg

s

p1

0dVVdzg

dp

ctedVVdzgdp

(ao longo de s)

Para massa específica constante (escoamento incompressível) :

cte2

Vzg

p 2

Restrições: (1) Escoamento permanente(2) Escoamento incompressível(3) Escoamento sem atrito(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente

6.3.2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares

V.Vz

Vw

y

Vv

x

Vu

Dt

VDpzg

(Regime permanente)

sd

(Distância ao longo de uma linha de corrente)

sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg

)kdzjdyidx.(kz

pj

y

pi

x

p1sd.

p

dp

dzz

pdy

y

pdx

x

p1sd.

p

kdzjdyidxsd

Sendo tem-se:

gdz)kdzjdyidx).(kg(sd).zg(

sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg

fica :0dV

2

1dpgdz 2

VV)V.V(2

1V.V

Expressão obtido no

cálculo vetorial:

V

sd

E, uma vez que é paralelo a , 0VV

sd.V2

1sd.)V.V(

2

1sd.V.V 2

)kdzjdyidx.(kz

Vj

y

Vi

x

V

2

1sd.V

2

1 2222

2222

2 dV2

1dz

z

Vdy

y

Vdx

x

V

2

1sd.V

2

1

6.3.3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica

cte2

Vzg

p 2

2

Vzg

p

2

Vzg

p 20

00

2

0Vzz 00

0

2

Vpp

2

0

2

Vp

2

d

Pressão de estagnação :(Escoamento incompressível)

Pressão dinâmica :

)pp(

2V 0

Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica

Medição de pressão estática

Tomada de pressão na parede

Pequenos orifícios

Sonda de pressão no escoamento

Medição de pressão de estagnação

Tubo de Pitot

Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação

Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado.

O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio.

Problema exemplo:

Determinar: A velocidade do escoamento

cte2

Vzg

p 2

2

Vpp 20

ar

0 )pp(2V

h)(pp arHg0 hg)dd(pp O2HarHg0

O2Har

O2HarHg

d

hg)dd(2V

]s/m[6,80hg1d

d2V

ar

Hg

cte2

Vzg

p 2

2

Vp

2

Vp 222

211

21 zz

2

V

2

Vpp 21

22atm1

2

2

122

22

21

22atm1

V

V1

2

V

V

V1

2

Vpp

2211 VAVAMassa.C.E 1221 A/AV/V

2

1

222ar

atm1 A

A1

2

Vpp

22

atm1 1,0

02,01

2

50x23,1pp

]m/N[476.1pp 2atm1

Determinar: p1 - patm

6.3.4 - Aplicações

Bocal (com ar)

Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre)(b) pressão no ponto A do escoamento

Sifão (com água)

2

Vgz

p

2

Vgz

p 22

22

21

11

atm21 ppp 0V1

2

V)zz(g

22

21 )]7(0[g2V2

]s/m[7,117x8,9x2V2

2

Vgz

p0

2

Vgz

p 2A

AA

21

11

2A2A VVAAMassa.C.E

2

Vzg

p0

22

AA

]kPa[4,78p relA 7xgzg

pA

A

0z1

A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.

2

Vp

2

Vp

2

Vp 2B

B

B2A

A

A20

0

0

]m/kg[11,123,1x9075,0 30

BA0

]kPa[85,893,101x887,0p0

]s/m[66,41]h/km[150V0

2

0p

2

Vp

A

A20

0

0

2

Vpp

20

00A

]kPa[81,902

66,4111,1850.89p

2

A

2

Vpp

2B

0AB

]kPa[8,882

6011,1813.90p

2

A

6.4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli

Ad.Vp

et

dVeWWWQ

SC

VCoutros.cise

0WWW outros.cise Fazendo :

Ad.Vp

eQSC

Considerando regime permanente :

Ad.Vp

eAd.Vp

eQ21

Para um tubo de corrente:

2222

222

221111

12

111 AV

p

2

VgzuAV

p

2

VgzuQ

mAVAVMassa.C.E 222111

mp

2

Vgzum

p

2

VgzuQ

2

222

221

12

111

mp

2

Vgzum

p

2

VgzuQ

2

222

221

12

111

1

12

111

2

222

22

p

2

Vgzu

p

2

Vgzu

m

Q

m

Quu

p

2

Vgz

p

2

Vgz 12

2

222

21

12

11

m

Quu

p

2

Vgz

p

2

Vgz 12

2

222

21

12

11

0quu 12 Processos reversíveis (isoentrópico) ideais:

0quu 12 Processos irreversíveis reais:

2

222

21

12

11

p

2

Vgz

p

2

Vgz Escoamento ideal sem perdas

(eq. de Bernoulli)

kg

J

massa

perdasp

2

Vgz

p

2

Vgz

2

222

21

12

11

Escoamento real

kg

Jq

m

Q

2

2

2

222

21

12

11 s

mou

kg

Jp

2

Vgz

p

2

Vgz Eq. de Bernoulli

g

mHp

g2

Vz

p

g2

Vz

2

222

21

12

11

H

p

g2

V

z2

altura de carga devido a pressão estática local

altura de carga devido a elevação (ou cota)

altura de carga devido a pressão dinâmica

altura de carga total do escoamento

Conceito de linha de energia e linha piezométrica

linha piezométrica:

representa a soma das alturas de carga de pressão estática

e de elevação.

6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente

Dt

VDpzg

sd.Dt

VDsd.

psd.zg

dst

Vds

s

VVds

Dt

DVsd.

Dt

VD sss

s

dst

VdVV

dpgdz s

ss

6.6 – Escoamento irrotacional

Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação

0kji zyx

0V0V2

1

0y

u

x

v

x

w

z

u

z

v

y

w

Coordenadas cilíndricas:

0V

r

rV

r

V

z

V

z

VV

r

1 rzrz

6.6.2 – Potencial de Velocidade

Pode-se formular uma relação chamada função potencial, , para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde é uma função escalar:

0)grad(rotacional

V

Define-se função potencial , cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um:

zw

yv

xu

Em coordenadas cilíndricas :

zV

r

1V

rV zr

6.6.3 – Função Corrente e Potencial de VelocidadeEscoamento bidimensional, incompressível e invíscido :

Função corrente:x

vy

u

yv

xu

Potencial de velocidade:

0y

u

x

v

Condição de

irrotacionalidade:

0yx 2

2

2

2

0yx 2

2

2

2

0y

v

x

u

Conservação da

massa:

0yx 2

2

2

2

0yx 2

2

2

2

Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente:

0dyy

dxx

A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de constante) é dada por: u

v

u

v

y/

x/

x

y

Ao longo de uma linha de constante, d = 0 :

0dyy

dxx

d

A inclinação de uma linha potencial (uma linha de constante) é dada por: v

u

y/

x/

x

y

Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento.

)s3a(

ayax1

22

ax2x

)ayax(

xv

ay2y

)ayax(

yu

22

22

Componentes u e v do escoamento:

Se o escoamento é irrotacional z = 0.Condição de irrotacionalidade: 0a2a2

y

)ay2(

x

)ax2(

0y

u

x

v

escoamento é irrotacional

yv

xu

Definição de Potencial de velocidade:

ax2vay2u Componentes u e v do escoamento:

x6y

y6x

yax2

xay2

)x(fxy6e)y(fxy6

como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:

cxy6

6.6.4 – Escoamentos planos elementares

0vUu

=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada

UyUx

Escoamento Uniforme:

0Vr2

qVr

=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada

2

qrln

2

q

Escoamento tipo Fonte (a partir da origem):

A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade

0Vr2

qVr

=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada

2

qrln

2

q

Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem):

A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade

0Vr2

KV r

rln2

K

2

K

Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem):

A origem é um ponto singularK é a intensidade do vórtice