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Cap 15 (8a edição)
Movimento Harmônico Simples
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de certo instante começa
a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O tempo que o corpo gasta
para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é chamado de período (T).
No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como o pêndulo de
um relógio ou um sistema massa-mola.
O movimento harmônico simples - MHS
O movimento harmônico simples - MHS é movimento periódico, e, portanto, o objeto passa
novamente por uma dada posição depois de um período T. O período é o inverso da frequência
f de oscilação:
1T
f=
A frequência é mede o número de voltas completas em um determinado intervalo de tempo e é
medida em 1 1 /Hz hertz oscilação segundo= = , ou seja
nf
t=
MHS e o movimento circular e uniforme
Vamos considerar um corpo que descreve um movimento circular e uniforme, com velocidade
constante v em um círculo de raio R.
Podem-se obter as relações do MHS a partir do movimento circular uniforme. Então, seja o
movimento circular da partícula P’ executado em um círculo de raio xm. Em um instante t a partícula
percorreu um ângulo ( )t + . Então
( )
( )
( )cos
( ) cos
m
m
x tt
x
x t x t
+ =
= +
A relação anterior é a equação horária do MHS.
Na figura abaixo temos o comportamento da velocidade tangencial da partícula. A sua
componente horizontal será dada por:
( )
( )( )
x
x
vsen t
v
v v t vsen t
+ =
= = − +
A aceleração é obtida como:
( )2( ) cosma t x t = − +
Um exemplo típico de aparato que se movimenta segundo um MHS é sistema massa-mola. Uma
mola tem uma de suas extremidades presa em uma parede rígida e a outra extremidade está
presa em um corpo que está sobre uma superfície sem atrito. Quando deslocado de sua posição
de equilíbrio o corpo começa a oscilar.
Um objeto que se desloca em MHS tem a sua posição descrita pela equação
À medida que o tempo evolui, o corpo ocupa as diversas posições mostradas na figura a seguir.
Como o movimento é periódico, teremos que as posições se repetem depois de um tempo igual
ao período T, ou seja,
( )( )x t x t T= +
e portanto
( ) ( ) ( )( ) cos cosm mx t x t T x x T x t T = + = + + = + +
logo:
2
2
2
T T
f
=
= =
MHS - A velocidade
( )( ) m
dxv t x sen t
dt = = − +
Definindo a amplitude da velocidade m mv x= , encontramos que:
( )( ) mv t v sen t = − +
MHS - A aceleração
( )( ) cosm
dva t v t
dt = = − +
Definindo a amplitude da aceleração 2
m m ma v x = = , encontramos que
( )( ) cosma t a t = − +
ou ainda: 2( ) ( )a t x t= −
1. Um oscilador é formado por um bloco de massa igual a 0,500 kg ligado a uma mola. Quando posto para
oscilar com amplitude de 35,0 cm, o oscilador repete o seu movimento a cada 0,500s. Determine (a) o período, (b) a
frequência, (c) a frequência angular, (d) a constante de mola, (e) a velocidade máxima e (f) a intensidade da força
máxima que a mola exerce sobre o bloco.
Oscilador dados: m=0,5kg; xm=0,35m;
(a) T=0,5s .
(b) a freqüência f= 1/T = 2Hz
(c) sradf /42 ==
(d) mNmKm
K/79165,0 22 ===→=
(e)vm=xm=4,4m/s
(f) F=Kxm=27,7N
2. Qual a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm a uma frequência de
6,60 Hz?
Dados: xm=2,2 cm e f=6,6 Hz
222 /8,37)2( smxfxa mmm ===
3. Um pequeno corpo com massa igual a 0,12 kg está sujeito a um movimento harmônico simples com
amplitude de 8,5 cm e período de 0,20s. (a) Qual a intensidade da força máxima agindo sobre ele? (b) Se as oscilações
são produzidas por uma mola, qual a constante de mola?
MHS : m=0,12kg ; xm=0,085m; T=0,2s
(a) NxT
mxmmaF mmm 102
22 =
===
(b) mNmKm
K/3,118)10(12,0 22 ===→=
4. Um corpo oscila com um movimento harmônico simples de acordo com a equação
x = (6, 0m)cos (3π rad/s)t + π/3 rad . em t = 2,0 s, qual o (a) o deslocamento, (b) a velocidade, (c) a aceleração e (d) a fase do movimento? Além
disso, qual (e) a frequência e (f) o período do movimento?
MHS : )3/3cos()6()( += tmtx
(a) mtx 3)3/cos(6)3/19cos(6)3/6cos(6)2( ===+==
(b) smsensentv /95,482
318
318)3/6(36)2( −=
−=
−=+−==
(c) 22222 /5,266/27)3/cos(54)3/3cos(6)3()2( smsmtta −=−=−=+−==
(d) fase em t=2s é 3/19 =19,9 rad.
(e) Hzfsradf 5,1/32 =→==
(f) f= 1/T =1,5Hz→ T=0,66s
MHS - A Lei da força
Considerando um sistema massa-mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo que a resultante
das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, encontramos que: 2
2
:
log :
2
F ma m x
mas F kx
o
k
mk m
mT
k
= = −
= −
=
=
=
5. Na figura abaixo, dois blocos (m = 1,0 kg e M = 10 kg) e uma mola (k=200 N/m) estão dispostos sobre uma
superfície horizontal perfeitamente lisa. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do
movimento harmônico simples do sistema blocos-mola deixa o bloco menor na iminência de deslizar sobre o bloco maior?
MHS: M=10kg ; m=1kg; K=200N/m ; μe=0,4; xm=? (sem deslizar sobre M)
mK
Mmgx
Mm
KMHS
mgxmFmgfF
em
emeatr
216,0200
118,94,0)(
)()( 2maxmax
=
=+
=→+
=
==→==
6. Um bloco está sobre uma superfície horizontal (uma mesa vibradora) que se move para frente e para trás na
horizontal, descrevendo um movimento harmônico simples de frequência igual a 2,0 Hz. O coeficiente de atrito estático
entre o bloco e a superfície é igual a 0,50. Qual a maior amplitude possível do MHS para que o bloco não escorregue na
superfície?
Mesa vibradora (MHS) f=2Hz, e =0,5 ; xm=? (sem deslizar sobre a mesa)
cmg
xmgxmF emem 1,3)(
2
2max ==→==
7. Um bloco se desloca em cima de um pistão que se move verticalmente, descrevendo um movimento harmônico
simples. (a) Se o MHS possuir um período de 1,0 s, com que amplitude do movimento o bloco e o pistão se separarão?
(b) Se o pistão possuir uma amplitude de 5,0 cm, qual será a frequência máxima para a qual o bloco e o pistão estarão
continuamente em contato?
MHS vertical. T=1s
(a) Hzg
xmgxmF mm 25,04
8,9
22
2max ===→==
(b) HzfHzfassimf
gxmgxmF mm 23,2)(97,4
05,04
8,9,,
)2(05,0 2
2
2
2
2max =→=
===→==
8. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em algum instante t, a posição (medida
a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = -13,6 m/s e a =
-123 m/s2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento.
Oscilador massa-mola: K=400N/m ; num tempo t → x(t)=0,1m; v(t) =-13,6m/s e a(t)=-123m/s2
(a) Hzfsradxa 6,5/351,0
1232 =→==→−=
(b) kgmm
K33,0
35
400
2==→=
(c) Para qualquer tempo vale: 222
222KxmvKxm += ; então mx
K
mvxm 4,02
2
=+=
MHS - Considerações sobre energia
A energia potencial elástica de um sistema massa - mola é definida como:
( )2 2 21 1( ) cos
2 2mU t kx kx t = = +
e a energia cinética desse sistema é definida como:
( )2 2 21 1s
2 2c mE mv kx en t = = +
A energia mecânica EM, definida como a soma das energias cinética Ec e potencial U, terá a
forma:
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1cos s
2 2
1 1cos s .
2 2
M c m m
M m m
E U E kx t kx en t
E kx t en t kx cte
= + = + + +
= + + + = =
Podemos representar as energias no gráfico abaixo:
9. Um objeto de 5,00 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com constante de mola
de 1000 N/m. O objeto é deslocado 50,0 cm na horizontal da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de
10,0 m/s para trás no sentido da sua posição de equilíbrio. (a) Qual a frequência do movimento? Qual (b) a energia
potencial inicial do sistema massa-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude da oscilação?
Oscilador massa-mola: m=5kg ; K=1000N/m ; x=50cm e vo=10m/s.
(a) Hzfsradm
K25,2
2/14,14 ==→==
(b) JKx
Ep 1252
2
==
(c) Jmv
Ec 2502
2
==
(d) mxJJJKx
E mm
total 0866,03752501252
2
=→=+==
10. Uma mola vertical se alonga 9,6 cm quando um bloco de 1,3 kg é pendurado em sua extremidade. (a) Calcule
a constante de mola. Depois, este bloco é deslocado outros 5,0 cm para baixo, sendo solto a partir do repouso. Encontre
(b) o período, (c) a frequência, (d) a amplitude e (e) a velocidade máxima do MHS resultante.
Mola vertical: x=9,6cm; m=1,3kg.
(a) mNx
mgKmgKx /7,132==→=
(b) sTsradm
K62,0
2/1,10 ==→==
(c) f=1/T=1,6Hz
(d) cmxm 5= (e) smxv mm /5,005,01,10 ===
11. Um bloco de massa M, em repouso em cima de uma mesa horizontal sem atrito, está preso a um suporte rígido
por uma mola com constante k. Uma bala de revólver com massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na
figura abaixo. A bala fica alojada no bloco. Determine (a) a velocidade escalar do bloco imediatamente após a colisão e
(b) a amplitude do movimento harmônico simples resultante.
Choque inelástico
(a) Conservação do momento linear vMm
mvvMmmv
+=→+= )( .
(b) Conservação de Energia )(22
)(22
MmK
mvx
KxvMmm
m
+=→=
+
Um oscilador harmônico simples angular - O pêndulo de torção
Vamos considerar um disco preso a um fio que passa pelo seu centro e perpendicular à sua
superfície, como mostra a figura
Se giramos o disco a partir de sua posição de equilíbrio (θ = 0) e depois soltarmos, ele irá oscilar
em torno daquela posição em Movimento Harmônico Simples - MHS entre os ângulos θm e – θm.
Rodando o disco de um ângulo θ em qualquer direção, faremos surgir um torque restaurador
dado por onde é a constante de torção:
=
Como a força restauradora é a única que atua no plano do disco, ela provocará o torque
resultante:
I =
onde I é o momento de inércia do disco e é a sua aceleração angular. Desse modo, temos
que: 2
2
2
2
log :
0
dI
dt
o
d
dt I
= = −
+ =
A equação anterior define a frequência angular de oscilação do pêndulo de torção
2
k
I
IT
k
=
=
Pêndulos
Os pêndulos fazem parte de uma classe de osciladores harmônicos simples nos quais a força
restauradora está associada à gravidade, ao invés das propriedades elásticas de um fio torcido
ou de uma mola comprimida.
O pêndulo simples
O pêndulo simples é composto de um corpo suspenso através de um fio de massa desprezível,
e ele é posto a oscilar em torno de sua posição de equilíbrio. No seu movimento a corpo descreve
um arco de circunferência.
A componente do peso, tangencial ao deslocamento, é a força de restauração desse movimento,
porque age no corpo de modo a trazê-lo de volta à sua posição central de equilíbrio. A
componente do peso, perpendicular ao deslocamento é equilibrada pela tração exercida pelo fio,
de modo que a resultante das forças tem a forma
F Mg sen= −
Para pequenos ângulos, pode-se usar sen e escrever F Mg= − . Sendo s L= o
arco que descreve a trajetória do pêndulo, temos que:
mgF s
L= −
que é uma equação do tipo F kx= − com mg
kL
=
Um corpo sob ação de uma força do tipo F kx= − , executa um movimento harmônico simples
com período 2m
k = .
Então, um pêndulo simples executa um movimento harmônico simples com período dado por
2 2
m
LmgT
L g = =
O pêndulo físico
A maior parte dos pêndulos do mundo real não é nem ao menos aproximadamente Simples
Vamos considerar um objeto de forma arbitrária, que pode oscilar em torno de um eixo que passa
pelo ponto O, perpendicular à folha de papel. O eixo está a uma distância h do centro de massa,
onde atua a força peso.
Quando o pêndulo da figura é deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo θ, surge um
torque restaurador. O torque restaurador será gdsen , que é devido à componente
tangencial da força da gravidade. Como o torque t é proporcional a senq e não a θ, não é válida
aqui, em geral, a condição de movimento harmônico simples angular. Se os deslocamentos
angulares forem pequenos pode-se usar sen , e assim, para pequenas oscilações, temos
que:
dMg = −
que pode ser escrito como: k = − , onde a constante k dMg= .
Comparando o movimento de rotação com o de translação, podemos afirmar que no movimento
de rotação, um corpo sob ação de um torque restaurador k = − , executa um movimento
harmônico simples angular de período.
2I
Tk
=
Então, para pequenas amplitudes o pêndulo físico executa um movimento harmônico simples
angular com período dado por:
2I
ThMg
=
Tabela com alguns momentos de inércia.
12. Uma vareta com comprimento L oscila com um pêndulo físico, pivotada em torno do ponto O na Fig.09. (a)
Deduza uma expressão para o período do pêndulo em termos de L e de x, à distância do pivô ao centro de massa do
pêndulo. (b) Para que valor de x/L o período é mínimo? (c) Mostre que se L = 1,00 m e g = 9,80 m/s2, este mínimo é igual a 1,53 s.
Pêndulo Físico :
+= 2
2
12Mx
MLIhaste
(a) ( )2/12/12222
)12(12
2
12
1222)( −+=
+== xxL
MgMgx
MxML
Mgd
IxT haste
(b) Para encontrar o ponto de mínimo derivamos em relação a x e igualamos a zero.
mLxLxxLx
teremosxLxporndomultiplicaxLxxxL
xLxxxxLMgdx
dT
2886,012/120)12(24
,)12(0)12(24)12(
0)12()2/1(24)12()2/1(12
2
22222
2/1222/32/1222/32/12/122
2/1222/32/12/122
==→=→=+−
+=+−+
=+−++=
−−
−−−
(c) sLg
LLxT 52,1
)12/(12
)12/(122)(
22
=+
=
13. Pêndulo da Fig.08 é formado por um disco uniforme com 10,0 cm de raio de massa de 500 g preso a uma haste
uniforme com comprimento de 500 mm e massa de 270 g. (a) Calcule a inércia à rotação do pêndulo em torno do pivô.
(b) Qual à distância entre o pivô e o centro de massa do pêndulo? (c) Calcule o período de oscilação.
Disco R=10cm e M=500g . Haste L=500mm e m=270g
(a) Em relação ao centro de massa de cada um; Idisco= 2
2MR e
12
2mLIhaste = .
As distâncias dos centros de massa do ponto de sustentação são L/2 para a haste e (L+R) para o disco.
Então:
+++
+=+= 2
222
)(2412
RLMMRmLmL
III discohasteconjunto
2205,018,00025,00225,0 kgmIconjunto =++=
(b) mmM
LmRLMxCM 477,0
)2/()(=
+
++=
(c) sgdmM
IT 5,1
477,08,977,0
205,02
)(2 =
=
+=
14. Na figura abaixo, um pêndulo físico é formado por um disco sólido uniforme (de massa M e Raio R) suportado
em um plano vertical por um pivô localizado a uma distância d do centro do disco. O disco é deslocado de um pequeno
ângulo e solto. Encontre uma expressão para o período do movimento harmônico simples resultante.
Período do Pêndulo Físico Mgd
IT 2= . Onde o momento de Inércia é 22 2/ MdMRI += . Assim
gd
dR
gd
dR
Mgd
MdMRT
2
22
2/2
2/2
222222 +=
+=
+=
MHS amortecido
Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma duração finita,
eles têm um começo e um fim. Isso acontece, basicamente, devido forças dissipativas tais como
as forças de atrito. Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por
uma função que depende linearmente da velocidade.
dF bv= −
Onde b é uma constante de amortecimento.
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k com uma das
extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m. Nesse corpo está
presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um anteparo que está
mergulhado em um líquido. Quando o anteparo se move no líquido esse movimento é amortecido
por uma força que surge devido à viscosidade do líquido.
A resultante das forças que atuam no corpo de massa m é dada por:
0
resF kx bv ma kx bv
ma kx bv
= − − = − −
+ + =
A forma diferencial da equação anterior é:
2
20
d x dxm b kx
dt dt+ + =
A solução da equação diferencial anterior tem a forma
( )'2( ) cosbt
mmx t x e t
−
= +
Onde
2'
24
k b
m m = −
É a frequência angular do oscilador amortecido.
O gráfico da posição em função do tempo para o MHS amortecido é dado por: