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Cap. 1. Tensores cartesianos, clculo tensorial, aplicao aos
momentos de inrcia 1. Quantidades fsicas 1.1 Tipos das quantidades
fsicas 1.2 Descrio matemtica dos tensores 1.3 Definio dos tensores
2. lgebra tensorial 3. Tensores cartesianos em 2D simtricos 3.1
Derivao da lei de transformao para vectores 3.2 Lei de transformao
para tensores de segunda ordem 3.3 Valores prprios 3.4
Circunferncia de Mohr 3.4.1 Convenes e consequncias 3.4.2
Determinao dos valores e das direces principais 3.4.3 Determinao
das componentes para uma rotao arbitrria 3.4.4 Determinao do
referencial ligado a componentes especificadas 3.5 Verificaes dos
valores principais 3.6 Determinao das componentes sabendo valores
em 3 direces 4. Tensores cartesianos em 3D simtricos 4.1 Valores e
vectores prprios ou valores e direces principais 4.2 Determinao e
propriedades 4.3 Casos particulares 4.4 Valores extremos fora de
diagonal 4.5 O tensor de inrcia 5. Anlise tensorial
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1. Quantidades fsicas Escalares Vectores Tensores de segunda
ordem... Tensores de ordem zero Tensores de primeira ordem Tensores
de segunda ordem... 1.1 Tipos das quantidades fsicas Escalares 1
dado suficiente para a descrio completa Exemplos: temperatura,
massa, densidade, tempo
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Representao geomtrica Vectores direco intensidade sentido O
vector plenamente determinado quando sabemos: Sentido Ponto de
aplicao Direco Intensidade preciso 3 dados para a descrio completa
Exemplos: fora, deslocamento, velocidade, acelerao
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Tensores de segunda ordem O tensor de segunda ordem plenamente
determinado no ponto P quando sabemos 3 vectores de pontos de
aplicao P, actuantes Em 3 planos diferentes, no paralelos, que se
intersectam no P preciso 9 dados para a descrio completa
Representao geomtrica dos tensores... mais tarde de acordo com o
significado fsico Neste caso falou-se de um vector livre, ou seja
de um vector no sentido matemtico Da disciplina Esttica j sabemos
que de acordo com a aplicao particular preciso distinguir vectores
de 3 tipos Livre (exemplo: vector associado a um binrio) Deslizante
ou seja fixo sua linha de aco (exemplo: fora na mecnica dos corpos
rgidos) Fixo ou seja fixo ao ponto de aplicao (exemplo: fora na
mecnica dos corpos deformveis) Exemplo: tenso, deformao, tensor de
momentos de inrcia Tensores de quarta ordem Exemplo: tensor de
rigidez e de flexibilidade
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1.2 Descrio matemtica dos tensores A descrio matemtica dos
tensores baseia-se em 3 n em 3D2 n em 2D onde n corresponde ordem
do tensor necessrias para a descrio completa dos tensores: Euclid
(ca. 325-ca. 270 BC) Espao Para poder definir as componentes,
preciso definir o espao e o referencial Espao de Euclid: 1D, 2D, 3D
Tambm chamado espao cartesiano 1D espao dos nmeros reais mD espao
de combinaes de m nmeros reais componentes Nmero de
componentes
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Sistema de coordenadas ou referencial Trs eixos rectos
mutuamente perpendiculares Vectores base tm a norma unitria Nas
nossas aplicaes sempre directo Verificao de acordo com a regra da
mo direita Dedos de x para y Polegar mostra orientao positiva de z
Dedos de y para z Polegar mostra orientao positiva de x Dedos de z
para xPolegar mostra orientao positiva de y Ren Descartes
(1596-1650) Referencial cartesiano: preciso introduzir para poder
efectuar representaes geomtricas definido pela origem 0 e pelos
vectores base Permutao positiva
Tensores de segunda ordem Representao matemtica das componentes
na forma matricial Representao geomtrica mais tarde de acordo com o
significado fsico 3D 2D
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1.3 Definio dos tensores A quantidade fsica chama-se tensor
quando as suas componentes obedecem a lei de transformao. Esta lei
descreve clculo das componentes no referencial transformado
Tensores cartesianos Tensores cartesianos so tensores definidos no
referencial cartesiano, consequentemente a lei de transformao
especificada apenas no referencial cartesiano e representa a rotao
do referencial Para quantidades fsicas as componentes so nmeros e
so relacionadas a uma dada posio (ponto) Campos fsicos Quando as
quantidades fsicas so funes de posio, chamamos-lhes Campo escalar
Campo vectorial Campo tensorial de segunda ordem... Exemplo: campo
vectorialtem componentes ; temos assim:
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2. lgebra tensorial Coincide com o clculo matricial e vectorial
at tensores de segunda ordem Cada tensor pode ser escrito como soma
da sua parte simtrica e antissimtrica Tensor simtricoTensor
antisimtrico A propriedade mantm-se, qualquer que seja o
referencial Tensores cartesianos de segunda ordem Cada tensor pode
ser escrito como soma da sua parte esfrica (isotrpica, volmica) e
desviatrica (tangencial); usa-se para tensores simtricos Valor
mdio
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Introduz-se a rotao do referencial 0xy para 0xy e calculam-se
as componentes no referencial rodado 3.1 Derivao da lei de
transformao para vectores 3. Tensores cartesianos em 2D simtricos
Matriz de transformao ou de rotao linhacoluna
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matriz ortogonal Quando a rotao se efectua do referencial
direito para o direito Componentes dos vectores base do novo
referencial, ou seja os cosenos directores dos versores dos eixos
rodados formam as linhas da matriz Algumas propriedades da matriz
ortogonal : o determinante positivo Outras propriedades das
matrizes ortogonais: Produto interno das linhas ou colunas iguais
(diferentes) equivale a 1 (0)
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3.2 Lei de transformao para tensores de segunda ordem Tensores
de ordem maior preciso usar designao indicial que no ser dada A
prova ser dada no Cap. Tenso para se poder usufruir o significado
fsico Nota: Voltando aos tensores de segunda ordem e desenvolvendo
as multiplicaes, as componentes no referencial rodado
escrevem-se:
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Verifica-se, que existe uma rotao do referencial original de
tal maneira que os novos valores diagonais correspondero ao mximo e
ao mnimo de todos os possveis valores diagonais e que para esta
rotao a componente fora de diagonal anula-se O mximo e o mnimo dos
valores diagonais chamam-se valores prprios A resoluo pode ser
facilmente exprimida analiticamente e determinada de trs maneiras
equivalentes: 1. Analogamente como em 3D (veja nos acetatos
posteriores) 2. Encontrar o mximo e o mnimo dos valores diagonais
3. Encontrar a rotao para a qual Usando funes trigonomtricas de
ngulos duplos, igualmente: 3.3 Valores prprios
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Usando o ponto 2: Usando o ponto 3: Igualmente para
Substituindo pelo nas equaes das componentes rodadas, conclui-se,
que:
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O que significa que as componentes no referencial principal so
Depois de terminar os clculos preciso decidir qual dos eixos
rodados corresponde ao eixo do mximo e qual ao eixo mnimo. Pode-se
provar uma regras simples desenhada na figura ao lado. Os eixos do
mximo e do mnimo definem o referencial principal. ou
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Cristian Otto Mohr (1835-1918) 3.4 Circunferncia de Mohr Relaes
em cima so equaes de uma circunferncia o que significa que e raio
quando desenham-se no eixo horizontal e no eixo vertical de centro
Pela substituio verifica-se facilmente: As componentes de um
tensor, relacionadas a todas as possveis rotaes do referencial
original formam uma circunferncia
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Cada ponto tem apenas duas coordenadas, por isso a abcissa
corresponde a e a ordenada a Torna-se til introduzir a designao
seguinte: A faceta e a normal faceta A faceta corresponde a uma
recta (um corte) onde actuam duas componentes do tensor
considerado: a componente normal (diagonal, que tem o mesmo ndice
como a normal faceta) e a componente tangencial (fora da diagonal,
que tem dois ndices) Os valores principais visualizam-se no dimetro
principal, dado que neste caso a componente fora da diagonal igual
a zero e as componentes normais atingem o mximo e o mnimo; este
facto no est influenciado pelo referencial inicial A faceta e a
normal faceta so mutuamente perpendiculares
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Cada ponto da circunferncia corresponde s componentes
intrnsecas do vector na faceta correspondente Componente normal,
diagonal Componente tangencial, fora da diagonal o 1 ndice da
componente tangencial corresponde normal, o 2 direco Esta
representao geomtrica ser igual para o tensor das tenses, mas
diferente para o tensor das deformaes Facetas positivas Facetas
negativas Componentes tangenciais apontam para os quadrantes
positivos
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Assumindo que o referencial original principal, ou seja que:
negativo 3.4.1 Convenes e consequncias e introduzindo a rotao
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A rotao na circunferncia faz-se pelo dobro do ngulo de rotao
dos eixos -uma rotao de 90 faz-se na CM de 180 o que troca a posio
(x) e (y) -uma rotao de 180 faz-se na CM de 360 e no altera nada
consequentemente o sentido dos eixos nesta representao indiferente
-para ponto (x) ou (x) a ordenada vertical tem sentido oposto (para
baixo) -para ponto (y) ou (y) a ordenada vertical tem sentido
habitual (para cima) -as componentes normais desenham-se na conveno
habitual As componentes do tensor para a mesma rotao visualizam-se
nos pontos opostos do dimetro. (x) designa componentes na faceta de
normal x e (y) designa componentes na faceta de normal y Define-se
Faceta (x): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado x
Faceta (y): faceta de normal que coincide com o eixo coordenado y A
conveno dos sinais Para se manter o mesmo sentido de rotao
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Orientao das componentes tangenciais determina a posio do ponto
na circunferncia de Mohr indiferentemente do referencial horrio,
negativo Conveno alternativa anti-horrio, positivo
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3.4.2 Determinao dos valores e das direces principais o
referencial original Valores fora da diagonal, tangenciais Valores
diagonais, normais Justificao das frmulas Sentido de rotao
componentes positivas
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Valores fora da diagonal, tangenciais Valores diagonais,
normais Correspondncia com a origem do referencial
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Propriedades das circunferncias conhecidas do ensino secundrio
Achar centro de uma circunferncia sabendo 3 pontos que pertencem a
esta circunferncia
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3.4.3 Determinao das componentes para uma rotao arbitrria
Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal, tangenciais
componentes positivas
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3.4.4 Determinao do referencial ligado a componentes
especificadas Valores diagonais, normais Valores fora da diagonal,
tangenciais componentes positivas
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R = mximo da componente fora da diagonal, neste caso as
componentes diagonais no se anulam, ambas tm o valor T m 3.4.5
Rotaes de 45 a partir do referencial principal
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InvariantesReferencial originalReferencial principal Depois da
resoluo dos valores principais convm verificar os invariantes 3.5
Verificaes dos valores principais Invariantes Escalares que no
alteram o seu valor com a rotao do referencial so invariantes
fundamentais, tambm chamados invariante linear e quadrtico todos os
outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores prprios
so igualmente invariantes
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O referencial introduzido arbitrrio, convm faz-lo na forma mais
vantajosa Sabemos:, incgnitas: 3.6 Determinao das componentes
sabendo valores em 3 direces Resolver Cada tensor tem 3
componentes, por isso cada 3 valores, mesmo de referenciais
diferentes, permitem sempre determinar as componentes. O caso em
baixo tem uma aplicao til nas medies de deformaes e alm disso
permite uma resoluo grfica simples
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Resoluo grfica Desenho auxiliar a recta com ponto arbitrrio est
na vertical arbitrrio Esboo dos eixos na posio original Prova
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arbitrrio Esboo dos eixos na posio original
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4.1 Valores e vectores prprios ou valores e direces principais
A soluo no trivial para {v} existe apenas quando Os nmeros que
asseguram a nulidade do determinante chamam-se Substituindo valor
prprio pelo , (Eq. 1) tornam-se linearmente dependentes e por isso
o nmero das solues para componentes {v} infinito (Eq. 1) (Eq. 1)
corresponde a 3 equaes algbricas lineares homogneas 4. Tensores
cartesianos em 3D simtricos Definio matemtica valores prprios ou
principais As solues no triviais para {v} chamam-se vectores ou
direces prprios ou principais
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4.2 Determinao e propriedades so reais (pode-se provar devido a
simetria do tensor) so 3, contudo podem ser mltiplos calculam-se
como razes de equao caracterstica Valores principais so invariantes
fundamentais, tambm chamados invariante linear, quadrtico e cbico
todos os outros invariantes podem-se exprimir em termos de valores
prprios so igualmente invariantes
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Direces principais Clculo das razes da equao caracterstica:
Valores prprios correspondem s componentes do tensor relacionadas a
um referencial, relativamente a qual todas as componentes fora de
diagonal se anulam e os valores prprios visualizam-se na diagonal
Forma cannica de matriz de componentes O mximo dos valores prprios
o mximo de todas as componentes na diagonal, qualquer que seja o
referencial O mnimo dos valores prprios o mnimo de todas as
componentes na diagonal, qualquer que seja o referencial A rotao do
referencial ou seja o referencial novo mencionado acima est
definido pelos vectores prprios
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A matriz de transformao de base [B] tem colunas formadas pelos
vectores prprios normalizados, ou seja a matriz de transformao [R]
tem linhas formadas pelos vectores prprios normalizados, para
assegurar que o referencial novo ser direito, preciso ter o
det([B])=1 A soluo nica, por isso encontrando a matriz de
coeficientes diagonal, pode-se concluir que o referencial formado
pelos vectores prprios e que os valores na diagonal so principais,
um deles mximo e um deles mnimo Depois de calcular valores prprios,
usa-se o sistema de equaes (Eq. 1) com cada um valor prprio
substitudo para calcular o vector prprio correspondente Quando
valores prprios so diferentes, a cada um correspondem infinitas
solues do vector principal correspondente, que formam uma nica
direco no espao. Assumindo o vector normalizado, existem apenas
duas solues que diferem pelo sentido. Pode-se dizer que existem
apenas 3 vectores prprios normalizados, unicamente definidos
excepto do sentido, mutuamente perpendiculares. Estes vectores
definem o novo referencial, relativamente a qual a matriz de
componentes diagonal, ou seja relativamente a qual as componentes
do tensor so valores prprios
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4.3 Casos particulares No caso particular da figura ao lado,
vectores (2) e (3) no so unicamente definidos. Todos os vectores
que satisfazem a Eq. (1) com o valor 2 = 3 substitudo, formam um
plano, cuja normal coincide com a direco (1) qualquer direco
principal, a matriz de componentes inicial j diagonal com valores
iguais Simplificao para o caso 2D J valor principal Vector
principal correspondente: Valor duplo Valor triplo possvel sempre
quando se anulam as componentes fora de diagonal
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4.4 Valores extremos fora de diagonal Invariantes no
referencial principal Usando as concluses de 2D Crculo de Mohr
Crculos fundamentais Depois da resoluo dos valores e direces
principais convm verificar os invariantes e a ortogonalidade de
vectores prprios Verificaes
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Nota sobre 2D O procedimento de clculo poder ser feito de
maneira anloga como em 3D 4.5 O tensor de inrcia Justificao da
posio dos eixos principais 5. Anlise tensorial Anlise dos campos
tensoriais derivadas, teoremas integrais, etc...