Campos H 1983 - Estat Nao Param

E S T A T S T I C A

E X P E R I M E N T A L

N O - P A R A M T R I C A

4 . a e d i o

ampos Professor Titular

Departamento de Matemtica e Estatstica E.S.A. "Luiz de Queiroz" - USP

P I R A C I C A B A Eitado de So Paulo - Brasil

1 P 8 3

I X .

PREFCIO DA 1? EDIO

O presente t r a b a l h o o elaborado com a f i n a l i d a d e de s e r v i r como um guia para olecionamento da d i s c i p l i n a "Tes-tes Nao-Parametricos", no Curso de Ps-Graduaao de " E x p e r i -mentao e Estatstica", o f e r e c i d o pelo Departamento de Mate mtica e Estatstica da E s c o l a Superior de A g r i c u l t u r a " L u i z de Queiroz", Universidade de Sao Paulo, em P i r a c i c a b a , E s t a -do de so Paulo.

A e s c a s s a b i b l i o g r a f i a em Portugus,sobre a Estats-t i c a Nao-Paramtrica encorajou-nos a t r a z e r a t e o nosso e s t u -dante ou o nosso pesquisador uma orientao para a aplicao de alguns, dentre os inmeros t e s t e s nao-paramtricos, v i s a n -do com i s s o , nica e exclusivamente^ ampliar um pouco mais a utilizao desse ramo da Estatstica em nosso meio.

T a l t r a b a l h o e f r u t o de uma l a b o r i o s a reviso b i b l i o grfica e de cursos frequentados na "Ohio S t a t e U n i v e r s i t y " , em Columbus, Ohio, E.U.A. Contamos para isso,com a p r e c i o s a , segura e indispensvel orientao do P r o f . Douglas A. Wolfe, membro do Corpo Docente do Departamento de Estatstica daque-l a U n i v e r s i d a d e e co-autor da e x c e l e n t e obra Nonpavametric S t a t i s t i c a l Methodsy de onde muitos c o n c e i t o s fundamentais sobre alguns dos t e s t e s por nos apresentados foram extra-dos.

Assim sendo, e s t e t r a b a l h o e, em p a r t e , uma comple-mentao da obra de HOLLANDER e WOLFE e f o i e s c r i t o com a de-v i d a autorizao da E d i t o r a "John Wiley and Sons I n c . " , a quem expressamos os nossos s i n c e r o s agradecimentos.

X .

Procuramos dar aos testes um cunho mais prtico do

que terico, tentando assim, f a c i l i t a r a sua imediata aplica

ao. Os exemplos apresentados sao todos referentes as nossas

condies e foram, tanto quanto possvel extrados de resu]^

tados de pesquisas realizadas em nosso meio.

Finalmente, somos imensamente gratos ao Professor e

amigo Douglas A. Wolfe, pela excelente acolhida e e f i c i e n t e

orientao que sempre nos dispensou durante a nossa estada na

Universidade de Ohio.

Humberto de Campos

x i .

PREFACIO DA 2? EDIO

_ ^ a . ~

Devido a boa aceitao em nosso meio da 1. edio de

"Teates No Paramtricos", ficamos encorajados para proceder

a uma cuidadosa reviso daquele trabalho, procurando melho-

ra-lo e ampli-lo.

Dois novos captulos sobre as Analises de Varincia,

alam de novos testes nos captulos j existentes, foram in-

eluldos. Foram tambm inseridas, no f i n a l , as tabelas para

intarpretao dos testes.

Encaramos este trabalho, nao como um substituto dos

nItodOB paramtricos, mas apenas como uma ferramenta a mais

pata o Estatstico, na analise e interpretao dos resulta-

dOi da experimentos.

Julgamos interessante a mudana do nome para "Esta-

Ctltlca Experimental No-Paramtrica", por ach-lo mais con-

iaanta com o contedo do trabalho.

Piracicaba, maro de 1976.

Hwnhevto de Campos

PREFACIO DA 3? EDIAO

Aproveitando a maior experincia adquirida no l e c i o -

namento, a nvel de ps~graduao, da d i s c i p l i n a "Testes Nao-

-Paramtricos", no Curso de "ExperimentaoeEstatstica" da

ESALQ, foi f e i t a uma nova revisoeampliao do trabalho d i -

vulgado nas edies anteriores.

Nos captulos referentes as analises de varincia fo-

ram includos os testes de Jonckheere e de Page, r e l a t i v o s a

hipteses alternativas com os tratamentos ordenados.

Procuramos dar um formato mais adequado, visando a

mais fcil manipulao do trabalho e, tambm, aproximando-se

mais da edio de um l i v r o propriamente d i t o .

Somos gratos a todos aqueles que nos incentivaram a

prosseguir na tarefa de oferecer aos usurios da Estatstica

Nao-Paramtrica uma obra, em nossa lngua, e que rena um nu-

mero considervel de exemplos i l u s t r a t i v o s , condizentes com

as nossas condies.

Piracicaba, janeiro de 1979.

Humberto de Campos

X l l l .

PREFACIO DA 4? EDIAO

A maior motivao para o uso de Mtodos Nao-Parara-

trcos na analise e interpretao de resultados de experimen-

tao, contribuiu para que este nosso trabalho se tornasse

mais difundido, principalmente no meio agronmico.

A presente edio se caracteriza por uma reviso cui-

dadosa da anterior, sem, entretanto, apresentar qualquer am-

pliao do texto.

Queremos externar os nossos sinceros agradecimentos

Srt a . Maria I z a l i n a F e r r e i r a Alves, Secretaria do Departa-

mento de Matemtica e Estatstica da ESALQ, pelo excelente e

cuidadoso servio de d a t i l o g r a f i a , e pelo auxlio na reviso

f i n a l deste trabalho.

Piracicaba, a b r i l de 1983.

Humberto de Campos

XV.

T N D I C E

Pagina

1. INTRODUO 1

1.1 - Generalidades 1 1.2 - Algumas Razes Para o Seu Uso 2 1.3 - Algumas Restries ao Seu Uso 3 1.4 - Definies e Notaes Estatsticas Bsicas 3

1.4.1 - Amostra c a s u a l i z a d a 4 1.4.2 - Varivel i n d i c a d o r a de um evento A 4 1.4.3 - L i m i t e s s u p e r i o r e i n f e r i o r 4 1.4.4 - Parmetro 5 1.4.5 - Estimador 5 1.4.6 - C o e f i c i e n t e de confiana 5 1.4.7 - Hiptese de nulidade (//Q) 6 1.4.8 - Hiptese a l t e r n a t i v a C ^ ) 6 1.4.9 - Teste de hiptese 6

1 . 4 . 1 0 - Regio crtica 6 1.4.11 - Te s t e simtrico 7 1.4.12 - E r r o s t i p o I e t i p o I T - Poder do

t e s t e 8 1.4.13 - Consistncia de um t e s t e 1 2 1. 4 . 1 4 - T e s t e s e q u i v a l e n t e s 1 2 1 . 4 . 1 5 - Estatsticas de ordem ("Order S t a -

t i s t i c s " ) 1 2 1 . 4 . 1 6 - Ordem ou posto ("rank") 1 3 1.4.17 - Distribuio n u l a 1 3 1 . 4 . 1 8 - Distribuio l i v r e 1 5 1.4.19 - Distribuio simtrica 1 5 1.4.20 - Distribuio assinttica 1 6 1.4.21 - Distribuio uniforme 1 6 1.4.22 - Funo emprica de distribuio .. 1 7 1.4.23 - Eficincia r e l a t i v a 1 7 1.4.24 - T e n t a t i v a de B e r n o u l l i 1 8 1.4.25 - T e n t a t i v a s ou provas r e p e t i d a s e i n

dependentes de B e r n o u l l i 1 8 1.4.26 - E s c a l a s de medidas 1 8

a) Nominal 1 9 b) O r d i n a l 1 9 c) I n t e r v a l o de medida 1 9 d) Relao de medidas 2 0

XV i ,

Pagina

2, TESTES APLICVEIS A UMA AMOSTRA 21

2.1 - Teste Binomial 21

2.1.1 - Generalidades 21

2.1.2 - P r e s s u p o s i e s 21

2.1.3 - M t o d o 21

2.1.4 - A p r o x i m a o normal 22

2.1.5 - Uso das t a b e l a s 23

2.1.6 - D i s t r i b u i o nula de B 26

2.1.7 - C o n s i s t n c i a 28

2.1.8 - E s t i m a t i v a s de p 28

2.1.9 - I n t e r v a l o de co n f i a n a para p 28

2.1.10 - Exemplos 30

2.1.11 - E x e r c c i o s propostos 36

2.2 - Teste de 38

2.2.1 - Algumas a p l i c a e s 38

2.2.2 - R e s t r i e s ao uso do t e s t e 38

2.3 - Teste de K o l m o g o r o v - S m r n o v 39


2.3.2 - M t o d o 40

2.3.3 - Uso das t a b e l a s

2.3.4 - D e t e r m i n a o dos supremos D, D e D 42

2.3.5 - F a i x a de c o n f i a n a 44

2.3.6 - Exemplos 47

2.4 - Te s t e de L i l l i e f o r s 55

2.5 - Te s t e de C r a m r - v o n Mises 59

3. TESTES APROPRIADOS A DADOS PAREADOS 63

3.1 - T e s t e do S i n a l 65


3.1.2 - P r e s s u p o s i e s 65

3.1.3 - M t o d o 66


3.1.5 - Empates 68

3.1.6 - E s t i m a t i v a dc 9 69 3.1.7 - I n t e r v a l o de co n f i a n a para .... 69

x v i i .

Pagina

3.1.8 - Algumas c o m p l e m e n t a e s 70

3.1.9 - Exemplos 71


3.2 - Teste de Cox e S t u a r t para T e n d n c i a s ( " T r e n d " ) 79

3.3 - Teste de Mc Nemar 85

3.4 - Te s t e das Ordens A s s i n a l a d a s ("Signed Rank

T e s t " ) 90


3.4.2 - P r e s s u p o s i e s 91

3.4.3 - M t o d o 91


3.4.5 - Empates 94

3.4.6 - D i s t r i b u i o n u l a de T 96

3.4.7 - E s t i m a t i v a de 6 98

3.4.8 - I n t e r v a l o de co n f i a n a para 0 98

3.4.9 - Algumas c o m p l e m e n t a e s 102

3.4.10 - Exemplos 103


TESTES DE POSIO APLICVEIS A DUAS AMOSTRAS INDE PENDENTES 113

4.1 - T e s t e da Soma das Ordens (Wilcoxon) 113


4.1.2 - P r e s s u p o s i e s 113

4.1.3 - M t o d o 113


4.1.5 - Empates 118

4.1.6 - D i s t r i b u i o n u l a de W .; 120

4.1.7 - E s t i m a t i v a de A 122

4.1.8 - I n t e r v a l o de conf i a n a para A .... 123



4.2 " Te s t e de Mann-Whitney 134


4.2.2 - P r e s s u p o s i e s 135

4.2.3 - H i p t e s e s 135

4.2.4 - M t o d o 135

X V l l l .

Pagina

4.2.5 - Empates 138


4.2.7 - E s t i m a t i v a do e f e i t o de tratamentoe

seu i n t e r v a l o de c o n f i a n a 139

4.3 - Teste de Kolmogorov-Smirnov 139


4.3.2 - P r e s s u p o s i e s 140

4.3.3 - H i p t e s e s 140

4.3.4 - M t o d o 140

4.3.5 - Uso das t a b e l a s ^ 142

4.3.6 - D i s t r i b u i e s nulas de D , D ^ D .. 144 4.3.7 - Processo g r f i c o de d e t e r m i n a o dos

supremos D e D 145 4.3.8 - Exemplo 146


4.4 - T e s t e Exato de F i s h e r 149

4.4-1 - Generalidades 149

4.4.2 - P r e s s u p o s i e s , 150

4.4.3 - H i p t e s e s 150

4.4.4 - M t o d o 150

4.4.5 - Exemplo 154


5. TESTES DE DISPERSO APLICVEIS A DUAS AMOSTRAS IN DEPENDENTES 7 157

5.1 - Te s t e de A n s a r i - B r a d l e y 157


5.1.2 - P r e s s u p o s i e s 157

5-1.3 - H i p t e s e s 157

5.1.4 - M t o d o 158


5.1.6 " Empates 161

5.1.7 - D i s t r i b u i o n u l a de W 163 5.1.8 - D e r i v a t i v o s do t e s t e 165


5,1.10 - E x e r c c i o s propostos 169

X I X .

p g i n a

5.2 - Te s t e de Moses 5.2.1 - Generalidades 171

5.2.2 - M t o d o 5.2.3 - E s t i m a t i v a e i n t e r v a l o de co n f i a n a

de 172

5.2.4 - C o m p l e m e n t a e s sobre o t e s t e .... 173

5.2.5 - Exemplo 1^3

6. TESIES DE CORRELAO "^ 77

6.1 - Te s t e de K e n d a l l 178

6.1.1 - M t o d o 178

6.1.2 - A p r o x i m a o normal 1^0

6.1.3 - D i s t r i b u i o n u l a de K 181 6.1.4 - Empates 1^3

6.1.5 - E s t i m a t i v a de t e seu i n t e r v a l o de

co n f i a n a 1^7

6.1.6 - Exemplo 1^8


6.2 - Te s t e de Spearman 192

6.2.1 - M t o d o 192

6.2.2 - A p r o x i m a o normal , 194

6.2.3 - Empates 195

6.2.4 - D i s t r i b u i o n u l a de v 196 6.2.5 - Exemplo 198

7. ANALISE DE VARINCIA - CLASSIFICAO SIMPLES (k amostras independentes) 201

7.1 - Teste de K r u s k a l - W a l l i s 202


7.1.2 - P r e s s u p o s i e s 203

7.1.3 - H i p t e s e s 203

7.1.4 - M t o d o 203

7.1.5 - Empates ^05



7.2 - Te s t e de Jonckbeere 211


P-I-NKi

Pagina

7.2.2 - Hipteses 212 7.2.3 - Mtodo 212 7.2.4 - Aproximao normal 213 7.2.5 - Empates 214 7.2.6 - Exemplos 215

7.3 - Comparaes Mltiplas , 218 7.3.1 - Comparaes envolvendo todos os pa-

res de tratamentos 219 7.3.1.1 - Caso de pequenas amostras 219 7.3.1.2 - Caso de grandes amostras 223

7.3.2 - Comparaes mltiplas: tratamentos vs testemunha 226

8. ANALISE DE VARINCIA - CLASSIFICAO DUPLA 233

8.1 - Teste de Friedman (x^ de Friedman) 234 8.1.1 - Generalidades 234 8.1.2 - Pressuposies 234 8.1.3 - Hipteses 235 8.1.4 - Mtodo 235 8.1.5 - Empates 236 8.1.6 - Exemplos 238 8.1.7 - Exerccios propostos 242

8.2 - Teste de Page 244 8.2.1 - Generalidades 244 8.2.2 - Hipteses 244 8.2.3 - Mtodo 244 8.2.4 - Empates 245 8.2.5 - Aproximao normal 245 8.2.6 - Associao com o t e s t e de c o r r e l a -

o de Spearman 246 8.2.7 - Exemplos 247

8.3 - Comparaes Mltiplas 249 8.3.1 - Comparaes envolvendo todos os pa-

res de tratamentos 249 8.3.1.1 - Caso de pequenas amostras 249 8.3.1.2 - Caso de grandes amostras 251

xx .

Pagina

8.3.2 - Comparaes mltiplas: tratamentos vs testemunha * 8.3.2.1 - Caso de pequenas amostras 252 8.3.2.2 - Caso de grandes amostras 252

257 9. BIBLIOGRAFIA

0C1

1. INTRODUO

1.1 - Generalidades

A Estatstica Nao-Parametrica tao recente, que o

aparecimento dos primeiros testes nesta rea data do incio

do sculo. O seu verdadeiro impulso deu-se nos ltimos qua-

renta anos.

Embora ainda apenas uma pequena parcela da extensa

l i t e r a t u r a estatstica seja dedicada ao campo nao-parametri-

co, este toma impulso dia a d i a , constatando-se, atualmente,

um crescendo muito grande de citaes de aplicaes de mto-

dos nao-paramtricos nos trabalhos de pesquisa.

Seu emprego, desde que nao abusivo, constitu uma va-

liosssima ferramenta de trabalho ao estatstico, devido a

sua grande simplicidade e v e r s a t i l i d a d e .

Um teste nao-parametrico aquele cujo modelo nao es-

p e c i f i c a condies sobre os parmetros da populao da qual

a amostra f o i obtida. Mesmo quando existem certas pressupo-

sies, estas sao mais brandas do que aquelas associadas aos

testes paramtricos.

a . Atualmente a diversidade desses testes tao grande

que, por razoes obvias, apresentaremos apenas aqueles q u e j u l

gamos serem mais interessantes para cada caso abordado.

1.2 - Algumas Razes Para o Seu Uso

o uso frequente dos testes no-paramitricos p e r m i t i -

r ao pesquisador estabelecer outras vantagens, alm das c i -

tadas a seguir:

1) Sao menos exigentes do que os paramtricos. Dispensam,

por exemplo, a normalidade dos dados.

2) Em g e r a l , as probabilidades das a f i r m a t i v a s obtidas da

maioria dos testes no-parametricos, sao p r o b a b i l i d a -

des exatas,,salvo quando se usam aproximaes para gran

des amostras.

3) Independem da forma da populao da qual a amostra f o i

o b t i d a .

so, em g e r a l , de mais fcil aplicao e exigem, quase

sempre, menor volume de clculos,

5) Existem testes nao-pacamtricos que nos permitem traba-

l h a r com dados de d i f e r e n t e s populaes, o que nao

possvel com os paramtricos,

6) so teis nos casos em que e difcil estabelecer uma es

cala de valores q u a n t i t a t i v o s para os dados. O pesqui-

sador pode apenas d i z e r que um dado tem mai-s ou menos

da caracterstica que esta sendo analisada, sem poder

p r e c i s a r ou q u a n t i f i c a r as diferenas. Os dados se en-

contram numa c e r t a ordem de classificao: ma-is ou me-

nos; melhor ou pior; maior ou menor, e t c .

7) so mais e f i c i e n t e s do que os paramtricos, quando os

dados da populao nao tm distribuio normal. K, quan-

do a populao e normalmente distribuda, sua eficin-

c i a , em alguns casos, i levemente i n f e r i o r a dos seus

competidores.

1.3 - Algumas Restries ao Seu Uso

1) Era geral no levam em considerao a magnitude dos da-

dos, fi muito comum transformar os dados, de valores pa-

ra simples ordens ou s i n a i s . Em muitos casos isso se

traduz num desperdcio de informaes.

2) Quando todas as exigncias do modelo estatstico so

s a t i s f e i t a s , o t e s t e paramtrico mais poderoso. Para

se obter a mesma eficincia,necessrio se faz um maior

tamanho de amostra para o nao-pararaetrico.

3) Em g e r a l , no nos permite t e s t a r interaes, salvo sob

condies especiais sobre a d i t i v i d a d e . Isso r e s t r i n g e

o seu uso em modelos mais complicados.

4) A obteno, utilizao e interpretao das tabelas sao,

em g e r a l , mais complexas.

1.4 - Definies e Notaes Estatsticas Bsicas

Algumas definies e notaes sao necessrias para a

boa compreenso do t e x t o . E n t r e t a n t o , sero f e i t a s de uma

plnalra s u c i n t a , uma vez que no constituem o p r i n c i p a l ob-

J t t tvo deste t r a b a l h o .

A.

1.4.1 - Amostra casualizada

Dizemos que X^, X^, constituem uma amostra c a -s u a l i z a d a (Random Scmple) de grandeza se cada X tem a mes-ma distribuio e se e l e s so independentes.

1.4.2 - Varivel indicadora de um evento A

uma varivel que assume o v a l o r 1 (um) quando A o-c o r r e , e o v a l o r O ( z e r o ) quando A no o c o r r e .

1.4.3 - Limites superior e inferior

S e j a uma varivel aleatria ( d i s c r e t a ou contnua). U i z - s e que A^ um l-imite i n f e r i o r para a distribuio de X s e

P(XB^) = B .

Na grande m a i o r i a dos t e s t e s tomamos a=B

F i g u r a 1.1 - L i m i t e s i n f e r i o r (A^) e s u p e r i o r (B ) da distribuio de X. ^

1.4.4 - Parmetro

t um v a l o r desconhecido, associado a uma populao. Por exemplo, na distribuio normal os parmetros sao a me-d i a e a varincia,

1.4.5 - Estimador

uma r e g r a de deciso que, baseada nas observaes, estima o v a l o r de um parmetro 9.

Assim, quando considerarmos uma amostra de tamanho n de uma populao com distribuio normal, os estimadores da media e da varincia so, respectivamente:

n 1 X .

m = n

n Z (X -m)^

^

2 ^ = 1 n-\

Dizemos que um estimador c o n s i s t e n t e quando a e s t i ^ n a t i v a e tende para 0 , i medida que aumentamos o tamanho da amostra (l i m e - .

n

1.4,6 - Coeficiente de confiana

o c o e f i c i e n t e de confiana de um i n t e r v a l o de con-fiana de um parmetro 9 a p r o b a b i l i d a d e na qual e s t e i n -t e r v a l o est e s t r u t u r a d o .

Assim, dizemos o interval-o de nonfiana de 6, a im iioe-ficiente de. aonfiana H-aJ ...

1.4.7 - Hiptese de nulidade (H^)

E s p e c i f i c a que a distribuio bsica e um membro de uma ce r t a classe de distribuio. De um modo g e r a l r e f e r i -da atravs do v a l o r do parmetro.

Se testarmos, por exemplo, duas medias, podemos t e r :

1.4.8 - Hiptese alternativa (H } a

uma hiptese de que a populao bsica nao s a t i s -faz f^, ou seja , e uma hiptese que c o n t r a r i a H^, Para o ca-so das duas Tndias, anteriormente c i t a d o , poderamos t e r :

Neste caso, R e B sao u n i l a t e r a i s e e b i l a t e r a l .

1.4.9 - Teste de hiptese

uma regra d e c i s i v a , que, com base nas observaes, a c e i t a ou r e j e i t a H^.

Poderamos t e r , por exemplo:

1.4.10 - Regio critica

A regio crtica para um t e s t e de hiptese a que nos leva rejeio de Ji^.

Figura 1.2 - Regio crtica para ura t e s t e de hipte-se u n i l a t e r a l .

1.4.11 - Teste simtrico

Consideremos um te s t e b i l a t e r a l , num nvel de s i g n i -ficncia a. Suponhamos que ele seja baseado num v a l o r S, e que r e j e i t a H^ se

5 > s, ou S < Q 1 2

Ento, ele e simtrico se s a t i s f a z propriedade

P('5>s ) = P(Ss ) = ^ 2

O te s t e tf por exemplo, quando considerado b i l a t e r a l -

tMTite, i simtrico*

Figura 1.3 - Regies crticas num te s t e simtrico.

8.

1.4.12 - Erros t i p o I e t i p o I I - Poder do te s t e

o erro t i p o I e c a r a c t e r i z a d o pelo f a t o de r e j e i t a r -

mos //g quando e s t a e v e r d a d e i r a . Sua pr o b a b i l i d a d e g e r a l -

mente representada por a e denominada nvel d? cigntfinan-

cia.

O e r r o t i p o I I se c a r a c t e r i z a pelo f a t o de a c e i t a r -

mos //^, quando e s t a e f a l s a . Sua pr o b a b i l i d a d e geralmente

repr e s e n t a d a por S .

Poder de um t e s t e , f r e n t e a uma determinada h i p t e s e

a l t e r n a t i v a , a pr o b a b i l i d a d e dc r e j e i t a r m o s Z/^, quando e s -

ta e f a l s a . Facilmente v e r i f i c a m o s que

Poder = 1 - 3

Suponhamos que uma p o p u l a o s e j a c a r a c t e r i z a d a por

um par m e t r o 6 e admitamos que es te possa assumir um dos dois

v a l o r e s : e ou O,. Quando O = G , admitimos 1/ e, quando fi =

= 6^, admitimos H^. O problema de testarmos v e r s u s o

de escolhermos uma entr e ambas, baseados numa amostra casua-

l i z a d a , t i r a d a de uma p o p u l a o .

Um t e s t e determinado pe l a e s p e c i f i c a a o da r e g i o

c r t i c a no e s p a o a m o s t r a i , i s t o e, pelos pontos deste que

Icvam-nos a re j e i o de ff .

F i g u r a 1.4 - R e p r e s e n t a o de um espao amos t r a i com

sua r e g i o c r t i c a .

o esquema seguinte s i n t e t i z a as p r o b a b i l i d a d e s numa

e s c o l h a d e c i s i v a .

H v e r d a d e i r a 0

H f a l s a 0

D e c i s o 1 - a 6

1 n 11^: e a 1 - B

Ura simples exemplo t a l v e z possa melhor i l u s t r a r o e3<

posto anteriormente. Suponhamos uma amostra de M = 23 elemen tos, e x t r a d a de uma p o p u l a o P fl /1/Cp;l).

Qm t e s t e de h i p t e s e ; 11^: \} = 13,00, ao n v e l de 5%

(a"005) de p r o b a b i l i d a d e , r e j e i t a r i a (quando e s s a e v e r -

dadeira) s e :

Isji = LlJllt^ > 1,645 > 15,33 . &(X} J _

onde

1

9, 1645 o v a l o r da t a b e l a da d i s t r i b u i o normal r e d u z i -

da, ao n v e l 15^33.

10.

15,00 15,33

Figura 1.5 - Regio do erro Tipo I (a = 0,05).

Por outro lado, admitamos que a verdadeira media se-j a u = 15,50, i s t o , que H^: \ = 15,00 seja falsa. Ento,

- "-^Q n N ( o , i ) . 1 /25

De conformidade com o teste admitido, B y = 15,00 aceita para valores abaixo de 15,33. Qual ento, a pro-babilidade do erro tipo I I , i s t o , aceitar quando ela e falsa?

Neste caso temos:

^ ^15,33- 15,50 _ ^^33 1 /25

e, pela Tabela 1 obtemos;

P [- < Z < - 0,85] = P(X < 15,33) = 0,1977

11.

15,33 15,50

Figura 1.6 - Erro Tipo I I (3 = 0,1977)

Assim, temos: Probabilidade do erro tipo I I : Poder do teste: 1

Podemos representar graficamente

= 0,1977 = 0,8023

15,00 15,33 15,50 6 = 0,1977

Figura 1.7 - Erros tipo I (a) e tipo XI (3)

Observamos qvie diminuindo a, aumentamos 8 e, conse-quentemente diminumos o poder do teste.

1.4.13 - Consistncia de um teste

Dizemos que um teste e consistente para uma determi-

nada a l t e r n a t i v a , se o seu poder tende para 1 (um), quando o

tamanho da amostra tende para i n f i n i t o .

1.4.14 - Testes equivalentes

Dois testes sao equivalentes quando tem o mesmo po-

der, i s t o , um r e j e i t a H^, quando o outro r e j e i t a , e, a c e i -

ta quando o outro a c e i t a .

Assim, conforme veremos, o teste de Wilcoxon e o de

Mann-Whitney, sao equivalentes.

1.4.15 - EstatTsticas de ordem ("Order S t a t i s t i c s " )

Sejam , X^, observaes, constituindo uma

amostra. Os valores X, , . X. X^ , obtidos das obser-( l ) (2)* (n)

vaoes, quando rearranjadas em ordem crescente,constituem as

estatsticas de ordem.

Tomemos, por exemplo:

Z = 23 = 41 1 4

Z =15 X = 10 5

^3= 5

as estatsticas de ordem sao:

Consequentemente, temos:

(]) - (2) - - (n)

1.4.16 - Ordem ou posto ("rank")

Quando classificamos um grupo de variveis, de con-

formidade com seus valores, e atribumos a elas nmeros cor-

respondentes as suas posies na classificao conjunta do

grupo, cada numero denominado oTdem ( p o s t o ) . Usualmente

classificamos numa ordem crescente.

Para um grupo de /l? observaes de valores d i s t i n t o s ,

os postos sero os inteiros 1, 2, A/.

Quando ocorre empate na classificao, atribumos as

variveis empatadas uma ordem mdia, que e obtida consideran-

do a media das ordens que elas receberiam se nao ocorresse o

empate. Temos, por exemplo:

^ Ordem

10 1

12 2.5

12 2,5

15 4

16 6

16 6

16 6

18 8

1.4.17 - Distribuio nula

l a distribuio de uma estatstica quando ver-

dadeira.

Admitamos, por exemplo, duas populaes (P e P ) re-

I A .

p r e s e n t a d a s , r e s p e c t i v a m e n t e , p e l a s amostras X^^ X^, ...3 X^

e Y^, . . . j y^. Se considerarmos como H^i = P^, e de

s e e s p e r a r , numa c l a s s i f i c a o conjunta das o b s e r v a e s X> e

Y q u e e l a s s e d i s t r i b u a m casualmente, nao havendo s i s t e m a -

t i z a o de p o s i o e n t r e e l a s .

Assim, s e admitirmos m=2 e n'"2, teremos os se g u i n t e s

p o s s v e i s a r r a n j o s na c l a s s i f i c a o conjunta das quatro ob-

s e r v a e s :

X X Y Y

X Y X Y

X Y Y X

Y X X Y

Y X Y X

Y Y X X

tds e l e s igualmente p r o v v e i s com pr o b a b i l i d a d e p " l / 6 pa-

r a cada um. Se definirmos uma e s t a t s t i c a correspondente

a soma das ordens a t r i b u d a s a Y em cada um dos a r r a n j o s , ob-

teremos a s e g u i n t e d i s t r i b u i o n u l a para W,

3 1/6 1

A 1/6 5/6

5 1/3 4/6

6 1/6 2/6

7 1/6 1/6

15.

1.4.18 - Distribuio livre

Uma e s t a t s t i c a T tem distribuio l i v r e se a sua

di s t r i b u i o n u l a nao depende da p o p u l a o b s i c a .

Assim, a d i s t r i b u i o da e s t a t s t i c a Wy do exemplo

c i t a d o no item 1.4.17, e uma d i s t r i b u i o l i v r e , p o i s e l a i n -

depende da d i s t r i b u i o b s i c a das ob s e r v a e s X e Y.

Ura t e s t e e s t a t s t i c o , de n v e l de s i g n i f i c n c i a a ,

de distribuio liVre quando a pr o b a b i l i d a d e de r e j e i o de

/ip, admitida v e r d a d e i r a , e i g u a l a a , independentemente da

po p u l a o b s i c a .

1.4.19 - Distribuio simtrica

A d i s t r i b u i o de uma e s t a t s t i c a T e si m t r i c a em

relao a um ponto a s e :

P(T + x ) ~ P(T < a - x) .

Assim, por exemplo, a d i s t r i b u i o normal e s i m t r i -

ca em r e l a o sua media.

m-x m m+x

F i g u r a 1.8 - D i s t r i b u i o s i m S c r i c a em r e l a o a me-

d i a (m): V(X > m + x) = P(X < m - x).

16.

1.4.20 - Distribuio assintotica

A distribuio de uma estatstica T a s s i n t o t i c a , quando o tamanho da amostra e i n f i n i t o . As distribuies as-sntticas sao tericas; na prtica ocorrem apenas as apvo-ximadamente assintticas. Esta aproximao cresce a medida que o tamanho da amostra cresce.

1.4.21 - Distribuio uniforme

E d e f i n i d a pela funo de densidade:

f(^) = , 1 P"^ o < < 1 o f o r a do i n t e r v a l o

Seu grfico :

y

o 1

Figura 1 . 9 - Representao g r S f i c a da distribuio uniforme.

0; 1

Esta distribuio tambm denominada dist-pibui-o vetangulav e i mais genericamente d e f i n i d a como S segue:

f(x) = b-a

para a < x < b

O f o r a do i n t e r v a l o a; b

1.4.22 - Funo emprica de distribuio

Se X^, .. X e uma amostra casualizada de uma m

populao, a funo emprica de distribuio ( f . e . d ) , para um dado v a l o r X, e:

S ( x ) = m

onde k o nmero de observaes X^

18.

1.4.24 - Tentativa de Bernoulli

uma tentativa com apenas dois possveis resultados:

sucesso ou f a l h a . Assim, podemos c a r a c t e r i z a - l a por:

A - realizao do acontecimento favorvel, com probabi-

lidade p;

B - realizao do acontecimento contrrio, com probabi-

lidade q.

evidente que: y q ~ \.

1.4.25 - Tentativas ou provas repetidas e independen-tes de Bernoul1i

Descrevem um experimento onde sao realizadas n tenta,

t i v a s , sob as seguintes condies:

a) Cada tentativa tem dois possveis resultados: sucesso

ou falha;

b) A probabilidade de sucesso permanece a mesma para cada

tentativa;

c) As n tentativas sao independentes.

Cumpre observar que essas tentativas tm d i s t r i b u i -

o binomial, ou s e j a :

m = n p

o"^ = n p q

1.4.26 - Escalas de medidas

Nos testes nao-parametricos sao empregadas as seguin-

tes escalas:

a) Nominal

Usa nmeros apenas como um meio de dist i n g u i r elemen-

tos ou suas propriedades em diferentes classes ou categori as.

Se tomamos, por exemplo, uma varivel indicadora de

um evento:

^ ^ 1 se y > X

^ I O se y < X estamos utilizando uma escala nominal.

Quando numeramos categorias, por exemplo, C^, C^...^

C^, estamos utilizando uma escala nominal, pois os nmeros a-

penas distinguem c l a s s e s .

b) Ordinal

Os nimeros so uti l i z a d o s somente para c l a s s i f i c a r os

elementos, numa ordem crescente ou decrescente (podendo e v i -

dentemente ocorrer empates).

Quando classificamos os alunos de uma classe, de acor-

do com as notas obtidas, estamos usando uma escala o r d i n a l .

Tambm utilizamos uma escala ordinal quando c l a s s i f i -

camos: maior do que; igual a; menor do que.

c) Intervalo de medida

Envolve uma unidade de medida e contem um ponto con-

vencional de referncia, que o zero. A grandeza entre duas

medidas pode ser expressa como um mialtiplo ou submltiplo da

unidade considerada.

Um exemplo clssico e o da medida de temperaturas.

20.

d) Relao de medidas

Leva em conta a ordem, o i n t e r v a l o e a relao entre duas medidas.

Se dizemos que esta quantidade e trs Vezes aquela, estamos u t i l i z a n d o uma escala de relao de medidas.

Esta escala tem tambm uma unidade de medida e o pon'-to de referncia zero, mas este nao e convencional; e uma medida n a t u r a l .

Talvez seja esta a mais usual das escalas. Seu empre^ go se v e r i f i c a em medidas de: peso, a l t u r a , rendimentos, e t c .

21.

2. TESTES APLICVEIS A UMA AMOSTRA

2.1 - Teste Binomial

2.1.1 - General idades

o t e s t e binomial e aplicado a amostras provenientes de populaes co n s i s t i n d o de somente duas classes (dados d i -cotmicos), como por exemplo: sim^ nao; ferte^s^ nao fr-teis; machos, fmeas, e t c .

Observa-se, p o i s , que os dados constituem o resulta, do de p t e n t a t i v a s repetidas de B e r n o u l l i , com propores e = 1 - p, para as duas classes respectivamente,

2.1.2 - Pressuposies

a) O re s u l t a d o de cada t e n t a t i v a e c l a s s i f i c a d o como 8u-aesso ou como falha;

b) A probabilidade p de euoesso permanece i n a l t e r a d a de t e n t a t i v a para t e n t a t i v a ;

c) As n t e n t a t i v a s so independentes.

2.1.3 - Mtodo

Consideremos:

22.

B = numero de sucessos nas n t e n t a t i v a s .

E s t a varivel tem distribuio binomial, com parme-t r o s n e p.

p = v a l o r conhecido, onde O < < 1 ,

Para testarmos, ao nvel a de significncia:

a) H^: p = vs H^: p > p^ ,

r e j e i t a m o s ff^, se S ^ onde:

e bfoL^ riy e um l i m i t e s u p e r i o r da distribuio binomial, ao nvel a de p r o b a b i l i d a d e .

b) ^o-- P - Po vs H^: p < ,

r e j e i t a m o s H^, se B com n variando de 1 a 20 e p variando de 0,05 a 0,50. Para v a l o r e s de n s u p e r i o r e s a 20, u t i l i z a m o s a aproximao normal j r e f e r i d a anteriormen-t e .

Suponhamos, a ttulo de ilustrao, n 5 e p =0,25 A Tabela 2 nos d:

0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000

24.

Assim, nas c o n d i e s apresentadas temos, por exemplo:

P (B < l) = 0,6328 ,

i s t o , a p r o b a b i l i d a d e de o b t e n o de no m x i m o um sucesso

em c i n c o t e n t a t i v a s , e 0,6328.

Neste c a s o , c?(0,6328 ; 5 ; 0,25) = 1, e o l i m i t e i n -

f e r i o r , e, a = 0,6328 i o n v e l de s i g n i f i c n c i a .

Quando nao dispomos de t a b e l a s apropriadas para a de-

ter m i n a o do l i m i t e s u p e r i o r , usamos a seguinte t c n i c a : s u -

ponhamos a = 0,0156, e n t o 1 - ot = 0,9844. Para n = 5 e PQ ~

0,25, temos:

F^(B < 3J = 0,9844 ,

donde;

o [ ( 1 - a ) , n, = 3 (1)

Por outro l a d o ,

P^(B > ^} ' P CB > 3) "= 1 - P . B < 3 ; = 1 - ( l - a ; = a 0 0 o

e e n t o ,

b(a, n, - 4 (2)

De (1) e C2) c o n c l u m o s :

b(o.y n, p^) = l a Q ( l - a ) , n, p^

A fim de i l u s t r a r o emprego da t a b e l a no t e s t e b i l a -

t e r a l , admitamos: = 0,0156 e 0,2373. P e l a t a b e l a ob-

temos :

P^(B < 0 ; = 0,2373 - cij

P^(B > 4^ = 0.0156 = .

Logo, para ?i = 5 e = 0,25, r e j e i t a m o s se

25.

S = O ou ^ ^ ^

Cumpre observar que, para o caso e s p e c i a l depQ = 0,50,

a d i s t r i b u i o binomial s i m t r i c a em relao a sua media

n/2, e e n t o :

PJB < o) = P (B > n - o) O ~ o

e, consequentemente:

b(aj n, p^) = ed-a, n, p^} + 1

= n - a(a, n, p^)

A ttulo de i l u s t r a o , consideremos o exemplo que

se segue:

n = 8 e = 0,5 .

P^(B < 0 ; = p^{B ^8) = 0,0039

P^(B < 1 ; = PQ(B ^7) = 0,0352

PQB 5 ; = 0,3633

Po(^ = P Q ^ ^ - " 0,6367 .

Assim, por exemplo, para a = 0,0352, temos:

cCa^, p^) = c(0,0352 ; 8 ; 0,5) = 1 ,

e, consequentemente:

i>(

26.

qual r e j e i t a r a m o s /Q, em favor de H^.

Suponhamos e n t o , que para = 10 temos B = 2, Para

testarmos, por exemplo, B p = 0,40 vs H^: p < 0,40, de con

formidade com o nosso r e s u l t a d o , o n.m.s. e a = 0,1673, ou se^

j a :

n.m.s. = P^CB ^ 2) = 0,1673

e, generalizando:

n.m.s. = ^ v a l o r observado) = .

Para o t e s t e u n i l a t e r a l : H : p > v^. temos:

n.m.s. = PQ(^ >_ v a l o r observado) = .

Se admitirmos, como no exemplo a n t e r i o r , n = 10, B = 8

e = 0,40, temos:

n.m.s. = P^(B > s; = 1 - P^(B <

= 1 - P^(B < 1)

= 1 - 0,9877 = 0,0123 .

No caso do t e s t e b i l a t e r a l , B^: p p ^ , temos aproxi^

madaniente:

n.m.s. = 2 min (a ; a ) \' 2

E s t e r e s u l t a d o s5 exato quando a d i s t r i b u i o s i

m t r i c a (p^ - 0 , 5 ) .

2.1.6 - Distribuio nula de B

A d i s t r i b u i o nula de B pode s e r obti d a a t r a v s do

termo g e r a l da d i s t r i b u i o b i n o m i a l .

27.

p^(B = .) = r" Para o c a s o , por exemplo, de n = 2 e = 0,4, temos

= = (0,4)'' (0,6)2 X _

Se admitirmos a v a r i v e l :

a. = . 1 se a t e n t a t i v a um

u 0 se a t e n t a t i v a uma i

falha ,

para os 2^ p o s s v e i s r e s u l t a d o s de ( a ^ ; f ^ ^ ) , teremos:

( a j

(0 ; 0) 0,36 0

(0 ; 1) 0,24 1

(1 ; 0) 0,24 1

(1 ; 1) 0,16 2

Dai obtemos a d i s t r i b u i o n u l a :

P^(B = x) P^{B ^x) P (B > x) 0

0 0,36 0,36 1,00

1 0,48 0,84 0,64

2 0,16 1,00 0,16

Observamos que x o n m e r o de sucessos.

28.

tivas

2.1.7 - Consistncia

O teste binomial consistente para todas as alterna

P >

30.

Se tomarmos, por exemplo, a = 0,05, o i n t e r v a l o de

c o n f i a n a s e r a :

0,3491 < p < 0,9681 . No caso de u t l 2 a r m o s a a p r o x i m a o normal, o i n t e r -

v a l o de c o n f i a n a s e r a dado por:

p z CL/2^

P(l-P)

n

2.1.10 - Exemplos

Exemplo 1

Exarainando-se uma c u l t u r a de a l g o d o para se v e r i f i -

car o grau de i n f e s t a o de uma c e r t a m o l s t i a de r a z e s , f o -

ram tomadas ao acaso dez p l a n t a s e constatado que uma d e l a s

apresentava os sintomas da m o l s t i a . Admitindo-se que para

uma i n f e s t a o abaixo de 30% a m o l s t i a c o n t r o l v e l , v e r i -

f i q u e a p o s s i b i l i d a d e de se e f e t i v a r o c o n t r o l e .

Temos n = 10 B ^ \

p = 0,30

Nosso t e s t e e

^ j ^ ; p = 0,30 vs H^: p < 0,30 . E n t o v i r :

n . T i . o . = F(B _< i ; . P e l a Tabela 2, obtemos:

31,

P^(H < I) = 0,1493 - 0,15 .

Se f i x s s e m o s a = 0,05, a c e i t a r a m o s //^, i s to , a

m o l s t i a nao s e r i a mais c o n t r o l v e l .

Exemplo 2

Num ensaio de d e g u s t a o de c a f e , cada mesa e r a cons-

tituda de c i n c o amostras, sendo duas d e l a s de caf t i d o co-

mo mote e as trs r e s t a n t e s , de c a f e de r o t i n a . Oito degusta

dores foram u t i l i z a d o s e, dentre e l e s , trs c l a s s i f i c a r a m cor

retamente. T e s t e a hipote.se de que os degu s t adores realmente

dlatinguem o caf mole dos demais (f! : p > p^).

Soluo

Neste c a s o , a p r o b a b i l i d a d e de uma e s c o l h a c a s u a l da

bebida mote e:

p = -J^ = J - = 0,10 . cl 10

Nosso t e s t e f i c a :

U^: p = 0,10 vs H^^: p > 0,10 .

Desde que n = 8 e = 3, teremos:

n.m.s. = P^(B > 3; = 1 - P^{B < 3}

' 1 - P^(B < 2)

= 1 - 0,9619

= 0,0381 .

Assim, o nvel m n i m o de s i g n i f i c n c i a no qual r e j e i -

taramos em favor de //^ e a = 0,0381, ou s e j a , 3,81%.

Se t i v s s e m o s f i x a d o , por exemplo, a = 0,1869, r e j e i -

32.

taramos se B ^2^(0,1869 ; 8 ; 0,10) e, conforme vimos:

b(a , n , p^) = cl-a , n , p^} + l ,

logo

fc(0,1869 ; 8 ; 0,10) = (3(0,8131 ; 8 ; 0,10) + 1

= 1 + 1

= 2

e, desde que 5 = 3 , r e j e i t a r a m o s H^.

Exemplo 3

No exemplo 1:

a) t e s t e H^i p = 0,30 vs H^: p ^ 0,30, ao n v e l a =0,0388

( a ^ = 0,0106 e = 0,0282).

b) admitindo-se 5 = 8 , determine o n.m.s. para a a l t e r n a -

t i v a H : p j 0,30.

Soluo

a) Desde que = 0,0282, p e l a Tabela 2, para n = 10, t e -

mos

P^(B < o; = 0,0282 .

Logo, o l i m i t e i n f e r i o r c? = 0.

Por outro lado:

b = o i l - a^; n ; p) + l

= c(0,9894 ; 10 ; 0,30) + 1

= 6 + 1

- 7 .

Assim, r e j e i t a m o s // se S > 7 ou se B = O e, conse-

33.

para 5 = 1 , aceitamos H^,

8, p e l a Tabela 2 v i r a :

P^B < 8J = 0,9999

P^B ^S) = 1 - PQ(B < S)

= 1 - PQ(B7)

= 1 - 0.9984

= 0,0016 .

E n t o ,

n.m.s, ^ 2 mt:n(0,0016 ; 0,9999) = 0,0032 .

Exemplo 4

Suponhamos no exemplo 1 que tivessem sido examinadas

80 razes e constatadas 32 doentes. T e s t e :

a) H^: p = 0,30 vs H^: p ^ 0,30

b) H^: p = 0,30 vs H^: p > 0,30

Soluo o uso da a p r o x i m a o normal e r e c o m e n d v e l , p r i n c i -

palmente se levarmos em conta a inexistncia de t a b e l a s da

d i s t r i b u i o binomial para n = 80. Cumpre tamb m observar

que, para grandes amostras, a d i s t r i b u i o binomial se apro-

xima da normal. E n t o para

n = 80

B = 32

Po = 0,30

ttmos:

quenteraente,

b) Se B =

34.

^ ^ " - 32 - 8 0 ( 0 , 3 0 ) ^ ^ g ^ ^

" Po ^0 >^80(0,30)(0,70)

Se f i x a r m o s , p or e x e m p l o , a = 0 , 0 5 , t e r e m o s , p e l a T a

b e l a 1:

a

e e n t o , r e j e i t a m o s s e B* >^ 1,96 ou S < - 1 , 9 6 .

Desde que B* = 1,95, a c e i t a m o s H^.

b ) P a r a o t e s t e u n i l a t e r a l :

H^: p = 0,30 v s H^: p > 0,30 ,

temos

(0,05)

e e n t o , r e j e i t a m o s s e S* >^ 1,645.

Desde que B* = 1,95, r e j e i t a m o s em f a v o r de H^.

Observamos q u e , n e s t e c a s o , o n v e l m n i m o de s i g n i -

f i c n c i a , no q u a l r e j e i t a r a m o s s e r i a :

n.m.s, = P^(B >_l,95) = 0,0256 .

A n a l o g a m e n t e , no b i l a t e r a l , t e r a m o s :

n.m.s. = 2 PQCB^I,95) = 0,0512 .

Exemplo 5

No exemplo 1, e s t i m e p e d e t e r m i n e s e u i n t e r v a l o de

c o n f i a n a p a r a a = 0 , 0 5 .

Soluo

p = - ^ ^ - ^ = 0 . 1 0 .

n 10

3 5 .

Da T a b e l a 3, p a r a n = 1 0 , f=lea=0,05, temos:

P^(0,05) = 0,0025

P_(0,05) = 0,4450 .

A s s i m , o i n t e r v a l o de c o n f i a n a p a r a p e:

0,0025 < p < 0,4450 .

Exemplo 6

No exemplo 4 , e s t i m e p e "determine s e u i n t e r v a l o de

c o n f i a n a p a r a a = 0 , 0 5 .

Soluo

Temos:

E n t o :

n = 80

B = 32

z = 1 , 9 6

0025

P = = - = 0 , 4 0 ,

n 80

i 08 e x t r e m o s do i n t e r v a l o de c o n f i a n a s a o :

p z a/z ^

OU l e j a

0.40 1 9 6 ^ ( 0 , 4 0 ) ( 0 , 6 0 )

80

donde:

36.

P^(0,05) - 0.40 - 0,11 = 0,29

PA0,05) = 0.40 + 0,11 = 0,51 .

2.^.^^ - Exerccios propostos

1) Adraitindo-se a proporo 3:1 em F^, da Lei de Mendel, pa-

ra 80 observaes, obteve-se o seguinte resultado:

Dominante: 54

Recessivo: 26

Verifique pelo teste binomial se os dados seguem aquela

l e i .

2) Certo melhoramento seria introduzido num bairro,se no m-

nimo 80% da sua populao se manifestasse favorvel ao mes^

mo. Numa consulta a 100 moradores, 76 se pronunciaram a

favor e 24 contrrios.

a) Deveria o melhoramento ser introduzido?

b) Estime a proporo dos manifestantes favorveis e seu

I.C. (a = 0.05).

c) Dentre os 100 moradores, ao nvel de significncia de

5%, qual o numero mnimo de votoa favorveis para a sua

introduo?

3) Numa pesquisa realizada por ANDRADE (1975) , sobre a acei-

tao do mandi defumado e enlatado em molho de tomate,fo-

ram feitas anlises sensoriais, utilizando-se 10 degusta-

dores, obtendo-se os seguintes resultados quanto a aparen

cia , aroma, sabor e textura.

37.

CATEGORIAS

RiSTICA timo Bom Hazovel

Aceitvel

Aparnaia 8 1 1 0

Aroma 7 2 1 0

Sabor 8 2 0 0

Textum. 6 3 1 0

Baseados nos resultados, como poderamos classificar o pro

duto quanto a cada um dos quatro itens considerados?

4) Numa rea cultivada com algodo foi observado que, dentre

20 maas examinadas, 8 apresentavam-se atacadas pela l a -

garta rosada. Admitndo-se que para uma infestao acima

de 25% se deva fazer o controle qumico, verifique se a

cultura apresenta um estgio em que o referido controle se

faz necessrio.

5) Admita n = 10, f = 7 e p > 0,40. Confronte as conclu-

ses obtidas atravs do teste binomial com aquelas obti-

das pelo emprego da aproximao normal.

6) Apresente um exemplo em que apenas a pressuposio 2 do

teste binomial no esteja s a t i s f e i t a .

7) No problema 5, estime p e determine o seu intervalo de con-

fiana Ca = 0,05): a) aplicando diretamente a tabela apro-

priada; b) pelo emprego da aproximao normal.

8) Formule um exemplo em que se aplica o teste binomial. Es-

truture o teste, estime p e determine seu intervalo de con

fiana.

38.

2,2 - Teste de

2.2.1 - Algumas aplicaes

Por motivos bvios deixaremos de apres e n t a r a e s t r u -

t u r a propriamente d i t a do t e s t e de x^ > Procuraremos tao so-

mente mostrar algumas de suas a p l i c a e s ao caso de uma amos-

t r a , d i s p o s t a sob a forma de t a b e l a s kxl. I s s o se torna v i -

v e l se as fr e q u n c i a s esperadas forem previamente e s t a b e l e c i ^

d a s , como nos casos s e g u i n t e s :

a) P r o p o r e s r e g i d a s p e l a s L e i s de Mendel;

b) Suponhamos que N estudantes devam optar cada um por 1

dentre n d i s c i p l i n a s o f e r e c i d a s . Podemos, neste c a s o , estabe^

l e c e r H^: No h preferencia por qualquer das disciplinas o-

fereaias. E n t o , a f r e q u n c i a esperada s e r i a N/n para cada

c l a s s e .

V e r i f i c a s s e que pode s e r t e s t a d a por um x^ com

(.n~-'^). graus de l i b e r d a d e .

c) Uma ap l i c a o muito comum se v e r i f i c a nos t e s t e s de a-

d e r n c i a , ou s e j a , no ajustamento de uma conhecida e e s p e c -

f i c a funo de d i s t r i b u i o a uma amostra de dados provenien-

t e s de uma d i s t r i b u i o que nos e desconhecida (gooness of

f i t l . ' T a l e o c a s o , por exemplo, da ap l i c a o do t e s t e de n o

malidade a uma amostra de dados de o b s e r v a o .

2.2.2 - Restries ao uso do teste

Algumas r e s t r i e s se impem ao seu uso:

a) Se o n m e r o de c l a s s e s = 2, a fr e q u n c i a esperada

m n i m a deve s e r ^ 5;

39.

b) Se : > 2, o t e s t e x^ n o deve s e r usado se mais de 20%

das f r e q u n c i a s esperadas forem abaixo de 5 ( c i n c o ) ou

se qualquer uma de l a s f o r i n f e r i o r a 1 (um).

Em alguns casos podemos contornar e s s e problema,gru-

pando C\B.SSQS a d j a c e n t e s e, a s s i m , aumentando a f r e q u n c i a

esperada em cada nova c l a s s e ,

2.3 - Teste de Kolmogorov-Smirnov

2.3.1 - Generalidades

E s t e t e s t e f o i introduzido por KOLMOGOROV (1933) pa-

r a a d a p t a o de uma e s p e c f i c a e bem conhecida d i s t r i b u i o

ViX) , a dados provenientes de uma d i s t r i b u i o desconhecida

A h i p t e s e de nulidade e s p e c i f i c a alguma d i s t r i b u i o

F(X) , Uma amostra , , ... e r e t i r a d a de alguma popu-

lao c u j a d i s t r i b u i o ^ g W desconhecida, estabelecendo-

- s e o confronto cpm F f X i para v e r i f i c a r se r a z o v e l e s t u -

dar 03 dados a t r a v s d e s t a , admitida como a v e r d a d e i r a fun-

ao de d i s t r i b u i o da amostra c a s u a l i z a d a .

Sua vantagem sobre o t e s t e de e que e l e pode s e r

a p l i c a d o , sem r e s t r i o , para pequenas amostras. Alem d i s s o ,

l e t r a t a dados individualmente, nao perdendo in f o r m a e s de-

vido a agrupamentos, como ocorre no t e s t e de x^ *

Na m a i o r i a dos casos e l e e mais poderoso do que o t e s -

te de x^ principalmente no caso de pequenas amostras.

40.

2.3.2 - Mtodo

Consideremos:

F(.X} = proporo de v a l o r e s esperados

42.

2.3.4 - Determinao dos supremos D, D*" e D"

Suponhamos uma amostra casualizada de tamanho - 5, com os valores ordenados:

= 0,28 X^ = 0,63 X - 0,47 X . = 0.68 2 ^

X3 = 0 , 5 4

Admitamos para confronto, a funo de distribuio uniforme:

0 para X < 0 X para 0 < X ^ 1 1 para X > 1

SCX). = k/5 *

onde k = numero de observaes X. < X e S(X) considerada contnua,

a) Processo grfico

CONOVER (1971) apresenta-nos o seguinte processo: r ^ presentamos FCXl e SCIL num mesmo sistema de eixos coordena-dos e consideramos:

D mxima d i s t a n c i a v e r t i c a l entre FXl e SCX); - mxima d i s t a n c i a v e r t i c a l entre F(.X)_ e S(Xl, onde

FiX) > SCX);

D = mxima distncia v e r t i c a l entre FCX) e SCX) y onde SCX) > F(X).

Assim, no exemplo considerado, temos;

43.

Figura 2.1 - Representao grfica de F(X) e SCX) 'e dos extremos D, D*' e D .

Pelo grfico acima, podemos observar que, nas v i z i -nhanas de cada ponto X , , pelo f a t o de ser uma distribuio continua, temos duas d i s t a n c i a s v e r t i c a i s a considerar, cor-respondentes, respectivamente, a

FCX.) - SCX.) e F(X.) - S(X, ) . 1 1 1 v~\

b) Processo analtico

O processo analtico permite-nos determinar com maior preciso as d i s t a n c i a s v e r t i c a i s entre FCX) e SCX).

Para f i n s de determinao dos supremos, em cada pon-to X . , consideramos a maior das duas diferenas:

FCX.) - SCX.) e FCX.) - SCX. ) t ^ ^ ^-\ No nosso exemplo, temos:

44.

X . F(X.)-S{X . ) F(X.)-S(X.) % V ^

0.28 0.28 0,20 0,28 0,08 0,47 0,47 0,40 0.27 0,07 0,54 0,54 0,60 0,14 -0,06 0,63 0,63 0,80 0,03 -0.17 0,68 0,68 1,00 -0,12 -0,32

Dal obtemos: D - Sup F.X) - S(X) = 0,32

X

= Sup 'F(X) - S(X)\ = 0,28 X

TT - Sup [S(X) - FCX = 0,32 . X

Observamos que, na pr a t i c a , para a construo do qua-dro, bastante considerar em cada ponto X,, apenas uma das duas diferenas. Assim, por exemplo, na determinao do J) , consideramos em cada ponto a maior das duas diferenas. Para o Z>~, a menor delas e. para o D. a maior em valor absoluto.

Se a distribuio for discreta, consideramos em cada ponto X. apenas a diferena;

FiX-) - S(X.) .

2.3.5 - Faixa de confiana

As tabelas permitem-nos determinar, a. um certo nvel ct, uma faixa de confiana para a desconhecida funo de dis-^ tribuiao, i s t o , uma faixa dentro da qual, a um coeficien-

45

te de confiana (1-a) de probabilidade, devem recair os pon-tos da funo de distribuio que esta sendo pesquisada.

Para isso procedemos:

a) Determinamos, na tabela, o l i m i t e b i l a t e r a l d : a

b) Obtemos, para cada ponto X.. os extremos: B(XJ = S ( X . ) + d se SXJ + d < l 1 l o , 1 a

= 1.0 se S(XJ + > 1 ^ a

A(XJ = S(X.) ~ d se SCX.) - d > O t ^ a T a - O se S(X.) - d < O

^ a e assim, para cada ponto X . y teremos:

P [AX.)

46.

A(X.) = S(X.) ~ 0,409 no i n t e r v a l o [O ; 1 = 0 a esquerda do i n t e r v a l o

B(X.) = saj + 0,409 no i n t e r v a l o [O ; 1 = 1 d i r e i t a do i n t e r v a l o

para cada ponto X^ considerado. Graficamente temos;

S i X ) + 0,409 I

J-^ S i X )

^ S i X ) - 0.409

Figura 2.2 - Representao grfica da f a i x a de con-fiana de '^JX).

47.

2.3.5 - Exemplos

Exemplo 1

No caso i l u s t r a d o para a determinao dos valores ?, e D , se considerarmos a = 0,05, para o t e s t e u n i l a t e r a l

rejeitamos se D*' >_ 0,509. Desde que D = 0,280, nao rejeitamos H^, i s t o , ad-

mitimos que os nossos dados podem ser estudados atravs da distrihuiao uniforme, dada pela funo de densidade:

fCx) 1 para O _ 0,563, Portanto, tambm neste caso, desde que D = 0,320, no

rejeitaramos- H^, O n,m,8. no qual rejeitaramos B^, s e r i a a > 0,20, Observamos que o t e s t e de no se a p l i c a a ura caso

como este, devido s restries j a apresentadas.

Exemplo 2

Num ensaio com bananeiras, r e a l i z a d o pelo Dr, J a i r o R i b e i r o de Mattos, da E,S,A. "Luiz de Queiroz", em P i r a c i c a -ba, SP, foram obtidos os seguintes pesos mdios Cera kg) de cacho:

48.

13,9 18,9 21.1 22,2 23,4 17,7 19,4 21,3 22,7 23.8 17,9 19,8 21,7 22,8 24,4 18,3 20.2 21,9 23,2 24,4 18,5 20,6 22,0 23.3 24,9

Seria razoSvel estudar os dados atravs de uma d i s t r i ^ buiao normal de mdia m = 20,0 e varincia = 5,25?

Soluo

Admitimos a priori que rX

FX) = f(x) x ~ F(x

Graficamente temos:

51.

Exemplos de Aplicao em Distribuio de Frequncias

Embora no t e s t e de Kolmogorov-Smrnov se considerem

os dados individualmente, podemos ainda apIic-lo quando as

observaes esto estruturadas numa distribuio de frequn-

c i a s . Distinguimos dois casos, conforme i l u s t r a d o a se g u i r .

I caso: cada classe i formada por um v a l o r bem determi^

nado, com frequncia

Tratasse de um caso usual, onde a funo emprica de

distribuio $(.X) e dada por:

S(X.) = t

n

e "k representa a somatria das frequncias ate a classe i ! .

Exemplo 3

V e r i f i c a r se os dados que se seguem podem ser estuda

dos atravs da distribuio de Poisson, com media m - 1,2. X. h 0 15 1 25 2 IQ 3 5 4 4 5 1

Na distribuio de Poisson, de mdia temos;

f i x } = e X

Cc-0.1,2,3....)

e ainda:

52. 53. A'

Estruturamos a seguinte tabela:

X.. -l 5V % x-0 15 0,3012 0,2500 0,0512 1 25 0,6626 0,6667 0,0041 2 10 0,8794 0,8333 0 ,0461 ' = 0,0512 3 5 0 ,9661 0,9167 0,0494 4 4 0 ,9921 0,9833 0,0088 5 1 0,9983 1,0000 0,0017 O teste e o b i l a t e r a l , cu seja:

Pela Tabela 5 , para n = 60 observamos: n.m,s. - P(Z) ^ 0 , 0 5 1 2 ) > 0,20

Logo, nao rejeitamos tiisto e, os dados podem-ser

estudados atravs da distribuio de Poisson. 29 caso: cada classe i e representada por um intervalo. Neste caso, consideramos o ponto mdio como representativo

da classe e recamos no caso anterior.

Em virtude de considerarmos os pontos mdios de clas_

se, o teste e apenas aproximado, isto e, nao tem a mesma pre^

ciso de quando tomamos os dados individualmente.

Exemplo 4 CAMPOS (1967) apresenta as produes de 50 experimen

tos fatoriais 3^ de adubao em milho, realizados em Ribei-ro Preto, Estado de So Paulo, pelo Dr. Hermano Vaz de Ar-

ruda, Pesquisador-Chefe do Instituto Biolgico do Estado de

Sao Paulo, e que foram reunidos em cinco grupos de dez expe-

rimentos cada. As produes medias em cada grupo foram as

que se seguem:

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 3.725 3.698 3.825 4.118 2.990 4.032 3.400 4 . 2 6 1 4.268 3.268 4.300 3.962 4.092 4.375 3.361 4.096 4.376 3,794 4.665 3.658 4.635 4.286 4.367 4.558 3.640 4.304 3.748 4.448 4.568 3.314 4.085 4.386 3.548 4.350 3.580 4.723 4.152 4.170 4.892 3.701 4.416 4.084 4.918 4.828 3.588 4 . 4 2 1 4.856 4.855 5.042 4.488 4.674 5.016 5.130 5.078 4.440 4.508 4.722 5.293 5.068 4.454 4.656 5.238 4.888 4,745 4.432 5.278 4.757 5.170 5.110 4.517 4.960 5.056 5.136 5.165 4,456 5.044 5,458 5.012 5.378 4.650 5.040 5.498 5.648 5.258 4.738 4.826 5.220 5.239 5.208 4.975 4.912 5,432 5.158 5.600 4.672 5.188 5,252 5.274 5.358 5.010 5.026 4 .928 5.505 6.058 4.926 5 .321 5.682 5.246 4.975 4.782 5.533 5.239 5.532 6.148 5.070 5.625 5.373 5.584 5,960 4.956 5.480 5,863 5.615 5.272 5.167 5.526 5.435 5.827 6.055 5.090 5.176 5.846 5.625 5,728 5.540

54.

V e r i f i q u e , pelo t e s t e de Kolmogorov-Smirnov, se ra-

zovel enquadrar os dados numa d i s t r i b u i o normal, com me-

d i a m " 4.000 e v a r i n c i a = 5.400.000.

Soluo

Organizemos uma d i s t r i b u i o de f r e q u n c i a com 12

c l a s s e s , considerando o ponto m d i o da c l a s s e i .

Consideremos ainda:

F(X.) = P(X < X.) = 1 ^

X.

fix) x

onde fix) i a fun o de densidade da d i s t r i b u i o normal:

1

a /27 S(X.} =

135

onde fe o numero de o b s e r v a e s X^.

Assim, organizamos a t a b e l a :

CLASSES X. F(X.) SiX.) fa)-s{x)

(2.700 ; 3.ooca 1 2.850 0,310 0,007 0,310 (3.000 ; 3.3001 1 3.150 0,356 0,015 0,349

(3.300 ; 3.6001 6 3.450 0,405 0,059 0,390

(3.600 ; 3.900] 8 3,750 0,456 0.119 0,397

0.900 4.200} 9 4.050 0,508 0,185 0,389

(4.200 4.500] 18 4.350 0,556 0,318 0,371

(4.500 , 4.800} 16 4.650 0.610 0.437 0,292

(4.800 , 5.100] 26 4.950 0,659 0,630 0,222

(5.100 ; 5.400] 25 5.250 0,705 0.815 0.110

(5.400 ; 5.700] 17 5.550 0,749 0,941 0.192

(.5.700 ; 6.000] 5 5.850 0,788 0,978 0.190

(6.000 ; 6.300] 3 6.150 0,822 1.000 0.178

D = 0,397

55.

Para n = 135. e considerando o t e s t e b i l a t e r a l , a Ta

b e l a 5 nos da:

0.20 0.10 0.05 0.02 0,01

d Q,091 0.104 0,116 0,130 0,139

P o r t a n t o ,

n.w.s. < 0,01

C o n c l u m o s , p o i s , p e l a n o a d e r n c i a dos dados 3 d i s -

t r i b u i o normal proposta.

Se a p l i c s s e m o s o x'^ o b t e r a m o s :

- 245,4

e

n.m.8. < 0,005

2.4 - Teste de Lil]iefors

O t e s t e de Kolmogorov-Smirnov admite uma f u n o de

d i s t r i b u i o e s p e c f i c a , com media e v a r i n c i a conhecidas.

Para se t e s t a r normalidade, LILLIEFORS (1967) i n t r o -

d uziu uma m o d i f i c a o no t e s t e de Kolmogorov-Smirnov amplian

do o seu uso aos casos em que a media e a v a r i n c i a n o so

previamente e s p e c i f i c a d a s , mas, s i m , estimadas a t r a v s dos

dados da amostra, ou s e j a ;

n

n

n

l (x. ~ m}^

n - 1

56.

e obtemos a varival raduzida

X. - m ^ ' -^=1,2,...,^ .

8

Eatruturamos o t e s t e , analogamente ao de Kolmogorov--Stnlrnov, a p a r t i r dos Z., ao invs da varivel o r i g i n a l .

Cumpre observar que, muitas vezes a amostra, sabida-mente nao tem distribuio normal, mas pode-se v e r i f i c a r , a-Craves do t e s t e de normalidade, se s e r i a razovel estudar os dados atravs da distribuio normal, admitida como nao d i s -crepante da verdadeira distribuio que nos desconhecida; i s t o , as diferenas entre a funo de distribuio normal e a verdadeira funo de distribuio sao i n s i g n i f i c a n t e s e, consequentemente, nao detectveis.

Em outras palavras, a aceitao de no s i g n i f i c a que a distribuio padro seja normal, mas apenas nos i n d i c a que esta e uma razovel aproximao da distribuio desconhe^ ci d a .

Desde que a media e a varincia nao foram especifica^ das, mas sim, estimadas atravs da amostra, os l i m i t e s supe-r i o r e s da distribuio de D ( b i l a t e r a l ) do t e s t e de Kolmogo-rovSmirnov no so apropriados. A Tabela 6 nos da os l i m i -tes superiores aproximados (obtidos empiricamente) do t e s t e de L i l l i e f o r s .

Exemplo

Aplique o t e s t e de L i l l i e f o r s aos dados do exemplo 2 do t e s t e de Kolmogorov-Smirnov.

Soluo

Preliminarmente calculamos:

= 5 2 8 ^ ^ 21,13 n 25

l (x. - m)^

s2 ^ _ 6.8856 n ' l

s ^ 2,624 ,

e ainda:

Z . X. - 21,13 _ _ i '

2,624

57

Os valores de F(Z.} so obtidos da Tabela 1. Por ou-t r o lado, temos:

k S(Z.) t 25

Podemos, assim, organizar a seguinte t a b e l a :

5 8 . 5 9 .

X Z F(Z.) S(Z .)

13,9 -2,76 0,003 0,040 0,037

17,7 -1.31 0,095 0,080 0,055

17,9 -1,23 0,109 0.120 0,029

18,3 -1,08 0.140 0,160 0,020

18,5 -1,00 0.159 0,200 0,041

18.9 -0,85 0,198 0,240 0,042

19,4 -0.66 0,255 0.280 0,025 19,8 -0,51 0.305 0,320 0,025

20,2 -0,35 0,363 0.360 0,043

20,6 -0.20 0.421 0,400 0,061

21.1 0,00 0.500 0.440 0.100

21.3 0,06 0,524 0.480 0,084

21.7 0.22 0,587 0,520 0,107

21,9 0,29 0.614 0,560 0,094

22,0 0,33 0,629 0,600 0,069

22,2 0.41 0.659 0.640 0,059

22,7 0.60 0.726 0,680 0,086

22,8 0,64 0,739 0,720 0,059

23,2 0.79 0,785 0,760 0,065

23,3 0.83 0.797 0,800 0,037

23,4 0,86 0,805 0,840 0,035

23.8 1,02 0,846 0,880 0,034

24,4 1.25 0,894 0.960 0,066

24,9 1,44 0,925 1,000 0.075

D a obtemos;

d = 8up \F(Z) - S(Z}I ^ 0.107 . O n o s s o t e s t e e:

E^ F ~ F v s E : F i

Com n = 25 e a = 0 , 0 5 , a T a b e l a 6 nos d :

P (D > 0.173J = 0.05 . 0

N n o s s o c a s o temos D - 0 , 1 0 7 . A s s i m s e n d o , nao r e -

j e i t a m o s E^y ou s e j a : os dados podem ser estudados atravs

da d-istrihuiao norfnal.

2.5 - Teste de Cramer-vor Mises

o t e s t e de C r a m r - v o n M i s e s a p r e s e n t a os mesmos p r o -

p s i t o s do t e s t e b i l a t e r a l de K o l m o g o r o v - S m i r n o v ; e uma a l -

t e r n a t i v a d a q u e l e t e s t e .

Dados X_^y X^y X^y a s s o c i a d o s a uma f u n o de

d i s t r i b u i o d e s c o n h e c i d a F^^{X)y obtemos a s e s t a t s t i c a s de

ordem / ^ > . . . . . .

A d m i t i n d o - s e uma e s p e c f i c a f u n o de d i s t r i b u i o

c o n t n u a F ( X ) y a s n o s s a s h i p t e s e s s o

H^: F i F^ y p a r a algum v a l o r de X.

D e f i n i m o s :

D = + l

^ 12n t = i

onde ~ ^ a m e d i a de 5 Z ( i - i )

In

e S

2i - l

X , ou s e j a ;

1 - 1 ^ i ^ _ 2i - 1

^ n n In

P a r a t e s t a r m o s , ao n v e l a de s i g n i f i c n c i a :

r e j e i t a m o s R se D. > d , onde O 1 a

= a

60.

Os limites aproximados, da distribuio de so*.

d, . = 0,241 (0,20)

d, . = 0,347 (0,10)

d, > = 0,461

cf, , - 0,743 (u,Ol)

d. . = 1,168

Assim, por exemplo, ao nvel a ^ 0,05, rejeitamos H

se Z?j >_ 0,461.

Exemplo

so dados

X, = -1,

0,4

0,8

^ - 2.8

1.7

3,3

5,6

4,2

Verifique, atravs do teste de Cramr-von Mises, s

eles podem ser estudados atravs da distribuio dada pel

seguinte funo de densidade:

f ( x ) = 10

O

para O 1 3: 4

61.

Podemos organizar a seguinte tabela:

2 i - l ^ l i - 1

In 2n

-1,3 0 0,063 -0.063 0,4 0,028 0,188 -0,160 0.8 0,072 0,313 -0.241 1.7 0,230 0,438 -0,208 2.8 0,532 0,563 -0.031 3.3 0,710 0,688 0,022 4,2 1 0,813 0.187 5,6 1 0,938 0,062

0 nosso teste :

Do quadro anterior obtemos:

D + E 2< - l

16 12(8) i=i

- 0,181

Pela tabela, ao nvel de significncia a - 0,05, re-

jeitamos ff se D, > 0,461.

Desde que - 0.181. no rejeitamos H^, i s t o e, i

razovel estudar os dados atravs da distribuio proposta.

Exerccios Propostos

1 - Dados:

8 X^ = 0.

X^ = 1.8

- 2.3

X^ - 1.7

62.

^5 = 3.3 ^6 =

X, = 5,5 = 5,6

X , = 4,8

V e r i f i q u e , pelos testes de Kolmogorov-Smirnov e de Cramr-von Mises, ao nvel a = 0,05, se os dados podem ser estudados atravs da distribuio dada pela seguinte funo de densidade:

fCx) = 1/5 para x e [ l ; 6 O f o r a do i n t e r v a l o

2 -

Determine, ao nvel a = 0,05, a f a i x a de confiana de de acordo com e l a , o i n t e r v a l o de confiana de^Q(3,3).

Os dados seguintes referem-se a pesos de indivduos, em kg:

64,5 78,3 62,5 102,8 71,8 91,8 73,4 96,5 83,0 74,0 76,7 77,8 57,0 85,5 55,1 80,4 68,0 87,0 60,0 63,2

a) Podemos a d m i t i r que X. l il'{70,0 ; 30,0)? b) Estude a normalidade dos dados pelo t e s t e de L i l -

l i e f o r s .

3 - Aplique o t e s t e de L i l l i e f o r s aos dados do Exemplo 4 do t e s t e de Kolmogorov-Smirnov.

63.

3. TESTES APROPRIADOS A DADOS RAREADOS

Frequentemente deparamos com casos onde pretendemos estabelecer comparaes entre dois tratamentos. Nessa s i t u a -o, duas a l t e r n a t i v a s devem ser consideradas, ou sejam:

a) Os indivduos sao tomados ao acaso, em duas amostras, c o n s t i t u i n d o uma delas um grupo contvol&.

b) Os indivduos sao subdivididos ao acaso, em duas amos-t r a s , e cada uma delas recebe um determinado tratamento.

Em qualquer das duas a l t e r n a t i v a s , considerando as amostras independentes, uma grande disperso de dados pode-r comprometer seriamente a validade das concluses o b t i d a s . A f i m de contornar o problema, e recomendvel, nestes casos, visando i reduo da heterogeneidade, e s t r u t u r a r os dados em pares, onde cada elemento recebera um dos tratamentos.

Independentemente da heterogeneidade dos dados, a pr^ p r i a natureza do problema poder e x i g i r o seu pareamento.

O caso mais comum de pareamento ocorre quando cada indivduo e tomado como seu prprio c o n t r o l e , c o n s t i t u i n d o o que denominamos de py e ps tratamentos.

64.

Em c e r t o s c a s o s , o pareamento e n a t u r a l , como quando

consideramos grupos de gmeos , ou e n t o , quando se conside-

ram orgaos pareados (o u v i d o s , p e s , b r a o s , o l h o s , e t c ) .

Um outro caso de apl i c a o se v e r i f i c a quando pret e n

demos e s t a b e l e c e r um estudo comparativo entre dois grupos d i s

t i n t o s de i n d i v d u o s , pareados de conformidade com suas a f i -

n i d a d e s . Dentro de cada par os tratamentos so c a s u a l i z a d o s .

E s t e processo de pareamento perraite-nos e v i t a r qualquer i n -

fl u n c i a de f a t o r e s c o l a t e r a i s nos r e s u l t a d o s da p e s q u i s a .

Em qualquer destes c a s o s , p o d e r a m o s pensar na a p l i -

c ao do t e s t e t s d i f e r e n a s de r e s u l t a d o s de cada p a r . En

t r e t a n t o , i s s o e x i g i r i a que fossem s a t i s f e i t a s as e x i g n c i a s

daquele t e s t e , o que nem sempre o c o r r e . SIEGEL (1956) c i t a a l

guns casos onde o t e s t e t nao a p l i c v e l . Dentre e l e s d e s t a

camos:

a) as e x i g n c i a s do t e s t e nao se coadunam com os dados da

p e s q u i s a ;

b5 as d i f e r e n a s e n t r e os dados pareados aao apenas o r d i -

n a i s , i s t o podemos apenas a s s i n a l a r qual membro de cada

par ma-ioT do que, mas n o podemos e s p e c i f i c a r o quanto e

maior;

c) os dados so q u a l i t a t i v o s , e n o q u a n t i t a t i v o s .

Nesses casos a a p l i c a o de um adequado t e s t e nao^-pa

rametrico e mais e f i c i e n t e .

65.

3.1 - Teste do Sinal

3.1.1 - Generalidades

o T e s t e do S i n a l o mais antigo de todos os t e s t e s

n o - p a r a m e t r i c o s . Seu aparecimento antecede 1.710. Na r e a l i -

dade, t r a t a - s e de um t e s t e binomial cora = 1/2, mas s u a v e

s a t i l i d a d e to grande que raerece um c e r t o destaque.

Os dados consistem de n pares de ob s e r v a e s (X-^YJ^

onde X. r e p r e s e n t a uma situao pr e Y. uma situao postou

e n t o , (X .;y .) sao pareados de acordo com suas a f i n i d a d e s e

os o b j e t v o s da p e s q u i s a .

3.1.2 - Pressuposies

a) Os pares (X.;Y-), i = 1, 2, M , so mutuamente i n -

dependentes;

b) Tomamos como modelo

onde 6 i o e f e i t o do tratamento; Z. a d i f e r e n a Y-~

c) Os . so mutuamente independentes;

d) Cada e prov m de uma di s t r i b u i o contnua (no neces-

sariamente a mesma), c u j a mediana e z e r o , i s t o e,

V ie . > 0) = V ie . < Q) ^ Xfl . O t ^ 1

Podemos s u b s t i t u i r a p r e s s u p o s i o ( d ) , por o u t r a

mais branda, ou s e j a :

d*) Dentro de cada p a r , a e s c a l a de medida i ao menos or-

d i n a l .

66.

Esta pressuposio torna o t e s t e mais flexvel e es-

tende o seu campo de aplicao a dados q u a l i t a t i v o s .

3.1.3 - Mtodo

Preliminarmente definimos o i n d i c a d o r :

, 1 se

O se 4. =

rz - > o ;

7 . < X. 1

Tomamos:

n

= 1 A.

onde S , sob ^^x 9 * 0 , tem distribuio binomial com p^= 1/2

Para testarmos ao nvel a de significncia 6 = 0 ,

versus:

a) H : 9 > O a

rejeitamos U^ se B >_ n - cCa , n ^ l/l) ,

onde cia , > l / 2 i e o l i m i t e i n f e r i o r da distribuio bin

raiai, ao nvel a de significncia, com n pares, e = 1/2.

b) F : 6 < O a

rejeitamos se B n - c(a^ , n ,

ou < O ,

rejeitamos se B* > z

O OL onde 3 ^ e o l i m i t e superior da distribuio normal, ao nvel a de s i g n i f i c S n c i a ,

b) /^ .* 6 = ? V B ff : e < O ,

rejeitamos H de B* < -z O a

c) FQ.- e - vs ff^: e y O ,

rejeitamos H^ se B* > z , O - a/2

ou B* < -s , a/?

68.

3.1.5 - Empates

Quando ocorrem empates, i s t o pares onde Y. = X.^

temos duas a l t e r n a t i v a s a c o n s i d e r a r :

1) A n a t u r e z a do problema exige que nos definamos por um

dos tratamentos, nao havendo, consequentemente, c o n t r i b u i o

dos empates para uma tomada de d e c i s o .

Suponhamos, por exemplo, um estudo comparativo sobre

o desempenho de duas colhedoraa de c a n a - d e - a u c a r . O s talhes

onde e l a s apresentaram i g u a l comportamento nao influem na e_

c i s o f i n a l .

Nestes c a s o s , devemos d e s c a r t a r os empates e r e d e f i -

n i r n como sendo o n m e r o de pares onde Y. ^ X..

2) A c o m p a r a o e n t r e os d o i s tratamentos de natureza

t a l , que os empates i n t e r f e r e m na tomada de d e c i s o .

Nas a n a l i s e s s e n s o r i a i s , frequentemente deparamos com

casos ein que os empates so de i n t e r e s s e e devem, consequen-

temente, s e r considerados na e s t r u t u r a o do t e s t e .

A fim de se l e v a r em conta os,empates, redefinimos a

va r i v e l A conforme se segue:

1 se y . > X. t ^

1/2 se y. X

= X. t 0 se Y. < X.

Assim, a e s t a t s t i c a B f i c a :

2

69.

onde: ^ o numero de pares em que Y. > X.;

B e o numero de pares em que Y- - X.

3.1.6 - Estimativa de 9

Podemos estimar o e f e i t o do tratamento ( 6 ) , ordenan-

do os Z-, ou s e j a , considerando as estatsticas de ordem:

sem d e s c a r t a r os empates.

A e s t i m a t i v a de e i :

6 = mediana dos Z. .

E n t o , para n p a r , i s t o n - 2k, temos:

. Jk--i)

e, para n impar:

3.1.7 - Intervalo de confiana para e

Um i n t e r v a l o de c o n f i a n a para 6, com um c o e f i c i e n t e

de c o n f i a n a (1 a i , pode s e r obtido como se segue:

a) Determinamos, a t r a v s da Ta b e l a 2:

- o(aj2 , n , 1/2; + 1

h) Obtemos os extremos do i n t e r v a l o :

CC } fn+i-C ;

70.

Para grandes amostras, podemos obter uma aproximao

para C atravs da formula

C ^ a - z a/2

onde 2 ura limite superior da distribuio normal.

3.1.8 - Algumas complementaes

HOLLANDER e WOLFE (1973) chamam-nos a ateno para;

a) A fim de testar a hiptese H : 6 = 6^, onde 9Q O, de-

terminamos

z r = z, - i:=l,2.....n

e prosseguimos com o mtodo usual empregando 2 ^ ao in

vs de Z . .

1

Observamos que a substituio de Z ^ por Z ^ implica

na transferencia da hiptese H^: 9 = Q para U^: 9 = 0.

Devemos entretanto alertar que, na obteno da e s t i -

mativa de 6 e seu intervalo de confiana, trabalhamos com os

valores originais de Z . .

Ir

b) O valor B define o numero de Z . positivos. Analogamen-

te, podemos definir B = numero de Z ^ < 0. Para isso e bastante considerarmos:

Al = ^

se

se

y. < X.

^ %

^ 1 e verificamos que

a) A'. = 1 - A. ^ 1

b) B - n -

71.

Isto nos leva possibilidade de estruturar de dife-

rentes maneiras o mesmo problema, chegando-se obviamente s

mesmas concluses.

c) Quando nos for mais conveniente, podemos considerar

e estruturar o teste como usualmente.

d) Este teste nao leva era considerao a magnitude das ob

servaes em cada par, mas apenas o sinal das diferen-

as Z . .

3.1.9 - Exemplos

Exemplo 1

Para se testar a eficincia de um novo herbicida, no

controle de ervas daninhas, foi feito um ensaio, consideran-

do-^ se dez parcelas. Em cada parcela, metade foi tratada e a

outra metade deixada como controle, O resultado obtido foi

o que se segue:

PARCELAS PESO (g) DE ERVAS DANINHAS Controle CX) Tratada CY)

1 115,4 98,4 2 121,0 73,6 3 112,3 65,9

78,7 42,1 5 65.6 77,2 6 213,5 104,0 7 157,5 82,8 8 80,7 59,4 9 142,8 102,6

10 100,3 53.7

a) V e r i f i q u e se o tratamento f o i e f i c i e n t e ( a = 0,0547). b) Estime o e f e i t o do tratamento e seu resp e c t i v o interva^

l o de confiana (a = 0,0214).

Soluo

a) Para v e r i f i c a r a eficincia do tratamento, considera-mos :

^,'6 = 0 vs ^ ; e < O O a

Assim, organizamos a ta b e l a que se segue.

PARCELAS ^ ^ ^

A . ^

1 -17,0 0 2 -47,4 0 3 -46,4 0 4 -36,6 0 5 11,6 1 6 -109,5 0 7 -74,7 0 8 -21,3 0 9 -40,2 0

10 -46,6 0

A Tabela 2 nos dS: 0(0,0547 ; 10 ; 0,50) = 2. Logo, ao nvel a " 0,0547,

rejeitamos f^ se _n ' o((x , n ^ 1/1) = 10 - 2 = 8 .

Assim, obteramos B = 9 e rejeitaramos H ao nvel de significncia a = 0,0547. Da mesma forma que no caso ante r i o r , o n.m.s. s e r i a

PQ{B~ > 9 ; = 0,0107 .

2) Se tivssemos considerado Z. = X, - Y. poderamos t e s -t a r :

e - O vs H : 6 > 0 O a e chegaramos a mesma concluso a n t e r i o r .

b) Com n = 10 a e s t i m a t i v a de 6 :

7 ( 5 ) (6) = ^

(i) Considerando as estatsticas de ordem Z temos:

-109,5 -40.2 z - -74,7 z ^> - -36,6 z ( ' > . -47,4 -21.3 z

74.

Para a d e t e r m i n a o do i n t e r v a l o de c o n f i a n a , c a l -

culamos preliminarmente,

- a(a/2 , n , 1/2) + 1

- G(0,0107 , 10 , 1/2) + 1 = 1 + 1 = 2 .

Assim, os extremos do i n t e r v a l o de c o n f i a n a sao:

e = Z^^^ = -74,7 e = Z^^^ = -17,0 .

V e r i f i c a m o s que o i n t e r v a l o de c o n f i a n a a s s i m e t r i ^

CO em r e l a o a e s t i m a t i v a de 6.

Exemplo 2

Numa vari e d a d e de c a n a - d e - a c a r , o comprimento m -

dio do t e r c e i r o i n t e r n d i o e de 22 cm. Admitindo e s t e como fa.

tor c a r a c t e r s t i c o , e querendo a v e r i g u a r se a cana de um de-

terminado talho pertence a e s t a variedade, foram tomadas no-

ve amostras de s e i s colmos cada,obtendo-se os se g u i n t e s com-

primentos m d i o s do t e r c e i r o i n t e r n S d i o .

AMOSTRAS COMPRIMENTO MEDIO Z J

1 23,3

2 22,4

3 21.1 4 22,6

5 22,2

6 23,5

7 22,7 8 22,8

9 23,0

a) T e s t e // ; e = 22 vs ; 8 > 22. O a

b) Estime 0 e seu i n t e r v a l o de c o n f i a n a (a = 0,039).

Soluo

a) De acordo com o t e s t e , r e j e i t a m o s E^: 6 - 22 se

B >_n - o(a ^ n 3 l j 2 ) .

Temos:

AMOSTRAS Z . Z \ = Z . - 22 t ^

A ,

1 23,3 1.3 1 2 22,4 0,4 1 3 21,1 -0,9 0 4 22,6 0.6 1 B = 8 5 22,2 0,2 1 6 23,5 1.5 1 7 22,7 0,7 1 8 22,8 0,8 1 9 23.0 1,0 1

A Tabela 2 nos da:

(?C0,0195 ; 9 ; X/2) = 1 .

Consequentemente:

n.ffi.a. = V^(B > S; - P^CB < l i 0,0195 .

Po d e r a m o s c o n c l u i r que h uma f o r t e e v i d e n c i a de que

a cana em q u e s t o no da variedade c o n s i d e r a d a .

b) Para n = 9. a e s t i m a t i v a de 6 dada por:

6 = / = 2 =22,7 c m .

Por outro l a d o , ao nvel a = 0,039,

76.

- '.'(0,0195 ; 9 ; 1/2) + 1 = 1 + 1 = 2 .

E n t o , os extremos do i n t e r v a l o de c o n f i a n a sao:

= Z^^^ = 22,2 cm e 9^ = Z^^^ = 23,3 cm .

3.1.10 - Exerccios propostos

1) Comprove, no t e s t e do s i n a l ( b i l a t e r a l ) , que, quando

se usa a a p r o x i m a o normal, com a = 0,05, os l i m i t e s supe-

r i o r e i n f e r i o r sao aproximadamente

n/2 + y/n e n/2 - /n ,

ou s e j a ,

r e j e i t a m o s se B >_ n/2 + /n

ou B

78.

a) Pode este fornecedor iniciar o corte de sua cana?

b) Estime 9 e seu intervalo de confiana ao nvel a =

= 0,0156.

5) Vinte e quatro pacientes foram submetidos a uma dieta

para emagrecimento, com os seguintes resultados (kg):

PACIENTE ANTES

(X) DEPOIS

(Y) PACIENTE ANTES

(X) DEPOIS

(Y)

1 83,5 80,0 13 70.4 72.0 2 95,4 95,0 14 75,6 71,8 3 80,0 81,5 15 85,2 80,0 4 90,7 90,0 16 84,0 84.3 5 87,6 83,0 17 96,0 91,5 6 91,4 85.6 18 81,0 76,0 7 103.8 90,4 19 77,3 80,0 8 88,2 86.0 20 108,5 96.0 9 75,4 77.2 21 97,5 95,0

10 86,2 82,5 22 89,0 82,3 11 93,5 90,0 23 93,0 88.0 12 110,0 104,5 24 95,0 92,0

a) Foi a dieta eficiente?

b) Estime 6 e seu intervalo de confiana (a = 0,05).

6) No exerccio 3, substitua um valor X- ou Y.: al sem alterar a concluso f i n a l ;

b) alterando a concluso f i n a l .

7) O que acontece com 6 quando:

a) adicionamos tres unidades a cada Z.;

b) multiplicamos cada Z. por tres;

c) descartamos os dois maiores e os dois menores valo-

res de Z ..

79.

Exemplifique com o exerccio 3.

8) Foram considerados doze casos de irmos gmeos a fim

de verificar se e valido admitir que o primeiro a nascer de-

senvolve-se mais no primeiro mes. Em cada caso foi anotado o ganho de peso, em kg, aos 30 dias de idade, obtendo-se os se

guintes resultados:

CASOS 19 GMEO 29 GMEO

1 0,72 0,43 2 0,47 0,33 3 0.51 0,49 4 0,59 0,59 5 0,97 0,85 6 0,87 0,80 7 0,36 0,40 8 0,72 0,74 9 0,65 0,62

10 0,48 0,46 11 0,93 0,70 12 0.87 0,78

a) Teste a hiptese de interesse,

b) Estime 6 e seu intervalo de confiana (a = 0,0386).

3.2 - Teste de Cox e Stuart para Tendncias ("Trend")

COX e STUART (.1955) adaptaram o teste do sinal ao es_

tudo de tendncia ("trend") numa sequencia de dados de obser

vao.

Admitimos que uma sequencia de dados apresenta uma

tendncia crescente (decrescente) quando, considerados na o

dem natural em que sao observados, os ltimos tendem a ser

80.

maiores (menores) do que os p r i m e i r o s .

Consideremos uma se q u n c i a X^, '^n v a r i -

v e i s a l e a t r i a s . Procedemos a uma p a r t i o , t o m a n d o um v a l o r

k t a l que:

k - n/2 se M e p a r .

, n + 1 - * fi - se n e impar

Formamos a s s i m , os pares (X^ ^ X-^^J^ observando que

se n e m p a r , a o b s e r v a o c e n t r a l d e s c a r t a d a .

Definimos a v a r i v e l i n d i c a d o r a :

A. = ^

1 se X^^. > X. a. > OJ

e prosseguimos com o t e s t e do s i n a l , como usualmente.

S e , por exemplo, o nosso t e s t e f o r :

H^: e - O vs E : Q > Q O a

a r e j e i o de nos l e v a r a a c o n c l u s o de que h uma tenden

c i a c r e s c e n t e na s e q u n c i a de dados co n s i d e r a d o s .

Exemplo 1

As p r e c i p i t a e s de j a n e i r o , nos l t i m o s v i n t e anos,

numa determinada r e g i o , foram as s e g u i n t e s :

81.

ANO Pr e c i p i t a o (mm) ANO Pr e c i p i t a o (mm)

1 125,35 11 117,05 2 127,46 12 90,72 3 118,77 13 127,20 4 98,26 14 100,72 5 126.37 15 118,63 6 148,25 16 132,45 7 112,37 17 118,43 8 156,28 18 135,14 9 96,18 19 108.80

10 162,32 20 126,48

V e r i f i q u e se a p r e c i p i t a o e s t a tendendo a aumentar

ou d i m i n u i r .

Tomamos: k = - y - = = lo , e assim formamos os pa

r e s (X.j X . ) . Podemos ento o r g a n i z a r a t a b e l a que se s e -

gue:

X, ^

X lO+^

Z .=X .-X. A.

125,35 117.05 -8,30 0 127,46 90,72 -36.74 0 118,77 127,20 8.43 1 98,26 100.72 2,46 1

126,37 118,63 -7,74 0 S 4 148,25 132,45 -15.80 Q 112.37 118,43 6.06 1 156,28 135,14 -21.14 0 96.18 108,80 12,62 1

162,32 126,48 -35,84 0

82.

Aplicando o t e s t e b i l a t e r a l :

e O vs H : Q ^ O O a *

a Tabela 2 nos d :

1 - PQ^^ 1 = 0,3770

"^2 ' - = ^ 1 -' = 0,8281

e a s s i m , o n.m.s. no qual r e j e i t a r a m o s em favor de se

r i a :

a = 2(0,3770) = 0,7540 .

Consequentemente, n o r e j e i t a m o s H^, i s t o e,os dados

n o apresentam ten d n c i a de crescimento ou de decrescimento.

Exemplo 2

Os dados s e g u i n t e s representam as porcentagens do or

amento de um M u n i c p i o , a p l i c a d a s no Setor de E d u c a o , nos

l t i m o s 17 anos:

ANO % ANO %

1 16,4 10 21,4 2 17,3 11 19,3 3 18,6 12 17,4 4 15,6 13 22,0 5 18,4 14 21,6 6 21,6 15 25,4 7 18,4 16 24,2 8 22,3 17 26,2 9 23,0

26,2

a) V e r i f i q u e se o Setor de E d u c a o do M u n i c p i o e s t a sen

do melhor amparado no p e r o d o considerado.

83.

b) Estime 6 e determine seu i n t e r v a l o de c o n f i a n a ao n -

v e l a = 0,0704.

c ) Admita que nos l t i m o s c i n c o anos, da verba d e s t i n a d a

aquele s e t o r , 20% f o i subvencionada pelo Governo do Es

tado e apenas 80% pelo M u n i c p i o . F r e n t e a e s t a r e a l i -

dade, r e t i f i q u e ou r a t i f i q u e sua c o n c l u s o a n t e r i o r ,

quanto d o t a o exclusivamente m u n i c i p a l . Estime o no^

vo 9 e seu i n t e r v a l o de c o n f i a n a (*^ /2 = 0,0352).

Soluo

a) Neste caso temos = 17 e, consequentemente, k = 9. Po

demos e n t o o r s a n i z a r os pares (X. : X .) e obter a ^ ^ % ' 3+^

t a b e l a que se segue:

X . X . 9+^ ^

~X . -t

A .

16,4 21,4 5,0 1

17,3 19,3 2,0 1

18.6 17,4 -1,2 0

15,6 22,0 6,4 1 B 1

18,4 21,6 3,2 1

21,6 25,4 3,8 1

18,4 24,2 5,8 1

22,3 26,2 3,9 1

0 nosso t e s t e s e r :

0 vs a

6 > 0

A T a b e l a 2, para = 8 e Pa '

1/2, nos d :

P (B > 1) = PJB 1 I J = 0,0352 .

Assim, o n.m.s. no qual r e j e i t a m o s B e m favor de H

84.

a = 0,0352. Conclumos que o Setor est sendo melhor ampa-

rado nos ltimos anos.

b) Ordenando os Z. temos:

-1,2 ; 2,0 ; 3,2 ; 3,8 ; 3,9 ; 5,0 ; 5,8 ; 6,4 .

A estimativa de 6 e dada por:

9 = mediana dos 2 . -

^ 2 2

= 3,85

Por outro lado, C = ?(0,0352 , 8 , 1/2) + 1 = 1 + 1 = 2 . a

Ento, os extremos do intervalo de confiana sao:

= Z^^^ - 2,0 e = Z^^^ = 5,8 .

c) Considerando a verba especificamente do Municpio, or-

ganizamos a nova tabela, j com as porcentagens c o r r i -

gidas Tios ltimos cinco anos:

X. ^

X . g+.

Z.=X .'X. A. ^

16,4 21,4 5,0 1

17,3 19,3 2,0 1

18,6 X7,4 -1,2 0

15,6 17,6 2,0 1 B = 4

18,4 17,3 -1,1 0

21,6 20,3 -1,3 0

18,4 19,4 1,0 1

22,3 21,0 -1.3 0

85.

Neste caso temos:

n.m.s. = 0,6367 ,

5 = -0,05 ,

6^ = -1,3 e = 2,0 .

Conclumos que o Municpio nao esta aumentando sua

dotao ao Setor de Educao.

3.3 - Teste de Mc Nemar

o teste de Mc Nemar aplicado a casos onde cada el

mento e tomado como seu prprio controle,distinguindo-se pojr

tanto, duas situaes: antes e d&poi-s.

S u t i l i z a d o para testar mudanas de categorias (cias

ses) ocorridas em razo da aplicao de um determinado tr a t a

mento aos dados da amostra.

Consideramos duas classes e duas situaes que podem

ser resumidas numa tabela de contingncia 2 x 2 , como se se-

gue:

ANTES DEPOIS

(X.) 1 A B

A a b a + b

B c d a + d

a + a b + d

86.

Dessa forma, temos:

b = t o t a l de indivduos que mudaram de A para B;

c = t o t a l de indivduos que mudaram de B para A.

Nossos dados s o , p o i s , c o n s t i t u d o s de n pares

(X- y ) onde X, r e p r e s e n t a a si t u a o pr e Y, a situao

pSs. Assim po s s v e l obter (A , , (A , B), (B , A) e (B ,

B).

Como p r e s s u p o s i e s devemos a d m i t i r :

a) Os pares (X. ^ I . ) so mutuamente independentes;

b) A e s c a l a de medida u t i l i z a d a nominal.

A h i p t e s e de nulidade (H^) admite que o numero de e-

lementos que mudaram de c l a s s e s e j a o mesmo nas duas d i r e -

e s . Assim sendo, e esperado em cada d i r e o

b + s , m u d a n a s

das:

2

Dessa forma, as nossas h i p t e s e s podem s e r e s t r u t u r a -

H^: P , B) = PB , A) , e

H : P(A , B) < P(B , A) a

> P(B , A)

^ P(B ^ A) .

Podemos c o n s i d e r a r dois casos d i s t i n t o s :

19 CASO: n' = b + c 20

Neste caso u t i l i z a m o s o t e s t e de , com 1 (um) grau

de l i b e r d a d e , conforme se segue:

(b - ^ ^ ) ^ (o -

v2 ^ 2 ^ 2 ^ (h ~ a)^ A.

h + c h + e h + o

Ainda n e s t e caso r e c a m o s na a p r o x i m a o normal do

Teste do S i n a l , ou s e j a :

X, ^ ' , b + o B - E (B) ^ ~ ~

B* = O ^ 2 _ 2 ^ b - c

b + c ^

Desde que S* fl V(0 , 1 ) , (B^)^ se d i s t r i b u i como x^,

com 1 (um) grau de l i b e r d a d e . E n t o ,

b + a (1)

CONOVER (1971) afirma que, para as h i p t e s e s u n l a t e

r a s , e mais p r a t i c o u t i l i z a r m o s diretamente o T e s t e do S i -

n a l , com a a p r o x i m a o normal.

88.

Exemplo 1

Dois supermercados d i s p u t a m a p r e f e r e n c i a dos consu-

m i d o r e s de uma c i d a d e . Um d e

Campos H 1983 - Estat Nao Param

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