Campos de Medida Divergente e a F´ormula de Gauss-Green · Green, tamb´em conhecido como o...

Campos de Medida Divergente e a Formula

de Gauss-Green

Leandro Tomaz de Araujo

Dezembro de 2006

Campos de Medida Divergente e a

Formula de Gauss-Green

por


Dissertacao de Mestrado apresentada ao

Programa de Pos-graduacao do Instituto

de Matematica, da Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre

em Matematica.

Orientador: Wladimir Neves

Rio de Janeiro

Dezembro de 2006

.

Araujo, Leandro Tomaz de

A663c Campos de medida divergente e a formula de

2006 Gauss-Green/Leandro Tomaz de Araujo.-

Rio de Janeiro: UFRJ/IM, 2006.

v,89f.; 29 cm

Dissertacao(Mestrado) - UFRJ/IM. Programa de

Pos-Graduacao em Matematica, 2006.

Orientador: Wladimir A. das Neves

Bibliografia: p.86.

1. Teoria geometrica da medida - tese. 2. Espacos

de funcoes. I. Neves, Wladimir Augusto das. II.

Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto de

Matematica. III. Tıtulo.



por


Dissertacao submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matematica da Universidade

Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau

de Mestre em Matematica.

Area de concentracao: Matematica

Aprovada por:

Prof. Dr. Wladimir Neves - UFRJ-IM(Presidente)

Prof. Dr. Dinamerico P. Pombo Jr. - UFF-IM

Prof. Dr. Antonio Roberto da Silva - UFRJ-IM

Prof. Dr. Gregorio Malajovich -UFRJ-IM

Rio de Janeiro

Dezembro de 2006





Resumo

Resumo da Dissertacao submetida ao Programa de Pos-graduacao em Matematica,

Instituto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte

dos requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

O objetivo principal deste trabalho e estudar as varias generalizacoes da Formula de

Gauss-Green. Alem disso, analisaremos uma nova classe de campos L∞, chamados Cam-

pos de Medida Divergente (DM) conforme introduzido por Chen & Frid [6] e esten-

deremos a Formula de Gauss-Green para conjuntos de fronteira deformavel Lipschitz a

conjuntos de perımetro finito conforme em Chen & Torres [9].

Rio de Janeiro

Dezembro de 2006

i





Abstract

Abstract da Dissertacao submetida ao Programa de Pos-graduacao em Matematica,

Instituto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte

dos requisitos necessarios a obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

The main objective of this work is to study some generalizations of the Gauss-Green

Formula. Moreover, we will analyze a new class of L∞ vector fields called divergence-

measure fields (DM) as introduced by Chen & Frid [6] and will extend to the Gauss-Green

Formula for sets of deformable Lipschitz boundaries to sets of finite perimeter as in Chen

& Torres [9].

Rio de Janeiro

Dezembro de 2006

ii

Agradecimentos

Agradeco pricipalmente a Deus por me dado forcas para superar mais essa etapa de

minha vida e aos meus pais, Joao Mendes de Araujo e Geni Tomaz de Araujo, que

sempre acreditaram e me incetivaram ao longo de toda a minha vida.

Ao apoio e incetivo de todos os meus amigos da Universidade Federal do Rio de Ja-

neiro; em especial, Andrea Luiza G. M. Rocha, Andre G. Valente, Andre Luiz M. Pereira,

Fabio Henrique A. Santos, Josiane Costa Silva, Luiz Guilhermo Martinez, Marcelo Tava-

res, Regis C. A. Soares Jr. e Susan Wouters. Finalmente, os meus cordiais agradecimentos

aos professores do Instituto de Matematica da UFRJ.

Rio de Janeiro,

Leandro T. de Araujo

iii

.

Para meus pais Joao e Geni,

e meus irmaos Luciano e Leonardo.

iv

Sumario

1 Introducao 1

2 Preliminares 7

2.1 Medidas e Funcoes Mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Integrais e Teoremas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Diferenciacao de Medidas de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Teorema de Representacao de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Convergencia Fraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Medida de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.8 Propriedade Finas de Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.9 Regularizacao e Aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 O Teorema Classico de Gauss-Green 19

3.1 Integracao sobre Fronteiras Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Consideracoes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.2 Formula de Gauss-Green para funcoes W 1,p . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Funcoes de Variacao Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Consideracoes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.2 Formula de Gauss-Green para funcoes BV . . . . . . . . . . . . . 38

4 Campos de Medida Divergente 42

4.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

v

4.2 Propriedades Elementares em DM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Aproximacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Regra do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Deformacoes Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 A Formula de Gauss-Green e o Traco Normal 61

5.1 Consideracoes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Conjuntos de Perımetro Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.3 Limites Aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1.4 Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 Formula de Gauss-Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Traco Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A Notacao 83

A.1 Notacao Vetorial e de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

A.2 Notacao para funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

A.3 Espacos de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Referencias Bibliograficas 86

vi

Capıtulo 1

Introducao

Nesta dissertacao estudaremos algumas das varias formulacoes para o Teorema de Gauss-

Green, tambem conhecido como o Teorema de Stokes. Inicialmente, ele fora decoberto em

1828, e surgiu de uma conexao com a Teoria Potencial (isto inclui potenciais gravitacionais

e eletricos), e depois redescoberto em 1850 por Stokes que o recebeu por sugestao do fısico

Lord Kelvin atraves de uma carta no mesmo ano. Alem disso, Stokes o teria utilizado

em um exame para a Smith Prize em 1854 (veja [10]).

Agora, para estudar a Formula de Gauss-Green em um contexto mais geral, inici-

aremos provando o Teorema no que chamaremos de sentido classico: campo suave e o

domınio de integracao com bordo que e localmente o grafico de uma funcao Lipschitz, o

qual chamaremos de fronteira Lipschitz. E bem sabido pelo Calculo Diferencial e Integral

que a tradicional Formula de Gauss-Green tambem se aplica sobre conjuntos cujas fron-

teiras sao suaves por partes, isto e, a uniao finita de curvas suaves. Entretanto, usaremos

aqui uma outra ferramenta, a saber: Teoria Geometrica da Medida, que e a linguagem

natural para se trabalhar com conjuntos que nao sao regulares no sentido da Geome-

tria Diferencial (isto e, fronteira suave para podermos aplicar o tradicional Teorema de

Gauss-Green).

Por outro lado, o Teorema de Gauss-Green pode ser apresentado de maneira mais geral

atraves de formas diferenciais (veja [10]). Entao no que segue enunciaremos a formulacao

tradicional para o Teorema de Gauss-Green para Analise no Rn, que utiliza o conceito de

formas diferenciais e pode ser encontrado em [21]. Contudo, esta sera a unica referencia

a formas diferenciais neste trabalho.

1

Teorema 1.1 (Gauss-Green). Se M e uma variedade compacta orientada de dimensao

k, e ω e um (k− 1) forma diferencial de classe C1 com suporte compacto sobre M , entao

∫∂M

ω =

∫M

dω. (1.1)

onde ∂M e dado na orientacao induzida.

M

n

Figura 1.1: Uma variedade de dimensao n.

Neste caso, convem observar que (1.1) pode ser reescrito de modo equivalente atraves

da formula ∫U

div F dx =

∫∂U

F · n dS, (1.2)

onde n e o campo normal unitario a ∂U , o operador div F e o divergente para algum

campo F de classe C1 em um conjunto aberto U do Rn, e dS e a unidade de area. A

formula (1.2), e tambem denominada de Teorema da Divergencia, e e mais conhecida pelo

Calculo Diferencial e Integral do que a formula (1.1).

Agora, para generalizar (1.2) nossa ferramenta crucial sera a integral de Lebesgue e da

medida de Hausdorff (veja a secao 2.7), a medida natural para trabalhar como conjuntos

que nao sao regulares no sentido da Geometria Diferencial.

Nesta dissertacao, veremos que se mantivermos a suavidade do campo F e diminuirmos

a regularidade do domıno de integracao exigindo que o bordo ∂U seja Lipschitz, o que

garantiria pelo Teorema de Radamacher uma boa propriedade geometrica: a existencia

da normal exterior unitaria definida em quase todo ponto; neste caso a Formula de

Gauss-Green continuara valida.

2

Ainda, se diminuirmos tambem a regularidade do campo; primeiramente, exigindo que

seja uma funcao de Sobolev, e em seguida que seja uma funcao de variacao limitada (BV )

tambem veremos a validade para a Formula de Gauss Green. Alem disso, veremos que a

formula (1.2) pode ser ainda mais generalizada, considerando domınios como conjuntos

de Caccioppoli, que sao por definicao conjuntos cuja funcao caracterıstica e uma funcao

de variacao limitada local.

A dissertacao esta dividida em cinco capıtulos e um apendice de notacao. No capıtulo

2, enunciaremos sem as demonstracoes alguns resultados basicos de Teoria da Medida,

que serao utilizados ao longo de todo trabalho.

No capıtulo 3, apresentaremos a Formula de Gauss-Green para funcoes suaves, funcoes

de Sobolev e funcoes BV em domınios cujos bordos sao Lipschitz, conforme feito em [12].

Alem disso, nos dois ultimos casos a usaremos para fornecer uma nocao sobre o traco

para essas funcoes, o que a grosso modo seria como atribuir significado aos valores dessas

funcoes na fronteira de domınio U .

No capıtulo 4, estudaremos uma nova classe de campos L∞, chamados campos de me-

dida divergente (DM); conforme introduzido em Chen & Frid [6]. Formalmente campos

DM sao campos vetoriais em L∞ cujos divergentes sao medidas de Radon. Esses campos

surgem naturalmente no estudo de solucoes entropicas de problemas de valor inicial e de

fronteira de Leis de Conservacao hiperbolicas nao lineares (veja [6], [7] e [8]). Tendo

em vista a definicao de campos DM, veremos ao longo deste capıtulo que muitas das

propriedades desses campos sao analogas para funcoes BV ; neste sentido, uma pergunta

natural e se o mesmo e verdade para o traco e para a Formula de Gauss-Green para

campos DM sobre um superfıcie Lipschitz qualquer. A resposta e negativa em geral,

entretanto e verdade para funcoes BV como podemos observar no capıtulo 3.

A dificuldade em fornecer uma nocao razoavel para o traco de um campo de medida

divergente F em um conjunto aberto U do Rn foi superada por Chen & Frid [6] ao

introduzirem o conceito de fronteira Lipschitz deformavel; onde dado um conjunto aberto

Ω compactamente contido em U com fronteira Lipschitz, supomos que esteja definido

um homeomorfismo bi-Lipschitz ψ de ∂Ω × [0, 1] sobre a sua imagem de tal modo que

ψ(., 0) = id em ∂Ω. Isto os permitiu entender o traco normal F · ν|∂Ω em L∞(∂Ω; H n−1)

3

como o limite fraco estrela (F.ντ ) ψτ em L∞(∂Ω; H n−1) para uma deformacao ψ,

F · ν|∂Ω = w∗ − limτ→0

(F · ντ ) ψτ em L∞(∂Ω; H n−1)

a qual independe de ψτ = ψ(·, τ). Alem disso, observaremos que a topologia fraco estrela

e a melhor maneira de definir F · ν|∂Ω em geral, como podemos ver em [6].

No ultimo capıtulo, veremos que uma das dificuldade que surge para estender o Teo-

rema de Gauss-Green a conjuntos mais gerais e em que sentido poderıamos falar do campo

normal exterior a fronteira que aparece em (1.2). A teoria de conjuntos de Caccioppoli

iniciado por R.Caccioppoli em [4], e apronfundado por varios matematicos (aqui desta-

cando o trabalho de Ennio De Giorgi), e o ambiente adequado por causa da existencia

da normal exterior no sentido geometrico da medida.

Originalmente, conjuntos de perımetro finito foram definidos como conjuntos que

podem ser aproximados por domınios poliedrais , E ∈ P , o qual e definido como qualquer

conjunto E ⊂ Rn no qual e o fecho de um conjunto aberto cuja fronteira topologica,

∂E, esta contida em uma uniao finita de hiperplanos do Rn. Essa definicao e similar

a definicao de Lebesgue da area de uma superficie. Mais geralmente, o perımetro de

qualquer conjunto, nao necessariamente mensuravel, foi definido como

P (E; Rn) := inf

lim infh→∞

H n−1(∂Eh) : Eh ∈ P , |(E − Eh) ∪ (Eh − E)| → 0.

entao mostra que E e um conjunto mensuravel, se P (E; Rn) < ∞, e, neste caso, o

perımetro coincide com o perımetro da definicao (5.1) (para detalhes veja [17]).

Por outro lado, De Giorgi pensava em uma hipersuperfıcie de codimensao 1 em Rn

como a fronteira de conjuntos de Caccioppoli. Mais precisamente, De Giorgi definiu a

chamada fronteira reduzida para conjuntos de Caccioppoli, ∂∗E, como o conjunto de

pontos x no qual derivada de Radon-Nikodym de ∇XE existe com respeito a medida

de variacao||∇XE||, e e igual a νE(x) com |νE(x)| = 1, e pode ser escrito como a uniao

enumeravel de subconjuntos compactos de hipersuperfıcies de classe C1, a menos de um

conjunto de medida ||∇X || nula. Ainda, a medida ||∇XE|| coincidiria com a medida de

Hausdorff de dimensao (n− 1) restrita a fronteira reduzida, e estaria contida na fronteira

essencial de E, ∂sE, o qual por definicao possui todos os pontos x ∈ Rn que nao sao

pontos de densidade 0 ou 1, e pela teoria classica da funcoes BV (veja [12]), o conjunto

4

∂sE − ∂∗E tem medida de Hausdorff de dimensao (n − 1) nula. Isto permitiu entao

estender o Teorema de Gauss-Green para conjuntos de Caccioppoli :

Teorema 1.2 (Gauss-Green Generalizado). Seja E um conjunto de Caccippoli. Entao

para H n−1 quase todo x ∈ ∂sE, existe uma unica medida teorica da normal exterior

νE(x) tal que ∫E

div ϕ dx =

∫∂sE

ϕ · νE dH n−1

para toda ϕ ∈ C1c (Rn,Rn).

Agora, paralelamente ao Teorema de Gauss-Green Generalizado, veremos conforme

Chen & Torres [9], que a Formula de Gauss-Green para campos DM pode ser estendida

de um conjunto de fronteira Lipschitz para um conjunto E compactamente contido em U

cuja funcao caracterıstica de E e uma funcao BV , conhecido como conjunto de perımetro

finito. Neste caso, a utilizaremos para fornecer uma nocao sobre o traco normal para

campos DM que coincide com a nocao introduzida por Chen & Frid [6].

Convem observar que a construcao realizada em Chen & Torres [9] e em grande parte

independente da construcao realizada em Chen & Frid [6]. De fato, em [6] a nocao

do traco normal utilizando deformacoes Lipschiz e introduzida para depois mostrar a

Formula de Gauss-Green em conjuntos com fronteira Lipschitz deformavel; ao passo que,

em [9] a Formula de Gauss-Green em conjuntos de perımetro finito e introduzida para

depois obter a nocao sobre o traco normal sobre tais conjuntos.

A fim de analisar mais profundamente a nocao de traco normal, mostraremos conforme

Chen & Torres [9], que existe um subconjunto Kε da fronteira reduzida tal que para ε > 0

pequeno, H n−1(∂∗E − Kε) < ε e existe um campo suave νε : Rn −→ Rn tal que νε∣∣ eKε

aponta para o interior de E, e cujo interior topologico de Kε, que denotaremos por Kε,

pode ser escrito como a uniao enumeravel de hipersuperfıcies de classe C1. Neste caso,

definiremos a seguinte aplicacao ψε : Rn × [0, 1] −→ Rn por ψε(x, τ) := x + τνε, o qual

induz a aplicacao ψετ := ψε(·, τ) para τ ∈ (0, 1) fixado, e denotando por Eτ = ψετ (E) e

Kετ := ψ(Kε), veremos atraves da Formula de Gauss-Green para campos DM aplicada

Eτ que ∫E1

τ

φ div F +

∫E1

τ

F · ∇φ = −∫∂sEτ

φ F · ντ dH n−1. (1.3)

5

Por outro lado, novamente pela Formula de Gauss-Green para campos DM em con-

juntos de perımetro finito agora aplicada E segue que∫E1

φ div F +

∫E1

F · ∇φ = −∫∂sE

φ F · ν dH n−1 (1.4)

Agora, passando ao limite quando τ → 0 em (1.3), e pelo Teorema da Convergencia

Dominada vemos que o primeiro membro de (1.3) converge ao primeiro membro de (1.4),

o que implica que o segundo membro de (1.3) converge para (1.4).

Finalmente, escolhendo φ ∈ C1c (U) tal que φ se anula numa vizinhanca de P com

φ∣∣P6= 0 e φ

∣∣∂∗E−Kε = 0, e como φ

∣∣Kε

τpode ser trocado por φ

∣∣Kε

τ (ψετ ) com erro que vai

a zero quando τ → 0. Entao existe o limite fraco estrela,

F · ν|Kε = w∗ − limτ→0

(F · νετ ) ψτ em L∞(Kε; H n−1).

desde que ψετ (Kετ ) ⊂ int(E). Portanto, o traco normal de um campo DM introduzido

por Chen & Torres [9] sobre tais conjuntos sera entendido como o limite fraco estrela

introduzido por Chen & Frid [6], o que mostra sua consistencia.

6

Capıtulo 2

Preliminares

O objetivo deste capıtulo e reunir algumas definicoes e fatos basicos da Teoria da Medida

e esta baseado em [12], [13] e [17]. Adimitiremos a notacao do Apendice A.

2.1 Medidas e Funcoes Mensuraveis

Seja X um conjunto , e 2X o conjunto de partes de X.

Definicao 2.1. Uma colecao F de subconjuntos de X, F ⊂ 2X , e chamado uma σ-algebra

se

1. ∅, X ∈ F ;

2. Se A ∈ F entao X − A ∈ F ; e

3. Se Ak ∈ F , k = 1, . . . , entao ∪∞k=1Ak ∈ F .

Ainda, uma σ-algebra de Borel do Rn e a menor σ-algebra contendo os subconjuntos

abertos do Rn.

Definicao 2.2. Uma aplicacao µ : 2X −→ [0,+∞] e chamada uma medida em X se

satisfaz

1. µ(∅) = 0; e

2. µ(A) ≤∑∞

k=1 µ(Ak) sempre que A ⊂⋃∞k=1Ak.

7

Ainda, seja µ uma medida sobre X e A ⊂ X. Entao µ restrita a A, escrevemos µbA e a

medida definida por (µbA)(B) = µ(A ∩B) para todo B ⊂ X.

Nota 2.3. A definicao (2.2) e usualmente chamada de Medida Exterior, como podemos

ver em [5].

Definicao 2.4. Um conjunto A ⊂ X e µ-mensuravel se para cada B ⊂ X,

µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B − A).

Definicao 2.5. .

1. Uma medida µ sobre X e regular se para cada conjunto A ⊂ X, existe um conjunto

µ-mensuravel B tal que A ⊂ B e µ(A) = µ(B).

2. Uma medida µ sobre Rn e chamada Borel se todo conjunto de Borel e µ-mensuravel.

3. Uma medida µ sobre o Rn e Borel regular se µ e Borel e para cada A ⊂ Rn, existe

um conjunto de Borel B tal que A ⊂ B µ(A) = µ(B).

Teorema 2.6. Seja µ uma medida regular sobre X. Se A1 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊂ Ak+1 ⊂ . . . ,

entao

limk→∞

µ(Ak) = µ

(∞⋃k=1

Ak

).

Demonstracao. Veja [12], Teorema 2, p.5.

Definicao 2.7. Uma medida µ sobre Rn e uma medida de Radon se µ e Borel regular e

µ(K) <∞ para todo conjunto compacto K ⊂ Rn.

Definicao 2.8. Seja µ uma medida sobre X, e Y um espaco topologico. Uma funcao

f : X −→ Y e µ-mensuravel se f−1(U) e µ-mensuravel para cada conjunto aberto U ⊂ Y .

Teorema 2.9 (Lusin). Seja µ uma medida de Borel regular sobre Rn e seja f : Rn −→ Rn

uma funcao µ-mensuravel. Assuma que A ⊂ Rn e µ-mensuravel e µ(A) < ∞. Entao,

para todo ε > 0, existe um conjunto compacto K em A tal que µ(A − K) < ε e f |K e

contınua.

8


Teorema 2.10 (Ergoroff). Seja µ uma medida sobre Rn. Se fk : Rn −→ Rn funcoes

µ-mensuraveis (k = 1, . . . ) e A ⊂ Rn e µ-mensuravel com µ(A) < ∞, e fk → f µ-q.s.

sobre A. Entao, para todo ε > 0, existe um conjunto µ-mensuravel B ⊂ A em A tal que

µ(A−B) < ε e fk → f uniformente em B.


2.2 Integrais e Teoremas de Limites

Definicao 2.11. Seja µ uma medida sobre X. Uma funcao g : X −→ [−∞,∞] e

chamada um funcao simples se g e µ-mensuravel e a imagem g(X) e um conjunto enu-

meravel.

Seja g uma funcao simples, nao negativa e µ-mensuravel. Definimos

I(g;µ) =∑

0≤y≤∞

yµ(g−1(y)

).

Definicao 2.12. se g e uma funcao µ-mensuravel simples, e se I(g+;µ) < ∞ ou

I(g−;µ) <∞, dizemos que g e uma funcao simples µ-integravel e definimos

I(g;µ) = I(g+;µ)− I(g−;µ).

Assim, se g e uma funcao µ-integravel,

I(g;µ) =∑

−∞≤y≤∞

yµ(g−1(y)

).

Agora, seja f : X −→ [−∞,∞] uma funcao qualquer e seja S(µ) o conjunto de todas as

funcoes simples µ-integraveis. Definimos,∫ ∗fdµ := inf I(g;µ) : g ∈ S(µ), f ≤ g µ− q.s. ,

∫∗fdµ := inf I(g;µ) : g ∈ S(µ), f ≥ g µ− q.s. .

Usualmente definimos inf ∅ := +∞ e sup ∅ := −∞.

9

Definicao 2.13. Uma funcao f : X −→ [−∞,∞] µ-mensuravel e chamada µ-integravel

se∫ ∗f dµ =

∫∗ f dµ; neste cado escrevemos∫

f dµ =

∫ ∗f dµ =

∫∗f dµ.

Definicao 2.14. Seja X um conjunto.

1. Uma funcao f : X −→ [−∞,∞] e µ-somavel se f e µ-integravel e∫|f | dµ <∞.

2. Dizemos que a funcao f : Rn −→ [−∞,∞] e localmente µ-somavel se f |K e µ-

somavel para cada conjunto compacto K ⊂ Rn.

Seja µ uma medida de Radon. Denotaremos por L1loc(Rn;µ) o conjunto de todas

funcoes localmente µ-somavel f : Rn −→ [−∞,∞]. Para toda f ∈ L1loc(Rn;µ), escrevere-

mos

(µbf)(A) =

∫A

f dµ

para todo conjunto compacto A do Rn. Note que µbA = µbXA.

Definicao 2.15. .

1. Dizemos que ν e uma medida com sinal sobre Rn, e denotaremos por ν ∈ M(Rn)

se existe uma medida de Radon µ sobre o Rn e uma funcao f ∈ L1loc(Rn;µ) tal que

ν = µbf.

2. Dizemos que ν e uma medida vetorial sobre o Rn em Rm, e denotaremos por

ν ∈ M(Rn; Rm), se existe uma medida de Radon µ e uma funcao vetorial f =

(f1, . . . , fm) com fi ∈ L1loc(Rn;µ) tal que νi = µbfi (i = 1, . . . ,m).

Teorema 2.16 (Lema de Fatou). Sejam fk : X −→ [0,∞] funcoes µ-mensuraveis (k =

1, . . . ). Entao ∫lim infk→∞

fk dµ ≤ lim infk→∞

∫fk dµ.


10

Teorema 2.17 (Convergencia Monotona). Sejam fk : X −→ [0,∞] funcoes µ-mensuraveis

(k = 1, 2, . . . ), com

f1 ≤ f2 ≤ · · · ≤ fk ≤ fk+1 ≤ . . .

Entao ∫limk→∞

fk dµ = limk→∞

∫fk dµ.


Teorema 2.18 (Convergencia Dominada). Sejam g : X −→ R uma funcao µ-somavel e

f, fk : X −→ R funcoes µ-mensuraveis (k=1,2,. . . ). Se |fk| ≤ g e fk → f µ-q.s. quando

k →∞.Entao

limk→∞

∫fk dµ =

∫f dµ.


2.3 Teorema de Fubini

Definicao 2.19. Seja µ uma medida sobre um conjunto X e ν uma medida sobre um

conjunto Y . Para cada M ⊂ X × Y definimos

(µ× ν)(M) := inf

∞∑k=1

µ(Ak)ν(Bk)

,

onde o ınfimo e tomado sobre toda sequencia de conjuntos µ-mensuravel Ak ⊂ X e

conjunto ν-mensuravel Bk ⊂ Y (k = 1, . . . ) tal que M ⊂⋃∞k=1Ak ×Bk. A medida µ× ν

e chamada a medida produto de µ e ν.

Teorema 2.20 (Fubini). Seja µ uma medida sobre um conjunto X e seja ν uma medida

sobre um conjunto Y .

1. µ× ν e uma medida regular em X × Y .

2. Se A ⊂ X e µ-mensuravel e B ⊂ Y e ν-mensuravel, entao A×B e µ×ν-mensuravel

e (µ× ν)(A×B) = µ(A)ν(B).

11

3. Se M ⊂ X × Y e σ-finita com respeito a µ × ν (isto e, M = ∪∞k=1Mk, onde Mk e

µ×ν-mensuravel e (µ×ν)(Mk) <∞ para k = 1, . . . ), entao My = x : (x, y) ∈M

e µ-mensuravel para ν em quase todo x e µ(My) e ν-integravel. Alem disso,

(µ× ν)(M) =

∫Y

µ(My)dν(y).

Analogamente para x e Mx = y : (x, y) ∈M.

4. Se f : X × Y −→ [−∞,∞] e µ × ν-integravel e f e σ-finita com respeito a µ × ν

(em particular, se f e µ × ν-somavel), entao a aplicacao y 7→∫Xf(x, y)dµ(x) e

ν-integravel, a aplicacao x 7→∫Yf(x, y)dν(y) e ν-integravel, e ainda,∫

X×Yfd(µ× ν) =

∫X

(∫Y

f(x, y)dµ(x)

)dν(y) =

∫Y

(∫X

f(x, y)dν(y)

)dµ(x).


Definicao 2.21. .

1. A medida de Lebesgue um dimensional L 1 em R e definida por

L 1(A) := inf

∞∑i=1

diam Ci : A ⊂∞⋃i=1

Ci, Ci ⊂ R

para todo A ⊂ R.

2. A medida de Lebesgue n dimensional L n sobre Rn e definida indutivamente por

L n := L n−1 ×L 1 = L 1 × · · · ×L 1,

ou equivalentemente, L n := L n−k ×L k para qualquer k ∈ 1, . . . , n− 1.

As vezes usaremos a notacao |E| ou meas E para a medida de Lebesgue de um

conjunto generico E de Rn.

2.4 Diferenciacao de Medidas de Radon

Definicao 2.22. Sejam µ e ν medidas de Radon sobre Rn. Dizemos que ν e diferenciavel

com respeito a µ em x se

Dµν(x) := limr→0

ν(B[x, r])

µ(B[x, r])

12

sempre que este limite existe e e finito. Ainda, diremos que Dµν e a densidade de ν com

respeito a µ.

Definicao 2.23. .

1. A medida ν e absolutamente contınua com respeita µ, e escreveremos ν µ, se

µ(A) = 0 implica que ν(A) = 0 para todo A ⊂ Rn.

2. As medidas ν e µ sao multuamente singulares, e escreveremos ν⊥µ, se existe um

conjunto de Borel B ⊂ Rn tal que µ(Rn −B) = ν(B) = 0.

Teorema 2.24 (Radon-Nikodym). Seja µ, ν medidas de Radon sobre Rn com ν µ.

Entao

ν(A) =

∫A

Dµν dµ

para todo conjunto µ-mensuravel A ⊂ Rn.


Teorema 2.25 (Lebesgue-Besicovitch). .

1. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn e f ∈ L1loc(Rn;µ). Entao

limr→0

1

µ(B[x; r])

∫B[x;r]

f dµ = f(x)

para µ quase todo ponto x ∈ Rn.

2. Seja µ uma medida de Radon sobre Rn, 1 ≤ p <∞ e f ∈ Lploc(Rn;µ). Entao

limr→0

1

µ(B[x; r])

∫B[x;r]

|f − f(x)|pdµ = 0 (2.1)

para µ quase todo ponto x ∈ Rn.

Demonstracao. Veja [12], Teorema 1, p.43, e Corolario 1, p.44.

Definicao 2.26. Um ponto x e chamado um ponto de Lebesgue de f com respeito a µ,

se (2.1) e satisfeita.

13

2.5 Teorema de Representacao de Riesz

Teorema 2.27 (Representacao de Riesz). .

1. Seja L : Cc(Rn; Rm) −→ R um funcional linear satisfazendo

supL(φ) : φ ∈ Cc(Rn,Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K <∞

para cada conjunto compacto K ⊂ Rn. Entao existe uma unica medida de Radon

vetorial µ = σ||µ|| ∈ M(Rn; Rm) tal que

L(φ) =

∫Rn

φ · dµ =

∫Rn

φ · σ d||µ|| (2.2)

para toda φ ∈ Cc(Rn; Rm), onde σ : Rn −→ Rm tal que |σ| = 1 ||µ||-q.s.

2. Seja L : Cc(Rn) −→ R um funcional linear tal que L(φ) ≥ 0 para toda φ ∈ C∞c (Rn),

φ ≥ 0. Entao existe uma medida de Radon µ em Rn tal que

L(φ) =

∫Rn

φ dµ

para toda φ ∈ C∞c (Rn).

Demonstracao. Veja [12], Teorema 1, p.49, e Corolario 1, p.53.

Definicao 2.28. Dizemos que λ e uma medida de variacao se para cada conjunto aberto

V ⊂ Rn,

λ(V ) = supL(φ) : φ ∈ Cc(Rn; Rm), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ V ,

onde L : Cc(Rn; Rm) −→ R e um funcional linear limitado. Se L e como em (2.2), entao

λ = ||µ||.

2.6 Convergencia Fraca

Seja U um conjunto aberto do Rn.

Definicao 2.29. Sejam µ e µk, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre Rn. Dizemos que

µk converge fracamente a µ no sentido de medida de Radon, e escrevemos µk µ em

M(Rn), se

limk→∞

∫Rn

φ dµk =

∫Rn

φ dµ

para toda φ ∈ Cc(Rn).

14

Teorema 2.30. Sejam µ e µk, k = 1, . . . , medidas de Radon sobre Rn. Entao as

seguintes afirmacoes sao equivalentes:

1. µk µ em M(Rn); e

2. limk→∞ µk(B) = µ(B) para todo conjunto de Borel limitado B ⊂ Rn com µ(∂B) = 0;

3. lim supk→∞ µk(K) ≤ µ(K) para todo conjunto compacto K de Rn, e

lim infk→∞ µk(A) ≥ µ(A) para todo conjunto aberto A de Rn.


Teorema 2.31 (Compacidade fraca para Medidas de Radon). Seja µk∞k=1 em M(Rn)

tal que supk µk(K) < ∞ para todo conjunto compacto K do Rn. Entao existe uma

subsequencia µkj∞j=1 e uma medida de Radon µ tal que µkj

µ em M(Rn).


Definicao 2.32. Sejam f, fk ∈ Lp(U), k = 1, . . . , e seja 1 ≤ p <∞.

1. Dizemos que fk converge fracamente em Lp(U) para f , e escrevemos fk f em

Lp(U), se ∫U

fkφ dx→∫U

fφ dx

para toda φ ∈ Lq(U), onde 1p

+ 1q

= 1, 1 < q ≤ ∞.

2. Dizemos que fk converge fracamente em medida, ou como medida, para f se∫U

fkφ dx→∫U

fφ dx

para toda φ ∈ Cc(U)

3. Dizemos que fk converge fracamente no sentido das distribuicoes, ou como distri-

buicao, para f se ∫U

fkφ dx→∫U

fφ dx

para toda φ ∈ C∞c (U)

Definicao 2.33. Sejam f, fk ∈ L∞(U), k = 1, . . . . Dizemos que fk converge fraco estrela

em L∞(U) para f , e escrevemos fk? f em L∞(U), se∫

U

fkφ dx→∫U

fφ dx

para toda φ ∈ L1(U).

15

2.7 Medida de Hausdorff

A medida de Hausdorff H s e o resultado de uma construcao conhecida como construcao

de Caratheodory. (Veja [17]).

Definicao 2.34. .

1. Seja A ⊂ Rn, 0 ≤ s <∞ e 0 < δ ≤ ∞. Definimos

H sδ (A) = inf

∞∑k=1

α(s)

(diam Ck

2

)s: A ⊂

∞⋃k=1

Ck, diam Ck ≤ δ

A medida de Hausdorff de dimensao s, H s, e entao definida por

H s(A) := limδ→0

H sδ (A) = sup

δ>0H s

δ (A).

2. A dimensao de Hausdorff de um conjunto A ⊂ Rn e definido por

dimH (A) := inf0 ≤ s <∞ : H s(A) = 0

O teorema a seguir afirma um fato nao trivial que a medida de Haudorff coincide com

a medida de Lebesgue sobre o Rn (compare as definicoes (2.21) e 2.34).

Teorema 2.35. H n = L n sobre o Rn


Teorema 2.36. H s e Borel regular para todo s ≥ 0. Alem disso, se A ⊂ Rn e H s-

mensuravel com H s(A) <∞ entao H sbA e uma medida de Radon.

Demonstracao. Veja [12], Teorema 1, p.61, para a primeira parte, e use Teorema 3, p.5.

para a segunda parte.

Teorema 2.37. Sejam f : Rn −→ Rm uma aplicacao Lipschitz, A ⊂ Rn, e 0 ≤ s < ∞.

Entao H s(f(A)) ≤ (Lip(f))sH s(A), onde

Lip(f) := sup

|f(x)− f(y)||x− y|

: x, y ∈ Rn, x 6= y


16

2.8 Propriedade Finas de Analise

Teorema 2.38 (Rademacher). Seja f : Rn −→ Rm uma funcao localmente Lipschitz.

Entao f diferenciavel L n-quase sempre, isto e, para quase todo ponto x ∈ Rn,

limy→x

|f(y)− f(x)−Df(x)(x− y)||x− y|

= 0

onde Df(x) e a aplicacao linear chamada a diferencial de f em x.


Teorema 2.39 (Formula da Area). Seja f : Rn −→ Rm uma funcao Lipschitz, n ≤ m.

Entao para cada subconjunto L n-mensuravel A do Rn,∫A

Jf(x) dx =

∫Rm

H 0(A ∩ f−1(y))dH n−1(y).


Teorema 2.40 (Formula da mudanca de variaveis). Seja f : Rn −→ Rm uma funcao

Lipschitz, n ≤ m. Entao para cada funcao L n somavel g : Rn −→ R,∫Rn

g(x)Jf(x) dx =

∫Rm

[ ∑x∈f−1(y)

g(x)

]dH n(y).


Teorema 2.41 (Formula da Coarea). Seja f : Rn −→ Rm uma funcao Lipschitz, n ≥ m.

Entao para cada subconjunto L n-mensuravel A do Rn,∫A

Jf(x) dx =

∫Rm

H n−m(A ∩ f−1(y))dy.


Teorema 2.42. Seja f : Rn −→ Rm uma funcao Lipschitz, n ≥ m. Entao para cada

funcao L n-somavel g : Rn −→ R, g|f−1(y) e H n−m somavel para L m em quase todo y

e ∫A

g(x)Jf(x) dx =

∫Rm

[∫f−1(y)

g dH n−m

]dy.


17

2.9 Regularizacao e Aproximacao

Seja U um conjunto aberto do Rn. Para todo ε > 0, defina

Uε := x ∈ U : dist(x, ∂U) > ε.

Definicao 2.43. Seja uma funcao η : Rn −→ R de classe C∞, definido por

η(x) :=

C exp(

1|x|2−1

)se |x| < 1,

0 se |x| ≥ 1,

onde C e uma constante escolhida de modo que∫

Rn η(x) dx = 1. O regularizador padrao

ηε e definido por

ηε(x) :=1

εnη(xε

), x ∈ Rn.

Ainda, para toda f ∈ L1loc(U), e definiremos

fε = ηε ∗ f,

isto e,

fε(x) :=

∫U

ηε(x− y)f(y)dy, x ∈ Uε.

Teorema 2.44. .

1. Se f ∈ L1(U), entao fε ∈ C∞(Uε).

2. Se f, g ∈ L1loc(U), entao

∫Ufεg dx =

∫Ufgε dx.

3. Se f e uma funcao continua em U , entao fε → f uniformente em subconjuntos

compactos de U .

4. Se f ∈ Lp(U) para algum 1 ≤ p <∞, entao fε → f em L1loc(U). Ainda, se x e um

ponto de Lebesgue de f entao f ε(x) → f(x). Em particular, fε → f L n−1q.s.


Proposicao 2.45 (Lema de Du Bois Raymond). Seja f ∈ L1loc(U) tal que∫

U

fφ dx = 0

para toda φ ∈ C∞c (U). Entao f ≡ 0 L n-q.s. em U .

Demonstracao. Veja [1], Lema 3.31, p.74.

18

Capıtulo 3

O Teorema Classico de Gauss-Green

O presente capıtulo tem como objetivo demonstrar a Formula de Gauss-Green (tambem

chamado a formula de integracao por partes) em suas varias versoes: para funcoes su-

aves, funcoes de Sobolev e funcoes de Variacao Limitada em domınios cujos bordos sao

Lipschitz, e usa-lo para fornecer uma nocao sobre o traco para estas funcoes.

E bem sabido que nao faz sentido definir uma funcao f em um conjunto de medida nula

quando esta fora definida quase sempre. Consequentemente, lembrando que a fronteira

∂U tem medida L n nula para todo conjunto aberto U , nao ha trivialmente um significado

para os “valores de f”sobre ∂U .

A nocao do traco que estudaremos neste capıtulo resolvera esse problema para funcoes

de Sobolev e funcoes BV , quando ∂U e Lipschitz; e note que, pelo Teorema de Radama-

cher, ∂U ira possuir um campo normal em H n−1 quase sempre. No caso de f continua

ate o fecho de U , temos que f assume valores em ∂U no sentido usual. As secoes deste

capıtulo foram baseadas em [2], [12],[16] e [23], e utilizaremos a notacao do Apendice A.

3.1 Integracao sobre Fronteiras Lipschitz


Definicao 3.1. Dizemos que a fronteira ∂U e Lipschitz (respectivamente, classe Ck para

k = 1, . . . ) se para cada x0 ∈ ∂U , existe r > 0 e uma aplicacao Lipschitz (respectivamente,

19

classe Ck para k = 1, . . . ) γ : Rn−1 −→ R tal que

U ∩Q(x0; r) := y : γ(y1, . . . , yn−1) < yn ∩Q(x0; r).

onde Q(x0, r) e um cubo aberto.

Em outras palavras, a fronteira de U e localmente o grafico de uma funcao Lipschitz.

x0

γ

Figura 3.1: Uma fronteira Lipschitz.

Observacao 3.2. Fixemos uma funcao Lipschitz γ : Rn−1 −→ R e um conjunto aberto

limitado em Rn. O grafico de γ sobre U e

G(γ;U) = (x, γ(x)) : x ∈ U,

e podemos considerar como a imagem de uma aplicacao injetiva Γ : Rn−1 −→ Rn por

Γ(x) = (x, γ(x)). Entao, usando o Teorema de Ramacher,

Df =

1 0 . . . 0

0 1 . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . 1

∂γ∂x1

∂γ∂x2

. . . ∂γ∂xn−1

n×(n−1)

Logo o Jacobiano J Γ =√

1 + |∇γ|2, e consequentemente

H n−1(G(γ;U)) =

∫U

√1 + |∇γ|2dx.

Alem disso, novamente pelo Teorema de Rademacher, o campo normal exterior ν a ∂U

existe H n−1 quase sempre sobre ∂U .

20

Agora, dado xj ∈ ∂U, j ≥ 1, vamos escolher uma vizinhanca de xj como segue: seja

(−αji , αji ), i = 1, . . . , n− 1, intervalos abertos de R, e ponha

Ωj =n−1∏i=1

(−αji , αji )

tal que xj ∈ Ωj × (−r, r). Definiremos uma aplicacao ψj(x) = (x′, xn + γj(x′)) para todo

x ∈ Ωj × (−r, r), onde r e γj sao como na definicao (3.1), e x′ e escolhido de modo que

x = (x′, xn) ∈ Rn. Alem disso, note que ψj e um homeomorfismo sobre a sua imagem, e

escreva para todo j ≥ 1,

1. U+j = Ωj × (0, r),

2. U−j = Ωj × (−r, 0), e

3. U0j = Ωj × 0.

U+j

U−j

U0j

ψj

xn

x′

ψj(U+j )

ψj(U−j )

ψj(U0j )

Figura 3.2: Uma fronteira suave.

Logo ψj(U+j ) ⊂ U , ψj(U

−j ) ⊂ Rn − U e ∂U ⊆ ∪∞j=1ψj(U

0j ). Agora, se U e limitado, entao

existe um inteiro positivo N tal que

∂U =N⋃j=1

ψj(U0j )

O Teorema que enunciaremos a seguir sera bastante util no decorre deste capıtulo ao

afirmar a existencia da particao da unidade, e pode ser encontrado em [1].

Teorema 3.3. Seja G uma cobertura aberta de um conjunto E ⊂ Rn. Entao existe uma

familia F de funcoes ξ ∈ C∞c (Rn) tal que:

1. Para cada ξ ∈ F , existe U ∈ G tal que spt ξ ⊂ U .

21

2. Se F ⊂ E e compacto, entao spt ξ ∩ F 6= ∅ para somente um numero finito de

ξ ∈ F .

3.∑

ξ∈F ξ(x) = 1 para cada x ∈ F .

Demonstracao. Veja [1], Teorema 3.15, p.65.

Agora, iniciaremos o estudo da Formula de Gauss-Green pelo caso que chamaremos

de classico, isto e, para campos suaves em domınios cujas fronteiras sao localmente o

grafico de funcoes Lipschitz.

Teorema 3.4 (Formula de Gauss-Green). Seja U um conjunto aberto limitado do Rn

com ∂U e Lipschitz. Se ϕ ∈ C1(U ; Rn), entao∫U

div ϕ dx =

∫∂U

ϕ · ν dH n−1 (3.1)

onde ν e o campo normal unitario definido H n−1 quase sempre sobre ∂U .

Demonstracao. Fixe ϕ ∈ C1(U ; Rn). Como ∂U e um conjunto compacto, existe uma

cobertura aberta finita que ainda cobre ∂U , digamos Vk , k = 1, . . . , N . Entao pelo

Teorema (3.3) que, existe uma particao da unidade ξiNi=o subordinada aos conjuntos

abertos Vk , k = 1, . . . , N , isto e, existe uma sequencia de funcoes suaves ξiNi=o tal que ξk ∈ C∞c (Vk), 0 ≤ ξk ≤ 1, (k = 1, . . . , N)∑Nk=1 ξk = 1 em ∂U.

Entao ∫U

div ϕ dx =

∫U

div

(ϕ−

N∑k=1

ξkϕ

)dx+

∫U

div

( N∑k=1

ξkϕ

)dx

=

∫U

div(λϕ)dx+N∑k=1

∫U∩Vk

div(ξkϕ)dx, (3.2)

onde λ ≡ 1−∑N

k=1 ξk em U . Afirmamos que o primeiro termo do lado direito de (3.2) e

zero. De fato, pelo Teorema de Fubini e como λ ≡ 0 sobre ∂U , obtemos:∫U

div(λϕ)dx =n∑j=1

∫∫. . .

∫∂

∂xj(λϕ)dxj · · · = 0. (3.3)

22

Agora, considere ϕ′ := (ϕ1, . . . , ϕn−1) e γk como na definicao de fronteira Lipschitz, e uma

vez que ψk(U+k ) = Vk ∩U e |Jψ−1

k (x)| = |Jψk(x)| = 1 H n−1 quase sempre, k = 1, . . . , N ,

entao obtemos∫U∩Vk

div(ξkϕ)dx =

∫U+

k

div(ξkϕ)[ψ−1k (y)] dy

=

∫U+

k

n∑j=1

∂(ξkϕj)

∂xj

∂xj∂yj

+∂(ξkϕj)

∂xn

∂xn∂yj

dy

=

∫U+

k

n−1∑j=1

∂(ξkϕj)

∂xj− ∂(ξkϕj)

∂xn· ∂γk∂xj

+∂(ξkϕn)

∂xn

dx

=n−1∑k=1

∫U+

k

∂(ξkϕj)

∂xjdx+

∫U+

k

∂

∂xn

ξk(ϕn −∇γk · ϕ′)

dx

=

∫Ωk

ξk(∇γk.ϕ′ − ϕn)[ψk(x′, 0)]dx′, (3.4)

para todo k = 1, . . . , n, onde na ultima igualdade e obtida integrando em cada direcao

xi (i = 1, . . . , n). Agora, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar derivada para γk

em H n−1 quase sempre; de modo que obtemos a normal exterior a Vk ∩ ∂U ,

νk :=(∇γk,−1)√1 + |∇γk|2

, (3.5)

definida em H n−1 quase sempre, e note que νk = ν sobre Vk ∩ ∂U ; onde ν e o campo

normal unitario definido H n−1 quase sempre sobre ∂U . Entao, por (3.2), (3.3), (3.4) e

(3.5), obtemos∫U

div ϕ dx =N∑k=1

∫Ωk

ξk(ϕ · νk)(√

1 + |∇γk|2)[ψk(x′, 0)] dx′

=N∑k=1

∫ψk(U0

k )

ξk(ϕ · νk)(√

1 + |∇γk|2) dx′.

Finalmente, como ν e o campo normal unitario definido H n−1 quase sempre sobre a

fronteira de U , e como

Jψk(x′, 0) =

√1 + |∇γk|2 e ∂U =

N⋃j=1

ψj(U0j ).

Entao pela Formula de Mudanca de Variavel (2.40), obtemos a identidade (3.1), o que

completa a prova.

23

Claramente o teorema anterior e, tambem, valido se a fronteira do domıno da ϕ for

suave. Alem disso,pela deomnstracao poderıamos assumir no Teorema (3.3) apenas que

f pertenca a C1(U ; Rn)∩C0(U ; Rn). A seguir veremos uma aplicacao direta da Formula

de Gauss-Green, a chamada Formula de Integracao por Partes.

Corolario 3.5 (Formula de Integracao por Partes). Seja U um conjunto aberto limitado

do Rn com ∂U Lipschitz. Se ϕ ∈ C1(U ; Rn), entao para toda φ ∈ C∞(Rn),∫U

φ div ϕ dx = −∫U

ϕ · ∇φ dx+

∫∂U

φ(ϕ · ν) dH n−1,

onde ν e o campo normal unitario definido H n−1 quase sempre em ∂U .

Por fim, convem observar que a medida de Hausdorff e a medida natural para trabalhar

com esses tipos de conjuntos que nao sao regulares no sentido da Geometria Diferencial.

De fato, ela nos permitira definir uma dimensao s de conjuntos no Rn, e dota-los com

uma medida associada a essa dimensao sobre Rn para algum s com 0 ≤ s ≤ n. Essa

medida sera usada indestintamente ao longo dessa disertacao.

3.2 Espacos de Sobolev

Seja U um conjunto aberto do Rn e seja α um multi-ındice.

3.2.1 Consideracoes Gerais

A seguir definiremos uma nocao de convergencia para o espaco das funcoes suaves com

suporte compacto, isto e, em C∞c (U).

Definicao 3.6. Diz-se que uma sequencia φn∞n=1 converge a φ em C∞c (U), e escrevemos

φn → φ em C∞c (U), se

1. existe um conjunto compacto K ⊂ U tal que spt(φn) ⊂ K para todo n = 1, . . . ; e

2. limn→∞Dαφn = Dαφ uniformente sobre K, para todo multi-ındice α.

Ainda, o espaco C∞c (U), munido dessa nocao de convergencia, sera denotado por D(U),

e seus elementos sao chamados de funcoes testes.

Definicao 3.7. Uma distribuicao em U e uma transformacao linear contınua sobre D(U).

24

O valor da distribuicao T em φ sera denotado por⟨T, φ

⟩, e o espaco de todas as das

distribuicoes sera denotado por D′(U).

Exemplo 3.8. Seja U = Rn. Definamos⟨δ, φ⟩

= φ(0), φ ∈ D(U). Claramente δ e um

funcional linear contınuo. Essa distribuicao e chamada de “delta de Dirac”.

Exemplo 3.9. Suponha que f ∈ L1loc(U), e considere o seguinte operador linear T :

D(U) −→ R definido por

⟨T, φ

⟩=

∫Rn

fφ dx, φ ∈ D(U)

Claramente, T e uma distribuicao; e afirmamos que T e univocamente determinado por

f . De fato, suponha que existam f, g ∈ L1loc(U) tais que

⟨T, φ

⟩=∫

Rn fφ dx e⟨T, φ

⟩=∫

Rn gφ dx para toda φ ∈ D(U). Portanto, para toda φ ∈ D(U),∫

Rn(f − g)φ dx = 0;

entao, pelo Lema de Du Bois Raymond (2.45), f = g L n-q.s. Por essa razao, podemos

identificar f com uma distribuicao associada. Agora, por abuso de notacao, escreveremos

f(φ) =∫

Rn fφ dx para toda φ ∈ D(U).

Convem observar que dada uma funcao f ∈ C1(U), entao se φ ∈ C∞c (U) segue pela

Formula de Integracao por Partes (3.5) que

−∫U

fxiφdx =

∫U

fφxidx (i = 1, . . . , n).

Note que nao ha termo sobre o bordo , pois a funcao de teste φ tem suporte compacto

em U . Mais geralmente, se f ∈ Ck(U) e α e um multi-ındice tal que |α| ≤ k, entao

(−1)|α|∫U

φ g dx =

∫U

f Dαφ dx,

onde g = Dαf . Alem disso, esta igualdade faz sentido se g, f ∈ L1loc(U). O que motivara

a definicao da chamada derivada fraca de uma funcao f ∈ L1loc(U).

Definicao 3.10. Seja f ∈ L1loc(U). Dizemos que g ∈ L1

loc(U) e a α-esima derivada parcial

fraca de f , se

(−1)|α|∫U

φ g dx =

∫U

f Dαφ dx,

para toda φ ∈ D(U) e, ainda, dizemos que g = Dαf existe no sentido fraco. Se nao existe

tal funcao g, entao f nao possui α-esima derivada parcial fraca.

25

Exemplo 3.11. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as funcoes

u(x) =

x, se 0 < x ≤ 1

1, se 1 ≤ x < 2

e

v(x) =

1, se 0 < x ≤ 1

0, se 1 < x < 2.

Afirmamos que u′ = v existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U), temos∫U

uφ′dx =

∫ 1

0

xφ′ +

∫ 2

1

φ′dx

= −∫ 1

0

φdx+ φ(1)− φ(1) = −∫ 2

0

vφ dx

Logo existe a derivada u′ = v no sentido fraco.

Exemplo 3.12. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos a funcao

u(x) =

0, se 0 < x ≤ 1

1, se 1 ≤ x < 2

Afirmamos que u′ nao existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U),

suponhamos que existe v ∈ L1loc(U) tal que∫ 2

0

uφ′dx = −∫ 2

0

vφ dx.

Consequentemente,

−∫ 2

0

vφ dx =

∫ 2

0

uφ′dx =

∫ 2

1

φ′dx = −φ(1).

Agora, seja φk∞k=1 uma sequencia de funcoes suaves tais que 0 ≤ φk ≤ 1, φm(1) = 1

e φk(x) → 0 para todo x 6= 1. Entao trocando φ por φk em (3.6), e pelo Teorema da

Convergencia Dominada, obtemos

1 = limk→∞

φk(1) = limk→∞

(∫ 2

0

vφk dx

)= 0,

uma contradicao.

26

Exemplo 3.13. Sejam n = 1 e U = (0, 2). Consideremos as funcoes

u(x) =

x, se 0 < x ≤ 1

2, se 1 < x < 2.

Afirmamos que u′ nao existe no sentido fraco. De fato, para qualquer φ ∈ C∞c (U),

suponhamos que existe v ∈ L1loc(U) tal que∫ 2

0

uφ′dx = −∫ 2

0

vφ dx.

Consequentemente,

−∫ 2

0

vφ dx =

∫ 2

0

uφ′dx

=

∫ 1

0

xφ′dx+ 2

∫ 2

1

φ′dx = −∫ 1

0

φ dx− φ(1). (3.6)

Agora, seja φk∞k=1 uma sequencia de funcoes suaves tais que 0 ≤ φk ≤ 1, φm(1) = 1

e φk(x) → 0 para todo x 6= 1. Entao trocando φ por φk em (3.6), e pelo Teorema da

Convergencia Dominada, obtemos

1 = limk→∞

φk(1) = limk→∞

(∫ 2

0

vφk dx−∫ 1

0

φk dx

)= 0,

uma contradicao.

Claramente, se f e suave de modo que exista a α-esima derivada parcial Dαf no sen-

tido usual (classico), entao Dαf sera tambem uma α-esima derivada parcial no sentido

fraco. Alem disso, e facil verificar que Dαf quando existe e unico a menos de um con-

junto de medida L n nula (veja [11]). Agora, motivados pela definicao de derivada fraca

definiremos a derivada no sentido das distribuicoes.

Definicao 3.14. Seja T ∈ D′(U). Dizemos que DαT e a α-esima derivada distribucional

se⟨DαT, φ

⟩= (−1)|α|

⟨T,Dαφ

⟩para toda φ ∈ C∞c (U).

Observe que se T e DαT forem definidas por funcoes em L1loc(U) entao as definicoes de

derivada fraca e distribuicional coincidem. Agora, definiremos certos espacos de funcoes,

cujos elementos possuem derivada fraca de varias ordens o que nao e verdadeiro em alguns

espacos Lp.

27

Definicao 3.15. Seja 1 ≤ p ≤ ∞.

1. Para todo inteiro positivo k, o Espaco de Sobolev,

W k,p(U),

consiste de todas as funcoes f ∈ Lp(U) tais que Dαf ∈ Lp(U) existe no sentido

fraco para todo |α| ≤ k.

2. A funcao f ∈ W k,ploc (U) se f ∈ W k,p(V ) para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U .

3. Dizemos que f e uma funcao de Sobolev se f ∈ W 1,ploc (U) para algum 1 ≤ p ≤ ∞.

Exemplo 3.16. A funcao definida no exemplo (3.11) pertence a W 1,1(0, 2), por outro

lado, a funcoes definida no exemplo (3.12) nao pertence a este espaco. Alem disso, se

E e um conjunto aberto de R com fronteira suave, entao a funcao caracterıstica nao

pertence a W 1,1loc (U) para algum conjunto aberto U .

Se p = 2, W k,2(U) (k = 1, . . . ) e um espaco de Hilbert, usualmente denotado por

Hk(U); e neste caso, note que H0(U) = L2(U). Ainda, o espaco de Sobolev W k,p(U) e

um espaco normado equipado com a norma

||f ||W p,k(U) :=

(∑

|α|≤k∫U|Dαf |pdx

) 1p , 1 ≤ p <∞∑

|α|≤k ess supU |Dαf |, p = ∞

a qual e claramente equivalente a norma∑

|α|≤k ||Dαf ||Lp(U), e podemos verificar que

W k,p(U) e um espaco de Banach (veja [11], Teorema 2, p.249.). Alem disso, se existe

uma sequencia limitada fk∞k=1 em W 1,p(U), onde U e um conjunto aberto limitado com

fronteira Lipschitz e 1 < p < n, entao existem uma subsequencia fkj∞j=1 e f ∈ W 1,p(U)

tais que fkj→ f em Lq(U), para cada 1 ≤ q < pn

n−p (veja [12], Teorema 1, p.144); neste

caso, dizemos que W 1,p(U) esta compactamente imerso em Lq(U), W 1,p(U) → Lq(U).

Agora, veremos no proximo resultado, que poderemos aproximar funcoes f ∈ W 1,p(U),

onde 1 ≤ p < ∞, por funcoes em C∞(U). Em outras palavras, mostraremos que o

conjunto das funcoes f ∈ C∞(U) tal que a norma ||f ||Wk,p(U) <∞ e denso em W k,p(U), e

note que nao exigimos nenhuma regularidade sobre o bordo de U . Aqui, faremos a prova

somente para o caso mais simples: quando U = Rn. O caso geral, faz uso da particao da

unidade e pode ser encontrado em [12].

28

Teorema 3.17. Seja f ∈ W k,p(U) para algum 1 ≤ p < ∞. Entao existe uma sequencia

fm ∈ W k,p(U) ∩ C∞(U), m = 1, . . . tal que fm → f em W k,p(U).

Demonstracao. Assuma que U = Rn e fixe ε > 0. Defina fε := ηε ∗ f ; logo fε → f em

Lp(U) quando ε→ 0. Afirmamos que Dαfε = ηε ∗Dαf para todo multi-ındice α tal que

|α| ≤ k. De fato,

Dαfε(x) =

∫U

Dαxηε(x− y)f(y) dy

= (−1)|α|∫U

Dαy ηε(x− y)f(y) dy

= (−1)2|α|∫U

ηε(x− y)Dαf(y)dy (pela definicao (3.8))

= ηε ∗Df(x)

Logo Dαfε → Dαf em Lp(U) quando ε→ 0, o que completa a prova.

O teorema que enunciaremos a seguir (veja [12]) nos permitirar aproximarmos funcoes

f ∈ W 1,p(U), onde 1 ≤ p <∞, por funcoes em C∞(U) quando U e um conjunto aberto

limitado; no entanto, necessitamos de alguma condicao geometrica sobre o bordo de U ,

a saber, que a fronteira ∂U seja Lipschitz.

Teorema 3.18. Seja U limitado com ∂U e Lipschitz. Se f ∈ W 1,p(U) para algum

1 ≤ p < ∞, entao existe uma sequencia fm ∈ W 1,p(U) ∩ C∞(U), m = 1, . . . , tal que

fm → f em W 1,p(U)


3.2.2 Formula de Gauss-Green para funcoes W 1,p

No que se segue passaremos a estudar a Formula de Gauss-Green para funcoes W 1,p(U)

com 1 ≤ p < ∞. Como dito anteriormente, nao faz sentido definir a “restricao”de um

funcao em um conjunto de medida nula quando esta fora definida quase sempre. No

entanto, a importancia de se estudar problemas de valor de fronteira para operadores

diferenciaveis em algum domınio U cria naturalmente uma questao: qual o significado

que podemos atribuir a f sobre os valores da fronteira de U ; ou mais formalmente, em

qual espaco de funcoes definido sobre ∂U que contem o traco Tf para a funcao f .

29

O Teorema (3.19) resolvera este problema para funcoes de Sobolev em conjuntos

abertos e limitados com fronteira Lipschitz. Aqui seguiremos a demonstracao de [12] e

usaremos a notacao do Apendice A.

Teorema 3.19 (Formula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U Lips-

chitz e 1 ≤ p <∞. Entao

1. Existe um operador linear limitado

T : W 1,p(U) −→ Lp(∂U ; H n−1)

tal que Tf = f em ∂U para toda f ∈ W 1,p(U) ∩ C(U).

2. Alem disso, para toda φ ∈ C1(Rn; Rn) e f ∈ W 1,p(U),∫U

f div φ dx = −∫U

Df · φ dx+

∫∂U

(φ · ν)Tf dH n−1 (3.7)

onde ν denota o campo normal unitario exterior a ∂U .

Agora, defiremos o traco de uma funcao de Sobolev sobre uma fronteira Lipschitz

como o operador linear limitado Tf em (3.7). Mais precisamente:

Definicao 3.20. Dizemos que Tf , o qual e unico a menos de um conjunto de medida

H n−1b∂U nula, e o traco de f sobre a fronteira de U . Interpretaremos Tf como o “valor

de fronteira” de f sobre ∂U .

Demonstracao. Fixe x ∈ ∂U e ε > 0. Como ∂U e Lipschitz, existe r > 0 e uma aplicacao

Lipschitz γ : Rn−1 −→ R tais que

U ∩Q(x; r) := y : γ(y1, . . . , yn−1) < yn ∩Q(x; r).

onde y = (y1, . . . , yn−1, yn) ∈ Rn. Escreva Q ≡ Q(x; r), e suponha inicialmente que

f ∈ C1(U) e que f ≡ 0 em Rn −Q. Afirmamos que existe q > 0 tal que

−en · ν ≥ q > 0 H n−1-q.s. em Q ∩ ∂U.

30

De fato, como γ e uma funcao Lipschitz, pelo Teorema de Radamacher, podemos tomar

derivadas em quase todo ponto

−en · ν = −en ·

((∇γ,−1)√1 + |∇γ|2

)≥ 1√

1 + |∇γ|2

≥ 1√1 + Lip(γ)2

> 0.

Entao, a afirmacao segue pondo

q =1√

1 + Lip(γ)2.

Agora, definiremos βε(t) = (t2 + ε2)12 − ε para todo t ∈ R, e note que |β′ε| ≤ 1. Entao,

calculemos:∫∂U

βε(f)dH n−1 =

∫Q∩∂U

βε(f)dH n−1

≤ C

∫Q∩∂U

βε(f)(−en · ν)dH n−1

= −C∫Q∩U

∂yn(βε(f))dx (pelo Teorema (5.9))

≤ C

∫Q∩U

|β′ε(f)||∂ynf |dx

≤ C

∫Q∩U

|β′ε(f)||Df |dx

≤ C

∫Q∩U

|Df |dy.

Entao passando ao limite quando ε → 0, pelo Teorema da Convergencia Dominada,

obtemos ∫∂U

|f |dH n−1 ≤ C

∫U

|Df |dx.

Agora, suponhamos que f ∈ C1(U). Como ∂U e um conjunto compacto entao existe um

numero finito de cubos abertos tais que

∂U ⊂N⋃i=1

Qi e

∫∂U∩Qi

|f |dH n−1 ≤∫U∩Qi

|Df |dx, (3.8)

31

onde Q ≡ Q(xi; ri). Pelo Teorema (3.3), existe uma particao da unidade sobre U subor-

dinada a Qi, i = 1, . . . , N . Entao∫∂U

|f |dH n−1 =

∫∂U

N∑i=1

ξi|f |dH n−1

≤N∑i=1

∫∂U∩Qi

|f |dH n−1

≤N∑i=1

∫U∩Qi

|Df |dx

≤ C

∫U

|f |+ |Df |dx,

onde ξiNi=1 e particao associada a cobertura Qi, i = 1, . . . , N . Assim, para 1 < p <∞,

aplicando a estimativa acima com |f |p no lugar de |f | para obtermos∫∂U

|f |pdH n−1 ≤ C

∫U

(|Df ||f |p−1 + |f |p)dx

≤ C

∫U

(|Df |p

p+|f |(p−1)q

q+ |f |p

)dx

≤ C

∫U

(|Df |p + |f |p)dx.

Agora, definimos um operador linear T : C1(U) −→ Lp(∂U ; H n−1) por

Tf :=N∑i=1

ξif

para toda f ∈ C1(U). Note que Tf := f |∂U e ||Tf ||Lp(∂U) ≤ C||f ||W 1,p(U) para toda

f ∈ C1(U), logo T e um operador linear limitado para toda f ∈ C1(U). Finalmente,

suponha que f ∈ W 1,p(U). Entao existe uma sequencia fk∞k=1 em W 1,p(U) ∩ C∞(U)

tal que fk → f em W 1,p(U), e afirmamos que Tfk∞k=1 e uma sequencia de Cauchy. De

fato, temos que

||Tfm − Tfl||Lp(∂U) = ||T (fm − fl)||Lp(∂U) ≤ C||fm − fl||W 1,p(U) (3.9)

Passando ao limite quando l, m→∞ em (3.9), segue que Tfk∞k=1 e uma sequencia de

Cauchy em Lp(∂U ; H n−1). Portanto, existe o limite de Tfk∞k=1 quando k → ∞; pois

Lp(∂U ; H n−1) e um espaco completo. Assim, defina

Tf := limk→∞

Tfk.

32

para toda f ∈ W 1,p(U) ∩ C(U); o completa a prova da primeira afirmacao. Final-

mente para ver (3.7), apliquemos a Formula de Gauss Green Classica para uma sequencia

fk∞k=1 em W 1,p(U) ∩ C∞(U),∫U

fk div φ dx = −∫U

Dfk · φ dx+

∫∂U

(φ · ν)Tfk dH n−1 (3.10)

para toda φ ∈ C1c (Rn; Rn). Agora, passando ao limite quando k →∞, usando o Teorema

da Convergencia Dominada obtemos (3.7); o que completa a prova da segunda afirmacao.

3.3 Funcoes de Variacao Limitada


3.3.1 Consideracoes Gerais

Definicao 3.21. .

1. Dizemos que f ∈ L1(U) e uma funcao de variacao limitada em U, e denotamos por

f ∈ BV (U), se o gradiente ∇f no sentido das distribuicoes e uma medida de Radon

finita em U .

2. Dizemos que f e uma funcao de variacao limitada local, e denotamos f ∈ BVloc(U),

se f ∈ BV (V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U .

Em outras palavras, f ∈ BV (U) se, e somente, existe ∇f em M(U ; Rn) finita tal que

para i = 1, . . . , n, ∫U

f φxidx = −

∫U

φ d(Dif),

para toda φ ∈ C1c (U), onde ∇f = (D1f, . . . , Dnf) em U ; ou equivalentemente,∫

U


φ · d(∇f),

para toda φ ∈ C1c (U ; Rn). Alem disso, para simplificar escreveremos∫

U


φ · ∇f, (3.11)

para toda φ ∈ C1c (U ; Rn).

33

Agora, definiremos a chamada variacao de uma funcao f ∈ L1loc(U), e juntamente

com Teorema (3.24) fornecera um criterio util para saber se f e uma funcao de variacao

limitada (para detalhes veja [2]).

Definicao 3.22. A variacao V (f ;U) de uma funcao f ∈ L1loc(U) em U e definido por

V (f ;U) = sup

∫U

f div φ dx : φ ∈ C1c (U ; Rn), ||φ||L∞ ≤ 1

. (3.12)

No exemplo a seguir, observemos que para toda funcao f ∈ W 1,1(U) tem variacao

finita. Em particular, veremos que toda funcao de Sobolev tem localmente variacao

limitada.

Exemplo 3.23. Suponha que f e uma funcao de Sobolev,isto e, f ∈ W 1,1(U), entao

temos a seguinte igualdade

V (f ;U) =

∫U

|Df |dx.

De fato, trivialmente V (f ;U) ≤∫U|Df |dx. E suficiente provar a desigualdade oposta,

para tal fixe ε > 0, e escolha φ como (Df)ε

|Df | , onde Dfε = ηε ∗Df , entao

V (f ;U) ≥∫U

f divφ dx =

∫U

(Df)ε ·Df|Df |

dx. (3.13)

Passando ao limite quando ε → 0, obtemos V (f ;U) ≥∫U|Df |dx. Tambem observe que

a mesma igualdade e valida se f e de classe C1.

Tendo em vista, a definicao de variacao de uma funcao f ∈ L1loc(U), note que a

variacao da mesma pode ser infinita. Neste caso, veremos atraves do Teorema (3.24), que

pode se encontrado em [2], que esta nao sera uma funcao de variacao limitada.

Teorema 3.24. Seja f ∈ L1(U). Entao f ∈ BV (U) se, e somente se, V (f ;U) < ∞.

Alem disso, V (f ;U) = ||∇f ||(U).

Demonstracao. Suponhamos que f seja uma funcao de variacao limitada, ou seja, f ∈

BV (U). Fixemos φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, entao temos que

−∫U

f div φ dx =

∫U

φ · ∇f ≤∫U

d||∇f ||.

34

Como |φ| ≤ 1, segue que V (f ;U) ≤ ||∇f ||(U) < ∞ Reciprocamente, definimos um

operador linear L : C1c (U ; Rn) −→ R por

L(φ) := −∫U

f div φ dx

para toda φ ∈ C1c (U ; Rn). Observemos que |L(φ)| ≤ V (f ;U)||φ||L∞ . Fixemos um con-

junto compacto K ⊂ U , e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U . Para cada

φ ∈ Cc(U ; Rn) com spt(φ) ⊂ K, existe uma sequencia φk ∈ C1(V ; Rn), k = 1, . . . , tal que

φk → φ uniformente em V . Definimos L(φ) := limk→∞ L(φk), para todo φ ∈ Cc(U ; Rn).

Pela desigualdade |L(φ)| ≤ V (f ;U)||φ||L∞ , vemos que L esta bem-definido e, ainda, pode

ser estendida ao operador linear L : Cc(U ; Rn) −→ R tal que

supL(φ) : φ ∈ Cc(U ; Rn), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K <∞.

Finalmente, pelo Teorema de Representacao de Riesz, existe uma unica medida de Radon

vetorial µ tal que

L(φ) :=

∫U

φ · dµ.

Portanto, f e uma funcao de variacao limitada, isto e, f ∈ BV (U). Ainda, para cada

φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, entao |L(φ)| ≤ V (f ;U), logo ||∇f ||(U) ≤ V (f ;U).

Exemplo 3.25. Suponhamos que f ∈ W 1,1(U), entao pelo Exemplo (3.23) e o teorema

anterior, f ∈ BV (U), logo W 1,1(U) ⊂ BV (U), e analogamente, W 1,1loc (U) ⊂ BVloc(U).

Em particular, W 1,ploc (U) ⊂ BVloc(U) para 1 ≤ p ≤ ∞. Consequentemente, toda funcao de

Sobolev tem variacao limitada local.

Exemplo 3.26. Seja u a funcao do Exemplo (3.13), entao u ∈ BV (0, 2) (veja [12],

Teorema 1, p.217). Agora, suponhamos que E seja um conjunto do Rn limitado com

fronteira suave tal que H n−1(∂E ∩ K) < ∞, para todo conjunto compacto K ⊂ U .

Entao, para cada conjunto aberto V ⊂⊂ U e φ ∈ C1c (V ; Rn), |φ| ≤ 1, temos∫

E

div φ dx =

∫∂E∩V

φ · ν dH n−1 ≤ H n−1(∂E ∩ V ) <∞.

Logo, XE ∈ BVloc(U); apesar de XE /∈ W 1,1loc (U). Portanto, as inclusoes do exemplo

anterior sao restritas, isto e, nem todas as funcoes de variacao limitada local e tambem

uma funcao de Sobolev.

35

Exemplo 3.27 (Aproximacao de Cantor-Vitali). Considere uma sequencia de funcoes

Vk : [0, 1] −→ R definida indutivamente por V0(x) = x e

Vk+1(x)

12Vk(x) se x ∈ [0, 1

3]

12

se x ∈ [13, 2

3]

12

+ 12Vk(3(x− 2

3)) se x ∈ [2

3, 1].

Figura 3.3: O grafico de uma funcao V3.

para todo inteiro positivo k. Agora, podemos verificar que Vk(0) = 0, Vk(1) = 1 e

|Vk+1(x)− Vk(x)| ≤1

3(2k+1)(k = 1, . . . ) (3.14)

Por (3.14), Vk∞k=1 e uma sequencia de Cauchy em C ([0, 1]), consequentemente converge

uniformente em [0, 1] para alguma funcao contınua V , chamada a funcao de Cantor-

Vitali. Finalmente, V tem variacao limitada em (0, 1), V ∈ BV (0, 1), pois V e uma

sequencia nao decrescente, e V (0) = 0, V (1) = 1. (Veja [17], p.19).

Agora, pelo Teorema (3.24) e facil mostrar que o espaco BV (U) e um espaco normado

equipado com a norma

||f || := ||f ||L1(U) + ||∇f ||(U), (3.15)

e podemos verificar que BV (U) e um espaco de Banach (veja [16], p.9). Alem disso, se

f ∈ L1(U), entao f ∈ BV (U) se, e somente se, a norma ||f ||BV (U) < ∞; e se existe

uma sequencia limitada fk∞k=1 em BV (U), onde U e um conjunto aberto limitado com

fronteira Lipschitz, entao existem uma subsequencia fkj∞j=1 e f ∈ BV (U) tais que

fkj→ f em L1(U) (veja [12], Teorema 1, p.176); neste caso, dizemos que BV (U) esta

compactamente imerso em L1(U), BV (U) → L1(U).

36

Os proximos resultados dizem respeito a Semi-continuidade Inferior e a aproximacao

por funcoes suaves e podem ser encontrados em [12],[16] e [23].

Teorema 3.28 (Semi-continuidade Inferior). Se fk ∈ BV (U), k = 1, . . . , e fk → f em

L1loc(U). Entao f ∈ BV (U) e

||∇ f ||(U) ≤ lim infk→∞

||∇fk||(U).

Demonstracao. Fixemos φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1. Entao pelo Lema de Fatou (2.16),∫

U

f div φ dx = limk→∞

∫U

fk div φ dx ≤ lim infk→∞

||∇fk||(U).

Portanto, ||∇f ||(U) ≤ lim infk→∞ ||∇fk||(U).

O proximo teorema sera usado para demonstrar o Teorema (3.31). Aqui, faremos a

prova somente para o caso mais simples, isto e, quando U = Rn; o caso geral, faz uso da

particao da unidade e pode ser encontrado em [12].

Teorema 3.29 (Aproximacao por Funcoes Suaves). Seja f ∈ BV (U). Entao existe

uma sequencia fk ∈ BV (U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1(U) e

limk→∞ ||∇Fk||(U) = ||∇F ||(U).

Demonstracao. Assuma que U = Rn e fixe ε > 0. Defina fε := ηε ∗ f ; logo fε → f em

L1(U) quando ε→ 0. Agora, pelo Teorema (3.28) e suficiente mostrar que

lim supε→0

||∇fε||(U) ≤ ||∇f ||(U). (3.16)

De fato, fixe φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, temos que∫

U

fε div φ dx =

∫U

(∫U

ηε(x− y)f(y) dy

)div φ dx

=

∫U

(∫U

ηε(x− y)div φ dx

)f(y) dy

=

∫U

(ηε ∗ div φ)f dy

=

∫U

div (ηε ∗ φ)f dy

≤ ||∇f ||(U).

Logo, obtemos (3.16); o que completa a prova.

37

O proximo corolario faremos a prova somente para o caso mais simples, isto e, quando

U = Rn; o caso geral pode ser encontrado em [12].

Corolario 3.30. Seja f ∈ BV (U). Se fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . e como no Teorema

(3.29). Entao L nb∇fk ∇f em M(Rn; Rn).

Demonstracao. Assuma que U = Rn e escreva µk = L nb∇fk e µ = ∇f entao para toda

φ ∈ C1c (Rn,Rn), ∫

U

φ dµk =

∫U

φ · ∇fk dx = −∫U

fk div φ dx.

Como fk → f em L1(U), passando ao limite quando k → ∞ obtemos que µk

µ em M(Rn; Rn); o que completa a prova.

3.3.2 Formula de Gauss-Green para funcoes BV

Agora, passaremos a estudar a Formula de Gauss-Green para funcoes de variacao limitada

em conjuntos abertos com fronteira Lipschitz. Convem observar que o teorema a seguir e

uma generalizacao do Teorema (3.19) para funcoes de Sobolev. De fato, lembramos que

W 1,ploc (U) ( BVloc(U), veremos que a nocao de traco dada abaixo coincide conforme visto

em (3.20). Aqui seguiremos demonstracao de [12] com a notacao do Apendice A.

Teorema 3.31 (Formula de Gauss-Green). Seja U um conjunto limitado com ∂U e

Lipschitz. Entao existe um operador linear limitado

T : BV (U) −→ Lp(∂U ; H n−1)

tal que ∫U


φ · ∇f +

∫∂U

(φ · ν)Tf dH n−1 (3.17)

para toda φ ∈ C1(Rn; Rn) e f ∈ BV (U), onde ν denota o campo normal unitario exterior

a ∂U .

Agora, podemos definir de modo a nocao sobre o traco de uma funcao BV sobre uma

fronteira Lipschitz do mesmo modo que a definicao (3.20).

Definicao 3.32. Dizemos que Tf , o qual e unico a menos de um conjunto de medida

H n−1b∂U nula, e o traco de f sobre a fronteira de U . Interpretaremos Tf como o “valor

de fronteira” de f sobre ∂U .

38

Demonstracao. Como ∂U e uma fronteria Lipschitz, existe r, h > 0 e uma aplicacao

Lipschitz γ : Rn−1 −→ R tal que max|γ(y′)− xn| y′ ∈ B[x′, r] ≤ h4

e, a menos de uma

rotacao e renomeando os eixos coordenados se necessario, podemos considerar que

U ∩ C(x; r, h) = y ∈ Rn : |x′ − y′| < r, γ(y′) < yn < xn + h,

onde C ≡ C(x; r, h) e um cilindro aberto centrado em x. Inicialmente, suponhamos que

f ∈ BV (U)∩C∞(U). Tomando x ∈ ∂U e r, h, γ como acima. Se 0 < ε < h2

e y ∈ ∂U ∩C,

definiremos uma funcao fε : Rn −→ R por

fε(y) := f(y′, γ(y′) + ε).

Alem disso, considere Cδ,ε o conjunto de todos os y ∈ C tais que γ(y′)+δ < yn < γ(y′)+ε

para todo 0 ≤ δ < ε < h2, e escreva Cε ≡ (C ∩ U)− C0,ε.

Figura 3.4: Um fronteira Lipschitz quanto ao conjunto Cδ,ε.

γ

Cδ,ε

x

h

C

r

U

Entao

|fδ(y)− fε(y)| ≤∫ ε

δ

∣∣∣∣ ∂f∂xn (y′, γ(y′) + t)

∣∣∣∣dt ≤ ∫ ε

δ

|∇f(y′, γ(y′) + t)|dt.

Consequentemente, como γ e uma aplicacao Lipschitz, a Formula de Mudanca de Variavel

implica que∫∂U∩C

|fδ − fε|dH n−1 ≤∫∂U∩C

∫ ε

δ

|∇f(y′, γ(y′) + t)|dt dH n−1

≤ C

∫Cδ,ε

|∇f |dy

= C||∇f ||(Cδ,ε). (3.18)

39

Agora, definimos um operador linear limitado do seguinte modo

Tf := limε→0

fε (3.19)

para toda f ∈ BV (U) ∩C∞(U). Observemos que (3.19) esta bem definido. De fato, por

(3.18), fεε>0 e de Cauchy em L1(∂U ∩ C; H n−1) que, por sua vez, e completo, logo

existe o limite em (3.19). Alem disso, fixando ε > 0 e passando ao limite quando δ → 0

em (3.18), obtemos ∫∂U∩C

|Tf − fε|dH n−1 ≤ C||∇f ||(C0,ε).

Fixemos φ ∈ C1c (C; Rn), entao pelo Teorema de Gauss-Green Classico temos que∫Cε

f div φ dy = −∫Cε

φ · ∇f dy −∫∂U∩C

(φε · ν)fε dH n−1.

Agora, passando ao limite quando ε → 0 e lembrando que a translacao e continua na

norma L1 obtemos∫U∩C

f div φ dy = −∫U∩C

φ · ∇f −∫∂U∩C

(φ · ν)Tf dH n−1.

Como ∂U e um conjunto compacto existe um Ci ≡ C(xi; ri, hi), i = 1, . . . , N tais que

∂U ⊂⋃Ni=1Ci e satisfaz∫

∂U∩Ci

|Tf − fε|dH n−1 ≤ C||∇f ||(Ci0,δ); e

∫U∩Ci

f div φ dy = −∫U∩Ci

φ · ∇f −∫∂U∩Ci

(φ · ν)Tf dH n−1.

Escolha C0 um conjunto aberto tal que U ⊂ ∪Ni=0Ci e satisfaz os itens anteriores. Pelo

Teorema (3.3), existe uma particao da unidade ξiNi=o subordinada aos conjuntos abertos

Ci, i = 0, 1, . . . , N . Entao∫U

f div φ dy =N∑i=0

∫U∩Ci

ξif div φ dy

=N∑i=0

(−∫U∩Ci

φξi · ∇f −∫∂U∩Ci

(φ · ν)TfdH n−1

)= −

∫U

φ · ∇f −∫∂U

(φ · ν)TfdH n−1. (3.20)

Finalmente, suponhamos que f ∈ BV (U), pelo Teorema (3.29), podemos escolher uma

sequencia fk∞k=1 em BV (U)∩C∞(U) tal que fk → f em L1(U), ||∇fk||(U) → ||∇f ||(U)

40

e L nb∇fk ∇f em M(Rn; Rn). Afirmamos que Tfk∞k=1 e uma sequencia de Cauchy

em L1(∂U ; H n−1). De fato, fixe ε > 0 e x ∈ ∂U , definimos

f εk(y) =1

ε

∫ ε

0

fk(y′, γ(y′) + t)dt =

1

ε

∫ ε

0

(fk)t(y)dt

para todo y ∈ ∂U ∩ C. Entao obtemos∫∂∩C

|Tfk − f εk |dH n−1 ≤∫∂∩C

|Tfk(y)−1

ε

∫ ε

0

fk(y)|dH n−1

≤ 1

ε

∫ ε

0

∫∂∩C

|Tfk − (fk)t|dH n−1 ≤ C||∇fk||(C0,ε).

De modo que obtemos a seguinte estimativa:∫∂∩C

|Tfm − Tfn|dH n−1 ≤∫∂∩C

|Tfm − f εm|dH n−1 +

∫∂∩C

|Tfn − f εn|dH n−1

+

∫∂∩C

|f εn − f εm|dH n−1

≤ C(||∇Fm||+ ||∇Fn||)(C0,ε) +C

ε

∫C0,ε

|fm − fn|dy.

Entao

lim supm,n→∞

∫∂∩C

|Tfm − Tfn|dH n−1 ≤ C||∇F ||(C0,ε ∩ U).

Como a quantidade a direita da desigualdade vai a zero quando ε→ 0 obtemos afirmacao.

Agora, definimos um operador linear limitado T : BV (U) −→ L1(∂U ; H n−1) por

Tf := limk→∞

Tfk (3.21)

Observe que (3.21) esta bem definido. De fato, como Tfk∞k=1 e uma sequencia de

Cauchy em L1(∂U ; H n−1), e este, por sua vez, e completo, segue que existe o limite

acima e nao depende da escolha da sequencia fk∞k=1. Finalmente, aplicando (3.20) para

a sequencia fk∞k=1 obtemos∫U

fk div φ dx = −∫U

φ · ∇fkdx−∫∂U

(φ · ν)Tfk dH n−1.

Passando ao limite quando k →∞, usando o Teorema da Convergencia Dominada obte-

mos (3.17); o que completa a prova.

Teorema 3.33. Seja U um conjunto aberto, limitado, com fronteira ∂U Lipschitz. Se

f ∈ BV (U), entao para H n−1 quase todo x ∈ ∂U ,

Tf(x) = limr→0

1

L n(B(x, r) ∩ U))

∫B(x,r)∩U

fdy.


41

Capıtulo 4

Campos de Medida Divergente

Nesse capıtulo passaremos a estudar uma nova classe de espacos vetoriais L∞ os quais

chamaremos de Campos de Medida Divergente, conforme fora introduzido por Chen &

Frid [6]. De modo formal, os campos DM sao campos vetoriais em L∞ cujos divergente

sao medidas de Radon. A motivacao para estudar esses tipos de campos esta em analisar

as solucoes entropicas em L∞ de leis de conservacao hiperbolica nao linear como podemos

ver em [6], [7] e [8].

Muitos dos resultados para campos DM sao analogos para funcoes de variacao limi-

tada, como podemos ver em [12], [16] ou [23]. Alem disso, por completude, a regra do

produto e a nocao de deformacao Lipschitz serao apresentadas conforme introduzidas por

Chen & Frid [6], assim como o traco normal para deformacoes Lipschitz. Essa classe de

campos vetoriais foi inicialmente estudado por Anzelloti [3].

4.1 Definicao e Exemplos

Doravante neste capıtulo, assuma que U seja um conjunto aberto do Rn.

Definicao 4.1. Dizemos que F ∈ L∞(U ; Rn) e um campo de medida divergente em U ,

e denotamos por F ∈ DM(U), se div F no sentido das distribuicoes e uma medida de

Radon (finita) em U .

Em outras palavras, F ∈ DM(U) se, somente se, existe uma medida denotada por

42

div F em M(U) finita tal que∫U

F · ∇φ dx = −∫U

φ div F

para toda φ ∈ C1c (U); onde ∇φ e no sentido usual.

Definicao 4.2. Dizemos que F e um campo de medida de divergente local em U se

F ∈ DM(V ) para todo conjunto aberto V ⊂⊂ U . O espaco de tais funcoes e denotado

por DMloc(U).

Exemplo 4.3. E facil ver que o campo suave

F (x, y) =

(sin

1

x− y, sin

1

x− y

)pertence a DM(R2). De fato, como o divergente no sentido usual e igual zero, isto e,

div F = 0, entao F ∈ DM(R2). Observemos a impossibilidade de fornecer alguma nocao

razoavel para o traco sobre a reta x = y.

Agora, introduziremos alguma notacao: para toda F ∈ L∞(U ; Rn), seja

||div F ||(U) := sup

∫U

F · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U ; R), |φ| ≤ 1

.

O proximo teorema ira nos fornecer um criterio para caracterizar os campos em DM(U),

compare com o Teorema (3.19).

Teorema 4.4. Seja F ∈ L∞(U ; Rn). Entao F ∈ DM(U) se, e somente se,

||div F ||(U) <∞.

Demonstracao. Suponhamos que F seja uma campo de medida divergente. Fixemos

φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1, entao temos que

−∫U

F · ∇φ dx =

∫U

φ div F <∞

Tomando o supremo com relacao a φ, obtemos ||div F ||(U) < ∞. Reciprocamente,

definimos um operador linear L : C1c (U) −→ R por

L(φ) := −∫U

F · ∇φ dx

43

para toda φ ∈ C1c (U). Observemos que |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||L∞ . Fixemos um

conjunto compacto K ⊂ U , e seja V um conjunto aberto V tal que K ⊂ V ⊂⊂ U . Para

cada φ ∈ Cc(U) com spt(φ) ⊂ K, existe uma sequencia φk ∈ C1c (V ), k = 1, . . . , tal que

φk → φ uniformente em V . Definimos L(φ) := limk→∞ L(φk), para todo φ ∈ Cc(U). Pela

desigualdade |L(φ)| ≤ ||div F ||(U)||φ||L∞ , vemos que L esta bem-definido e, ainda, pode

ser estendida ao operador linear L : Cc(U) −→ R tal que

supL(φ) : φ ∈ Cc(U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K <∞.

Finalmente, pelo Teorema de Representacao de Riesz, existe uma unica medida de Radon

µ tal que

L(φ) :=

∫U

φ dµ. (4.1)

Portanto, F e uma campo de medida divergente, isto e, F ∈ DM(U).

Seja F ∈ DM(U). Pela demonstracao do Teorema de Representacao de Riesz

(2.27); temos que ||div F || e uma medida de variacao. Alem disso, uma distribuicao

L : C∞c (U) −→ R definida por (4.1) e uma medida (ou melhor pode ser estendida a uma

medida) se, e somente se, supL(φ) : φ ∈ C∞c (U), |φ| ≤ 1, spt(φ) ⊂ K < ∞ para

todo conjunto compacto K ⊂ U . Neste caso, podemos identificar a medida de Radon

µ = div F com a distribuicao associada L, entao para toda φ ∈ C∞c (U) escreveremos,⟨div F

∣∣U, φ⟩

=

∫U

φ dµ = −∫U

F · ∇φ dx.

Alem disso, podemos verificar que o espaco DM(U) e um espaco vetorial normado equi-

pado com a norma:

||F ||DM(U) := ||F ||L∞(U ;Rn) + ||divF ||(U).

No Teorema (4.9) mostraremos que essa norma faz de DM(U) um espaco de Banach.

Agora, observe que, pelo teorema anterior, o espaco DM(U) pode ser caracterizado como

o conjunto de campos F ∈ L∞(U ; Rn) tal que a norma ||F ||DM(U) <∞.

4.2 Propriedades Elementares em DM

Agora, estamos interessados em algumas propriedades de convergencia de campos DM.

Os resultados que veremos sao analogos para funcoes de variacao limitada e suas demons-

44

tracoes estao baseadas em [12], [16] e [23], e foram realizadas em Chen & Frid [6].

Teorema 4.5 (Semi-Continuidade Inferior). Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , e Fk → F

em L1loc(U). Entao F ∈ DM(U) e

||divF ||(U) ≤ lim infk→∞

||divFk||(U).

Demonstracao. Fixemos φ ∈ C1c (U ; R), |φ| < 1. Entao pelo Lema de Fatou (2.16),∫

U

F · ∇φdx = limk→∞

∫U

Fk · ∇φdx ≤ lim infk→∞

||divFk||(U).

Portanto, ||divF ||(U) ≤ lim infk→∞ ||divFk||(U).

O resultado anterior e usualmente chamado de Semi-continuidade Inferior; algo que

e realmente similar para funcoes BV ; compare com o Teorema (3.28). Vejamos agora

algumas consequencias do Teorema (4.5), os quais foram provados em Chen & Frid [6].

Contudo, seguiremos aqui os passos analogos a [23].

Teorema 4.6. Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1loc(U) e

limk→∞

||divFk||(U) = ||divF ||(U).

Entao para todo conjunto aberto A ⊂ U ,

lim supk→∞

||divFk||(A ∩ U) ≤ ||divF ||(A ∩ U).

Demonstracao. Ponha B = U − A, pelo Teorema (4.5),

||divF ||(A) ≤ lim infk→∞

||divFk||(A); e ||divF ||(B) ≤ lim infk→∞

||divFk||(B).

Portanto,

||divF ||(A ∩ U)|| + ||divF ||(B) = ||divF ||(U)

≥ limk→∞

||divFk||(U)

≥ lim supk→∞

||divFk||(A ∩ U) + lim infk→∞

||divFk||(B)

≥ lim supk→∞

||divFk||(A ∩ U) + ||divF ||(B).

Como F ∈ DM(U), segue que ||divF ||(B) <∞ e, consequentemente,

lim supk→∞

||divFk||(A ∩ U) ≤ ||divF ||(A ∩ U),

o que completa a prova.

45

Corolario 4.7. Se Fk ∈ DM(U), k = 1, 2, . . . , tal que Fk → F em L1loc(U),

limk→∞

||divFk||(U) = ||divF ||(U)

e ||divF ||(∂A ∩ U) = 0 para todo conjunto aberto A ⊆ U . Entao

||divF ||(A) = limk→∞

||divFk||(A).

Demonstracao. Fixe um conjunto aberto A ⊆ U . Entao

||divF ||(A) ≤ lim infk→∞

||divFk||(A) (pelo Teorema (4.5))

≤ lim supk→∞

||divFk||(A ∩ U)

≤ lim supk→∞

||divFk||(A) + lim supk→∞

||divFk||(∂A ∩ U)

≤ ||divF ||(A) + ||divF ||(∂A ∩ U) (pelo Teorema (4.6)).

Como ||divF ||(∂A ∩ U) = 0, o resultado segue.

Um outra consequencia interessante da Semi-continuidade Inferior e o teorema abaixo.

Teorema 4.8. O espaco de Medida Divergente DM(U) e um espaco de Banach.

Demonstracao. Seja Fk∞k=1 uma sequencia de Cauchy em DM(U), segue que Fk∞k=1

e uma sequencia de Cauchy em L∞(U). Como Lp(U) e completo, existe F ∈ L∞(U)

tal que Fk → F em L∞(U). Pelo Teorema (4.5), F ∈ DM(U). Agora, sabendo que

||div(Fk − Fl)|| → 0 quando k, l→∞ ; novamente pelo Teorema (4.5),

||div(Fk − F )||(U) ≤ lim infl→∞

||div(Fk − Fl)||(U).

Portanto, passando ao limite quando k → ∞ segue que Fk → F em DM(U); logo o

espaco de Medida Divergente e um espaco de Banach.

4.3 Aproximacao

Nessa secao, vamos mostrar alguns resultados sobre aproximacoes para campos DM(U)

cujas demonstracoes foram realizadas em Chen & Frid [6]. Aqui, seguiremos os passos

analogos a [12] e [16] para as funcoes BV .

46

Teorema 4.9. Seja F ∈ DM(U). Se F tem suporte compacto em U , entao existe

Fk ∈ DM(U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . , tal que:

limk→∞

||divFk||(U) = ||divF ||(U).

Demonstracao. Fixe ε > 0. Definemos

Fε = ηε ∗ F.

Como Fε → F em L1(U) segue, pelo Teorema (4.6), que e suficiente mostrar que

lim supε→0

||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U).

Seja φ ∈ C1c (U ; R), |φ| ≤ 1,∫

U

Fε · ∇φdx =

∫U

F · (∇φ)εdx =

∫U

F · ∇φεdx. (4.2)

Agora, como |φε| ≤ 1, pois |φ| ≤ 1, e spt(φε) ⊆ U ε = x : dist(x, U) < ε, pois

spt(φ) ⊆ U , segue que∫U

Fε · ∇φdx =

∫U

F · ∇φεdx ≤ ||divF ||(U ε). (4.3)

Agora, tomando o supremo em relacao a φ em (4.3), vemos que

||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U ε).

Portanto,

lim supε→0

||divFε||(U) ≤ limε→0

||divF ||(U ε) = ||divF ||(U),

o que completa a prova

Teorema 4.10. Seja F ∈ DM(U). Entao existe Fk ∈ DM(U) ∩ C∞(U), k = 1, 2, . . . ,

tal que Fk → F em L1(U) e

limk→∞

||divFk||(U) = ||divF ||(U).

Demonstracao. Fixe ε > 0. Tendo em vista o Teorema (4.5) e suficiente mostrar que

||Fε − F ||L1(U) < ε e lim supε→0 ||divFk||(U) ≤ ||divFk||(U). Assim, para cada inteiro

positivo m, defina os conjuntos abertos

Uk ≡x ∈ U : dist(x, ∂U) >

1

m+ k

∩B(0; k +m) (k = 1, . . . )

47

e entao podemos escolher m suficientemente grande de modo que ||divF ||(U − U1) < ε.

Agora, seja U0 ≡ ∅ e defina Vk := Uk+1 − Uk−1 para k = 1, . . . e considere ξk∞k=1 uma

particao da unidade subordinada a cobertura Vk, k = 1, . . . , isto e, ξk ∈ C∞c (Vk), 0 ≤ ξk ≤ 1, (k = 1, . . . )∑∞k=1 ξk = 1 sobre U.

Assim, para cada k, existe εk > 0 suficientemente pequeno tal que

spt(ηεk∗ (Fξk)) ⊂ Vk; (4.4)∫

U

|ηεk∗ (Fξk)− Fξk|dx <

ε

2k; e (4.5)∫

U

|ηεk∗ (F · ∇ξk)− F · ∇ξk|dx <

ε

2k. (4.6)

Defina

Fε =∞∑k=1

ηεk∗ (Fξk). (4.7)

Por (4.4), a soma (4.7) e localmente finita; portanto, Fε ∈ C∞(U) . Como tambem,

F =∑∞

k=1 Fξk e (4.7), implica que

||Fε − F || ≤∞∑k=1

∫U

|ηεk∗ (Fξk)− Fξk|dx <

∞∑k=1

ε

2k= ε,

o que prova a primeira afirmacao. Agora, fixe φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1, temos que∫

U

Fε · ∇φdx =∞∑k=1

∫U

ηεk∗ (Fξk) · ∇φdx

=∞∑k=1

∫U

(∫U

ηεk(x− y)Fξk(y)dy

)· ∇φ(x)dx

=∞∑k=1

∫U

(∫U

ηεk(x− y)∇φ(x)dx

)· Fξk(y)dy

=∞∑k=1

∫U

ηεk∗ (∇φ) · Fξkdx

=∞∑k=1

∫U

F · ∇(ηεk∗ φ)ξkdx

=∞∑k=1

∫U

F · ∇((ηεk∗ φ)ξk)dx−

∞∑k=1

∫U

ηεk∗ (F · ∇ξk)φdx.

48

Usando o fato que∑∞

k=1∇ξk = 0 em U temos que,∫U

Fε · ∇φdx =∞∑k=1

∫U

F · ∇((ηεk∗ φ)ξk)dx

−∞∑k=1

∫U

ηεk∗ (F · ∇ξk − F · ∇ξk)φdx

= Iε1 + Iε2 .

Como |ξk(ηεk∗φ)| ≤ 1, k = 1, . . . e cada ponto de U pertence a no maximo tres conjuntos

Vk, k = 1, . . . . Assim,

|Iε1 | =

∣∣∣∣ ∞∑k=1

∫U

F · ∇((ηεk∗ φ)ξk)dx

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ ∫U

F · ∇((ηε1 ∗ φ)ξk)dx+∞∑k=2

∫U

F · ∇(ηεk∗ φ)ξk)dx

∣∣∣∣≤ ||divF ||(U) + 3||divF ||(U − U1)

< ||divF ||(U) + 3ε.

Por outro lado, por (4.6), |Iε2 | < ε, logo∫U

Fε · ∇φ dx ≤ ||divF ||(U) + 4ε.

Portanto, temos que lim supε→0 ||divFε||(U) ≤ ||divF ||(U), o que completa a prova da

segunda afirmacao.

Observacao 4.11. Para toda F ∈ DM(U) ∩ C∞(U) temos que

||div F ||(U) =

∫U

|div F |dx,

e consequentemente ||div F || = L n⌊|div Fk|. De fato, fixemos φ ∈ C1

c (U), |φ| ≤ 1,∫U

F · ∇φ dx = −∫U

φ div F dx ≤∫U

|div F |dx

Por outro lado, para ver a desigualdade oposta escolha φ = div F||div F || , se div F 6= 0. Agora,

pelo Teorema (4.10), existe Fk ∈ C∞(U ; Rn) tal que Fk → F em L1(U) e

limk→∞

∫U

|div Fk|dx = ||div F ||(U).

Alem disso, vemos que L n⌊|div Fk| ||div F || em M(U). De fato, fixemos φ ∈ Cc(U),∣∣∣∣ ∫

U

φ|div Fk|dx−∫U

φ d||div F ||∣∣∣∣ ≤ C

∣∣∣∣ ∫U

|div Fk|dx−∫U

d||div F ||∣∣∣∣.

49

Passando ao limite quando k →∞, o resultado segue. Agora, se V e um conjunto aberto

de U tal que ||div F ||(∂V ∩ U) = 0, segue pelo Corolario (4.8),

limk→∞

∫V

|div Fk|dx = ||div F ||(V ).

de modo que L n⌊|div Fk| ||div F || em M(V ).

Corolario 4.12. Seja F ∈ DM(U). Se Fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . , e como no Teorema

(4.10). Entao L nbdiv Fk div F em M(Rn).

Demonstracao. Fixe φ ∈ C1c (Rn) e ε > 0. Como na demonstracao do Teorema (4.10),

para todo inteiro positivo m, defina o conjunto aberto

U1 =

x ∈ ∂U : dist(x, ∂U) >

1

m+ 1

∩B(0;m+ 1).

e entao escolhendo m suficientemente grande de modo que ||div F ||(U − U1) < ε. Seja ζ

uma funcao suave tal que ζ ≡ 1 em U1, spt(ζ) ⊂ U e 0 ≤ ζ ≤ 1. Entao∣∣∣∣ ∫Rn

φ div Fk dx−∫

Rn

φ div F

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣− ∫U

∇(ζφ) · Fkdx−∫U

φ div F

∣∣∣∣+

∫U−U1

|ζ − 1||φ||div Fk|dx

≤∣∣∣∣− ∫

U


φ div F

∣∣∣∣+ C||div Fk||(U − U1)

Pelo Teorema (4.5),∣∣∣∣ ∫Rn

φ div Fk dx−∫

Rn

φ div F

∣∣∣∣ ≤≤ lim inf

k→∞

∣∣∣∣− ∫U


φ div F

∣∣∣∣+ Cε

≤∣∣∣∣− ∫

U

∇(ζφ) · F dx−∫U

φ div F

∣∣∣∣+ Cε

≤∣∣∣∣ ∫

U

ζφ div F −∫U

φ div F

∣∣∣∣+ Cε

≤∣∣∣∣ ∫

U−U1

(ζ − 1)φ div F

∣∣∣∣+ Cε

≤ C||div F ||(U − U1) + Cε ≤ 2Cε.

Logo, L nbdiv Fk div F em M(Rn).

Nota 4.13. Por abuso de notacao, escreveremos div Fk div F em M(Rn) para con-

vergencia do Corolario (4.12).

50

4.4 Regra do Produto

O resultado a seguir, que pode ser encontrado em Chen & Frid [6], sera util no proximo

capıtulo para provar o teorema mais significativo de Chen & Torres [9].

Teorema 4.14. Seja g ∈ BV (U) ∩ L∞(U) e F ∈ DM(U). Entao

gF ∈ DM(U).

Alem disso, se g e localmente Lipchitz, entao

div (gF ) = g div F + F · ∇g.

Demonstracao. Fixe g ∈ BV (U)∩L∞(U) e F ∈ DM(U). Pelo Teorema (4.10), podemos

escolher uma sequencia Fk∞k=1 em DM(U) ∩ C∞(U) tal que

Fk → F em L1(U) e ||div Fk||(U) → ||div F ||(U). (4.8)

Analogamente, usando o Teorema (3.29), podemos escolher uma sequencia gk∞k=1 em

BV (U) ∩ C∞(U) tal que

gk → g em L1(U) e ||∇gk||(U) → ||∇g||(U). (4.9)

Note que por (4.8) e (4.9), temos que gkFk → gF em L1(U). Ainda, obtemos a seguinte

desigualdade,∫U

|div (gkFk)|dx = sup

∫U

gkFk · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1

≤ ||gk||L∞ sup

∫U

Fk · ∇φ dx : φ ∈ C1c (U), |φ| ≤ 1

+||Fk||L∞ sup

∫U

∇gk · φ dx : φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1

≤ 3||g||L∞||div Fk||(U) + 3||F ||L∞ ||∇gk||(U).

A primeira desigualdade segue considerando a funcao teste como gkφ/||gk||L∞ para φ ∈

C1c (U), |φ| ≤ 1. E a segunda usando o fato que por construcao ||gk||L∞ ≤ 3||g||L∞ e

||Fk||L∞ ≤ 3||F ||L∞ . Consequentemente, para qualquer φ ∈ C1c (U) com |φ| ≤ 1, temos∫

U

gkFk · ∇φ dx ≤∫U

|div (gkFk)|dx

≤ 3||g||L∞||div Fk||(U) + 3||F ||L∞||∇gk||(U)

51

Passando ao limite quando k →∞ segue, por (4.8) e (4.9), que ||div (gF )||(U) <∞ e∫U

g F · ∇φ dx ≤ 3||g||L∞ ||div F ||(U) + 3||F ||L∞||∇g||(U).

Como g F ∈ L∞(U ; Rn), temos que gF ∈ DM(U) o que mostra a primeira afirmacao.

Agora, sabemos pelo Corolario (4.12) que div Fk div F em M(Rn). Consequente-

mente, se g e uma funcao Lipschitz sobre todos os compactos em U , entao

g div Fk g div F em M(U). (4.10)

De fato, fixe φ ∈ Cc(U) entao∣∣∣∣∣∫U

φ g div Fk −∫U

φ g div F

∣∣∣∣∣ ≤ ||g||L∞∣∣∣∣∣∫U

φ div Fk −∫U

φ div F

∣∣∣∣∣.Novamente, usando o Corolario (4.12), passando ao limite quando k → ∞, obtemos a

afirmacao. Alem disso, afirmamos tambem que

Fk · ∇g F · ∇g em M(U). (4.11)

De fato, fixe φ ∈ Cc(U) entao∣∣∣∣∣∫U

φ Fk · ∇g dx−∫U

F · ∇g dx

∣∣∣∣∣ ≤ C||∇g||L∞∫U

|Fk − F |dx.

Passando ao limite quando k →∞, obtemos a afirmacao. Consequentemente,

g div Fk + Fk · ∇g g div F + F · ∇g em M(U).

Por outro lado, temos que div(gFk) div(gF ) no sentido das distribuicoes; tendo em

vista que div(gFk) div(gF ) em M(Rn). Finalmente, podemos escolher gk ∈ C∞c (U),

k = 1, . . . tal que gk → g em L1(U) e considere a seguinte identidade

div (gkFk) = gk div Fk + Fk · ∇gk.

Agora, multiplicando por φ ∈ C∞c (U) e integrando em U e depois passando ao limite

quando k →∞, obtemos∫U

φ div (gF ) =

∫U

φ g div F +

∫U

φ F · ∇g dx.

Portanto, obtemos que div (gF ) = g div F + F · ∇g.

52

4.5 Deformacoes Lipschitz

Seja F ∈ DM(U) e fixaremos um representante preciso de F ∗ do seguinte modo. Pelo

Teorema (4.10), existe Fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . , tal que

Fk → F em L1(U). (4.12)

Considere N o conjunto de medida nula que contem todos os pontos que nao sao de

Lebesgue. Agora, definiremos o representante preciso por

F ∗(x) :=

F (x), x ∈ U −N

0, x ∈ N

Em particular, F ∗ e Borel mensuravel; pois e o limite pontual de funcoes suaves em

U −N . Doravante, passaremos a identificar F ∗ por F .

No que se segue, apresentaremos as definicoes de fronteira Lipschitz deformavel e de

deformacao Lipschitz conforme definidos em Chen & Frid [6].

Definicao 4.15. Seja Ω um conjunto aberto do Rn. Dizemos que ∂Ω e uma fronteira

Lipschitz deformavel se

1. ∂Ω e Lipschitz; e

2. existe uma aplicacao ψ : ∂Ω× [0, 1] −→ Ω tal que ψ e um homeomorfismo bi-Lischitz

sobre a imagem e ψ(·, 0) = id, onde id e aplicacao identidade sobre ∂Ω.

Ainda, a aplicacao ψ : ∂Ω× [0, 1] −→ Ω e a chamada uma deformacao Lipschitz de ∂Ω.

6

∂Uτ

ψτ

∂U

Figura 4.1: Uma Deformacao Lipschitz

53

Fixaremos agora alguma notacao:

Notacao 4.16. .

1. Seja ∂Ωτ = ψ(∂Ω × τ) = ψτ (∂Ω), τ ∈ [0, 1] e seja Ωτ o subconjunto aberto de Ω

cuja fronteira e ∂Ωτ .

2. Seja γ : x′ 7→ (x′, γ(x′)), onde γ e dado na definicao de fronteira Lipschitz, e para

todo τ ∈ [0, 1], seja a aplicacao contınua ψτ : ∂Ω −→ Ω definido por ψτ (x) :=

ψ(x, τ).

Definicao 4.17. Dizemos que a deformacao Lipschitz ψ e regular se

limτ→0+

∇ψτ γ = ∇γ em L1loc(B)

onde B e o maior conjunto aberto tal que γ(B) ⊂ ∂Ω.

Doravante, seja Ω um conjunto aberto de U com fronteira Lipschitz deformavel e seja

ψ uma deformacao Lipschitz de ∂Ω.

Proposicao 4.18. Seja F ∈ DM(U). Se Fk ∈ C∞(U), k = 1, . . . , e como no Teorema

(4.10). Entao existe um conjunto I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0 tal que para todo

τ ∈ I, Fk → F H n−1 quase sempre em ∂Ωτ .

Demonstracao. Seja N o conjunto de medida nula como na definicao do represetante

preciso e seja A = ψ(∂Ω× [0, 1]). Defina

h(y) :=

τ, y ∈ ∂Ωτ

1, y ∈ U −A

0, y /∈ U.

Consequentemente, por definicao, h e uma aplicacao Lipschitz e note que h−1(τ) = ∂Ωτ .

Pela Formula de Mudanca de Variavel temos:

0 =

∫Rn

XN∩A(y) Jh(y) dy

=

∫ 1

0

∫h−1(τ)∩A

XN (w)dH n−1(w)dτ.

Entao, para quase todo τ ∈ [0, 1] temos que∫h−1(τ)

XN (w)dH n−1(w) = 0.

54

Logo, existe I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0; vamos provar que para todo τ ∈ I,

Fk → F H n−1 quase sempre em ∂Ωτ . Fixe τ ∈ I, e seja x ∈ ∂Ωτ um ponto de Lebesgue,

entao Fk(x) → F (x) H n−1 quase sempre. Por outro lado, se x ∈ ∂Ωτ nao e ponto de

Lebesgue, isto e, x ∈ N ∩ ∂Ωτ ; afirmamos que H n−1(∂Ωτ ) = H n−1(∂Ωτ −N ). De fato,

para quase todo τ ∈ (0, 1) temos que

H n−1(N ∩ ∂Ωτ ) =

∫Rn

XN∩Ωτ (w)dH n−1(w)

=

∫h−1(τ)

XN (w)dH n−1(w) = 0.

Portanto, existe I ⊂ [0, 1] com meas([0, 1] − I) = 0 tal que para todo τ ∈ I, Fk → F

H n−1 quase sempre em ∂Ωτ .

Proposicao 4.19. Seja F ∈ DM(U). Entao existe um conjunto enumeravel J ⊂ (0, 1)

tal que ||div F ||(∂Ωτ ) = 0 para todo τ ∈ (0, 1)− J .

Demonstracao. Como ∂Ωτ1 ∩ ∂Ωτ2 = ∅, se τ1 6= τ2, com τ1, τ2 ∈ (0, 1); entao a cardinali-

dade do conjunto

Jn :=

τ ∈ (0, 1) : ||div F ||

(∂Ωτ ∩B(0, n)

)>

1

n

e finita, para cada inteiro positivo n. De fato, suponha que a cardinalidade seja infinita

para algum inteiro n; logo existe uma sequencia τk∞k=1 em (0, 1) tal que ∂Ωτk∞k=1 e

uma sequencia de conjuntos dois a dois disjuntos, e ||div F ||(B(0, n) ∩ ∂Ωτk) > 1/n.

Como B[0, n] ⊇⋃∞k=1 ∂Ωτk ∩B(0, n), para todo inteiro positivo m entao

||div F ||(B[0, n]) ≥∞∑k=1

||div F ||(B(0, n) ∩ ∂Ωτk) >∞∑k=1

1

n.

Uma contradicao; tendo em vista que ||div F || e uma medida de Radon. Potanto, defi-

namos J =⋃∞n=1 Jn, e note que J e um conjunto enumeravel tal que ||div F ||(∂Ωτ ) = 0

para todo τ ∈ J .

Teorema 4.20. Seja F ∈ DM(U). Sejam I,J ⊂ (0, 1) como nas proposicoes anteriores

e I∗ = I − J . Entao, para todo τ ∈ I∗, e toda φ ∈ C1c (Rn),⟨

div F |Ωτ , φ⟩

=

∫∂Ωτ

φ(w)F (w) · ντ (w)dH n−1 −∫

Ωτ

F (y) · ∇φ(y) dy (4.13)

onde ντ e um campo normal unitario exterior definido H n−1 em quase sempre em ∂Ωτ .

55

Demonstracao. Assumiremos que Ω e um conjunto limitado1 de U . Seja uma sequencia

Fk ∈ C∞(U ; Rn) dada pelo Teorema (4.10). Seja τ ∈ I∗ e tome um inteiro n tal que

τ > 1n. Entao, pela Formula de Gauss-Green Classica, temos∫Ωτ

φ div Fk dx =

∫∂Ωτ

φ(w)Fk(w) · ντ (w)dH n−1 −∫

Ωτ

Fk(y) · ∇φ(y)dy (4.14)

para toda φ ∈ C1c (Rn). Como τ ∈ I, o lado direito de (4.14) converge ao lado direito

de (4.13), onde a Proposicao (4.18) e usada na convergencia do primeiro termo. Agora,

para k suficientemente grande temos

Fk(x) = ηεk∗ (Fϕk)(x), x ∈ Ω1/n (4.15)

onde εk → 0 quando k → ∞, e ϕk ∈ C∞c (U) tal que ϕk ≡ 1 em Ω1/n. Denotaremos por

µk o divergente do lado direito de (4.15). Entao µk = div Fk sobre Cc(Ω1/n), e

µk div F em M(Ω1/n). (4.16)

Agora, visto como uma medida de Radon (com sinal) µk, k = 1, . . . , e uniformente

limitada. Consideremos uma decomposicao de Jordan µk = µk+ − µk−, onde µk+ e µk−

sao medidas de Radon nao negativas, que tambem sao uniformente limitadas sobre o

Rn. Entao passando a uma subsequencia se necessario podemos assumir que existam

µ+, µ− ∈M(Rn) tais que

µk+ µ+, µk− µ− em M(Rn).

Em particular, nos temos que µ+ − µ− = div F em M(Ω1/n), por causa de (4.16).

Escrevendo µ = µ+ − µ− em M(Ω1/n), afirmamos que µ(∂Ωτ ) = 0. De fato, fixe δ > 0 e

defina

Aδ = Ωτ−δ − Ωτ+δ e A2δ = Ωτ−2δ − Ωτ+2δ

com 1n< τ − 2δ < τ + 2δ < 1. Consequentemente,

µ+(Aδ) ≤ lim infk→∞

µk+(Aδ)

≤ lim supk→∞

||div Fk||(Aδ)

≤ ||div F ||(Aδ) (pela Proposicao (4.6))

≤ ||div F ||(A2δ).

1Nao ha perda de generalida, uma vez que φ ∈ C1c (Rn).

56

Passando ao limite quando δ → 0, temos que µ+(∂Ωτ ) = 0, e analogamente µ−(∂Ωτ ) = 0

de onde segue a afirmacao. Portanto, para τ ∈ I∗, temos

limk→∞

µk+(Ωτ ) = µ+(Ωτ ) e limk→∞

µk−(Ωτ ) = µ−(Ωτ )

Consequentemente, para τ ∈ I∗,

limk→∞

div Fk(Ωτ ) = limk→∞

(µk+(Ωτ )− µk−(Ωτ ))

= (µ+(Ωτ )− µ−(Ωτ ))

= div F (Ωτ )

Mais geralmente, o mesmo argumento implica que

limk→∞

(φ div Fk)(Ωτ ) = (φ div F )(Ωτ )

para todo τ ∈ I∗ e qualquer φ ∈ C1c (Rn). Portanto, o lado esquerdo de (4.14) converge

ao lado esquerdo de (4.13). O que completa a prova.

Agora, usaremos (4.13) para definir o traco de F atraves de ∂Ω de modo que (4.13) seja

satisfeta para τ = 0, isto e, que a Formula de Gauss-Green seja satisfeita para qualquer

conjunto aberto com fronteira Lipschitz deformavel. De modo especıfico, dado um campo

normal ν definido H n−1 em quase todo ∂Ω, definimos F · ν como uma uma medida

de Radon sobre ∂Ω (realmente um elemento de L∞(∂Ω)) da seguinte maneira: usando

uma deformacao Lipschitz ψ para ∂Ω podemos considerar qualquer funcao φ ∈ Cc(∂Ω)

como um elemento de Cc(∂Ωτ ) atraves da aplicacao φ 7→ φ ψ−1τ . Reciprocamente,

podemos considerar qualquer funcao φ ∈ Cc(∂Ωτ ) como um elemento de Cc(∂Ω) atraves

da aplicacao φ 7→ φ ψτ . Agora, uma vez que F · ν e definido H n−1 em quase todo ∂Ωτ ,

para τ ∈ I∗, com I∗ dado no Teorema (4.20). Entao definimos

F · ν|∂Ω := w − limt→0,τ∈I∗

F · ντ em M(∂Ω) (4.17)

O proximo teorema ira justificar (4.17).

Teorema 4.21 (Formula de Gauss-Green para campos DM). Seja F ∈ DM(U) e seja Ω

um conjunto aberto de U com fronteira Lipschitz deformavel. Entao o limite (4.17) existe

quando F · ντ e considerado como uma medida de Radon sobre ∂Ω atraves da formula⟨F · ντ , φ

⟩=

∫∂Ωτ

φ(ψ−1τ (w))F (w) · ντ (w)dH n−1(w) (4.18)

57

onde ψτ : ∂Ω −→ ∂Ωτ e dado por ψτ (w) = ψ(w, τ). Alem disso, para toda φ ∈ C1c (Rn),

⟨div F |Ω, φ

⟩=

∫∂Ω

φ(w)F (w) · ν(w)dH n−1(w)−∫

Ω

F (y) · ∇φ(y)dy. (4.19)

Nota 4.22. Usaremos a notacao formal F (w) · ν(w)dH n−1(w) ≡ F · ν para a medida

do traco normal, a qual sera justificada no Corolario (4.23).

Demonstracao. Fixe φ ∈ C1c (Rn). Entao pelo Teorema (4.20), para todo τ ∈ I∗,

⟨div F |Ωτ , φ

⟩=

∫∂Ωτ

φ(w)F (w) · ντ (w)dH n−1 −∫

Ωτ

F (y) · ∇φ(y) dy (4.20)

onde I∗ e dado no Teorema (4.20). Como XΩτ → XΩ pontualmente, e passando ao limite

quando τ → 0 com τ ∈ I, pelo Teorema da Convergencia Dominada, o lado esquerdo de

(4.20) converge ao lado direito de (4.19), e o primeiro termo de (4.20) converge ao lado

direito de (4.19). Portanto, o segundo termo de (4.20) converge ao segundo termo do lado

direito de (4.19) quando τ → 0. Como φ∣∣∂Ωτ

em (4.20) pode ser trocado por φ∣∣∂Ω ψ−1

τ

com um erro que converge a zero quando τ → 0, isto e,

limτ→0

∫∂Ωτ

φ(ψ−1τ (w))F.ντ (w)dH n−1(w) =

∫∂Ω

φ(w)F.ν(w)dH n−1(w). (4.21)

De fato, como podemos aproximar qualquer funcao φ ∈ C1c (∂Ω) por uma sequencia

φk∞k=1 de funcoes de classe C∞ tal que cada φk e uma funcao que se anula fora de uma

vizinhanca Bk ⊂⊂ ∂E com Bk → ∂E quando k → ∞. Entao, para τ suficientemente

pequeno, temos∣∣∣∣ ∫∂Ωτ

φ(ψ−1τ (w))F · ντ (w)dH n−1(w)−

∫∂Ω

φ(w)F · ν(w)dH n−1(w)

∣∣∣∣≤∫∂Ωτ

|φ(ψ−1τ (w))F · ντ (w)− φk(ψ

−1τ (w))F · ντ (w)|dH n−1(w)

+

∣∣∣∣ ∫∂Ωτ

φk(ψ−1τ (w))F · ντ (w)−

∫∂Ω

φk(w)F · ν(w)dH n−1(w)

∣∣∣∣+

∫∂Ω

|φk(w)F · ν(w)− φ(w)F · ν(w)|dH n−1(w)

= Iτ1 + Iτ2 + Iτ3 . (4.22)

58

Agora, usando a Formula da Area obtemos:

|Iτ1 | ≤∫∂Ωτ

|φ(ψ−1τ (w))− φk(ψ

−1τ (w))(F · ντ )(w)|dH n−1(w)

≤∫∂Ω

|Jψτ ||(φ− φk)(w)||F · ντ (ψτ (w))|dH n−1(w)

≤ C

∫∂Ωτ

|(φ− φk)(w)|dH n−1(w)

com |Jψτ | ≤ C e |F · ντ | ≤ C para todo τ > 0 pequeno. Portanto, fixando k e passando

ao limite em (4.22) quando τ → 0, implica que Iτ2 converge a zero, e depois passando

ao limite em (4.22) quando k → ∞ segue que Iτ1 e Iτ3 converge a zero, pois φk → φ

uniformente em ∂Ω. Logo, vemos que (4.17) existe se φ e a restricao de uma funcao em

C1c (Rn). Como o conjunto de tais funcoes e denso em Cc(∂Ω) e as medidas em ∂Ω, dadas

por F · ντ em (4.18), sao uniformente limitadas. Entao passando a uma subsequencia se

necessario, este limite existe para todo φ ∈ Cc(∂Ω), o que prova (4.17) Agora, podemos

passar ao limite quando τ → 0 em (4.20) para obter a Formula de Gauss-Green.

Corolario 4.23. Seja F ∈ DM(U). Entao F · ν nao depende da escolha particular da

deformacao e F · ν H n−1b∂Ω.

Demonstracao. Como (4.19) nao depende da escolha da deformacao ψ segue que F · ν

tambem nao depende. Vamos agora provar que dado A ⊂ ∂Ω e um conjunto de Borel

tal que H n−1(A) = 0 temos que ||F · ν||(A) = 0. Ainda, e suficiente considerar o caso

em que A e um conjunto compacto; tendo em vida que ||F · ν|| e uma medida de Radon.

Entao, dado ε > 0, pela compacidade de A, existe uma cobertura finita de bolas abertas

que cobre A tal que A ⊂⋃Ni=1B(xi; ri) com ri < ε e

H n−1(⋃N

i=1B(xi; ri) ∩ Ω)< ε.

Agora, para todo φ ∈ Cc(∪Ni=1 B(xi; ri) ∩ ∂Ω

)temos que∫

∂Ωτ

φ(ψ−1τ (w))F · ντ (w) dH n−1(w) ≤ ||φ||L∞||F ||L∞H n−1(∂Ωτ )

≤ ||φ||L∞||F ||L∞(Lip ψ)n−1H n−1(∂Ω) (pelo Teorema (2.37))

≤ ε||φ||L∞ ||F ||L∞(Lip ψ)n−1.

59

Ponha C = (Lip ψ)n−1. Passando ao limite quando τ → 0 na desigualdade acima,

obtemos⟨F · ν;φ

⟩≤ Cε||φ||L∞||F ||L∞ , e entao

|F · ν|(A) ≤ |F · ν|( N⋃i=1

B(xi; ri) ∩ Ω

)≤ Cε||F ||L∞

Portanto, passando ao limite quando ε→ 0, o resultado segue

Convem observar que para todo campo F ∈ DM(U), onde assumirmos que ∂Ω ⊂ U

e ||div F ||(∂Ω) = 0, a densidade F · ν coincide com a funcao F · ν H n−1-q.s. em ∂Ω

sempre que H n−1(∂Ω ∩ N ) = 0; esse fato pode ser provado de maneira analoga ao

Teorema (4.20), e se encontra em Chen & Frid [6]. Alem disso, Chen & Frid [6] mostram

que existe uma constante C > 0 tal que ||F · ν||L∞(∂Ω;H n−1) ≤ C||F ||L∞(Ω), o que implica

que F · ν ∈ L∞(∂Ω; H n−1). Neste caso, assumindo que existe uma deformacao regular ψ

de ∂Ω, C pode ser tomado igual a 1, e o traco normal pode ser entendido como o limite

fraco estrela de (F · ντ ) ψτ em L∞(∂Ω; H n−1) para uma deformacao ψ, isto e,

F · ν|∂Ω = w∗ − limτ→0

(F · ντ ) ψτ em L∞(∂Ω; H n−1) (4.23)

a qual independe de ψτ = ψ(·, τ).

60

Capıtulo 5

A Formula de Gauss-Green e o

Traco Normal

Neste capıtulo, analisaremos conforme introduzido por Chen & Torres [9] uma nocao para

o traco normal sobre a fronteira de conjuntos de perımetro finito e a Formula de Gauss

Green para campos DM nestes conjuntos. Todavia, o traco normal para conjuntos de

perımetro finito sera entendido como um limite fraco-estrela do traco normal do capıtulo

anterior (veja Chen & Frid [6]).

A primeira secao esta baseada em [12], [16] e [22], e tem como objetivo apresentar a

versao generalizada da Formula de Gauss-Green em conjuntos de Caccioppoli, e alguns

resultados e definicoes necessarias para um bom desenvolvimento das secoes subsequentes

baseadas em Chen & Torres [9].

5.1 Consideracoes Gerais

Assuma que U seja um conjunto aberto do Rn e que E seja um subconjunto L n men-

suravel de U ; a menos quando afirmarmos o contrario.

5.1.1 Conjuntos de Perımetro Finito

Nessa secao estudaremos um classe particular de funcoes BV , os chamados conjuntos de

perımetro finito introduzidos em [4].

61

Definicao 5.1. Dizemos que E e um conjunto de perımetro finito (ou tem perımetro

finito) em U se

P (E;U) = sup

∫E

div φ dx : φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1

<∞ (5.1)

Ainda, se E tem perımetro finito local, isto e, se P (E;V ) <∞ para todo conjunto aberto

V ⊂⊂ U , entao E e dito um conjunto de Caccioppoli.

Observe que P (E;U) = V (XE;U). Entao E tem perımetro finito se, e somente

se, XE ∈ BV (U); analogamente, E e um conjunto de Caccioppoli se, e somente se

XE ∈ BVloc(U). Assim, se E e um conjunto de perımetro finito, o gradiente ∇XE no

sentido das distribuicoes e uma medida de Radon finita e entao,∫U

XEdiv φ dx = −∫U

φ · ∇XE

para toda φ ∈ C1c (U ; Rn). Agora, pelo Teorema de Representacao de Riesz, segue que

∇XE = νE||XE|| e |νE| = 1 ||∇XE||-quase em todo ponto x ∈ U , onde ||∇XE|| e a medida

de variacao, chamada de medida de perımetro, e νE = σ, chamada de medida teorica da

normal exterior unitaria (veja [12]).

Exemplo 5.2. Seja E ⊂⊂ U um conjunto aberto limitado. Suponhamos que ∂E seja

uma fronteira Lispchitz, entao E tem perımetro finito. De fato, fixemos ϕ ∈ C1c (U ; Rn),

|ϕ| ≤ 1, pelo teorema (3.4),∫E

div ϕ dx =

∫∂E

ϕ · ν dH n−1 <∞,

onde ν e a normal exterior a ∂E, e ν = νE. Logo XE ∈ BV (U), o que implica que E e um

conjunto de perımetro finito. Agora, se ∂E e de classe C2, entao ∂E tem perımetro finito,

e claramente P (E;U) = H n−1(U ∩ ∂E) (para detalhes veja [23], p.229). Entretanto, se

E tem perımetro finito, nem sempre esta igualdade ocorre (veja [17], p.342).

Se E e um conjunto de perımetro finito, e seja Xδδ>0 como no Teorema (3.29), entao

||∇Xδ|| ||∇X || em M(Rn), quando δ → 0. Agora, pelo Teorema (2.30), este limite

e equivalente a limδ→0 ||∇Xδ||(B) = ||∇X ||(B) para todo conjunto de Borel limitado

B ⊂ Rn com ||∇Xδ||(B) = 0.

62

Agora, considerando conjuntos de Caccioppoli e natural esperar que o perımetro e

outras propriedades sejam tambem invariantes em conjuntos de medida nula. O proximo

resultado ira garantir isso e pode ser encontrado em [16].

Proposicao 5.3. Seja E ⊂ Rn um conjunto de Borel. Entao existe um conjunto de Borel

E equivalente a E (isto e, diferem apenas em conjuntos de medida nula) tal que

0 < L n(E ∩B(x; r)) < α(n)rn, (5.2)

para todo x ∈ ∂E e todo r > 0.

Demonstracao. Inicialmente, denote por E0 o conjunto de x ∈ Rn tal que existe ρ > 0

com L n(E ∩ B(x, ρ)) = 0; e por E1 o conjunto de x ∈ Rn tal que existe ρ > 0 com

L n(E ∩ B(x, ρ)) = L n(B(x, ρ)) = α(n)ρn. Vamos provar que E0 e um conjunto aberto

e L n(E ∩E0) = 0. De fato, seja x ∈ E0, entao existe ρ > 0 tal que L n(E ∩B(x, ρ)) = 0.

Tomando y ∈ B(x, ρ), seja ρ0 = ρ − |x − y| > 0, segue que B(y, ρ0) ⊆ B(x, ρ) e

L n(E ∩B(x, ρ0)) = 0. Assim B(x, ρ) ⊆ E0, mostrando que E0 e um conjunto aberto do

Rn. Portanto, para cada x ∈ E, escolha um ρ > 0 tal que L n(E ∩ B(x, ρ)) = 0; neste

caso, B(x, ρ) : x ∈ E0 e uma cobertura aberta de E0, e assim existe um sequencias

xn∞n=1 em E tal que

E0 ⊂∞⋃i=1

B(xi, ρi) e L n(E ∩B(xi, ρi)) = 0.

Consequentemente,

L n(E ∩ E0) ≤∞∑i=1

L n(E ∩B(xi, ρi)) = 0.

Analogamente, prova-se que E1 e um conjunto aberto do Rn e L n(E − E0) = 0. Final-

mente, ponha E = (E ∪E1)−E0, logo E e equivalente a E e como E0 e E1 sao abertos,

se x ∈ ∂E entao x /∈ E0 ∪ E1 e (5.2) e satisfeita.

Tendo em vista a Proposicao (5.3) poderemos assumir que um conjunto de perımetro

finito e um representante dessa classe; logo satisfaz a desigualdade (5.2). Assim nao havera

ambiguidade em falarmos em fronteira topologica ∂E de um conjunto de perımetro finito

E; tendo em vista nossas consideracoes sobre conjuntos mensuraveis modificacoes em

63

conjuntos de medida nula nao terao influencia. Doravante passaremos a identificar o

conjunto E com E.

Agora, vejamos mais uma definicao:

Definicao 5.4. Seja E conjunto L n-mensuravel Rn. A densidade DE(x) de E em x e

definida por

DE(x) = limr→0

L n(E ∩B(x; r))

L n(B(x; r))

sempre que este limite existe.

Ainda, para todo α ∈ [0, 1], denote por Eα o conjunto de todos os x ∈ Rn de densidade

α, ou seja, tais que DE(x) = α. Em particular, E1 e chamado medida interior no sentido

geometrico da medida e E0, a medida exterior no sentido geometrico da medida. Alem

disso, escolhendo f = XE no Teorema de Lebesgue Besicovith (2.25) obtemos

DE(x) =

1, se x ∈ E,

0, se x ∈ Rn − E.

Assim, podemos imaginar E0 como o “exterior” de E e E1 como o “interior” de E.

Definicao 5.5. Seja E um conjunto L n-mensuravel E ⊂ Rn. A fronteira essencial e o

conjunto definido por ∂sE = Rn − E0 ∪ E1.

Em muitos casos a fronteira essencial coincide com a fronteira topologica. Por exem-

plo, seja B uma bola aberta entao a fronteira topologica ∂B tambem sera a fronteira

essencial. Mas em geral, a fronteira topologica nao coincide com a fronteria essencial

(veja [2], p.163).

Para concluir a presente subsecao, enunciaremos um Teorema que poder ser encon-

trado em [12] e [13], que fornece um criterio para caracterizar conjuntos de Caccioppolli.

Teorema 5.6. Seja E um conjunto L n-mensuravel de Rn. Entao E e um conjunto de

Cacciopolli se, e somente se, H n−1(K∩∂sE) <∞ para cada conjunto compacto K ⊂ Rn.


64

5.1.2 Teorema de Gauss-Green Generalizado

A definicao (5.10) foi inicialmente introduzida por De Giorgi e chama atencao para o

conjunto de pontos onde a normal interior a fronteira existe e pode ser encontrado em

[12] e [16].

Definicao 5.7. Seja E um conjunto de Caccioppoli em U . A fronteira reduzida de E,

denotada por ∂∗E, e o conjunto de todos os x ∈ Rn satisfazendo:

1. ||∇XE||(B(x; r)) =∫B(x;r)

|∇XE|dx > 0 para todo r > 0;

2. limr→0

RB(x;r) νEd||∇XE ||R

B(x;r) d||∇XE ||= νE(x); e

3. |νE(x)| = 1.

νE(x)

xE

Figura 5.1: Uma Fronteira Suave

Convem observar que a definicao acima generaliza a nocao de vetor normal unitario a

uma hipersuperfıcie. De fato, se ∂E e de classe C2 vemos que a fronteira reduzida, ∂∗E,

coincide com a fronteira topologica, ∂E, e o vetor normal unitario exterior a ∂E, νE(x),

e no sentido usual (veja [14], p.219, ou [16], p.44).

Exemplo 5.8. Seja E = Q(0; 1) um cubo aberto unitario de R2, entao as condicoes 1 e

2 da definicao (5.7) sao satisfeitas para cada x ∈ ∂E. Por outro lado, a condicao 3 nao

e satisfeita apenas no ponto onde o bordo nao e suave (veja [16], p.44).

Agora, lembraremos um importante fato devido a De Giorgi chamado de Retificabili-

dade da Fronteira Reduzida (veja [17] e [23]), onde a prova pode ser encontrado em [12],

[16] e [23], e afirma que: se E e um conjunto de Caccioppoli do Rn entao

∂∗E =∞⋃i=1

Mi ∪N,

onde ||∇XE||(N) = 0 eMi, k = 1, . . . , e um subconjunto compacto de uma hipersuperfıcie

de classe C1.Alem disso

65

1. νE|Mk, k = 1, . . . e a normal exterior a Mk; e

2. ||∇XE|| = H n−1b∂∗E.

Observemos tambem que ∂∗E e um conjunto de Borel e a aplicacao νE : ∂∗E −→

Sn−1 e H n−1-mensuravel. De fato, pelo Teorema de Lebesgue-Besicovith, existe νE(x) e

|νE(x)| = 1 para ||∇XE||-quase todo x ∈ Rn. Agora, como ||∇XE|| = H n−1b∂∗E segue

que νE : ∂∗E −→ Sn−1 H n−1-mensuravel. Alem disso, de acordo com as definicoes (5.5)

e (5.7) pode-se mostrar, como feito em [2] ou [12], que para todo conjunto de perımetro

finito E satisfaz:

∂∗E ⊂ E12 ⊂ ∂sE; e (5.3)

H n−1(∂sE − ∂∗E) = 0. (5.4)

Agora, por (5.4), a normal exterior sobre ∂sE para um conjunto de Cacciopolli E existe

com respeito a medida H n−1. O proximo teorema que pode ser encontrado em [12] afirma

que a Formula de Gauss-Green tambem sera satisfeita para conjuntos de Caccioppoli, e

e uma genralizacao do teorema (3.3)

Teorema 5.9 (Gauss-Green Generalizado). Seja E um conjunto de Caccippoli. Entao

para H n−1 quase todo x ∈ ∂sE, existe uma unica medida teorica da normal exterior

νE(x) tal que ∫E

div ϕ dx =

∫∂sE

ϕ · νE dH n−1


Demonstracao. Como E e um conjunto de Caccioppoli do Rn, entao para toda ϕ ∈

C1c (Rn,Rn), ∫

E

div ϕ dx =

∫Rn

ϕ · νE d||∇XE||.

Agora, lembrando que ||∇XE||(Rn − ∂∗E) = 0 e ||∇XE|| = H n−1b∂∗E, segue por (5.3)

e (5.4), ||∇XE|| = H n−1b∂sE. Portanto,∫E

div ϕ dx =

∫∂sE

ϕ · νE dH n−1


66

Aqui, lembramos o Teorema (5.6), onde todos conjunto E do Rn L n-mensuravel e

um conjunto de Caccioppoli se, e somente se, H n−1(∂sE ∩K) <∞ para todo conjunto

compacto K do Rn. Em particular, o Teorema de Gauss-Green Generalizado e valido

para o caso que E e um conjunto aberto limitado com fronteira Lipschitz.

5.1.3 Limites Aproximados

Assuma que f : Rn −→ Rm seja uma funcao L n-mensuravel.

Definicao 5.10. Dizemos que ` ∈ Rm e o limite aproximado de f em x0, e escrevemos

ap limx→x0 f(x), se para cada ε > 0,

limr→0

|B(x0, r) ∩ x : |f(x)− `| < ε||B(x0, r)|

= 1 (5.5)

sempre que este limite existe. Ainda, dizemos que f e aproximadamente contınua em x0,

se ` = f(x0).

Observemos que o limite aproximado quando existe e unico e, obviamente, ele existe

se, e somente se, a densidade do conjunto E := x : |f(x)− `| ≥ ε em x0 e zero. Alem

disso, se f ∈ L1loc(Rn) entao f e aproximadamente contınua L n quase sempre. De fato,

para cada ε > 0,

|B(x0, r) ∩ |f − f(x0)| ≥ ε||B(x0, r)|

≤ 1

|B(x0, r)|

∫B(x,r)

X|f−f(x0)|≥εdx

≤ 1

ε|B(x0, r)|

∫B(x,r)

|f − f(x0)|dx

Passando ao limite quando r → 0 obtemos a afirmacao pelo Teorema de Lebesgue-

Besicovitch (2.25). Mais geralmente, se f e L n-mensuravel entao f e aproximadamente

contınua L n quase sempre.

Definicao 5.11. Seja F um conjunto L n-mensuravel. Dizemos que ` ∈ Rm e o limite

aproximado de f em x0 restrito a F , e escrevemos ap limx→x0,x∈F f(x), se para cada ε > 0,

limr→0

|B(x0, r) ∩ F ∩ x : |f(x)− `| < ε||B(x0, r) ∩ F |

= 1 (5.6)

sempre que este limite existe.

67

Claramente, se F = Rn as duas definicoes anteriores coincidem. Vamos agora intro-

duzir alguma notacao: para cada vetor unitario a, seja Πa(y) = x ∈ Rn : (x−y) ·a > 0;

por simplicidade escreveremos Πa(0) por Πa e o limite aproximado de f em x0 restrito a

Πa por fa(x0), isto e, ap limx→x0,x∈Πa f(x) = fa(x0).

Definicao 5.12. Dizemos que x0 ∈ U e um ponto regular de uma funcao f ∈ BV (U) se

existe um vetor unitario a ∈ Rn tal que fa(x0) e f−a(x0) existem. Ainda, a e chamado

um vetor definido.

Suponhamos que x0 e um ponto regular de uma funcao de variacao limitada f , entao

ha somente duas possibilidade: fa(x0) = f−a(x0) ou fa(x0) 6= f−a(x0). Como em [22],

pode-se provar que no primeiro caso, existe ap limx→0 f(x) e para todo vetor unitario

b ∈ Rn, fb(x0) = ap limx→x0 f(x); ja o segundo, a e unico a menos do sinal.

Agora enunciaremos um resultado classico da teoria da funcoes BV que pode ser

encontrado em [22], que afirma que H n−1 quase todo ponto x ∈ U e um ponto regular

de f ∈ BV (U).

Teorema 5.13. Seja f ∈ BV (U). Entao o conjunto de pontos os quais nao sao regulares

de f tem medida H n−1 nula

Demonstracao. Veja [22], p.178.

5.1.4 Valor Medio

Definicao 5.14. Seja δ > 0. O valor medio de uma funcao f ∈ L1loc(U) e

f(x) = limδ→0

fδ(x), (5.7)

onde fδ := ηδ ∗ f com ηδ um regularizador padrao.

Suponha que f ∈ BV (U) entao pode se provar como em [22], que f esta definido em

cada ponto regular. Alem disso, se x0 e um ponto regular de f , entao

f(x0) =1

2(fa(x0) + f−a(x0)), (5.8)

onde a e o vetor definido.

O resultado a seguir pode ser encontrar em [22].

68

Proposicao 5.15. Seja u ∈ BV (U) e seja f : R → R um funcao Lipschitz tal que

f(0) = 0. Entao v = f u ∈ BV (U) e

||∇v||(U) ≤ Lip(f)||∇u||(U). (5.9)

Alem disso, se x ∈ U e um ponto regular de u, isto e, existe a ∈ Rn tal que existem

os limites aproximados u±a(x), entao x ∈ U e tambem um ponto regular de v com vetor

definido a tal que:

(i) v±a(x) = f(u±a(x)); e

(ii) v(x) = 12(f(ua(x) + f(u−a(x))).

Demonstracao. Seja u ∈ BV (U), entao a extensao

u(x) =

u(x) , x ∈ U ,

0 , x ∈ Rn − U .

e note que f u ≡ 0 sobre em Rn − U . Agora, fixemos φ ∈ C1c (U ; Rn), |φ| ≤ 1, entao

obtemos a seguinte desigualdade:∫U

φ div v dx ≤ (Lip f)

∫U

φ div u dx <∞.

Tomando o supremo com relacao a φ, ||∇v||(U) ≤ (Lip f)||∇u||(U), o que implica v

pertence a BV (U). Para a segunda parte veja [22], Teorema 1, p.182.

Observacao 5.16. Se E e um conjunto de perımetro finito temos que XE e definido

H n−1-quase todo ponto. De fato, por (5.8) escreva

XE(x) =

12, se x ∈ ∂∗E,

1, se x ∈ E1,

0, se x ∈ E0.

Logo XE e uma funcao definida H n−1 quase todo ponto, e aqui lembramos que

H n−1(∂sE − ∂∗E) = 0.

Alem disso, como XE ∈ BV (U) e H n−1 quase todo ponto e ponto regular de XE entao

(XE)δ → XE H n−1 quase sempre quando δ → 0.

69

5.2 Formula de Gauss-Green

Nessa secao, estabeleceremos a Formula de Gauss-Green para campos DM em conjuntos

de perımetro finito, o que nos permitira fornecer um nocao para o traco normal para esses

campos.

Proposicao 5.17. Seja F ∈ DM(U) e seja A ⊂ U um conjunto de Borel tais que

H n−1(A) = 0. Entao ||div F ||(A) = 0.

Demonstracao. Como div F e uma medida de Radon com sinal, entao existe um conjunto

positivo P e um conjunto negativo N para esta medida tal que P ∪N = U e P ∩N = ∅.

Entao podemos assumir que A ⊂ P e consequentemente ||div F ||(A) = (div F )+(A) =

(div F )(A). Ainda, uma vez que (div F )+ e uma medida de Radon, e suficiente provar

para o caso que A e um conjunto compacto. Entao, dado ε > 0, pela compacidade de A,

existe uma cobertura finita de bolas abertas que cobre A tais que A ⊂⋃Ni=1B(xi; ri) e∑N

i=1 rn−1i=1 < ε.

Agora, aplicando o Teorema (4.21) com Ω = Ωε = ∪Ni=1B(xi, ri), e qualquer funcao

φ ∈ C1c (Rn) tal que φ ≡ 1 em Ωε, temos∫

Ωε

div F =

∫∂Ωε

F · ν dH n−1

≤ ||F ||L∞H n−1(∂Ωε)

≤ ||F ||L∞N∑i=1

H n−1(B(xi, ri))

≤ C||F ||L∞∞∑i=1

rn−1i < C

(||F ||L∞

)ε.

Logo ||div F ||(Ωε) ≤ C(||F ||L∞

)ε. Agora como XΩε → XA pontualmente quando ε → 0

(lembrando que A e um conjunto compacto), logo temos que ||div F ||(A) = div F (A) = 0;

o caso que A ⊂ N e analogo.

Observe que a Proposicao (5.17) afirma que a medida de Radon div F em U e ab-

solutamente contınua com respeito a medida de Hausdorff de dimensao (n − 1), isto e,

div F H n−1. Agora, a proxima Proposicao esta essencialmente contida em Chen &

Frid [6] e, por completeza, iremos detalhar a prova.

70

Proposicao 5.18. Seja F ∈ DM(U). Suponha que E um conjunto de perımetro finito

em U tal que E ⊂⊂ U . Entao

div(XEF ) = XE div F + F · ∇XE, (5.10)

onde F · ∇(XE)ε F · ∇XE em M(U) para (XE)ε := ηε ∗ XE. Alem disso, a medida

F · ∇XE e absolutamente contınua com respeito a medida ||∇XE||.

Demonstracao. Inicialmente, escreva Xδ := (XE)δ e note que Xδ e suave e limitado em

U; entao pela Proposicao (4.14) temos que XδF ∈ DM(U) e

div(XδF ) = Xδ div F + F · ∇Xδ. (5.11)

Lembrando que div F H n−1 e Xδ → X H n−1 em quase todo x ∈ U , entao usando

Teorema da Convergencia Dominada obtemos que

Xε div F XE div F em M(U). (5.12)

Como div (XδF ) e uniformente limitado em M(U), pois XδF ∈ DM(U); segue pelo

Teorema de Compacidade fraca o para medidas de Radon que este converge fracamente

em M(U) quando δ → 0. Por outro lado, visto como uma distribuicao, div (XδF )

converge para div(XEF ) no sentido das distribuicoes em U . Portanto, pela unicidade do

limite fraco obtemos

div (XεF ) div(XEF ) em M(U). (5.13)

Finalmente, por (5.11), (5.12) e (5.13), segue que existe um medida µ := F · ∇XE em

M(U) tal que F · ∇Xδ F · ∇XE em M(U) e de onde segue (5.10). Agora afirmamos

que

F · ∇XE ||∇XE||.

De fato, como µ e uma medida de Radon, e suficiente provar que µ(A) = 0 para todo

conjunto compacto A com ||∇XE||(A) = 0. Entao, dado ε > 0, pela compacidade de A,

existe uma cobertura finita de bolas abertas que cobre A tal que A ⊂⋃Ni=1B(xi, ri) com ri < ε, e

||∇XE||(⋃N

i=1B(xi, ri))< ε.

71

Assumiremos sem perda de generalidade que ||∇XE||(∂B(xi, ri)) = 0 (i = 1, . . . , N).

Entao, para toda φ ∈ Cc(∪Ni=1B(xi, ri)), temos∫∪N

i=1B(xi,ri)

φdµ = limδ→0

∫∪N

i=1B(xi,ri)

φ F · ∇Xδ

≤ ||φ||L∞||F ||L∞ lim supε→0

||∇Xδ||(∪Ni=1B(xi, ri))

= ||φ||L∞||F ||L∞||∇XE||(∪Ni=1B(xi, ri))

≤ ε||φ||L∞||F ||L∞ .

do fato que

||∇Xδ||(B) → ||∇XE||(B)

para todo conjunto aberto B ⊂⊂ U com ||∇XE||(∂B) = 0. Agora, podemos escolher

uma funcao φ ∈ Cc(∪Ni=1B(xi, ri)) tal que 0 ≤ φ ≤ 1, φ ≡ 1 em A e∣∣∣∣ ∫∪N

i=1B(xi,ri)−Aφ dµ

∣∣∣∣ ≤ ε||F ||L∞ . (5.14)

Entao, temos ∪Ni=1B(xi, ri) = A ∪ (∪Ni=1B(xi, ri) − A), de modo que obtemos a seguinte

desigualdade

µ(A) =

∫A

φ dµ

=

∫∪N

i=1B(xi,ri)

φ dµ−∫∪N

i=1B(xi,ri)−Aφ dµ

≤ 2εC||F ||L∞ .

Finalmente, passando ao limite quando ε → 0 na desigualdade anterior, concluımos que

µ(A) = 0 o que completa a prova.

Observacao 5.19. Pelo Teorema (5.18), F · ∇X ||∇X || = H n−1b∂∗E, entao medida

F · ∇X e suportada em ∂∗E. Agora, pelo Teorema de Radon-Nikodym, existe uma funcao

||∇X ||-mensuravel (denotada por) F · ν tal que

F · ∇X (A) =

∫A∩∂∗E

F · ν dH n−1

para cada A ⊂ U ||∇X ||-mensuravel. Note que F · ν e exatamente a derivada no sentido

de Radon-Nikodym. Agora, como H n−1(∂sE − ∂∗E) = 0, segue de

F · ∇X (A) =

∫A∩∂sE

F · ν dH n−1 (5.15)

para cada A ⊂ U ||∇X ||-mensuravel.

72

Proposicao 5.20. Seja F ∈ DM(U). Se F tem suporte compacto em U , entao∫U

div F = 0.

Demonstracao. Seja V um conjunto aberto de U com fronteira suave tal que spt(F ) ⊂

V ⊂⊂ U ; e defina Fδ := ηδ ∗ F . Escolha φ ∈ C∞c (U) tal que φ ≡ 1 em V , segue que para

δ > 0 suficientemente pequeno,∫U

div Fδ =

∫U

φ div Fδ

=

∫∂U

φ Fδ · ν dH n−1 −∫U

Fδ · ∇φ

= −∫U

Fδ · ∇φ = 0

Finalmente, a ultima igualdade ocorre pela escolha de φ e pelo fato de spt(Fδ) ⊂ V .

Passando ao limite quando δ → 0, obtemos resultado.

Agora, a proposicao a seguir e um resultado tecnico, que juntamente com a Proposicao

(5.15) permitira provar os teoremas (5.22) e (5.23).

Proposicao 5.21. Seja F ∈ DM(U) e seja E ⊂⊂ U um conjunto limitado de perımetro

finito. Entao

XE F · ∇XE = XE F · ∇XE. (5.16)

onde (XεF ) · ∇Xδ XE F · ∇XE, F · (∇XE)δ F · ∇XE em M(U) quando δ → 0 e

XE foi definido na observacao (5.16).

Demonstracao. Seja E ⊂⊂ U um conjunto limitado de perımetro finito e seja X = XE.

Fixemos φ ∈ Cc(U),∣∣∣∣ ∫U

φXF · ∇X −∫U

φ(XF ) · ∇Xδ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣ ∫

U

φ XF · ∇X −∫U

φ Xε F · ∇X∣∣∣∣

+

∣∣∣∣ ∫U

φXεF · ∇X −∫U

φXεF · ∇Xδ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ ∫

U

φXεF · ∇Xδ −∫U

φ XF · ∇Xδ∣∣∣∣

= Iε1 + Iδ,ε2 + Iδ,ε3 . (5.17)

Fixando δ > 0 e passando ao limite quando ε → 0 em (5.17), entao pelo Teorema da

Convergencia Dominada, Iε1 converge a zero, pois a medida F · ∇X e suportada em ∂∗E

e

limε→0

Xε(y) = X (y), y ∈ ∂∗E.

73

Agora, como F ·∇Xδ F · ∇X em M(U) quando δ → 0, entao fixando ε > 0 e passando

ao limite em (5.17) quando δ → 0, vemos que Iδ,ε2 converge a zero. Finalmente, afirmamos

que Iδ,ε3 converge a zero quando δ, ε→ 0. De fato, como ∇X + ν||∇X || temos

∇Xδ =

∫U

ηδ(x− y)∇X (y) =

∫∂∗E

ηδ(x− y)νdH n−1

Definimos f ε(x) = |X (x) − Xε(x)| para todo x ∈ U ; afirmamos que f ε ∈ BV (U). de

fato, observamos que f ε pode ser reescrito como f = g hε, onde hε(y) = X (y)− Xε(y)

e g(w) = |w|, entao pela Proposicao (5.15), segue que f ε ∈ BV (U). Consequentemente,

Iδ,ε3 =

∣∣∣∣ ∫U

(Xε(x)−X (x))(φ F )(x) · ∇Xδ(x)dx∣∣∣∣

=

∣∣∣∣ ∫∂∗E

∫U

(Xε(x)−X (x))(φ F )(x) · ηδ(x− y)ν dxdH n−1(y)

∣∣∣∣≤ C

∫∂∗E

(∫U

f ε(x) ηδ(x− y) dx

)dH n−1(y)

≤ C

∫∂∗E

ηδ ∗ f ε(y) dH n−1(y) (5.18)

e entao,

lim supδ→0

Iδε3 ≤ C

∫∂∗E

f ε(y)dH n−1.

Portanto, para mostrar que Iδε3 converge a zero, quando ε, δ → 0 e suficiente mostrar

que f ε(y) converge a zero quando ε → 0. Para tal vamos mostrar que todo ponto em

∂∗E e um ponto regular de hε, e os limites aproximados restritos existem e sao iguais a

zero. Assim, fixemos y ∈ ∂∗E, como hε → 0 L n-q.s. sobre B(y, 1), quando ε → 0, pelo

Teorema de Ergoroff (2.10), existe um conjunto fechado F ⊂ B(y, 1) tal que |B(y, 1)− F | < θ,

hδ → 0 uniformente em F quando δ → 0.

Consequentemente, para qualquer λ fixado, existe ε > 0, suficientemente pequeno de

modo que hε(z) < λ para todo z ∈ F . Entao para todo r > 0, |B(y, r)− hε ≤ λ| < θ.

Como θ > 0 e arbitrario, obtemos que

limε→0

limr→0

|(B(y; r) ∩ hε > λ||B(y; r)|

= 0

Logo limε→0 hεa(y) = 0; e analogamente prova-se que limε→0 h

ε−a(y) = 0 de modo que

74

y ∈ ∂∗E e um ponto regular de hε, segue da Proposicao (5.15) que

limε→0

f ε(y) = limε→0

1

2(g(hεa(y)) + g(hε−a(y)))

= limε→0

1

2(|hεa(y)|+ |hε−a(y)|) = 0

Passando ao limite quando δ → 0 em (5.18) e depois ε → 0, vemos pelo Teorema da

Convergencia Dominada que Iδ,ε3 converge a zero e, portanto (X F ) · ∇Xδ X F · ∇X

em M (U). Por outro lado, sabemos pela Proposicao (5.18) que (X F )·∇Xδ X F · ∇X

em M (U). Portanto, pela unicidade do limite fraco obtemos X F · ∇X = X F · ∇X .

Finalmente, podemos provar o teorema mais significativo de Chen & Torres [9], que

sera usado para provar o Teorema (5.23).

Teorema 5.22. Seja F ∈ DM(U). Se E ⊂⊂ U e um conjunto limitado de perımetro

finito, entao existe uma funcao H n−1-integravel (denotado por) F · ν em ∂sE tal que∫E1

divF = −∫∂sE

F · ∇XE = −∫∂sE

F · νdH n−1.

Demonstracao. Assuma que E ⊂⊂ U seja um cojunto limitado de perımetro finito e por

simplicidade escreva X = XE. Entao obtemos a seguinte identidade:

div (X 2F ) = div (X (XF ))

= Xdiv(XF ) + XF · ∇X (pela Proposicao (5.18))

= X (div F + F · ∇X ) + XF · ∇X (pela Proposicao (5.18))

= (X )2div F + X F · ∇X + XF · ∇X

= Xdiv F + 2X F · ∇X (pela Proposicao (5.21)). (5.19)

Por outro lado,

div(X 2F ) = div(XF ) = X div F + F · ∇X . (5.20)

Agora, combinando (5.19) e (5.20) obtemos

0 = ((X )2 −X )div F + 2X F · ∇X − F · ∇X

= −1

4X∂sE div F + 2X F · ∇X − F · ∇X , (5.21)

75

pois X ≡ 12

em ∂∗E e div F H n−1. Portanto, pela Proposicao (5.18) e pela identidade

(5.21) obtemos:

1

2div(XF ) =

1

2Xdiv F +

1

2F · ∇X

=1

2Xdiv F +

1

2F · ∇X − 1

4X∂sEdiv F + 2X F.∇X − F.∇X

=1

2

(X − 1

2X∂sE

)div F + 2X F · ∇X − 1

2F · ∇X

=1

2XE1 div F + 2X F · ∇X − 1

2F · ∇X . (5.22)

Agora, integrando ambos os lados da identidade (5.22) e usando o fato que F · ∇X e

suportada em ∂∗E,obtemos:

0 =1

2

∫U

div(XF ) (pela Proposicao (5.20))

=1

2

∫E1

div F + 2

∫U

X F · ∇X − 1

2

∫U

F · ∇X

=1

2

∫E1

div F + 2

∫∂∗E

X F · ∇X − 1

2

∫∂∗E

F · ∇X

=1

2

∫E1

div F +1

2

∫∂∗E

F · ∇X . (5.23)

Portanto, por (5.23) e pela observacao (5.19),∫E1

div F = −∫∂sE

F · ∇X = −∫∂sE

F · ν dH n−1. (5.24)

Finalmente, devemos agora mostrar que F ·ν e limitado. De fato, como F ·∇Xδ F · ∇X

em M(U), entao para quase todo r > 0 e todo x ∈ ∂∗E, temos∣∣∣∣F · ∇X (B[x, r])

||∇X ||(B[x, r])

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ limε→0

∫B[x,r]

F · ∇Xεlimε→0

∫B[x,r]

||∇Xε||

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ limε→0

∫B[x,r]

F · ν||∇Xε||limε→0

∫B[x,r]

||∇Xε||

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣ limε→0 ||F ||L∞∫B[x,r]

||∇Xε||limε→0

∫B[x,r]

||∇Xε||

∣∣∣∣ ≤ ||F ||L∞ .Portanto, para H n−1 quase todo x ∈ ∂∗E, obtemos

|(F · ν)(x)| = limr→0

∣∣∣∣F · ∇X (B[x, r])

||∇X ||(B[x, r])

∣∣∣∣ ≤ ||F ||L∞ ,o que completa a prova.

76

Agora com esse resultado podemos estabelecer a Formula de Gauss-Green para cam-

pos DM em conjuntos de perımetro finito.

Teorema 5.23 (Formula de Gauss-Green). Seja F ∈ DM(U). Se E ⊂⊂ U um conjunto

limitado de perımetro finito. Entao existe uma funcao H n−1-integravel F · ν em ∂sE tal

que ∫E1

φ divF = −∫∂sE

φ F · νdH n−1 −∫E1

F · ∇φ. (5.25)

para toda φ ∈ C1c (Rn)

Demonstracao. Fixe φ ∈ C1c (Rn). Suponhamos que E ⊂⊂ U seja um conjunto limitado

de perımetro finito e F ∈ DM(U). Pelo Teorema (5.22),

F · ∇X = F · ν dH n−1 sobre ∂sE (5.26)

Afirmamos que φF ∈ DM(U). De fato, seja ϕ ∈ C1c (U), |ϕ| ≤ 1,∫

U

φF · ∇ϕ dx ≤ C

∫U

F · ∇ϕ dx <∞.

Entao φF ∈ DM(U), pois φF ∈ L∞(U ; Rn). Agora, pela unicidade do limite fraco no

sentido de medidas de Radon,

φ F · ∇X = φF · ∇X (5.27)

Novamente, pelo Teorema (5.22) a φF , obtemos∫E1

div(φF ) = −∫∂sE

φ F · ∇X

= −∫∂sE

φF · ∇X (por (5.27))

= −∫∂sE

φ F · ν dH n−1 (por (5.26)). (5.28)

Por outro lado, como φ ∈ C1c (Rn) segue pela Proposicao (4.14) que

div(φF ) = φ div F + F · ∇φ. (5.29)

Portanto, integrando (5.29) e usando (5.28) obtemos:∫E1

φ div F = −∫E1

F · ∇φ+

∫E1

div(φ F )

= −∫E1

F · ∇φ−∫∂sE

φ F · ν dH n−1,

o que completa a prova.

77

Para concluir a presente secao utilizaremos a Formula de Gauss Green para campos

DM em conjuntos de perımetro finito para mostrar o seguinte teorema de extensao:

Teorema 5.24. Sejam V ⊂⊂ E ⊂⊂ U conjuntos abertos limitados, onde E e um con-

junto de perımetro finito em Rn. Se F1 ∈ DM(U) e F2 ∈ DM(Rn − V ). Entao

F (y) :=

F1(y), y ∈ E

F2(y), y ∈ Rn − E

pertence a DM(Rn), e

||F ||DM(Rn) ≤ ||F ||DM(E) + ||F ||DM(Rn−E)

+||F1 · ν − F2 · ν||L1(∂sE;H n−1). (5.30)

Demonstracao. Fixe φ ∈ C1c (Rn), |φ| ≤ 1. Entao, pela Formula de Gauss Green para

campos DM em conjuntos de perımetro finito, temos∫Rn

F · ∇φ dy =

∫E

F · ∇φ dy +

∫Rn−E

F · ∇φ dy

= −⟨div F1|E, φ

⟩−⟨div F2|Rn−E, φ

⟩+

∫∂sE

F1 · ν − F2 · νφ dH n−1

≤ ||div F1||(E) + ||div F2||(R− E) + ||F1 · ν − F2 · ν||L1(∂sE;H n−1).

Como F ∈ L∞(Rn; Rn) e, obviamente,

||F ||L∞(Rn) ≤ ||F ||L∞(E) + ||F ||L∞(Rn−E)

segue que F ∈ DM(Rn) e, ainda, pela definicao de norma em DM obtemos o resultado

desejado.

5.3 Traco Normal

Nessa secao, analisaremos mais profundamente a nocao de traco introduzida na secao

anterior. Assuma que E e um conjunto limitado de perımetro finito.

Proposicao 5.25. Seja ε > 0 pequeno. Entao existe um conjunto fechado Qε ⊂ ∂∗E e

um campo vetorial suave νε : Rn → Rn tal que

(i)H n−1(∂∗E −Qε) < ε;

78

(ii) νε∣∣Qε aponta para o interior de E.

Demonstracao. Fixe ε > 0 pequeno. Para cada x ∈ ∂∗E, existe a normal interior νE(x)

e o plano tangente H(x), no sentido da Teoria geometrica da medida, ao conjunto E em

x. Como E e limitado, escolha um conjunto aberto V tal que E ⊂⊂ V . Agora, observe

que νE : ∂∗E → Sn−1 e H n−1-mensuravel. Entao, pelo Teorema de Lusin, existe um

conjunto compacto Qε ⊂ ∂∗E tal que H n−1(∂∗E −Qε) < ε;

νE∣∣Qε = (ν1, . . . , νn) e contınua.

Aplicando o Teorema de Tietze (veja [20], Teorema 15.8, p.103) a νi : ∂∗E → R, existe

uuma extensao contınua νi : Rn → R de νi. Defina ν = (ν1, . . . , νn), e ponha νδ = ν ∗ ηδ,

entao νδ → ν uniformente em V , quando δ → 0. Portanto, existe δ0 > 0 tal que o angulo

entre νδ0(x) e ν(x) e menor que π/4, para todo x ∈ Qε. Lembrando que Qε ⊂ ∂∗E, segue

que νδ0 aponta para o interior de E. Finalmente, o resultado segue pondo νε = νδ0 .

Agora, fixemos alguma notacao:

Notacao 5.26. Seja νε definido na proposicao anterior.

(i) Para cada ε > 0, defina ψε : Rn × [0, 1] → Rn por ψε(x, τ) := x+ τνε.

(ii) Para cada τ ∈ (0, 1), defina ψετ : Rn → Rn por ψετ (x) := ψε(x, τ).

(iii) Para cada ε > 0, defina Kετ = ψετ (K

ε) e Eτ = ψετ (E), onde Kε := int(Kε), onde

Kε sera escolhido na proposicao (5.27).

Como E e um conjunto de perımero finito, entao Eτ tambem e um conjunto de perımetro

de finito.

Proposicao 5.27. Sejam ε > 0 e Qε como na proposicao anterior. Entao existe Kε ⊂

Qε, H n−1(Qε − Kε) < ε e τ0 > 0 suficientemente pequeno tal que ψετ (x) ∈ int(E) para

todo τ ∈ (0, τ0) e x ∈ Kε.

Demonstracao. Defina os conjuntos

Ak =

x ∈ Qε : ψετ (x) ∈ int(E), τ ≤ 1

k

, k = 1, 2, . . .

79

Entao A1 ⊂ · · · ⊂ Ak ⊂ Ak+1 ⊂ . . . , e Qε = ∪∞k=1Ak, o que implica pelo Teorema (2.6),

limk→∞

H n−1(Ak) = H n−1(Qε).

Portanto, existe um inteiro positivo k0 = k0(ε) tal que H n−1(Qε−Ak0) < ε. Finalmente,

ponha Kε := Ak0 e τ0 = 1/k0, e o resultado segue.

Observemos que se E e um conjunto limitado de perımetro finito, entao para τ sufi-

cientemente pequeno (dependendo somente da continuidade de νε em E), a funcao ψετ |Ee uma funcao injetiva. Alem disso, assuma que

Kε =∞⋃i=0

Mi,

onde Mi e uma hipersuperfıcie de classe C1.

O proximo resultado pode ser encontrado em Chen & Torres [9] e mostra que o traco

normal sobre uma classe de superficies de perımetro finito pode ser entendido como o li-

mite fraco estrela introduzido por Chen & Frid [6] sobre superfıcies deformaveis Lipschitz,

o qual implica a sua consistencia.

Teorema 5.28. Para cada ε > 0, o traco normal F · ν em Kε e o limite fraco estrela do

traco (4.19) em Kετ (veja [6]) quando τ → 0. Isto e, para qualquer φ ∈ L1(Kε),∫

Kε

(F · ν)(w)φ(w) dH n−1 = limτ→0

∫Kε

τ

(F · ντ )(w)(φ (ψετ )−1)(w) dH n−1(w)

= limτ→0

∫Kε

((F · ντ ) ψετ )(w)(φ)(w) dH n−1(w)

Demonstracao. Seja P ⊂ Kε um conjunto compacto. Escolha φ ∈ C1c (U) tal que φ se

anula numa vizinhanca de P com φ|P 6= 0 e φ|∂∗E−Kε = 0. Pelo Teorema (5.23) aplicado

ao conjunto Eτ , temos∫E1

τ

φ div F = −∫E1

τ

F · ∇φ−∫∂sEτ

φ F · ντ dH n−1. (5.31)

Por outro lado, pelo Teorema (5.23) aplicado ao conjunto E, tambem obtemos a seguinte

identidade ∫E1

φ div F = −∫E1

F · ∇φ−∫∂sE

φ F · ν dH n−1. (5.32)

80

Como XE1τ→ XE1 pontualemente, entao passando ao limite quando τ → 0 e usando o

Teorema da Convergencia Dominada, obtemos∫E1

τ

φ div F →∫E1

φ div F e −∫E1

τ

F · ∇φ→∫E1

F · ∇φ. (5.33)

O que implica, por (5.31), (5.32) e (5.33),∫∂sEτ

φ F · ντ dH n−1 →∫∂sE

φ F · ν dH n−1. (5.34)

Pela escolha de φ, entao obtemos o seguinte limite,∫Kε

τ

φ F · ντ dH n−1 →∫Kε

τ

φ F · ν dH n−1. (5.35)

Agora, como φ|Kετ

pode ser trocado por φ|Kετ (ψετ )

−1 com erro que vai a zero quando

τ → 0, obtemos

limτ→0

∫Kε

τ

(F · ντ )(w)(φ (ψετ )−1)(w) dH n−1(w) =

∫Kε

(F · ν)(w)φ(w) dH n−1

para toda φ ∈ L1(Kε). De fato, podemos aproximar qualquer funcao φ ∈ L1(Kε) por

uma sequencia φj∞j=1 de funcoes de classe C1 em uma vizinhanca de ∂E tal que para

cada φj e nula fora de uma vizinhanca Pj ⊂⊂ Kε com Pj → Kε e φj → φ em L1(Kε)

quando j →∞. Entao para τ suficientemente pequeno,∣∣∣∣ ∫Kε

τ

φ((ψετ )−1(w))(F · ντ )(w)dH n−1(w)−

∫Kε

φ(w)(F · ν)(w)dH n−1(w)

∣∣∣∣≤∫Kε

τ

|φ((ψετ )−1(w))(F · ντ )(w)− φj((ψ

ετ )−1(w))(F · ντ )(w)|dH n−1(w)

+

∣∣∣∣ ∫Kε

τ

φj((ψετ )−1(w))(F · ντ )(w)−

∫Kε

φj(w)(F · ντ )(w)dH n−1(w)

∣∣∣∣+

∫Kε

|φj(w)(F · ντ )(w)− φ(w)(F · ντ )(w)|dH n−1(w)

= Iτ1 + Iτ2 + Iτ3 .

Agora, usando a Formula da Area obtemos

|Iτ1 | ≤∫Kε

τ

|φ((ψετ )−1(w))− φj((ψ

ε)−1(w))(F · ντ )(w)| dH n−1(w)

≤∫Kε

|Jψετ ||(φ− φj)(w)||(F · ντ )(ψετ (w))|dH n−1(w)

≤ C

∫Kε

|(φ− φj)(w)|dH n−1(w).

81

com |Jφτ | ≤ C e |F · ντ | ≤ C para todo τ > 0 pequeno. Portanto, fixando j e passando

ao limite quando τ → 0, implica que Iτ2 converge a zero; pois para cada φj anula-se fora

de uma vizinhanca de Pj ⊂⊂ Kε. Agora, fazendo j → ∞ segue que Iτ1 e Iτ3 convergem

a zero, pois φj → φ em L1(Kε). O que prova a primeira identidade. Para ver a segunda

aplique a Formula da Area e use o fato de que a deformacao e regular, isto e,

limτ→0

Jφετ = 1,

para obter a segunda identidade.

Observe que o Teorema (5.28) tambem e satisfeito se a fronteira for contınua. Agora,

se E e um conjunto com fronteira Lipschitz, a nocao de traco normal, Teorema (5.23),

coincide com a nocao de traco normal introduzida em Chen & Frid [6], usando deformacoes

Lipschitz. Esse fato pode ser provado da mesma maneira que o Teorema (5.28) quando

a ∂E e Lipschitz deformavel. Alem disso, foi provado em [6] que se ∂E e lipschitz

deformavel e ||div F ||(∂E) = 0, o traco obtido por deformacoes Lipschitz coincide com o

usual significado de F · ν para H n−1 quase todo ponto x ∈ ∂E, com ν a normal unitatia

interior a E. Portanto, o traco construıdo em Chen & Torres [9] tem a mesma propriedade

do traco introduzido em [6].

82

Apendice A

Notacao

A.1 Notacao Vetorial e de Conjuntos

1. Rn (n ≥ 1) e o espaco Euclideano real n-dimensional, e R1 = R.

2. x = (x1, . . . , xn) e um tıpico ponto do Rn. As vezes, escreveremos x = (x′, xn) ∈ Rn

para x′ ∈ Rn−1.

3. x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn e o produto interno usual do Rn e |x| =√x2

1 + · · ·+ x2n =

√x · x e a norma Euclidiana do Rn.

4. O vetor α = (α1, . . . , αn), onde αi ∈ N, i = 1, . . . , e denominado um multi-ındice

de ordem |α| = α1 + · · ·+ αn.

5. Seja r > 0. Dizemos que

B(x; r) = y ∈ Rn : |x− y| < r

e a bola aberta do Rn, e

B[x; r] = y ∈ Rn : |x− y| ≤ r

e a bola fechada do Rn. E escreveremos α(n) para o volume da bola unitaria do Rn.


Q(x; r) = y ∈ Rn : |xi − yi| < r, i = 1, . . .

e o cubo aberto do Rn, e

Q[x; r] = y ∈ Rn : |xi − yi| ≤ r i = 1, . . .

83

e o cubo fechado do Rn.


C(x; r, h) = y ∈ Rn : |x′ − y′| < r, |xn − yn| < h

e o cilindro aberto do Rn

8. Seja E um conjunto do Rn. Escrevemos ∂E para a fronteira topologica de E, E

para o fecho de E e Eo, ou int(E), para o interior topologico de E.

9. U, V, W sao usualmente conjuntos abertos do Rn e K, um conjunto compacto do

Rn. Ainda, dizemos que V esta compactamente contido em U , e denotamos por

V ⊂⊂ U , se V e compacto e V ⊂ U .

A.2 Notacao para funcoes

Dado U um subconjunto do Rn, seja f : U −→ Rm um funcao tal que f = (f1, . . . , fm).

1. Dizemos que spt(f) = f 6= 0 e o suporte da f . Ainda, dizemos que f tem suporte

compacto em E se spt(f) ⊂ U e compacto.

2. f+ = max(f ; 0), f− = max(−f ; 0), f = f+− f− e |f | = f+ + f−. Alem disso, XE e

a funcao caracterıstica de E, isto e,

XE(x) =

1, se x ∈ E

0, se x /∈ E.

3. Dado um multi-ındice α tal que |α| ≤ k, definimos

Dαf(x) :=∂|α|f(x)

∂xα11 . . . ∂xαn

n

= ∂α1x1. . . ∂αn

xnf(x),

Dαf := (Dαf 1, . . . , Dαfm);

i Se k e um inteiro positivo, entao

Dkf := Dαf : |α| = k e |Dkf |2 =∑|α|=k

|Dαf |2.

ii Se m=1, entao

∇f = (fx1 , . . . , fxn) (Vetor Gradiente de f).

84

iii Se k = 1 entao

Df =

∂f1∂x1

∂f1∂x2

. . . ∂f1∂xn

∂f2∂x1

∂f2∂x2

. . . ∂f2∂xn

......

. . ....

∂fm

∂x1

∂fm

∂x2. . . ∂fm

∂xn

m×n

(Matriz gradiente de f).

Ainda, se n = m, o jacobiano de f e Jf(x) = det(Df), e se n 6= m entao Jf(x)

e a soma dos subterminantes n× n de Df .

A.3 Espacos de funcoes

1. C(U) = f : U −→ R | f e contınua

2. C(U) = f ∈ C(U) | f e uniformente contınua

3. Ck(U) = f : U −→ R | f e k-vezes continuamente diferenciavel

4. Ck(U) = f ∈ Ck(U) | Dαf ∈ C(U), para toda |α| ≤ k

5. C∞(U) = f : U −→ R| f e infinitamente diferenciavel

6. Cc(U), Ckc (U), etc. denota as funcoes de C(U), Ck(U), etc. com suporte compacto.

7. BV (U) e o espaco das funcoes de Variacao Limitada.

8. DM(U) e o espaco de campos de medida divergente.

9. D(U) e o espaco das funcoes teste e D′(U) e o espaco das distribuicoes.

10. Lp(U) = f : U −→ R| f e Lebesgue mensuravel, ||f ||Lp(U) <∞, onde

||f ||Lp(U) :=

(∫|f |pdx

) 1p

(1 ≤ p ≤ ∞).

11. L∞(U) = f : U −→ R| f e Lebesgue mensuravel, ||f ||L∞(U) <∞, onde

||f ||L∞(U) := ess supU|f | = infC ∈ R : ||f | > C| = 0.

12. Lploc(U) = f : U −→ R| f ∈ Lp(U) para cada V ⊂⊂ U.

13. M(U) e o espaco das medidas de Radon com sinal.

14. M(U ; Rn) e o espaco das medidas de Radon vetorial.

15. W k,p(U) e o espaco de Sobolev.

85

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Variation. Springer-Verlag: New York, 1989.

87

Indice Remissivo

σ-algebra, 7

Campo de Medida Divergente, 42

Local, 43

Conjunto

µ-mensuravel, 8

de Caccioppoli, 62

de Perımetro Finito, 62

Deformacao Lipschitz, 53

Derivada

distribuicional, 27

fraca, 26

Distribuicao, 25

Espaco

BV, 33

de Medida Divergente, 42

de Sobolev, 28

Formula

da Area, 17

da Coarea, 17

da mudanca de variaveis, 17

de Gauss Green, 58

de Gauss-Green, 22, 30, 38, 77

Fronteira Lipschitz, 20

Fronteira Lipschitz Deformavel, 53

Funcao

µ-mensuravel, 8

BV, 33

BV local, 33

de Sobolev, 28

Lema

de Du Bois Raymond, 18

de Fatou, 10

Limite

Aproximado, 67

Aproximado Restrito, 68

Medida, 8

absolutamente contınua, 13

Borel Regular, 8

com sinal, 10

de Borel, 8

de Hausdorff, 16

de Radon, 8

de variacao, 14

Particao da Unidade, 22

Ponto

de Lebesgue, 13

regular, 68

Regularizador padrao, 18

88

Teorema

da Convergencia Monotona, 11

de Egoroff, 9

de Fubini, 12

de Gauss-Green Generalizado, 66

de Lebesgue-Besicovitch, 13

de Lusin, 8

de Radamacher, 17

de Radon-Nikodym, 13

de Representacao de Riesz, 14

Traco, 30, 39

Traco Normal, 58

Valor Medio, 68

Variacao de uma funcao, 34

Vetor Definido, 68

89

Campos de Medida Divergente e a F´ormula de Gauss-Green · Green, tamb´em conhecido como o...

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