Clculo do Caminho com Menor Custo Usando

o Algoritmo de Colnia de Formigas em

Ambientes Dinmicos

Fbio Daniel Martinho Ferreira

Instituto Politcnico de Viseu, Escola Superior de

Tecnologia e Gesto de Viseu, Mestrado em Sistemas e

Tecnologias de Informao para as Organizaes,

Computao Inspirada em Vida

Tel. 936761561

email:martinhoferreira10@gmail.com

Tiago Alexandre Marques da Silva

Instituto Politcnico de Viseu, Escola Superior de

Tecnologia e Gesto de Viseu, Mestrado em Sistemas e

Tecnologias de Informao para as Organizaes,

Computao Inspirada em Vida

Tel. 963826602

email:tmarquesdasilva@gmail.com

Resumo O problema do caminho com menor custo um problema tpico de optimizao, sendo abordado em diferentes

reas. Existem diversos algoritmos, sendo o algoritmo de Dijkstra,

na Investigao Operacional, e a procura A*, na Inteligncia

Artificial, mtodos bem conhecidos. Existem algoritmos inspirados

no funcionamento de sociedades naturais que trazem uma

abordagem diferente para a resoluo deste problema em ambientes

cuja informao varia ao longo da execuo do algoritmo, ou seja,

em ambientes dinmicos. Este documento pretende aplicar um

mtodo inspirado no comportamento das formigas, conhecido como

o algoritmo de Optimizao de Colnia de Formigas, para a

procura de um caminho mais curto quando existem vrios fatores

externos que influenciam a sua escolha durante a procura da

soluo.

Palavras-chave Caminho mais Curto, Colnia de Formigas, Optimizao, Ambientes Dinmicos

I. INTRODUO

roblemas como o caminho de menor custo esto entre os

principais problemas estudados em diversas reas como a

geometria; logstica; sistemas de localizao geogrfica, etc.

O problema do caminho de menor custo poder ser resolvido

utilizando vrias abordagens, sendo algumas delas

provenientes de reas com propsitos bastante diferentes, mas

na maioria dos casos tm em comum, a estrutura como o

problema organizado na sua fase inicial um grafo[1].

A aplicao de mtodos, como o algoritmo de Dijsktra[2] e

a procura A*[3], pressupem que os custos entre os nodos do

grafo sejam iguais ao longo da execuo do algoritmo, e mais

importante ainda, que esses custos no sejam afectados por

fatores externos. Mecanismos como o GPS (Global

Positioning System)[4] calculam os custos levando em

considerao o tempo ou a distncia. Utilizando o GPS para

calcular um conjunto de rotas, em que o factor determinstico,

o factor tempo, no existe garantia que o resultado real,

pois um caminho que teoricamente mais rpido em relao a

outro, poder deixar de o ser se este apresentar maior trfego,

sendo o trfego actualizado durante a procura.

Este artigo visa aplicar o algoritmo inspirado no

comportamento das formigas na procura de alimento[5], tendo

em conta o caminho de menor custo, em que existindo vrias

localidades, com diferentes tempos de viagem entre si ou

distncias, calcule o caminho de menor custo tendo em conta a

ocorrncia de fatores externos durante a execuo do

algoritmo.

II. ALGORITMO APLICADO

ESTRUTURA DE DADOS

A aplicao foi desenvolvida com um grafo definido, no

entanto, o custo entre os arcos parametrizvel pelo utilizador

assim como demais variveis que sero discutidas ao longo

deste captulo.

P

Fig. 1. Grafo representativo de um problema de caminho mais rpido, sendo os bales os nodos, por exemplo, localidades, e os arcos entre

eles o tempo de viagem, em horas, entre as mesmas. O ponto inicial

neste grafo o nodo A, sendo o objectivo final o nodo F.

Fig. 2 Grafo utilizado na aplicao prtica (Nmeros representam as

identificaes dos ns)

A. N Inicial e N Final

As formigas, no algoritmo aplicado, comeam todas no

mesmo ponto e tm um objetivo em comum alcanar o n

final. O algoritmo aplicado permite que o utilizador

especifique o n inicial e o n final.

O nmero de formigas tambm parametrizvel na

aplicao, no havendo qualquer limite para este valor, assim

como o nmero de iteraes.

B. Escolha Do Prximo Caminho

Inicialmente um conjunto de agentes colocado num n

origem, e a partir daqui comeam-se a construir solues,

sendo que nesta construo, cada agente analisa os caminhos

possveis de seguir, ou seja, os ns aos quais se pode ligar.

A escolha do prximo n a visitar feita

probabilsticamente atravs da seguinte frmula:

Quantidade de feromona no arco entre o n i (origem

atual) e o n j (n destino)

Valor inversamente porporcional distncia entre o n

i (origem atual) e o n j (n destino)

Alfa

Beta

Como se pode verificar pela frmula anterior quanto maior

for o custo menor ser a probabilidade de um caminho ser

escolhido. Quanto maior for o valor de feromona num arco

maior ser a probabilidade desse caminho ser escolhido.

As variveis alfa e beta so parmetros que determinam,

respectivamente, a influncia da feromona e da informao

heurstica no clculo probabilstico. Estas variveis so

importantes para o algoritmo, dado que influenciam o grau de

explorao do espao de solues e o tempo de convergncia,

sendo que influenciam a soluo gerada ao fim de n iteraes.

Um alfa elevado indica que a importncia da feromona

elevada para escolher o prximo n a visitar, j por sua vez,

um valor elevado de beta indica que o custo um factor

importante para a mesma deciso. A escolha dos valores

destas variveis deve ser bem ponderada, dependendo do

problema a resolver. Para este tema clculo do caminho de

menor custo em ambientes dinmicos faz sentido atribuir

mais importncia ao custo (beta) do que feromona (alfa)

pois o dinamismo durante a execuo do algoritmo leva a que

os pesos dos arcos sejam modificados, mas se a abordagem

fosse alterar o valor de feromona com o mesmo dinamismo

ento faria sentido optar pelo contrrio, ou seja, um maior

valor de feromona (alfa) e um menor valor para o custo (beta).

O valor destas variveis parametrizvel na aplicao.

C. Depsito de Feromona

Em cada iterao um agente deposita uma certa quantidade

de feromona num caminho percorrido, esse depsito feito

utilizando a seguinte frmula:

Valor de feromona a depositar entre o n i e n j

Distncia entre o n i e n j

Como se pode constatar pela anlise da frmula anterior,

quanto maior for o custo de um caminho, menor ser o valor

de feromona depositada no arco em questo, sendo isto

importante no no momento do depsito em si, mas sim

posteriormente no clculo probabilstico do prximo n a

visitar.

D. Evaporao de Feromona

A evaporao da feromona um passo importante neste

algoritmo pois aumenta o grau de explorao de novas

solues. Para percebermos a importncia desta evaporao

vamos analisar o tradicional problema das duas pontes[5].

Numa fase inicial o nico caminho entre a colnia e o

alimento era o caminho debaixo, que comparativamente com o

caminho de cima duas vezes mais longo. As formigas

passado algum tempo formaram uma trilha entre a colnia e o

alimento. Depois da trilha formada, foi adicionado o caminho

de cima que era duas vezes menor que o caminho de baixo. As

formigas continuaram durante muito tempo a ir pelo caminho

mais longo, e verificou-se que apenas com a ajuda de

alteraes externas (chuva, ambiente, outros insectos no

caminho, etc.) que o caminho de cima comeou a ser o

escolhido pelas formigas, sendo que passado algum tempo,

estas comearam a ir na grande maioria das vezes por este

caminho. Concluso, fatores externos fizeram com que o nvel

de feromona no caminho de baixo diminusse, e com isso, o

caminho efectivamente mais curto passou a ser o escolhido, se

Fig. 3 Frmula para determinao do prximo n a visitar

Fig. 4 Frmula para calcular o depsito de feromona num arco

Fig. 5 Problema das duas pontes

no tivesse havido evaporao de feromona, as formigas

continuariam a optar pelo caminho mais longo.

Na aplicao prtica a evaporao de feromona feita

atravs da seguinte frmula:

Quantidade de feromona no arco entre o n i e j

Rho

A constante rho indica a influncia da evaporao no

processo, sendo que quanto maior for este valor mais

feromona decrescer ao fim de cada iterao. A escolha de um

valor para esta varivel importante, pois quanto maior for

este valor maior ser o grau de explorao do algoritmo mas

ao mesmo tempo o grau de focalizao ser menor. Este valor

na maior parte das vezes tem um valor de 0.5, sendo que o

valor desta varivel deve estar num intervalo de 0 a 1. Na

aplicao o rho parametrizvel.

E. Modo Forward e Modo Backward

Existem diversas aplicaes algortmicas do algoritmo de

Optimizao de Colnia de Formigas para diferentes

problemas. Na aplicao prtica optou-se por em cada iterao

fazer cada formiga percorrer o caminho desde o n inicial at

ao n final, e chegando a este, a mesma volta para o n inicial.

Quando a formiga parte do n inicial para o n final diz-se

estar em modo forward, j quando faz o caminho inverso est

em modo backward.

No modo forward a formiga no deposita feromona nem

existe qualquer evaporao da mesma. Neste modo cada

formiga em cada iterao constri um caminho desde o n

inicial at ao n final, sendo que a escolha de cada caminho

entre um n i e um n j feita atravs da frmula

probabilstica para escolha do prximo caminho. Quando a

formiga chega ao n final, conhecendo este como tal, sabe que

dever trocar de modo forward para backward e voltar ao n

inicial. Neste ponto existe para cada formiga um caminho

completo que dever ser percorrido desta vez em sentido

contrrio, no entanto, o caminho a percorrer para o n inicial

poder mudar. Quando a formiga constri o caminho usa,

como j foi referido, a frmula probabilstica para decidir qual

o prximo n a visitar, fazendo isto, at chegar ao n final, no

entanto neste processo nada garante que a formiga possa optar

por piores caminhos (caminhos com maior custo

comparativamente com outros) ou construir ciclos locais,

sendo que a nica regra estabelecida que uma formiga no

pode voltar ao n em que esteve anteriormente. Ao permitir

que um agente possa optar por piores solues faz com que

possa explorar mais o espao de solues, no entanto, o facto

de puderem existir ciclos locais pode fazer com que os agentes

fiquem presos em certas zonas da trilha durante algum tempo,

fazendo com que o esforo computacional seja maior e

desnecessrio. Para evitar este problema optou-se por fazer

uma optimizao no caminho construdo desde o n inicial at

ao n final no momento em que a formiga chega a este ltimo

e deve voltar ao incio. Esta optimizao altera o caminho

construdo eliminando o primeiro ciclo encontrado no mesmo.

Para todas as formigas, cada caminho percorrido, desde o

fim at ao incio e o primeiro ciclo a ser encontrado

eliminado. importante reparar que apenas eliminado o

primeiro ciclo encontrado e no todos, pois se optssemos por

esta ltima soluo o esforo computacional seria bem maior.

Depois de uma formiga partir do n inicial, ter construdo

uma caminho at ao n final, e esse caminho ter sido

optimizado como descrito anteriormente, esta muda para o

modo backward. Neste modo a formiga percorre o caminho

optimizado, no sentido inverso, sendo que em cada n visitado

deposita feromona recorrendo frmula para o depsito da

mesma. Quando a formiga deposita feromona existe depois o

processo de evaporao, sendo que esta feita de acordo com

a frmula para a evaporao de feromona.

F. Resumo do Algoritmo

Segue-se o pseudo-cdigo de alto nvel do algoritmo

aplicado:

Fig. 6 Frmula para evaporao da feromona

Fig. 7 Eliminao do primeiro ciclo encontrado no caminho

Fig. 7 Pseudo-cdigo de alto nvel do algoritmo

III. EXPERINCIA E RESULTADOS

EXPERINCIA

A experincia tem como objetivo mostrar a adaptao do

algoritmo a fatores externos. Partindo de uma localizao

inicial para uma localizao final mostrar-se- o

comportamento do algoritmo quando existem fatores externos

a perturbar a execuo do algoritmo.

Nmero de formigas: 10

Nmero de iteraes: 1500

Valores usados para alfa, beta e rho: 2.5; 6; 0.99

N Inicial: 0

N Final: 9

O nmero de iteraes e de formigas escolhido no foi alvo

de muita reflexo, foram corridos vrios testes e estes valores

revelaram-se satisfatrios para o objetivo pretendido. Como se

pode constatar pelos valores atribudos a alfa e beta, foi dada

uma maior importncia ao custo do que ao valor da feromona

(os fatores externos influenciaram o custo das ligaes, da a

deciso). A escolha do n inicial e do n final foi feita de

maneira a que caminhos com diversas localizaes vizinhas

pudessem ser escolhidos, de maneira a mostrar a correcta

adaptao do algoritmo.

A. Resultado ao fim de 500 iteraes

Soluo encontrada: 0-13-12-10-9

Custo da soluo: 97 unidades

Como se pode verificar o caminho que o algoritmo calcula

efectivamente o mais curto. Para simular a ocorrncia de

fatores externos, que mudam a soluo encontrada at ao

momento da sua ocorrncia, mudou-se o valor da ligao entre

o n 12 e 13, na iterao 500. O valor da ligao entre estes

ns passou de 9 para 40 unidades.

B. Resultado ao fim de 1500 iteraes

Soluo encontrada: 0-13-14-16-9

Custo da soluo: 108 unidades

Como se pode verificar o algoritmo adaptou-se a eventos

externos de maneira a que a soluo se tornasse melhor,

embora diferente da inicial, comparativamente com a soluo

encontrada antes da ocorrncia de fatores perturbadores. Se o

algoritmo no se aptasse a estes eventos ao fim das 1500

iteraes teria um custo total de 129 unidades (com a

actualizao, na iterao 500, do custo da ligao entre o n

12 e 13).

Os grficos seguintes mostram os valores de feromona entre

os ns decisivos durante a execuo do algoritmo no problema

estudado:

Fig. 9 Valores de feromona entre os ns 12 e 13 ao fim de 1500 iteraes

Fig. 9 Valores de feromona entre os ns 13 e 14 ao fim de 1500 iteraes

Pode-se constatar a diminuio dos nveis de feromona

entre o n 12 e 13 a partir da iterao 500 (ocorrncia de

fatores externos), j por sua vez estes valores aumentam entre

o n 13 e 14 a partir do mesmo momento.

IV. CONCLUSES

A Optimizao de Colnia de Formigas um algoritmo que

se diferencia pela sua adaptao a ambientes dinmicos,

encontrando solues alternativas que inicialmente no eram,

comparativamente com outras, as melhores, mas que depois da

ocorrncia de eventos externos passam a ser boas solues.

O modo forward e backward, assim como a eliminao de

um possvel primeiro ciclo em cada soluo encontrada pelos

agentes foram duas abordagens que se revelaram eficazes e

eficientes em termos de tempo e de recursos computacionais,

pois o algoritmo corre com rapidez e fluidez.

Uma possvel alterao seria a substituio do modo

forward e backward por um mecanismo que, em cada iterao,

fizesse percorrer os agentes num nico sentido), e depois entre

as solues encontradas fosse aplicado outro algoritmo, como

a pesquisa tabu[8] ou o simulated annealing[9] para encontrar

a melhor soluo da iterao. O algoritmo passaria a ser

hibrido e mais flexvel para outros problemas para alm do

caminho de menor custo. Esta alterao seria uma de entre

vrias que se poderiam fazer a este algoritmo flexvel e de

mbito abrangente que a Optimizao de Colnia de

Formigas.

Fig. 8 Grafo utilizado na aplicao prtica

REFERNCIAS

[1] N. Biggs, E. Lloyd, and R. Wilson, "Graph Theory, 1736-1936, Oxford University Press, 1986.

[2] M. Barbehenn, A Note on the Complexity of Dijkstra's Algorithm for Graphs with Weighted Vertices, IEEE Transactions on Computers, Vol.

47, No.2,1998

[3] Dechter, Rina; Judea Pearl, "Generalized best-first search strategies and the optimality of A*". Journal of the ACM, No. 32, 1985, pp 505536

[4] R. Bajaj, S. L. Ranaweera and D. P. Agrawal, "GPS: Location-Tracking Technology", IEEE Computer, Vol. 35, No. 4, 2002, pp. 92-94.

[5] Marco Dorigo, Mauro Biratarri, Thomas Stutzle. Ant Colony Optimization, Computacional Intelligence Magazine, November 2006

[6] A. Mustafi, A. Jain, S. Sahana. A Comparative Study on Multicast Routing using Dijkstra's, Prims and Ant Colony. International Journal of

Computer Engineering and Technology, November 2010

[7] R. Claes and T. Holvoet. Ant Colony Optimizatioin applied to Route Planning using Link Travel Time predictions, IEEE International

Parallel & Distributed Processing Symposium, 2011

[8] F. Glover, M. Laguna (1997). "Tabu Search". Kluwer Academic Publishers.

[9] A. Das and B. K. Chakrabarti (Eds.), Quantum Annealing and Related Optimization Methods, Lecture Note in Physics, Vol. 679, Springer, Heidelberg (2005)