Cálculo+Diferencial+em+R

ChristianQ.Pinedoii Christian Quintana Pinedo2011 01A minha esposa: Karyn SiebertA meus lhos: Milagros, Andr,Matheus, Nykolas e Kevyn.iiiiv Christian Quintana PinedoDados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)Biblioteca da Universidade Federal do TocantinsCampus Universitrio de Palmas -TOQ7Quintana Pinedo, Christian JosClculo diferencial em R / Christian Jos Quintana Pinedo. -Palmas - TO, 2008.326 p.: il.ISBN-13: 978-84-691-8556-8.1. Clculo diferencial. I. Ttulo.CDD 515.3Publicado em:http://www.eumed.net/libros/2008c/457/index.htmISBN13 : 978 84 691 8556 8NoRegistro:08/118279 EUMED.NETUniversidad de Mlaga - EspaaConselho EditorialJorge Isauro Rionda (Mxico)Juan Carlos Martnez Coll (Espaa)Yolanda Vieira de Abreu (Brasil)Isaas Covarrubias Marquina (Venezuela)Manuel Juan Pelez Albendea (Espaa)Galo Pico Mantilla (Ecuador)Direitos exclusivos para lngua portuguesaCopyright c _ by, 2008 by Universidad de Mlaga - EspanhaSUMRIOIdentidades Diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiPREFCIO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii1 SISTEMA DE NMEROS REAIS 11.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistema de Nmeros Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Exerccios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Relao de Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Exerccios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Desigualdades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1 Inequao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2 Intervalos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.3 A Reta Ampliada. Intervalos Innitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Exerccios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Valor Absoluto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Exerccios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6 Axioma do Supremo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7 Induo Matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Propriedades dos Nmeros Inteiros.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8.1 Divisibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8.2 Mximo Divisor Comum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.8.3 Nmeros Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Exerccios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Miscelnea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 FUNES 512.1 Introduo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2 Relaes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 Domnio e Imagem de uma Relao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.2 Relaes de R em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Exerccios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57vvi Christian Quintana Pinedo2.3 Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.1 Denio Formal de Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.3.2 Domnio e Imagem de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.3 Obteno do Domnio de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3.4 Grco de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.5 Construo do Grco Cartesiano de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . 622.3.6 Funo: Biunvoca; Sobrejetiva; Bijetiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3.7 Funo Real de Varivel Real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Exerccios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4 Funes Especiais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.1 Funo Am. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.2 Funo Constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.3 Funo Identidade em R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4.4 Funo Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4.5 Equao de uma Reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.4.6 Funo Mximo Inteiro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.7 Funo Raiz Quadrada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.8 Funo Sinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.9 Funo Valor Absoluto dex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.4.10 Funo Quadrtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.11 Funo Racional Inteira ou Polinmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.12 Funo Racional Fracionria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.4.13 Funes de Oferta e Demanda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80Exerccios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.5 Operaes com Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.1 Composio de Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.5.2 Funo Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.5.3 Relao entre o Grco defe def1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Exerccios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.6 Outros Tipos de Funes Reais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.1 Funes Implcitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.2 Funo Peridica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.6.3 Funo Par. Funo mpar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.6.4 Funo Monotnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.6.5 Funo Limitada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.6.6 Funo Elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6.7 Funo Algbrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Exerccios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.7 Funes Transcendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.1 A Funo Exponencial de Base a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.7.2 Funo Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Clculo Diferencial em R viiExerccios 2-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.7.3 Funes Trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.7.4 Funes Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.7.5 Funes Hiperblicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121Exerccios 2-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Miscelnea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273 LIMITES 1293.1 Vizinhana de um Ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.2 Limite de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Exerccios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.2.1 Propriedades dos Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Exerccios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3 Limites Laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4 Limites ao Innito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Exerccios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.5 Limites Innitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.6 Limite de Funes Transcendentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6.1 Limites Trigonomtricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593.6.2 Limites das Funes Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 1603.6.3 Limite da Funo Exponencial e Logartmica. . . . . . . . . . . . . . . . . 162Exerccios 3-4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Miscelnea 3-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734 DERIVADAS 1754.1 Conceitos Bsicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.2 Derivada de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2.1 Reta Tangente. Reta Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794.3 Derivadas Laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.4 Derivabilidade e Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.4.1 Regras de derivao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1854.4.2 Derivada de Ordem Superior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.4.3 Derivada da Funo Inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1914.4.4 Regra da Cadeia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1924.4.5 Derivada de uma Funo Implcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Exerccios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974.5 Derivada de Funes Transcendentes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.5.1 Derivada das Funes Trigonomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.5.2 Derivada das Funes Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . 2034.5.3 Derivada das Funes: Exponencial e Logartmica. . . . . . . . . . . . . . 205Exerccios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.6 Aproximao Local de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211viii Christian Quintana Pinedo4.6.1 Funo Diferencivel e Diferencial de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . 2124.6.2 Propriedades do Diferencial de uma Funo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2134.6.3 Signicado Geomtrico do Diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2144.7 Teorema Sobre Funes Derivveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.7.1 Interpretao Geomtrica do Teorema de Rolle. . . . . . . . . . . . . . . . 2204.7.2 Interpretao Geomtrica do Teorema do Valor Mdio. . . . . . . . . . . . 222Exerccios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Miscelnea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2295 APLICAES DAS DERIVADAS 2315.1 Velocidade Instantnea. Acelerao Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2315.1.1 Velocidade Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2325.1.2 Acelerao Instantnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Exerccios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2355.2 Estudo do Grco de Funes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.2.1 Funo: Crescente ou Decrescente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2375.2.2 Assntotas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Exerccios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2555.3 Formas Indeterminadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2595.3.1 Formas Indeterminadas Redutveis Forma00ou. . . . . . . . . . . . 264Exerccios 6-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2695.4 Aplicaes Diversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271Exerccios 6-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Miscelnea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Referncias Bibliogracas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283ndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284Clculo Diferencial em R ixIdentidades algbricasConsiderar a b Re m, n Z, en geral tem-se: aman= am+n (am)n= amn (ab)m= ambm_ab_m=ambm, b ,= 0aman= amn (a +b)2= a2+ 2ab +b2 (a b)n= a22ab +b2 a3b3= (a b)(a2+ab +b2) am/n=nam= (na)m, a > 0nab =na nb, a > 0, b > 0n_na =mnan_ab=nanb, a > 0, b > 0 an=1an, a ,= 0 (a +b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+b3 (a b)3= a33a2b + 3ab2b3 a3+b3= (a +b)(a2ab +b2) anbn= (a b)(an1+an2b +an2b2+ +abn2+bn1) an+bn= (a +b)(an1an2b +an3b2 abn2+bn1) quandon-mparIdentidades trigonomtricasConsiderar , R. sen () = sen sen 2 + cos2 = 1 tan2 + 1 = sec2 cot2 + 1 = csc2 sen 2 =1 cos 22 sen 2 = 2sen cos sen ( +) = sen cos + sen cos tan( +) =tan + tan 1 tan tan 2sen sen = cos( ) cos( +) 2sen cos = sen ( +) + sen ( ) cos() = cos sen csc = 1 cos sec = 1 tan cot = 1 cos2 =1 + cos 22 cos 2 = cos2 sen 2 sen ( +) = cos cos + sen sen tan(2) =2 tan 1 tan2 tan =1 cos2sen 2=sen 21 + cos 2 2 cos cos = cos( +) + cos( )x Christian Quintana PinedoIdentidades geomtricas1. A=rea, P= permetro, l= lado, r = raioQuadrado Retngulo CrculollA = l2P= 4labA = b aP= 2(a +b)A = r2P= 2r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. A=rea, P= permetro, c= hipotenusa, a eb = catetos, h = altura, r = raio, = ngulo central, L = comprimento do setor circularTeorema de Pitgoras Tringulo Setor circular>>>>>>>>>> cabc2= a2+b2``````

chbaA =12b hP= a +b +cA =12r2P= r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. A=rea, P= permetro, B= base maior, b = base menor, h = altura,R = raio maior,r = raio menor,Paralelogramo Trapezide Coroa circular

hbA = b h

bhBA =12(B +b)h A = (R2r2)hP= 2(R +r). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Clculo Diferencial em R xi4. A=rea, P= permetro, S= superfcie total, V= volume, h = altura, r = raioTringulo Equiltero Paralelepipedo reto Cilindro

lhllA =34l2h =32l

abc

V= a b cS = 2(a +b)c + 2abV= r2hS = 2rh + 2r2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5. V= volume, h = altura, r = raio, S = superfcieTringulo Cone circular reto Tronco de cone``````

cbaA =_p(p a)(p b)(p c)p =a +b +c2V=13r2hS = rr2+h2V=13(R2+rR +r2)h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6. V= volume, h = altura, r = raio, S = superfcieEsfera PrismaV=43r3S = 4r2V= B hB = rea da basexii Christian Quintana PinedoIdentidades para derivadasSejamC= constante, n Q, a R, f(x), g(x) = funes, =ngulo, Ln x=logaritmoneperiano, logbx = logaritmo natural na baseb. DxC = 0 Dx(fg) = fDxg +gDxf Dxf(g(x)) = Dxf(g(x))Dxg Dxef= ef Dxef Dx(Ln f) =1fDxf, f ,= 0 Dxsen x = cos x Dx cos x = sen x Dx sec x = sec xtan x Dxarcsen x =11 x2 Dx arctanx =11 +x2 Dx(f +g) = Dxf +Dxg Dx(fg) =gDxf Dx[f]n= nDx[f]n1 Dxaf= af Dxaf Ln a, a > 0 Dx(logbf) =1fLn bDxf, f ,= 0 Dx tan x = sec2x Dx cot x = csc2x Dx csc x = csc xcot x Dx arccos x = 11 x2 Dxarcsec x =1xx21Identidades diversas Suponhamos b, c R+, m Qtem-se: logba=N a=bN. Logo: (i)logb(ac) = logba + logbc, (ii) logb(a/c) = logba logbc, (iii) logbam= mlogba,(iv) logca = logbalogcbPara nmeros na base decimal: anan1 a1a0 = 10nan + 10n1an1 + + 10a1 +a0Equivalncia entre graus sexagesimais e radianos. graus radianos sen cos tan cot sec csc 0o0 0 1 0 1 30061232333233245o422221 12260o33212333223390o21 0 0 1PREFCIOO propsito de umprimeiro curso de Clculo Diferencial ensinarao estudante as noesbsicas da derivada assim como as tcnicas e aplicaes elementares que acompanham tais con-ceitos.Esta obra representa o esforo de snteses na seleo de um conjunto de problemas que, comfreqncia se apresenta quando um estudante de engenharia comea a estudar clculo. O objetivodeste trabalho introduzir os principais conceitos do clculo diferencial de uma varivel e suasaplicaes, assim como orientar a metodologia para que o leitor possa identicar e construir ummodelo matemtico e logo resolv-lo.Cadacaptuloseiniciacomosobjetivosquesepretendealcanar; afartavariedadedosexemplos e exerccios apresentados esto classicados de menor a maior diculdade.Avariedadedos problemas eexerccios propostos pretendetransmitir minhaexperinciaprossional durante muitos anos de exerccio como Consultor em Matemtica Pura e Aplicada,assim como professor de ensino superior, com atuao na graduao e ps-graduao da docnciauniversitria.Fico profundamente grato com os estudantes dos diversos cursos onde difundi as idias e ocontedo das notas deste trabalho. Tambm agradeo as contribuies e sugestes dos leitores,em particular dos meus colegas pela sua constante dedicao para a reviso e soluo dos pro-blemas propostos.Christian Quintana Pinedo.Palmas - TO, Agosto de 2008xiiixiv Christian Quintana PinedoA matemtica apresenta invenes to sutis que podero servir no s para satis-fazer os curiosos como, tambm para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.R. Descartes (1596 1650)No adianta ter um mar de conhecimentos, com a profundeza de um milmetro.Ch. Q. Pinedo (1954)Captulo 1SISTEMA DE NMEROS REAISEratstenesEratstenes nasceu em Cirene (276 a.C. 197 a.C.), o que hojeaLbia. DepoisdeestudaremAlexandriaeAtenaselesetornoudiretor da famosa Biblioteca de Alexandria. .Eletrabalhoucomgeometriaenmeros primos. Eratstenes maisconhecidopeloseucrivodenmerosprimos(oCrivodeEr-atstenes), oqual, comalgumas modicaes, aindauminstru-mento importante de pesquisa na Teoria dos Nmeros.Eratstenes tambm fez uma medio extremamente precisa da cir-cunferncia da Terra, comparando as sombras produzidas pelo Sol domeio-dia no vero em Siena e Alexandria. Ele calculou a circunfern-ciadaTerraem250.000estdios(medidadecomprimentousadanapoca), a distncia at o Sol em 804.000.000 estdios e a distncia daTerra Lua em 780.000 estdios. .EletambmmediuainclinaodoeixodaTerracomgrandepreciso, encontrandoovalorde23graus, 51

15

. Tambm organizou um catlogo astronmico contendo 675 estrelas.Eratstenes cou cego em idade avanada e diz-se que teria cometido suicdio, recusando-se a comere conseqentemente morrendo de inanio.A palavra crivo signica peneira. O que Eratstenes imaginou foi uma peneira capaz de separar osnmeros primos dos compostos. A idia do Eratstenes foi a seguinte: j que um nmero primo aquelequesomentepossuidoisdivisoresinteiros-o1eelemesmo-poderiahaverumapeneiraquepudesseseparar estes nmeros (que s tm dois divisores, e portanto so primos) dos outros, que possuem maisde dois divisores (e so chamados de compostos).1.1 Introduo.Penso que a matemtica em geral sustenta-se em duas pilastras:1oUma delas a lgicamatemtica" que se desenvolve por meio de proposies (frases) asquaispodemosatribuirumvalorlgicodeverdadeoudefalsidade(somenteumdestesvalores). Por exemplo:A terra tem a forma arredondada (v = verdade).A terra de forma quadrada (f= falso)12 Christian Quintana PinedoNa lgica matemtica, a negao de uma proposio no implica a armao do contrrio.2oO outro ponto de apoio da matemtica o clculo, que ser objeto de nosso estudo.Oestudofundamental doclculoestorientadoaconceitosdediferenciao, integraoesuas aplicaes em diversos campos do conhecimento matemtico. Por exemplo:Um fabricante de caixas de papelo deseja fazer caixas sem tampa, usando pedaos quadra-dos de papelo com 40 cm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e virandoverticalmente (para cima) os quatro lados. Achar o comprimento dos lados dos quadradosa serem cortados a m do obter uma caixa com o maior volume possvel.Umdistribuidoratacadistatemumpedidode30.000caixasdeleitequechegamacada5 semanas. As caixas so despachadas pelo distribuidor a uma razo constante de 1.800caixas por semana. Se a armazenagem numa semana custa 5 centavos de real por caixa .Qual o custo total de manuteno do estoque durante 10 semanas ?Paracompreenderbemasoperaesfundamentaisdoclculo, estudaremosalgumaspro-priedades dos nmeros reais, bem como as operaes que so permitidas com os mesmos.1.2 Sistema de Nmeros Reais.O estudo dos nmeros reais pelo mtodo axiomtico, consiste em denir este sistema numricomediante um grupo de axiomas, de modo que qualquer conjunto de nmeros: naturais, inteiros,racionais e irracionais sejam formados por subconjuntos prprios do conjunto de nmeros reaisR.Haoutromododeseestudarosnmerosreais, podemosdeni-losemtermosdenmerosracionais,usando os clssicos cortes de Dedekind1ou as sucesses de Cauchy2. Porm,parao nosso estudo de - Clculo Diferencial em R - suciente introduzir o sistema pelo mtodoaxiomtico.Consideremos os seguintes conjuntos numricos:N = 0,1,2,3,4,5, , n , . . . naturais.Z = -, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,+ . . . inteiros.Q = ab/. a, b Z, b ,= 0 . . . racionais.Q = , 2, 32, , 1,0,1,52,3, 114,+ . . . racionais.I = 2, , e, 37,5, . . . irracionais.R = Q I . . . reais.1Richard Dedekind (1831 1916) quem foi aluno de Carl F. Gauss (1777 1855) e Dirichlet(1805 1859).Estudou o problema dos nmeros irracionais, mais bem conhecido pelo seu trabalho nos fundamentos do sistemade nmeros reais.2Augustin Cauchy (17891857) foi o fundador da anlise moderna, aportou importantes resultados em outrasreas da matemtica. Alm de suas atividades polticas e religiosas, escreveu759 trabalhos em matemtica.Clculo Diferencial em R 3C = a +bi; a, b R onde i =1 . . . complexosC = 1 + 2i,3 + 2i,5 4i, 1 i, i,2,8i,7, . . . complexosQualquer nmero real pode ser considerado como um nmero racional ou nmero irracional.Estes nmeros racionais consistem dos seguintes:a)Os inteiros positivos, negativos e o zero: 6, 5, 4, , 1,0,1,2,3,,12,13,14,.b)As fraes positivas e negativas: 85, 12, , 9615 ,85,1314,.c)Os nmeros decimais limitados (positivos e negativos):5, 37 =537100, 3, 2841 = 3284110000, 0, 528 =5281000d)Os nmeros decimais ilimitados (positivos e negativos):0, 33333339, 3, 745745745 3745999 2, 5858585858 2+ 5899,8, 9999999 8 + 99 importante lembrar que o smbolo signica aproximadamente. Observe:Se consideramos que 0, 999999=99= 1 isto um absurdo j que o nmero 1 inteiro e0, 999999 um nmero decimal com uma innidade de dgitos nove. Assim melhor entenderque 0, 99999999= 1 Os nmeros irracionais so aqueles nmeros decimais no peridicos. Por exemplo:5 = 2, 2360679774997896;19 = 4, 35889894354067 = 3, 14159265358979323846; -328 = 3, 03658897187 A Figura (1.1) mostra mediante diagramas de Venn3a relao de incluso entre os conjuntos.C R_

NZ_

QIFigura 1.1: Conjunto NumricoNotaes:N+= N 0 = 1,2,3,4,5, , n,Z+= 1,2,3,4,5,+ importante destacar que o nmero zero no nmero positivo nem negativo.3John Venn (1834-1923) publicou Lgica Simblica em 1881 e Os Princpios de Lgica Emprica em 1889. Osegundo destes bastante menos original, mas o primeiro foi descrito por Keynes como provavelmente o trabalhomais duradouro em lgica.4 Christian Quintana PinedoSuponha que tenhamos a realizar operaes aritmticas elementares (adio, subtrao, mul-tiplicao, diviso, potenciao e radicao) com dois nmeros quaisquer de um subconjunto dosnmeros reais, e desejamos que o resultado pertena ao mesmo subconjunto.Observe que, com os nmeros naturais 4 e 7 no possvel efetuar a operao 47 (subtrao),pois sabemos que 4 7 no pertence ao conjunto N. Assim, em geral temos que em:Nsomente possvel efetuar operaes de adio e multiplicao.Zsomente possvel efetuar operaes de adio, subtrao e multiplicao.Q possvel efetuar operaes de adio, subtrao , multiplicao e diviso (desde que o divisorno seja zero).I possvel efetuar operaes de modo restrito.Rpodemos efetuar operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso (desde que o divisorno seja zero).C possvel efetuar operaes de adio, subtrao, diviso (com divisor no zero), multiplicao,potenciao e radicao.Oconjuntodosnmeroscomplexos Ctemmaispropriedadesqueoconjuntodosnmerosreais R. Nosso objetivo neste captulo ser estudar as propriedades importantes do conjunto R.Aos elementos de x R possvel associar um ponto de uma reta, de modo que a este nmeroreal x corresponda um, e somente um, nico ponto Tcomo indica a Figura(1.2). +R 0 1 2 3 x1 2 3 4, , , , , , , , ,

Figura 1.2: Reta numricaDizemos sistema de nmeros reaisao conjunto R, que satisfaz as operaes de adio (+),multiplicao (), uma relao de ordem (< ) que se l menor quee o axioma do supremo.O sistema de nmeros reais pode ser denotado como (R, +, , < ) ou simplesmente escreve-seR.Outra notao para a multiplicao um ponto. Assim, por exemplo, se a, b R, tem-seque ab signica multiplicao (produto) dos nmeros ae b.1.2.1 Adio e Multiplicao de Nmeros Reais.Aceitamos que em R, esto denidas duas leis de composio interna:Adio (Soma):Para todo nmero real ae b temos que a +b tambm um nmero real.Multiplicao (Produto):Para todo nmero real ae b temos que ab tambm um nmero real.A adio e a multiplicao de nmeros reais satisfazem os seguintes axiomas:Clculo Diferencial em R 5A1 a, b R a +b = b +a . . . . . (comutativa)A2 a, b, c R (a +b) +c = a + (b +c) . . . . (associativa)A3 0 R /. a + 0 = 0 +a = a a R . . . . .(neutro)A4 a R, a R /. a + (a) =(a) +a=0 . . . . (inverso)P1 a, b R a.b =b.a . . . . . (comutativa)P2 a, b, c R (a.b).c =a.(b.c) . . . . (associativa)P3 1 R /. a.1 = 1.a = a a R . . . . (neutro)P4 a R, a ,= 0, a1 R /. a.a1=a1.a=1 . . . . (inverso)D1 a, b, c R a.(b +c) =a.b+a.c . . . . . (distributiva)D2 a, b, c R (a +b).c =a.c+b.c . . . . (distributiva)Propriedade 1.1.Para todos os nmeros reaisa, b, c temos as seguintes propriedades :1. Os elementos neutro, inverso aditivo e multiplicativo, so nicos.2. a= (a).3. Sea ,=0 entoa=(a1)1.4. a.0=0.a=0.5. a=(1).a.6. a.(b) =(a).b = (a.b)7. (a).(b) =a.b8. a +c =b +c se, e somente sea=b.9. Sea.c =b.c e c ,=0, entoa=b.10. a.b =0 se, e somente sea=0 oub =0.11. a2=b2se, e somente sea=b oua= b.Demonstrao. (2)PeloAxioma A4, tem-seque: aRexiste aRquesatisfazaigualdade a +(a) = (a) + a = 0. Assim para todo (a) R existe (a) R que satisfaz a igualdade(a) + ((a)) = ((a)) + (a) = 0. Ento a + (a) + ((a)) = ((a)) +a + (a); isto a = (a). Demonstrao. (4)a.0 = a(0 + 0); pois 0 = 0 + 0Logo, pelo AxiomaD1 segue que a.0 = a(0 + 0) = a.0 +a.0, entoa.0 = 0 6 Christian Quintana PinedoDemonstrao. (5)a + (1)a = 1.a + (1).a isto dea = 1.a= [1 + (1)].a distributividade= 0 [1 + (1)] = 0 e a.0 = 0ento, aplicando o AxiomaA4 paraa, segue (1)a = a Demonstrao. (9)a = a(c.c1) isto dea = a.1 e 1 = c.c1poisc ,= 0= (a.c).c1= (b.c).c1por hiptese.=b(c.c1) = b cc1= 1 e b1 = b

Demonstrao. (10)Suponhamos quea = 0 oub = 0. Ento pela Propriedade(1.1)-(4) segue quea.b = 0.Por outro lado, suponha.Suponhamos que a.b = 0 e que a ,= 0.Ento a1(a.b) =a1.0 = 0, isto (a1.a).b = 1.b = 0;logob =0. De modo anlogo, suponha queb ,= 0. Logoa = 0. Denio 1.1.A diferena e o quociente de dois nmeros reais denido por:1. a b = a + (b) . . . . diferena.2.ab=a.b1seb ,=0 . . . . quocientePropriedade 1.2.Para todos os nmeros reaisa, b, c, d, tem-se:1. a b = (b a).2. a b = c , entoa = b +c.3. a.(b c) = a.b a.c.4. Seb ,= 0 ed ,= 0, entoab+cd=ad +bcbd.5. Seb ,= 0 ed ,= 0, entoab cd=ad bcbd.6. Sea ,= 0 e ax +b = c , entox =c ba.Demonstrao. (1)Sendoa e b nmeros reais, entoa b um nmero real. Logo existe seu oposto aditivo(a b). Assim (a b) + ((a b)) = 0.Pela Denio(1.1) segue-se:(a b) (a b) = 0 ou a + (b) (a b) = 0 (1.1)Clculo Diferencial em R 7Por outro lado, (b a) um nmero real, logo existe seu inverso aditivo [(b a)], logo(ba) +[(ba)] = 0. Assim pela Propriedade (1.1)-(2) temos que: (ba)+(ba) = 0ento(b a) +b + (a) = 0 (1.2)De(1.1)e(1.2)temosque(a + (b)(a b)) +((b a) +b + (a)) = 0, isto(a b) + ((b a))=0; onde pela Propriedade(1.1)-(8) do oposto aditivo de (a b) resultaque(b a)) =(a b). Demonstrao. (6)Sejama ,= 0 eax +b = c, ento pela Propriedade(1.2)-(2) conclumos queax = c b.Pelo oposto multiplicativo do nmeroa ,= 0 temosa1(ax) = a1(c b) e, pelo AxiomaP3e Denio(1.1)-(2) resultax =c ba

Demonstrao. (2) - ( 5)Exerccio para o leitor.Exemplo 1.1.Emprestei os23dos56dos35de um dinheiro que tinha e ainda tenho de um15de milho dereais. Que quantidade de dinheiro emprestei ?Soluo.Osignicadomatemticodaspalavrasdos, das, do, de emmatemtica, podemosentender como se se tratar de uma multiplicao.Suponha que tinhax reais. Emprestei (23)(56)(35)x, logo tenho (15)(1000, 000). Assim: x (23)(56)(35)x = (15)(1000, 000) x 13x = 200, 000 23x = 200, 000 x = 300, 000.Portanto, tinha 300, 000 reais e emprestei R$100, 000.Exemplo 1.2.Ao chegar a minha casa encontrei vrias aranhas e baratas, depois de matar estes 16 insetoscontei o nmero de patas e observei que eram 108. Calcular, quantas baratas e aranhas encontreiao chegar a casa.Soluo.sucientesabermosonmerodepatasquecadainsetopossui, eemseguidaanalisarosdados e o que se pede no problema.Suponha, que existamb baratas e (16 b) aranhas. Como, cada barata tem 6 patas e cadaaranha tem 8 patas, temos que: 6b + 8.(16 b) = 108. Logo,b = 10.Portanto, o total de baratas que encontrei foram 10 e as aranhas totalizaram seis.Exemplo 1.3.Um fabricante de latas, deseja fabricar uma lata em forma de cilindro circular reto com 10cmde raio e 6283, 2 cm3da capacidade. Determine sua altura.Soluo.8 Christian Quintana PinedoSabemosqueovolumeV , docilindrocircularretoderaiorealturahdadopelafr-mulaV =r2h. Pelosdadosdoproblematemos r =10 cm, V =6283, 2 cm3. Assimnafrmula6283, 2cm3=(10cm)2.h 6283, 2cm3=(3, 1416)(100 cm2).h 6283, 2cm3=(314, 16 cm2).h h =6283, 2 cm3314, 16cm2= 20 cm.Portanto altura do cilindro dever medir 20 cm.Exemplo 1.4.Quantos litros de leo devem ser adicionados a 10 litros de uma mistura que contm 15% deleo, para obter outra mistura que contenha 25% de leo?Soluo.25%15%leoleo x

10

Figura 1.3:Suponha que na mistura original tenhamos que adi-cionar x litros de leo.Ento observando a Figura (1.3),temos:10( 15100) +x =25(10 +x)100Resolvendo a equao temos quex =43.Portanto, teremos que adicionar43litros de leo.Exemplo 1.5.Amdiaaritmticade8nmeros6; jamdiaaritmtica de outros 6 nmeros 8. Ento a mdia aritmtica desses 14 nmeros :Soluo.Suponhamos temos os nmeros a1,a2,a3, ,a7,a8e b1,b2,b3,b5, b6 . Pelos dados doproblema temos que:a1 +a2 + +a7 +a88=6 eb1 +b2 + +b5 +b66=8Ento, a1 +a2 ++a7 +a8=(8)(6) e b1 +b2 ++b5 +b6=(6)(8), logo:[a1 +a2 + +a7 +a8] + [b1 +b2 + +b5 +b6] = (8)(6) + (6)(8) = 96.Assim,[a1 +a2 + +a7 +a8]8 + 6+ [b1 +b2 + +b5 +b6]8 + 6=9614= 6, 84.Portanto, a mdia aritmtica desses 14 nmeros 6, 84. Clculo Diferencial em R 9Exerccios 1-11. Seja, N o conjunto de nmeros naturais,e Z o conjunto de nmeros inteiros. Determinequais dentre as seguintes proposies verdadeira (v) e qual a falsa (f ).1. N = Z+2. N+= Z 3. N+= Z+4. N Z2. Das seguintes proposies qual verdadeira (v) ou falsa (f ).1. N Z Q R 2. I R 3. Q I = 4. R Q = I 5. N (QZ) 6. N Z = Q7. Z+= N 8. Z Q+= N3. Verique quais das seguintes proposies so verdadeiras:1. 7, 43333... I 2.32 Q 3. 5, 41 (QZ) 4. 5/ Q5. 2, 71854/ I 6. 0/ Z 7.7/ R 8. 35 (R Q)4. Construa um diagrama contendo os conjuntos N, Z, Q e I e situe os seguintes nmeros:1.322.3 3. 0 4.385. 8, 436.27. 5 8. 0, 60 9. 2, 573 10. 0, 333 11. 10312.0313. (52)25. Mostre que, sex2= 0, entox = 0.6. Mostre que, sep nmero mpar, entop2 mpar.7. Mostre que, sep nmero par, entop2 par.8. 1. Sea racional eb irracional,a +b necessriamente irracional?2. Sea irracional eb irracional,a +b necessriamente irracional?3. Sea racional eb irracional,ab necessriamente irracional?4. Existe nmero real a tal quea2seja irracional, porma4racional?5. Existem dois nmeros racionais tais que sua soma e produto sejam racionais?9. Mostre que 2 um nmero irracional.10. Um subconjuntoA R diz-se estvel aditivamente se, a, b A tem-se que (a + b) A;e estvel multiplicativamente se, a, b A tem-se que (a.b) A.10 Christian Quintana Pinedo1. Dados os conjuntos A = 2, 4, 6, 8, e B = 1, 3, 5, 7, 9,, determine se elesso conjuntos estveis aditiva e multiplicativamente.2. Dados os conjuntos: N, Z, Q e R determine quais so estveis respeito das operaesde: i) adio; ii) multiplicao.11. Mostre que 2 e 3 so as nicas razes da equaox25x + 6 = 0.12. Sejama, b, c, d, m, nepnmerosreaispositivos. Mostrequeseam=bn=cpentoam+bn +cp =_(a +b +c)(m+n +p) .13. Determine a condio para que seja possvel expressar_a +b na forma x +y , ondea, b, x ey sejam nmeros racionais.14. H seis anos, a idade de Alberto era quatro vezes a idade de Pedro. Calcular suas idadesatuais sabendo que, dentro de quatro anos, Alberto s ter o dobro da idade de Pedro.15. A idade de Maria 12(metade) de23da idade de Marisa. Se Marisa tem 24 anos. Quantosanos tm Maria?16. A soma das idades de 3 pessoas 97. A maior tem 29 anos mais que a menor, e a do meio18 anos menos que a maior. Calcular a idade de cada uma.17. Quantodeguadeveseradicionadaa100 cm3de80% deumasoluodecidobrico,para reduzir-la a 50% da soluo ?18. Ao dividir o nmero D por d obtemos como quociente q e como resto r. Se aumentarmoso dividendo D em 15 unidades e o divisor d em 5 unidades, o quociente e resto originaispermanecem iguais. Qual foi o quociente?19. Compram-se cadernos de forma progressiva da seguinte maneira: no primeiro dia 14 cader-nos; no segundo dia 15 cadernos; no terceiro dia 16 cadernos e assim sucessivamente.Depoisde 30 dias consecutivos comprando, quantos cadernos foram comprados no total ?20. Odenominadordeumafraodecimal 3amenosqueodobrodonumerador. Seonumerador aumenta em 5 e o denominador em 13, o valor da frao 7/15. Determine afrao.21. Expedio: PlanetaKInforme: Ao chegar ao planetaK, achamos seres vivos como em nosso planeta, emboratambmtenham20dedos, elestmummembroamenos, eumdedoamaisemcadamembro.Pergunta-se: Possvelmente que tipo de seres habitam o planetaK?22. Determine dois nmeros tais que sua soma, produto e quociente sempre sejam iguais.23. Umalebreseguidaporumgalgolevaumavantagemde50saltos. Ogalgod5saltosenquanto que a lebre d 6 saltos, mas, 9 saltos da lebre equivalem a 7 do galgo. Quantossaltos dar a lebre antes de ser alcanada pelo galgo ?Clculo Diferencial em R 111.3 Relao de Ordem.Axioma 1.1. De existncia.No conjunto R, existe um subconjunto denotado R+, chamado, conjunto dos nmeros reaispositivos, que satisfaz o seguinte:i)Todo nmero reala satisfaz uma e somente uma das seguintes condies:a R+, a R+, ou a = 0ii)Sea R+e b R+, ento a +b R+e ab R+.Denio 1.2.Sejam a, b R, diz-se que a menor que b e se escreve a < b, somente quando (ba) R+.Desta denio temos quea R+se, e somente se, (a 0) R+, logo 0 < a.Observao 1.1.i)Sea < b, podemos escreverb > a, e se l b maior quea.ii)Diz-se que a menor ou igual quebe se escrevea b se e somente sea 0.iv) a R+se, e somente se, 0 < a, tambm podemos escrevera > 0.Propriedade 1.3.Para todo nmero real a, b, c, d tem-se:1. a = b ou a b . . . . tricotomia2. a20, a R (a2> 0 se a ,= 0) . . . . positividade3. Sea 0 , ento a.c < b.c . . . . . monotonia no produto7. Sea b.c.8. Sea b.9. Sea > 0 , ento a1> 0 (Sea < 0, entoa1< 0)10. Se 0 < a < b, ento a1> b1> 0 (Sea a1> b1)11. ab 0 se e somente se (a 0 eb 0) ou (a 0 e b 0)12 Christian Quintana Pinedo12. ab 0 se e somente se (a 0 e b 0) ou (a 0 e b 0)13. Sea 0 e b 0;a b se e somente se a2 b2.14. a2+b2= 0 se e somente se a = 0 eb = 0.15. Sea2 b , ento - b a b16. a2b , ento a b ou a bDemonstrao. (1)Sejama,b R. Ento,a b R, pelo Axioma(1.1)-(i), temos que uma e somente uma dasseguintes condies se cumpre: a b R+ou (a b) R+oua b = 0.Ento,a b > 0 oub a > 0 oua = b, isto ,a > b oub > a oua = b.Em particular, sea R, entoa > 0 ou a < 0 ou a = 0. Demonstrao. (2)Sea R entoa = 0 oua ,= 0.a = 0 a2= 0 (1.3)Sea ,= 0 , entoa R+ou a R+, logoa2= a.a R+oua2= (a)(a) R+a2> 0 (1.4)De (1.3) e (1.4) segue quea2 0. Demonstrao. (6)Sea 0 entob a R+e como c R+, logoc(b a) R+.Assim, (bc ac) R+, logo (bc ac) > 0, entobc > ac ouac < bc. Demonstrao. (9)Seja a > 0 , ento existe a1e pelo Axioma (1.1) tem-se a1> 0 ou a1< 0 ou a1= 0. Esteltimo casoa1= 0 impossvel, pois teramos quea.a1=a.0 = 0 o que levaria igualdade1 = 0 que um absurdo.Sea.a1< 0, ento pela propriedade da monotonia do produto resulta: a1.a < 0.a , ento1 < 0, que um absurdo.Assim, resulta que sea > 0, entoa1> 0. Demonstrao. (11)Pela Propriedade(1.1)-(10), seab> 0 entoa ,= 0 eb ,= 0. Portanto quandoa> 0 tem-sea1> 0. Assimb = a1(a.b) > 0.Anlogamente, sea < 0 entoa1< 0 eb = a1(a.b) < 0.Portanto, sea.b > 0 ento (a < 0 eb < 0) ou (a > 0 eb > 0) As demais propriedades so exerccios para o leitor.Clculo Diferencial em R 13Denio 1.3.Uma equao uma expresso algbrica que contm smbolo de igualdade.So exemplos de equaes: x + 7 = 3; x25 = x;2x 5 = x46x.No que segue, entenderemos que resolver uma equao E(x) = 0, onde E(x) uma expressoalgbrica, signicadeterminarnmeros x=a RdemodoqueaigualdadeE(a)=0sejaverdadeira.Por exemplo, ao resolver a equao 4x 8 = 0 obtemosx = 2, pois 4(2) 8 = 0. Por outroladoaoresolveraequaox2+ 9=0obtemosquex2= 9, aqualnotemsoluoem R.Lembre-se quex2 0 x R.Observao 1.2.Sejama, b Rtaisqueb> 0. Sea2=bdiz-seque: araizquadradadeb edenota-sea =b.Por exemplo 4 = 2 ou 2, pois 22= (2)2= 4.No que segue entenderemos b como a raiz quadrada positiva e -b como a raiz quadradanegativa. Assim, 4 = 2 e -4 = 2.Seb< 0,pela Propriedade(1.3)-(2) no existea R tal quea2=b. Portanto em R noexiste raiz quadrada de nmeros negativos.Propriedade 1.4. Frmula de Bhaskara.4.Sejama, b, c R , ondea ,= 0, ento a soluo da equao: ax2+ bx + c = 0, dada pelaexpresso:x = b b24ac2aDemonstrao.Dividindo a equaoax2+bx +c = 0 pora ,= 0 resulta a expressox2+(ba)x+ca=0.Completando quadradosx2+ 2b2ax +ca + (b2a)2= (b2a)2temos_x +b2a_2= (b2a)2ca=b24ac4a2Obtendo a raiz quadrada resulta: x = b b24ac2aExemplo 1.6.Resolver a seguintes equaes:a) 3x + 2 = 14 x b) x22x 3 = 0c) x413x2+ 12 = 0 d) x33x2+x + 2 = 0Soluo. (a)3x+2 = 14 x, ento (3x+2) +x = (14 x) +x, logo (3x+x) +2 = 14, ento 4x+2 = 14.Pela Propriedade(1.2) - (6) vem quex =14 24, logox = 3 soluo da equao. 4BhaskaraAcharya(l114 l185), nascidonandia. Foi elequempreencheualgumaslacunasnaobradeBrahmagupta dando uma soluo geral da equao de Pell e considerando o problema da diviso por zero.14 Christian Quintana PinedoSoluo. (b)x22x 3 = 0, ento (x + 1)(x 3) = 0, pela Propriedade(1.1)-(10) segue quex = 1 oux = 3.De outro modo, completando quadradosx22x 3 = 0 entox22x + 1 3 = 0 + 1 istox2 2x + 1 = 4, logo (x 1)2= 4. Da denio de raiz quadrada x - 1 = 2 ou x - 1 = -2 .Portantox = 3 oux = 1 soluo da equao. Soluo. (c)x413x2+12 = 0 ento (x212)(x21) = 0, assim temos que x212 = 0 ou x21 = 0.Dex21 = 0 segue que (x 1)(x + 1) = 0 , entox = 1 oux = 1 soluo. Dex212 = 0segue que (x 12)(x +12) = 0 e x = 12 ou x =12 soluo.Portanto,x = 1, x = 1, x = 12 oux =12 so solues da equao. Soluo.(d)x33x2+x+2 = 0, escrevendo na forma de fatores x33x2+x+2 = (x2)(x2x1) = 0,entox 2=0oux2 x 1=0, completandoquadradosaestaltimaigualdaderesulta:(x 12)2=54.De x2 = 0 segue que x = 2 soluo; de (x12)2=54 segue que x =12+52ou x =1252 soluo.Portanto,x = 2, x =12 +52oux =12 52 soluo da equao.Exemplo 1.7.DeterminaromenornmeropositivoMdemodoque, paratodonmeroreal x, acontea6x x2 M.Soluo.De 6xx2 M completando quadrados temos que 3232+6xx2 M.Assim 9(x3)2M. Quandox = 3 teremos que o menor nmero positivo M= 9. Observe que, quando M> 9tambm satisfaz as condies da desigualdade.Denio 1.4. Parte inteira.Aparteinteiradeumnmeroreal xdenotadapor[[x[] omaiornmerointeiroquenoultrapassax.Desta denio resulta que o nmero [[x[] nico, e sempre [[x[] < x. Por outro lado, como[[x[] o maior inteiro que cumpre esta desigualdade, e temos quex < [[x[] + 1. Portanto, [[x[] o nmero inteiro que cumpre as desigualdades: [[x[] x < [[x[] + 1 ou (x 1) < [[x[] x.Exemplo 1.8.Das desigualdades: 3 0 e b > 0 so nmeros reais, ento existe um inteiro positivon tal quean>bDemonstrao.Sea > 0, ento1a> 0, sendob > 0 temos queba> 0.Denimos o nmero n =_1+ ba_; isto a parte inteira do nmero real (1+ ba). Da Denio(1.4) temos que (1 +ba) 1 b.Exemplo 1.10.Sejama, b R+, tais queab = 1. Mostre quea +b 2.Soluo.Da hiptesea.b = 1 tem-se que 0 < a 1 e 1 b, ento 0 (1 a) e 0 (b 1) 0 (1 a)(b 1) = b 1 a.b +a = b 1 1 +a.Portanto,a +b 2. 5Arquimedes(287 212 a.C.), chamado o maior intelecto da antiguidade, foi um dos primeiros fundadoresdo mtodo cientco.16 Christian Quintana PinedoObservao 1.3. importante lembrar algumas propriedades bsicas de nmeros reais:i) a0= 1 somente sea ,= 0; casoa = 0 a expresso 00no existe.ii)ab R, somente seb ,= 0; casob = 0 entoa0no existe.iii)a.b= a.bdesdequeaebsejampositivos, suponhaa= 1eb= 1, ento1=_(1)(1) =11 no existe em R.iv) A expresso + a idia de um nmero positivo o maior de todos, porm (+) - (+) =?, ou++= ?so formas indeterminadas. No se deve operar com os smbolos +, ,como se fossem nmeros, pois no o so.Exemplo 1.11.Em ambas as margens de um rio crescem palmeiras, uma em frente a outra. A altura de uma de 30 m, e da outra 20 m. A distncia entre seus troncos de 50 m.Na copa de cada palmeira descansa um pssaro, de sbito os dois pssaros avistam um peixequeaparecenasuperfciedagua, entreasduaspalmeiras. Ospssarosvoaroealcanaramo peixe ao mesmotempo. Supondo amesma velocidade;a quedistncia do tronco da palmeiramenor apareceu o peixe?Soluo.

gg20 m 30 m(50 x) x50 m

Figura 1.4:Suponhamos que o peixe apareceu a umadistncia de x metros do p da palmeira menorFigura (1.4), ento pelo teorema de Pitgoras:_202+x2=_302+ (50 x)2202+x2= 302+ (50 x)2x2(50x)2= 3022022x50 = 10 x = 30Portanto, o peixe apareceu a uma distncia de 30 m da palmeira menor. Exemplo 1.12.Mostre a desigualdadex =12.34.56

99100 0, b > 0, c > 0, ento temos que, (1a)(1b)(1c) 8abc.8. Mostre que: Se 0 < a < b, entoa ab a +b2 b .9. Mostre que: ab 2aba +bquandoa, b > 0.10. Mostre que, quandoa, b, c, d R, entoa4+b4+c4+d4 4abcd.11. Mostre que: a3+1a3> a2+1a2se a > 1.12. Mostre que, sea, b, c > 0 entobca+acb+abc> a +b +c.13. Determinar o menor nmero Mde modo que, para todo nmero real x, tenha-se 2xx2M.14. DeterminaromaiornmeroMdemodoque, paratodonmeroreal x, tenha-seMx216x.15. Sejama eb positivos, mostre queab2 +ba2 1a + 1b.16. Demonstrar que, sea eb so nmeros inteiros positivos entoa3+b32_a +b2_3.17. Mostre que, sex3+y3+z3= 81, x > 0, y> 0, z> 0, entoxyz 27.18. Mostre a desigualdade:x2+ 3x2+ 2 2.19. Resolver em R:1 1 4x2x< 3.20. Mostre que seab 0, entoab min.a2, b2.21. Mostre que, sea +b = 1, ento: a4+b418.22. Determine todos os valores reais de r para os quais o polinmio: (r21)x2+2(r 1)x+1,seja positivo para todox R.20 Christian Quintana Pinedo23. A receita da venda dequnidades de um produto R = 240q e o custo de produo dequnidades C = 190q +1500. Para que haja lucro, a receita de vendas h de ser maior queo custo. Para que valores deq este produto dar lucro?.24. Alm do custo administrativo xo, (dirio) de R$350, 00 o custo de produo de q unidadesdecertoprodutodeR$5, 50porunidade. Duranteomsdemaro, ocustototal daproduo variou entre o mximo de R$3.210 e o mnimo de R$1.604 por dia. Determineos nveis de produo mximo e mnimo por ms.25. Estabelea para que valores reais dex a rea de um crculo de raiox:a) maior que 400 cm2b) no superior a 400 cm2.26. Umapiscinainfantildeveter1 mdealturaeoformatodeumblocoretangular. Oseucomprimentoprecisasuperarlarguraem0, 2 m. Comquantodelarguraessapiscinacomportar mais de 2000.000 litros?(Lembrete: 1 m3= 1.000 litros).27. Sabe-sequesobrecertascondiesonmerodebactriasquecontmoleiteseduplicaacada3horas. Calcularonmeropeloqual necessriomultiplicaraquantidadedebactrias do inicio, para obter o nmero de bactrias ao nal de 1 dia.28. Os alunos da UFT, organizaram uma rifa somente para alunos. Dos quais 45 compraram2 nmeros,e o total de alunos que compraram um nmero era 20% do nmero dos rifasvendidas, 80 no compraram nmero nenhum e outros compraram 3 nmeros. Se o totalderifasvendidasexcedeuem33aonmerodealunos, digaquantosalunoscompraramsomente um nmero da rifa.29. Em uma fazenda, existia um nmero de cabeas de gados. Depois de duplicar esse nmero,foi roubado 1 cabea sobrando mais de 54. Meses depois observou-se que triplicou o nmerode cabeas de gado que existia no incio e foram roubadas 5 restando menos de 80. Quantascabeas de gado existiam no incio?30. A mdia aritmtica das idades de um grupo de mdicos e advogados 40 anos. A mdiaaritmtica das idades dos mdicos 35 anos e a dos advogados 50 anos. Pode-se, ento,armar que:31. UmapessoacompraumapartamentoporR$10.000, 00emseguidaoaluga. Deixando1212% da renda anual para reparaes e manuteno, pagando R$325, 00 de IPTU e 512%descontando por conta de investimento. Qual a renda mensal?32. A soma das idades de trs pessoas 96. A maior tem32 anos mais que a menor e a domeio 16 anos menos que a maior. Calcular a idade de cada uma das pessoas.33. Eutenhoaidadequevoctinha, quandoeutinhaametadedaidadequevoctem. Asoma de nossas idades hoje igual a 35 anos. Quais so as idades hoje?Clculo Diferencial em R 211.4 Desigualdades.Os nmeros reais podem ser relacionados biunvocamente com os pontos de uma reta L. Comesta identicao, dados os nmerosx, y R de modo quex z signicax y e y> z.d) x y z no tem signicado, melhor escrevery z e y x.22 Christian Quintana Pinedo1.4.2 Intervalos.Sejama e b nmeros reais tais quea b. So chamados de intervalos os seguintes subcon-juntos de R.(a, b)= x R /. a 2 e x < 3 ou x < 2 e x > 3 x (2,3) ou x x (2,3)Portanto, o conjunto soluo da inequao (2,3)2oMtodo.Completando quadrados.x24 < x + 2 x2x < 6 x2x + 14< 6 + 14 (x + 12)2a, logox est direita dea.Se, o sinal de (x a) negativo, ento (x a) 0 x R, entox2+x + 9 > 0 x R.Logo na inequao (x 3)(x2+x + 9) < 0 segue quex 3 < 0; isto x < 3.Portanto o conjunto soluo o intervalo (,3) Soluo.(d)Temos aqui a inequaoE(x) : (x + 1)4< (x + 1)2.(x + 1)4< (x + 1)2 (x + 1)4(x + 1)2< 0 (x + 1)2.[(x + 1)21] < 0(x + 1)2(x2+ 2x) < 0 x(x + 1)2(x + 2) < 0Sendo (x + 1)2 0 para todo nmero real, a inequaoE(x) transformou-se na inequaoE1(x) : x(x + 2) < 0.Seus pontos crticos so 2 e 0. + 0 2, ,+++++++++++ +++++ + 26 Christian Quintana PinedoObserve o seguinte quadro:Intervalos Sinal deE1(x) Conjunto soluo deE1(x)(, 2)(2,0)(0,+)++(2,0)Propriedade 1.7.Temos que: sea > 0 eax2+bx +c 0 x R se e somente seb2 4ac.Demonstrao.Dividindo na inequaoax2+ bx + c 0 pora> 0 resulta a expresso: x2+bax +ca 0.Completandoquadradosx2+ 2b2ax +ca+ (b2a)2(b2a)2ento_x +b2a_2b24ac4a2, pelaPropriedade(1.3)-(16) de nmeros reais temos que(x +b2a) b24ac2aou (x +b2a) b24ac2aComox R ento, tem que serb2 4ac.Recprocamente. Exerccio para o leitor.Exemplo 1.25.Resolver as inequaes:a) 8x x220 0 b) x2+x + 9 > 0c) x61 0 d) xp1 > 0 ondep primo.Soluo. (a)Temos 0 x2 8x + 20, como (8)2 4(1)(20), segue pela Propriedade 1.5, a soluo oconjunto de todos os nmeros reais. Soluo. (b)Dainequaox2+ x + 9>0, segueque(1)24(1)(9), ento, pelaPropriedade(4.10), asoluo o conjunto de todos os nmeros reais. Soluo. (c)A inequaox61 0 podemos escrever sob a forma (x2)313 0 ento, da diferena decubos tem-se (x212)[(x2)2+x2+1] 0 isto (x+1)(x1)(x4+x2+1) 0; pela Propriedade(1.7) segue que (x4+x2+1) 0, logo a inequao original se reduz a calcular (x+1)(x1) 0que tem como soluo o intervalo [1,1].Portanto o conjunto a soluo dex61 0 o intervalo [1,1]. Soluo. (d)Clculo Diferencial em R 27Ainequao xp 1 >0onde pprimo, podermos escrever naformadefatores como(x1)(xp1+xp2+xp3++x2+x+1) > 0, o fator (xp1+xp2+xp3++x2+x+1semprepositivo x Rpoisumpolinmioirredutvel degraupar(todassuasrazessonmeros no reais).Ento resolver nossa desigualdade original reduz-se a resolver (x 1)> 0 cuja soluo x (1,+)Portanto a soluo dexp1 > 0 ondep primo o conjunto (1,+).Exemplo 1.26.Resolver em R o seguinte:a) x2+ 6x + 10 = 0 b) x2+ 6x + 10 0c) x2+ 6x + 10 < 0 d) x2+ 10 0Soluo. (a)Como resultado da Propriedade(1.4) (frmula de Bhaskara) segue quex = 6 42,ecomo no nmero real, ento o problema no tem soluo em R; isto x/ R.Soluo. (b)PelaPropriedade (1.7)temosque624(10), logooproblematemsoluoemR; isto x R temos quex2+ 6x + 10 0Soluo. (c).Como resultado da Propriedade(1.7) temos que 62 4(10), logox2+ 6x + 10 0 x Rassim, nunca poder ocorrer quex2+ 6x + 10 < 0.Logo a desigualdade em estudo no tem soluo em R. Soluo. (d)A soluo dex2+ 10 0 imediata, no precisa da Proposio 1.7, pois x R, x2 0entox2+ 10 10 0, isto x R, x2+ 10 0.Portanto, o conjunto soluo da inequaox2+ 10 0 so todos os nmeros reais. Exemplo 1.27.Umterrenodeveserlotado. Oslotes,todosretangulares,devemterreasuperiorouigualque 1.500 m2e a largura de cada um deve ter 20 m a menos que o comprimento. Determine asdimenses do menor dos lotes que satisfazem tais condies.Soluo.Suponhamos que o comprimento de cada lote sejax metros, ento a largura mede (x 20)metros; logo sua rea mede x(x20)m2. Por outro lado, tem que ser superior ou igual a 1.500m2;assimx(x 20) 1.500 ondex2 20x 1.500 0, isto (x 50)(x + 30) 0 x 50oux 30.Desconsiderandox 30, temos que as medidas do menor dos lotes : comprimento 50m elargura 30 m. 28 Christian Quintana PinedoExemplo 1.28.Uma galeria vai organizar uma exposio e fez duas exigncias:i) a rea de cada quadro deveser no mnimo de 2.800 cm2; ii) os quadros devem ser retangulares e a altura deve ter 30 cm amais que a largura.Dentro dessas especicaes, em que intervalo de nmeros reais devem se situar as largurasdos quadros?.Soluo.Da segunda condio, suponha a largura do quadro seja x cm, ento sua altura mede (30 +x)cmesuareamede(30 + x)xcm2; pelaprimeiracondio2800 (30 + x)x, onde0 x2+ 30x 2800 0 (x + 70)(x 40) (x 70oux 40). Desconsideramosx 70.Portanto as medidas do quadro so: largura 40 cm e altura 70 cm. Exemplo 1.29.Dada a equao de razesx1ex2: (m2 5m + 6)x2+ (4 m2)x + 20 = 0. Determine osvalores do parmetrom tal quex1< 1 < x2.Soluo..Sejaax2+bx +c = 0, pelas propriedades das razes da equao de 2ograu sabe-se que:Sea > 0 ento,a(1)2+b(1) +c < 0 se e somente sex1< 1 < x2; ouSea < 0 ento,a(1)2+b(1) +c > 0 se e somente sex1< 1 < x2.Conclusoa.[a(1)2+b(1) +c] < 0 se e somente sex1< 1 < x2.Para nosso caso observe quea = (m25m+ 6) e, desejamos quex1< 1 < x2 isto acontecese e somente se: (m25m+ 6).[(m25m+ 6)(12) + (4 m2)(1) + 20)] < 0; logo (m25m+6).(30 5m) < 0 isto 5(m2)(m3)(m6) > 0; os pontos crticos so 2,3 e 6 .Portanto, 2 < m < 3 oum > 6. Clculo Diferencial em R 29Exerccios 1-31. Expresse cada um dos intervalos abaixo usando outra notao adequada (duplas desigual-dades por exemplo)1. (1,14) 2. (4,7) 3. [, ] 4. [53,8]5. [10, 2] 6. (0,4) 7. [3, ) 8. (16,16]2. So dados os conjuntosA = x N / x impar, B = x Z /. 3 x < 4 eC = x N /. x < 6 . Prove que o conjuntoD, tal queD = (A B) C, vazio.3. Resolver as seguintes equaes:1. 3x + 2 = 4 x 2. x22x 3 = 0 3. x413x2+ 36 = 04. x33x2+x + 2 = 0 5. 5x23x 4 = 0 6. x4x2+ 20 = 04. Determine o conjunto soluo em R para cada uma das seguintes desigualdades:1. x2 1 2. x3 x23. 2x 7 < 5 x4. 2(x 4) + 3x < 5x 7 5. 3 x < 5 + 3x 6. 2 > 3 3x 17. 4x 3(x + 5) < x 18 8. x24 < x + 2 9._x2+x 2 < 410. 2x 6 013. x2+ 3x + 8 0 2. (x 2)(x + 2) 0 3. x(x + 1) 04. (x 1)(x + 1) 0 5.x 1x 0 6.x + 1x 1< 07. x < x212 < 4x 8. 3 x < 5 + 3x 9._x2+x 2 410. (x 5)2< (2x 3)211. x2+ 3x > 2 12. 3x 4 < 2 +x13. (x 1)3(x24)(x 5) > 0 14. 2 5 3x < 11 15. x23x + 2 > 016. 5x 4(x + 5) < x 24 17. 3x 5 0 20. 2x2x 10 > 0 21. x23x + 2 > 022. x2+ 8x 65 < x 18 23. x2+ 35x +9100< 0 24. x22x 5 > 025. 3(x + 4) + 4x < 7x + 2 26. 3x27x + 6 < 0 27. x22x 8 < 028. (x51)(x + 1) 0 29. x2+ 20x + 100 > 0 30. 3x 4 < x + 630 Christian Quintana Pinedo31. (x35x2+ 7x 3)(2 x) 0 32. (x23)3(x27)(x22x 3) > 06. Determine o conjunto soluo das seguintes inequaes:1.xa2b2 +3xa +b b > 02.xa +xb> 1 +xcse c > b > a > 03.2x3a + 4 >5x6b+ 2x se b > a > 04. 11(2x 3) 3(4x 5) > 5(4x 5)7. Resolver as seguintes inequaes racionais:1.xx 1 +x 1x 0 e 3x2+5xy + 3y2> 0.9. Determine o valor de: S = 1 + 13 +132 +133 ++13n, sen 10. Suponhaqueb2 4c 0. Mostrequeosnmeros b +b24c2eb b24c2satisfazem ambos a equao: x2+bx +c = 0.11. Suponhaque b2 4c 0 e [ b [= a, entoa = b ou a = b.ii) [ a [ =[ b [, entoa = b oua = b.iii)a2= [ a [ onde a2 a raiz quadrada positiva dea2.iv) [ab [ =[ a [[ b [se b ,= 0Demonstrao. (ii)Da hiptese [ a [ = [ b [ e da denio de valor absoluto do nmerob, segue que [ a [= b ou[a [= b. De modo anlogo, da denio de valor absoluto para o nmeroa segue de [a [=bque,a = b ou a = b; e de [ a [= b segue quea = b ou a = b.Portantoa = b oua = b.Propriedade 1.10.i) [ x [ b se e somente sex > b oux < b.iv) Seb 0, [ x [ b se e somente sex b oux bv) [[ a [ [ a [[[ a b [[ a [ + [ b [A demonstrao desta propriedade exerccio para o leitor.Exemplo 1.30.Resolver as seguintes equaes:a) [ 2x 4 [ = 6 b) [[ 5 2x [ 4 [ = 8 c)3x + 1x 1 = 4d) [ x24 [ = [ 2x [ e)[ x 1 [ + 4[ x 3 [ = 2[ x + 2 [Soluo. (a)Da denio, de [ 2x 4 [= 6 segue-se que 2x 4 = 6 ou (2x 4) = 6, entox =6 + 42oux =6 42. Portanto x = 5 ou x = -1. Soluo. (b)Pela denio de valor absoluto, segue que [ 5 2x [ - 4 = 8 ou [ 5 2x [ -4 = -8, ento 5-2x= 12 ou 5 - 2x = -12 ou [ 5 2x [ = -4, sendo esta ltima um absurdo.Logo, de 5-2x = 12 obtemos x = -72, e de 5-2x = -12 obtemos x =172 .Portanto x = -72ou x =172 soluo do problema. Clculo Diferencial em R 33Soluo. (e)Da equao [ x 1 [ + 4[ x 3 [ = 2[ x + 2 [ temos o seguinte diagrama: + 2 1 3, , ,Sex < 2 ento, [ x + 2 [ = -(x+2), [ x 1 [ = -(x-1) e [ x 3 [ = -(x-3), logo a equao equivalente a -(x-1) - 4(x-3) = -2(x+2) onde x =173e, comox =173no pertence ao intervaloda condio, segue quex/ R.Se 2 x< 1 ento [x + 2 [=x + 2, [x 1 [= (x 1) e [x 3 [= (x 3), logo aequao equivalente a (x 1) 4(x 3) = 2(x + 2) ondex =97e, pela condiox/ R.Se 1 x< 3 ento [x + 2 [ = x+2, [x 1 [ = x - 1 e [x 3 [ = -(x-3), logo a equao equivalente a x-1 - 4(x-3) = 2(x+2) onde x =75.Se x 3, ento [ x+2 [= x+2, [ x1 [= x1 e [ x3 [= x3, logo a equao equivalenteax 1 + 4(x 3) = 2(x + 2) ondex =173 .Portanto,x =75, ex =173so solues da equao. Exemplo 1.31.Dados: A = x R/. [ 12x 4 [< 10 , B = x R/. [ 3x 1 [ 1 e C = x R /. [ x24 [< 2 . Expressar na forma de intervalos o conjunto (A B) C.Soluo.Para o conjuntoA temos que [ 12x 4 [< 10, ento 10 < 12x 4 < 10 logo -12< x 9 ou x < 9 4. D = x R /. x 9 ou x 7 3. Represente geometricamente os seguintes conjuntos, para logo em seguida express-los naforma de intervalos.1. A = x R /. 8 < x 9 oux < 9 8. H = x R /. [ 9 x [ 4 2. [ x24 [ + [ 2x 5 [< 63. [ 3 [ 2x + 3 [[< 2 4. [ 3x 2 [[ 4x 4 [ + [ 7x 6 [5. Encontrar o conjunto soluo em R.1. [ 2x + 3 [ +4 = 5x 2. [ x24 [= 2x + 4 3. [ 3x 1 [= 2x + 54. [ 5x 3 [=[ 3x + 5 [ 5. [ 2x + 6 [=[ 4 5x [ 6.6 5x3 +x127.16 3x2[ x + 3 [8. [ x [ 2 0 mostre o seguinte:1. Se [ x x0 [< min2([ y0 [ +1), 1 e[ y y0 [0 soconjuntoslimitadossuperiormente; um limite superior k2 = 5.c)O conjuntoA = 1n/. n N limitado.Observao 1.8.O menor dos limites superiores chamado de supremoe, o maior dos limites inferiores chamado nmo.O nmo ou supremo de um conjunto, pode no pertencer ao prprio conjunto.Por exemplo o nmo para o conjuntoA = 1n/. n N o zero.Denio 1.8.SejaA Re A ,= .i)O nmero real s chamado supremo deA e denotamoss = sup.A quando:1oO nmero s limite superior deA; isto a s a A.2oSeb A eb < s ento existex A tal queb < x s.ii)O nmero real r chamado nmo de A e denotamos r = inf.A quando :1oO nmeror limite superior deA; isto r a a A.2oSeb A er < b ento existex A tal quer x < b.Denio 1.9.Se o supremo e nmo de um conjunto A pertencem ao mesmo conjunto A, ento so chama-dosdemximo emnimo respectivamentedeAedenotamosmax .Aemin.A(respectiva-mente).38 Christian Quintana PinedoExemplo 1.35.Sejam os conjuntos: A = (0,9] B = 1n/.n N C = N.Ento: inf .(A) = 0 e sup .(A) = 9 = max .(A); inf .(B) = 0 e sup .(B) = 1 = max .(B)inf .(C) = 0 e sup .(C) no existe.Axioma 1.2. Axioma do Supremo.Todo conjunto de nmeros reais no vazio limitado superiormente, tem supremoPropriedade 1.11.Se o conjuntoA R sendoA ,= e A limitado inferiormente,ento o conjuntoA possuinmo.Demonstrao.SejaB = x R /. x A ,B ,= SeclimiteinferiordeA, entoc a a A; logo a c a Aento climitesuperiordeBepeloaxiomadosupremoentoBpossui supremos=sup .(B); assims = inf .(A).Propriedade 1.12. Princpio da boa ordem.Todo conjunto no vazio de Z limitado inferiormente possui mnimo.A demonstrao exerccio para leitor.1.7 Induo Matemtica.Denio 1.10.Um subconjunto Mde nmeros reais diz-se que conjunto indutivo, se satisfaz as seguintespropriedades:i) 0 M.ii) x Mento (x + 1) MExemplo 1.36.O conjunto R de nmeros reais indutivo, pois 0 um nmero real ex +1 tambm realpara todox real.O conjunto de todos os nmeros inteiros indutivo.O conjunto 0,12,1,32,2,52, indutivoExemplo 1.37.Os seguintes conjuntos no so indutivos: 1,2,3,4,5,Clculo Diferencial em R 39 0,1,2,3,4,5 0,2,4,6,Em matemtica, muitas denies e proposies se realizam utilizando o princpio de induomatemtica. A generalizao de uma propriedade aps vericao de que a propriedade vlidaem alguns casos particulares, pode conduzir a srios enganos como mostra o seguinte exemplo:Exemplo 1.38.Considere a relao f(n) = 22n+ 1 denida para todo n N.Temos que, quando:n = 0 ento f(0) = 220+ 1 = 3n = 1 ento f(1) = 221+ 1 = 5n = 2 ento f(2) = 222+ 1 = 17n = 3 ento f(3) = 223+ 1 = 257n = 4 ento f(4) = 224+ 1 = 65537Observequetodosaquelesnmerosencontradossonmerosprimos; P. Fermat(1.601 1.665)acreditouqueafrmulaf(n)representarianmerosprimosqualquerquefosseovalorpositivo paran N, pois esta induo era falsa Euler6mostrou que paran = 5 resultaf(5) =4294967297 = 641 6700417, logo a armao de P. Fermat foi precipitada.Exemplo 1.39.Consideremos a relaof(n) = n2+n + 41 denida para todon NObserveque, paravaloresmenoresque40, f(n)umnmeroprimo. Comefeito, sen=1, f(1) = 43; se n = 2, f(2) = 47; se n = 3, f(3) = 53;; se n = 39, f(39) = 1601. Porm sen = 40 temosf(40) = 402+ 40 + 41 = (41)(41) no primo, mostrando que a sentena falsa.Em 1772 Euler mostrou que f(n) = n2+n+41 assume valores primos para n = 0, 1, 2, 3,, 39.Euler observando que f(n1) = f(n) mostrou que n2+n+41 assume valores primos para80 nmeros inteiros consecutivos, sendo estes inteiros: n = 40, 39, 38,0, 1, 2, 3,38, 39;substituindo a varivel n porn 40 temosf(n 40) =g(n) =n2 79n + 1.601; logog(n) =n279n + 1.601 assume valores primos para todos os nmeros naturais de 0 at 79.Exemplo 1.40.Asentena: 2n + 2 asomadedoisnmerosprimos umasentenaverdadeiraparan = 1, n = 2, n = 3, n = 4,e,comonosexemplosanterioresapsmuitastentativas,noachamos nenhum nmero natural que a torne falsa.Ningum at hoje,achou um nmero natural que tornasse a sentena falsa e ningum,athoje, sabedemonstrarqueasentenasempreverdadeira. Estafamosasentenaconhecidacomo conjetura de Goldbach foi feita em 1742, em uma carta dirigida a Euler diz:6Leonard Euler (17071783) Estudou com Johann Bernoulli, ainda pai de treze lhos e cando completamentecego, escreveu mais de oitocentos trabalhos e livros em todos os ramos da matemtica.40 Christian Quintana PinedoTodo inteiro par, maior do que 2, a soma de dois nmeros primos.No sabemos at hoje se esta sentena verdadeira ou falsa.Em resumo, dada uma armao sobre nmeros naturais, se encontramos um contra-exemplo,sabemos que a armao no sempre verdadeira.Esenoachamosumcontra-exemplo? Nestacaso, suspeitandoqueaarmaosejaver-dadeira sempre, uma possibilidade tentar demonstra-la recorrendo ao princpio de induo; necessrio portanto, dispor de um mtodo com base lgica que permita decidir sobre a validadeou no de uma determinada induo, isto esta garantido com a seguinte proposio:Propriedade 1.13. Primeiro princpio de induo matemtica.SeP(n) uma proposio enunciada em termos den, paran N tal que:1oP(1) verdadeiro2oP(h) verdadeiro parah > 1, implicaP(h + 1) verdadeiro.EntoP(n) verdadeiro n N .A demonstrao exerccio para o leitor.Exemplo 1.41.Mostre que 1 + 2 + 3 + 4 ++n =n(n + 1)2.Soluo.Neste exemplo observe queP(n) : 1 + 2 + 3 + 4 ++n =n(n + 1)2.Paran = 1, P(1) : 1 =1(1 + 1)2 verdadeira.Suponhamos queP(h) : 1 + 2 + 3 + 4 ++h =h(h + 1)2seja verdadeira.Mostrarei que P(h+1) : 1 +2 +3 +4 + +h+(h+1) =(h + 1)[(h + 1) + 1]2 verdadeiro.Com efeito, temos que:1 + 2 + 3 + 4 ++h + (h + 1) =h(h + 1)2+ (h + 1) == (h + 1)(h2 + 1) =(h + 1)(h + 2)2.Logo, pelo princpio de induo matemtica cumpre:1 + 2 + 3 + 4 ++n =n(n + 1)2 n NExemplo 1.42.Deseja-se construir uma parede decorativa com tijolos de vidro da seguinte forma: a primeiraleira (base) dever ter 100 tijolos, a segunda leira, 99 tijolos, a terceira, 98 tijolos e assim pordianteataltimaleiraquedeverterapenas1tijolo. Determineonmerototal detijolosnecessrios para construir desta parede. ser igual a:Soluo.Clculo Diferencial em R 41Observe que a quantidade de nmero de tijolos necessrios para cada leira um,nmeronatural decrescente a partir de 100, logo temos aplicando a frmula do Exemplo 1.41que o totalde tijolos :100 + 99 ++ 3 + 2 + 1 =100(100 + 1)2= 5050Portanto so necessrios 5050 tijolos. 1.8 Propriedades dos Nmeros Inteiros.Os nmeros inteiros satisfazem algumas propriedades fundamentais que estudaremos seguida-mente, paraumestudoaprofundado, consulteIntroduoasEstruturasAlgbricasdomesmoautor.1.8.1 Divisibilidade.Denio 1.11.Sejamosnmeros d, n Z,diz-sequeddivideneescrevemosd [nquandon =cdparaalgumc Z.A divisibilidade estabelece uma relao binria entre nmeros inteiros com as seguintes pro-priedades (sem demonstrao):Propriedade 1.14.Sejama, b, d, , n , m Z n [ n(reexiva) d [ n e n [ m d [ m(transitiva) d [ n e d [ m d [ (an +bm) para alguma, b Z(linear) d [ n ad [ an( multiplicao) ad [ an e a ,= 0 d [ n(simplicao) 1 [ n(1 divide todos os inteiros) n [ 0(cada inteiro divide o zero) 0 [ n n = 0(zero divide somente o zero) d [ n e n ,= 0 [ d [[ n [(comparao) d [ n e n [ d [ d [=[ n [ d [ n e d ,= 0 [n [ d] [ n42 Christian Quintana Pinedo1.8.2 Mximo Divisor ComumDenio 1.12.Sejam os nmerosa, b, d Z, se o nmerod divide aa e ,d chamado divisor comum dea e b.Propriedade 1.15.Dados os nmeros inteirosae b, existe um divisor comum da formad = ax+by para algumx, y Z; e, todo divisor comum dea e b divide ested.Propriedade 1.16.Dadosa, b Z, existe um e somente umd Z com as seguintes propriedades:a) d 0(d no negativo)b) d [ a e d [ b(d um divisor comum deae b)c) Se c [ a e c [ b c [ d(cada divisor comum divided)Demonstrao.Pela Propriedade(4.11) existe pelo menos um d que satisfaz as condies (b) e (c), logo dtambm satisfaz. Porm, sed

satisfaz (b) e (c) entod [ d

e d

[ d, portanto [ d [=[ d

[.Logo existe somente umd 0 que satisfaz (b) e (c).Denio 1.13.O nmerod da Propriedade(5.5) chamado de mximo divisor comum (m.d.c.)deae b edenota-sem.d.c a, b .Propriedade 1.17. Lema de Euclides.Sea [ bc e (a, b) = 1 ento a [ c.Demonstrao.Desde que (a, b) = 1 podemos escrever 1 = ax +by, conseqentementec = cax +cby, Comoa [ acxe b [ bcy, logoa [ c.1.8.3 Nmeros PrimosDenio 1.14.Diz-se que o inteiron um nmero primo, sen > 1 e os nicos divisores positivos den so1 e o prprion. Sen no nmero primo ento chamado de nmero composto.Exemplo 1.43.So nmeros primos: 2,3,7,11 13,17,19So nmeros compostos: 4,6,8,10,16,24O nmero 1 no primo; observe que no satisfaz a denio.Propriedade 1.18.Todo nmero inteiron > 1 nmero primo ou produto de nmeros primos.Clculo Diferencial em R 43Propriedade 1.19. Euclides.Existe uma innidade de nmeros primos.Propriedade 1.20. Teorema fundamental da aritmtica.Todo inteiron > 1 podemos expressar como produto de fatores primos de modo nico.Exemplo 1.44.Mostre que n N a expresson3n divisvel por (seis).Soluo.Temos queP(n) : n3nP(1) : 131 = 0 divisvel por 6.Suponha queP(h) : h3h seja divisvel por 6 sendoh N.Paran = h + 1 temosP(h + 1) :(h + 1)3(h + 1) =(h + 1)[(h + 1)21] =h3h+3h(h + 1) (1.8)Observe que 3h(h + 1) divisvel por 6.Com efeito, seh = 1 temos que 3(1)(2) divisvel por 6. Suponha 3h(h + 1) divisvel por6 h N.Logo parah + 1 segue que 3(h + 1)(h + 2) = 3h(h + 1) + 6 sendo divisvel por 6. Ento em(1.8) da hiptese auxiliar para P(n) conclumos que n N a expresso n3n divisvel por6 (seis). Exemplo 1.45.Mostre que, para todo nmero real (1+x)n 1 e para qualquer naturaln N ento tem-sea desigualdade (1 +x)n 1 +nx.Soluo.SejaS o conjunto de nmeros naturais para os quais (1 +x)n 1 +nx.1o1 S pois, (1 +x)1 1 + (1)x.2oSe h S, temos que (1+x)h 1+hx, ento (1+x)h+1= (1+x)(1+x)h (1+x)(1+hx) 1 +x +hx +hx2 1 + (h + 1)x.Logo, seh S ento (h + 1) S.Aplicando o princpio de induo matemtica temos queS = N. Propriedade 1.21. Segundo princpio de induo matemtica.SeP(n) uma proposio enunciada paran N tal que:1oP(no) verdadeiro.2oP(h) verdadeiro parah>no, implicaP(h + 1) verdadeiro. EntoP(n) verdadeiro n N, tal quen no.A demonstrao exerccio para o leitor.44 Christian Quintana PinedoExemplo 1.46.Mostre que sen qualquer inteiro positivo,13(n3+ 2n) um inteiro.Soluo.SejaS o conjunto de nmeros inteiros positivos tais que13(n3+ 2n) um inteiro.O nmero 1 S pois13(13+ 2(1)) = 1.Suponha queh S; isto 13(h3+ 2h) um inteiro.Ento,13[(h+1)3+2(h+1)] =13[(h3+3h2+3h+1) +(2h+2)] =13(h3+2h) +(h2+h+1) um inteiro.Assimh S implica (h + 1) S. LogoS = N pelo princpio de induo. Exemplo 1.47.Mostre que 2n1(an+bn) > (a +b)ncoma +b > 0, a ,= b en > 1, n N. verdadeira.Demonstrao. Paran = 2 a desigualdade da forma:2(a2+b2) > (a +b)2(1.9)Como a ,= b, temos a desigualdade (ab)2> 0 que, somando (a+b)2obtemos (ab)2(a+b)2>(a +b)2isto implica a desigualdade (1.9); portanto a desigualdade vlida paran = 2.Suponhamos que a desigualdade seja vlida paran = h; isto :2h1(ah+bh) > (a +b)h(1.10)Mostraremos a desigualdade paran = h + 1, isto :2h(ah+1+bh+1) > (a +b)h+1(1.11)Multiplicando em (??) por (a+b) tem-se 2h1(ah+bh)(a+b) > (a+b)h(a+b) = (a+b)h+1.Falta mostrar que 2h(ah+1+bh+1) > 2h1(ah+bh)(a +b).Com efeito, 2h(ah+1+bh+1) > 2h1(ah+bh)(a+b) (ah+1+bh+1) > (ah+bh)(a+b) >(ah+ bh)(a + b) (ah+1+ bh+1)> (ah+ bh)(a + b). Esta ltima desigualdade podemosescrever sob a forma:(ahbh)(a b) > 0 (1.12)Suponhaa > b, da hiptesea > 0 segue quea >[ b [; portantoah> bh, logo (1.12) sempre verdadeira. Para o caso a < b, ento ah< bhe a desigualdade o produto de nmeros negativos,logo (1.12) sempre verdadeira.Assim se a desigualdade (1.12) vale paran = h, tambm vale paran = h + 1.Clculo Diferencial em R 45Exerccios 1-51. Casoexistam, determineosupremo, onmo, omximoeomnimoparacadaumdosseguintes conjuntos:1. B = x Q/. [ x24 [< 16 2. A = x Z /. [ x29 [ +3 [ x 4 [< 16 3. C = x N /. [ x2x + 1 [< 3 4. D = x I /. [ 5x 10 [ + [ x [ 1 5. F= x R /. [ x29 [ 16 x 6. E = x Z/. [ x216 [ + [ x 4 [> 1 7. H = x R/. [ x29 [< 16 x 8. G = x R /. [ 9 x2[ [ x 4 [< 1 2. Mostre que 1 o supremo do conjuntoE = x/. x =2n12n, n N .3. Mostre que, se o produto de n nmeros positivos igual a 1 (um), a soma dos mesmos no menor quen.4. Mostre que, sex1,x2,x3,x4,, xn so nmeros positivos, tem-se:x1x2+x2x3+x3x4+x4x5++xn1xn+xnx1 n5. Utilizando o princpio de induo matemtica, mostre cada um dos seguintes enunciados:1. 12+ 22+ 32++n2=n(n + 1)(2n + 1)6 n N, n ,= 02. 13+ 23+ 33++n3=n2(n + 1)24 n N, n ,= 03. 1 + 4 + 7 ++ (3n 2) =n(3n 1)2 n N, n ,= 04. 12+ 32+ 52++ (2n 1)2=n(4n21)3 n N, n ,= 05. 2 + 5 + 8 ++ (3n 1) =n(1 + 3n)2 n N, n 16. 20+ 21+ 22++ 2n1= 2n1 n N, n > 17. 1 2 + 2 3 + 3 4 ++n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)3 n N, n ,= 08.11 3 +13 5 +15 7 ++1(2n 1)(2n + 1)=n2n + 1 n N, n ,= 06. Utilizando o princpio de induo matemtica, verique a validade de cada um dos seguintesenunciados:1. (n2+n) divisvel por 2, n N.2. (n3+ 2n) divisvel por 3, n N.46 Christian Quintana Pinedo3. n(n + 1)(n + 2) divisvel por 6. n N, n ,= 0.4. (32n1) divisvel por 8, n N.5. (10n1) divisvel por 9, n N.6. 2n n2; n N, n 47. 3n (1 + 2n); n N.8. 8 um fator de 52n+ 7 n N, n 17. Determine a validade das seguintes proposies; justique sua resposta.1. Se x, y R , com 0 < x < y , entoxn< yn n N, n ,= 0.2. 4n1 divisvel por 3, n N.3. (8n5n) divisvel por 3, n N.4. (10n+1+ 10n+ 1) divisvel por 3, n N.5. 4n> n4; n N, n 5.6.22n+1+ 32n+15 um nmero inteiro.8. Mostre que, para nmeros reaisx ey, en N n 2 so vlidas as seguintes igualdades:1. xnyn= (x y)(xn1+xn2.y +xn3.y2++x2.yn3+x.yn2+yn1)2. xn+yn= (x +y)(xn1xn2.y +xn3.y2+ (1)n3x2.yn3x.yn2+yn1)somente paran mpar.9. Mostreque, paraquaisquerquesejamosnmerospositivosdiferentes aebvlidaadesigualdade:n+1abn 1 dene-sen! = 12345 (n 1)n oun! =n(n 1)(n 2)(n 3) 4 3 2 1. Mostre que:1. 2n1 n! n N.2. 2n< n! < nnpara n N n 4.12. Mostre a desigualdade: n! 1, m N so vlidas as seguintes desigualdades:1.1m+ 1 +1m+ 2 +1m+ 3 ++12m>122.1m+ 1 +1m+ 2 +1m+ 3 ++1m+ (2m+ 1)> 18. Prove que, para qualquer inteiro positivon vlido o seguinte:122 +132 +142 +152 ++1n2 1 en N:1.nk+1(k + 1) 1 + 2k+ 3k+ + (n 2)k+ (n 1)k2.nk1k1 1k 1 + 21k+ 31k+ + (n 1)1k+n1k23. Mostre por induo o seguinte:1. A desigualdade de Cauchy :_n

i=1aibi_2_n

i=1a2i_

_n

i=1b2i_2. (1 +q)(1 +q2)(1 +q4)(1 +q2(n1))(1 +q2n) =1 q2(n+1)1 q24. Descobra o erro no seguinte raciocnio por induo:SejaP(n): Sea e b so inteiros no negativos tais quea +b n a = b.Observe queP(0) verdadeira.Sejama e binteirostaisque a +b h + 1, denac =a 1 e d=b 1, entoc +d = a +b 2 h +1 2 h. A verdade deP(h) implica quea = b; isto P(h +1) verdadeira.PortantoP(n) verdadeira para todon 0, n N.25. Mostre que:_1 + 11_._1 + 12_2._1 + 13_3

_1 +1n_n=(n + 1)nn! n N+.26. Sea, b en so inteiros positivos, mostre o seguinte:1._a0__bn_+_a1__bn 1_++_an 1__b1_+_an__b0_=_a +bn_2._n0_2+_n1_2+_n2_2++_nn 1_2+_nn_2=_2nn_27. Sejar ,=1.1. Deduzir que,a +ar +ar2+ar3+ar4++arn1= a_1 rn1 r_2. Mostre por induo sobren N, n 1 que:a +ar +ar2+ar3+ar4++arn1= a_1 rn1 r_28. Mostre que, para qualquer x > 0 e para todo nmero natural n-par, a seguinte desigualdade verdadeira:xn+xn2+xn4+ +1xn4 +1xn2 +1xn n + 129. Mostre que todo nmero natural podemos escrever como o produto de nmeros primos.50 Christian Quintana Pinedo30. A sequncia de Fibonacci dene-se como segue: a1 = 1, a2 = 1, an = an1+an2 paran 3. Mostre por induo que:an =_1+52_n_152_n531. Mostre que, sea1, a2, a3, , an so nmeros reais tais que [ a1 [ 1e [ anan1 [ 1,ento [ an [ 1.32. Mostre que, para todo inteiro positivo n e parap > 0 nmero real a seguinte desigualdade vlida:(1 +p)n 1 +np +n(n + 1)2p233. Mostre que: [n

i=1ai [n

i=1[ ai [34. Prove que: (1x)[(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x2n)] = 1x2(n+1)para qualquer inteirox, e todon 0.35. Determine o valor deE = x3+ 3x + 2, quandox =3_2 1 13_2 1.36. Construir nmeros 49, 4489,444889,44448889, . . . etc obtendo cada um deles inserindo onmero 48 no meio do nmero anterior. Vericar que estes nmeros so quadrados perfeitose encontrar a raiz quadrada do nmero que consiste de 2n algarismos.Captulo 2FUNESLeonhard EulerEulernasceuemBasilia, naSuaem15deabril de1707emorreu em18 de setembro de1783,em So Petersburgo,Rssia Foio matemtico mais produtivo do sculoXV II- h quem o considereo matemtico mais produtivo de todos os tempos .Leonhard Euler estudou Matemtica com Johann Bernoulli.Quandoem1725, Nikolaus, lhodeJohan, viajouparaSoPeters-burgo,convidouaojovemEulersegui-loeseinscrevernaAcademiaat1741. Em1726, Eulerjtinhaumpequenoartigopublicaoe,em 1727, publicou outro artigo sobre trajetrias recprocas. Este artigoganhouosegundolugarnoGrandePremiodaAcademiadeParis,oque foi um grande feito para o jovem licenciado.De1741at1766, Euler estevenaAlemanhanaAcademiadeBerlimsobaproteodeFrederico-o-Grande; de1766a1783voltoua So Petersburgo, agora sob a proteo da imperatriz Catarina.Avidadestematemticofoi quaseexclusivamentededicadaaotrabalhonosdiferentescamposdaMatemtica. Emborativesseperdidoumolhoem1735eooutroem1766, nadapodiainterromperasua enorme produtividade. Euler, cego, ajudado por uma memria fenomenal, continuou a ditar as suasdescobertas. Duranteasuavidaescreveu560livroseartigos; suamortedeixoumuitosmanuscritosque foram publicados pela Academia de So Petersburgo durante os quarenta e sete anos seguintes.2.1 Introduo.Aaplicabilidadedamatemtica, enquantoinstrumentodeestudodosfenmenosreaisde-pende essencialmente da sua capacidade de representar esses fenmenos, isto , da concepo deum modelo matemtico que sintetize e relacione as principais caractersticas do fenmeno a estu-dar. Nesses modelos matemticos tais relaes so hoje representadas por funes. O conceito defuno que hoje nos pode parecer simples, o resultado de uma lenta e longa evoluo histricainiciada na Antigidade quando, por exemplo, os matemticos Babilnios utilizaram tabelas dequadrados e de razes quadradas e cbicas [8], ou quando os Pitagricos tentaram relacionar aaltura do som emitido por cordas submetidas mesma tenso com o seu comprimento.Nesta poca o conceito de funo no estava claramente denido. As relaes entre as var-iveis surgiam de forma implcita e eram descritas verbalmente ou por um grco. S no sculo5152 Christian Quintana PinedoXV II, quando Descartes1e Pierre Fermat introduzem as coordenadas cartesianas, que se tornapossvel transformar problemas geomtricos em problemas algbricos e estudar analticamente asfunes. A matemtica recebe assim um grande impulso, notadamente pela sua aplicabilidadea outras cincias. A partir de observaes ou experincias realizadas,os cientistas passaram adeterminarafrmulaoufunoquerelacionaasvariveisemestudo. Apartirdaqui todooestudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funes. por isso que um dos conceitos mais importantes da matemtica o de funo. Em quasetodas as partes da cincia o estudo de funes a parte central da teoria.2.2 Relaes.Suponha os conjuntosA= 1,2,3,4 e B= a, b, c, d .Podemos estabelecer uma relao (correspondncia) entre os conjuntos Ae B de modo quea cada nmero em ordem crescente do conjuntoA, corresponda uma letra em ordem alfabticodo conjuntoB.Outro modo de apresentar o esquema da Figura(2.1), seria utilizando a forma de par orde-nado, isto : (1, a),(2, b),(3, c) e (4, d).Note-se que a correspondncia estabelecida determina um subconjunto do conjunto produtocartesianoAB. Este conjunto denotado como: (1, a),(2, b),(3, c),(4, d)Denio 2.1.DizemosqueSumarelaodeAemB, seSumsubconjuntodoprodutocartesianoAB; isto ,SAB.Observao 2.1._

_

1234abcdA BFigura 2.1:1)Sex Aey Besatisfazque, (x, y) S,entodiz-sequexestemrelaocomymedianteSedenotamos com o smboloxSy.2) Se S umarelaode AemB, oconjunto A chamadode conjuntode partida e oconjunto Bchamado de conjunto de chegada.3) Dado que o conjunto vazio A B, ento uma relao deAemB e chamada de relao nula ouvazia.4) Temos que S uma relao de A em B, se e somenteseSAB.5) SeS uma relao deAemB e, se:S= (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3),(x4, y4)1Rene Descartes (1596 1650), criador da geometria analtica foi um gentil homem, militar, matemtico e umdos maiores lsofos de todos os temposClculo Diferencial em R 53Exemplo 2.1.SejamosconjuntosA = alunosdo1oanodeClculoI e B= N,entoentreAe Bpodemos formar algumas relaes como:S1 = (x, y) AB /. xtmy anosS2 = (x, y) AB /. xtmy reaisExemplo 2.2.Sejam os conjuntos: A= 3,4,5,6,B= 1,2,3,4 e a relao:S= (x, y) AB /. x=y + 2Assim, podemos escrever: S = (3,1),((4,2),(5,3),(6,4) .2.2.1 Domnio e Imagem de uma Relao.SejaS uma relao no vazia deAemB, isto :o = (x, y) AB /. xoy Denio 2.2. Domnio de uma relao.O domnio da relao o o conjunto dos elementos x A para os quais existe um elementoy Btal que (x, y) o.Isto o domnio de o o subconjunto de elementos de A formado pelas primeiras componentesdos pares ordenados que pertencem a relao. A notao para indicar o domnio da relao SD(o) assim denido:D(S) = x A/. y B; (x, y) o Denio 2.3. Imagem de uma relao.A imagem ou contradomnio da relao o o conjunto dos elementosy B para os quaisexiste um elementox A tal que (x, y) AB.Isto, aimagemde oosubconjuntode Bformadopelas segundas componentes dosparesordenadosquepertencemarelao. Anotaoparaindicaraimagemdarelao o Im(o) = y B /. x A;(x, y) o Exemplo 2.3.O domnio e imagem da relao do Exemplo(2.2) so respectivamente:D(o) = 3,4,5,6 Im(o) = 1,2,3,42.2.2 Relaes de R em R.No que segue, utilizaremos relaes deA emBondeAe Bso subconjuntos do conjuntode nmeros reais R.54 Christian Quintana PinedoExemplo 2.4.Seja ouma relao denida por: o= (x, y) N+N+/. x2+y29Logo, nossarelao: o =(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2). Umdiagramadarelao omostra-se na Figura(2.2).Observe que somente so quatro pontos do plano. `0 1 2 3 4 x1123y, ,, ,Figura 2.2: `x3 333yFigura 2.3:Exemplo 2.5.Seja T a relao em R denida como segue: T = (x, y) R R /. x2+y2 9Um diagrama da relao mostra-se na Figura (2.3), observe que impossvel desenhar um decada vez os innitos elementos da relao T ; isto acontece pelo fato denir a relao no conjuntode nmeros reais R.Existem outros tipos de relaes como mostra a seguinte denio.Denio 2.4.Sejamk nmero real constante no nulo, en N.i)Diz-seque ydiretamenteproporcional ax, se y = kx; ediz-seque yinversamenteproporcional ax, sey =k(1x).ii)Diz-se quey diretamente proporcional n-sima potncia dex, sey=k.xn; e diz-se quey inversamente proporcional n-sima potncia dex, sey =k(1xn).iii)Diz-se quez conjuntamente proporcional axe y sez =kxyExemplo 2.6.O peso aproximado da banha em um porco diretamente proporcional a seu peso corporal.a)Expresse o nmero de quilos do peso aproximado da banha de um porco como funo de seupeso corporal sabendo que um porco com 98kg tem um peso aproximado de 32kg de banha.b)Ache o peso da banha de um porco cujo peso corporal seja 72 kg.Soluo. ( a)Clculo Diferencial em R 55Sejay =f(x) o peso aproximado de banha de um porco cujo peso corporal x kg, sendo opeso da banha diretamente proporcional a seu peso corporal, temos que existe uma constante ktal quef(x) =kx; quandox=98 temos f(98) =32, logo 32=k.(98) ondek=3298.Portantof(x) =3298x. Soluo. (b)Por outro lado, quandox=72 temosf(72) =72(3298) =115249=23, 51.Logo o peso da banha aproximadamente 23, 51 kg.Exemplo 2.7.Deumgrupode100alunos, arazosegundoaqual umboatoseespalhaconjuntamenteproporcional ao nmero de alunos que ouviram o boato e ao nmero de alunos que no ouviramoboato. a)Seoboatoestseespalhandoaumarazode5alunosporminuto, quando30oouviram. Expresse a taxa segundo o qual o boato se est espalhando como funo do nmero dealunos que o ouviram. b) Quo rpido o boato se espalhou quando 90 alunos o ouviram?Soluo.a)Suponhamos f(x) seja a taxa pelo qual o boato se est espalhando, quando x alunos o ouviram(logo no ouviram 100 x); entof(x) = kx(100 x).Quandox = 30, temosf(30) = 5 5 = k(30)(100 30) 5 = 2100k k =52100=1420.Logof(x) =x(100 x)420. Soluo.b)Quando x=90, temos f(90)=1420[90(100 90)] =900420=2, 142, a taxa de crescimentoquando 90 alunos o ouviram 2, 142 ouvintes por minuto.Exemplo 2.8.Umatorneiraencheumtanqueem12minutos, enquantoqueumasegundatorneiragasta18 minutos para encher o mesmo tanque. Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeiratorneiradurantexminutos; aomdessetempo, fecha-seessatorneiraeabre-seasegunda, aqual termina de encher o tanque em (x + 3) minutos.Calcular o tempo gasto para encher o tanque.Soluo.SejaV ovolumedotanque, doenunciado, conclui-seque, em1minutoacontribuiodecada torneira serV12eV18do volume total do tanque, respectivamente.Podemos ento escrever a relao:V12x +V18(x + 3) =V ;entox12 +x + 318= 1 3x + 2x + 6 = 36, assimx = 6.Logo, otempoparaaprimeiratorneirax=6eotempoparaasegundatorneira9minutos.Conclui-se, que o tempo total gasto, ser igual a 15 minutos.56 Christian Quintana PinedoExemplo 2.9.Umacidentefoipresenciadopor165dapopulaodePatpolis. Onmerodepessoasquesoube do acontecimentox horas Aps, dado por: f(x) =B1 +Cakx, ondeB a populao dacidade.Sabendo que19da populao soube do acidente 3 horas aps. Determine o tempo que passouat que15da populao soubesse da notcia.Soluo.Pelo enunciado do problema, no tempo x = 0, o acidente foi presenciado por165 da populaoB.Fazendox = 0 e f(0) =165B, vem:165B =B1 +Ca0de ondeC = 64.Tambm pelo enunciado do problema, dito que parax = 3 tem-se,f(3) =19B 19B =B1 + 64a3kDa vem: 9 = 1 + 64a3k, logo18= a3k, de onde23= (ak)3 ak= 2 k = loga 2Sabe-se que para todo nmero real positivos, vlida a igualdades = aloga s, logo a funodada no enunciado, poder ser escrita como: f(x) =B1 + 2x 64Qual o tempo que passou at que15da populao soubesse da notcia do acidente?.Ora, basta fazerf(x) =15B e calcular o valor respectivo dex.Teremos ento:B5=B1 + 2x 64 4 = 2x 64 x = 4Portanto,o tempo quepassouat que15da populao soubesse da notcia do acidente foix = 4 horas.Clculo Diferencial em R 57Exerccios 2-11. Sejam os conjuntosA= 0,1,2 e B= 3,2,1, escrever em forma de conjuntos arelao deA emB denida porx=y; parax A ey B.2. SuponhaosconjuntosA=3, 5, 8, 9 e B =1, 3, 5, 7, escreveremformadeconjuntos a relao deA emB denida por:1. x0; tem-sequef(f(x))=x. Determineafunoinversa dey = f(x).Soluo.Tem-se, f(f(x)) =n_a [f(x)]n=n_a [na xn]n=n_a [a xn] =x do fatox> 0;Por outro lado, sejay = f(x), entoy =na xnassimx =na ynisto f1(y) =na yn,sendo a funo denida independente da varivel resultaf1(x) =na xn90 Christian Quintana Pinedo2.5.3 Relao entre o Grco defe def1.Da denio de funo inversa temos que se o ponto,P(a, b) pertence ao grco da funof, entoQ(b, a)pertenceaogrcodafunof1evice-versa. ObservenaFigura(2.29)aidenticao no plano dos pontosP(a, b) eQ(b, a) note-se que so simtricos respeito da retabissetrizy = x.Isto resulta do fato ser o quadrilteroPAQBum quadrado, de ladosAP=QB =b a =AQ = PB.`yxbaa b 0y= x

A(a, a) .....................

dd

.....................P(a, b)Q(b, a)B(b, b)Figura 2.29:`yxy= x..................f(x)f1(x)

0Figura 2.30:Logo Pe Q so os vrtices opostos do quadrado, e considerando que no quadrado as diagonaisso perpendiculares e cortam-se no ponto mdio, resultad = d

, onde:d = distncia deP bissetrizy = x.d

= distncia deQ bissetrizy = xSeconsideramosumafunof: A Besuafunoinversaf1: B Aentoseusgrcos so simtricos respeito da bissetriz y = x, pois (x, y) Gfse e somente se (b, a) Gf1.A Figura(2.30) representa os grcos da funofe sua inversaf1.Exemplo 2.58.Afunof : R Rdenidaporf(x)=3x + 5injetora, logoadmitefunoinversaf1: R R. Determinemos esta funo inversaf1.Soluo.Primeiro mtodo:Sabemos que f(f1(y)) =y , logo f(f1(y)) =3f1(y) + 5 =y de onde f1(y) =y 53 y R, sendo que a varivel y na funo f1 independente podemos utilizar a letra xe obterf1(x) =x 53 x R.Segundo mtodo:Suponhay=f(x),entoy=3x + 5 onde,isolandoavarivel xresulta: x=y 53,logof1(y) =y 53 y R ouf1(x) =x 53 x R. Exemplo 2.59.Clculo Diferencial em R 91Determine a funo inversaf1(x), sef(x + 1) = x23x + 2 x R+.Soluo.Seja t = x+1, ento x = t 1, logo f(t) = f(x+1) = x23x+2 = (t 1)23(t 1) +2 =t25t + 6, observe que a funof(t) existe parat 1.Consideremosy=f(t) =t2 5t + 6 entot2 5t + 6 y= 0,pela frmula de Bhaskaratemos quet =5 _25 4(6 y)2, assim 25 4(6 y) 0 1 + 4y 0 y 14pela condio det, temos quef1(y) =5 +_25 4(6 y)2sempre quey 14.Portanto,f1(x) =5 +1 + 4x2sempre quex 14; Im(f1) = [52,+). Exemplo 2.60.a)Suponhaf(x) = x + 1. Existem funesg tais quefog = gof?b)Suponhafseja uma funo constante. Para quais funesg cumpre quefog = gof?c)Suponha quefog = gofpara todas as funesg. Mostre quef a funo identidade.Soluo.a)A condiofog=gofsignica queg(x) + 1 =g(x + 1) para todox R. Existem muitasfunesg que satisfazem esta condio.b)Suponha f(x) = c, x R, ento fog = gofse e somente se c = f(g(x)) = g(f(x)) = g(c)isto g(c) = c.c)Sefog=gofparatodog, entocumpreistoparatodasasfunes, emparticularparaafun constanteg(x) = c; logo da parte b) segue quef(c) = c para todoc.Exemplo 2.61.Mostre que a funo inversa da funo homogrca f(x) =ax +bcx +d(considerando adbc ,= 0)tambm homogrca.Soluo.Sejay = f(x), entoy =ax +bcx +dexiste sempre quex ,= dc.A igualdadey =ax +bcx +d y(cx + d) =ax + b x(yc a) =b dy x =dy ba cy, y ,=ac. Denotando comf1(x) =dx ba cxtemos a funo inversa def(x).Observe que fof1(x) = f(f1(x)) =x(ad bc)ad bc= x da hiptese ad ,= bc. De modo anlogomostra-se quef1of(x) = x.Portantof1(x) =dx ba cx homogrca.92 Christian Quintana PinedoExemplo 2.62.Estima-se que um operrio de um estabelecimento que faz molduras para quadros possa pintarymoldurasdepois xhorasdoinciodoseutrabalhoquecomeas8horasdamanh, ondey = 3x +8x2x3se 0 x 4 . (a) Ache a taxa segundo a qual o operrio esta pintando s 10horas da manh. (b) Ache o nmero de molduras prontas entre 10 e 11 horas da manh.Soluo. a)Tem-sequey=f(x)umafunoquedependedotempox. Noinstantex1tem-sequey=f(x1) = 3x1 + 8x21 x31. Suponha um lapso de tempo transcorridoh depois dex1,entoy = f(x1 +h) = 3(x1 +h) + 8(x1 +h)2+ (x1 +h)3.A diferenafh=f(x1 +h) f(x1)hquando h for to pequeno possvel, determina a taxa segundo o qual o operrio est pintando x1depois das 8 da manh.Isto , f(x1) = 3[(x1 +h) x1] +8[(x1 +h)2x21] [(x1 +h)3x31] = 3h+8(2hx1 +h2) (3hx21 + 3h2x1 +h3) = h[3 + 8(2x1 +h) (3x21 + 3hx1 +h2)], ento:f(x1)h=h[3 + 8(2x1 +h) (3x21 + 3hx1 +h2)]h= 3 + 8(2x1 +h) (3x21 + 3hx1 +h2)Quandohfortopequenoquantoozero, tem-sequef(x1)h=3 + 8x1 3x21. Ataxasegundo o qual o operrio est pintando quandox1 = 2 corresponde as 10 horas.Logo, f(2)h= 3+8(2)3(22) = 7. Portanto, a taxa segundo a qual o operrio esta pintandos 10 horas da manh de 7 quadros. Soluo. b)At as 11 horas ele pintouy = 3(3) + 8(32) 33= 54 quadros. At as 10 horas ele pintouy = 3(2)+8(22)23= 30 quadros. Logo entre as 10 e 11 horas da manh, ele pintou 5430 = 24quadros. Clculo Diferencial em R 93Exerccios 2-41. Para quais nmeros reais a,b,c,d a funo f(x) =ax +dcx +bsatisfaz f(f(x)) = x para todox?2. Sef uma funo de varivel real tal quef(x 2) = 2x2+ 1, determinar:1.f(a + 2) f(1)a 3a ,= 3 2.f(a + 2) f(2)a 2a ,= 23. Sef(4x + 1) = x2+ 4x 5 funo real, acharf(5x).4. Sejaffuno real denida por:f(x) =_2, se, 0 x 23, se, 2 < x < 3e g(x) = f(x + 2) +f(2x)Achar D(g).5. Sejaf : A [0,1]. Determine o domnio defse:1. f(x) = [ x + 2 [x + 22. f(x) = x2+ 4x + 12 3. f(x) =1 + 2x3 5x6. Determinar o domnio de denio das seguintes funes:1. f(x) =_x 2x 12.f(x) =4_12 +xx 53. f(x) =_9 6x +x24. f(x) =4_x24x + 12 +3x24x 20 +x25. f(x) =4_1 _4 +x26. g(x) =_ [ x + [[x[] [ se, [[x[] par_x +[[x[], se, [[x[] mpar7. A funof(x) esta denida como segue: em cada um dos intervalos n x < n +1 onden um inteiro positivo,f(x) varia linearmente, sendof(n) = 1, f(n + 12) = 0. Construiro grco desta funo.8. A funofem R tal quef(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).9. Sendofeg duas funes tais quefog(x) = 2x + 1 eg(x) = 2 x. Determinef(x).10. Sef(g(x)) = 5x 2 ef(x) = 5x + 4, entog(x) igual a:11. Dadas as funesf(x) = 4x + 5 eg(x) = 2x 5k, ocorrergof(x) = fog(x) se e somentesek for igual a:12. Sejaf umafunodenidaemRtal que f(x 5) =4x. Nestas condies, pede-sedeterminarf(x + 5).13. Sendofegduasfunestaisque: f(x)=ax + beg(x)=cx + d. Sobquecondiesocorrer a igualdadegof(x) = fog(x)?94 Christian Quintana Pinedo14. Sejamf(x)=x + 2eg(x)=x2+ a, determinarovalordeademodoque(fog)(3)=(gof)(a 1).15. Determine duas funesfeg tais queh = gofnos seguintes casos:1. h(x) = (x2+ 3)62. h(x) = 2sen 2x3. h(x) = 3(x+ [ x [)4. h(x) =x + 12 5. h(x) = x2+ 16x + 646. h(x) =_2x + 5x 4_27. h(x) = sen 24x + 5sen 4x + 216. Dadas as funesf(x) =[ x + 1 [ eg(x) =[ 2 x [. Determinefog egof.17. Sejamfeg funes denidas por:f(x) =_2x2+ 5x, se, x < 2[ x + 2 [ 2x, se, x 2g(x) =_x + 4, se, x > 2x23x, se, x 2Achar : 1. f(1) +g(1) 2. f(0).g(0) 3. (fog)(2)4.f(4)g(1)5. (fog)(3) 6. (gog)(32)18. Dada a funo de produo 9p = 2q2, onde q a quantidade de um insumo, o que acontececom a produo se a quantidade do insumo for duplicada?Como so ento os retornos daproduo?19. SejamR = 2q2+ 30q eC = 3q + 72 as funes deReceita eCusto para certo produto.(a)Determineopontodeequilbrio(break-even). (b)FaaosgrcosdeCeRnummesmoeixo. (c)Determineafunolucroefaaseugrco. (d)Determineafunolucro mdio e faa seu grco por pontos tomados no intervalo de variao deq.20. SejaP=20x5umafunoquedaquantidadePdecertoprodutoqueproduzidaem funo da quantidadex de certo insumo. (a) Esboar o grco da funo. (b) O queacontece com a produo se a quantidade de insumo por multiplicada por 6. (c) Como soos retornos da produo?.21. Umlaboratrioaolanaumnovoprodutodebeleza, estabeleceumafunoquedaqua

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