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Calculo Simplificado Da Capacidade de Carga de Rodas Dentadas Cilindricas
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Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 1 draft 2013
Cálculo simplificado da capacidade de carga de rodas dentadas cilíndricas1 As notas seguintes, baseadas no vol. 1 da 4ª ed. do ‘Traité théorique et pratique des engrenages’ de G. Henriot2, descrevem sucintamente um método simplificado de cálculo de engrenagens apresentado naquela obra, envolvendo dois passos: um cálculo aproximado, a que se segue um cálculo de verificação. Entretanto foram evoluindo normas ISO sobre o assunto, em particular ISO 6336-2 e -33. Os respectivos processos de cálculo estão programados em software agora disponível aos alunos da FEUP4. Pode assim ter interesse a comparação de resultados obtidos usando o procedimento de Henriot a seguir descrito, com os que se obterão usando os referidos softwares. 1 Cálculo aproximado da capacidade de carga Uma estimativa conservadora do valor do módulo pode ser obtida usando expressões baseadas em aproximações simples do dente como uma viga trabalhando à flexão, supondo a carga transmitida a actuar na cabeça do dente, e apenas um par de dentes em contacto, e dentado normal 0x . O valor do módulo m encontrado é:
311 t
adm
Mm
k z
(1)
onde tM é o momento torsor, a largura do dente é b k m , z é o número de dentes, e
adm é a tensão admissível. A largura da roda é, para efeito de estudo inicial,
frequentemente tomada como cerca de 10 vezes o módulo. Valores muito elevados de k são de evitar, dada a óbvia dificuldade em assegurar uma efectiva repartição longitudinal da carga, devido a possíveis defeitos de maquinagem e/ou a deformações em serviço. O tratado de Niemann 5 preconiza:
Tabela 1 – limites orientativos para a largura do denteb apoio bilateral rígido 1 1, 2bb d
em consola 1 0,75bb d
1 uma primeira versão destas notas foi usada na disciplina anual Órgãos de Máquinas (OM) do curso de Eng. Mecânica da FEUP nas décadas de oitenta e noventa, chamando a atenção para a norma Francesa AFNOR E23-015, entretanto publicada. Com a passagem da disciplina a semestral, como consequência negativa do ‘Processo de Bolonha’, a referência ao cálculo de capacidade de carga de engrenagens deixou de ser feita na disciplina semestral OM ficando a iniciação dos alunos nesta matéria a cargo das disciplinas de ‘Anteprojecto’ (agora designada ‘Iniciação ao Projecto’), cujos docentes usam uma variedade de fontes bibliográficas para o efeito. A síntese de dados da 4ª ed. do tratado de G. Henriot, aqui incluída, foi inicialmente preparada por J. Silva Gomes. A abordagem usando a normalização ISO 6336 é agora tratada na disciplina Órgãos de Máquinas II. 2 Georges Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968 3 ISO 6336-2:2006 ‘Calculation of load capacity of spur and helical gears — Part 2: Calculation of surface durability (pitting)’, 2006. ISO 6336-3:2006, ‘Calculation of load capacity of spur and helical gears — Part 3: Calculation of tooth bending strength’, 2006. 4 por exemplo, AUTODESK INVENTOR, que inclui o procedimento de cálculo ISO 6336-3, 1996, método C, e, a partir de 2013/2014, o software KISSsoft da empresa KISSsoft AG. 5 Gustav Niemann, ‘Tratado teórico-práctico de elementos de máquinas – cálculo, diseño y construcción’, Editorial Labor, 1967, p.487.
Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 2 draft 2013
Sendo o ângulo de pressão 20 , 1 1, 2bb d leva a 11,13b m z ; para um pinhão
de 15 dentes, por exemplo, virá 17b m . Os limites indicados variam conforme a fonte consultada; as tabelas técnicas de Gieck6, por ex., apresentam limites um pouco diferentes, 1 1,5b d e 1 0,7b d para pinhões montados com apoio bilateral rígido,
ou em consola, respectivamente. Já em texto para o ensino secundário Português7, é referida gama 6 a 16 para valores possíveis para k . Afirmando que há vantagem em tomar sempre o menor valor possível para a razão 1b d , Henriot8 nota que por vezes
isso não é possível no caso de engrenagens de alta velocidade, dada a velocidade tangencial que poderia resultar. O anteprojecto da engrenagem tem de tomar em consideração os veios em que vão trabalhar (sendo comum maquinar pinhões directamente em veios). O citado tratado de Niemann apresenta (p.350) uma orientação de estudo inicial, que permite estimar o diâmetro seja baseado no momento torsor, seja no ângulo de torção (tomado como 0,25º/m). Uma abordagem aos passos iniciais do dimensionamento de rodas dentadas cilíndricas, baseada na experiência de Henriot, será agora apresentada. O método exposto por Henriot na obra citada (pág. 387 e seguintes) destina-se a um cálculo de anteprojecto, não devendo os resultados obtidos ser tomados como definitivos; estes serão submetidos posteriormente a um cálculo de verificação, e eventualmente modificados. Na Tabela 1 as engrenagens paralelas são agrupadas segundo os tipos mais frequentemente encontrados. Na Figura 1 indicam-se valores práticos da relação 1b d
para os diferentes tipos de engrenagens da Tabela 1. A Tabela 1 e a Figura 1, elementos de base para este passo inicial, reflectem experiência acumulada neste tipo de projectos.
1.1 Determinação simplificada da engrenagem à pressão superficial.
Se designarmos por:
2 1
1 2
zi
z
razão de transmissão
a entre eixo, (mm) b largura do dente, (mm)
1n velocidade de rotação do pinhão (rpm)
P potência a transmitir (kgm/s) K coeficiente tirado da Tabela 1
tF força tangencial primitiva (kg)
6 Kurt Gieck, Reiner Gieck, ‘Manual de fórmulas técnicas’, 4ª ed., Dinalivro. Hemus, 1996, p.Q23 (tradução de ‘Technische Formelsammlung’, 29ª ed. alemã). 7 Fernando M.F. da Silva, Fernando N.da Silva, ‘Mecânica dos materiais III’, 3ª ed. , Porto Editora, 1990, p.149. 8 Georges Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.397.
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Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 4 draft 2013
Tabela 1 – Tipos de engrenagens paralelas frequentemente encontradas; valores K , 0tF b m , e Z ; notar10 que 1 1Z z i i .
Características K .t oF b m Z
I
a) b)
Pinhões de caixas de velocidade Aços de cementação para pinhão e roda.
Dentes helicoidais simples 30o .
Qualidade do dente: ISO 7-8 (depois de tratamento térmico). Duração de funcionamento à plena carga < 2.000 horas Viaturas de turismo. 0.8AK
1. Velocidades superiores 2. Velocidades inferiores Camiões, automóveis, tractores
0,7 a 1,0 1,0 a 1,1 0,6 a 0,7
12 a 15 15 a 18 8 a 10
12 a 14
II
a) b)
Engrenagens de aviação Aços de cementação de qualidade superior. Qualidade do dente: ISO 4 ou 5. Segurança muito grande. Engrenagens confirmadas por ensaios. Engrenagens clássicas Trens planetários
0,6 a 0,7 0,5 a 0,6
8 a 10 6 a 8
III
1
Engrenagens de grande velocidade Pinhão e roda em aços de cementação. Grande duração de funcionamento com choques moderados e grande segurança. Dentes simples helicoidais. a) mais de 50000 horas, 24 horas por dia
1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6
0,385 0,25
9 6,5
20 a 22
b) 25000 horas. 12 horas por dia 1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6
c) 5.00 horas
1. Precisão ISO 4 2. Precisão ISO 5 e 6
0,440 0,285 0,53 0,345
10 7 12 9
2
Pinhão em aço de cementação. Roda em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell) a) 1.
2. b) 1. como para 1
2. c) 1.
2.
0,21 0,135 0,24 0,155 0,285 0,180
7,5 5 8,5 5,5 9,5 6
30 a 32
3 Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell). Roda em aço de liga tratada para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell) a) 1.
2. b) 1. como para 1
2. c) 1.
2.
0,19 0,12 0,215 0,14 0,255 0,162
7,5 5 8,5 5,5 9,5 6
35 a 37
4 Pinhão em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Roda em aço de liga tratado para 70-80 kgmm-2 (225 Brinell). Dente em espinha de precisão. a) 1.
2.
b) 1.
como para 1
2.
0,155 0,10 0,175 0,115
6 4 7 4,5
34 a 35
10 Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, eq. 255, p.400.
Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 5 draft 2013
Tabela 1, (continuação)
Características K .
t
o
F
b m
Z
IV
1
Engrenagens de mecânica geral Choques moderados. Factor de segurança normal. Dentes helicoidais ou em espinha. Pinhão e roda em aço cementação. Precisão ISO 5 e 6. a) 5tv m s
1. mais de 50000 horas. 24 horas por dia 2. 25000 horas. 12 h/dia
b) 5 < tv < 10
1. 2.
c) 10 < tv <15
1. 2.
d) 15 < tv < 30
1. 2.
e) 30 < tv < 50
1. 2.
0,43 0,505 0,39 0,46 0,365 0,43 0,35 0,41 0,32 0,375
9 10,5 8 9,5 7,5 9 7 8,5 7 8
20 a 21
2
Pinhão em aço de cementação. Roda em aço de liga tratada para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell) Precisão ISO 5 e 6. a) 1.
2. b) 1.
2. c) 1.
2. como para 1 d) 1.
2. e) 1.
2.
0,235 0,275 0,212 0,25 0,20 0,235 0,19 0,222 0,175 0,205
7 7,5 6 7 5,5 6,5 5 6 5 5,5
25 a 27
3
Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Brinell). Roda em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Precisão ISO 6 e 7. a) 1.
2. b) 1.
2. como para 1 c) 1.
2. d) 1.
2.
0,21 0,245 0,185 0,215 0,167 0,195 0,150 0,175
6,5 7 5,5 6,5 5 6 4,5 5,5
26 a 28
4
Pinhão em aço de liga tratada para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Roda em aço de liga tratada para 70-80 kgmm-2 (225 Brinell). Precisão ISO 6 e 7. a) 1.
2. b) 1.
2. c) 1.
2. d) 1.
2.
0,17 0,20 0,15 0,175 0,136 0,157 0,122 0,14
5,5 6 4,5 5 4 5 3,5 4,5
27 a 29
Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 6 draft 2013
Tabela 1, (continuação)
Características K .
t
o
F
b m
Z
V
1 Mecânica pesada 50000 horas no mínimo. 24 horas por dia. Choques bastante importantes 0,57AK
Grande segurança à rotura. - Pinhão em aço de liga tratado para 110-120 kgmm-2 (350 Bri.). - Roda em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). Qualidade ISO 7 e 8. a) Dente em espinha 1. v < 5 2. v < 10 b) Dente recto (v < 5)
0,20 0,175 0,15
3,5 a 4 3 a 3,5
17 23
2 Pinhão em aço de liga tratado para 85-95 kgmm-2 (270 Brinell). - Roda em aço de liga tratado para 70-80 kgmm-2 (270 Brinell). Qualidade ISO 7 e 8. a) Dente em espinha: v < 10
1. Qualidade ISO 7 e 8 2. Qualidade ISO 8 a 10
b) Dente recto: v < 5 1. Qualidade ISO 7 e 8 2. Qualidade ISO 8 a 10
0,14 0,115 0,122 0,10
3 a 3,5 2,5 a 3
22 25
1.2 Cálculo simplificado da engrenagem à rotura.
As dimensões globais da engrenagem foram determinadas em 1.1. Determina-se agora um módulo 0m que confira à engrenagem uma resistência à rotura suficiente.
O critério utilizado na determinação do módulo da engrenagem consiste em impor que a relação 0.tF b m esteja de acordo com a indicada na Tabela 1:
0 0. .
t t
adm
F F
b m b m
(4)
ou seja
0
0.
t
t
adm
Fm
Fb
b m
(5)
onde
1 1
60t
PF
n d
(6)
2 Cálculos de verificação. Terminado o primeiro passo deste estudo, o segundo passo vai fazer a verificação à rotura e à pressão superficial, de acordo com o procedimento da edição referida do tratado de Henriot.
Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 7 draft 2013
2.1 Capacidade de carga à rotura. Se designarmos por11:
tF - esforço tangencial, (kg)
b - tensão (hbarkgmm-2)
.limb - tensão limite de base (Figura 2)12
.b adm - tensão admissível
b - largura do dente (mm)
om - módulo real da ferramenta
1n ou 2n - velocidade de rotação do pinhão ou da roda (rpm)
1z ou 2z - número de dentes do pinhão ou da roda
1Y
factor de engrenamento13 (Figura 3)
- razão de condução
Y - factor de inclinação (Figura 4)
FY - factor de forma (Figura 5) 3cosvz z - número de dentes virtual
vK - factor de velocidade (Figura 6, e Tabela 2)
bLK - factor de duração (Figura 7)
MK - factor de montagem (Figura 8)
AK - factor de serviço (Tabela 3)
o esforço tangencial admissível é dado pela fórmula:
. .lim 0v bL M A
t adm bF
K K K KF b m
Y Y Y
(7)
ou seja, para o pinhão e para a roda duma engrenagem
1
1
1 1lim 0v bL M A
t adm bF
K K K KF b m
Y Y Y
(8)
2
2
2 2lim 0v bL M A
t adm bF
K K K KF b m
Y Y Y
(9)
A capacidade da engrenagem é determinada pelo menor dos valores 1t admF ou 2t admF . A
carga em serviço deverá sempre ser inferior ao menor destes valores. 11 a sequência da lista é a adoptada em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.348. 12 notar que em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968 o factor YS correspondente ao efeito de concentração de tensões é incluído aqui, já que b.lim é estimado como resistência para 107 ciclos, dividida por YS médio (ver p.336). 13 com dentado de qualidade grosseira, usar Y=1, Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, p.326.
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Fig
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angencial pocisão, obtid
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4 12
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-340.
Órgãos de Máquinas – Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto – 2013-4 13 draft 2013
Tabela 3 - Factor de serviço AK , (continuação).
Órgão motor
Grau de choque do órgão receptor
Até 12 horas por dia
24 horas por dia
Mot. eléctricos, Turbinas
I II III
1 0,80 0,67
0,95 0,70 0,57
Motores de combustão interna com pistões múltiplos
I II III
0,80 0,67 0,57
0,70 0,57 0,45
Motores de combustão interna com um só pistão
I II III
0,67 0,57 0,45
0,57 0,45 0,35
2.2 Capacidade de carga à pressão superficial.
Se designarmos por15:
tF - esforço tangencial no primitivo (kg)
H - pressão superficial de Hertz (kgmm-2)
limH - pressão superficial limite de base (Figura 10)
.admH - pressão superficial admissível
b - largura do dente (mm)
1d - diâmetro primitivo do pinhão (mm)
1n - velocidade de rotação do pinhão (rpm)
2 1i z z
rC - factor de relação (Figura 11)
1 2
1 2
20,35E
E EZ
E E
- factor de material. No caso dos aços é 87EZ .16
Z - factor de comprimento de contacto (Figura 12)
cZ - factor geométrico (Figura 13)
- razão de comando aparente (Figura 3)
vK - factor de velocidade (Figura 6)
HLK - factor de duração (Figura 7)
MK - factor de montagem (Figura 8)
AK - factor de serviço (Tabela 3)
O esforço tangencial admissível é dado pela fórmula: 15 a sequência da lista é a adoptada em Henriot, ‘Traité théorique et pratique des engrenages’, Tome 1: Théorie et Technologie; 4e. éd., Dunod, Paris, 1968, pp.375-376. 16 expresso em (kgmm-2)1/2.
Órgã
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Engenharia ddraft 2013
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Engenharia ddraft 2013
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rto – 2013-4
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Paris, 1968,
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4 15
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p.368.
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Dunod,
Engenharia ddraft 2013
de carga de; (3): pinhãenages’, ToParis, 1968
da Universi
do pinhão e ão menos rme 1: Théo
8, p.377.
dade do Por
roda aproxresistente; forie et Techn
rto – 2013-4
ximadamefonte: . Hennologie; 4e.
4 16
nte nriot, . éd.,