Cálculo - Séries e Equações Diferenciais

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 Faculdade UNINOVAF API Curso de Graduação em Engenharia Civil Cálculo Séries e Equações Diferenciais Prof. Mestre José Brito Neto

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  • Faculdade UNINOVAFAPICurso de Graduao em Engenharia Civil

    ClculoSries e Equaes Diferenciais

    Prof. Mestre Jos Brito Neto

  • SUMRIO1. Equaes Diferenciais

    1.1. Introduo1.2. Classificao1.3. Soluo

    2. Equaes Diferenciais Lineares3. Tipos de Solues

  • 1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo

    Definio so equaes que contmderivadas de funes. Exemplos: 2 1dy x= +

    2 1xdx

    = +

    3dz dz zdx dy

    + =

    2' 2 3y xy x+ =

    3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =

  • Qual a motivao de se estudar ED?Esto presentes na formulao diferencialdos modelos representativos dosfenmenos estudados nas cincias

    1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo

    fenmenos estudados nas cinciasfsicas, qumicas, biolgicas e sociais.

    Aplicaes das EDs clculo do nvel deuma gua em um reservatrio; velocidadede queda de um pra-quedista; clculo dacorrente em um circuito eltrico; fora doscabos de sustentao de uma ponte; entreoutras aplicaes.

  • Tipo ordinria e parcial; Ordem a derivada de maior ordem quenela aparece, podendo ser de 1, 2,..., n-sima ordem;

    1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao

    sima ordem; Grau a potncia da derivada de maiorordem que nela aparece, depois de serracionalizada.

  • Ordinria, ordem e grau 1

    Parcial, ordem e grau 1

    1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao

    2 1dy xdx

    = +

    3dz dz zdx dy

    + =

    Ordinria, ordem 2 e grau 1

    Ordinria, ordem 3 egrau 1

    Ordinria, ordem2 e grau 3

    3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =3 2

    3 24 5 0d y d y

    sen x xydx dx

    + + =

    3 7 223

    2 3 5d y dy dyy y xdx dx dx

    + + =

  • uma funo que no contm derivadas eque satisfaz a equao dada, ou seja, afuno que, substituda na equao dada, atransforma em uma identidade.

    1. Equaes Diferenciais1.3. Soluo

    transforma em uma identidade.Ex:

    ( )2

    2

    2

    3 2

    3 4 1

    3 4 1

    3 4

    2

    dyx x

    dxdy x x dx

    dy x dx x dx dx C

    y x x x C

    = +

    = +

    = + +

    = + +

    Soluo Geral

  • 2. Equaes Diferenciais Lineares Definio uma equao diferencial deordem n na funo incgnita y e na varivelindependente x linear, se tem a forma:

    2

    0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

    n n

    dy d y d yb x y b x b x b x g xdx dx dx

    + + + + =

    com bi(x) funo de uma varivel x. Exemplo:

    0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nb x y b x b x b x g xdx dx dx+ + + + =

    5 3dy xdx

    = +

  • 2. Equaes Diferenciais Lineares Exemplo:

    3 2

    3 2

    0

    4 5 0

    ( ) 5

    d y d ysen x xy

    dx dxb x x

    + + =

    =0

    1

    2

    3

    ( ) 5( ) 0( )( ) 4

    b x xb xb x sen xb x

    =

    =

    =

    =

  • 3. Tipos de Soluo Soluo Geral a primitiva de uma ED egeometricamente representam famlias decurvas.

    Soluo Particular uma soluo daequao deduzida da soluo geral,equao deduzida da soluo geral,impondo condies iniciais ou de contorno. Ex 01:

    Ex 02:

    2 2 4dy x xdx

    =

    22

    2 5 1d y

    xdx

    = +

  • 3. Tipos de Soluo Ex: Se C e F denotam leituras Celsius eFarenheit, respectivamente, e a taxa devariao de F em relao a C dada por

    95

    dFdC

    =

    Se F=32 quando C=0, obtenha uma frmulageral para F em funo de C.

    5dC=

    9 325

    F C= +