Faculdade UNINOVAFAPICurso de Graduao em Engenharia Civil

ClculoSries e Equaes Diferenciais

Prof. Mestre Jos Brito Neto

SUMRIO1. Equaes Diferenciais

1.1. Introduo1.2. Classificao1.3. Soluo

2. Equaes Diferenciais Lineares3. Tipos de Solues

1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo

Definio so equaes que contmderivadas de funes. Exemplos: 2 1dy x= +

2 1xdx

= +

3dz dz zdx dy

+ =

2' 2 3y xy x+ =

3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =

Qual a motivao de se estudar ED?Esto presentes na formulao diferencialdos modelos representativos dosfenmenos estudados nas cincias

1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo

fenmenos estudados nas cinciasfsicas, qumicas, biolgicas e sociais.

Aplicaes das EDs clculo do nvel deuma gua em um reservatrio; velocidadede queda de um pra-quedista; clculo dacorrente em um circuito eltrico; fora doscabos de sustentao de uma ponte; entreoutras aplicaes.

Tipo ordinria e parcial; Ordem a derivada de maior ordem quenela aparece, podendo ser de 1, 2,..., n-sima ordem;

1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao

sima ordem; Grau a potncia da derivada de maiorordem que nela aparece, depois de serracionalizada.

Ordinria, ordem e grau 1

Parcial, ordem e grau 1

1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao

2 1dy xdx

= +

3dz dz zdx dy

+ =

Ordinria, ordem 2 e grau 1

Ordinria, ordem 3 egrau 1

Ordinria, ordem2 e grau 3

3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =3 2

3 24 5 0d y d y

sen x xydx dx

+ + =

3 7 223

2 3 5d y dy dyy y xdx dx dx

+ + =

uma funo que no contm derivadas eque satisfaz a equao dada, ou seja, afuno que, substituda na equao dada, atransforma em uma identidade.

1. Equaes Diferenciais1.3. Soluo

transforma em uma identidade.Ex:

( )2

2

2

3 2

3 4 1

3 4 1

3 4

2

dyx x

dxdy x x dx

dy x dx x dx dx C

y x x x C

= +

= +

= + +

= + +

Soluo Geral

2. Equaes Diferenciais Lineares Definio uma equao diferencial deordem n na funo incgnita y e na varivelindependente x linear, se tem a forma:

2

0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

n n

dy d y d yb x y b x b x b x g xdx dx dx

+ + + + =

com bi(x) funo de uma varivel x. Exemplo:

0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nb x y b x b x b x g xdx dx dx+ + + + =

5 3dy xdx

= +

2. Equaes Diferenciais Lineares Exemplo:

3 2

3 2

0

4 5 0

( ) 5

d y d ysen x xy

dx dxb x x

+ + =

=0

1

2

3

( ) 5( ) 0( )( ) 4

b x xb xb x sen xb x

=

=

=

=

3. Tipos de Soluo Soluo Geral a primitiva de uma ED egeometricamente representam famlias decurvas.

Soluo Particular uma soluo daequao deduzida da soluo geral,equao deduzida da soluo geral,impondo condies iniciais ou de contorno. Ex 01:

Ex 02:

2 2 4dy x xdx

=

22

2 5 1d y

xdx

= +

3. Tipos de Soluo Ex: Se C e F denotam leituras Celsius eFarenheit, respectivamente, e a taxa devariao de F em relao a C dada por

95

dFdC

=

Se F=32 quando C=0, obtenha uma frmulageral para F em funo de C.

5dC=

9 325

F C= +