Cálculo - Séries e Equações Diferenciais
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Faculdade UNINOVAFAPICurso de Graduao em Engenharia Civil
ClculoSries e Equaes Diferenciais
Prof. Mestre Jos Brito Neto
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SUMRIO1. Equaes Diferenciais
1.1. Introduo1.2. Classificao1.3. Soluo
2. Equaes Diferenciais Lineares3. Tipos de Solues
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1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo
Definio so equaes que contmderivadas de funes. Exemplos: 2 1dy x= +
2 1xdx
= +
3dz dz zdx dy
+ =
2' 2 3y xy x+ =
3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =
-
Qual a motivao de se estudar ED?Esto presentes na formulao diferencialdos modelos representativos dosfenmenos estudados nas cincias
1. Equaes Diferenciais1.1. Introduo
fenmenos estudados nas cinciasfsicas, qumicas, biolgicas e sociais.
Aplicaes das EDs clculo do nvel deuma gua em um reservatrio; velocidadede queda de um pra-quedista; clculo dacorrente em um circuito eltrico; fora doscabos de sustentao de uma ponte; entreoutras aplicaes.
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Tipo ordinria e parcial; Ordem a derivada de maior ordem quenela aparece, podendo ser de 1, 2,..., n-sima ordem;
1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao
sima ordem; Grau a potncia da derivada de maiorordem que nela aparece, depois de serracionalizada.
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Ordinria, ordem e grau 1
Parcial, ordem e grau 1
1. Equaes Diferenciais1.2. Classificao
2 1dy xdx
= +
3dz dz zdx dy
+ =
Ordinria, ordem 2 e grau 1
Ordinria, ordem 3 egrau 1
Ordinria, ordem2 e grau 3
3 " 4 ' 5 cosy y y x+ + =3 2
3 24 5 0d y d y
sen x xydx dx
+ + =
3 7 223
2 3 5d y dy dyy y xdx dx dx
+ + =
-
uma funo que no contm derivadas eque satisfaz a equao dada, ou seja, afuno que, substituda na equao dada, atransforma em uma identidade.
1. Equaes Diferenciais1.3. Soluo
transforma em uma identidade.Ex:
( )2
2
2
3 2
3 4 1
3 4 1
3 4
2
dyx x
dxdy x x dx
dy x dx x dx dx C
y x x x C
= +
= +
= + +
= + +
Soluo Geral
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2. Equaes Diferenciais Lineares Definio uma equao diferencial deordem n na funo incgnita y e na varivelindependente x linear, se tem a forma:
2
0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n
n n
dy d y d yb x y b x b x b x g xdx dx dx
+ + + + =
com bi(x) funo de uma varivel x. Exemplo:
0 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nb x y b x b x b x g xdx dx dx+ + + + =
5 3dy xdx
= +
-
2. Equaes Diferenciais Lineares Exemplo:
3 2
3 2
0
4 5 0
( ) 5
d y d ysen x xy
dx dxb x x
+ + =
=0
1
2
3
( ) 5( ) 0( )( ) 4
b x xb xb x sen xb x
=
=
=
=
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3. Tipos de Soluo Soluo Geral a primitiva de uma ED egeometricamente representam famlias decurvas.
Soluo Particular uma soluo daequao deduzida da soluo geral,equao deduzida da soluo geral,impondo condies iniciais ou de contorno. Ex 01:
Ex 02:
2 2 4dy x xdx
=
22
2 5 1d y
xdx
= +
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3. Tipos de Soluo Ex: Se C e F denotam leituras Celsius eFarenheit, respectivamente, e a taxa devariao de F em relao a C dada por
95
dFdC
=
Se F=32 quando C=0, obtenha uma frmulageral para F em funo de C.
5dC=
9 325
F C= +