Cálculo Lâmbda ( l – Calculus)

Cálculo Lâmbda( – Calculus)

João Bosco da Mota AlvesProgramação Funcional

INE/CTC/UFSCJunho/2001

INE/CTC/UFSC João Bosco da Mota Alves 2

Notação Lâmbda Às vezes, precisa-se definir pequenas

funções, sem dar-lhes nomes Exemplo

Calcular x2+3x+1, para x [1..100] Claro, é possível usar-se

Ys = map f [1 .. 100]where f x = x*x + 3 * x + 1


Notação Lâmbda Há uma notação (-notation) que

cria função sem dar-lhe nome,\padrão -> expressão

Conhecida como Notação Lâmbda O símbolo \ é o mais parecido com Então

\x -> x*x + 3*x + 1


Notação Lâmbda Lê-se, \x -> x*x + 3*x + 1, como

“a função que, dado o argumento x, calcula o valor x*x + 3*x + 1”

Muito usada para a passagem de função como parâmetro; exemploys = map (\x -> x*x + 3*x + 1) [1 .. x]


Notação Lâmbda Em XLISPWIN> #' (lambda (x) (+ x 3))#<Closure: #484facad>> (funcall * 5)8 > (mapcar #' (lambda (x) (+ x 2)) '(1 2 3

4 5))(3 4 5 6 7)


– Calculus consiste de Uma linguagem, a notação –

Que nos dá expressões lâmbda E regras

Para simplificar e manipular essas expressões lâmbda

Precisamos, então, aprender tanto a linguagem quanto as regras


– Calculus Suponha que f : R -> R seja definida

por f(x) = (x + 1)2

Uma função de uma variável, f(x) f(a), para um a específico, é obtido

substituindo-se, por a, todas as ocorrências de x

Também, f(x) a, aplicação de f(x) a a


– Calculus Então

f(x) 3 = (3 + 1)2 = 16


– Calculus Suponha, agora, f : RR -> R, definida

por f(x,y) = x + y + (2*x*y) Aqui, f é um par de nos reais, (x,y) Dizemos que f é uma função de duas

variáveis, x e y f(a,b) pode ser obtido substituindo-se

por a e b as ocorrências de x e y, resp


– Calculus Então

f(x,y) 3 5 = 3 + 5 + (2*3*5) = 38


– Calculus Entretanto, há outra forma de se

pensar a aplicação de função Ao invés de aplicar-se às duas

variáveis simultaneamente, aplica-se à apenas uma de cada vez

Primeiro, f(x,y) 3 = 3 + y + (6*y) = g(y)

Depois g(y) 5 = 3 + 5 + (6*5) = 38


– Calculus É sempre possível transformar

uma função de n variáveis em uma função de (n – 1) variáveis, aplicando-a para um valor de um de seus argumentos

Esta importante técnica é conhecida como currying

E é usada na aplicação de função em cálculo lâmbda


– Calculus Seja, f : RR R -> R, definida por

f(x,y,z) = x + y + z Computando f(2,5,4)f(x,y,z) 2 5 4 2 + y + z f(2,y,z) 5 4 2 + 5 + z f(2,5,z) 4 2 + 5 + 4 11


– Calculus A notação lâmbda é uma linguagem

de primeira ordem, com Conjunto de nomes de variáveis, V Conjunto de constantes pré-definidas, C

Átomo Todo membro de V e de C é um átomo Ex.: 2, ana


– Calculus Expressão lâmbda, , é definida por Cláusula Básica

Todo átomo pertence a Cláusula Indutiva

Se E1, E2 , então (E1 E2) (Regra de aplicação: E1, operador; E2, operando)

Se E e v V, então (v.E) (Abstração lâmbda)


– Calculus Cláusula Extrema

Uma expressão não é uma expressão lâmbda a menos que possa ser mostrada pertencer a , pela aplicação das cláusulas básica e indutiva, em um número finito de vezes


– Calculus Na meta-linguagem BNF<exp> ::= <constante> | <variável> | (<exp> <exp>)

aplicação | ( <variável> <exp>)

abstração


– Calculus Ex.: x, z2, 2, 3 e +, são expressões

lâmbda que são átomos, pois

x, z2 V

2, 3, + C


– Calculus Como x e 2 são expressões

lâmbda, então também o são (pela regra da aplicação)

(x 2)((x 2) 2)(x (2 2))


– Calculus Para eliminar parênteses, pode-se

estabelecer convenções Associação à esquerda, por exemplo

E1 E2 E3 = (E1 E2 E3) = ((E1 E2) E3)

Note que (E1 (E2 E3)) E1 E2 E3


Simplificações ( – Calculus) ((+ x) y) + x y (((+ x) y) z) + x y z ((x (3 (z 5))) 4) x (3 (z 5)) 4 (x (((3 z) 5) 4)) ?


– Calculus O poder expressivo do cálculo

lâmbda, vem das expressões lâmbda geradas pelo uso da regra de aplicação

Exemplo de abstrações lâmbda ( x. 2) ( x. (+ x 3)) ( x. x) ( x. ( y. (+ x y)))


– Calculus A variável v de uma abstração lâmbda

v. E é chamada de parâmetro formal A expressão E é chamada de corpo da

expressão lâmbda Também podemos ter variáveis livres A variável y, abaixo, é livre; x, não

v. (+ x y)


– Calculus Informalmente, a proposta de uma

abstração lâmbda v. E é fazer uma função de um argumento, v, a partir de uma expressão lâmbda E

A função, propriamente dita é o corpo A expressão lâmbda x. (+ x 3) é lida

como a função de x que adiciona x a 3


– Calculus Abstração lâmbda tem associação à

esquerdax. y. E=x. (y. E)= (x. (y. E))x. y. (+ x y) 2=(x. (y. (+ x y) 2)) (x. y. (+ x y)) 2


– Calculus Já a -expressão x. y. (+ x y) é

lida como a função de x que é a função de y que adiciona x a y


– Calculus Seja x. (+ x 3) Trocando-se x por y, obtem-se a

mesma função y. (+ y 3) Se aplicada a 5, as duas avaliam 8 x. (+ x 3) 5 = y. (+ y 3) 5 = 8 Precisa-se de regras de conversão

que mostre a equivalência entre -exp


Regras de conversão em – Calculus -conversão Uma variável vinculada pode ser

consistentemente renomeada, em uma -expression, se não houver ocorrência livre da mesma

x. (+ x 3) renomeada para y. (+ y 3)x. (+ x y) renomeada para z. (+ z y)Mas não x. (+ x y) para y. (+ y y)


Regras de conversão em – Calculus -conversão

A -expression (x. E) E’, pode ser reduzida pela substituição, por E’, em todas as ocorrências de x no corpo E, desde que E’ não tenha ocorrência livre da mesma

x. (+ x 5) 3) reduzida para (+ 3 5) = 8

x. y. (+ x y)) 3 5 para (+ 3 5) = 8


Regras de conversão em – Calculus

x. y. (+ x y)) 3 5x. (y. (+ x y))) 3) 5y. (+ 3 y)) 5(+ 3 5)8 Viu como a expressão lâmbda tem

associação à esquerda?


Regras de conversão em – Calculus A expressão redex significa reducible

expression, ou expressão redutível Uma forma normal de redução surge

quando se usa a associação à esquerda Ex.: faça por associação à esquerda e à

direita, e veja que o resultado é 11x. y. (+ x y (y. (+ z 1)) 3)) 2 5


Redex Função identidade como -

expressãox. x) 2 = 2x. x) = Ou mesmo,

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