CÁLCULO III AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS.
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CÁLCULO III
AULA 1 – FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Conteúdo Programático1. Introdução
2. Aplicações
3. Definição
4. Operações com as funções vetoriais
5. Limite e Continuidade
6. Derivada
7. Curvas Parametrizadas
8. Reta Tangente
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
INTRODUÇÃO
Função vetorial → domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
funções vetoriais de uma variável
Função f(t), onde t é uma variável real
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃOMovimento de uma partícula no EspaçoPodemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço.Observe que o deslocamento deste ponto em cada instante de tempo t descreverá uma curva.
x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), definidos no intervalo I, I , com valores em 3, t I.Exemplo:(t) = (t2 , cos t, t3) então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
APLICAÇÃO
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
DEFINIÇÃO
Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t I associamos um vetor do espaço.
Notação:
f
)(tff
ktfjtfitftf 321)(
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial.
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, o vetor
kzjyixvÉ chamado vetor posição do ponto P.
x
y
z
P(x,y,z)
v
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1. Movimento de uma partícula sobre uma circunferênciaEXEMPLOS
jsentittf cos
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2. Função vetorial preço
Podemos considerar 3 produtos onde o primeiro tem preço t2 , o segundo tem preço t + 5 e o terceiro tem preço dado pela soma dos preços das duas primeiras.
EXEMPLOS
5,5, 22
tttttP
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CÁLCULO III
OPERAÇÕES COM FUNÇÕES VETORIAIS
Itktgjtgitg
ektfjtfitf
tg
tf
,321
321
) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )
a h t f t g t
b w t f t g t
c v t p t f t p t é uma função escalar
d ht f t g t função escalar
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LIMITE E CONTINUIDADE
Definição:
tztytxtf
tttttttt 1111
lim,lim,limlim
Ou seja, o limite de um vetor f(t) quando t se aproxima de t1 é definido por:
atf
tt 1
lim
Se os limites individuais existirem
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
1. Considere a função vetorial
EXEMPLOS
2 3( ,cos , )f t t t t
Veja que o limite da função será determinado do seguinte modo:
0,1,0lim,coslim,limlim 3
00
2
00
ttt
tttttf
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
2. Considere a função vetorial
3
28( ,cos , )4
tf t t tt
Vamos analisar o valor do limite da função quando t → 2.
2
3
2222 48lim,coslim,limlimtttt
tttttf
Podemos usar a regra de L’Hospital para resolver esse limite
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CÁLCULO III
Usando a regra de L’Hospital
3223
23
23
48lim
2
2
3
2
ttt
tt
t
Outro modo de resolver esse limite
34
1222
2224224
22222
22
48lim
22
22
22
33
2
3
2
ttt
ttttt
tt
tt
t
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CÁLCULO III
CONCLUSÃO
2
3
2222 48lim,coslim,limlimtttt
tttttf
3,2cos,2lim2
tf
t
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS – AULA 1
CÁLCULO III
EXEMPLOS
3. Vamos calcular o
kjtit
t2)1(lim 22
2
kji
kjtitkjtittttt
232
2lim1limlim2)1(lim2
2
2
2
2
22
2
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CONTINUIDADE
Definição:
A função vetorial é contínua em t I se, e somente se x(t), y(t) e z(t) são contínuas em t.
Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais, isto é,
11
lim tftftt
f t
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EXEMPLOS
1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.
cos , 0f t sent i t j k t
0lim cos 0, 1,1
0 cos 0, 1,1t
sent i t j k j k ou
f sent i t j k j k ou
Veja:
Portanto a função é contínua no ponto t = 0.
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EXEMPLOS
2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto t1 = 0.
, 0
2 , 0
sent i j ttg ti j t
Veja que o
0
limt
sent i j i jt e
0 2g i j
Portanto a função dada não é contínua no ponto indicado.
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CÁLCULO III
DERIVADADefinição:
A derivada da função vetorial , t I, é a função vetorial denotada por e definida por:
f t
`f t
` lim
t t
f t t f tf tt
Para todo t, tal que o limite existe. Se a derivada da função existe em todos os pontos do intervalo I, então podemos dizer que a função é derivável em I.
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CÁLCULO III
Considere a função vetorial
ktfjtfitftf 321)(
Ela é derivável em um ponto t se, e somente se, as três funções escalares tftftf 321 ,, São deriváveis em t.
Logo podemos escrever
1 2 3` ` ` `f t f t i f t j f t k
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CÁLCULO III
EXEMPLOS
Vamos determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
2) cos (5 1)
` 2 5
a f t t i t j k k
f t t i sent j k
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EXEMPLOS
3 5
2 5
2 5
) 2 3` 3 2 3 .2 .( 5)
6 2 3 5
t
t
t
b h t t i e j
h t t i e j
t i e j
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Observação: A interpretação geométrica de derivada continua valendo para função vetorial, portanto será o vetor tangente à curva no ponto P.
`f t
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CÁLCULO III
Determinar o vetor tangente da seguinte função, no ponto indicado.
EXEMPLO
)1,1,1(),,,()( 32
Pttttf
Inicialmente devemos identificar o valor do parâmetro t que satisfaz a curva.
11
1,11
1
33
2
ttz
tconsiderarvamostty
ttx
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Agora calculamos a derivada.
)3,2,1()1´(
1),3,2,1()´( 02
f
f tttt
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INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA DERIVADA
Considere uma partícula em movimento no espaço. Vamos supor que no tempo t, representa o vetor posição da partícula. A medida que t varia, a extremidade livre do vetor descreve a trajetória C da partícula.
s t
s t
Quando
's t v t
é derivável, a velocidade instantânea dapartícula é dada
por
s t
Quando v t é derivável, a aceleração da
partícula épartícula é dada por
'v t a t
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CÁLCULO III
CURVAS PARAMETRIZADAS
Foi visto anteriormente que um ponto P do vetor descreverá uma curva C em 3 quando for contínua para todo t no intervalo I.
Portanto definimos a equação = (x(t),y(t),z(t)) como a parametrização da curva C e as componentes
x = x(t)y = y(t)z = z(t)
são chamadas de equações paramétricas da curva C e t é chamado parâmetro.
f t
f t
f t
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CÁLCULO III
Observação:
Chamamos CURVA o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados por estas equações.
Exemplos
1. A equação vetorial
ktjtittfRepresenta uma reta, cujas equações paramétricas são
x(t) = ty(t) = tz(t) = t
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2. As equações paramétricas
x = 2costy = 2sentz = 3t
Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial é representada por
ktjsentittf 32cos2
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CÁLCULO III
Parametrização para a hélice circular - curva descrita por um ponto P = (x,y,z) que se move em torno do eixo z mantendo uma distância constante a > 0 desse eixo.
Simultaneamente o ponto P se move paralelamente ao eixo z de modo que sua terceira componente é proporcional ao ângulo de rotação com constante de proporcionalidade b≠ 0. Consideramos o início do movimento em P = (0,0,0).
f(t) = (r cos , r sen , b) , onde .
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REPRESENTAÇÃO PARAMÉTRICA DE ALGUMAS CURVAS
Parametrização Natural
Será a parametrização do tipo f(t) = (t , f( t)).
Exemplo
A equação da reta y = 6x + 9 pode ser parametrizada considerando a parametrização natural → f(t) = (t ,6t+9).
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Podemos também determinar a equação cartesiana correspondente a equação paramétrica de uma curva.
Exemplo
Seja x = 3t – 4 e y = 6 – 2t . Vamos determinar a equação da reta.
Procedimento → isolar em uma das equações o parâmetro t e depois substituir na outra, ou isolar o parâmetro t em ambas e igualar as equações.
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Veja:
13
443 xttx
Agora vamos substituir (1) em y = 6 – 2t
)(3
1023
4.2626 reduzidaequaçãoxyxyty
)(010233
102 retadageralequaçãoxyxy
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Parametrização de uma reta
Equação vetorial da reta → , onde v é o vetor direção, t o parâmetro real e P é um ponto que pertence a reta.
ptvtr
tr
= (vx, vy,vz)t + (x0, y0,z0), t
=(vxt + x0, vyt + y0, vzt + z0)
tr
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EXEMPLOS
1. Determinar uma representação paramétrica da reta
que passa pelo ponto A(2,1,-1) na direção do vetor
kjitr 32
Temos
ktjtittr )1()31()22(
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EXEMPLOS2. Determinar uma representação paramétrica da
reta que passa pelo ponto A(2,0,1) e B(-1, 3,0).
O vetor v será dado por: v = (-1, 3,0) - (2,0,1) = (-3, 3, -1)
Portanto, o vetor r(t) = (2,0,1) + t(-3, 3,-1)
ktjtittr )1(3)32(
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EXEMPLOS
3. Determinar o vetor direção da reta para a curva
3 2( , , )r t t t t
Nesse caso verificamos que o ponto P = (0,0,0) e a direção v = (1,1,1).
A reta r será representada por r(t) = (1,1,1) t + (0, 0,0)
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CÁLCULO III
Parametrização da circunferência
Seja C a circunferência no plano xy de centro (a, b) e raio r, definimos a parametrização de C como:
Circunferência com centro na origem (0,0):
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EXEMPLO
Vamos obter as equações paramétricas da circunferência x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0 no plano z = 3.
Completando os quadrados da equação
x2 + y2 – 6x + 9 – 4y + 4 = 9x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 9(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9
x(t) = 3 + 3costy(t) = 2 + 3sentz(t) = 3 0 ≤ t ≤ 2π
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Parametrização da ciclóide
curva plana descrita por um ponto P sobre uma circunferência quando esta gira ao longo de uma reta.
r (t) = (r ( – sen ), r (1 – cos )) ,
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CÁLCULO III
Reta Tangente a trajetória de f(t) no ponto f(t0 )
Exemplo
Calcular a reta tangente para a curva
Identificando o valor do parâmetro t que satisfaz a curva observamos que o único valor é t = 1.
Derivamos a função vetorial dada.
)1,1,1(),,,()( 23 Pttttf
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CÁLCULO III
1),1,2,3()´( 02
ttttfEsta função nos leva ao vetor diretor (vetor tangente a curva), ou seja, o vetor v = (3,2,1).
A reta tangente será:
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CÁLCULO III
RESUMINDO
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