Cálculo Diferencial em -...

Cálculo Diferencial em �

Definição de Derivada

Seja f uma função real de variável real definida num intervalo

aberto que contém c.

Chama-se derivada de f em c a

f ��c� �x�clim

f�x��f�c�x�c ,

caso este limite exista.

Esta definição é equivalente a

f ��c� �h�0

limf�c�h��f�c�

he a f ��c� �

�x�0

limf�c��x��f�c�

�x

�x � x � c � incremento de x

�y � �f � f�c � �x� � f�c� � incremento de y

�y

�x� f�c��x��f�c�

�x� razão incremental

Diz-se que:

� f é derivável em c, se f tem derivada (finita ou infinita) em c;

� f é diferenciável em c, se f tem derivada finita em c;

� f é diferenciável no intervalo aberto �a,b�, se f for

diferenciável em todos os pontos de �a,b�.

Notações:

f �;dy

dx; y �;

df

dx�x�; Dx�f�x�� com y � f�x�.

Cristina Almeida - Mat I (10/2015) Cálculo Diferencial 1

Interpretação Geométrica

Se f é diferenciável em c:

� a recta que passa por �c, f�c�� e tem declive m é a recta

tangente ao gráfico de f no ponto �c, f�c�� e é definida por:

y � f�c� � f ��c��x � c�;

� a recta normal ao gráfico de f no ponto �c, f�c�� é a recta

perpendicular à recta tangente nesse ponto e é definida por:

se f ��c� � 0, y � f�c� � � 1

f ��c��x � c�,

se f ��c� � 0 x � c.

Observações:

� Se f ��c� � 0, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é

horizontal e a recta normal é vertical.

� Se f ��c� � �� ou f ��c� � ��, a recta tangente ao gráfico de

f nesse ponto é vertical e a recta normal é horizontal.

� Se f ��c� é infinito sem sinal determinado, não existe recta

tangente nem recta normal ao gráfico de f nesse ponto.


� f�x� � x3

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

f ��0� �x�0

lim x3�0x�0

� 0

� g�x� � 3 x

10.50-0.5-1

1

0.5

0

-0.5

-1

x

y

x

y

g ��0� �x�0

lim3 x �0

x�0� ��

� h�x� � 3 x2

10.50-0.5-1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

x

y

x

y

h ��0� �x�0

lim3 x2 �0

x�0� �


Interpretação geométrica dos limites notáveis:

� f�x� � senx

f ��0� �x�0

lim sen xx � 1

� g�x� � ex

g ��0� �x�0

lim ex�1x � 1

� h�x� � ln�x � 1�

h ��0� �x�0

limln�x�1�

x � 1


Aplicações à Física

Considere-se um ponto móvel sobre um eixo e

s�t� � posição do ponto em cada instante t.

Sendo t0 e t dois instantes distintos (com t0 � t),

s�t� � s�t0�t � t0

�espaço percorrido

tempo gasto,

representa a velocidade média no intervalo de tempo �t0, t�.

v�t0� �t�t0

lims�t��s�t0�

t�t0� s ��t0� � derivada de s�t� em t0

representa a velocidade instantânea no instante t0.

Analogamente, sendo t0 � t,

v�t� � v�t0�t � t0

representa a aceleração média no intervalo de tempo �t0, t�.

a�t0� �t�t0

limv�t��v�t0�

t�t0� v ��t0� � derivada de v�t� em t0

representa a aceleração instantânea no instante t0.

Observação:

- A razão incremental,f�x��f�c�

x�c , representa a taxa de variaçãomédia da função f no intervalo de extremos x e c.

- A derivada de f em c, f ��c� �x�clim

f�x��f�c�x�c , representa a taxa de

variação instantânea da função f em c.


Derivadas Laterais

Derivadas laterais de f em c:

� Se D f contém um intervalo �c � �,c� , com � � 0, caso exista

fe��c� �

x�c�lim

f�x��f�c�x�c � derivada à esquerda de f em c.

� Se D f contém um intervalo �c,c � �� , com � � 0, caso exista

fd� �c� �

x�c�lim

f�x��f�c�x�c � derivada à direita de f em c.

Proposição

Uma função definida num intervalo aberto que contém c é

derivável em c sse existem, e são iguais, as derivadas laterais de

f em c.

Observação:

Se fe��c� � fd

� �c�, então f não é derivável em c e o gráfico de f

não tem recta tangente no ponto �c, f�c��.

� f diz-se derivável no intervalo �a,b� (subconjunto de D f) se

for derivável em todos os pontos do intervalo �a,b� e

existirem fd� �a� e fe

��b�;

� f diz-se diferenciável no intervalo �a,b� (contido em D f) se

for diferenciável em todos os pontos do intervalo �a,b� e

existirem e forem finitas fd� �a� e fe

� �b�.


Diferenciabilidade e continuidade

Proposição

Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c.

Observação:

� O contra-recíproco é verdadeiro, isto é

se f não é contínua em c, então f não é diferenciável em c.

� O recíproco não é verdadeiro, isto é

f contínua em c não implica f diferenciável em c.


Regras de derivação

Propriedades das operações

Se f e g são funções diferenciáveis em a e k � �, então f � g,

f � g, kf e f � g também são diferenciáveis em a e:

� �f � g� ��a� � f ��a� � g ��a�;

� �f � g� ��a� � f ��a� � g ��a�;

� �kf� ��a� � kf ��a�, com k � �;

� �f � g� ��a� � f ��a�g�a� � f�a�g ��a�;

Se g�a� � 0, entãofg é diferenciável em a e

� fg

��a� � f ��a�g�a��f�a�g��a�

g2�a�.

Teorema (Derivada da Função Composta)

Sejam g diferenciável em a e f diferenciável em g�a�. Então f � g

é diferenciável em a e

�fog� ��a� � f ��g�a��g ��a�.

Teorema (Derivação da função inversa)

Seja f : I � � � � uma função estritamente monótona e

contínua em I.

Se f é diferenciável em a � I e f ��a� � 0, então f�1 é

diferenciável em f�a� e

�f�1� ��f�a�� 1

f ��a�.


Tabela de Derivadas

Sendo u e v funções diferenciáveis, k e a constantes reais,

� k � � 0;

� �ku� � � ku �;

� �u�� u��1u �, � � �;

� � n u � � � u�

n n un�1, n � � resulta do anterior, � � 1

n ;

� �eu� � � u �eu;

� �au� � � auu � ln a, a � 0 resulta do anterior, au � eu lna ;

� �uv� � � uvv � ln u � vuv�1u �;

� �lnu� � � u�

u ;

� �logau� � � u�

u lna, a � 0 resulta do anterior, logau � lnu

lna

� �senu� � � u � cosu;

� �cosu� � � �u � senu;

� �tgu� � � u � sec2u recorde que sec u � 1cosu ;

� �cotgu� � � �u � cosec2 u recorde que cosec u � 1senu ;

� �sec u� � � u � sec u tg u resulta de sec u � 1cosu ;

� �cosec u� � � �u � cosec ucotgu resulta de cosec u � 1senu ;

� �arcsenu� � � u�

1�u2;

� �arccosu� � � � u�

1�u2;

� �arctg u� � � u�

1�u2;

� �arccotg u� � � � u�

1�u2.


Diferencial

Seja f : I � �a,b� � � � � uma função diferenciável em �a,b�e �x � � tal que x � �x ��a,b�. Chama-se

�x � acréscimo ou incremento da variável x

�f � f�x � �x� � f�x� � acréscimo ou incremento da função f,

correspondente ao acréscimo �x

Interpretação geométrica:

x x+∆x

y=f(x)

∆ ff’(x)∆x

0

∆x

f(x)

f(x+∆x) α∆x

x x+∆x

y=f(x)

∆ ff’(x)∆x

0

∆x

f(x)

f(x+∆x) α∆x

Seja f diferenciável em x. Para valores de �x pequenos, tem-se

�f � f ��x��x f�x � �x� � f�x� � f ��x��x.

A este processo chama-se linearização de f, em torno de x.

Consiste em aproximar o valor da função em x � �x, para �x

pequeno, pelo valor da ordenada do correspondente ponto da

recta tangente ao gráfico de f em �x, f�x��.


Definição

Chama-se diferencial de f em x relativamente ao acréscimo

�x, ao produto f ��x��x e escreve-se

dxf��x� � f ��x��x ou df � f ��x��x ou df � f ��x�dx.

Nota: Em resumo, para uma variação �x,

f�x � �x� � é o valor exacto de f

�f � f�x � �x� � f�x� � é o valor exacto da variação de f

f�x� � f ��x��x � é um valor aproximado de f

df � f ��x��x � é um valor aproximado da variação de f


Teoremas Fundamentais

Teorema

Sejam f : I � �a,b� � � � � uma função diferenciável em

�a, b� e c ��a,b�.

Se f�c� é extremo relativo de f , então

f ��c� � 0.

Observação 1: O teorema só se aplica a pontos interiores do

intervalo.

Observação 2: O recíproco não é verdadeiro - a derivada de

uma função pode ser nula num ponto sem que a função tenha um

extremo no ponto.

Teorema de Rolle

Seja f uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�.Se f�a� � f�b�, então existe c ��a,b� tal que f ��c� � 0.

Corolário 1

Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há

pelo menos um zero da sua derivada.

Corolário 2

Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função não

pode haver mais do que um zero da função.


Teorema de Lagrange

Se f é uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�,então existe pelo menos um c ��a,b� tal que

f ��c� �f�b� � f�a�

b � a.

Corolário 1

Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange:

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é constante no intervalo �a,b�;

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é estritamente crescente no intervalo �a,b�;

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é estritamente decrescente no intervalo �a,b�.

Corolário 2

Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange,

f é crescente em �a,b� sse f ��x� 0,x ��a,b�,

f é decrescente em �a,b� sse f ��x� � 0,x ��a,b�.


Teorema de Cauchy

Se f e g são funções contínuas em �a,b� e diferenciáveis em

�a, b�, com g ��x� � 0,x ��a,b�, então existe pelo menos um

c ��a, b� tal que

f�b� � f�a�g�b� � g�a�

�f ��c�g ��c�

.

Aplicação a indeterminações do tipo 00

ou ��

Corolário (Regra de Cauchy)

Sejam f e g duas funções diferenciáveis em �a,b� (com a e b

finitos ou infinitos) tais que:

� g ��x� � 0,x � �a,b�;

�x�alim f�x� �

x�alim g�x� � 0 ou

x�alim f�x� �

x�alim g�x� � �.

Então, se existirx�alim

f ��x�

g��x�, também existe

x�alim

f�x�g�x�

e estes dois

limites são iguais.

Observação: Os símbolos

� � � 0 � � 00

�� 00 1� �0

representam indeterminações.

Para aplicar a regra de Cauchy é necessário ter ou transformar a

indeterminação existente numa indeterminação do tipo 00

ou �� .


Derivadas de ordem superior à primeira

Seja f : D f � � � � uma função diferenciável em a.

Se a função derivada de f, f �, for diferenciável em a, diz-se que

f é duas vezes diferenciável em a e a derivada de f � designa-se

por segunda derivada de f no ponto a e representa-se por

f ��a�, f �2��a�,d2f

dx2�a� ou D2f�a�.

Tem-se

f ��a� � f � ��a� �

x�alim

f ��x� � f ��a�x � a

A derivada de ordem n da função f define-se, por recorrência,

do seguinte modo:

f�0��a� � f�a�,

f�n��a� � �f�n�1�� a�, com n � �.

Diz-se que f é n vezes diferenciável no ponto a se existir e for

finita a derivada f�n��a�

(o que obriga a que a função e todas as suas derivadas de ordem

menor que n sejam diferenciáveis em a�.

Tem-se assim

f�n��a� � �f�n�1�� a� �x�alim

f�n�1��x� � f�n�1��a�x � a


Observação: Para justificar, rigorosamente, a generalidade das

propriedades das derivadas de ordem n é necessário recorrer ao

seguinte resultado:

Princípio de Indução finita

Seja P�n� uma condição na variável natural n tal que:

� P�1� é verdadeira;

� para qualquer n � �, se P�n� é verdadeira, então P�n � 1� é

verdadeira.

Então P�n� é verdadeira para qualquer n � �.

Observação:

� Diz-se que uma função f é continuamente diferenciável ou

de classe C1 se f for diferenciável e, além disso, a sua

derivada for contínua.

� Se, para algum k � �, f for k vezes diferenciável e, além

disso, f�k� for uma função contínua, diz-se que f é de classe

Ck.

� Se uma função f tiver derivadas contínuas de todas as

ordens, diz-se que f de classe C�.


Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor

Objectivo: Aproximar uma função dada (perto dum ponto) por

funções polinomiais.

Suponhamos que as derivadas de f, até à ordem n, existem e são

finitas em a.

Chama-se polinómio de Taylor de ordem n de f , em a, (ou

polinómio de Taylor de ordem n em potências de �x � a�) a

Pn�x� � f�a� � f ��a��x � a� �f ��a�

2!�x � a�2 ��

f �n��a�n!

�x � a�n.

Chama-se polinómio de Mac-Laurin de ordem n de f (ou

polinómio de Mac-Lauirn de ordem n em potências de x) ao

polinómio de Taylor de ordem n de f, para a � 0, isto é, a

Pn�x� � f�0� � f ��0�x �f ��0�

2!x2 ��

f �n��0�n!

xn.


Teorema (Fórmula de Taylor de ordem n de f em a):

Seja f uma função definida num intervalo aberto I, contínua e n

vezes diferenciável no ponto a � I.

Então, para qualquer x � I,

f�x� � f�a� � f ��a��x � a� �f ��a�

2!�x � a�2 �

f ��a�3!

�x � a�3 �. . .�

�f �n��a�

n!�x � a�n � Rn�x�

onde Rn�x� verifica a condição

x�alim

Rn�x��x � a�n � 0.

(Se a � 0, chama-se fórmula de Mac-Laurin.)

Chama-se resto de ordem n da Fórmula de Taylor de f em a à

função Rn�x�.

Chama-se erro associado à aproximação de f�x� por Pn�x� a

� � |Rn�x�| � |f�x� � Pn�x�|.

Observação: Há várias expressões para Rn�x�, entre as quais a

do resto de Lagrange de ordem n:

Rn�x� �f�n�1��n � 1�!

�x � a��n�1�,

para algum � no intervalo aberto de extremos a e x.


Monotonia e extremos

Monotonia

Recorde-se o corolário do teorema de Lagrange

Corolário

Seja f é uma função contínua em �a,b� e diferenciável em �a,b�:

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é constante no intervalo �a,b�;

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é estritamente crescente no intervalo �a,b�;

� se f ��x� � 0,x ��a,b�,

então f é estritamente decrescente no intervalo �a,b�.

Extremos

Chamam-se pontos de estacionaridade de uma função f aos

pontos em que a sua derivada é nula.

Um ponto de estacionaridade pode não ser um extremo de f.

Recorde-se que, sendo f uma função diferenciável em a,

se f tem um extremo em a então f ��a� � 0.

Para esclarecer se um ponto de estacionaridade é ou não um

extremo da função podem-se analisar as derivadas da função:


Proposição

Sendo a um valor tal que f ��a� � 0, tem-se que:

� se f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��, para

algum � � a e algum � � a, então f�a� é um máximo

relativo;

� se f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��, para

algum � � a e algum � � a, então f�a� é um mínimo relativo.

Nota: As condições anteriores garantem a existência de extremo

de f mesmo que f não tenha derivada em a.

Proposição

Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 2,

tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f

em a, isto é:

f ��a� � f ��a� �. . .� f �n�1��a� � 0 e f �n��a� � 0.

Então:

� se n é ímpar, f�a� não é extremo de f.

� se n é par, f�a� é um

máximo relativo, se f �n��a� � 0;

mínimo relativo, se f �n��a� � 0.

Corolário

Seja f uma função que admite segunda derivada contínua numa

vizinhança de um ponto de estacionaridade a:

� se f ��a� � 0, então f�a� é um máximo;

� se f ��a� � 0, então f�a� é um mínimo.


Concavidades e Pontos de inflexão

Concavidades

Diz-se que f, diferenciável no intervalo �a,b�, tem a

concavidade voltada para cima em �a,b� se, para qualquer

x � �a, b�, o gráfico de f está acima da recta tangente ao gráfico

em �x, f�x��.

Diz-se que f, diferenciável no intervalo �a,b�, tem a

concavidade voltada para baixo em �a,b� se, para qualquer

x � �a, b�, o gráfico de f está abaixo da recta tangente ao gráfico

em �x, f�x��.

Corolário

Seja f com segunda derivada no intervalo aberto I:

� se f ��a� � 0,x � I, então f tem concavidade voltada para

cima;

� se f ��a� � 0,x � I, então f tem concavidade voltada para

baixo.


Pontos de inflexão

Um ponto onde ocorra uma mudança de concavidade do gráfico

de f diz-se um ponto de inflexão de f.

Proposição

Seja a um valor tal que f ��a� � 0. Se

f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��

ou

f ��x� � 0, x � ��,a� e f ��x� � 0, x � �a,��,

para algum � � a e algum � � a, então f�a� é um ponto de

inflexão.

Proposição

Seja f uma função n vezes diferenciável no ponto a, com n 3,

tal que a derivada de ordem n é a primeira derivada não nula de f

em a, isto é

f ��a� � f ��a� �. . .� f �n�1��a� � 0 e f �n��a� � 0.

Então:

� se n é ímpar, a é um ponto de inflexão de f.

� se n é par, f tem

a concavidade voltada para cima,

se f �n��a� � 0;

� a concavidade voltada para baixo,

se f �n��a� � 0.

.


Assímptotas

Seja f uma função real de variável real.

Assímptotas verticais

A recta x � a é uma assímptota vertical de f se

x�a�lim f�x� � � ou

x�a�lim f�x� � �.

Assímptotas não verticais

A recta y � b é uma assímptota horizontal de f se

x��lim f�x� � b ou

x��lim f�x� � b.

A recta de equação y � mx � b é uma assímptota nãovertical de f se

x��lim �f�x� � �mx � b�� 0 ou

x��lim �f�x� � �mx � b�� 0.

� Se m � 0, a assímptota é horizontal.

� Se m � 0, a recta é uma assímptota oblíqua de f.

Proposição: A recta de equação y � mx � b é uma assímptota

não vertical de f , sse

x��lim

f�x�x � m

x��lim �f�x� � mx� � b

oux��lim

f�x�x � m

x��lim �f�x� � mx� � b

.

Observação: Se f tem uma assímptota horizontal quando

x � �� (respectivamente x � ��), então f não tem assímptota

oblíqua quando x � �� (respectivamente x � ��).


Estudo de uma função e esboço do gráfico

Pontos fundamentais (em geral) para esboçar o gráfico de f :

� domínio;

� pontos de descontinuidade e assímptotas verticais;

� intersecção com os eixos / zeros de f;

� sinal de f;

� paridade de f (simetrias);

� intervalos de monotonia e extremos;

� concavidades e pontos de inflexão;

� assímptotas não verticais.


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