Cálculo de Raiz Quadrada

Método de Heron O método de Heron consiste no aproximar a raiz quadrada de um numero inteiro não-

quadrado perfeito . Tal método é hoje utilizado com frequência por computadores e

permite sucessivas aproximações.

Dada a raiz quadrada de um numero 𝑛, assumindo 𝑎0 como uma aproximação inicial,

temos:

𝑎1 =𝑎0 +

𝑛𝑎0

2

Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração.

𝑎2 =𝑎1 +

𝑛𝑎1

2

Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.

A saber: Se 𝑛 = 𝑎𝑏, então 𝑎+𝑏

2 é uma aproximação de 𝑛, que melhora com a

proximidade de 𝑎 e 𝑏.

Após escolha da aproximação inicial 𝑎0 podemos construir o algoritmo.

𝑎𝑘 =𝑎𝑘−1 +

𝑛𝑎𝑘−1

2

Onde para cada iteração 𝑘, para todo 𝑘 = 1; 2; 3;……… encontramos uma raiz

𝑎𝑘 mais aproximada de 𝑛.

Surge então a questão. Até quando continuar com iterações? Para evitar que o

programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites,

não para as iterações, mas para o erro de aproximação. Ou seja, se quisermos obter

uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais correctas, com o erro

𝐸 < 10−5 , por exemplo, devemos impor uma precisão 𝜀 = 1. 10−5 e devemos, a cada

iteração, fazer o teste da raiz aproximada para verificar se satisfaz a precisão 𝜀 imposta

inicialmente. O erro é dado por 𝐸 = 𝑎𝑘 2 −𝑛 . Se o valor absoluto do quadrado da

raiz aproximada 𝑎𝑘 subtraída de 𝑛 for menor que a precisão 𝜀, então tome 𝑎𝑘 como

raiz aproximada.

Exemplo: Aproximar 17 pelo método de Heron com precisão de 𝜀 = 1. 10−4

Como a raiz de 17 está entre 4 e 5, tomamos como aproximação inicial 𝑎0 = 4,5

Testamos o erro da aproximação inicial 𝑎0. Como 4,52 − 17 > 10−4, continuamos as

iterações. Fazemos 𝑘 = 1

𝑎1 =4,5+

17

4,5

2 𝑎1 =

149

36 𝑎1 = 4,1388888888889

Como 149

36

2

− 17 > 10−4 continuamos as iterações. Fazemos 𝑘 = 2

𝑎2 =

149

36+

1714936

2 𝑎2 =

44233

10728 𝑎2 = 4,1231357196122

Como 44233

10728

2

− 17 > 10−4 continuamos as iterações. Fazemos 𝑘 = 3

𝑎3 =

44233

10728+

174423310728

2 𝑎3 =

3913088017

949063248 𝑎3 = 4,1231056257275

Como 3913088017

949063248

2

− 17 < 10−4 tomamos 𝑎3 como raiz aproximada de 17 com

precisão até à 5ª casa decimal

Método Babilónico

Os babilónicos utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um

número qualquer da seguinte maneira.

Dado um número 𝑛, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma

aproximação inicial 𝑎0 e calculamos 𝑏0. Em seguida usamos o algoritmo:

𝑎𝑘 =𝑎𝑘−1 + 𝑏𝑘−1

2

𝑏𝑘 =𝑛

𝑎𝑘

Onde, para cada iteração 𝑎𝑘 ,𝑏𝑘 , para todo 𝑘 = 1; 2; 3……… encontramos uma raiz

𝑛 mais aproximada.

O erro de aproximação é dado por 𝐸 = | 𝑏𝑘) 2 − 𝑛 . Se o valor absoluto da diferença

entre 𝑏𝑘 2 e 𝑛 for menor que a precisão 𝜀, então tome como raiz quadrada.

Exemplo: Aproximar 28 pelo algoritmo babilónico com precisão de 𝜀 = 1.10−4.

Como a raiz quadrada de 28 está entre 5 e 6, vamos tomar como aproximação inicial

𝑎0 = 5,5. Calculamos 𝑏0

𝑏0 =𝑛

𝑎0 𝑏𝑜 =

28

5,5 𝑏0 =

56

11

Testamos o erro da aproximação inicial 𝑏0. Como 56

11

2

− 28 > 10−4 continuamos

com as iterações. Fazemos 𝑘 = 1

𝑎1 =𝑎0 +𝑏0

2 𝑎1 =

5,5+56

11

2 𝑎1 =

233

44 𝑎1 = 5,2954545454545

𝑏1 =𝑛

𝑎1 𝑏1 =

28233

44

𝑏1 =1232

233 𝑏1 = 5,2875536480687

Como 1232

233

2

− 28 > 10−4 continuamos com as iterações. Fazemos 𝑘 = 2

𝑎2 =𝑎1 +𝑏1

2 𝑎2 =

233

44+

1232

233

2 𝑎2 =

108497

20504 𝑎2 = 5,2915040967616

𝑏2 =𝑛

𝑎2 𝑏2 =

28108497

20504

𝑏2 =574112

108497 𝑏2 = 5,2915011474972

Como 574112

108497

2

− 28 < 10−4 paramos com as iterações e tomamos 𝑏2 como a raiz

aproximada de 28 com precisão até à 4ª casa decimal. Vale lembrar que se

continuássemos as iterações, teríamos uma aproximação cada vez melhor da raiz.

Outro Método

A fórmula apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas.

𝑛 ≅𝑛 + 𝑄

2 𝑄

Onde 𝑄 é o quadrado perfeito mais próximo de 𝑛.

Exemplo: Se quisermos encontrar uma aproximação para a raiz quadrada de 38,

procedemos da seguinte forma:

5 × 5 = 25 Baixo

6 × 6 = 36 Quadrado mais próximo

7 × 7 = 49 Alto

Como o quadrado 36 é o mais próximo do número que queremos encontrar a raiz,

aplicamos na fórmula:

𝑛 ≅𝑛+𝑄

2 𝑄 38 ≅

38 +36

2 36 38 ≅ 6,16667

Para cálculo da raiz aproximada de um número decimal. Tomemos como exemplo o

número 0,0345. Primeiro vamos deixar o número na sua forma fraccionária.

0,0345 = 345

10000=

345

10000= 345

100

O quadrado mais próximo de 345 é 361

345

100≅

𝑛+𝑄

2 𝑄

100

345

100≅

345+361

2 361

100

345

100≅ 0,1857894736842

Cálculo de Raiz Cubica

Método de Newton

Para calcular uma raiz cubica utilizamos o método de Newton. Por exemplo raiz cubica

de 11 113

.

Dada a expressão 𝑥3 −𝑛 = 0 é possível calcular a raiz aproximada de 𝑛 pela expressão

abaixo.

𝑥𝑖+1 =1

3 2𝑥𝑖 +

𝑛

𝑥𝑖2

A nossa expressão é : 𝑥3 = 11 e 𝑛 = 11

2 × 2 × 2 = 8 Próximo de 11

3 × 3 × 3 = 27 Longe de 11

Logo, começamos com iterações onde 𝑥0 = 2

O erro é dado por 𝐸 = 𝑥1 3 − 𝑛 e a precisão 𝜀 = 1. 10−4

𝑥1 =1

3 2𝑥0 +

𝑛

𝑥02 𝑥1 =

1

3 2(2) +

11

22 𝑥1 =

9

4 𝑥1 = 2,25

Como 2,25 3 − 11 > 10−4 continuamos com as iterações.

𝑥2 =1

3 2𝑥1 +

𝑛

𝑥12 𝑥2 =

1

3 2(2,25) +

11

2,25 2 𝑥2 =

1081

486

Como 1081

486

3

− 11 > 10−4 continuamos com as iterações.

𝑥3 =1

3 2𝑥2 +

𝑛

𝑥22 𝑥3 =

1

3 2

1081

486 +

11

1081

486

2 𝑥3 =1894566349

851880969

Como 1894566349

851880969

3

− 11 < 10−4 terminamos as iterações e 𝑥3 é o valor

aproximado de 11

𝑥3 =1894566349

851880969 11

3≅ 2,2239801309612