EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

1

Cálculo de integrais indefinidos. Integração por partes. Seja )(xu e )(xv funções diferenciáveis em I Se a função )()( xvxu ⋅′ tem primitiva em I então e a função )()( xvxu ′⋅ tem primitiva em I e tem-se

∫∫ ⋅′⋅−⋅=⋅′⋅ xdxuxvxvxuxdxvxu )()()()()()(

ou

∫∫ ⋅−⋅=⋅ )()()()()()( xudxvxvxuxvdxu ; ∫∫ ⋅−⋅=⋅ udvvuvdu .

►1) ∫ ⋅ xdxnl .

Consideramos xnlu = e xdvd = .

Então ( ) ( ) xdx

xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1

e xvxdvd =⇒= .

Portanto temos:

Cxxnlxxdxnlxxdx

xxnlxxdxnl +−⋅=−⋅=⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫1

. ■

►2) ∫ ⋅⋅ xdxnlx2 .

Consideramos xnlu = e xdxvd ⋅= 2 .

Então ( ) ( ) xdx

xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1

e

3

322 x

xdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

=⋅−⋅=⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdx

xnlx

xdx

xxnl

xxdxnlx

33

1

33

23332

Cx

xnlx

xdxxnlx +−⋅=⋅⋅−⋅= ∫ 933

1

3

332

3

. ■

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2

►3) ∫ ⋅⋅ xdxarctgx .

Consideramos xarctgu = e xdxvd ⋅= .

Então ( ) ( ) xdx

xdxarctgxarctgdudxarctgu ⋅+

=⋅′==⇒=21

1

e

2

2xxdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

=⋅+

⋅−⋅=⋅+

⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdx

xxarctg

xxd

x

xxarctg

xxdxarctgx

2

22

2

22

12

1

21

1

22

=⋅

+−

++⋅−⋅=⋅

+−+⋅−⋅= ∫∫ xd

xx

xxarctg

xxd

x

xxarctg

x22

22

2

22

1

1

1

1

2

1

21

11

2

1

2

=⋅+

⋅+⋅−⋅=⋅

+−⋅−⋅= ∫∫∫ xd

xxdxarctg

xxd

xxarctg

x2

2

2

2

1

1

2

1

2

1

21

11

2

1

2

Cxxarctgxarctgx

Cxarctgxxarctgx +⋅−⋅+⋅=+⋅+⋅−⋅=

2

1

2

1

22

1

2

1

2

22

. ■

►4) ∫ ⋅⋅ xdarcsenxx .

Consideramos xarcsenu = e xdxvd ⋅= .

Então ( ) ( ) xdx

xdxarcsenxarcsendudxarcsenu ⋅−

=⋅′==⇒=21

1

e

2

2xxdxvxdxvd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

=−

⋅⋅−⋅=⋅−

⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ 2

22

2

22

12

1

21

1

22 x

xdxarcsenx

xxd

x

xarcsenx

xxdarcsenxx

=⋅−

−−⋅+⋅=⋅−

−⋅+⋅= ∫∫ xdx

xarcsenx

xxd

x

xarcsenx

x2

22

2

22

1

11

2

1

212

1

2

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3

=+⋅−

⋅−⋅−

−⋅+⋅= ∫∫ Cxdx

xdx

xarcsenx

x22

22

1

1

2

1

1

1

2

1

2

)*(12

1

2

1

22

2

=+⋅−⋅+⋅−⋅= ∫ Cxdxarcsenxarcsenxx

No último integral fazemos

xddvxu =−= ,1 2 e então

( ) ( ) xdx

xxdxxdduxu ⋅

−−=⋅

′−=−=⇒−=

2

222

1111 ,

xvxddv =⇒= . Então

=⋅−

−−−⋅=⋅

−−⋅−−⋅=⋅− ∫∫∫ dx

x

xxxdx

x

xxxxxdx

2

22

2

22

11

111

=⋅

−−

−

−−−⋅=⋅−

−−−−⋅= ∫∫ dxxx

xxxdx

x

xxx

22

22

2

22

1

1

1

11

1

111

=⋅−

+⋅−−−⋅= ∫∫ dxx

dxxxx2

22

1

111

arcsenxdxxxx +⋅−−−⋅= ∫22 11 .

Temos

arcsenxdxxxxdxx +⋅−−−⋅=⋅− ∫∫222 111

e resolvendo em relação à ∫ ⋅− dxx21 obtemos

arcsenxxxdxx ⋅+−⋅⋅=⋅−∫ 2

11

2

11 22 .

Portanto

=+

⋅+−⋅⋅⋅+⋅−⋅= Carcsenxxxarcsenxarcsenxx

2

11

2

1

2

1

2

1

2)*( 2

2

Cxxarcsenxarcsenxx +−⋅⋅+⋅−⋅= 2

2

14

1

4

1

2)*( . ■

EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

4

►5) ∫ ⋅⋅ xdxsen

x2

1.

Consideramos xu = e xdxsen

vd ⋅=2

1.

Então xdudxu =⇒= e xctgxdxsen

vxdxsen

vd −=⋅=⇒⋅= ∫ 22

11.

Portanto temos:

( ) =⋅

−−⋅−=⋅−−⋅−=⋅⋅ ∫∫∫ xd

xsen

xoscxctgxxdctgxxctgxxd

xsenx

2

1

( )

Cxsennlxctgxxsen

xsendxctgx

xdxoscxctgx ++⋅−=+⋅−=⋅+⋅−= ∫∫ . ■

►6) ∫ ⋅ xdx

xnl3

.

Consideramos xnlu = e xdx

vd ⋅=3

1.

Então ( ) ( ) xdx

xdxnlxnldudxnlu ⋅=⋅′==⇒= 1

e 2

13

33 2

1

13

11

x

xxd

xvxd

xvd

⋅−=

+−=⋅=⇒⋅=

+−

∫ .

Portanto temos:

=⋅⋅+⋅

−=⋅⋅

⋅−−⋅

⋅−=⋅ ∫∫∫ xd

xx

xnlxd

xxxnl

xxd

x

xnl32223

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Cxx

xnlC

x

x

xnl +⋅

−⋅

−=++−

⋅+⋅

−=+−

22

13

2 4

1

2132

1

2. ■

►7) ∫ ⋅⋅⋅ xdxosce x2 .

Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxoscvd ⋅= .

Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2

e xsenxdxoscvxdxoscvd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

( )*22 22222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫⋅⋅⋅⋅⋅ xdsenxesenxexdsenxesenxexdxosce xxxxx

EXERCÍCIOS M1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

5

Integramos por partes no integral obtido. Consideramos xeu ⋅= 2 e xdxsenvd ⋅= .

Então ( ) ( ) xdexdeedudeu xxxx ⋅⋅=⋅′==⇒= ⋅⋅⋅⋅ 2222 2

e xoscxdxsenvxdxsenvd −=⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto na continuação temos:

( ) [ ]=⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅= ∫⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx )(22* 222

∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅= ⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxe xxx 222 42 .

Obtemos

∫∫ ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ xdxoscexoscesenxexdxosce xxxx 2222 42

e resolvendo em relação ao integral ∫ ⋅⋅⋅ xdxosce x2 vem

Cxoscesenxexdxosce xxx +⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅ ⋅⋅⋅∫

222

5

2

5

1. ■

►8) ( )∫ ⋅ xdxnlsen .

Consideramos ( )xnlsenu = e xdvd = .

Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xdx

xnloscxdxnlsenxnlsendudxnlsenu ⋅⋅=⋅′==⇒= 1

e xvxdvd =⇒= . Portanto temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )*1 =⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅ ∫∫∫ xdxnloscxnlsenxxdx

xnloscxxnlsenxxdxnlsen

Integramos por partes no integral obtido. Consideramos ( )xnloscu = e xdvd = .

Então ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) xdx

xnlsenxdxnloscxnloscdudxnloscu ⋅⋅−=⋅′==⇒= 1

e xvxdvd =⇒= . Portanto na continuação temos:

( ) ( ) ( ) ( ) =

⋅⋅−⋅−⋅−⋅= ∫ xdx

xnlsenxxnloscxxnlsenx1

*

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6

( ) ( ) ( )∫ ⋅−⋅−⋅= xdxnlsenxnloscxxnlsenx .

Obtemos

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−⋅−⋅=⋅ xdxnlsenxnloscxxnlsenxxdxnlsen .

e resolvendo em relação ao integral ( )∫ ⋅ xdxnlsen vem

( ) ( ) ( ) Cxnloscx

xnlsenx

xdxnlsen +⋅−⋅=⋅∫ 22. ■

►9) ∫ ⋅⋅+ xdex x)1( .

Consideramos 1+= xu e xdevd x ⋅= .

Então xdudxu =⇒+= 1 e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

CexCeexxdeexxdex xxxxxx +⋅=+−⋅+=⋅−⋅+=⋅⋅+ ∫∫ )1()1()1( . ■

►10) ∫ ⋅⋅ xdex x2 .

Consideramos 2xu = e xdevd x ⋅= .

Então ( ) ( ) xdxxdxxdudxu ⋅⋅=⋅′==⇒= 2222

e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto temos:

( )*22 222 =⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−⋅=⋅⋅ ∫∫∫ xdexexxdexexxdex xxxxx

Integramos por partes no integral obtido. Consideramos xu = e xdevd x ⋅= .

Então xdudxu =⇒= e xxx exdevxdevd =⋅=⇒⋅= ∫ .

Portanto na continuação temos:

( ) [ ] =+⋅−⋅⋅−⋅=⋅−⋅⋅−⋅= ∫ Ceexexxdeexex xxxxxx 222* 22

( ) Cxxex +−⋅−⋅= 222 . ■