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brio no mercado de capital17 brio no mercado de bem final27 brio no

mercado de trabalho37

EAE5701 - Macroeconomia I

Professor: Mauro Rodrigues

Primeiro Semestre de 2014

Este caderno e resultado da colaboracao dos alunos do IPE-USP em um

esforco conjunto para edicao e formatacao do curso de Macroeconomia I mi-

nistrado no primeiro semestre da pos-graduacao.

Participaram da edicao deste caderno os seguintes alunos:

Bruno Toni Palialol

Luza Cardoso de Andrade

Deborah Seabra

capa.jpg

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1 Crescimento endogeno - modelo de Romer

Editores desta aula: Luza Andrade e Bruno Palialol

Data: 02/04/2014

Referencia: Romer, Paul. Endogenous Technological Change, Jornal of

Political Economy, 1990.

O modelo neoclassico nao gera crescimento sustentado a menos que haja

progresso tecnico exogeno.

O modelo de Romer endogeniza a tecnologia atraves de P&D. Trata-se

de um modelo de concorrencia imperfeita, em que patentes garantem lucro

extraordinario para as firmas que criarem novos produtos, o que gera incenti-

vos para o investimento na producao de novas ideias e produtos. Uma outra

linha de modelos que nao sera coberta por este curso modela o crecimento

endogeno atraves do spill-over de empresas que pesquisam e criam ideias

novas.

Dentro do modelo de Romer, portanto, o progresso tecnico e a producao

de novas ideias/novo conhecimento.Ha um monopolista neste modelo, cujo

monopolio e criado atraves de patentes, o que permite que ele extraia parte

da renda. Pelo Teorema de Euler, dada uma funcao de producao F(A, X)

com retornos constantes de escala,

F(A,X) =F(A, X),

em que X sao os fatores de producao, e A, a tecnologia.

O produto, sob concorrencia perfeita, faz com que toda a renda remunere

os fatores de producaoKe Lnao restando renda para remunerar a tecnologia.Portanto, para queA possa crescer endogenamente, deve haver concorrencia

imperfeita, de forma que os teoremas do bem-estar nao sao validos dentro

da estrutura deste modelo.

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1.1 Descricao do modelo

Fatores de producao: capital (K), trabalho (L) e teconologia (A)

Setores produtivos: setor de pesquisa, setor de bens intermediarios,

setor de bens finais1

Estrutura de mercado: os mercados de bem final e de bens inter-

mediarios sao perfeitamente competitivos, porem o mercado de pes-

quisa funciona sob concorrencia monopolstica

Uso de fatores: os setores de pesquisa e de bem final usam apenas o

fator trabalho, enquanto o setor intermediario usa capital

O bem final pode ser consumido ou investido

1.2 Resolucao do modelo

O modelo de Romer deve ser resolvido em tres etapas:

1. Resolve-se o problema do setor de bens finais e encontra-se a demandapor bens intermediarios;

2. Resolve-se o problema do setor intermediario, tomando a demanda en-

contrada em (1) como dada, e encontra-se o preco das patentes;

3. Usa-se o preco das patentes para resolver o problemas do setor de pes-

quisa.

1.2.1 Setor de bem final

Funcao de producao: Yt = LY,t

Ato

xt(i)(1 ) di,

em que {x(i)}i [0, A] sao os bens intermediarios e LY e o trabalho.

1O bem intermediario e produzido no setor de pesquisa, e o bem final, no setor inter-

mediario, porem os b ens intermediarios tambem podem ajudar na pesquisa.

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5/25

O bem final e o numerario, i.e., pY=1. Logo, o problema da firma do

setor final e

maxLY,t ,{xt(i)}

LY,t

Ato

xt(i)(1 ) di wtLY,t

Ato

pt(i)xt(i) di,

em quept(i) e o preco do i-esimo bem intermediario, ext(i), sua quantidade.

Condicoes de primeira ordem:

LY,t : L1Y,t At

o

xt(i)1 di= wt

xt(i) : (1 )LY,txt(i)

=pt(i)

Essa ultima condicao e a demanda pelo bemi, que sera usada no problema

do monopolista.

1.2.2 Setor de bens intermediarios

O problema da firma de bens intermediarios tem dois estagios:

1o) Adquire patente perpetua para produzir o bem

2o) Produz novo bem usando capital

O problema deve ser resolvido de tras para frente:

2o estagio:

Dado que a firma ja adquiriu a patente, ela se torna a unica produtora

do bem i e estabelece o preco e a quantidade produzida desse bem, dada a

demanda obttida no problema da firma produtora de bem final.

Funcao de producao: xt(i) = 1

kt(i),

em que e um fator de produtividade igual a 1 por hipotese. Tambem por

hipotese, nao ha crescimento populacional. O problema da firma e

maxpt(i),xt(i)

pt(i).xt(i) rt.kt(i)

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1.2.3 Setor de pesquisa

O conhecimento novo e produzido atraves da pesquisa corrente e de todo o

estoque de conhecimento ja produzido (externalidade da pesquisa).

Funcao de producao: At = At.LA,t

Logo,AtAt

= LA,t. Alem disso, como o mercado de trabalho e perfeita-

mente competitivo, wt=pA,t.At.

1.2.4 Consumidores

Por hipotese, os consumidores sao homogeneos e vivem para sempre. As

famlias tem medida 1 (ou seja, cada famlia tem tamaho L). O problema da

famlia em t= 0 e:

Maxct

u0=

0

etc1t 1

1 dt

s.a. Kt = rt.Kt+wt.L+ t ct2

ctct

=rt

1.2.5 Equilbrio

Kt=

At0

Kt(i) di=

At0

xt(i) di= Atxt(1)eqn:Equilbrio no mercado de capital

Yt = Ct+dotKt (2)

eqn:Equilbrio no mercado de bem final

LY,t +LA,t = L (3)

2Observe que nao ha crescimento populacional nem depreciacao do capital nessa versao

do modelo.

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lt = 1 nt, nt = horas de trabalho

uc > 0; ul >0; ucc


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L =t=0 tu(ct, 1 nt) +t[F(kt, nt) ct kt+1+ (1 )kt]

Reescrevendo o lagrangeano para facilitar a derivada em relacao a kt+1:

L = ...+t

u(ct, 1 nt) + t[F(kt, nt) ct kt+1 + (1 )kt]

+

t+1

u(ct+1, 1 nt+1) + t+1[F(kt+1, nt+1) ct+1 kt+2+ (1 )kt+1]

+ ...

Resolvendo para ct, nt e kt+1:

ct: t{uc,t t} = 0 uc,t = t

nt: t{ul,t+tFn,t} = 0 ul,t = tFn,t

kt+1: tt+

t+1t+1[Fk,t+1+ 1 ] = 0 t = t+1[Fk,t+1+ 1 ]

Lembre que:

uc,t= u(ct,1nt)

cte ul,t =

u(ct,1nt)nt

Das duas primeiras equacoes tiramos que ul,t = uc,tFn,t. Alem disso, a

terceira equacao e a Equacao de Euler.Substituindo uc,t=t na Equacao de Euler, tiramos que:

uc,t = uc,t+1[Fk,t+1+ 1 ]

Sendo assim, temos as seguintes condicoes de otimo:

ul,t = uc,tFn,t

uc,t = uc,t+1[Fk,t+1+ 1 ]

ct+kt+1 (1 )kt=F(kt, nt)

limt

tuc,tkt+1= 0

(8)

2.2 Programacao Dinamica (escrevendo o problema na

forma recursiva)

maxxs+1,us

s=t

str(xs, us) s.a. xs+1=g(us), xt dado

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{us}s=t: controles ; {xs}

s=t+1: estado

2.2.1 Funcao Valor

V(xt) = max{xs+1,us}s=t

s=t

str(xs, us)

s.a. xs+1 = g(us), s t

Queremos achar as regras de decisaout =h(xt) ext+1 = (xt) pois assim

podemos encontrar toda a sequencia de ut e xt+1 no tempo. Rearranjando,

temos:

V(xt) = max{xs+1,us}s=t

r(xt, ut) +

s=t+1

s(t+1)r(xs, us)

s.a. xs+1=g(us), s t

2.2.2 Equacao de Bellman

V(xt) = maxut,xt+1

r(xt, ut) +V(xt+1)

s.a. xt+1 = g(ut)

Ou, escrevendo de outra forma, podemos substituir o subscrito t+1porlinha:

V(x) =maxu,x

r(x, u) +V(x

)

s.a. x

=g(u)

Fazendo a CPO com relacao a u:

r(x, u)

u +V

(x

)g

(u) = 0

Sabemos que V

(x) = r(x,u)x

, entao, pelo Teorema do Envelope:

V

(x

) =r(x

, u

)

x

2.2.3 Aplicando Bellman no Modelo Neoclassico

max{cs,ns,ks+1}s=t

s=t

stu(cs, 1 ns) s.a. cs+ks+1 (1 )ks F(ks, ns)

kt > 0 dado

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Substituindo as restricoes na equacao, obtemos:

V(kt) = max{ns,ks+1}s=t

s=t

stu[F(ks, ns) ks+1+ (1 )ks; 1 ns]

Rearranjando a equacao, temos:

V(kt) = maxnt,kt+1

u[F(kt, nt)kt+1+(1)kt; 1nt]+

s=t+1

s(t+1)u[F(ks, ns)

ks+1+ (1 )ks; 1 ns]

Substituindo o somatorio por V(kt+1):

V(kt) = maxnt,kt+1

u[F(kt, nt) kt+1+ (1 )kt; 1 nt] +V(kt+1)

Trocando t+1por linha:

V(k) =maxn,k

u[F(k, n) k

+ (1 )k; 1 n] +V(k

)

Fazendo a CPO:

n: ucFn ul = 0 ul =ucFn

k

: uc+V

(k

) = 0 uc=V

(k

)

Sabemos que V

(k) =uc[Fk+ 1 ]. Aplicando o Teorema do Envelope,

temos que:

V

(k

) =uc [Fk + 1 ]

Logo, substituindo V

(k

) na CPO, obtemos as seguintes condicoes de

otimo:

ul =ucFn

uc=uc [Fk + 1 ](9)

2.2.4 Resolucao da equacao de Bellman

A solucao do problema do planejador central sob a forma sequencial e a

trajetoria das variaveis x e u entre desde o instante inicial ate o infinito. A

equacao de Bellman permite que se reduza o objeto a ser escolhido, porem

requer que se resolva o problema para V, ou seja, que se encontre um ponto

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fixo. Isso implica em uma resolucao recursiva:

1. Chutar uma funcao V0 e resolver o problema

maxu,x

r(u, x) +V0(x) :x =g(u)

e encontrar as regras de decisao para x e u,

u= h0(x)

x =0(x)(10)

2. Atualizar o chute: V1 =r(x, h0(x)) +V0(0(x)). Resolver o problema

maxu,x

r(u, x) +V1(x) :x =g(u)

encontrando as regras de decisao

u= h1(x)

x =1(x)(11)

3. Repetir continuamente o processo de atualizacao e resolucao: dado Vj(j),

resolver

maxu,x

r(u, x) +Vj(x) :x =g(u)

e encontrar

u= hj(x)

x =j(x)(12)

Para em seguida determinar Vj+1

=r(x, hj

(x)) +Vj+1

(j+1

(x)) e resolvernovamente o problema. Como veremos a seguir, as sequencias assim

geradas tem os seguintes limites:

{Vj (x)} V(x)

{hj (x)} h(x)

{j (x)} (x)

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Teorema do ponto fixo de Banach: sejam X um espaco metrico completo,

f uma contracao,xe um ponto qualquer e {xn} e uma sequencia definida por

x1 = f(x), x2 = f(x1),...,xn = f(xn1). Entao existe um unico ponto fixo

x =f(x) e {xn} tende a x.

Demonstracao:

Sejam o espaco de funcoesx: D Red(x, y) dada pela metrica do sup:

d(x, y) =sup

tD

|x(t) y(t)|.

Def: seja X um espaco metrico e f : X X uma funcao. f e uma

contracao se existir k R, 0 0< 1 tal que d(f(x), f(y))(x, y), x, y X.

xn = f(xn1) =f(f(xn2)) =f2(xn2) =f

3(xn3) =... = fn(x)

xm = fm(x)

Paran > m:

d(xn, xm) =d(fn(x), fm(x)) =d(fm(xnm), f

m(x)) =d(f(fm1(xnm)), f(fm1(x)))

Pela definicao de contracao,d(Xn, xm) = d(f(f

m 1(xn m), f(fm 1(x))) k.d(fm1, fm1(x)) =

d(f(fm2(xnm)), f(fm2(x))) k.d(fm2, fm2(x))

Dando continuidade ao argumento,

d(xn, xm) kmd(xnm, x)

Pela desigualdade triangular,

kmd(xnm, x) km[d(xnm, xnm1) +d(xnm1, x)] k

m[d(xnm, xnm1) +

d(xnm1, xnm2) +d(xnm2,x)]

Dando continuidade ao argumento,

d(xn, xm) kmd(xnm, x) k

m[d(xnm, xnm1) +d(xnm1 , xnm2) + ... +

d(x1, x)]

Note que

d(xi, xj) kj .d(xij, x)

Para i= n mej=n m 1,

d(xnm, xnm1) knm1.d(x1, x)

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Logo,

d(xn, xm) km[d(xnm, xnm1)+d(xnm1 , xnm2)+...+d(x1, x)] k

m[knm1d(x1, x)+

knm2d(x1, x) + ...+d(x, x)] = km(1 + k +k2 + ...+ k nm1d(x1, x)

km(1 +k+k2 +...)d(x1, x)

Ou seja,

d(xn, xm) km

1kd(x1, x)

E

limm

km

1kd(xn, xm) = lim

nd(x1, x)

Portanto, {xn} e uma sequencia de Cauchy. Como o espaco metrico e

completo, essa sequencia converge. Mais especificamente, {xn} x . Logo,

f(x) =x.

No entanto, se ha varios pontos fixos, x muda de acordo com o chute

inicial. Vejamos que isso nao ocorre: suponha, por contradicao, que ha dois

pontos fixos, xey. Entao 0 < d(x, y) = d(f(x), f(y)) k.d(x, y) 0, x X, T(x + c) T(x) + kc,

para algum [0, 1).

Entao T e uma contracao.

Obs.1: a propriedade (i) pode ser escrita, ponto a ponto, como x y

x(t) y(t), t D.

Obs.2: a propriedade (ii) pode ser colocada da seguinte forma: T nao

incorpora totalmente shifts em x.

Obs.3: as propriedades (i) e (ii) acima sao chamadas de condicoes sufici-

entes de Blackwell.

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Demonstracao:

d(x, y) =suptD

|x(t) y(t)| |x(t) y(t)|, t Dx(t) y(t)

Logo,

x(t) x(t) +d(x, y) i.e., x y+d(x, y)

(i) x y T(x) T(y)

(ii) T(x+c) T(x) +c

de (i), T(x) T(y+d(x, y))

de(ii), T(y+d(x, y))(y) +d(x, y)

Portanto,

T(x) T(y) +d(x, y) i.e., T(x) T(y) d(x, y). (1)

Analogamente,

d(x, y) =d(x, y) =suptD

|y(t) x(t)| |y(t) x(t)| y(t) x(t)

Logo,

y x+d(x, y) eT(y) T(x) d(x, y) (2)

De (1) e (2),

T(x(t)) T(y(t)) d(x, y) e T(y(t)) T(x(t)) d(x, y)

Logo,

|T(x(t)) T(y(t))| d(x, y), t D

E

suptD

|T(x(t)) T(y(t))| d(x, y)

Ou seja,

d(T(x), T(y)) d(x, y) e T e uma contracao.

3 Forma sequencial

V(xt) = maxut,xt+1

r(xt, ut) +V(xt+1)

s.a. xt+1 = g(ut)

= max{xs+1,us}s=t

s=t

str(xs, us)

s.a. xs+1 = g(us), s t

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4 Forma recursiva

V(x) = maxut,xt+1

r(xt, ut) +V(xt+1)

s.a. xt+1 = g(ut)

= maxu,x

r(x, u) +V(x

} x

=g(u)

Equacao de Bellman

4.1 Algortmo para resolver

10

Chute: V0

(x)

20 maxu,x

r(x, u) +V0(x

s.a.

u= h0(x)

x

=0(x)

30 Atualizar chute: V1(x) =r(x, h0(x)) +V0(0(x))

40 maxu,x

r(x, u) +V1(x

s.a.

u= h1(x)

x

=1(x)

5

0

Atualizar chute: V

2

(x) =r(x, h

1

(x)) +V

1

(

1

(x))

...

p/ dado Vj:

maxx

,u

r(x, u) +Vj(x

s.a.

u= hj(x)

x

=j(x)

Vj+1(x) =r(x, hj(x)) +Vj(j(x))

Sob determinadas hipoteses:

Vj(x)

V(x)

hj(x)

h(x)j(x)

(x)

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Def: Contracao Sendo X:espaco metrico e f :X-X

d[f(x), f(y)] kd(x, y)

p/ algum k [0, 1)

p/ todo x, y X

Teorema: Seja X um espaco metrico completo, f:X X uma con-

tracao. x e ponto fixo unico( f(x) =x) p/ qualquer x X se;

x1=f(x0), x2 = f(x1),...,xn+1=f(xn), entao {xn} x

Condicoes suficientes de Blackwell: Seja X um espaco de

funcoes, d(x, y) = suptD

x(t) y(t) e T: X X. Se T satisfizer as

seguintes propriedades:

(a) monotonicidade: p/ todo x, y X, x y T(x) T(y)(b) discounting: p/ todo c e todox X, T(x + c) T(x) +

C p/ algum [0, 1)

Entao T e uma contracao.

Seja:

V(x) = maxu,x

r(x, u) +V(x

) : x

=g(u)

Vj+1(x) =T[Vj(x)] = maxu,x

{r(x, u) +Vj (x

) : x

=g(u)

queremos mostrar que T e uma contracao:

Prova:

Monotonicidade: Suponha V, W, sendo que V(X) W(X) entao

r(x, u) +V(x r(x, u) +W(x

)

T(V(x)) T(W(x))

18


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Discounting:

T(V(x) +c) = maxu,x

r(x, u) +[V(x

) +c]

= maxu,x

r(x, u) +V(x

)

+c

=T(V(x)) +C

:. T(.) satisfaz (a) e (b) portanto e uma contracao.

Espaco de Funcoes X:

x X limitada, contnua e x: D R

d(x, y) = suptD

x(t) y(t) espaco metrico completo

(Stokey & Lucas p. 47)

Se r e g sao diferenciaveis ex0 e ponto interior do domnio D, entao

V e diferenciavel eV

(x0) = rx

(x0, h(x0))[condicao de Benveniste

Scheinkman]

Intuicao:

V(x) = maxu,x r(x, u) +V(x

) : x

=g(u)u= h(x)

x

=(x)

=r(x, h(x)) +V((x)) em um ponto qualquer

V(x0) =r(x0), h(x0)) +V((x0))

W(x0) =r(x, h(x0)) +V((x0))

W(x) V(x)

19


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Se r e diferenciavel, entao w e diferenciavel

Grafico - Depois Coloco

entao V

(x0)W

(x0) = rx

(x0, h(x0))

4.2 Exemplo: Modelo neoclassico de crescimento com

utilidade log, sem utilidade do lazer n= 1

u(c, 1 n) =lnc

Funcao de producao Cobb DouglasF(K, N) =KN1 =k

Depreciacao completra (= 1) kt+ 1 = (1 )kt+it = it

Planejador central: maxu,k

t=0

tlnct s.a. c+k

=ka

V(k) = maxu,k

lnc+V(k) s.a. c+k =ka= max

k

ln(ka k

+V(k

)

Chute Inicial: V0(k) = 0

V(k) = maxk

ln(ka k

+V0

k

= 0 =0(k)

Atualizar chute: V1

(k) =ln(ka

) =alnk

2a iteracao: maxk

ln(ka k

) +lnk

CPO: 1

kk+

k = 0 k

=(k k

) k

=

1 +k =1(k)

20


21/25

Atualiza:

V2(k) =ln(k

1 +k) +ln(

1 +k)

=ln( 1

1 +k) +ln(

1 +k)

=(1 +) A2

ln(k) +ln( 1

1 +)ln(

1 +k)

B2

V2(k) =A2lnk+B2

3a iteracao: maxk

ln(ka k

) +[A2lnk

+B2]

CPO: 1

k k+

A2k

= 0 k

=A2(k k

)

k

= A21 +A2

k =2(k)

Atualiza:

V3(k) =ln(k A21 +A2

k

) +[A2ln( A2

1 +A2k

+B2]

=[lnk](1 +A2) +ln( 1

1 +A2+A2ln(

A21 +A2

+B2 =A3ln(k) +b3

=(1 +A2)

...

Vj(k) =Ajlnk+Bj

Vj+1(k) =Aj+1lnk+Bj+1, sendoAj+1=(1 +Aj )

k

=1(k) =1 +Aj

Ajk

21


22/25

A= (1 +A) A= 1

, quandoj,

{Aj } A{Aj } A

Aj+1 = Aj =A

k

= 1+AA

k

=1

1+ 1

k

Programacao Dinamica

Editora desta aula: Deborah Seabra

Data: 30/04/2014

5 Modelo Neoclassico de Crescimento: Planejador Cen-

tral

V(k) =maxc,k

u(c) +V(k

)

s.a. c+k

(1 )k F(k, 1) =f(k)

No otimo, a desigualdade torna-se uma igualdade.

Devemos levar em conta que o capital amanha afeta o payoff amanha.

Como nao ha utilidade do lazer, as pessoas trabalham o 100% do

tempo.

Sao necessarias duas condicoes para chegar na Equacao de Euler: CPO e

Teorema do Envelope

V(k) =maxk

u(f(k) k

+ (1 )k) +V(k

)

(13)

CPO: u

(c) +V

(k

) = 0 (14)

Envelope: V

(k) =u

(c)[f

(k) + (1 )] adianta 1 perodo (15)

V

(k

) =u

(c

)[f

(k

) + (1 )] (16)

22


23/25

Substituindo (4) em (2):

u

(c) =u

(c

)[f

(k) + (1 )]

Geralmente substitumos a restricao no problema, mas nem sempre esse

procedimento da certo. Dessa forma, podemos escrever o problema na forma

de Lagrange:

V(k) =maxc,k

u(c) +[f(k) c k

+ (1 )k] +V(k

) (17)CPO: c: u

(c) = (18)

k

:V

(k

) = (19)

Envelope: V

(k) =[f

(k) + (1 )] adianta 1 perodo (20)

V

(k

) =

[f

(k

) + (1 )] (21)

Substituindo (9) em (7):

=

[f

(k

) + (1 )]

e ira achar a mesma Equacao de Euler.

No estado estacionario:

c= c

=c

k = k

=k

e entao 1 =[f

(k) + (1 )]

Supondo Cobb-Douglas:

F(K, n) =Kn1

f(k) =k f(k) =k1

Entao,

23


24/25

1 =[f

(k) k1

+(1 )] k = 1

(1 )

1

11

Onde k e a referencia para limitar o domnio da funcao.

Supondo CRRA:

u(c) = c1 1

1

Reescrevendo o problema de programacao dinamica:

V(k) =maxc,k

u(c) +V(k

)

s.a. c+k

(1 )k f(k)

No Matlab: Quanto mais fino for o grid, isto e,

quanto mais proximos estiverem os pontos um dos ou-

tros, mais vai demorar para convergir. Ex: um grid

de 800 pontos requer 800x800 combinacoes de c e k.

6 Passos para solucao no Matlab - Value Function Ite-

ration

1) Grid discreto: k {k0, k1, . . . , k}. Quanto maior k, melhor a apro-

ximacao.

2) Construir funcao: U(k, k

) =

u(c), se c >0

, se c 0

onde c= k k

+ (1 )k

24


25/25

Obs: U nao depende da iteracao da funcao valor

3) Chute para a funcao valor: V0(k), que e um vetor contendo um valor

para cada ponto no grid.

Deve-se construir a funcao W(k, k

) = U(k, k

) +V0(k

), maximizar

em relacao ak

e atualizar a funcao valor. Ate aqui s o estamos mapeando os

payoffs, nao estamos maximizando a funcao objetivo!

4) Checar a distancia entre as duas ultimas iteracoes (ponto a ponto)

d= maxk

V1(k)V0(k)

se d < , parar

se d , repetir 3 e 4 usando V1 como novo chute

Repetir ate d < e entao encontrar V(k), k

=(k).

Programacao Dinamica

Editora desta aula: Thiago Cardoso

Data: 15/05/2014

Preferencia: U= E0

t=0 tu(ct, 1 nt)

Restricao de Recursos:ct+Kt+ 1 (1 )kt ztF(kt, nt)

ztsegueprocessodeMarkovc/matrizdetransicaoP

Formulacao do Problema

V(k,z)= maxu(c,1-n) + E[V(k,z)z]textbfs.t c+k-(1-)k zF(k, n)

V(k,z) = maxu(c,1-n) +

z[Z] V(k,z)P(z|z)

textbfs.t c+k-(1-)k zF(k, n)

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