Caderno de Atividades: GEOMETRIA ANALTICA

E LGEBRA LINEAR

Prof. Carlos Vidigal

Prof. rika Vidigal

GEOMETRIA ANALTICA E LGEBRA LINEAR FINALIDADE: Aplicar e desenvolver o raciocnio analtico na resoluo de problemas da Geometria Analtica; Conhecer a Geometria Analtica no espao atravs dos vetores no R2 e R3 e estabelecer as relaes com a Geometria Analtica no plano; Fortalecer o relacionamento da Geometria Analtica com as outras disciplinas afins; e adquirir uma nova viso da matemtica atravs do estudo dos vetores e resoluo de exerccios. EMENTA: Coordenadas no plano e no espao: vetores; produto interno e ngulos; distncia; desigualdade triangular; produto vetorial; produto misto. Clculo de rea e volume atravs de produto vetorial e misto. Retas e planos: equaes cartesianas e paramtricas; posies relativas; distncia e ngulos. Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares.

Bibliografia Bsica

[1] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. lgebra linear. 2. ed. So Paulo: Pearson Makron Books, 2008. [2] STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria analtica. 2. ed. So Paulo: Pearson Makron Books, 2006. [3] WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analtica. So Paulo: Pearson Makron Books, 2008.

Bibliografia Complementar

- BOULOS, P.; CAMARGO, I. Introduo geometria analtica no espao. So Paulo: Makron Books do Brasil, 1997. - CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria analtica: um tratamento vetorial. 3. ed. So Paulo: Prentice Hall, 2008 - CAROLI, Alsio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel O. Matrizes vetores geometria analtica: teoria e exerccios. So Paulo: Nobel, 1984. - NICHOLSON, W. K. lgebra linear. 2. ed. So Paulo: McGraw-Hill, 2006. - POOLE, David. lgebra linear. So Paulo: Thomson, 2004.

Este smbolo sugere uma

Leitura Obrigatria do livro texto.

Este smbolo indica uma srie de Exerccios Sugeridos do livro

texto.

MATRIZES

Considere uma tabela de nmeros dispostos em linhas e colunas mas colocados entre parnteses ou

colchetes:

Em tabelas assim dispostas, os nmeros so os elementos. As linhas so numeradas de cima para baixo e as

colunas, da esquerda para direita:

Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n nmeros naturais diferentes de 0) so denominadas matrizes m x n.

Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

Veja mais alguns exemplos:

8

1

6

3

7

2: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

314 : matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

5

3

4,0

: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

As matrizes so nomeadas por letras maisculas e seus elementos por letras minsculas, acompanhadas

por dois ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

Assim, uma matriz A do tipo m x n representada por:

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

...

...

...

...

n

n

n

m m m mn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

ou, abreviadamente, A = [aij]m x n, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento

ocupa. Por exemplo, a23 o elemento da 2 linha e da 3 coluna.

[1] pg 369 a 392

Na matriz

1 6

2 5

3 4

B

temos, por exemplo, b12 = 6 e b32 = 4.

Algumas matrizes so constitudas por elementos cujos valores dependem da sua posio na matriz, isto

, da linha e da coluna em que se encontra. Por exemplo, a matriz A=v(aij)2x3, em que aij = 2i 3j a matriz

1 4 7

1 2 5A

Tipos de Matrizes

Algumas matrizes, por suas caractersticas, recebem denominaes especiais.

Matriz linha:

Matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma nica linha. Por exemplo, a matriz 1 2 3 4A do tipo 1 x

4.

Matriz coluna:

Matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma nica coluna. Por exemplo, a matriz

1

2

3

B

do tipo 3 x 1.

Matriz quadrada:

Matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo nmero de linhas e colunas. Neste caso, dizemos que a matriz

de ordem n. Por exemplo, a matriz 1 2

3 4C

de ordem 2.

OBSERVAO MUITO IMPORTANTE!!!!

Uma matriz A representada colocando-se seus elementos entre parnteses ou entre

colchetes. NUNCA utilize barras no lugar dos parnteses ou dos colchetes .

1 4 7

1 2 5A

ou

1 4 7

1 2 5A

Matriz nula:

Matriz em que todos os elementos so nulos; representada por 0m x n. Por exemplo, 3 2

0 0

0 0 0

0 0

x

. Matriz triangular:

Matriz quadrada que possui todos os elementos nulos, acima ou abaixo da diagonal principal.

382

015

001

A

000

710

361

B

(Triangular Inferior) (Triangular Superior)

Matriz diagonal:

Matriz quadrada em que todos os elementos que NO esto na diagonal principal so nulos. Por

exemplo:

Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundria:

A principal formada pelos elementos aij tais que i = j.

Na secundria, temos i + j = n + 1.

Exemplo:

OBSERVAO: AS DIAGONAIS SO CARACTERSTICAS PRPRIAS DE MATRIZES QUADRADAS!

Matriz identidade:

Matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1 e os demais so

nulos.

Representamos as matrizes identidades por In, onde n a ordem da matriz. Por exemplo:

4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

Matriz transposta

A matriz transposta de A, denotada por At, a matriz obtida a partir da matriz A trocando-se

ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

Note que, se a matriz A do tipo m x n, At do tipo n x m. Alm disso, a 1 linha de A corresponde 1

coluna de At , a 2 linha de A corresponde 2 coluna de At, e assim sucessivamente.

Igualdade de matrizes

Duas matrizes, A e B, so iguais se, e somente se,

I. Possurem a mesma ordem m x n e II. Todos os elementos que ocuparem a mesma posio forem iguais.

Adio e Subtrao de matrizes

A soma (subtrao) da matriz A com a matriz B de mesma ordem uma outra matriz C de mesma ordem cujos elementos igual soma (subtrao) dos elementos correspondentes das matrizes A e B.

1 4 2 3 3 7

2 3 1 5 1 2

1 4 5 1 1 0 0 3 5

2 3 6 2 5 1 4 2 7

Note que para que seja possvel a soma (subtrao) de duas ou mais matrizes, necessariamente, as

matrizes devem possuir a mesma ordem.

Propriedades:

Sejam A, B, C e O (nula) do mesmo tipo. So vlidas as propriedades:

a) comutativa: A+B=B+A;

b) associativa: (A+B)+C=A+(B+C);

c) elemento neutro: A+O=A;

d) elemento oposto: A+ ( A)=O;

e) transposta da soma: (A+B)T=AT+BT.

Multiplicao de um nmero (escalar) por uma Matriz

Dados um nmero real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicao de cada elemento de A por k.

1 0 6 3 0 183

2 1 3 6 3 9

Propriedades:

Sejam A, B, C, O (matriz nula) matrizes de mesmo tipo e k e m nmeros reais no nulo, valem as

propriedades a) 1.A = A b) (-1).A = -A c) k.O = O d) 0.A = O e) k.(A + B) = k.A + k.B f) (k + m).B = k.B + m.B g) k.(m.A) = (k.m).A

Multiplicao de Matrizes

O produto das matrizes A = (aij)m x p e B = (bij)p x n a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A pelos elementos da coluna j de B.

Note que:

1) o produto existir se o nmero de colunas de uma matriz for igual ao nmero de linhas da outra matriz.

Alm disso, a matriz resultado ter a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da

segunda.

2) se existe o produto A.B, no implica, necessariamente, na existncia de B.A.

3) a propriedade comutativa no vlida.

4) se A e B so matrizes tais que AB = 0 (matriz nula), no podemos garantir que uma delas (A ou B) seja

nula. Verifique isso com as matrizes

11

11A e

11

11B .

5) Diferentemente da lgebra dos nmeros reais em que a.b = a.c b = c, para as matrizes a lei do

cancelamento no vlida. Verifique com as matrizes

041

011

021

A ,

222

111

321

B e

111

111

321

C que A.B = AC apesar de B C.

Propriedades

Verificadas as condies de existncia para a multiplicao de matrizes, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: (A.B).C = A.(B.C)

b) distributiva em relao adio: A.(B + C ) = A.B + A.C ou (A + B).C = A.C + B.C

c) elemento neutro: A.In = In.A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n

Matriz Inversa - Parte I

Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se inversvel, ou no singular, se e somente se, existir uma matriz que indicamos por A-1, tal que

A.A-1=A-1.A=In.

EXERCCIOS

1. Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por

jiseji

jisejiaij

,

, .

2. Construa a matriz quadrada A de ordem 3, definida por:

jij

jiaij

se 1i

se 2

2

ji

.

3. Sendo A = (aij)1x3 tal que jiaij 2 e B = (bij)1x3 tal que 1 jibij , calcule A+B .

4. Sabendo que

11

02

10

21NeM , calcule MN - NM .

5. Dada a matriz

100

001

012

A , calcule A2.

6. Sendo A =

43

21e B =

21

02, mostre que TTT ABBA .. .

7. Sendo

534

201

321

M ,

100

010

001

N e

023

102

110

P , calcule:

a) N P + M b) 2M 3N P c) N 2(M P)

8. Dadas as matrizes

a

aA

0

0 e

1

1

b

bB , determine a e b, de modo que AB = I, em que I a matriz

identidade.

9. Considere as seguintes matrizes:

45

100

734 xx

A ,

22

05

43

B ,

11

1

x

xxC e

41

510

100

D .

Determine o valor de x para que se tenha: A + BC = D .

10. Sabendo que as matrizes abaixo comutam,

2a

aa e

33

30, determine o valor de a.

11. Se A e B so matrizes tais que:

x

A 1

2

e

1

2

1

B , ento para qual valor de x a matriz B.AY t ser

nula?

12. O produto M.N da matriz

1

1

1

M pela matriz 111N ;

a) no se define. b) a matriz identidade de ordem 3 c) uma matriz de uma linha e uma coluna. d) uma matriz quadrada de ordem 3. e) No uma matriz quadrada.

13. Considere as matrizes:

ijaA , 4 x 7 onde jiaij ijbB , 7 x 9 onde ibij ijcC , tal que C = AB.

O elemento 63C :

a) -112. b) -18. c) -9. d) 112. e) no existe.

14. Dadas as matrizes

31

02A e

132

12B , ento a matriz -2AB igual a:

714

28 b)

714

28 c)

714

28 d)

714

28 e)

714

28

15. A uma matriz m x n e B uma matriz m x p. A afirmao falsa :

a) A + B existe se, e somente se, n = p.

b) tAA implica m = n c) A.B existe se, e somente se, n = p

d) tB.A existe se, e somente se, n = p.

e) B.At sempre existe. 16. Efetue:

a)

2

3

41

35 b)

3

0

2

531 c)

30

12

41

25

17. Dada a matriz

210

432

011

A , obtenha a matriz X tal que tAAX .

18. Numa fbrica de manipulao, para fazer dois tipos de medicamentos (I e II), o farmacutico precisa das substncias A, B e C, expressa na tabela abaixo, em gramas:

As substncias podem ser compradas em dois fornecedores: F1 e F2. O custo por grama das substncias em cada fornecedor, est expresso em reais na tabela seguinte:

Aps construir a matriz cujos elementos indicam o preo de custo dos medicamentos por fornecedor, calcule os valores das despesas se a compra for toda feita no mesmo fornecedor.

19. Um proprietrio de dois restaurantes deseja contabilizar o consumo dos seguintes produtos: arroz, carne, cerveja e feijo. No 1 restaurante so consumidos, por semana, 25 kg de arroz, 50 kg de carne, 200 garrafas de cerveja e 20 kg de feijo. No 2 restaurante so consumidos, semanalmente, 28 kg de arroz, 60 kg de carne, 150 garrafas de cerveja e 22 kg de feijo. Existem dois fornecedores, cujos preos, em reais, destes itens so:

A partir destas informaes: a) Construa uma matriz 2x4 que descreva o consumo desses produtos pelo proprietrio no 1 e no 2 restaurantes, e uma matriz 4x2 que descreva os preos dos produtos nos dois fornecedores; b) Calcule o produto das duas matrizes anteriores, de modo que este represente o gasto semanal de cada restaurante com cada fornecedor e determine o lucro semanal que o proprietrio ter comprando sempre no fornecedor mais barato, para os dois restaurantes. RESPOSTAS:

1)

2

1

4

3

3

2

1

2

2)

789

3234

1681

3) 222 4)

20

22

5)

100

012

023

7) a)

65-7

3-11

232

b)

78-11

5-3-0

551-

c)

9-10-14-

612-

4-6-1-

8) a = 1 e b = 0 9) x = 2 10) a = 1 11) x = - 4

12) D 13) E 14) E 15) C

16) a)

11

21 b) [17] c)

132

110 17)

450

561

012

X

18) F1: R$ 790; F2: R$ 830 19) R$ 164

DETERMINANTES

1) Calcule: 22

13

42

x

10:. R

2) Resolva a equao: 3 2

01 5

x

x

R.: 17

3S

3) Resolva a equao: 011

53

x

x

R.: 4, 2S

[1] pg 423 a 461

4) Sendo

12

31

20

31BeA , calcule:

a) det(A+B).

R.: -6

b) det(A.B).

R.: -10

5) Calcule o determinante da matriz

341

025

132

A

R.: det A = 15

6) Resolva a equao 0

423

121

53

x

x

R.: 4

23x

7) Dada as matrizes

121

32

011

93

2xBe

xA , determine x para que det A = det B

R.: 2

13x

8) Resolva a equao 0

44

4

x

xx

xxx

R.: 40,S

9) Seja M = (mij) a matriz quadrada de ordem 3, em que:

jise,ji

jise,ji

jise,

mij

0

. Ache o valor do

determinante de M.

R.: 48

10)Calcule o determinante da matriz P2 , em que P a matriz

220

112

112

P

R.: 64

11)Calcule o determinante da matriz A utilizando a definio de Laplace:

a)

301

430

112

A

R.: det A = 11

b)

126

540

312

A

R.: det A = -74

Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1 linha.

1231

1251

4134

1312

R.: -180

Calcule o determinante a seguir, desenvolvendo-o segundo os elementos da 1 linha.

6230

1251

3124

0132

R.: 13

Calcule os determinantes usando triangulao:

R.: 15

341

025

132

A

R.:11

R.: -36

301

430

112

B

114

321

121

C

R.: -180

Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A =

32

85.

A-1 =

52

83

1231

1251

4134

1312

D

Determine a inversa das matrizes:

a)

01

43A

R.:

4

3

4

110

b)

121

131

231

B

R.:

011

110

311

121

432

211

C

137

012

25111C

110

211

321

D

R.: No existe1D

Aplicao

Uma maneira de codificar uma mensagem atravs da multiplicao matricial.

Vamos associar as letras do alfabeto aos nmeros, segundo a correspondncia abaixo:

A B C D E F G H I J K L M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

N O P Q R S T U V W X Y Z

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Suponhamos que a nossa mensagem seja PUXA VIDA. Podemos formar uma matriz 33

assim:

ADI

VA

XUP

, que usando a correspondncia numrica fica: M =

149

2201

242116

Agora seja C uma matriz qualquer 33 inversvel, por exemplo: C =

102

212

011

Multiplicando nossa matriz da mensagem M por C, obtemos

7133

22145

183722

CM

Transmitimos esta nova matriz CM . Quem recebe a mensagem, decodifica-a atravs da

multiplicao pela inversa de C, isto , fazendo 1 CCM e posterior transcrio dos nmeros para letras. C chamada de matriz chave para o cdigo.

Com base nessas informaes, supondo que voc tenha recebido a matriz

17172

303510

333411

CM , traduza a mensagem.

Exerccios Complementares

1) Dadas as matrizes

12

01A e

31

20B , calcule:

a) det (A)

b) det (B)

c) det (A + B)

R.: a) 1 b) 4 c) 18

2) Determine a soluo da equao 02

83

x

x R.: {-2,2}

3) Sendo

31

21A e

12

10B , d o valor de:

a) det (A). det(B)

b) det (A.B)

R.: a) -10 b) -10

4) Seja a matriz A = (aij) de ordem 3, tal que:

ji se 1

e ji se ,

ji se 1,

ij Rkka . Calcule k, de modo que o

determinante da matriz A seja nulo. R.: k = 0

5) (UFPR) Considere as matrizes

xzy

xyz

zyx

A e

xzyz

zxyxB e

42

64C . Sabendo que

a matriz B igual matriz C. Calcule o determinante da matriz A.

R.: 72

6) Calcule o determinante da matriz M = (AB). C, sendo

3

2

1

A , 532B e

413

012

201

C .

R.: zero

7) Calcule o determinante da matriz A =

6230

1251

3124

0132

, utilizando o mtodo da triangulao.

R.: 13

8) Calcule o determinante da matriz

0412

5632

3221

1111

, utilizando o Teorema de Laplace.:

R.: -3

9) (UEL PR) A soma dos determinantes ab

ba

ab

ba igual a zero

a) quaisquer que sejam os valores reais de a e de b.

b) se e somente se a = b.

c) se e somente se a = - b. R.: a)

d) se e somente se a = 0.

e) se e somente se a = b = 1.

10) (Mack SP) A soluo da equao 0

02/13/2

51

321

x

a) 1 b) 58 c) -58 d) 9

67 e) 2

R.: d)

11) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j i, o determinante da matriz A :

a) 0 b) 11 c) 2 d) 3 e) 4

R.: d)

12) A matriz

1

1

x

x, na qual x um nmero real, inversvel se, e somente se:

a) 0x b) 1x c)2

1x d)

2

1 e

2

1 xx e) 1 e 1 xx

R.: e)

[1] pg.: 461 (1 a 22) pg.: 499 (1 a 20)

SISTEMAS LINEARES

1) Expresse matricialmente os sistemas:

a)

03

52

yx

yx

b)

253

0

12

cba

ca

cba

2) A expresso matricial de um sistema S :

7

4

13

52

b

a. . Determine as equaes de S.

3) Resolver o sistema

25

72

yx

yx.

R.: 13 ,S

[1] pg 505 a 515

4) Resolver o sistema

2

5

yx

yx.

R.: S

5) Resolver o sistema

1

10543

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

R.: 012 ,,S

6) Classifique, quanto ao nmero de solues, os seguintes sistemas homogneos.

a)

086

043

21

21

xx

xx

R.: SPI

b)

03

0422

0

zyx

zyx

zyx

R.: SPI

c)

04

03

02

yx

zyx

zyx

R.: SPD

7) Determine a e b para que o sistema

byx

ayx

44

126seja indeterminado.

R.: a = 6 e b = 8

8) Calcule os valores de a para que o sistema

04

123

yax

yx seja compatvel e determinado.

R.: 6a

9) D os valores de a para que o sistema

542

2

zyax

azyx

azy

seja compatvel e determinado.

R.: 1 e 4 aa/Ra

10) D o valor de a para que o sistema

054

02

02

azyx

azyx

yax

seja impossvel.

R.: 1ou 4 aa

11) Determine o valor de k para que o sistema

kxy

zx

yz

332

224

143

seja indeterminado.

R.: k = 5

12) Ache m para que o sistema

023

054

032

zmyx

zyx

zyx

tenha solues prprias.

R.: 13

3m

Escalonamento de Sistemas Lineares

1) Resolva os sistemas:

a)

105

024

623

z

zy

zyx

S={(-2,1,2)}

b)

90

325

642

1329

w

wz

wzy

wzyx

S =

c)

063

0

zy

zyx

Soluo geral: (-3k, 2k, k).

d)

132

22

tz

tzyx

Soluo geral:

,,,

2

31

4

352

2) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a)

02

833

132

zy

zyx

zyx

R.: Sistema possvel e determinado, com S = {(1,-1,2)}

b)

5232

2

zyx

zyx

R.: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}

c)

032

3

zyx

zyx

R.: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}

Aplicaes

1. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado esto esquematizadas na tabela a seguir:

Produto A Produto

B Produto C

Elaine 1 2 2

Pedro 3 3 2

Carla 2 3 1

Sabendo que Elaine gastou R$ 33,00, Pedro gastou R$ 49,00 e Carla gastou R$ 36,00, quanto custou o produto C?

R.: R$ 8,00

2) Ruth vende, em reais, sacolas descartveis dos tipos I, II e III, a preos de x, y e z, respectivamente. Os resultados de suas vendas, ao longo de trs dias consecutivos, esto representados na tabela a seguir.

Com base nessa tabela, o valor de x + y + z igual a:

a) R$ 30,00

b) R$ 25,00

c) R$ 20,00

d) R$ 15,00

e) R$ 10,00

Exerccios Complementares

1) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

432

52

yx

yx R.: {(1,2)}

93

143

yx

yx R.: {(3,2)}

2) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

R.: {(1,2,3)}

03

05

010

zy

zx

yx

R.: {(6,4,1)}

3) Resolva as equaes matriciais:

13

9

31

12

y

x. R.:

5

2

8

2

2

115

632

741

z

y

x

. R.:

1

2

1

4) Determinar m, de modo que o sistema

4

0

2

zyx

zmyx

yx

seja impossvel. R.: m = -1

5) Qual o valor de p para que o sistema

2

0

4

yx

zpyx

zypx

admita uma soluo nica?

R.: 1 p/Rp

6) Para quais valores de k o sistema linear

2

323

1

kzy

zyx

zyx

possvel e determinado?

R.:

4

1k/Rk

7) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a)

02

833

132

zy

zyx

zyx

R.: Sistema possvel e determinado, com S = {(1,-1,2)}

b)

5232

2

zyx

zyx R.: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-

4k, k)}

c)

032

3

zyx

zyx R.: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}

d)

14633

10422

52

zyx

zyx

zyx

R.: Sistema impossvel S

8) Um agricultor plantou trs diferentes culturas, cobrindo uma rea total de 80 hectares (ha). Para

isso, ele usou 2.800 kg do adubo A e 3.500 kg do adubo B, conforme mostrado neste quadro:

Adubo A

(kg/ha)

Adubo B

(kg/ha)

Cultura I 20 30

Cultura II 30 10

Cultura III 40 60

Por hectare plantado, as culturas I, II e III deram um lucro de, respectivamente, R$ 200,00,

R$ 100,00 e R$ 400,00. Com base nesses dados, CALCULE o lucro total do agricultor.

R.:R$ 24.000,0

9) Matias quis saber quantos quilogramas tinha seu gato, sue cachorro e ele prprio, mas dispunha de uma balana que s era confivel para cargas com mais de 50 kg. Ento:

- subiu na balana com o cachorro, sem o gato ela registrou 95 kg;

- subiu, em seguida, com o gato, sem o cachorro a balana acusou 54 kg;

- por ltimo, ele colocou o cachorro e o gato na balana ela marcou 51 kg.

Quantos quilogramas tem cada um?

R.: 49, 46,5

10) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$10,00 do clube e, caso errasse, pagaria R$5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, recebeu a quantia de R$50,00. Quantos arremessos ele acertou?

R.: 10 arremessos

11) Uma loja de departamentos, para vender um televisor, um DVD e um aparelho de som, props a seguinte oferta: o televisor e o DVD juntos custam R$1200,00; o DVD e o som juntos custam R$1100,00 e o televisor com o som custam juntos R$1500,00. Quanto pagar um cliente que comprar os trs produtos?

R.: R$1900,00

12) Uma loja vende produtos como os listados na tabela e seus preos. Sabendo que qualquer mochila custa R$20,00, calcule o preo pago por um par de meias e um conjunto de roupas ntimas.

R.: R$ 25,00

PRODUTO

Preo(R$) Mochila

Par de Meias

Conj.

Roupas ntimas

Camisa Jeans

Tipo 1 2 2 4 2 250,00

Tipo 2 2 2 3 1 180,00

Tipo 3 3 3 5 3 345,00

Tipo 4 2 2 2 1 160,00

13) No estacionamento de um shopping h 80 veculos, entre carros e motos. Sabe-se tambm que o nmero de rodas igual a 260. Determine o nmero de carros e motos.

R.: 50 carros e 30 motos

No se esquea de estudar o livro texto!!!

[1] pg.: 576 (1 a 23)

PONTOS EM R2 E R3

Admita dois eixos, x e y, perpendiculares entre si em O. Esses dois eixos dividem o plano em quatro

regies, denominadas quadrantes. Em cada uma dessas regies, podemos representar infinitos pontos,

expressos por meio de pares ordenados p px ,y , em que px a abscissa do ponto e py sua ordenada. Para

representarmos esse ponto no plano cartesiano, devemos proceder da seguinte forma:

sobre o eixo das abscissas, x, localizamos p

x ;

por este ponto, passamos uma linha tracejada, paralela ao eixo das ordenadas, y;

da mesma forma, em y, identificamos p

y , por onde passamos uma nova linha tracejada, agora paralela

ao eixo x;

o ponto de encontro dessas duas linhas tracejadas o ponto P p px ,y .

Veja essa construo, na figura 1, a seguir:

Devemos saber, ainda, que o ponto O chamado de origem do plano, tem coordenadas (0,0) e divide cada um

dos eixos x e y, em dois semi-eixos. esquerda da origem, temos o semi-eixo negativo das abscissas; direita,

o semi-eixo positivo das abscissas. Abaixo da origem, temos o semi-eixo negativo das ordenadas, acima dela,

temos o semi-eixo positivo das ordenadas. E cada parte chamada de quadrante.

Veja essa construo, na figura 2, a seguir:

Posio de um ponto no plano

Como vimos, os eixos x e y dividem o plano em quatro quadrantes e os pontos P p px ,y localizam-se neste

plano, de acordo com os valores de p

x e p

y , da seguinte forma:

se p

x 0 e p

y 0 , ento P pertence ao 1 quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , ento P pertence ao 2 quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , ento P pertence ao 3 quadrante;

se p

x 0 e p

y 0 , ento P pertence ao 4 quadrante;

se p

y 0 , ento P pertence ao eixo das abscissas. P px ,0 , com px ;

se p

x 0 , ento P pertence ao eixo das ordenadas. P p0,y , com py .

Se um ponto pertence a um dos eixos coordenados, ento ele pertence, simultaneamente, a dois

quadrantes. A origem (0,0), por exemplo, pertence aos quatro quadrantes.

Distncia entre dois pontos do plano

Dados os pontos A A Ax ,y e B BB x ,y :

Se AB // Ox, temos: AB B A

d x x .

Se AB // Oy, temos: AB B A

d y y

Se AB no paralelo a Ox, nem a Oy. Note que o tringulo ABC retngulo:

Ento, utilizando o Teorema de Pitgoras, temos:

2 22 2 2

AB AC BC AB B A B Ad d d d x x y y

O espao tridimensional

Assim como usamos um sistema de eixos coordenados para realizar representaes no plano, tambm o

fazemos para representar slidos e objetos.

Definio:

O conjunto de todas as triplas ordenadas de nmeros reais chamado de espao tridimensional, sendo

denotado por 3 . Cada tripla ordenada , ,x y z chamada de um ponto no espao tridimensional.

Desta forma do plano para o espao h o acrscimo do eixo z.

Para marcarmos um ponto no espao, fazemos o seguinte procedimento, vamos usar o seguinte ponto como

exemplo (3, 2,4)A :

1) marca-se o ponto '(3, 2,0)A no plano xy.

2) desloca-se A paralelamente ao eixo z, 4 unidades para cima (se fosse -4 seriam 4 unidades para baixo)

para obtermos o pontos A.

A

B

y

xA

yA

xB

yB

C

x

Os planos coordenados em um sistema de coordenadas tridimensional dividem o espao tridimensional

em oito partes, chamadas de octantes. O conjunto de pontos com as trs coordenadas positivas forma o

primeiro octante, os demais no tm uma enumerao padro.

Fonte: Winterle (2000).

Visualizao:

Fonte: Winterle (2000).

Regio Descrio

Plano xy (x, y, 0)

Plano xz (x, 0, z)

Plano yz (0, y, z)

Eixo x (x, 0, 0)

Eixo y (0, y, 0)

Eixo z (0, 0, z)

Z

Y

X

O

1

2

3

4

5

6 8

Sistemas de coordenadas retangulares no espao

Representem no espao tridimensional os pontos, faa cada exemplo em um espao tridimensional:

x

y

z

x

y

z

A (2, 0, 0)

B (2, 4, 0)

C (0, 4, 0)

D (0, 4, 3)

E (0, 0, 3)

F (2, 0, 3)

G (2, 4, 3)

H (0, 0, 0)

Exemplo 1

A (0, 1, 0)

B (4, 1, 0)

C (4, 6, 0)

D (0, 6, 0)

E (4, 1, -2)

F (4, 6, -2)

G (0, 6, -2)

H (0, 1, -2)

Exemplo 2

x

y

z

A

B

C

D

E

F

G

H

Determine as coordenadas dos pontos:

Exemplo 4

A (3, 0, 4)

B (3, 5, 4)

C (0, 5, 4)

D (0, 0, 4)

E (3, 0, 0)

F (3, 5, 0)

G (0, 5, 0)

H (0, 0, 0)

Exemplo 3

Referencial

3,0,0 3,0,5

3,4,0 3,4,5

0,4,0 0,4,5

0,0,0 0,0,5

A E

B F

C G

D H

Clculo da distncia entre dois pontos no espao

Para o clculo da distncia entre dois pontos no espao, o procedimento o mesmo j utilizado no plano, apenas

com o acrscimo da varivel z, referente ao eixo das cotas no estudo. A distncia entre os pontos 1 1 1, ,A x y z e

2 2 2, ,B x y z :

2 2 2

AB B A B A B Ad x x y y z z

Calcule a distncia entre os pontos A 0, 1, 3 e B 4, 2, 3 .

2 2 2

AB

AB

AB

d 4 0 2 1 3 3

d 9 16

d 5

Determine o ponto (P) pertencente ao plano xOz, cuja cota o dobro da abscissa, que dista 5 unidades de

distncia do ponto A 1, 3, 2 .

Dados:

,0, ,0,2

2

5AP

P x z P x x

z x

d

2 2 25 x 1 0 3 2x 2

5 x 2x 1 9 4x 8x 4

x 2x 1 9 4x 8x 4 25

5x 10x 11 0

320

10 320 10 17,8x

10 10

10 17,8x ' 0,78

10

10 17,8x " 2,78

10

Exemplo

Exemplo

Desta forma o ponto P pode ser representado por:

' 0,78 0,78;0;1,56

" 2,78 2,78;0;5,56

x P

x P

Frmula do ponto mdio

O ponto mdio do segmento de 1 1 1, ,A x y z e 2 2 2, ,B x y z :

1 2 1 2 1 2, , ,2 2 2

x x y y z zPM

Encontre o ponto mdio do segmento AG, do exemplo 5.

3 0 0 4 0 5 3 5, , , 2,

2 2 2 2 2AGPM

EXERCCIOS

1) Calcule a distncia do ponto 3, 4, 2A :

a) ao plano xy

b) ao plano xz

c) ao plano yz

d) ao eixo x

e) ao eixo y

f) ao eixo z

2) A figura abaixo representa um paraleleppedo retngulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de

medidas 1, 2 e 3. Determinar as coordenadas dos vrtices deste slido, sabendo que 2, 1, 2A :

Exemplo

3) Nas figuras a seguir, determine as coordenadas dos oito cantos da caixa:

4) Um cubo de lado 4 unidades tem seu centro geomtrico na origem e suas faces paralelas aos planos

coordenados. Esboce o cubo e d as coordenadas dos oito cantos.

5) Quais so as projees do ponto (2,3,5) nos planos xy, yz e xz? Desenhe uma caixa retangular que tenha

vrtices opostos na origem e em (2,3,5)e com faces paralelas aos planos coordenados. Nomeie todos os

vrtices da caixa. Determine o comprimento da diagonal dessa caixa.

6) Mostre que o tringulo com vrtices em 2,4,0 , 1,2, 1 e 1,1,2P Q R um tringulo eqiltero.

7) Encontre o comprimento dos lados do tringulo com vrtices (1,2, 3), (3,4, 2) A B e (3, 2,1)C . O tringulo

ABC retngulo? issceles?

8) A figura abaixo mostra um paraleleppedo onde as dimenses das arestas esto indicadas na figura. No

centro da face EFGH deste paraleleppedo est a origem (0,0,0) de um sistema de eixos cartesianos xyz, que

so paralelos s arestas do slido. Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H localizados nos

vrtices do paraleleppedo.

9) Determine o valor de a, para que o tringulo ABC seja retngulo em A. Para tanto, considere A 0, 1, 3 ,

B 1, a, 2 e C 1, 0, 1 .

RESPOSTAS

1)

)2

)4

)3

) 20

) 13

)5

a

b

c

d

e

f

2)

2, 1,2 3, 1,5

2, 3,2 2, 1,5

3, 3,2 2, 3,5

3, 1,2 3, 3,5

A E

B F

C G

D H

3)

a)

0,0,0 3,0,4

3,0,0 3,5,4

3,5,0 0,5,4

0,5,0 0,0,4

A E

B F

C G

D H

b)

0,1,0 4,1, 2

0,6,0 4,6, 2

4,1,0 0,6, 2

4,6,0 0,1, 2

A E

B F

C G

D H

4)

2, 2,2 2,2, 2

2, 2, 2 2,2,2

2,2,2 2, 2,2

2,2, 2 2, 2, 2

A E

B F

C G

D H

6) A distncia entre cada lado 14 , portanto o

tringulo eqiltero.

7) 3; 6 e 45AB AC BCd d d

( 45) 6 3

45 45

BC AC ABd d d

O tringulo retngulo, provado atravs

do teorema de Pitgoras.

8)

2, 5, 5 2, 5,0

2,5, 5 2,5,0

2,5, 5 2,5,0

2, 5, 5 2, 5,0

A E

B F

C G

D H

9)Se o tringulo ABC retngulo em A, ento, o lado BC a hipotenusa do tringulo, e AB e AC so os seus

catetos. Ento, temos:

2 2 2

BC AB AC

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

Por Ptagoras : d d d

2 a 1 1 a 1 1 1 1 2

5 a 1 a 2a 1 1 1 1 4

0 4 2a

2a 4 a 2

Plano xy: (2,3,0)

Plano yz: (0,3,5)

Plano xz: (2,0,5)

Diagonal: 38

Vetores: Tratamento Geomtrico

1) A figura abaixo constituda de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).

Decidir se verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmaes:

2) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os

com origem no ponto A:

AKAC)d

DCAC)c

BDAB)b

CNAC)a

OEAO)h

ANAK)g

BLAM)f

EOAC)e

PBBNBL)l

NFPNLP)k

CBBC)j

NPMO)i

3) Dados os vetores , , , e , abaixo representado, obtenha graficamente os vetores e

.

a) = + + b) = 2 - +

Captulo 1:

Vetores

- Pgs.: 14 a 17 ( 1,2,3,4,5,12)

EDDE)e

MCBL)d

OPBC)c

PHAM)b

OFAB)a

FG//AJ)j

LD//JO)i

HI//AC)h

FIKN)g

MGAO)f

AMPN)o

NBPN)n

ECPE)m

BLAM)l

EGAB)k

|BL||AM|)t

NP2AO)s

|AC||AJ|)r

MFIF)q

|FP||AC|)p

VETORES - TRATAMENTO ALGBRICO

1) Esboce os vetores com seus pontos iniciais na origem:

a) 5, 2,2

b) 2 3 4i j k

c) 3, 4, 1

d) 2 5 5i j k

2) Determine as componentes do vetor e esboce um vetor equivalente com seu ponto inicial na origem:

3) Determine o mdulo de v :

a) 2, 1v

b) 7v i j

c) 3, 1,5v

d) 2 3i j k

4) Determine os vetores unitrios que satisfazem as condies dadas:

a) mesma direo e sentido que 4i j

b) sentido oposto a 6 4 2i j k

c) mesma direo e sentido que o vetor do ponto 1,0,2A at o ponto 3,1,1B

5) Dado o vetor 2, 1, 3v , determinar o vetor paralelo a v que tenha:

a) sentido contrrio ao de v e trs vezes o mdulo de v ;

b) o mesmo sentido de v e mdulo 4;

c) sentido contrrio ao de v e mdulo 5;

6) Determinar o valor de n para que o vetor 1 3

, ,2 4

v n

seja unitrio.

7) Dados os pontos (1,0, 1), 4,2,1 e 1,2,0A B C , determinar o valor de m para que 7v , sendo

.v m AC BC .

8) Diz se que um vetor w uma combinao linear dos vetores 1v e 2v se w puder ser expresso como

1 21 2w c v c v onde 1c e 2c so escalares:

a) Determine os valores dos escalares 1c e 2c para expressar o vetor 4 j como combinao linear dos

vetores 1 2v i j e 2 4 2v i j .

b) Mostre que o vetor 3,5 no pode ser expresso como uma combinao linear dos vetores 1 1, 3v e

2 2,6v .

9) Efetue as operaes indicadas com os vetores 3 , 2 e 3u i k v i j k w j :

a) w v

b) 6 4u w

c) 2v w

d) 4 3u v

e) 8 2v w u

f) 3w v w

10) Dados os pontos A(-1, 2,0), B(3, -1,1) e C(-2, 4, 0), determinar o ponto D de modo que ABCD2

1

11) Sendo A(-2, 4) e B(4,1) extremidades de um segmento, determinar os pontos F e G que dividem AB em

trs segmentos de mesmo comprimento.

12) Encontrar o vrtice oposto a B no paralelogramo ABCD, sendo dados A(3, -2, 4), B(5, 1, -3) e C(0, 1, 2).

Exemplo 4

13) Seja o tringulo de vrtices A(4, -1, -2), B(2, 5, -6) e C(1, -1, -2). Calcular o comprimento da mediana do

tringulo relativa ao lado AB.

14) Determine o valor de "m" se o mdulo do vetor v = (2m+2, m-1, 2m - 7) se |v | = 13.

15) Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y.

RESPOSTAS

1)

2)

3)

a) 5v

b) 50v

c) 35v

d) 14v

4)

a)4

17 17

i j

b) 6 4 2

2 14

i j k

c) 4

3 2

i j k

5)

a) 6,3,9

b) 8 4 12

, ,14 14 14

c) 10 5 15

, ,14 14 14

6) 3

4

7) 13

3 ou 5

8)

a) 1 2c e 2 1c

b) No representa uma combinao linear.

9)

a) 4 2i j k

b) 18 12 6i j k

c) 5 2i j k

d) 40 4 4i j k

e) 2 16 18i j k

f) 13 2i j k

10)

11)

12)

13)

14)

15)

Captulo 1:

Vetores

- Pgs.: 40 a 45 (1 a 14, 16 a 23, 29 a 35, 37 a 40, 43 a 47, 49 a 56)

PRODUTO ESCALAR

1) Sejam os vetores

u = (3,2,1) e

v = (-1, -4, -1). Calcular:

a) 2

u

b) (

u +

v ).(2

u

v )

c)

d) 0.u

e) 0.u

2) Dados os vetores

u = 3i -5j + 8k e

v = 4i -2j k, calcular

u .

v .

3) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular

BC.AB

4) Sendo |

u | = 4 e |

v | = 2 e

u .

v = 3, calcular (3

u 2

v )(-

u + 4

v ).

5) Sendo |

u | = 2, |

v | = 3 e 60 o ngulo entre

u e

v , calcular:

a)

u .

v

b) |

u +

v |2

6) Dados os vetores (1,3, 5)v e (4, 2,8)u , decomponha v como 1 2v v v sendo 1 2/ / e v u v u .

7) Um tringulo no espao tridimensional formado pelos vrtices 1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C .

Determine o ponto H, p da altura relativa ao lado AB.

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

1) Determinar o vetor v , sabendo que 5v , v ortogonal ao eixo xO , 6v w e 2w i j .

2) Dados os pontos ,1,0A m , 1, 2 , 2B m m e 1,3, 1C , determinar m de modo que o tringulo ABC seja

retngulo em A. Calcular a rea do tringulo.

3) Determinar o vetor u tal que 2u , o ngulo entre u e 1, 1,0v 45 e u ortogonal a 1,1,0w .

4) O tringulo no espao tridimensional formado pelos vrtices 1,2,3 , 2, 2,0 e 3,1, 4A B C , determine

os ngulos formados por estes vrtices e classifique-os em agudo, obtuso ou retngulo.

5) Use vetores para mostrar que 2, 1,1 , 3,2, 1 e 7,0, 2A B C so vrtices de um tringulo retngulo.

Em qual vrtice est o ngulo reto?

6) Sabendo que o vetor 2,1, 1v forma um ngulo de 60 com o vetor AB determinado pelos pontos

3,1, 2A e 4,0,B m , calcular o valor de m.

7) Calcular o valor de m de modo que seja 120 o ngulo entre os vetores 1, 2,1u e 2,1, 1v m .

8) Uma fora de 4 6F i j k newtons aplicada a um ponto que se move uma distncia de 15 metros na

direo e sentido do vetor i + j + k. Quanto trabalho foi realizado?

9) Uma caixa arrastada ao longo do cho por uma corda que aplica uma fora de 50 lb em um ngulo de 60

com o cho. Quanto trabalho realizado para movimentar a caixa a uma distncia de 15 ps?

Referencial de respostas:

1) 0,3, 4v

2) 30

1 e 2

m A

3) 1, 1, 2u

4) ^

^

39 (agudo)

96 (obtuso)

45 (agudo)

b

c

5) retngulo no vrtice B.

6) 4m

7) 0 ou 18m m

8) 5 3J

9) 375 ps lb

Captulo 2:

Produto

Escalar

- Pgs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)

PRODUTO VETORIAL

1) Mostre que u v ortogonal a u e a v sendo 5 4 3u i j k e v i k .

2) Dados os vetores 1, 1,1u e (2, 3,4)v , calcule:

a) a rea do paralelogramo determinado por e u v .

b) a altura do paralelogramo relativo base definida pelo vetor u .

3) Dados os vetores 2,1, 1u e (1, 1, )v a , calcular o valor de a para que a rea do paralelogramo

determinado por u e v seja igual a 62 .

4) Sejam os vetores 1, 1, 4u e (3,2, 2)v . Determinar um vetor que seja:

a) ortogonal a

u e

v .

b) ortogonal a

u e

v e unitrio.

c) ortogonal a

u e

v e tenha mdulo 4.

5) A operao

u .

v +

u x

v possvel ou no? Justifique sua resposta.

6) A operao

u .[(

v +

u ) x

v ] possvel ou no. Justifique sua resposta. O resultado um vetor ou um escalar?

EXERCCIOS

1) Determine u v , e em seguida verifique que ortogonal a ambos os vetores u e v .

a) 1,2, 3 ; 4,1,2u v

b) 0,1, 2 ; 3,0, 4u v

2) Determine a rea do paralelogramo que tem e u v como lados adjacentes: 2 e 3u j k v j k .

3) Determine a rea do tringulo de vrtices 1,5, 2P , 0,0,0Q e 3,5,1R .

4) Calcular o valor de m para que a rea do paralelogramo determinados por , 3,1u m e 1, 2,2v seja

igual a 26 .

5) Dados os pontos (2,1,1)A e (0, 2,1)B , determinar o ponto C do eixo Oy de modo que a rea do tringulo

ABC seja 1,5 u.a.

6) Calcular z, sabendo-se que 2,0,0 , 0,2,0 e 0,0,A B C z so vrtices de um tringulo de rea 6.

7) Dois vrtices consecutivos de um paralelogramo so 2, 4,0A e 1, 3, 1B e o ponto mdio das

diagonais 3,2, 2M . Calcular a rea do paralelogramo.

RESPOSTAS

1) a)

7,10,9

0

0

u v

u u v

v u v

b)

4, 6, 3

0

0

u v

u u v

v u v

2) 59 . .u a

3) 374

2A u.a

4) 0 ou 2

5) 5

0,1,0 ou 0, ,02

C C

6) 4 ou -4

7) 2 74

Captulo 3:

Produto

Vetorial

- Pgs.: 87 a 89 (1 a 3, 8, 9, 12, 14 a 17, 20, 21, 23 a 25, 27)

PRODUTO MISTO

1) Determine o volume do paraleleppedo formado pelos vetores 2 , 3 e 5u i v j w k .

2) Determine o volume da caixa, em forma de um paraleleppedo, de lados adjacentes , e AB AC AD , sendo

2,1, 1 ; 3,0,2 ;A B 4, 2,1 e 5, 3,0C D . Calcular a altura desta caixa relativa base definida por

AB e AC .

3) Para que valor de m os pontos ,1,2 ; 2, 2, 3 ; 5, 1,1 e 3, 2, 2A m B C D so coplanares?

4) Sabendo que os vetores 2,1, 4 , , 1,3 e 3,1, 2AB AC m AD determinam um tetraedro de

volume 3, calcular o valor de m.

EXERCCIOS

1) Utilizando o produto misto, determine o volume do paraleleppedo que tem , e u w v como arestas

adjacentes:

a) 2, 6,2 , 0,4, 2 e 2,2, 4u v w

b) 3,1,2 , 4,5,1 e 1,2,4u v w

2) Determine o volume do tetraedro formado pelos vrtices 1,2,0 ; 2,1,3 ; 1,0,1 e 3, 2,3P Q R S .

3) Trs vrtices de um tetraedro de volume 6 so ( 2,4, 1)A , 3, 2,3B e 1, 2, 1C . Determinar o quarto

vrtice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.

4) Dados os pontos 2,1,1 ; 1,0,1 e C 3,2, 2A B , determinar o ponto D do eixo Oz para que o volume do

paraleleppedo determinado , e AB AC AD seja igual a 25 u.v.

5) Calcular o valor de m para que o volume do paraleleppedo determinado pelos vetores 0, 1,2u ,

4,2, 1v e 3, , 2w m seja igual a 33. Calcular a altura deste paraleleppedo relativo base definida por

u e v .

6) O ponto 1, 2,3A um dos vrtices de um paraleleppedo e os trs vrtices adjacentes so

2, 1, 4 ; 0,2,0 e D 1, ,1B C m . Determinar o valor de m para que o volume do paraleleppedo seja igual a

20 u.v.

RESPOSTAS:

1)

a) 16 u.v

b) 45 u.v

2) 2

3u.v

3) 0,2,0 ou 0, 4,0D D

4) 0,0, 10 ou 0,0,15D D

5) 17 33

4 ou e 2 89

m m h

6)6 ou 2

Captulo 4:

Produto

Misto

- Pgs.: 99 a 101 (1, 2, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 16, 18)

Algumas Aplicaes

1. Uma pea macia de cristal tem o formato de um paraleleppedo determinado pelos

vetores

1v (0, -1, 2),

2v (-4, 2, -1) e

3v (3, 4, -2). Extraiu-se desse paraleleppedo

uma pea no formato de um tetraedro cujas arestas coincidem com as arestas do

paraleleppedo. Qual o volume de cristal desse tetraedro?

2

11 u. v.

2. Na figura, a seguir, possvel verificar a trajetria descrita por uma partcula. As vrias

posies que ela ocupou esto indicadas por letras seguidas de nmeros que representam

os instantes, em segundos, da passagem da partcula por esses pontos.

Determine o comprimento do vetor deslocamento, para essa partcula.

R: 5m

3. Determine a distncia(d) necessria para posicionarmos a piscina junto ao prdio, de forma que a mesma receba o sol da manh a partir das 8:00hrs. O desenho abaixo mostra de forma esquemtica a situao descrita, onde os pontos A(-25,15,23), B(-30,-5,3) e C(10,-5,3) so conhecidos.

R: 35m

4. O seguinte sistema de foras atua sobre uma partcula: F1 = 4j+5k, F2 =-5i +j + 3k, F3 =i -

2j + 4k, F4 = 4i - 3j- 2k. Ache a resultante deste sistema de foras. A partcula estar em

equilbrio? Qual o efeito da fora resultante sobre a partcula?

5. Um pintor pediu para o engenheiro lhe informar a quantidade de massa corrida que ele

precisaria pegar no depsito para emassar uma rea triangular de uma rampa inclinada.

O engenheiro determinou atravs das coordenadas cartesianas os trs vrtices desse

tringulo: (4,2,1), (1,0,1) e (1,2,0). Sabendo que cada galo de massa corrida rende o

equivalente a 10 metros quadrados para cada demo, quantos gales o pintor precisar

para emassar essa rea aplicando duas demos?

R. 1 galo

6. Uma caixa de madeira se encontra no ponto A. Um trabalhador pode mov-la para o ponto

B (-1,0) ou para o ponto C = (-3,2). Utilizando seus conhecimentos de lgebra linear,

chegou a concluso que . Nessas condies, quais as coordenadas do ponto A?

R: (1/3, -4/3)

7. Na torre da figura abaixo, determine o ngulo formado entre os cabos AB e AC.

R: Aprox. 41,69o

8. Um nibus parte em linha reta do ponto (1,2,3) ao ponto (3,1,5). Se o gasto de R$10,00

por unidade de comprimento, qual o gasto total no deslocamento?

R: R$30,00

9. Uma molcula de metano tem quatro tomos de hidrognio (H) nos pontos indicados na

figura abaixo e um tomo de carbono (C) na origem. Determine o ngulo de ligao H-C-

H.

R: Aprox. 109,47

10. A figura abaixo representa uma cozinha que deve ter as paredes revestidas de azulejos at

o teto. Sabendo que cada porta tem 1,60m2 de rea e que a janela tem uma rea de 2m2,

quantos metros quadrados de azulejos so necessrios para a realizao do revestimento?

R: 12,80m2

Dados: A(3, -3, 2) B(3, -1, 2) C(2, -1, 2) D(2, -1, 5) E(3, -1, 5)

A RETA

1) a) Determine equaes da reta r que passa por (1, 1,4)A e paralela a (2,3, 2)v .

b) Para t = 1, t =-3 e t = 0; determine os pontos pertencentes a reta r.

2) Dado o ponto (2,3, 4)A e o vetor (1, 2,3)v , pede-se:

a) Escrever equaes paramtricas da reta r que passa por A e tem a direo de v .

b) Determinar o ponto de r cuja abscissa -1.

c) Verificar se os pontos (4, 1,2) e (5, 4,3) D E pertencem a r.

d) Determinar para que valores de m e n o ponto ( ,5, )F m n pertence a r.

3) Verifique se as retas 1 2 e L L so paralelas, em cada caso.

a) 1

2

1: 1 3 ; 2 2 ; 3

2

3: 2 9 ; 1 6 ; 1

2

L x t y t z t

L x t y t z t

b) 1

2

: 3 2 ; 1 3 ; 2 4

: 1 ; 4 ; 8 3

L x t y t z t

L x t y t z t

4) Escrever equaes paramtricas da reta r que passa por (3, 1, 2) e (1,2,4)A B .

5) Dadas as equaes simtricas 3 5

2 2 1

x y z

. Determine o ponto inicial, o vetor diretor da reta e

equaes paramtricas da reta.

6) Seja 2 4 3

:1 2 3

x y zr

, determine as equaes reduzidas na varivel x.

7) Determine o ngulo entre as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e s: 3

3

2

13

zyx

.

8) Determine o valor de m, para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e 2

1 3:

2 3

x y zs

m

sejam

ortogonais.

EXERCCIOS

1) Obtenha as equaes paramtricas para a reta que passa por 1,2,4 e paralela a 3 4i j k .

2) Obtenha as equaes paramtricas para a reta que passa por 2,0,5 e paralela a reta

1 2 ; 4 ; 6 2x t y t z t .

3) Em que ponto a reta 1 3 ; 2 , 0 x t y t z intersecta:

a) o eixo x b) o eixo y c) a parbola y x

4) Encontre as intersees da reta 2; 4 2 ; 3x y t z t com o plano xy, o plano xz e o plano yz.

5) Sejam 1 2 e L L as retas cujas equaes paramtricas so:

1

2

: 1 2 ; 2 ; 4 2

: 9 ; 5 3 ; 4

L x t y t z t

L x t y t z t

a) Mostre que 1 2 e L L intersectam no ponto 7, 1, 2 .

b) Determine o ngulo agudo formado entre 1 2 e L L em seu ponto de interseo.

c) Obtenha as equaes paramtricas para a reta que perpendicular a 1 2 e L L e que passa no seu ponto de

interseo.

RESPOSTAS:

1)

1 3

2 4

4

x t

y t

z t

2)

2 2

5 2

x t

y t

z t

3)

a) 7,0 b) 7

0,3

c) 1 85 43 85

,6 18

4) Plano xy: 2,10,0 ; Plano xz: 2,0, 5 ; Plano

yz: a reta no intersecta o plano yz.

5) b) 84,23

c)

7 7

1

2 7

x t

y

z t

Captulo 5:

A reta - Pgs.: 118 a 123 (1 a 9, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 24, 28)

O PLANO

1) Obtenha a equao geral do plano que passa pelo ponto (2, 1,3)A e tem (3,2, 4)n como

vetor normal.

2) A reta

5 3

: 4 2

1

x t

r y t

z t

ortogonal ao plano que passa pelo ponto )2,3,1(A . Determine a

equao geral de .

3) Escreva uma equao geral do plano que passa pelo ponto (2,1,3)A e paralelo ao plano

:3 4 2 5 0x y z .

4) Determine a equao geral do plano representado na figura a seguir:

5) Dado o plano determinado pelos pontos (1, 1,2), (2,1, 3) e ( 1, 2,6)A B C obtenha um

sistema de equaes paramtricas e uma equao geral de .

EXERCCIOS

1) Determine uma equao do plano que passa pelo ponto P e tem o vetor n como um vetor normal:

a) 2,6,1 ; 1,4,2P n b) 1,0,0 ; 0,0,1P n

2) Determine uma equao do plano que passa pelos pontos dados: 2,1,1 ; 0,2,3 e 1,0, 1A B C .

3) Determine se os planos so paralelos, perpendiculares ou nenhum dos dois:

a) 2 8 6 2 0

4 3 5 0

x y z

x y z

b) 3 2 1

4 5 2 4

x y z

x y z

c) 3 2 0

2 1

x y z

x z

4) Determine o ngulo formado entre os planos: 0 e 2 4 0x x y z .

5) Determine a equao do plano que passa pela origem e que paralela ao plano 4 2 7 12 0x y z .

6) Determine a equao do plano que passa pelo ponto 1,2, 5 que perpendicular aos planos

2 1 e 2 3x y z x y z .

Referencial de respostas:

1) a) 4 2 28 0x y z

b) 0z

2) 10 5 5 0y z

3) a) Paralelos

b) Perpendiculares

c) Nenhum dos dois

4) 35

5) 4 2 7 0x y z

6) 5 3 6 0x y z

Captulo 6:

O plano - Pgs.: 141 a 149 (1 a 23)