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Caderno RQ8

Sequências e

Progressões

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br

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Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 3

2 SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS ............................................................................................................... 4

2.1 SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .............................................................................................................. 4

2.1.1 Curiosidade: o número de ouro ............................................................................................ 4

2.1.2 Aplicações da Sequência de Fibonacci.................................................................................. 5

2.2 SEQUÊNCIAS QUAISQUER ............................................................................................................... 6

2.2.1 Falsas Sequências Numéricas .............................................................................................. 7

2.3 SEQUÊNCIAS CONSTITUÍDAS POR ARRANJOS NUMÉRICOS ...................................................................... 8

3 PROGRESSÕES ............................................................................................................................... 12

3.1 PROGRESSÕES ARITMÉTICAS ......................................................................................................... 12

3.1.1 Conceito ............................................................................................................................ 12

3.1.2 Notação ............................................................................................................................ 12

3.1.3 Razão (r) ............................................................................................................................ 12

3.1.4 Fórmula do Termo Geral .................................................................................................... 12

3.1.5 Fórmula da Soma dos Termos ............................................................................................ 13

3.1.6 Desafio .............................................................................................................................. 15

3.1.7 Dica ................................................................................................................................... 16

3.2 CURIOSIDADES ........................................................................................................................... 19

3.2.1 Números Ímpares .............................................................................................................. 19

3.2.2 Números Pares com o Zero ................................................................................................ 21

3.2.3 Números Pares sem o Zero ................................................................................................ 22

3.3 PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS ........................................................................................................ 24

3.3.1 Conceito ............................................................................................................................ 24

3.3.2 Notação ............................................................................................................................ 24

3.3.3 Razão (q) ........................................................................................................................... 24

3.3.4 Fórmula do Termo Geral .................................................................................................... 24

3.3.5 Fórmulas da Soma dos Termos .......................................................................................... 25

3.3.6 Progressões Geométricas Especiais.................................................................................... 27

3.3.7 Exercício Resolvido ............................................................................................................ 28

4 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 30

5 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 49

6 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 56

"A gratidão é a virtude das almas nobres." [Esopo]

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Alertamos para o fato de que nosso material passa por constantes revisões,

tanto para a correção de erros, quanto para a inclusão de novos conteúdos

ou questões resolvidas, ou para melhorar as explicações em alguns tópicos.

Tudo baseado nas centenas de dúvidas que recebemos mensalmente.

Não é necessário imprimir o material a cada revisão. Apenas baixe a versão

corrigida e consulte-a no caso de encontrar alguma inconsistência em sua

cópia impressa.

Devido à quantidade e à frequência de nossas revisões, é impossível

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1 Introdução

"O egoísmo deve ser sempre perdoado, pois não há

qualquer esperança de cura." [Jane Austen –

Mansfield Park]

Sequências e Progressões é um capítulo pouco explorado pelos examinadores.

Em se tratando de Sequências, há muita confusão...

Evidentemente que me refiro aqui às sequências matemáticas. Neste caso, é

preciso ficar bem claro que uma sequência (ou uma sucessão) numérica é uma

lista ou conjunto de números cuja ordem é definida por uma "lei" ou uma função

específica. Em outras palavras, uma fórmula determina cada número da

sequência, a partir do segundo ou do terceiro termo.

Charadas e adivinhações não fazem parte deste jogo... Afinal, o programa

proposto para as provas de Concursos Públicos ou do Teste ANPAD fazem

referência a Raciocínio, e não a um mero exercício de adivinhação, ou de

tentativa e erro.

Uma sequência qualquer só fica bem definida com pelo menos quatro termos,

embora muitos digam que apenas três termos são suficientes.

Examinemos!

Na sequência 1, 2, 4, ... o próximo termo tanto pode ser 7, quanto pode ser 8. Do

primeiro para o segundo termo, houve o acréscimo 1, do segundo para o terceiro

termo, houve o acréscimo de 2. O leitor poderá seguir pelo raciocínio aditivo,

somando uma unidade a mais do que fez no passo anterior. Assim, ele somaria 1,

depois 2, a seguir 3, 4 e assim por diante, chegando a

Por outro lado, o raciocínio poderia ser multiplicar por 2, e teríamos a seguinte

sequência: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Bons Estudos!

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2 Sequências Numéricas

Uma sequência numérica qualquer sempre tem certa lógica quantitativa (lei de

formação ou fórmula geradora dos números).

Não há um método próprio pelo qual este assunto possa ser estruturado ou

fundamentado. O objetivo de se propor uma sequência numérica qualquer é

treinar o raciocínio do leitor para identificar o padrão de formação da sequência e

encontrar o termo solicitado.

Seguem alguns exemplos.

2.1 Sequência de Fibonacci

É uma sequência de números inteiros, começando em 0 e 1, na qual, cada termo

subsequente corresponde a soma dos dois anteriores. A sequência recebeu o

nome do matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci,

que descreveu, no ano de 1202, o crescimento de uma população de coelhos. Tal

sequência já era, no entanto, conhecida na antiguidade.

Em termos matemáticos, a sequência é definida recursivamente pela fórmula

abaixo, em que .

Sequência de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

2.1.1 Curiosidade: o número de ouro

Dividindo-se cada número da sequência de Fibonacci, a partir do terceiro, pelo

seu anterior, tem-se o seguinte conjunto numérico:

1; 2; 1,5; 1,666666; 1,6; 1,625; 1,615385; 1,619048; 1,617647; 1,618182;

1,617978; 1,618056; 1,618026; 1,618037; 1,618033; ...

O resultado das operações acima irá se aproximar do número de ouro (phi), que

vale:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Sequ%C3%AAncia_de_inteiros

https://pt.wikipedia.org/wiki/Soma_(aritm%C3%A9tica)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa

https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

https://pt.wikipedia.org/wiki/Recurs%C3%A3o

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2.1.2 Aplicações da Sequência de Fibonacci

Os números de Fibonacci ligam-se fortemente à natureza. É possível encontrá-los

no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até

mesmo no número de pétalas das flores, na organização das sementes na coroa

das flores, em muitas outras formas vegetais: a couve-flor, as camadas das

cebolas ou os padrões de saliências dos ananases e das pinhas.

Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus

"pontos de crescimento" (figura a seguir).

[Fonte: http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-2.html]

Se unirmos os quartos de circunferência de todos os quadrados vamos obter uma

espiral, chamada Espiral de Fibonacci.

Espiral de Fibonacci

http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/pilulas-de-raciocinio-quantitativo-2.html

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À medida que se aproxima do infinito, a razão entre e aproxima-se

de , o número de ouro, que vale 1,618033989, e foi utilizado para construir o

Parthenon e aparece nas composições de Bartók e Debussy.

Leonardo de Pisa, o Fibonacci

2.2 Sequências Quaisquer

1) Dada a sequência definida por – , com , calcule:

a)

Solução:

Para :

Para :

b)

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2.2.1 Falsas Sequências Numéricas

2.2.1.1 Números Primos

Os números primos, na verdade, constituem um conjunto numérico, cujos

elementos gozam de uma propriedade. No conjunto dos números primos cada

elemento possui apenas dois divisores: 1 e o próprio número:

Note que nenhum número do conjunto é gerado por meio de uma lei ou fórmula

matemática. Desse modo, não é correto chamar o conjunto dos números primos

de sequência numérica...

2.2.1.2 Charadas e Adivinhações

No livro digital Raciocínio Lógico Informal há um capítulo que trata de

sequências absurdas, que já constaram em várias provas de Concursos Públicos e

também no Teste ANPAD.

Baixe o livro neste link:

https://www.facebook.com/groups/souintegral/663478483703306/

(leia as observações contidas em algumas questões do Capítulo 6)

Exemplo 1:

Determine o valor de na sequência: 4, 9, 25, 49, 121, 169, .

O grupo numérico apresentado acima é formado por números primos elevados ao

quadrado. Assim, . A questão, entretanto, deveria ter sido anulada, pois

o conjunto de números dados não forma uma sequência de qualquer tipo.

Exemplo 2:

Determine o valor de na sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,


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Os numerais1 dos números apresentados começam com a letra D: dois, dez, doze,

dezesseis, dezessete, dezoito, dezenove. O próximo numeral, depois do 19, que

começa com a letra D é o duzentos. Responda o leitor: isto é uma sequência

numérica?

Exemplo 3:

ANPAD 2008 – O próximo número da sequência 11, 33, 97, 2715 é

a) 5430.

b) 7116.

c) 7251.

d) 8131.

e) 9230.

Mais uma “charada numérica”... Separe cada número no meio. Os algarismos da

metade da esquerda formam uma progressão geométrica de razão 3:

1, 3, 9, 27, 81, ...

Os algarismos da metade da direita formam uma sequência em que cada número,

a partir do segundo é formado pelo dobro do anterior, acrescido de 1:

1, 3, 7, 15, 31, ...

Paremos por aqui essas sequências absurdas... Se você tiver interesse em outras

charadas e adivinhações, que nada tem a ver com raciocínio lógico, compre a

revista Coquetel!

2.3 Sequências Constituídas por Arranjos Numéricos

Exemplo 1:

CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na

disposição que se vê a seguir:

1 Numeral é a forma extensa de se representar um número. Exemplo: “2” é um número; “dois” é um numeral.

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Qual é o número escrito na 5ª coluna da 243ª linha?

a) 961.

b) 1059.

c) 1451.

d) 1457.

e) 3151.

Solução 1:

Observando-se a última coluna, identifica-se uma sequência numérica formada

por múltiplos de 6. Assim, na 243ª linha, 6ª coluna estará o número

. Então, na 5ª coluna desta mesma linha, estará o número 1457.

Gabarito: Alternativa D.

Solução 2:

Na 5ª coluna da série há uma P. A., cujo primeiro termo é 5 ( ), a razão é 6

( ) e estamos interessados no termo de ordem 243 ( ). Veremos a

solução completa no capítulo seguinte, que trata de Progressões Aritméticas.

Exemplo 2:

FAURGS/2002 – Considere a disposição abaixo dos números inteiros positivos:

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A partir das disposições, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela:

I. Em cada uma das linhas aparece um número quadrado perfeito.

II. O número 150 aparece na12ª linha.

III. Na trigésima linha estão dispostos 59 números.

Quais são verdadeiros?

a) apenas o I.

b) apenas o II.

c) apenas o III.

d) apenas o I e o III.

e) O I, o II e o III.

Solução:


CORRETO! Observe o último número de cada linha. Observe, ainda, que esse

quadrado perfeito é o número da linha elevado ao quadrado.

II. O número 150 aparece na 12ª linha.

INCORRETO! O último número da 12ª linha é , portanto, o número

150 não poderá estar nesta linha...


CORRETO! O número de termos em cada linha pode ser calculado pelo dobro

do número da linha menos 1. Assim, na trigésima linha haverá:

termos

Outra forma de se encontrar o número total de termos contido na 30ª linha é

utilizar o raciocínio de uma P. A., na qual o primeiro termo e 1 e a razão é 2.

Fica a cargo do leitor estudar o tópico seguinte e retornar aqui para finalizar o

cálculo.

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Exemplo 3:

ANPAD 2003 – O próximo número na sequência 2, 5, 11, 23, ... é

a) 35.

b) 39.

c) 41.

d) 47.

e) 49.

Solução:

Cada número, a partir do segundo é formado pelo dobro do anterior mais 1.

Assim:


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3 Progressões

3.1 Progressões Aritméticas

3.1.1 Conceito

Progressão Aritmética (P. A.) é uma sucessão ou sequência numérica na qual

cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior acrescido de uma

constante, chamada razão.

3.1.2 Notação

Exemplo:

, , , ...

3.1.3 Razão (r)

Exemplo:

3.1.4 Fórmula do Termo Geral

onde:

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é o - termo;

é o primeiro termo;

é o número de termos;

é a razão.

Exemplo:

Na P. A. 1, 3, 5, 7, ..., calcule o décimo termo.

Solução:

Dados:

Fórmula:

Cálculos:

3.1.5 Fórmula da Soma dos Termos

onde:

é a soma dos termos;


é o - termo;


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Exemplo 1:

ANPAD 2000 (Adaptada) – Uma gráfica cobra R$ 50,00 para imprimir 100

(cem) cartões de visita. Para cada centena adicional ela cobra R$ 2,50 a menos

do que a precedente. Assim sendo, o custo para imprimir 1.200 cartões será:

a) R$ 600,00.

b) R$ 572,50.

c) R$ 570,00.

d) R$ 435,00.

e) R$ 420,00.

Solução:

O sistema de cobrança da gráfica forma uma P. A. decrescente, na qual:

cuja razão é:

Devemos calcular a soma dos 12 primeiros termos dessa P. A. Mas antes

precisamos calcular o 12º termo.

Fórmulas:

Cálculos:


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Exemplo 2:

CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na



a) 961.

b) 1059.

c) 1451.

d) 1457.

e) 3151.

Solução:

Resolveremos agora a mesma questão da página 8, porém usando a fórmula do

termo geral de uma P. A.

Na quinta coluna do quadro acima temos uma P. A.: 5, 11, 17, ..., cuja razão é

igual a 6. O enunciado solicita que se calcule o termo de ordem 243.


3.1.6 Desafio

O leitor seria capaz de resolver a questão seguinte com um único cálculo, sem

empregar fórmulas?

Quantos múltiplos de 11 há entre 23 e 629?

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3.1.7 Dica

IFRS-Ano(?) – Quantos múltiplos de 2, 5 ou 7 existem entre 99 e 303?

A) 124.

B) 132.

C) 134.

D) 169.

E) 171.

Solução:

a) Múltiplos de 2 entre 99 e 303:

O primeiro termo da P.A. é 100 e o último é 302. A razão é 2. Então:

b) Múltiplos de 5 entre 99 e 303:


c) Múltiplos de 7 entre 99 e 303:


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d) Múltiplos de 2 e de 5 entre 99 e 303:


e) Múltiplos de 2 e de 7 entre 99 e 303:


f) Múltiplos de 5 e de 7 entre 99 e 303:


g) Múltiplos de 2, 5 e de 7 entre 99 e 303:


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Total:

Gabarito: Alternativa C.

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3.2 Curiosidades

3.2.1 Números Ímpares

Observe o seguinte:

Generalizando: sempre que somamos números ímpares em sequência (razão

igual a 2), partindo de 1, a soma é dada pelo quadrado da quantidade de números

somados.

Se somarmos os 10 primeiros termos da progressão acima, encontraremos como

resultado:

Agora veja como isto é cobrado em provas de Concursos Públicos...

Exemplo:

FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura ao

lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:

http://3.bp.blogspot.com/-hU0G0G5ZTm0/UqClMqzEsoI/AAAAAAAADdA/M2cC-vOKGLY/s1600/1Canteirodemudas.bmp

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I. uma muda em um dos vértices do triângulo;

II. três mudas na segunda fileira;

III. cinco mudas na terceira fileira;

IV. sete mudas na quarta fileira.

E assim por diante.

Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por

Pedro é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.

[Fonte: banco de questões do autor]

Solução:

Gabarito: Alternativa B.

Use o mesmo raciocínio e responda as seguintes questões:

1) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:

I. No galho superior colocou um enfeite;

II. No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;

III. No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;

IV. No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.

E assim por diante.

Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia

colocou nela é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.


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2) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha (figura a

seguir), de cima para baixo, tem-se:

I. cinco caixas no topo;

II. sete caixas na fileira logo abaixo;

III. nove caixas na terceira fileira;

IV. onze caixas na quarta fileira.

E assim por diante.

Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a

a) 225.

b) 289.

c) 324.

d) 361.

e) 396.


Dica: complete a sequência com os dois primeiros termos que faltam (1 e 3).

Lembre-se de que você acrescentou 2 fileiras extras às 18 existentes, ficando

agora com 20 fileiras e 4 caixotes extras...

Gabarito: alternativa E.

3.2.2 Números Pares com o Zero

O - termo da progressão acima é:

Soma dos primeiros termos:

22




Para obter a soma de números pares (começando com o zero), basta elevar a

quantidade de termos ao quadrado e, a seguir, subtrair a quantidade de termos.

Exemplo:

Vamos somar os 5 primeiros termos da progressão 0, 2, 4, 6, 8, ...

Somando manualmente: 0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 20

3.2.3 Números Pares sem o Zero

O - termo da progressão acima é:

Soma dos primeiros termos:

Para obter a soma de números pares (desconsiderando-se o zero), basta elevar a

quantidade de termos ao quadrado e, a seguir, adicionar a quantidade de termos.

23




Exemplo:

Vamos somar os 5 primeiros termos da progressão 2, 4, 6, 8, 10, ...

Somando manualmente: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

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3.3 Progressões Geométricas

3.3.1 Conceito

Progressão Geométrica (P. G.) é uma sucessão ou sequência numérica na qual

cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma

constante, chamada razão.

3.3.2 Notação

Exemplo:

, , , ...

3.3.3 Razão (q)

Exemplo:

3.3.4 Fórmula do Termo Geral

onde:

é o - termo;

25






é a razão.

Exemplo:

Na P. G.: , calcule o sexto termo.

Solução:

Dados:

Fórmula:

Cálculo:

3.3.5 Fórmulas da Soma dos Termos

3.3.5.1 Soma finita

Exemplo:

Calcule a soma dos seis primeiros termos da P. G.:

Solução:

Dados:

26




Fórmula:

Cálculo:

3.3.5.2 Soma infinita

A soma só converge para progressões geométricas decrescentes, ou seja, para

Exemplo:

Calcule a soma dos termos da P. G.:

Solução:

Dados:

Fórmula:

27




Cálculos:

3.3.6 Progressões Geométricas Especiais

3.3.6.1 P. G. Crescente

P. G. Crescente é aquela cuja razão é maior do que 1 .

Exemplo:

3.3.6.2 P. G. Decrescente

P. G. Decrescente é aquela cuja razão é maior do que zero e menor do que 1

.

Exemplo:

3.3.6.3 P. G. Monótona

P. G. Monótona é aquela cuja razão é igual a 1 .

Exemplo:

3.3.6.4 P. G. Alternada

P. G. Alternada aquele cuja razão é menor do que zero .

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Exemplo:

Na verdade, uma P. G. alternada não passa de uma falsa P. G.

3.3.7 Exercício Resolvido

FUNDATEC 2011 – O registro de um chuveiro

ficou mal fechado (figura ao lado), e, com isto,

gotas começaram a pingar. Um segundo após a

queda da primeira gota cai a segunda. A terceira

gota cai dois segundos depois da segunda; a

quarta gota cai quatro segundos depois da

terceira, a quinta cai oito segundos após a quarta,

e assim por diante. Mantidas essas condições,

após a queda da primeira gota, quanto tempo

decorrerá até décima gota cair?

A) 15.

B) 63.

C) 127.

D) 255

E) 511 [Fonte: banco de questões do autor]

Solução:

A sequência fica assim:

(1ª gota) (1s) (2ª gota) (2s) (3ª gota) (4s) (4ª gota) (8s) (5ª gota) ...

Não confunda a quantidade de gotas com a quantidade de intervalos de tempo!

Observe no esquema acima que há 5 gotas e 4 intervalos de tempo.

Para a questão em tela,

29




Cálculo:

Gabarito: Alternativa E.

30




4 Exercícios

1) O próximo número da sequência 111, 244, 510, 1042 é

A) 2216.

B) 2126.

C) 2106.

D) 2024.

E) 2011.

2) FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular, plantando mudas

de flores do seguinte modo:





E assim por diante.

Se esse jardim tem 15 fileiras, então o total de mudas plantadas por Pedro é

A) 125.

B) 225.

C) 375.

D) 450.

E) 540.

3) ANPAD 2007 – Considere a sequência de quadros, em que cada quadro é

dividido em nove casas numeradas, dispostas em linhas e colunas, da seguinte

maneira:

A posição que o número 2006 ocupa no quadro é

a) linha 1 e coluna 3

b) linha 2 e coluna 2

c) linha 2 e coluna 3

31




d) linha 3 e coluna 1

e) linha 3 e coluna 2

Esta questão está resolvida no livro "Raciocínio Lógico Informal". Para fazer o download acesse

o seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-concursos-500-

questoes.html (associe-se à comunidade Sou Integral para fazer o download)

4) ANPAD 2008 – O próximo número da sequência 1, 2, 3, 7, 46 é

a) 2110.

b) 2109.

c) 2108.

d) 2107.

e) 2106.

5) ANPAD 2004 – Observe a sequência de triângulos equiláteros:

Os números associados a cada um desses triângulos são chamados de números

triangulares. Desse modo, podemos dizer que o sétimo termo dessa sequência é

a) 15.

b) 21.

c) 28.

d) 32.

e) 36.

6) ANPAD 2008 – Dada a sequência de números 1, 20, 6, 15, 11, 10, ..., o

décimo primeiro e o décimo segundo termos (dessa sequência) são,

respectivamente,

a) 60 e 30.

b) 31 e -10.

c) 26 e -5.

d) 16 e 5.

http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-concursos-500-questoes.html

http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-concursos-500-questoes.html

32




e) 21 e 0.

7) ANPAD 2003 – Os números naturais não-nulos são dispostos de acordo com a

tabela abaixo:

Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3 Coluna 4

1 2 3

6 5 4

7 8 9

12 11 10

13 14 ...

... ... ...

Baseando-se na disposição apresentada na tabela, os números 2003 e 2006

ocuparão, respectivamente, as colunas

a) 4 e 1.

b) 1 e 4.

c) 3 e 2.

d) 2 e 3.

e) 1 e 3.

8) CEF/1998 – FCC. Imagine os números inteiros de 1 a 6.000, escritos na



a) 961.

b) 1059.

c) 1451.

d) 1457.

e) 3151.

33




9) FAURGS/2002 – Considere a disposição abaixo dos números inteiros

positivos:

A partir das disposições, analise as afirmações a seguir vinculadas a ela:


II. O número 150 aparece na12ª linha.


Quais são verdadeiros?

a) apenas o I.

b) apenas o II.

c) apenas o III.

d) apenas o I e o III.

e) O I, o II e o III.

10) ANPAD 2003 – O próximo número na sequência 2, 5, 11, 23, ... é

a) 35.

b) 39.

c) 41.

d) 47.

e) 49.

11) Júlia montou sua árvore de natal do seguinte modo:

I. No galho superior colocou um enfeite;

II. No segundo conjunto de galhos, logo abaixo, colocou três enfeites;

III. No terceiro conjunto de galhos colocou cinco enfeites;

IV. No quarto conjunto de galhos colocou sete enfeites.

E assim por diante.

34




Se essa árvore tem 15 conjuntos de galhos, então o total de enfeites que Júlia

colocou nela é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.


12) FUNDATEC 2010 – Pedro criou um jardim em forma triangular (ver figura

ao lado), plantando mudas de flores do seguinte modo:





E assim por diante.

Se esse jardim tem 15 fileiras de flores, então o total de mudas plantadas por

Pedro é igual a

a) 125.

b) 225.

c) 375.

d) 450.

e) 540.


13) Em um depósito há uma pilha de caixas. Observando-se a pilha de cima para

baixo (figura a seguir), tem-se:

http://3.bp.blogspot.com/-hU0G0G5ZTm0/UqClMqzEsoI/AAAAAAAADdA/M2cC-vOKGLY/s1600/1Canteirodemudas.bmp

35




I. cinco caixas no topo;

II. sete caixas na fileira logo abaixo;

III. nove caixas na terceira fileira;

IV. onze caixas na quarta fileira.

E assim por diante.

Se a pilha tem 18 fileiras, então o total de caixas é igual a

a) 225.

b) 289.

c) 324.

d) 361.

e) 396. Veja uma dica para resolver esta questão no seguinte link:


14) FUNDATEC 2010 – O registro de um

chuveiro ficou mal fechado (figura ao lado), e,

com isto, gotas começaram a pingar. Um

segundo após a queda da primeira gota cai a

segunda. A terceira gota cai dois segundos

depois da segunda; a quarta gota cai quatro

segundos depois da terceira, a quinta cai oito

segundos após a quarta, e assim por diante.

Mantidas essas condições, após a queda da

primeira gota, quanto tempo decorrerá até

décima gota cair?

A) 15.

B) 63.

C) 127.

D) 255

E) 511 [Fonte: banco de questões do autor]


36




15) FUNDATEC 2011 – Um relógio do tipo carrilhão

(figura ao lado) está com defeito e dá uma badalada à

zero hora (meia-noite). Um minuto depois dá a segunda

badalada. Passados outros dois minutos e nova

badalada é ouvida. Mais quatro minutos e soa a quarta

badalada. A quinta badalada é ouvida oito minutos

depois, e assim por diante. Mantidas essas condições,

após a primeira badalada, ouvir-se-á a décima badalada

às

A) 00h35min.

B) 01h03min.

C) 02h27min.

D) 06h15min.

E) 08h31min. [Fonte: banco de questões do autor]

16) O preço de um estacionamento é R$ 1,50 pela primeira hora ou fração da

hora. Após esse período, o valor da hora ou fração é R$ 1,00, decrescendo a cada

hora em progressão aritmética, até a décima segunda, cujo valor é R$ 0,40. Se

um automóvel ficar estacionado oito horas e meia nesse local, o motorista pagará

a) R$ 6,58.

b) R$ 6,96.

c) R$ 7,82.

d) R$ 8,04.

e) R$ 8,36.

Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". Para fazer o download acesse o

seguinte link:


(associe-se à comunidade Sou Integral para fazer o download)

17) Certo digitador, trabalhando sem interrupções, consegue dar 2.400 toques na

primeira hora de trabalho do dia, 1.200, na segunda hora, 600, na terceira, e

assim sucessivamente. O tempo mínimo necessário para que ele cumpra um

trabalho que exija 4.725 toques é

a) impossível de ser determinado.

b) 5 h.

c) 5 h e 10 min.

d) 5 h e 30 min.

e) 6 h.


37





seguinte link: https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/ (associe-se à

comunidade Sou Integral para fazer o download)

18) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma P.A.

onde a5 = 6 e a17 = 30.

a) 18.

b) 16.

c) 14.

d) 12.

e) 10.




19) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 =

2000, o valor de a5 é:

a) 20/3.

b) 18/7.

c) 16/5.

d) 14/5.

e) 12/7.




20) Sabendo-se que: 161

5

1

25

1

125

67

12x ... , o valor de x é:

a) 3/16.

b) 1/3.

c) 33/56.

d) 55/16.

e) 33/8.








38




21) As idades de Bruno, Magno e André estão, nesta ordem, em progressão

aritmética. Sabendo-se que Bruno tem 19 anos e André 53 anos, a idade de

Magno é:

a) 14.

b) 27.

c) 30.

d) 33.

e) 36.




22) Uma sequência de números é formada da seguinte maneira: o primeiro termo

é igual a 1, isto é, . Qualquer elemento da sequência é encontrado pelo

termo geral, . O sexto termo dessa sequência é igual a:

a) 10.

b) 21.

c) 23.

d) 25.

e) 27. Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". Para fazer o download acesse o



23) As idades de três irmãos estão, nesta ordem, em progressão aritmética.

Sabendo-se que o mais jovem tem 21 anos e o mais velho 55 anos, a idade do

irmão do meio é:

a) 16.

b) 29.

c) 32.

d) 35.




24) Sobre uma superfície plana têm-se 3 blocos iguais empilhados, com 13 faces

expostas, conforme mostra a figura abaixo.




39




Se forem empilhados 25 desses blocos, o número de faces expostas será

a) 125.

b) 121.

c) 111.

d) 105.




25) Sofia guardou 320 balas em várias caixas, de modo que a segunda caixa ficou

com tantas balas quanto a primeira; a terceira ficou com tantas balas quanto as

duas anteriores juntas; a quarta caixa ficou com igual número de balas que a

soma das três anteriores e assim por diante, até guardar todas as balas. Quantas

balas Sofia guardou na primeira caixa, sabendo que ela usou o maior número de

caixas possível?

a) 8.

b) 10.

c) 5.

d) 16.




26) Se , então “ ” vale?

a) 9.

b) 10.

c) 9/10.

d) 1/9.

e) 1/10.







40




27) As idades de três irmãos estão, nesta ordem, em progressão aritmética.

Sabendo-se que o mais jovem tem 21 anos e o mais velho 55 anos, a idade do

irmão do meio é:

a) 16.

b) 29.

c) 32.

d) 35.

e) 38.




28) São dados 3 números inteiros em P. G. cuja soma é 26. Determine esses

números, sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro

formam uma P. A.

a) 2, 6, 18.

b) 16, 8, 2.

c) 18, 6, 2.

d) 2, 8, 16.

e) 6, 8, 12.




29) Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área

formam, nessa ordem, uma PG de razão 8. Então a medida da base vale?

a) 8.

b) 6.

c) 16.

d) 12.

e) 18.







41




30) ANPAD 2006 – Roberval plantou 165 mudas de árvores frutíferas, de modo

que, no segundo canteiro, plantou o dobro de mudas do primeiro; no terceiro,

plantou tantas mudas quantas nos dois anteriores juntos; no quarto canteiro,

plantou um número de mudas igual à soma do primeiro canteiro com o canteiro

anterior, no quinto canteiro, plantou um número de mudas igual à soma do

primeiro canteiro com o canteiro anterior e assim por diante, até plantar todas as

mudas. Sabendo-se que ele usou o maior número de canteiros possível e o

número de canteiros é menor que 12, em quantos canteiros ele plantou as mudas?

a) 11.

b) 10.

c) 9.

d) 8.

e) 7.

31) ANPAD 2006 – Seja Q1 um quadrado de lado 2 cm, cujos vértices são

, e cujos lados são , , e . Consideremos os pontos médios

dos respectivos lados citados de Q1 e construímos um novo

quadrilátero Q2, cujos lados são , ,

e . Consideremos os

pontos médios dos respectivos lados citados de Q2 e construímos

um novo quadrilátero Q3, cujos lados são , ,

e . Seguiremos

esse procedimento até construir o quadrilátero Q5. Assim, a soma das áreas Q1 +

Q2 + Q3 + Q4 + Q5 é

a)

.

b)

.

c)

.

d) .

e) .

32) ANPAD 2006 – Se , o

valor de pode ser

a) 1/27.

b) 1/4.

c) 1/2.

d) 2.

42




e) 27

33) ANPAD 2008 – Para cavar um poço de 52 metros cúbicos, Mário receberá

R$ 0,50 para cada um dos primeiros cinco metros cúbicos cavados, além de R$

1,00 para cada um dos 5 metros cúbicos seguintes cavados, e assim por diante,

duplicando sempre o valor por metro cúbico a cada cinco metros cúbicos

cavados. Assim, para cavar o 52º metro cúbico, Mário receberá

a) R$ 64,00.

b) R$ 256,00.

c) R$ 512,00.

d) R$ 1.024,00.

e) R$ 2.048,00.

34) ANPAD 2009 – Dada a sequência , , , ..., , ..., em que = 5, = 9

e = 13, então um possível valor para é

a) 204.

b) 189.

c) 165.

d) 95.

e) 79.

35) ANPAD 2009 – Observe as figuras abaixo, formadas por 3, 5 e 7 palitos.

O número máximo de triângulos do mesmo tamanho (menor triângulo) que se

pode formar com 133 palitos é

a) 68.

b) 66

c) 64.

d) 62.

e) 59.

43




36) ANPAD 2009 – Nelson fez ao seu neto Luiz a seguinte proposta: pagaria a

quantia de um centavo pela primeira tarefa e dobraria o valor do pagamento a

cada tarefa realizada. Considerando-se que log(2) = 0,3, o número mínimo de

tarefas que Luiz deverá realizar para receber R$ 100,00 pela tarefa é

a) 8.

b) 15.

c) 18.

d) 21.

e) 30.

37) ANPAD 2009 – Certo relógio de ponteiro toca da seguinte forma: um

número de vezes correspondente às horas (uma vez à 1h, duas vezes às 2h e

assim por diante até às 12h, quando reinicia toda a contagem) e uma vez nas

frações de meia hora (0h30min, 1h30min e assim por diante). O número de

toques que esse relógio dá entre 0h15min e 18h15min é igual a

a) 189.

b) 162.

c) 116.

d) 117.

e) 99.

38) ANPAD 2010 – A expressão 1

+

vale

a) 12.

b) 10.

c) 7.

d) 6.

e) 5.

39) ANPAD 2010 – Seja dada a sequência de números x, 3/2, 4, 15/2, 12, 35/2,

24, 63/2, 40, y. O primeiro (x) e o décimo (y) valor da sequência são,

respectivamente,

a) 4 e 85/2.

b) 0 e 99/2.

c) 0 e 95/2.

d) -1 e 95/2.

44




e) -1 e 99/2.

40) ANPAD 2011 – A expressão do termo geral de uma progressão geométrica é

definida por

. Logo, a soma dos 15 primeiros termos dessa

progressão é igual a

a)

b)

c)

d)

e) 2

41) ANPAD 2011 – Se a sequência (a, x, a2, 4a) forma uma progressão

aritmética não constante, então a soma desses quatro termos é igual a

a) 24.

b) 27.

c) 30.

d) 36.

e) 42.

42) ANPAD 2012 – A soma de três números em progressão geométrica é igual a

105. Multiplicando o primeiro termo por 4, o do meio por 5 e o último por 4, a

nova sequência será uma progressão aritmética.

Então, o termo do meio da progressão geométrica é

a) 20.

b) 30.

c) 40.

d) 50.

e) 60.

45




43) ANPAD 2007 – Seja uma progressão aritmética, em que é oito vezes a

razão e é igual a 148. Então, o valor da razão dessa progressão é

a) 7/2.

b) 5/2.

c) 2.

d) 3.

e) 4.

44) ANPAD 2012 – Considerando as progressões geométricas (PG) e as

progressões aritméticas (PA), analise a veracidade de cada uma das seguintes

proposições:

I. Em uma PG com a2 = 2 e a7 = , a razão é igual a 2.

II. A soma da sequência (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,

39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49) pertence ao conjunto {1025, 1208,

1219, 1225, 1227}.

III. Em uma PA com a4 = 10 e a6 = 14, o primeiro termo é igual a 2.

IV. A soma dos n termos de qualquer PG de razão 0 < q < 1 é menor que 1.

Logo, pode-se concluir que

a) somente III é falsa.

b) somente I e II são verdadeiras.

c) somente II e IV são verdadeiras.

d) somente III e IV são verdadeiras.

e) I, II, III e IV são verdadeiras.

45) ANPAD 2013 – Considere a seguinte sequência de quadrados: o primeiro

quadrado da sequência tem lado e, a partir de um quadrado da sequência,

constrói-se o seguinte de maneira que os vértices do novo quadrado estão

localizados nos pontos médios dos lados do quadrado anterior (veja a figura

abaixo)

46




Quanto mede o lado do 5º quadrado dessa sequência?

a)

b)

c)

d)

e)

46) ANPAD 2013 – Seja uma progressão geométrica de razão 4 cujo primeiro

termo é 2. Considere agora a sequência formada pelo logaritmo na base 2 dos

termos da progressão , ou seja, .

Então a soma é igual a

a) 50.

b) 80.

c) 100.

d) . e)

.

47) ANPAD 2014 – A sequência de números positivos forma uma

progressão geométrica de razão . O valor da expressão

a) depende de q.

b) depende de x.

c) é 10-3

.

d) é 3.

e) é -3.

48) ANPAD 2015 – Uma população é constituída por 3 observações que formam uma progressão aritmética crescente. Se o desvio-padrão

dessa população é , então a razão dessa progressão vale,

47




a) .

b) 3.

c) .

d) .

e) 4.

49) ANPAD 2015 – Uma progressão aritmética é tal que seu primeiro termo é

igual a 3 e a média aritmética dos seus nove primeiros termos é igual a 9. A razão

dessa progressão aritmética é igual a

a) 3/8.

b) 3/4.

c) 3/2.

d) 4/3.

e) 2.

50) ANPAD 2008 – Afonso, Bruna, Célia, Danilo e Eduardo são irmãos cujos

nomes formam uma sequência segundo a ordem em que nasceram, sendo Afonso

o mais velho. O fato curioso é que as idades dos três homens formam uma

progressão geométrica e as dos cinco irmãos formam uma progressão aritmética.

Se a soma de todas a idades for igual a 100, a soma das idades dos três homens é

a) 36.

b) 44.

c) 52.

d) 68.

e) 72.

51) ANPAD 2008 – Os números e 12 formam, nessa ordem, uma

progressão geométrica. Os números 12, e , formam, nessa ordem, uma

progressão aritmética. Pode-se afirmar que um possível valor para a soma

é

a) 11.

b) 9.

c) 3.

d) 3.

e) 9.

48




Gabarito

1-C 2-B 3-E 4-B 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-D

11-B 12-B 13-E 14-E 15-E 16-D 17-E 18-D 19-C 20-B

21-E 22-B 23-E 24-E 25-C 26-C 27-E 28-C 29-C 30-B

31-A 32-D 33-C 34-C 35-B 36-B 37-D 38-E 39-B 40-A

41-C 42-B 43-E 44-B 45-C 46-C 47-E 48-B 49-C 50-C

51-C

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"Você pode conseguir tudo o que quiser na vida, desde que ajude um número suficientemente

grande de pessoas a conseguirem o que elas querem." [Zig Ziglar]


49




5 Instituto Integral Editora - Catálogo

1. Raciocínio Lógico Formal

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226115228543

2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/ 3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


452690272552/

4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade


512393299915/

5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


788225172332/













50




7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II

http://edu.institutointegral.com.br/cadernodetestesa

npad

8. 500 questões resolvidas


787848505703/ 9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória


897222294764/

10. Caderno RQ5 – Probabilidade

https://www.facebook.com/groups/souintegral/files

11. Caderno RQ6 – Estatística


12. Caderno RQ7 – Funções











51




13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes


15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,

Geometria Espacial, Geometria Analítica


16. Caderno RQ11 – Matemática

Básica


17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro

Grau – 1 ou 2 incógnitas







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Caderno RQ10 - Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas

Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques

Caderno RQ12 – Geometrias Plana, Espacial e Analítica

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- Estratégias para a prova

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55




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- O que é um flash card?

- Como confeccionar um flash card?

- Como memorizar o conteúdo de um flash card?

- Uso de flash cards nas operações lógicas

- Aplicações dos flash cards nas operações

lógicas

- - Aplicações dos flash cards no argumento

lógico dedutivo

- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas

notáveis

- Uso de flash cards em Tautologias,

Contradições e Contingências

- Uso dos flash cards nas negações:

Leis de De Morgan

Negação da Condição

Negação da bicondição

Negação das proposições categóricas:

todo, nenhum, algum, algum não é

Disponível em:

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Também disponível aqui:


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56




6 Currículo Informal

Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por

minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.

Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em

dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.

Ali nasceu o gosto por ensinar...

Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha

mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá

para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e

espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes

deliciosos e irresistíveis.

Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de

Matemática, Estatística e Matemática Financeira.

Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de

Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um

professor amigo, durante o ano de 1980.

Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico

Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas

conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica

de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois

conheci o Padre Chico.

Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o

Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.

O Padre Chico

Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um

nome impronunciável em português.

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Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de

aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia

de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!

Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim

(Alemanha).

Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi

jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada

explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico

gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.

Primeira Lição

Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre

Chico a respeito da Lógica Formal.

– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com

sua peculiar cordialidade.

– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas

conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de

aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.

– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares

raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente

filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância

na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a

Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.

Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.

“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,

pensei.

– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,

“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de

Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou

matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa

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confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou

interpretando erroneamente seus conceitos.”

...

Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um

dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.

Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a

faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia

Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi

interrompido, e só foi concluído em 1998.

Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.

De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,

Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para

concursos públicos.

Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar

candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar

Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).

De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na

Esade e na Unifin.

Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras

FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para

diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e

Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.

Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa

Federal.

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

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Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!

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