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Caderno RQ4

Análise Combinatória

Prof. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL

Caderno RQ4


. Milton Araujo

INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegralead.com.br

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Acompanhe a série de dicas

Sumário

1 INTRODUÇÃO ................................

2 PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ................................

4 PERMUTAÇÃO COM REPET

5 ARRANJO SIMPLES ................................

5.1 CÁLCULO DE ARRANJO SIMPLES SEM FÓRMULA

6 ARRANJO COM REPETIÇÕES

7 COMBINAÇÃO SIMPLES ................................

7.1 CÁLCULO DE COMBINAÇÃO

8 COMBINAÇÃO COM REPET

9 RESUMO ................................

9.1 PERMUTAÇÃO ................................

9.2 ARRANJO................................

9.3 COMBINAÇÃO ................................

10 EXERCÍCIOS ................................

11 TESTES ................................

12 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA

Acompanhe a série de dicas, macetes e atalhos no blog: http://profmilton.blogspot.com.br/

................................................................................................................................

L DA CONTAGEM ................................................................

................................................................................................

PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÕES ................................................................................................

................................................................................................

IMPLES SEM FÓRMULA ................................................................

ES ................................................................................................

................................................................................................

OMBINAÇÃO SIMPLES SEM FÓRMULA ................................................................

COMBINAÇÃO COM REPETIÇÕES ................................................................................................

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DITORA - CATÁLOGO ................................................................

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http://profmilton.blogspot.com.br/

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Atenção! Nosso material didático passa por constantes revisões e atualizações, seja para corrigir erros, seja para melhorar as explicações em alguns tópicos. Isto é feito com recebemos mensalmente. Mantenha seu material didático sempre atualizado! Consulte periodicamente nossa pasta pública, na qual todo o nosso material didático é mantido: http://www.facebook.com/groups/souintegral/ Cadastre-se também aqui ou aqui http://mga960.klicksite.com.br/premail, informações e atualizações em primeira mão. Este material é parte integrante dos nossos cursos a distância. Por contrato assinado com a RB (empresa que tem os direitos de veiculação dos nossos cursos online), não poderemos mantêpor muito tempo. Por isto, é acoCadastro por e-mail, pois apenas para os integrantes da Lista Preferencialretirado da circulação pública e gratuita. Por gentileza, repasse esse material para seus melhores amigos. Obrigado! Participe do nosso projeto: it-forward-corrente-do-


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base nas centenas de dúvidas e sugestões que

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1 Introdução

A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos demais concorrentes. Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas dicas que poderão ajudá-maioria das questões. Primeira: trabalharemos sempre com a ideia de Segunda: Na Permutação, pretendesomente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (napenas em embaralhar os Terceira: No Arranjo, onúmero de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no Arranjo, vagas (p): e trocandodiferente. Quarta: Na Combinação, onúmero de elementos, não importando a ordem dresultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos (maior do que o número de vagas (elementos em cada resultado, forma O assunto não é difícil! Como quase motivação para ser encarado e vencido. Então... Vamos começar?


“Só quem constrói o futuro tem o direito de julgar o passado.

A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos

Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas -lo a encaminhar, sem grandes sobressaltos, a solução da

trabalharemos sempre com a ideia de candidatos (n) e de vagas (

Segunda: Na Permutação, pretende-se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o

n) é igual ao número de vagas (p) e a solução consiste os n elementos do conjunto dado.

Terceira: No Arranjo, os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de

e trocando-se a ordem dos elementos forma-se um resultado

Quarta: Na Combinação, os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos (maior do que o número de vagas (p): e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, forma-se um conjunto igual.

O assunto não é difícil! Como quase tudo na Matemática, só requer paciência e motivação para ser encarado e vencido.

Então... Vamos começar?

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Só quem constrói o futuro tem o direito de julgar o passado.” [Nietzsche]

A Análise Combinatória é um tópico pouco apreciado pelos estudantes. Muitos deixam de estudar o assunto e perdem boas oportunidades de se destacarem dos

Para que o leitor se sinta motivado a aprender o assunto, deixarei aqui algumas lo a encaminhar, sem grandes sobressaltos, a solução da

de vagas (p).

mar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o

) e a solução consiste

s agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de

) é maior do que o número de se um resultado

s agrupamentos formados diferem entre si pelo esses elementos no

resultado.Em outras palavras, na Combinação, o número de candidatos (n) é se a ordem dos

só requer paciência e


2 Princípio Fundamental da

Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico. Exemplo: Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores (c, d, e). De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios? Solução: Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”), pode-se compreender o raciocínio.

Resposta: Há 6 maneiras de se entrar no prédio e acessar um dos Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental da Contagem, enunciado do seguinte modo: “O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado pelo produto dos números de possibilidades de ocorreeventos.”


Fundamental da Contagem

Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico.

Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores (c, d, e). De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios?

Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”), compreender o raciocínio.

A partir do diagrama ao lado, formamos todos os pares possíveis: (a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e) Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total de possibilidades, basta-nos raciocinar da seguinte maneira: Para cada entrada, tem-se 3 elevadores. Em matemática, a palavra cadamultiplicação. Note que, para cada uma das 2 entradas, há 3 elevadores disponíveis. Logo, 2 × 3 = 6

: Há 6 maneiras de se entrar no prédio e acessar um dos escritórios.

Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental da Contagem, enunciado do seguinte modo:

“O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado pelo produto dos números de possibilidades de ocorrer cada um dos

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Vamos ilustrar o modo de raciocinar a contagem com um exemplo básico.

Um prédio de escritórios tem 2 entradas (a, b) e 3 elevadores (c, d, e). De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios?

Por meio do diagrama abaixo (também chamado de “árvore das possibilidades”),

A partir do diagrama ao lado, formamos todos os

(a, c); (a, d); (a, e); (b, c); (b, d); (b, e)

Se o nosso objetivo for encontrar apenas o total nos raciocinar da

se 3 elevadores. Em cada significa

uma das 2 entradas, há 3 elevadores disponíveis. Logo, 2 × 3 = 6

escritórios.

Este exemplo ilustra um raciocínio que é conhecido como princípio fundamental

“O número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de eventos é dado r cada um dos


Em palavras simples: princípios de contagem são princípios multiplicativos, isto é, faz-se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de multiplicações. Desafio: Tendo assimilado o conceito acima, o leitor esto seguinte problema: Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar um dos escritórios? Resposta: 120. Fatorial de um número Natural Símbolo: ! O símbolo "!" ao lado de um número significa fatorial deste número e é calculado do seguinte modo:

!

Exemplo: 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 120

Por definição: 1! = 1 e 0! = 1


Em palavras simples: princípios de contagem são princípios multiplicativos, isto se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de

Tendo assimilado o conceito acima, o leitor estará apto a responder rapidamente

Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar

Fatorial de um número Natural n

O símbolo "!" ao lado de um número significa fatorial deste número e é calculado

1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ …∙ 1

120

Por definição: 1! = 1 e 0! = 1

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Em palavras simples: princípios de contagem são princípios multiplicativos, isto se contagens de arranjos e combinações de maneira rápida por meio de

ará apto a responder rapidamente

Um prédio de escritórios tem 2 entradas, 3 elevadores, 4 andares e 5 escritórios por andar. De quantas maneiras uma pessoa consegue entrar no prédio e acessar

O símbolo "!" ao lado de um número significa fatorial deste número e é calculado


3 Permutação Simples

Uma Permutação simples de desses n elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são todos distintos, isto é, não há Fórmula:

A simbolização é lida como Exemplo: Com as cores azul, verde e vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com três listras cada uma. Sem repetir cores, quantas bandeirinhas com essas três cores? Solução 1: Formar os conjuntos manualmente:

Azul Azul Verde Vermelha

Vermelha Verde

Resposta: Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada uma, sem repetir cores. Imagine você fazer o esquema acima com 5 cores e 5 listras... Solução 2: Usando a fórmula da Permutação, com


Permutação Simples

Uma Permutação simples de n elementos de um dado conjunto é uma sequência elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos

determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são , isto é, não há elementos repetidos.

!

é lida como: “Permutação de n elementos”

Com as cores azul, verde e vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com três listras cada uma. Sem repetir cores, quantas bandeirinhas será possível pintar

Formar os conjuntos manualmente:

Verde Verde Vermelha Vermelha Azul Vermelha Azul

Vermelha Azul Verde

Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada

Imagine você fazer o esquema acima com 5 cores e 5 listras...

Usando a fórmula da Permutação, com n = 3: P 3! 3 ∙ 2 ∙ 1

6


elementos de um dado conjunto é uma sequência elementos, de modo que cada mudança na ordem desses elementos

determina uma permutação diferente. Os elementos a serem permutados são

Com as cores azul, verde e vermelha, uma pessoa deseja pintar bandeirinhas com será possível pintar

Vermelha Verde Azul


6


Resposta: Com as três cores disponíveis é possível pintar 6 bandeirinhas com 3 listras cada uma, sem repetir cores. Outro exemplo: Com as letras da palavra ESCOLA: a) Quantos anagramas* podemos formar? [(*) Nota: “anagrama” é um conjunto formado com palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da palavra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com significado.] Solução: Basta calcularmos a Permutação de P 6! 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2

Resposta: Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas. b) Quantos anagramas começam com a letra E? Solução: Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no começo da palavra. Assim, restam P 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Resposta: É possível formar 120 anagramas que começam



Com as letras da palavra ESCOLA:

a) Quantos anagramas* podemos formar?

Nota: “anagrama” é um conjunto formado com todas as letras de uma palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da

vra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com

Basta calcularmos a Permutação de n = 6 elementos:

∙ 1 720

Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas.

Quantos anagramas começam com a letra E?

Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no começo da palavra. Assim, restam n = 5 letras:

120

É possível formar 120 anagramas que começam com a letra E.

7



as letras de uma palavra sob qualquer ordenamento. Exemplo: CSOLEA é um anagrama da

vra ESCOLA. Veja que um anagrama não precisa formar uma palavra com

Com as 6 letras da palavra ESCOLA é possível formar 720 anagramas.

Veja que a letra E não participará do embaralhamento, pois permanecerá fixa no


c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A? Solução: Agora são as letras E e A que não participarão do embaralhamento. Restam, portanto, n = 4 letras: P 4! 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 24

Resposta: É possível formar 24 anagramas letra A. d) Em quantos anagramas aparece a sílaba LA? Solução: Observe o esquema a seguir:

E Veja que as letras LA devem permanecer juntas e sempre Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido. P 5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

Resposta: É possível formar 120 anagramas que contêm a sílaba LA. e) Em quantos anagramas aparecem Solução: Observe o esquema a seguir:

ES


c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A?

Agora são as letras E e A que não participarão do embaralhamento. Restam,

24

É possível formar 24 anagramas que começam com a letra E e terminam com a

d) Em quantos anagramas aparece a sílaba LA?

Observe o esquema a seguir:

S C O LA

as letras LA devem permanecer juntas e sempre nesta ordem

Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido.

120

É possível formar 120 anagramas que contêm a sílaba LA.

e) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E e S?

Observe o esquema a seguir:

C O L A

8


c) Quantos anagramas começam com a letra E e terminam com a letra A?

Agora são as letras E e A que não participarão do embaralhamento. Restam,

que começam com a letra E e terminam com a

nesta ordem.

Se embaralharmos os cartões acima, teremos o total de anagramas pedido.


ou SE

Veja que agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem. Podemos raciocinar do seguinte modo: (1) há um embaralhamento sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse embaralhamento é dado pela permutação de 5:

(2) Há também um embaralhamento cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as letras E e S podem se apresentar como: E

O resultado final é dado por Resposta: É possível formar 240 anagramas com as letras E e S juntas. Desafio: f) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E, S e L? Dica: Coloque as letras E, S e L em um único cartão e faça os embaralhamentos (permutações) externo e

Resposta: 144.


C O L A

agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem.

Podemos raciocinar do seguinte modo:

(1) há um embaralhamento externo, que consiste em se embaralhar os cartões, sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse

aralhamento é dado pela permutação de 5:

5! 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 120

(2) Há também um embaralhamento interno, que consiste em se observar se há cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as letras E e S podem se apresentar como: ES ou SE, ou seja, permutação de 2:

2! 2 ∙ 1 2

O resultado final é dado por ∙ 5! ∙ 2! 120 ∙ 2 240

É possível formar 240 anagramas com as letras E e S juntas.

f) Em quantos anagramas aparecem juntas as letras E, S e L?

Dica: Coloque as letras E, S e L em um único cartão e faça os embaralhamentos interno.

ESL C O A

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agora as letras E e S devem permanecer juntas, em qualquer ordem.

, que consiste em se embaralhar os cartões, sem nos preocuparmos com o conteúdo de cada cartão. O resultado desse

, que consiste em se observar se há cartões com letras que podem se apresentar em qualquer ordem. Neste caso, as

S ou SE, ou seja, permutação de 2:

Dica: Coloque as letras E, S e L em um único cartão e faça os embaralhamentos


4 Permutação com Repetições

Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornandolevar em conta que tais elementos não geram novos resultados, e, desse modo, tais conjuntos devem ser retirados da contagem. Por exemplo: Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma palavra diferente. Fórmula:

onde:

, ,… significa "Permutação de n é o número de elementos a serem permutados;a, b, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento. Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra CLORO? Solução: Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o fatorial de 5 pelo fatorial de 2.

5!

2!

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙

2 ∙ 1 Resposta: A palavra CLORO tem 60 anagramas.


Permutação com Repetições

Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornandoem conta que tais elementos não geram novos resultados, e, desse modo,

tais conjuntos devem ser retirados da contagem.

Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma

, ,… !

! ∙ ! ∙ …

significa "Permutação de n elementos com repetições"; é o número de elementos a serem permutados;

, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento.

Quantos anagramas tem a palavra CLORO?

Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o fatorial de 5 pelo fatorial de 2.

160

A palavra CLORO tem 60 anagramas.

10


Nas permutações com repetições há elementos repetidos, tornando-se necessário em conta que tais elementos não geram novos resultados, e, desse modo,

Na palavra CLORO, se trocarmos as duas letras O de lugar não teremos uma

, ... representam as quantidades de repetições de cada elemento.

Como há duas letras O dentre as 5 letras da palavra CLORO, devemos dividir o


Exercícios Resolvidos: 1) Quantos são os anagramas da Solução: Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo

, 6!

3! ∙ 2!

6 ∙ 5 ∙ 4

3 ∙ 2 ∙ Resposta: A palavra BANANA tem 60 anagramas. 2) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUnúmero de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtémequivalente a a) 1/3. b) 1/2. c) 3/5. d) 2/3. e) 3/2. Solução: ITAQUAQUECETUBA tem 15 letras (2 letras T, 3 letras A, 2 letras Q, 3 letras

. . . .15!

3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2 PINDAMONHANGABA tem 15 letras (3 letras N, 4 letras A.

.15!

3! ∙ 4!


1) Quantos são os anagramas da palavra BANANA?

Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

∙ 1 ∙ 2 ∙ 160

A palavra BANANA tem 60 anagramas.

se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUnúmero de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtém

ITAQUAQUECETUBA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições:2 letras T, 3 letras A, 2 letras Q, 3 letras U, 2 letras E.

2! ∙ 2!

PINDAMONHANGABA tem 15 letras (n = 15), com as seguintes repetições:

11


Há três letras A e duas letras N dentre as 6 letras da palavra BANANA, logo

se o número de anagramas da palavra ITAQUAQUECETUBA pelo número de anagramas da palavra PINDAMONHANGABA, obtém-se uma fração

= 15), com as seguintes repetições:

= 15), com as seguintes repetições:


Dividindo-se um resultado pelo outro (conforme solicita o

15!3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2!

15!3! ∙ 4!

Resposta: Alternativa B. Retomando-se o exemplo com a palavra ESCOLA, responda: a) Quantas palavras com 3 letras podemos formar? b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar? Veja que agora

n = 6 p = 3 O número de candidatos Sempre que isto acontecer, é necessário tomar uma Combinação. Para tomar tal decisão, retire uma possível resposta da questão. Por exemplo, no item a solicita-se a quantidade de a partir das letras da palavra ESCOLA. ESC é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra ESCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a palavra tenha sentido! Faça uma troca de dois elementos nesta possível resposta: SEC Agora, compare os dois resultados: ESC e SEC.


se um resultado pelo outro (conforme solicita o comando

15!

3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2! ∙ 2!∙3! ∙ 4!

15!

3! ∙ 4!

3! ∙ 3! ∙ 2! ∙ 2

Alternativa B.

se o exemplo com a palavra ESCOLA, responda:

a) Quantas palavras com 3 letras podemos formar?

b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar?

(n) é maior do que o número de vagas (p)

Sempre que isto acontecer, é necessário tomar uma decisão entre Arranjo e

, retire uma possível resposta da questão. Por exemplo, no se a quantidade de palavras com 3 letras que podem ser formadas

a partir das letras da palavra ESCOLA.

é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra SCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a

Faça uma troca de dois elementos nesta possível resposta:

Agora, compare os dois resultados: ESC e SEC.

12


comando da questão):

2! ∙ 2!

1

2

)

entre Arranjo e

, retire uma possível resposta da questão. Por exemplo, no com 3 letras que podem ser formadas

é uma das palavras com 3 letras. Note que quaisquer 3 letras da palavra SCOLA formará uma nova palavra com 3 letras. Aqui não é necessário que a


Veja que as palavras são diferentes! Isto nos inno resultado é relevantediferente. Quando isto ocorre, resolve Faremos a mesma análise com relação ao item b) Quantos conjuntos com 3 letras Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior: {E, S, C} Trocando-se a posição de dois elementos no conjunto acima, tem Observe que os conjuntos não importa a ordem com que os elementos se apresentam dentro do conjunto. O conjunto é o mesmo! Isto nos diz que a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante Quando isto ocorre, resolve Passaremos agora a ver por meio de fórmulas, quanto seu o uso delas...


Veja que as palavras são diferentes! Isto nos informa que a ordem dos elementos no resultado é relevante, isto é, a troca de dois elementos cria uma resposta

Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Arranjo.

Faremos a mesma análise com relação ao item

b) Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar?

Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior:

se a posição de dois elementos no conjunto acima, tem-se:

Observe que os conjuntos {E, S, C} e {S, E, C} são o mesmo conjunto, não importa a ordem com que os elementos se apresentam dentro do conjunto. O

a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante

Quando isto ocorre, resolve-se a questão por Combinação.

como calcular Arranjos e Combinações simples, tanto por meio de fórmulas, quanto seu o uso delas...

13


a ordem dos elementos , isto é, a troca de dois elementos cria uma resposta

Tomaremos aqui o mesmo grupo de letras que usamos para a análise anterior:

se: {S, E, C}.

são o mesmo conjunto, isto é, não importa a ordem com que os elementos se apresentam dentro do conjunto. O

a ordem dos elementos no resultado NÃO É relevante.

como calcular Arranjos e Combinações simples, tanto


5 Arranjo Simples

Fórmula:

onde:

, é lido como "Arranjo de

n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados;p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. Exemplo: Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as letras da palavra ESCOLA? Solução: Já tomamos a decisão de resolver a análise feita anteriormente!) Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomandoou:

,

6

6

Resposta: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120 com 3 letras.

5.1 Cálculo de Arranjo Simples sem fórmula

Para desenvolver o Arranjo de proceda do seguinte modo:


Arranjo Simples

,

!

!

é lido como "Arranjo de n elementos, tomados p a p."

é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados.

Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as letras da palavra

Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de um Arranjo (leia a análise feita anteriormente!)

Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomando

6!

3 !

6!

3!

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3!6 ∙ 5 ∙ 4 120

: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120

Cálculo de Arranjo Simples sem fórmula

Para desenvolver o Arranjo de n elementos tomados p a p, sem o uso da fórmula, proceda do seguinte modo:

,

14


Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as letras da palavra

questão por meio de um Arranjo (leia a

Basta calcularmos o Arranjo das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3 a 3,

120

: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 120 palavras

, sem o uso da fórmula,


Desenvolva o fatorial de Exemplo:

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, pois p = 3. Outro exemplo:

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois Exercícios: Calcule, sem o uso da fórmula, os seguintes Arranjos: a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) ,

h) ,


Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p de fatores.

, 6 ∙ 5 ∙ 4 120

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator,

, 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 1680

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois p

sem o uso da fórmula, os seguintes Arranjos:

15


de fatores.


= 4.


6 Arranjo com Repetições

Exemplo: Quantas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3 letras e 4 algarismos? Solução: Sabe-se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos repetidos, por exemplo: AAQ Note que a placa deve conter letras Faremos a contagem separadamente e encontrados. Letras: n = 26 p = 3

26 17576 Algarismos: n = 26 p = 3

10 10000

Resposta: É possível emplacar 175.760.000 de veículos.


com Repetições

tas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3

se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos repetidos, por exemplo: AAQ-7785.

Note que a placa deve conter letras e algarismos.

Faremos a contagem separadamente e multiplicaremos

∙ 175.760.000

É possível emplacar 175.760.000 de veículos.

16


tas são as possibilidades de se formar placas de veículos automotores com 3

se que uma placa de carro pode conter tanto letras, quanto algarismos

os resultados


7 Combinação Simples

Fórmula:

Onde:

, é lido como "Combinação de

n é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados;p é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados. Exemplo: Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar com as ESCOLA? Solução: Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Combinação. Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomandoa 3, ou:

,

6!

3! ∙ 6

Resposta: Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras cada um.

7.1 Cálculo de Combinação Simples sem fórmula

Para desenvolver a Combinação de fórmula, proceda do seguinte modo:


Combinação Simples

,

!

! ∙ !

é lido como "Combinação de n elementos, tomados p a p."

é o número de elementos (candidatos) a serem arranjados; é o número de vagas nos agrupamentos a serem formados.

Quantos conjuntos com 3 letras podemos formar com as letras da palavra

Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Combinação.

Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomando

!

3 !

6!

3! ∙ 3!

6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!

3! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

6 ∙ 5 ∙ 4

3 ∙ 2 ∙ 1

Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras

Cálculo de Combinação Simples sem fórmula

Para desenvolver a Combinação de n elementos tomados p a p, sem o uso da fórmula, proceda do seguinte modo:

17


letras da palavra

Já tomamos a decisão de resolver a questão por meio de uma Combinação.

Basta calcularmos a Combinação das 6 letras da palavra ESCOLA tomando-as 3

20

Com as letras da palavra ESCOLA é possível formar 20 conjuntos com 3 letras

Cálculo de Combinação Simples sem fórmula

, sem o uso da


Desenvolva o fatorial de seguir, divida pelo fatorial de Exemplo:

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, pois p = 3. A seguir, dividiu Outro exemplo:

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois dividiu-se pelo fatorial de 4, pois Exercícios: Calcule, sem o uso da fórmula, as seguintes Combin a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) ,

g) ,

h) ,


,

Desenvolva o fatorial de n e pare quando atingir a quantidade p

seguir, divida pelo fatorial de p.

,

6 ∙ 5 ∙ 4

3 ∙ 2 ∙ 120

Note que, acima, o fatorial de 6 foi desenvolvido somente até o terceiro fator, = 3. A seguir, dividiu-se pelo fatorial do p.

,

8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5

4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 170

O fatorial de 8 foi desenvolvido somente até o quarto fator, pois pse pelo fatorial de 4, pois p = 4.

Calcule, sem o uso da fórmula, as seguintes Combinações:

18


p de fatores. A


p = 4. A seguir,


8 Combinação

Este tópico raramente é cobrado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não há notícia da ocorrência de alguma questão nos últimos 14 anos Mesmo assim, é válido abordáperiodicamente... A combinação de n elementos, tomados repetidos nos respectivos grupos de

Note que: ,

Fica mais fácil de entender por meio de um exemplo. Exemplo: Dona Carlota tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de xampu de 6 marcas diferentes. De quantas formas essa compra p a) 28. b) 127. c) 1.287. d) 20.160. e) 40.320. [Fonte: banco de questões do autor.]

Solução: Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio de algumas "simulações" de possíveis resultados: O esquema a seguir é conhecido como "bolaas quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com sinais "+".


com Repetições

Este tópico raramente é cobrado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não há notícia da ocorrência de alguma questão nos últimos 14 anos, pelo

Mesmo assim, é válido abordá-lo, tendo em vista que os examinadores mudam

elementos, tomados p a p, na qual podem ocorrer elementos repetidos nos respectivos grupos de p elementos, é dada por:

1 !

! ∙ 1 !

Fica mais fácil de entender por meio de um exemplo.

tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de de 6 marcas diferentes. De quantas formas essa compra pode ser feita?

[Fonte: banco de questões do autor.]

Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio de algumas "simulações" de possíveis resultados:

conhecido como "bola-mais", que consiste em representar as quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com

19


Este tópico raramente é cobrado em Concursos Públicos. No Teste ANPAD não , pelo menos.

lo, tendo em vista que os examinadores mudam

, na qual podem ocorrer elementos

tem um salão de beleza e, semanalmente, compra 8 galões de ode ser feita?

Montamos um esquema que ajudará a entender melhor o que acontece, por meio

mais", que consiste em representar as quantidades por bolas e os espaços entre as colunas são preenchidos com


Marca A Marca B

•• + • +

• + +

+ •••• +

Na primeira situação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D, dois galões da marca E e nenhum galão da marca F. Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão da marca E e um galão da marca F Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três galões da marca E e nenhum galão da marca F É claro que não é possível continuar a solução da questão por meiosimulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final. Note que o total de bolas questão em tela, é igual a 8 Observe que a quantidade de símbolos "+" em cada linha é sempre igualou, no caso da questão, igual a 5. Disto resulta:

6 8 1 !

8! ∙ 6 1 !

13

8

13!

8! ∙ 5!

13 ∙ 12 ∙

8! ∙ 5 Resposta: Há 1.287 diferentes combinações


Marca C Marca D Marca E Marca

+ • + •• + •• +

+ ••••• + • + +

+ + • + ••• +

Na primeira situação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D, dois galões da marca E e nenhum galão da marca F.

Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão da marca E e um galão da marca F

Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três galões da marca E e nenhum galão da marca F

É claro que não é possível continuar a solução da questão por meiosimulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final.

de bolas em cada linha é sempre igual a p, que, no caso da questão em tela, é igual a 8.

erve que a quantidade de símbolos "+" em cada linha é sempre igualou, no caso da questão, igual a 5.

13!

8! ∙ 5!

∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!

∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 11287

Há 1.287 diferentes combinações possíveis para Carlota escolher.

20


Marca F Total

8

• 8

8

Na primeira situação (quadro acima) simulamos a compra de dois galões da marca A, um galão da marca B, um galão da marca C, dois galões da marca D,

Na segunda situação simulamos a compra de um galão da marca A, nenhum galão da marca B, cinco galões da marca C, um galão da marca D, nenhum galão

Na terceira situação simulamos a compra de nenhum galão da marca A, quatro galões da marca B, nenhum galão da marca C, um galão da marca D, três galões

É claro que não é possível continuar a solução da questão por meio de simulações de possíveis resultados. O esquema mostrado acima serve apenas para observarmos o raciocínio que será empregado na solução final.

que, no caso da

erve que a quantidade de símbolos "+" em cada linha é sempre igual a 1,


9 Resumo

9.1 Permutação

Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (igual ao número de vagas (elementos do conjunto dado.

9.2 Arranjo

Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no Arranjo, o número de candidatos (

e trocando-se a ordem dos elementos forma

9.3 Combinação

Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras Combinação, o número de candidatos (

e, trocando-se a ordem dos elementos em cada resultado, formaconjunto igual.


Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (igual ao número de vagas (p) e a solução consiste apenas em embaralhar

elementos do conjunto dado.

Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no Arranjo, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (

se a ordem dos elementos forma-se um resultado diferente.

Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras Combinação, o número de candidatos (n) é maior do que o número de vagas (

se a ordem dos elementos em cada resultado, forma

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Consiste em se formar agrupamentos que diferem entre si somente pela ordem de seus elementos. Em outras palavras, na permutação o número de candidatos (n) é

embaralhar os n

Os agrupamentos formados diferem entre si tanto pelo número de elementos, quanto pela ordem desses elementos no resultado. Dito de outra forma, no

maior do que o número de vagas (p): se um resultado diferente.

Os agrupamentos formados diferem entre si pelo número de elementos, não importando a ordem desses elementos no resultado.Em outras palavras, na

) é maior do que o número de vagas (p): se a ordem dos elementos em cada resultado, forma-se um


10 Exercícios

1) Um buffet oferece uma variedade de 8 tipos de comidas. Nestudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis montar? Resposta: 70. 2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de quantas maneiras podemos compor os três primeiros lugares?Resposta: 60. 3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio?Resposta: 210. 4) Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os algarismos de 1 a 7? Resposta: 210. 5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essaResposta: 6.840. 6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as placas que podem ser obtidas, utilizandoResposta: 7.200. 7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Desejase formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissãosabendo que existem 2 vagas para narradores e 2 para comentaristas?Resposta: 90. 8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila?Resposta: 120.


1) Um buffet oferece uma variedade de 8 tipos de comidas. Nesse restaurante, os estudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis

2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de quantas maneiras podemos compor os três primeiros lugares?

3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio?

Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os

5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essa

6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as placas que podem ser obtidas, utilizando-se os algarismos ímpares e vogais?

7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Desejase formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissãosabendo que existem 2 vagas para narradores e 2 para comentaristas?

8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila?

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esse restaurante, os estudantes pagam metade do preço com a condição de servirem somente 4 tipos de comida. Quantos pratos com 4 tipos diferentes de comida são possíveis

2) Em uma gincana estudantil, 5 alunos disputam uma corrida de bicicleta. De

3) Numa turma com 10 amigos, serão sorteados 4 ingressos para um show de rock. De quantas maneiras distintas pode aparecer o resultado do sorteio?

Quantos números de três algarismos diferentes podem ser formados com os

5) Os 20 sócios de um clube querem formar sua diretoria com um presidente, um secretário e um tesoureiro. De quantas maneiras pode ser formada essa diretoria?

6) Em uma cidade as placas dos automóveis são formadas por três letras diferentes, seguidas de quatro algarismos também diferentes. Quantas são as

se os algarismos ímpares e vogais?

7) Uma emissora de rádio é composta por 4 narradores e 6 comentaristas. Deseja-se formar uma comissão com 4 de seus radialistas para fazer a cobertura de um jogo de futebol. De quantas maneiras distintas é possível organizar essa comissão sabendo que existem 2 vagas para narradores e 2 para comentaristas?

8) De quantas maneiras distintas podemos organizar 5 pessoas em uma fila?


9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De quantas maneiras ela pode convidar cinco amigos para jantar, tendo o cuidado de não convidar, simultaneamente, os dois amigos brigados?Resposta: 196. 10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado), posarem juntas numa foto. De quafoto? Resposta: 360.


9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De aneiras ela pode convidar cinco amigos para jantar, tendo o cuidado de

não convidar, simultaneamente, os dois amigos brigados?

10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado), posarem juntas numa foto. De quantas maneiras distintas podemos compor essa

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9) Uma pessoa tem dez amigos, dos quais dois estão brigados entre si. De aneiras ela pode convidar cinco amigos para jantar, tendo o cuidado de

10) Três irmãs dispõem de 5 diferentes fantasias para, perfiladas (lado a lado), ntas maneiras distintas podemos compor essa


11 Testes

1) O número de anagramas com a palavra UFRGS é a) 20. b) 40. c) 60. d) 100. e) 120. 2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é a) 2160. b) 120. c) 240. d) 720. e) 360. 3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e terminam por consoante é a) 120. b) 216. c) 540. d) 720. e) 750. 4) Quantos números ímpares de três algarismos distintos algarismos 1, 2, 3, 5, 7, 9? a) 100. b) 120. c) 150. d) 180. e) 210.


1) O número de anagramas com a palavra UFRGS é

2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é

3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e terminam por consoante é

4) Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos7, 9?

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2) O número de anagramas com a palavra ÔNIBUS que começa por vogal é

3) O número de anagramas da palavra JABOTI que começam por vogal e

podemos formar com os


5) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e y são, respectivamente, a) 48 e 36. b) 48 e 72. c) 72 e 36. d) 24 e 36. e) 72 e 24. 6) Quantos são os anagramas da palavra SARARA? a) 60. b) 120. c) 240. d) 720. e) 750. 7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma senha bancária. O número total de possibilidades de senha que nasceu em 01.05.85 é a) 90. b) 180. c) 360. d) 720. e) 750. 8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é a) 20. b) 320. c) 500. d) 600. e) 720.


5) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que anagramas que começam e terminam por consoante. Os

são, respectivamente,

6) Quantos são os anagramas da palavra SARARA?

7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma senha bancária. O número total de possibilidades de senha para este estudante que nasceu em 01.05.85 é

8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante

r colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição é

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anagramas que anagramas que começam e terminam por consoante. Os

7) Um estudante permutou os 6 dígitos do seu aniversário para compor uma para este estudante

8) Um trem é constituído de uma locomotiva e seis vagões distintos, sendo um restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante

r colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos


9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do número 122.223? a) 15. b) 30. c) 20. d) 40. e) 120. 10) Dividindo-se o número de anagramas da palavra ARARA pelo número de anagramas da palavra URUBU, obtém a) 1/2. b) 1/3. c) 3/2. d) 2/3. e) 3/5. 11) ANPAD-2006. A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidadebairros. Deseja-se colorir cada bairro com uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de maneiras diferentes segundo as quais o mapa pode ser pintado é a) 6. b) 12. c) 24. d) 48. e) 120. 12) ANPAD-2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários aproximadamente a) 100 dias. b) 1 ano.


9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do

se o número de anagramas da palavra ARARA pelo número de anagramas da palavra URUBU, obtém-se uma fração equivalente a

2006. A figura ao lado mostra o mapa imaginário de uma cidade constituída por cinco

se colorir cada bairro com uma das cores vermelha, azul ou amarela, de maneira que, dois bairros vizinhos não possuam a mesma cor. O número de maneiras diferentes segundo as quais o

2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários

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9) Quantos números diferentes podemos formar permutando os algarismos do

se o número de anagramas da palavra ARARA pelo número de se uma fração equivalente a

2003. Durante a sua programação, uma emissora de rádio toca diariamente sempre as mesmas oito músicas, mas nunca na mesma ordem. Para esgotar todas as prováveis sequências dessas músicas serão necessários


c) 10 anos. d) 1 século. e) 10 séculos. 13) ANPAD-2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, dois clubes ficaram empatados e, podesempate. O número total de jogos disputados foi a) 112. b) 111. c) 110. d) 56. e) 55. 14) ANPAD-2003. Em uma ilha falamfala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idihabitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é igual a a) 6. b) 8. c) 12. d) 16. e) 24. 15) ANPAD-2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja tirar regras:

• todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados);

• o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado esquerdo;

• cada casal deve permanecer junto.Considerando essas regras, quou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes fotos? a) 84. b) 92. c) 96.


2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No final, dois clubes ficaram empatados e, por isso, houve um jogo para o desempate. O número total de jogos disputados foi

2003. Em uma ilha falam-se apenas quatro idiomas. Cada habitante fala exatamente dois idiomas e, para cada conjunto de dois idiomas há um único habitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é

2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois casais e um padre. Esse grupo deseja tirar uma foto, obedecendo às seguintes

todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados);

o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado

cada casal deve permanecer junto. Considerando essas regras, quantas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem ser geradas para tirar diferentes fotos?

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2003. Onze clubes disputaram o campeonato. Cada clube jogou com cada um dos outros duas partidas, uma em cada turno do campeonato. No

r isso, houve um jogo para o

se apenas quatro idiomas. Cada habitante omas há um único

habitante que fala esses dois idiomas. Então, o número de habitantes da ilha é

2007. Um grupo de sete pessoas é formado por dois irmãos, dois uma foto, obedecendo às seguintes

todos os membros do grupo devem se posicionar lado a lado (perfilados);

o padre deve se posicionar em um extremo, no lado direito ou no lado

antas fotos distintas podem ser tiradas pelo grupo, ou seja, quantas combinações de posicionamento dos membros do grupo podem


d) 192. e) 5040. 16) ANPAD-2007. O número de anagramas que podem sADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas respectivas posições, é a) 120. b) 56. c) 30. d) 20. e) 10. 17) Utilizando-se o teclado do computador, desejaalgumas funções. Para isso, devSHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser obtida por esse processo é de a) 216. b) 270. c) 288. d) 360. e) 400. 18) ANPAD-2006. Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentat a) 90. b) 112. c) 168. d) 224. e) 280. 19) ANPAD-2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, aprdas cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos


2007. O número de anagramas que podem ser feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas

se o teclado do computador, deseja-se atribuir códigos para algumas funções. Para isso, deverão ser usadas no mínimo duas das três teclas SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser obtida por esse processo é de

2006. Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo, o número máximo de tentativas diferentes é igual a

2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar passageiros. Em cada bilhete de passagem, apresentam-se impressos os nomes das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos

28


er feitos com a palavra ADMINISTRADOR, de modo que as consoantes sejam mantidas em suas

se atribuir códigos para erão ser usadas no mínimo duas das três teclas

SHIFT, CTRL e ALT, pressionadas simultaneamente, seguidas de dois algarismos distintos de 0 a 9. A quantidade de códigos diferentes que pode ser

2006. Para proteger um arquivo que continha um documento confidencial, Alberto criou uma senha com uma sequência de 4 algarismos distintos, na qual o último algarismo é o dobro do primeiro. Para abrir o arquivo,

2006. Uma certa linha de ônibus parte da cidade A e vai até a cidade E , parando nas cidades B , C e D, onde podem descer ou embarcar

se impressos os nomes das cidades de origem e de chegada. No sentido do percurso acima, quantos tipos


de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas cidades quaisquer? a) 5. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. 20) ANPAD-2006. Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer quatro dentre os sete funcionários e atribuir aatividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é a) 840. b) 625. c) 365. d) 35. e) 24. 21) ANPAD-2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, a) 130. b) 180. c) 240. d) 360. e) 180. 22) ANPAD-2004. Sobre uma circunferência, marcamEntão, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é a) 36. b) 63. c) 84. d) 168. e) 504.


de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas

Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer quatro dentre os sete funcionários e atribuir a cada um deles uma das quatro atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é

2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9?

2004. Sobre uma circunferência, marcam-se 9 pontos distintos. Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é

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de bilhetes de passagens são necessários para permitir a viagem entre duas

Existem sete funcionários aptos a executar quatro tarefas distintas em uma empresa. Qualquer um deles está habilitado para realizar qualquer dessas tarefas. Assim, o gerente da empresa pode escolher quaisquer

cada um deles uma das quatro atividades. O número de possibilidades distintas para essa atribuição é

2005. Quantos números ímpares de quatro algarismos distintos

se 9 pontos distintos. Então, a quantidade de triângulos com vértice nesses pontos marcados é


23) ANPAD-2004. O Cprofessores e 3 alunos. Candidataramprofessores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este Conselho pode ser composto é a) 360. b) 1100. c) 2200. d) 3260. e) 6188. 24) ANPAD-2004. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de números de 3 algarismos distintos que se podem formar é a) 120. b) 180. c) 210. d) 216. e) 343. 25) ANPAD 2009 - Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a a) 126. b) 119. c) 104. d) 100. e) 98. 26) ANPAD 2009 - Uma indústria de cosméticos está se preparando para participar de um evento em que montará um estande e exporá um novo produto para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três químicos e quatro vendedores) e contratou de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerandocompor cada equipe, são necessários pelo menos dois massagistas, pelo menos um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar a) 500 equipes distintas.


2004. O Conselho Desportivo de uma escola é composto por 2 professores e 3 alunos. Candidataram-se para constituir esse Conselho 5 professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este Conselho pode ser composto é

2004. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de números de 3 algarismos distintos que se podem formar é

Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a

Uma indústria de cosméticos está se preparando para participar de um evento em que montará um estande e exporá um novo produto para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três químicos e quatro vendedores) e contratou cinco massagistas para formar equipes de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerandocompor cada equipe, são necessários pelo menos dois massagistas, pelo menos um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar

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onselho Desportivo de uma escola é composto por 2 se para constituir esse Conselho 5

professores e 12 alunos. Então, o número de maneiras diferentes que este

2004. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, a quantidade de

Com três advogados, duas secretárias e quatro gerentes, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar, desde que cada uma delas tenha pelo menos um advogado, uma secretária e um gerente é igual a

Uma indústria de cosméticos está se preparando para participar de um evento em que montará um estande e exporá um novo produto para massagens. Para isso, convocou sete de seus funcionários (sendo três

cinco massagistas para formar equipes de cinco pessoas que revezarão durante o evento. Considerando-se que, para compor cada equipe, são necessários pelo menos dois massagistas, pelo menos um vendedor e exatamente um químico, então será possível formar


b) 300 equipes distintas. c) 200 equipes distintas d) 100 equipes distintas. e) 60 equipes distintas. 27) ANPAD 2009 - Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um arquivo. Ele lembra que era formada por quatro algarismos difeo primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes que Vitor pode fazer para abrir o arquivo é a) 168. b) 224. c) 336. d) 480. e) 504. 28) ANPAD 2010 - Para montar uma pizza, os clientes de um obrigatoriamente escolher: I. um dentre os tipos de massa: fina, média e grossa;II. um dentre os tamanhos: médio e grande;III. um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola;IV. adição ou não de orégano; eV. de um a três dentes brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma pizza. Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é igual a a) 3.060. b) 900. c) 206. d) 95. e) 35. 29) ANPAD 2010 - Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são brasileiros, dois são japoneses e três são italianos. Decidiu


Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um arquivo. Ele lembra que era formada por quatro algarismos diferentes, sendo que o primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes que Vitor pode fazer para abrir o arquivo é

Para montar uma pizza, os clientes de um restaurante devem obrigatoriamente escolher:

um dentre os tipos de massa: fina, média e grossa; um dentre os tamanhos: médio e grande; um dentre os queijos: mussarela, prato e gorgonzola; adição ou não de orégano; e de um a três dentes os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto,

brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma pizza.

Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é

Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são brasileiros, dois são japoneses e três são italianos. Decidiu-se que a próxima diretoria seria constituída de quatro

31


Vitor esqueceu a senha numérica que colocou em um rentes, sendo que

o primeiro era o triplo do terceiro. Então, o maior número de tentativas diferentes

restaurante devem

os tipos de recheio: calabresa, frango, presunto, brócolis e filé, sem possibilidade de repetição em uma mesma pizza.

Dadas essas condições, o número de pizzas distintas que é possível montar é

Uma empresa multinacional é formada por nove sócios, dos quais nenhum tem dupla nacionalidade, quatro são brasileiros, dois são japoneses

se que a próxima diretoria seria constituída de quatro


sócios e deveria contemplardistintas de se formar essa diretoria é igual a a) 36. b) 72. c) 95. d) 126. e) 144. 30) ANPAD 2010 - O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão de três pessoas para, uma vez por semana, Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulheres e três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendoexigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o comissões distintas passíveis de serem formadas é igual a a) 35. b) 34. c) 30. d) 18. e) 12. 31) ANPAD 2011 - Um professor distribui aos seus alunos uma folha com a figura ao lado. Os alunos devem colorir cada quadrado de modo que os dois (que compartilham uma mesma aresta) não tenham a mesma cor. assim, de quantas formas distintas a figura pode ser colorida se o professor só aceita figuras que tenham exatamente três cores distintas, independentemente de quais sejam as três cores escolhidas? a) 6. b) 9. c) 10. d) 12. e) 15. 32) ANPAD 2011 - Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos: João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo


sócios e deveria contemplar todas as três nacionalidades. O número de formas distintas de se formar essa diretoria é igual a

O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão de três pessoas para, uma vez por semana, fazer uma vistoria no setor produtivo. Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulheres e três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendoexigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o comissões distintas passíveis de serem formadas é igual a

Um professor distribui aos seus alunos uma folha com a figura ao lado. Os alunos devem colorir cada quadrado de modo que os dois quadrados adjacentes (que compartilham uma mesma aresta) não tenham a mesma cor. assim, de quantas formas distintas a figura pode ser colorida se o professor só aceita figuras que tenham exatamente três cores distintas, independentemente de quais

três cores escolhidas?

Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos: João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo

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todas as três nacionalidades. O número de formas

O presidente de uma indústria decidiu formar uma comissão fazer uma vistoria no setor produtivo.

Para evitar que a comissão seja sempre a mesma, ele designou quatro mulheres e três homens devidamente capacitados para tal atividade. Sabendo-se eu foi exigida a presença de pelo menos uma mulher em cada comissão, o número de

Caio comprou presentes distintos para seus cinco sobrinhos: João, que mora na cidade A; Pedro e Luís, que moram na cidade B e no mesmo


endereço; e José e Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo endereço. Considerando-e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, quantas são as maneiras distintas pelas quais Caio podidentificação do nome do destinatário, pelos Correios? a) 20. b) 30. c) 40. d) 60. e) 120. 33) ANPAD 2011 - A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dafuncionários de uma empresa

Setor

A B C

A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma comissão. A probabilidade de que a comissão que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino superior completo é

a) C ∙ C .

b) C C .

c) ∙

.

d) .


Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo -se que Caio não pode visitar seus parentes no momento

e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, quantas são as maneiras distintas pelas quais Caio pode enviar os presentes, sem identificação do nome do destinatário, pelos Correios?

A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dafuncionários de uma empresa

Grau de Instrução Ensino Médio

Completo Ensino Superior

Completo7 4 8 4 5 8

A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma comissão. A probabilidade de que a comissão seja formada por dois funcionários que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino

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Antônio, que moram na cidade C e também no mesmo se que Caio não pode visitar seus parentes no momento

e que os sobrinhos ficariam felizes independentemente do presente recebido, e enviar os presentes, sem

A tabela a seguir mostra a distribuição de frequência conjunta das variáveis setor e grau de instrução referente aos dados dos 36

Ensino Superior Completo

A empresa vai sortear três desses 36 funcionários para fazer parte de uma seja formada por dois funcionários

que tenham apenas o ensino médio completo e um funcionário com ensino


e) ∙

34) ANPAD 2011 - No novo sistema de segurança implantado em uma empresa, cada funcionário terá uma senha de acesso constituída de quatro caracteres, dos quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção entre maiúsculas e minúsculas) e uhavendo necessariamente uma ordem específica para a combinação entre letras e algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras iguais? a) 2.080. b) 1.040. c) 936. d) 260. e) 234. 35) ANPAD 2012 - Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas coloridas. Como medida de economia de energia elétrica, há um sistema que acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de maneiras distintas pelas quaissistema for acionado, é igual a a) 396. b) 462. c) 584. d) 672. e) 724. 36) ANPAD 2012 - Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentaros seis, lado a lado, na mesma fileira. O número de maneirpodem distribuir-se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a a) 3. b) 6. c) 36. d) 72. e) 108.


No novo sistema de segurança implantado em uma empresa, cada funcionário terá uma senha de acesso constituída de quatro caracteres, dos quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção entre maiúsculas e minúsculas) e um é necessariamente algarismo (de 0 a 9), não havendo necessariamente uma ordem específica para a combinação entre letras e algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras

Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas coloridas. Como medida de economia de energia elétrica, há um sistema que acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de maneiras distintas pelas quais as lâmpadas do lustre podem ser acesas, se o sistema for acionado, é igual a

Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentaros seis, lado a lado, na mesma fileira. O número de maneiras pelas quais eles

se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a

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No novo sistema de segurança implantado em uma empresa, cada funcionário terá uma senha de acesso constituída de quatro caracteres, dos quais três são necessariamente letras (entre as 26 letras do alfabeto, sem distinção

m é necessariamente algarismo (de 0 a 9), não havendo necessariamente uma ordem específica para a combinação entre letras e algarismos. Sendo assim, qual é o número de senhas que possuem três letras

Na sala da casa da minha avó, há um lustre com 10 lâmpadas coloridas. Como medida de economia de energia elétrica, há um sistema que acende, simultaneamente, de quatro a seis lâmpadas aleatoriamente. O número de

as lâmpadas do lustre podem ser acesas, se o

Três rapazes e três moças vão ao cinema e desejam sentar-se, as pelas quais eles

se nos assentos de modo que as três moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, e nas extremidades fiquem apenas rapazes é igual a


37) ANPAD 2012 - Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não pode ser vermelha. Assim, o númerformados é igual a a) 672. b) 750. c) 840. d) 1.240. e) 1.568. 38) ANPAD 2012 - Anagramas de uma palavra são as diferentes palavras que podemos formar permutandoanagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da palavra ANPAD não começam nem terminam por vogal? a) 6. b) 18. c) 24. d) 60. e) 120. 39) ANPAD 2013 - Utilizando duas letras A, três letras B e (podemos formar (n – 2) n (n – 1) anagramas diferentes com as a) 4. b) 5. c) 6. d) 7. e) é a maior raiz positiva da equação 40) ANPAD 2013 - Se as expressões necessariamente teremos: a) E E . b) E E . c) E 2E . d) E E . e) E E


Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não pode ser vermelha. Assim, o número de brincos diferentes que podem ser

Anagramas de uma palavra são as diferentes palavras que podemos formar permutando-se de todos os modos possíveis as suas letras. O anagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da palavra ANPAD não começam nem terminam por vogal?

Utilizando duas letras A, três letras B e (n

1) anagramas diferentes com as n letras. Determine o valor de

e) é a maior raiz positiva da equação n(n – 7) = –6 aumentada de 2 unidades

Se as expressões E C C e E C existirem, então necessariamente teremos:

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Maria tem contas de oito cores diferentes e quer montar brincos com quatro contas enfileiradas, devendo as cores das contas ser distintas entre si. A última conta deve ser azul, preta, branca ou vermelha, e a primeira não

o de brincos diferentes que podem ser

Anagramas de uma palavra são as diferentes palavras que se de todos os modos possíveis as suas letras. O

anagrama de uma palavra não precisa ter significado. Quantos anagramas da

n – 5) letras C,

letras. Determine o valor de n.

6 aumentada de 2 unidades.

existirem, então


41) ANPAD 2014 - A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as letras A aparecem separadas é igual a a) 24. b) 36. c) 60. d) 84. e) 96.

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A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as letras A aparecem separadas é igual a

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A quantidade de anagramas da palavra ANPAD em que as

Neste link você encontra uma coletânea de provas de Concursos Públicos.



Gabarito: 1-E 2-E 3-B 4-A11-A 12-D 13-B 14-A21-B 22-C 23-C 24-B31-D 32-B 33-E 34-B41-B Para outras questões sobre esse tópicoAssunto no livro "500 questões resolvidas"https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/ Baixe os cadernos de provas anteriores (1) Provas de 2009 a 2012:https://www.facebook.com/groups/souintegral/648788225172332/ (2) Provas de 2013 e 2014: https://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/ No final deste Caderno há uma lista de links diretos para os arquivos mais acessados em nossa pasta pública Mantenha o seu material didático sempre atualizado Realizamos revisões constantes em nossos materiais didáticos, para a correção de erros e acréscimos de novos conteúdos. Visite nossa pasta pública de material didático https://www.facebook.com/groups/souintegral/files Participe do nosso projeto:http://profmilton.blogspot.com.br/2013/12/paybem.html


A 5-A 6-A 7-B 8-D 9-B 10A 15-D 16-C 17-D 18-D 19-B 20B 25-E 26-B 27-A 28-B 29-B 30B 35-D 36-D 37-B 38-B 39-D 40

sobre esse tópico, consulte o Índice de Questões por Assunto no livro "500 questões resolvidas" (baixe-o, gratuitamente, aqui: https://www.facebook.com/groups/souintegral/648787848505703/

de provas anteriores da ANPAD no Grupo Sou Integral:

2009 a 2012: https://www.facebook.com/groups/souintegral/648788225172332/

(2) Provas de 2013 e 2014: tps://www.facebook.com/groups/souintegral/804094236308396/

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10-A 20-A 30-B 40-A

, consulte o Índice de Questões por o, gratuitamente, aqui:

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corrente-do-


12 Instituto Integral Editora

1. Raciocínio Lógico Formal

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3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira



Instituto Integral Editora - Catálogo

1. Raciocínio Lógico Formal


226115228543

2. Raciocínio Lógico


Teoria dos Conjuntos


452690272552/

4. Caderno RQ2 - Proporcionalidade


Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD


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2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/ Proporcionalidade


512393299915/ 6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


788225172332/


7. Caderno de Testes ANPAD


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Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!


7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II


094236308396/

8. 500 questões resolvidas


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Probabilidade

Estatística

Funções

Sequências e Progressões

Matrizes e Determinantes

Geometrias Plana, Espacial e Analítica

Matemática Básica


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. 500 questões resolvidas


787848505703/

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