CADERNO - Professor Joaquim · senha pessoal e intransferível, ... Defina, no conjunto dos ... Uma...

1PROVA 1ENC 2003 MATEMÁTICA

PROVA

1

Instruções1- Você está recebendo o seguinte material:a) este caderno com o enunciado das 40 (quarenta) questões objetivas, das 6 (seis) questõesdiscursivas específicas para cada área, das quais você deverá responder a 5 (cinco), à sua escolha,da mesma área, e das questões relativas às suas impressões sobre a prova, assim distribuídas:

b) 01 Caderno de Respostas em cuja capa existe, na parte inferior, um cartão destinado às respostasdas questões objetivas e de impressões sobre a prova. O desenvolvimento e as respostas das questõesdiscursivas deverão ser feitos a caneta esferográfica de tinta preta e dispostos nos espaços especificadosnas páginas do Caderno de Respostas.

2 - Verifique se este material está em ordem e se o seu nome no Cartão-Resposta está correto. Caso contrário,notifique imediatamente a um dos Responsáveis pela sala.

3 - Após a conferência do seu nome no Cartão-Resposta, você deverá assiná-lo no espaço próprio,utilizando caneta esferográfica de tinta preta e, imediatamente após, deverá assinalar, também noespaço próprio, o número correspondente a sua prova ( 1 , 2 , 3 ou 4 ). Deixar de assinalar essenúmero implica anulação da parte objetiva da prova.

4 - No Cartão-Resposta, a marcação das letras correspondentes às respostas assinaladas por vocêpara as questões objetivas (apenas uma resposta por questão) deve ser feita cobrindo a letra epreenchendo todo o espaço compreendido pelo círculo que a envolve com um traço contínuo e denso,a lápis preto nº 2 ou a caneta esferográfica de tinta preta. A leitora ótica é sensível a marcas escuras,portanto, preencha os campos de marcação completamente, sem deixar claros.

Exemplo: A B C D E

5 - Tenha cuidado com o Cartão-Resposta, para não o dobrar, amassar ou manchar. Este Cartãosomente poderá ser substituído caso esteja danificado em suas margens-superior e/ou inferior - barrade reconhecimento para leitura ótica.

6 - Esta prova é individual. Você pode usar calculadora científica; entretanto são vedadas qualquercomunicação e troca de material entre os presentes, consultas a material bibliográfico, cadernos ouanotações de qualquer espécie.

7 - Quando terminar, entregue a um dos Responsáveis pela sala o Cartão-Resposta grampeado aoCaderno de Respostas e assine a Lista de Presença. Cabe esclarecer que nenhum graduando deveráretirar-se da sala antes de decorridos 90 (noventa) minutos do início do Exame. Após esse prazo, vocêpoderá sair e levar este Caderno de Questões.

ATENÇÃO:Você poderá retirar o boletim com seu desempenho individual pela Internet, mediante a utilização de umasenha pessoal e intransferível, a partir de novembro. A sua senha é o número de código que aparece nolado superior direito do Cartão-Resposta. Guarde bem esse número, que lhe permitirá conhecer o seudesempenho. Caso você não tenha condições de acesso à Internet, solicite o boletim ao INEP no endereço:Esplanada dos Ministérios, Bloco L, Anexo II, Sala 411 - Brasília/DF - CEP 70047-900, juntando à solicita-ção uma fotocópia de seu documento de identidade.

8 - Você terá 04 (quatro) horas para responder às questões objetivas, discursivas e de impressões sobrea prova.

OBRIGADO PELA PARTICIPAÇÃO!

CADERNODE

QUESTÕES

MA

TE

MÁ

TIC

A

MECMinistério da

Educação

DAESDiretoria de Estatísticas e Avaliação

da Educação Superior

ConsórcioFundação Cesgranrio/Fundação Carlos Chagas

INEPInstituto Nacional de Estudos e

Pesquisas Educacionais "Anísio Teixeira"

3 a 6

7 e 8

9 e 10

11

1 a 40

1 a 6

7 a 12

41 a 49

A - Objetiva

B - Discursiva específica

de BACHARELADO

C - Discursiva específica

de LICENCIATURA

Impressões sobre a prova

50%

50%

—

Partes Nos das Questões Nos das pp. neste Caderno Valor de cada parte


1As probabilidades dos eventos X, Y e X ∩ Y são iguais a 0,6;

0,5 e 0,1, respectivamente. Quanto vale a probabilidade do

evento X – Y ?(A) 0,1 (B) 0,2 (C) 0,3 (D) 0,4 (E) 0,5

2O conjunto das soluções reais da equação

2 x + 3 – ( x + 1 ) = x + 4 é

(A) ∅ (B) {0} (C) {2} (D) {4} (E) {2, 4}

3Se o resto da divisão do inteiro N por 5 é igual a 3, o resto da

divisão de N2 por 5 é, necessariamente, igual a

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

4A força gravitacional com que o Sol atrai a Terra

(A) é menor que a força com que a Terra atrai o Sol.

(B) é maior que a força com que a Terra atrai o Sol.

(C) é igual à força com que a Terra atrai o Sol.

(D) dobraria, se a distância entre a Terra e o Sol se reduzisse à

metade.

(E) dobraria, se as massas da Terra e do Sol dobrassem.

5Toda seqüência limitada de números reais

(A) é convergente.

(B) é divergente.

(C) é monótona.

(D) admite subseqüência convergente.

(E) tem apenas um número finito de termos distintos.

6A função F : 2R → R definida por F(x, y) = (x – 3)2 + (4y + 1)2 – 4

(A) não tem máximo nem mínimo.

(B) tem máximo e mínimo.

(C) tem máximo, mas não tem mínimo.

(D) tem mínimo, mas não tem máximo.

(E) é limitada.

7Um quadrado de lado 2 gira em torno de um de seus lados, gerandoum sólido de revolução. O volume desse sólido é igual a

(A) π43

(B) 2π (C) π83

(D) 4π (E) 8π

8Num plano, o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam de

uma reta fixa e de um ponto fixo que não pertence à reta é uma

(A) reta.

(B) parábola.

(C) elipse.

(D) hipérbole.

(E) circunferência.

9Os inteiros, com a adição e a multiplicação usuais, constituem umexemplo de(A) corpo.(B) anel com unidade.

(C) anel com divisores de zero.(D) grupo multiplicativo abeliano.(E) grupo multiplicativo não abeliano.

10

Se a seqüência {an} é convergente, então → ∞n

lim (an + 1

– an)

(A) vale 0.

(B) vale 1.(C) é positivo e diferente de 1.(D) é infinito.(E) pode não existir.

11Um triângulo de lados a, b e c cujas alturas são h

a, h

b e h

c é

tal que a > b > c. Então, necessariamente,(A) a maior altura é h

a.

(B) a maior altura é hb.

(C) a maior altura é hc.

(D) a menor altura é hb.

(E) a menor altura é hc.

12O centro do círculo circunscrito a um triângulo é o ponto deencontro das

(A) mediatrizes de seus lados.(B) suas medianas.(C) suas alturas.(D) suas bissetrizes internas.(E) suas bissetrizes externas.

13Quantos são os números complexos cujo cubo vale i?(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) infinitos

14Se P(x) é um polinômio do segundo grau cujas raízes são 2 e 3,o polinômio [P(x)]2 admite(A) 2 e 3 como raízes simples.(B) 2 e 3 como raízes duplas.(C) 4 e 9 como raízes simples.(D) 4 e 9 como raízes duplas.(E) duas raízes reais e duas não reais.

15O gráfico da função real f (x) = 3 x pode ser obtido do gráfico dafunção real g(x) = x3 por meio de uma(A) reflexão no eixo dos x.(B) reflexão no eixo dos y.(C) reflexão na bissetriz dos quadrantes ímpares.(D) reflexão na bissetriz dos quadrantes pares.(E) simetria em relação à origem.

PRIMEIRA PARTE – QUESTÕES OBJETIVAS

ANTES DE MARCAR SUAS RESPOSTAS, ASSINALE, NO ESPAÇO PRÓPRIO DO CARTÃO-RESPOSTA, O NÚMERO DO SEU GABARITO.

PROVA 14MATEMÁTICA ENC 2003

16

Escalonando o sistema

− + = −+ − =

− + = −

x y zx y z

x y z

2 4 1

2 7 3

4 10 3 ,

chegou-se a

− =− ==

x zy z

2 1

3 1

0 0

Então, os três planos dados pelas equações do sistema inicial

(A) são paralelos.

(B) têm apenas um ponto comum.

(C) têm uma reta comum.

(D) têm interseção vazia, porque dois deles são paralelos.

(E) têm interseção vazia, embora não haja entre eles dois que

sejam paralelos.

17

Em 2R , a equação xy = 1 representa uma

(A) reta.

(B) circunferência.

(C) elipse.

(D) parábola.

(E) hipérbole.

18

Quanto vale → ∞x lim [ln2x – lnx]?

(A) 0

(B) ln 2

(C) 1

(D) e(E) ∞

19

Se q é um número real, a série 1 + q + q2 + ... + qn + ... é convergente

se e somente se

(A) q ≤ –1

(B) q ≤ 1

(C) ≤ 1q(D) < 1q(E) > 1q

20

O lugar geométrico dos pontos do espaço que eqüidistam dos três

planos coordenados é

(A) uma reta.

(B) a união de 2 retas.

(C) a união de 3 retas.

(D) a união de 4 retas.

(E) a união de 8 retas.

21“Para calcular o índice de discriminação das questões de múltipla

escolha, foi adotado o seguinte procedimento: calcularam-se as

notas de cada graduando no conjunto das questões objetivas. (...)

A partir daí, os 27% que tiveram as notas mais altas foram

denominados de grupo superior de desempenho e os 27% com as

notas mais baixas, grupo inferior de desempenho. Verificou-se,

então, para cada questão, o percentual dos integrantes de cada um

desses grupos que acertaram a resposta. O índice de discrimina-

ção foi calculado pela diferença entre essas duas razões.”

(adaptado de MEC/INEP/DAES. Relatório doExame Nacional de Cursos 2002 - Matemática)

Entre que valores pode variar o índice de discriminação?

(A) –∞ e ∞(B) –1 e 0(C) –1 e 1(D) 0 e 1

(E) 0 e ∞

22

Se cos a = 0,6, então

−π32

sen a

(A) vale –0,8.

(B) vale –0,6.

(C) vale 0,6.

(D) vale 0,8.

(E) só pode ser determinado com o conhecimento do quadrante

de a.

23

A integral imprópria ∞

∫ pdxx1

é convergente se e somente se

(A) p > 1(B) p = 1(C) p ≥ 1(D) p < 1(E) p > 0

24Defina, no conjunto dos inteiros posit ivos, a operação

∗ por a ∗ b = máximo divisor comum de a e b . Assinale,a respeito de ∗ , a af irmativa FALSA .(A) ∗ é comutativa.(B) ∗ é associativa.(C) 1 é elemento neutro.(D) a ∗ a = a, para todo a.(E) Para cada a, existe b tal que a ∗ b = 1.

25

Uma base do espaço vetorial das soluções da equação diferen-

cial y'' + y = 0 é formada pelas funções

(A) f1(x) = senx e f

2(x) = cosx

(B) f1(x) = senx e f

2(x) = 2senx

(C) f1(x) = cosx e f

2(x) = 2cosx

(D) f1(x) = x e f

2(x) = x–1

(E) f1(x) = ex e f

2(x) = e–x


x

1

zw i

y

0

26

Se g : R → R tem todas as derivadas contínuas, g'(a) = g"(a) = 0

e g"'(a) = 2, então a função g possui, em x = a, um

(A) máximo relativo.

(B) máximo absoluto.

(C) mínimo relativo.

(D) mínimo absoluto.

(E) ponto de inflexão.

27

Considere uma caixa d’água, inicialmente vazia, em forma de

tronco de cone reto, cuja maior base é a superior, e que está

sendo enchida por uma torneira de vazão constante. Em cada

instante t, entre o momento em que a torneira foi aberta e aquele

em que a caixa ficou cheia, seja h(t) a altura da água na caixa. A

respeito dos sinais de h'(t) e h"(t), pode-se afirmar que

(A) h'(t) > 0 e h"(t) > 0

(B) h'(t) > 0 e h"(t) < 0

(C) h'(t) > 0, mas o sinal de h"(t) varia.

(D) h'(t) < 0 e h"(t) > 0

(E) h'(t) < 0 e h"(t) < 0

28

Na figura, z e w são números complexos.

Então, w é igual a

(A) 1/z

(B) 2/z

(C) z2

(D) 2z – 1

(E) 2z

29

→xlim

0 x sen

x1.

(A) vale 0.

(B) vale 1.

(C) vale e.

(D) é infinito.

(E) não existe.

30

Considere uma piscina e, em cada ponto da água, a pressão

hidrostática no ponto. Em cada ponto, o gradiente de pressão

(A) é horizontal.

(B) é vertical e aponta para cima.

(C) é vertical e aponta para baixo.

(D) é inclinado e aponta para cima.

(E) é inclinado e aponta para baixo.

31

A matriz

=1 0

0 0A , considerada como transformação do

plano, representa uma

(A) projeção.(B) simetria central.(C) simetria axial.(D) homotetia.(E) rotação.

32

Em 3R , os vetores (x, y, z) tais que x + y = 0

(A) formam um subespaço vetorial de dimensão 0.

(B) formam um subespaço vetorial isomorfo a R .

(C) formam um subespaço vetorial isomorfo a 2R .

(D) formam um subespaço vetorial isomorfo a 3R .

(E) não formam um subespaço vetorial.

33

A função real definida por f(x) = 4x2, se x > 1, e f(x) = k + x,se x ≤ 1, será contínua, se a constante k valer(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

34

Sejam

=Mn

1 1 11, , , ... , , ...

2 3 e N = [1, 2[. O conjunto dos

pontos de acumulação de M ∪ N é(A) M ∪ N(B) [1, 2](C) N(D) {0} ∪ [1, 2[(E) {0} ∪ [1, 2]

35

Se p é inteiro e positivo, a soma da série

− − −+ + + +2 3( 1) ( 1)( 2)1 ...1! 2! 3!px p p p p px x vale

(A) − px1

1

(B) epx

(C) pepx

(D) (1 + x)p

(E) (1 + p)x


36Em um jogo de par-ou-ímpar, cada um dos dois jogadores

escolhe, ao acaso, um dos seis inteiros de 0 a 5. Verifica-se,

então, se a soma dos números escolhidos é par ou ímpar.

Observando o jogo, José concluiu que era mais provável que a

soma fosse par do que ímpar, porque há onze valores possíveis

para a soma, os inteiros de 0 a 10, e, entre eles, há seis números

pares e apenas cinco números ímpares.

Assinale, a respeito da conclusão de José e da justificativa por ele

apresentada, a afirmativa correta.

(A) As probabilidades são iguais; José errou quando considerou

0 como par.

(B) As probabilidades são iguais; José errou quando considerou

igualmente prováveis as várias somas possíveis.

(C) A probabilidade de a soma ser par é menor que a de ser ímpar.

(D) A probabilidade de a soma ser par é maior do que a de ser

ímpar, mas não pelo motivo apresentado por José.

(E) A conclusão de José e sua justificativa estão corretas.

37

Um vetor de 2R que constitui com (1, 0) um par de vetores

linearmente dependentes é

(A) (–1, –1)

(B) (–1, 0)

(C) (0, 1)

(D) (1, 1)

(E) (2, 3)

38

Sejam p e q inteiros positivos, relativamente primos (primos

entre si), q ≥ 2, e seja D o conjunto dos fatores primos de q.

O racional pq

admitirá uma representação decimal finita se e

somente se

(A) D ⊃ {2, 5}

(B) D = {2, 5}

(C) D ⊂ {2, 5}

(D) D ∩ {2, 5} = ∅(E) D ∩ {2, 5} ≠ ∅

39

Em 3R , a equação x2 − y2 − z2 = 0 representa

(A) um elipsóide.

(B) um parabolóide.

(C) um hiperbolóide de uma folha.

(D) um hiperbolóide de duas folhas.

(E) uma superfície cônica.

40Qual dos gráficos a seguir melhor representa a função que a cadanúmero real x associa a distância de x ao número 1?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

x

x

x

x

x


1

Seja I = ∫ ∫ x

y .e dydx3 1

3

03

a) Esboce graficamente a região de integração. (valor: 5,0 pontos)

b) Inverta a ordem de integração. (valor: 10,0 pontos)

c) Calcule o valor de I. (valor: 5,0 pontos)

2

Seja 18Z o anel dos inteiros módulo 18 e seja G o grupo multiplicativo dos elementos invertíveis de 18Z .

a) Escreva todos os elementos do grupo G. (valor: 10,0 pontos)

b) Mostre que G é cíclico, calculando explicitamente um gerador, ou seja, mostre que existe g ∈ G tal que todos os elementosde G são potências de g. (valor: 10,0 pontos)

3

a) Dada a matriz simétrica

=−

1 6

6 4A , escreva, em forma de polinômio f(x,y), a forma quadrática definida por A, isto é, calcule os

coeficientes numéricos de

f(x,y) = vt A v , onde v =

x

ye vt significa “v transposto”. (valor: 5,0 pontos)

b) Encontre uma matriz invertível P tal que P t A P = D, onde D é uma matriz diagonal. Para isto, basta tomar como P uma matriz que

tenha por colunas um par de autovetores ortonormais de A. (valor: 10,0 pontos)

c) Na forma quadrática f(x,y) = vt A v, faça uma transformação de coordenadas v = P v , sendo v =

x

y,obtendo a forma quadrática

diagonalizada, isto é, sem o termo em xy . (valor: 5,0 pontos)

4

Seja p(x) = xn + an–1

xn–1 + ... + a1x + a

0 , com n ≥ 1, um polinômio de coeficientes reais. Suponha que p'(x) divide p(x).

a) Prove que o quociente ( )q x = ( )

( )

p xp x�

é da forma 0

( )q x x x= −1 ( )n

, x0 ∈ RRRRR. (valor: 5,0 pontos)

b) Encontre todos os polinômios p(x) que satisfazem essa condição, resolvendo a equação diferencial q(x) p'(x) – p(x) = 0. (valor: 15,0 pontos)

SEGUNDA PARTE −−−−− QUESTÕES DISCURSIVAS ESPECÍFICASPARA OS FORMANDOS DE BACHARELADO

A seguir, são apresentadas 6 (seis) questões das quais você deverá responder a apenas 5 (cinco), à sua escolha.Você deve indicar as questões escolhidas nos locais apropriados do Caderno de Respostas.

Se você responder a todas as questões, serão corrigidas apenas as 5 (cinco) primeiras respostas.


5

Dado um conjunto aberto ⊂ 3U RR e um campo de vetores X = (X1 , X

2 , X

3 ) : → 3U RR diferenciável, o divergente de XXXXX é definido por

.∂∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

31 2 XX Xdiv X

x y z

Para uma função de classe C 2 , f : →U RR o laplaciano de f é definido por

.∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

∆2 2 2

2 2 2f f ff

x y z

a) Se f : →U RR é diferenciável e X : → 3U RR é um campo de vetores diferenciável, mostre que

div (f X) = f div X + ∇ f ⋅ X ,

sendo ∇ f o gradiente de f e ∇ f ⋅ X o produto interno entre ∇ f e X. (valor: 5,0 pontos)

b) Se f : →U RR é de classe C 2, mostre que div ( f ∇ f) = f ∆ f + || ∇ f ||2

, sendo || || a norma euclidiana. (valor: 5,0 pontos)

c) Se U = B = {x ∈ 3R : || x || < 1} e f : →B RR é de classe C 3 tal que f(x) > 0 para qualquer x ≠ 0, div (f ∇ f) = 5f e || ∇f ||2 = 2f, calcule

∂∂∫S

f dSN

,

onde B é o fecho de B, S é a fronteira de B, N é a norma unitária exterior a S, ∂∂

fN

é a derivada direcional de f na direção

de N e dS é o elemento de área de S. (valor: 10,0 pontos)

6

Considere a função real f definida, para x ≥ 0, por f(x) = .2x

a) Prove que se 0 < x < 2, então x < f(x) < 2. (valor: 5,0 pontos)

b) Prove que é convergente a seqüência definida recursivamente por

i) a1 = 2

ii) an+1

= f(an), para todo n ≥ 1 (valor: 5,0 pontos)

c) Calcule → ∞ nnalim (valor: 10,0 pontos)


7Uma roda-gigante tem 30 metros de diâmetro, completa uma volta em 120 segundos e o embarque dos passageiros se dá no carro situadono ponto mais baixo da roda-gigante, a 2 metros de altura a partir do solo. Considere, ainda, a roda como uma circunferência num planoperpendicular ao plano do solo, o passageiro como um ponto dessa circunferência, o movimento uniforme e o instante do início domovimento como t = 0.

a) Encontre a altura máxima, em relação ao solo, alcançada pelo passageiro durante uma volta completa e a velocidade angular da roda,em radianos por segundo. (valor: 5,0 pontos)

b) É verdadeira a afirmação: “Em quinze segundos, a altura alcançada pelo passageiro é um quarto da altura máxima que ele pode

alcançar”? Justifique sua resposta. (valor: 5,0 pontos)

c) Encontre a altura em que o passageiro estará no instante t = 75s. (valor: 5,0 pontos)

d) Determine h(t), altura (em relação ao solo) em que se encontra o passageiro no instante t, e esboce o seu gráfico. (valor: 5,0 pontos)

8O ensino de logaritmos apresenta algumas dificuldades metodológicas. Uns preferem construir primeiramente a função exponencial edefinir a função logaritmo como inversa da função exponencial, transferindo as dificuldades para a construção da função exponencial.Outros preferem definir logaritmos como áreas, ou seja, como integrais.Adotaremos, nesta questão, a definição de logaritmo neperiano (natural) pela fórmula

=∫x dtln x

t1

, para x > 0.

Dados a e b positivos, prove que:

a) =∫ ∫a abdt dt

t t1 b

(valor: 10,0 pontos)

Sugestão: mudança de variáveis

b) ln(ab) = ln(a) + ln(b), usando a definição acima. (valor: 10,0 pontos)

9Em um livro texto para a segunda série do ensino médio encontra-se, sem qualquer justificativa, a afirmação abaixo.

“PROPRIEDADES DOS POLIEDROS CONVEXOS

Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada porSSSSS ===== (V – 2).360°, onde V é o número de vértices.”

Em seguida, há um exemplo de aplicação dessa fórmula e são propostos exercícios. Entre estes, há um, classificado como de fixação,que tem o seguinte enunciado: “Qual é a soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo que tem 12 faces e 15 arestas? ” A resposta,dada no final do livro, é: 1080°.

a) Demonstre que, em um poliedro convexo com V vértices, a soma dos ângulos internos de todas as faces é, de fato, dada porSSSSS ===== (V – 2).360°. (valor: 10,0 pontos)

b) De acordo com o Teorema de Euler, se existisse um poliedro convexo com 12 faces e 15 arestas, quantos vértices teria? (valor: 5,0 pontos)

c) Prove que o poliedro descrito no item anterior não pode existir. (valor: 5,0 pontos)

TERCEIRA PARTE −−−−− QUESTÕES DISCURSIVAS ESPECÍFICASPARA OS FORMANDOS DE LICENCIATURA

A seguir, são apresentadas 6 (seis) questões das quais você deverá responder a apenas 5 (cinco), à sua escolha.Você deve indicar as questões escolhidas nos locais apropriados do Caderno de Respostas.

Se você responder a todas as questões, serão corrigidas apenas as 5 (cinco) primeiras.


10Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) sugerem os jogos como uma atraente possibilidade para o ensino da Matemática. Um

professor dividiu seus alunos em duplas e propôs a cada dupla o jogo descrito a seguir. O primeiro jogador escolhe um número no conjunto

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e o anuncia. O segundo jogador escolhe um número no mesmo conjunto (pode escolher o mesmo número escolhido

pelo primeiro jogador), soma-o ao anunciado pelo primeiro jogador e anuncia a soma. O primeiro jogador escolhe um número no mesmo

conjunto, soma-o à soma anunciada por seu adversário e anuncia essa nova soma, e assim por diante. Ganha quem conseguir anunciar

a soma 40.

Uma das partidas desenvolveu-se do modo seguinte (P = primeiro jogador, S = segundo jogador):

P: 3S: 3 + 6 = 9P: 9 + 7 = 16S: 16 + 4 = 20P: 20 + 5 = 25S: 25 + 7 = 32P: perdi!

a) Indique três funções do uso dos jogos no ensino da Matemática, de acordo com os PCN. (valor: 5,0 pontos)

b) Mostre que realmente o primeiro jogador perdeu essa partida. (valor: 5,0 pontos)

c) Que estratégia deve ser usada por um dos jogadores para ganhar sempre? (valor: 5,0 pontos)

d) Que conceito matemático pode ser trabalhado a partir desse jogo? (valor: 5,0 pontos)

11Uma tendência que se nota em alguns livros didáticos recentemente publicados é a apresentação da Geometria (na 5a série) com o estudo

(descritivo) de sólidos e a exploração de conceitos como sólidos redondos (podem rolar, se empurrados) e não redondos. As noções pelas

quais se iniciavam Os Elementos (ponto, reta, plano) são apresentadas posteriormente, por exemplo: o plano é apresentado como um

conceito abstrato, idealizado a partir de objetos concretos tais como o tampo de uma mesa na qual se apóiam os poliedros, ou as faces

de um sólido não redondo.

Informe que seqüência você utilizaria para a apresentação desse conteúdo e justifique sua escolha.

-

12Uma nova linha no ensino de Geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica. Trata-se da utilização de softwares de

construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo um certo número de suas propriedades.

a) Indique o nome de um desses softwares, descrevendo duas de suas potencialidades. (valor: 10,0 pontos)

b) Cite duas vantagens do uso de um desses softwares sobre a construção com régua e compasso em papel. (valor: 5,0 pontos)

c) Apresente um exemplo de propriedade geométrica que possa ser mais bem estudada na “Geometria Dinâmica” do que no ensinosem o computador. (valor: 5,0 pontos)


IMPRESSÕES SOBRE A PROVA

As questões abaixo visam a levantar sua opinião sobre a qualida-de e a adequação da prova que você acabou de realizar e tambémsobre o seu desempenho na prova.Assinale, nos espaços próprios (parte inferior) do Cartão-Res-posta, as alternativas correspondentes à sua opinião e à razãoque explica o seu desempenho.Agradecemos sua colaboração.

41Qual o ano de conclusão deste seu curso de graduação?(A) 2003.(B) 2002.(C) 2001.(D) 2000.(E) Outro.

42Qual o grau de dificuldade desta prova?(A) Muito fácil.(B) Fácil.(C) Médio.(D) Difícil.(E) Muito difícil.

43Quanto à extensão, como você considera a prova?(A) Muito longa.(B) Longa.(C) Adequada.(D) Curta.(E) Muito curta.

44Para você, como foi o tempo destinado à resolução da prova?(A) Excessivo.(B) Pouco mais que suficiente.(C) Suficiente.(D) Quase suficiente.(E) Insuficiente.

45A que horas você concluiu a prova?(A) Antes das 14 h 30 min.(B) Aproximadamente às 14 h 30 min.(C) Entre 14 h 30 min e 15 h 30 min.(D) Entre 15 h 30 min e 16 h 30 min.(E) Entre 16 h 30 min e 17 h.

46As questões da prova apresentam enunciados claros e objetivos?(A) Sim, todas apresentam.(B) Sim, a maioria apresenta.(C) Sim, mas apenas cerca de metade apresenta.(D) Não, poucas apresentam.(E) Não, nenhuma apresenta.

47Como você considera as informações fornecidas em cada ques-tão para a sua resolução?(A) Sempre excessivas.(B) Sempre suficientes.(C) Suficientes na maioria das vezes.(D) Suficientes somente em alguns casos.(E) Sempre insuficientes.

48Com que tipo de problema você se deparou mais freqüentementeao responder a esta prova?(A) Desconhecimento do conteúdo.(B) Forma de abordagem do conteúdo diferente daquela a que

estou habituado.(C) Falta de motivação para fazer a prova.(D) Espaço insuficiente para responder às questões.(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova.

49Como você explicaria o seu desempenho na prova, de um modogeral?(A) Não estudei durante o curso a maioria desses conteúdos.(B) Estudei somente alguns desses conteúdos durante o curso,

mas não os aprendi bem.(C) Estudei a maioria desses conteúdos há muito tempo e já os

esqueci.(D) Estudei muitos desses conteúdos durante o curso, mas nem

todos aprendi bem.(E) Estudei e conheço bem todos esses conteúdos.

1

MATEMÁTICAENC 2003

Questão 1

Padrão de Resposta Esperado

a) A região de integração é a região hachurada em:

0 ≤ x ≤ 3 e 3x ≤ y ≤ 1:

(valor: 5,0 pontos)

b) = =∫ ∫ ∫ ∫23 1 1 33 3

0 0 03x

yy yI e dydx e dxdy

c) . .= = = = −∫ ∫21 13 13 3 32

0 00 03 1.

yy y yxI e dy y e dy e e| | (valor: 5,0 pontos)

Questão 2


a) Os elementos do grupo G são as classes a que pertencem os números primos com 18, ou seja:

.{ }=_ _ _ __ _1 ; 5 ;7 ;11;13 ;17G (valor: 10,0 pontos)

b) De fato, =_5g , pois 50 = 1 ≡ 1 (mod 18) ; 51 = 5 ≡ 5 (mod 18) ; 52 = 25 ≡ 7 (mod 18) ; 53 ≡ 7 × 5 = 35 ≡ 17 (mod 18); 54 ≡ 5 × 17 = 85 ≡ 13 (mod 18)

e 55 ≡ 5 × 13 = 65 ≡ 11 (mod 18) (valor: 10,0 pontos)

Questão 3


a) f(x,y) = [x,y] [ ]

+= =

−−61 6

6 46 4x x y

x yx yy

x2 + 6xy + 6xy − 4y2 , isto é:

f(x,y) = x2 + 12xy − 4y2. (valor: 5,0 pontos)

b) Para achar os autovalores de A, resolvemos a equação det(A − λ I) = 0− λ

=− − λ

1 66 4

ou (λ − 5) (λ + 8) = 0, obtendo λ = 5 e λ = − 8.

Para λ = 5, um autovetor

x

y satisfaz − 4x + 6y = 0, ou seja,

x

y é um múltiplo de .

32

Para λ = − 8, um autovetor

x

y satisfaz 9x + 6y = 0, ou seja,

x

y é um múltiplo de .

−23

x

y

=3xy

1

0 3


2

MATEMÁTICAENC 2003

Portanto, um par de autovetores ortonormais de A é

−3 21 1e2 31313

Basta, então, tomar

−=

3 212 313

P ; como P é ortogonal, P −1 = P t. De fato: P −1 A P =

−= = =

− − − − − −3 2 1 6 3 2 3 2 15 16 65 0 5 01 1 1 1

13 132 3 6 4 2 3 2 3 10 24 0 104 0 813 13 que é uma matriz diagonal.


c) Se [ x y ] =

−3 212 313

xy

então f(x,y) = vt A v = .

= = = −−

2 25 0( ) 5 8

0 8t t t tPv APv v P APv v v x y (valor: 5,0 pontos)

Observação: O graduando não é obrigado a seguir a sugestão de usar autovetores ortonormais, podendo usar autovetores ortogonais;

isso permitiria, no item c), respostas da forma −2 2(5 8 ),k x y k positivo.

Questão 4


a) p(x) é de grau n e p'(x) de grau n – 1, logo q(x) deve ser do 1º grau, isto é, da forma q(x) = ax + b.

Sendo xn + an–1 xn–1 + ... + a1 x + a0 = (ax + b) [nxn–1 + (n – 1) an–1 x

n–2 + ... + a1 ] , efetuando-se o produto e igualando-se os coeficientes

de xn , obtém-se: a.n = 1, donde a = 1/n. Fazendo-se x0 = – b.n, tem-se q(x) = 1n (x − x0).

b) Da equação qp'− p = 0 temos (x − x0) p' − np = 0, que é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Nos pontos em que

p ≠ 0 e x ≠ x0 é possível separar as variáveis, fazendo a divisão por (x − x0)p:

=− 0

p np x x' , cuja solução é: ln|p | = n ln |x – x0| + c ou | p(x) | = k . | x – x0 |

n para uma constante k positiva ou p(x) = k (x – x0)n para

uma constante real não nula qualquer.

Observações: A solução p ≡ 0 é solução dessa equação, mas tem a derivada identicamente nula, não satisfazendo, portanto, a condiçãodo problema dado. Nos outros casos, por continuidade ou verificação direta, p(x) é solução da equação mesmo no ponto x0 em que seanula. Tem-se, então, que todos os polinômios da forma k (x – x0)

n , com k ≠ 0, são divisíveis por sua derivada e, pelo raciocínio acima,só estes satisfazem essa propriedade.

Questão 5


a)

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + = + + + + + = + ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇3 31 2 1 21 2 3

( . )( . ) ( . )( )

f X Xf X f X X X f f fdiv fX f X X X f div X f Xx y z x y z x y z (valor: 5,0 pontos)

b) div (f ∇f ) = f div ∇f + ∇f ⋅ ∇f = f .

∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂+ + + = +

∂ ∂ ∂||∇ || ∆ ||∇ ||2 2

ff fyx z f f f f

x y z (valor: 5,0 pontos)

(valor: 5,0 pontos)


3

MATEMÁTICAENC 2003

c) ∂ ⋅∂

∇∫ ∫S S=f dS f N dS

N e, pelo Teorema de Gauss–Ostrogradsky, segue

B

f ⋅ =∇ ∇∫ ∫S N dS div f dV, onde dV é o elemento de volume de .B

Substituindo, na fórmula no item b), as condições do item c), tem-se 5 f = f div ∇f + ∆f · ∆f = f div ∇f + || ∇f ||2 = f div ∇f + 2 f.

Daqui, sendo f não nula, div ∇f = 3. Donde:

B B

.= = =π∇ π∫ ∫f dVdiv dV 43 3. 43 (valor: 10,0 pontos)

Questão 6


a) De fato, multiplicando 0 < x < 2 por x > 0, tem-se 0 < x2 < 2x. Multiplicando-se 0 < x < 2 por 2 tem-se 0 < 2x < 4, donde

0 < x2 < 2x < 4 e, considerando as raízes quadradas 0 < x < f (x) < 2. (valor: 5,0 pontos)

b) Mostremos que, pela definição e pelo item a), a seqüência an está bem definida e é crescente e limitada superiormente.

Com efeito, a1 = 2 , então 0 < a1 < 2. Tem-se que a2 está bem definido e 0 < a1 < a2 < 2. Suponhamos que 0 < a1 < a2 < ... < an−2 < an−1 < 2 ;

novamente, tem-se pelo item a) que an está bem definido e 0 < an−1 < an < 2. Ou seja, a seqüência dada é crescente e limitada

superiormente (2 é cota superior), sendo, portanto, convergente. (valor: 5,0 pontos)

c) O limite existe e pertence ao intervalo ] 2 , 2]. Além disso, pela continuidade de f, obtém-se lim an+1 = lim f(an) = f(lim an) ou seja,

lim an = f(lim an). Assim, lim an é uma solução da equação x = f(x), no intervalo ] 2 , 2]. Ora, as soluções de x = x2 são as soluções

de x2 = 2x, que são 0 e 2, logo a única solução no intervalo em questão é 2, donde lim an = 2. (valor: 10,0 pontos)

2a alternativa de solução:

b) a1 = 21/2 ; a2 = (21/2+1)1/2 = 21/2(1+1/2) ; mostraremos por indução que a seqüência constitui-se de potências com base 2 cujos expoentes

são as reduzidas (somas parciais) da série geométrica de razão e 1º termo iguais a ½. Com efeito, supondo que

an = 2

+ + ... + −n1 1 1(1 )2 2 12 , teremos an+1 =

... − −+ + + + + + ...+ + =

nn n1 1

11 1 1 1 1 1 121 (1 ) (1 )2 2 2 2 22 22 2 .

Sendo convergente a série dos expoentes (série geométrica de razão ½ < 1), pela continuidade da exponencial de base 2, segue que

a seqüência an é convergente.

c) Pela continuidade da exponencial, o limite em questão é: lim an = ...

+ + + +−1 1 1 1lim (1 )2 2 1 222

nn

Como

..... + + = =

+ + +−

11 1 1 1 1 11 . . 1,12 2 222 1

2nn- tem-se afinal: lim an = 2.

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MATEMÁTICAENC 2003


b) Pelo item a), a função f leva o intervalo [ 2 , 2] nele próprio e, sendo f '(x) = x

12

, tem-se que f '(x) é positiva e decrescente, então,

no intervalo em questão, |f '(x)| ≤ f ' ( 2 ) < 0,6 < 1. Ou seja, f é uma contração do intervalo [ 2 , 2] nele mesmo e, pelo Teorema

do Ponto Fixo de Banach, qualquer seqüência definida por an+1 = f (an) com a1 ∈ [ 2 , 2] converge para o único ponto fixo dessa

contração nesse intervalo.

c) Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, esse limite é o único ponto fixo da contração f no intervalo [ 2 , 2]. Calculando as soluções

de x = x2 , tem-se que elas são as soluções de x2 = 2x, que são 0 e 2. O ponto fixo no intervalo em questão é, portanto, x = 2, donde

lim an = 2.

Observação: Uma 4a alternativa será refazer a prova do Teorema do Ponto Fixo de Banach, para este caso especificamente, mostrando

que a seqüência dos an é de Cauchy, usando um majorante menor que 1 para a derivada de f, que, no caso, pode ser 0,6. Prova-se que

0 < an+p – an < (0,6n+p+2 + 0,6n+p−3 + ... + 0,6n + 0,6n−1) (a2 – a1) e os demais resultados se seguem de raciocínios análogos.


Provaremos diretamente que lim an = 2.

Primeiramente, observemos que a1 ≥ 2 e que, se an ≥ 2 , então an+1 = ≥ ≥na2 2 2 2, o que prova, por indução, que an ≥ 2

para todo n natural.

− − −

− −−

.− − −

− = − = − = = +

≤n n nn n n

n

a a aa a a

a1 1 1

1 11

2 2 22 2 2 2 2 2 2

22 22

Daí, −−

− ≤ ≤a

n na 112

0 2 2

para todo n natural, e, pelo teorema do confronto (sanduíche), lim an = 2.

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MATEMÁTICAENC 2003

Questão 7


a) A altura máxima será igual a 2 + 30 = 32 metros. A velocidade angular será de =π π2 rad/s.120 60 (valor: 5,0 pontos)

b) É falsa porque a altura do passageiro para t = 15s será igual a

+ − = + − π ≅ <cos 22 15 15 15 . 2 15 15 . 6,4 m 8 m.60 2

(valor: 5,0 pontos)

c) Aos 75s a altura será igual a 2 + 15 − 15 cos π = 75 . 60

2 + 15 + 15 . ≅2 27,6 m. 2

(valor: 5,0 pontos)

d) ,( ) .

= − πth t cos17 15 60para t entre 0 e 120.

(valor: 5,0 pontos)

Questão 8


a) Fazendo u = bt, tem-se: ;= =dudt u bb

, se t = 1 ; u = ab, se t = a. Daí, .du duu= = =∫ ∫ ∫ ∫dt .

a ab ab ab

b b bb dt

t b u t1

1 1 (valor: 10,0 pontos)

b) = = + = + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 1 1 1

1 1 1 1 1( ) ( ) ( ).ab b ab b a

bln ab d t d t d t d t d t ln b ln a

t t t t t (valor: 10,0 pontos)

Questão 9


a) Seja F o número de faces e A o número de arestas do poliedro em questão. A soma dos ângulos internos de cada face é igual a(n – 2) . 180o , onde n é o número de lados dessa face. A soma S de todos os ângulos internos de todas as faces do poliedro será:

S = . . . .= = =

− ° − °= ° − ° = ° − ° = ° −∑ ∑ ∑F F F

. .k k kk k k

n n n F A F A F1 1 1

( 2) 180 Mas ( 2) 180 180 360 2 180 360 360 ( ) porque cada aresta do poliedro

é lado de 2 de suas faces. A fórmula acima agora segue da aplicação da Fórmula de Euler: V + F = A + 2, ou: A – F = V – 2. (valor: 10,0 pontos)

b) V = A + 2 – F = 15 + 2 – 12 = 5. (valor: 5,0 pontos)

c) Ainda que fosse possível que cada par destes 5 vértices fosse ligado por uma aresta, o número máximo de arestas seria

= =C25

(5.4)/2 10 15.< (valor: 5,0 pontos)

t

h

2

1200

32

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MATEMÁTICAENC 2003

Questão 10


a) De acordo com os PCN, os jogos 1) são objetos socioculturais em que a Matemática está presente; 2) são atividades naturais no desenvolvimento dos processos psicológicos básicos; 3) exploram o “fazer sem obrigação externa e imposta”; 4) podem ser usados, para crianças, como jogos de exercícios para atenuar a dificuldade com a repetição de atividades; 5) ajudam no trabalho com símbolos, convenções e regras; 6) desenvolvem a percepção da dependência da jogada do outro, o que dá lugar a um tipo de análise mais profunda, com estudo de

vários casos; 7) representam uma conquista cognitiva, emocional, moral e social; 8) constituem um desafio genuíno e provocante que gera interesse e prazer. (valor: 5,0 pontos)

b) Se o primeiro jogador escolhe x, 1 ≤ x ≤ 7, a soma passará a ser 32 + x. Essa soma está compreendida entre 33 (inclusive) e39 (inclusive). Bastará ao segundo jogador escolher 8 − x, o que é permitido porque 8 − x está compreendido entre 1 (inclusive)e 7 (inclusive), e anunciará a soma 32 + x + 8 − x = 40, ganhando o jogo. (valor: 5,0 pontos)

c) 32 é posição ganhadora, conforme exposto no item anterior. Raciocínio análogo mostra que são ganhadoras as posições24, 16, 8. O segundo jogador pode ganhar sempre, respondendo a cada escolha x do adversário com a escolha 8 − x.

(valor: 5,0 pontos)

d) Progressões aritméticas. (valor: 5,0 pontos)

Questão 11


Nessa questão, espera-se que o formando escolha uma estratégia e defenda coerentemente essa estratégia. Por exemplo:

• Uma possível justificativa para o início do estudo da Geometria pelos objetos tridimensionais é que estes são parte integrante darealidade do aluno: ele lida com caixas, joga bola, usa latas, etc. A aprendizagem se torna mais fácil ao lidar com objetos concretosdo que com abstrações, as quais não devem preceder os exemplos concretos. A partir daí são introduzidas as figuras de dimensãomenor como faces, arestas e vértices de poliedros, etc.

• A ordem de Euclides permite mais facilmente um encadeamento lógico. Uma possível justificativa para a ordem de Euclides éque o aluno também lida com paredes, tampos de mesas, letras, etc. que servem como modelos concretos de conceitos abstratos.


Questão 12


a) Cabri (programa francês Cabri – Géomètre), GEOPLAN, Geometer’s Sketchpad, Cinderella, Geometric SuperSupposer, GeometryInventor são alguns deles. Em linhas gerais, cada um deles, de acordo com seus recursos, traça figuras como se usássemos réguae compasso; permite a transformação de figuras, mantendo propriedades selecionadas e fornece medidas. (valor: 10,0 pontos)

b) Deverão ser indicadas duas vantagens, como por exemplo: • seu caráter exploratório; • a facilidade de construir uma grande quantidade de exemplos, com escalas mais precisas; • visualização do resultado da aplicação de transformações. (valor: 5,0 pontos)

c) Poderá ser apresentado qualquer dos exemplos a seguir. “Num triângulo isósceles, a altura, a mediana e a mediatriz relativas ao lado diferente coincidem.” “Em qualquer triângulo, as alturas relativas aos 3 lados se encontram num mesmo ponto”. Propriedades análogas para bissetrizes,

medianas e mediatrizes. “Um quadrilátero com 4 lados congruentes pode não ter os 4 ângulos congruentes.” “Um triângulo com os 3 lados congruentes tem, necessariamente, os 3 ângulos congruentes.” “Num plano, o lugar geométrico dos pontos cuja soma da distância a dois outros é constante é uma elipse.” (valor: 5,0 pontos)

Questão Prova 1 01 E 02 A 03 E 04 C 05 D 06 D 07 E 08 B 09 B 10 A 11 C 12 A 13 D 14 B 15 C 16 C 17 E 18 B 19 D 20 D 21 C 22 B 23 A 24 C 25 A 26 E 27 B 28 C 29 A 30 C 31 A 32 C 33 D 34 E 35 D 36 B 37 B 38 C 39 E 40 D

CADERNO - Professor Joaquim · senha pessoal e intransferível, ... Defina, no conjunto dos ... Uma...

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