Caderno do aluno matemática 3ª serie 2º bimestre

Caro(a) aluno(a),

Voc estudar, neste segundo volume, os temas: equaes algbricas, polinmios e nmeros complexos. Como sabemos, uma equao sempre representa uma pergunta envolvendo um termo desconhecido. Dessa forma, neste Caderno, voc compreender a representao de perguntas por equaes e buscar uma anlise qualitativa de situaes-problema. Na 8a srie/9o ano do Ensino Fundamental e na 1a srie do Ensino Mdio, o foco de estudos centra-se nas equaes de 2o grau, em vrios contextos. Na 3a srie do Ensino Mdio, voc ter contato com equaes de diferentes graus. Os temas apresentados no Caderno entrelaam-se e as atividades propostas buscam promover a compreenso das relaes entre o estudo dos polinmios e o estudo das equaes algbricas, e da importncia de articular a tcnica e o significado na resoluo de problemas. Enfim, o Caderno aborda a ampliao dos conjuntos numricos, trazendo a passagem dos nmeros reais aos nmeros complexos, o que amplia, tambm, nossa capacidade de expresso e de compreenso dos fenmenos que a realidade nos apresenta. Bons estudos! Faa das aulas de Matemtica um espao de investigao e conhecimento!Coordenadoria de Estudos e Normas Pedaggicas CENP Secretaria da Educao do Estado de So Paulo Equipe Tcnica de Matemtica

Matemtica - 3a srie - Volume 2

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 1 A EQUAO DE 3o GRAU E O APARECIMENTO NATURAL DOS NMEROS COMPLEXOSVOC APRENDEU?

1. J sabemos resolver completamente as equaes de 2o grau, obtendo as solues por meio da frmula de Bhaskara. Resolveremos, agora, a equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) seguindo um processo diferente. Esse processo poder, depois, nos ajudar a resolver equaes de 3o grau. a) Divida os dois membros da equao ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo: c b a __ x2 + __ x + __ = 0 a a a b c b) Substitua __ por B, __ por C e escreva x2 + Bx + C = 0. a a B c) Substitua x por y __, faa os clculos (o denominador 2 corresponde ao grau da equao) 2 B2 e verifique que a equao se transforma em y2 ___ + C = 0. 4

B 2 B y __ + B y __ + C = 0 2 2

3


B 4C d) Mostre que, em consequncia, y = _________.2

_______ 2

B e) Substitua, agora, os valores de y, de B e de C em x = y __, obtendo os valores de x. 2 (Voc identifica, nos clculos, a frmula de Bhaskara?)

f ) Resolva a equao 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores.

2. J sabemos que, se uma equao de 2o grau ax2 + bx + c = 0 (a 0) tiver duas razes distintas, x1 e x2, ento ela pode ser escrita na forma x2 Sx + P = 0, onde: b c S = x1 + x2 = ___ e P = x1 . x2 = __ a a4


S S 4P a) Verifique que, nesse caso, as razes x1 e x2 podem ser obtidas por x = ___________ .2

______

2 Em seguida, mostre que no existem dois nmeros reais cuja soma seja 10 e cujo produto seja 40. Ou seja, mostre que a equao x2 10x + 40 = 0 no tem razes reais. ______ S S2 4P . Para isso, voc pode utilizar a frmula x = ___________ 2

b) Mostre que no existem dois nmeros reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o qudruplo do produto dos dois nmeros.

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3. Responda s questes a seguir: a) Considere a equao x3 + 15x2 + 11x + 7 = 0. Substitua x por y 15 , ou seja, x = y 5, e 3 verifique que a nova equao em y no apresenta o termo em y 2 (o denominador 3 corresponde ao grau da equao).

B b) Mostre que, na equao x3 + Bx2 + Cx + D = 0, substituindo x por y , a nova equao 3 em y no apresenta o termo em y 2.

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Leitura e Anlise de Texto A frmula de Tartaglia e Cardano para resolver uma equao de 3o grau Dois matemticos do sculo XVI, Tartaglia e Cardano, elaboraram uma sequncia de passos para resolver a equao incompleta de grau 3 resultante da eliminao do termo de 2o grau, isto , uma equao do tipo y3 + My + N = 0. Vamos seguir essa sequncia de passos para resolver a equao y3 + 3y + 6 = 0. Acompanhe: Se voc nunca desenvolveu o binmio (p + q)3, poder faz-lo agora e obter: (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 Podemos rearranjar a igualdade anterior escrevendo: (p + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3 (p + q)3 p3 3p2q 3pq2 q3 = 0 Colocando em evidncia 3pq, vem: (p + q)3 3pq(p + q) (p3 + q3) = 0 Faremos, agora, uma comparao entre a equao acima e a equao que nos propomos resolver y3 + 3y + 6 = 0. (p + q)3 3pq(p + q) (p3 + q3) = 0 y3 + 3y + 6 =0 Dessa comparao, conclumos: 3pq = 3 ou pq = 1, ou, ainda, p3. q3 = 1 (p3 + q3) = 6 ou p3 + q3 = 6 Vamos considerar, agora, que determinada equao de 2o grau tenha uma raiz igual a p 3 e outra raiz igual a q 3. Se assim for, teremos a seguinte soma S e o seguinte produto P das razes dessa equao: S = p3 + q3 P = p3. q3 Conclumos, h pouco, que p3 + q3 = 6 e que p3. q3 = 1. Assim, para a equao de 2o grau imaginada, com razes p3 e q3, temos S = 6 e P = 1. Lembrando que uma equao de 2o grau pode ser escrita na forma x2 Sx + P = 0, temos: x2 + 6x 1 = 07


VOC APRENDEU? 1. Responda s seguintes questes: a) Aplique a frmula de Bhaskara para resolver a equao x2 + 6x 1 = 0, determinando as razes x1 e x2.

b) Lembrando que as razes da equao anterior so p3 e q3, determine os valores de p e de q.

c) Se voc acompanhou todos os passos da explicao, repetindo os mesmos procedimentos, poder mostrar a frmula de Cardano-Tartaglia, que possibilita encontrar as razes da equao de 3o grau do tipo y3 + My + N = 0. essa a frmula: ________________ ________________ ________ ________ 2 3 3 N N N N2 M3 M ___ + ___ + ___ + ___ ___ + ___ y= 2 27 2 27 4 4

3

8


2. Encontre uma raiz da equao y3 3y 2 = 0.

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3. Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paraleleppedo com a base retangular, de lados com 3 m e 5 m, e de altura igual altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal forma que o volume do cubo seja 4 m3 maior que o do paraleleppedo. a) Escreva a equao que traduz a exigncia a ser satisfeita pelo valor de x.

b) Use a frmula de Cardano-Tartaglia para determinar as razes da equao do item anterior. A que concluso voc chega?

c) Verifique diretamente na equao apresentada que x = 4 uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume de 64 m3 e o paraleleppedo com volume de 60 m3.

Observao! Como podemos interpretar o resultado do item b? Ser que a frmula de Cardano-Tartaglia no funciona sempre? Voc ver, na situao seguinte, um modo de prosseguir nos clculos e encontrar o resultado x = 4.10


4. Sabemos que o quadrado de qualquer nmero real no nulo, positivo ou negativo, sempre positivo. At aqui, em nosso percurso escolar, sempre que nos deparamos com a extrao da raiz quadrada de um nmero negativo, dizemos que ela no existe. Na Atividade 2 desta seo, tal deciso nos impediu de chegar a uma das razes da equao, uma vez que teramos de extrair a raiz quadrada de 121. Faremos, agora, um exerccio de imaginao: imaginemos que existam nmeros estranhos (certamente, no seriam nmeros da reta real) cujo quadrado seja negativo. a) Podemos verificar que, na verdade, bastaria existir um nmero estranho desses, como a raiz quadrada de 1, para que dele decorressem todas as outras razes de negativos. De fato, como 121 = 121.(1), bastaria sabermos quanto vale a raiz quadrada de 1. Como 1 no tem raiz real, vamos considerar que sua raiz um nmero imaginrio e o representaremos por i. Assim, i um nmero tal que i2 = 1. b) Retorne ao item b, da Atividade 3 desta seo. Considere 121 = 121 . 1 = 11 1. Denominando 1 = i, escreva 11i no lugar de 121 e indique a soluo da equao x3 15x 4 = 0.

c) Usando o fato de que a raiz cbica de um nmero outro nmero que, elevado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i uma raiz cbica de 2 + 11i. Ou seja, mostre que (2 + i)3 = 2 + 11i . Para isso, lembre-se de que i = 1.

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d) Retorne Atividade 3 desta seo. Mostre que a soluo x = 4 pode ser obtida a partir da frmula para as razes cbicas da equao x3 15x 4 = 0.

LIO DE CASA

1. Resolva a equao 2x2 10x + 12 = 0.

2. Determine uma raiz das seguintes equaes de 3o grau: a) x3 x 6 = 0

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b) x3 2x2 x + 2 = 0

VOC APRENDEU? 1. Supondo que so vlidas as propriedades das operaes com nmeros reais para os nmeros formados por uma parte real x e uma parte imaginria yi, sendo i = 1, efetue as operaes indicadas, apresentando o resultado mais simples possvel: a) (3 4i) + (5 + 3i) b) (11i + 7) (5 8i)

c) (2i 13).(7 5i)

d) (13 i).(13 + i)

e) i3 + i5 + i7

f ) i13

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 2 DAS FRMULAS ANLISE QUALITATIVA: RELAES ENTRE COEFICIENTES E RAZES

Leitura e Anlise de Texto Uma equao de 1o grau com uma raiz igual a p pode ser assim escrita: xp=0 Uma equao de 2o grau com uma raiz igual a p e outra raiz igual a m pode ser assim escrita: (x p).(x m) = 0 Escrita dessa maneira, dizemos que a equao est em sua forma fatorada. Aplicando a propriedade distributiva nessa expresso, obtemos algo que j conhecemos na Situao de Aprendizagem anterior, ou seja: x2 (p + m)x + pm = 0

Soma das razes

Produto das razes

VOC APRENDEU? 1. Agora, nesta Situao de Aprendizagem, voc obter expresses semelhantes a essa, de soma e produto das razes, para equaes de graus maiores do que 2. Comearemos com equaes de 3o grau. a) Escreva na forma fatorada uma equao de 3o grau com razes m, p e k.

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b) Escreva a forma fatorada de uma equao de 3o grau com razes 2, 3 e 4.

c) Desenvolva a equao do item anterior, aplicando a propriedade distributiva, e identifique a soma e o produto das razes na equao final.

d) Uma equao de 3o grau pode ser assim escrita: ax3 + bx2 + cx + d = 0. d b c Ou tambm dividindo toda a equao por a: x3 + __x2 + __x + __ = 0. a a a Retome a equao do item c e responda quanto , nessa equao: b __ ? a

c __ ? a

d __ ? a

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2. J vimos que uma equao de 3o grau ax3 + bx2 + cx + d = 0 pode ser escrita na forma: d b c x3 + __x2 + __x + __ = 0 a a a e tambm que, se essa equao tiver como razes r1, r2 e r3, ela pode ser fatorada e escrita na forma: (x r1).(x r2).(x r3) = 0 Efetuando as multiplicaes indicadas e ordenando, obtemos a forma equivalente: x3 (r1 + r2 + r3)x2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x r1r2r3 = 0 S1 S2 P

onde S1 = r1 + r2 + r3 a soma das razes, S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 a soma dos produtos das razes tomadas duas a duas e P = r1 . r2 . r3 a soma dos produtos das razes tomadas trs a trs, ou seja, o produto das razes. a) Se uma equao de 3o grau tem razes 2, 3 e 4, calcule S1, S2 e P.

b) Escreva a equao na forma fatorada.

c) Se voc aplicar a propriedade distributiva e eliminar os parnteses na equao do item anterior, qual ser a forma final da equao obtida?

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3. Uma equao de 3o grau tem razes 2, 3 e 5. Escreva essa equao na forma ax3 + bx2 + cx + d = 0.

LIO DE CASA

1. Escreva na forma x3 S1x2 + S2x P = 0 uma equao algbrica de grau 3 cujas razes so: a) 3, 5 e 1

b) 2, 7 e 3

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c) 2, 3 e 4

2. Escreva na forma fatorada uma equao algbrica de grau 4 cujas razes so: a) 2, 3, 4 e 5

b) 2, 3, 4, 5

c) 1, 0, 3, 7

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VOC APRENDEU? 1. Escreva todas as equaes da Atividade 2 da seo Lio de casa, na forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + + e = 0. Para isso, faa as multiplicaes que foram indicadas.

2. Dada a equao x3 8x2 + kx 24 = 0, responda: a) Quais so as possveis razes inteiras da equao?

b) Se a equao tiver duas razes simtricas, qual ser a terceira raiz?

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c) Se uma das razes for o inverso da outra, qual ser a terceira raiz?

d) possvel que a equao tenha uma raiz nula?

3. Sabendo que 1 raiz da equao x3 + 7x2 + kx 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas razes.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 3 EQUAES E POLINMIOS: DIVISO POR x k E REDUO DO GRAU DA EQUAOVOC APRENDEU? 1. Considere os polinmios A(x) = x2 3x + 2 e B(x) = x3 2x2 3x + 2. a) Calcule A(1) e B(1).

b) Calcule x para que A(x) = 0.

c) Se a, b e c forem as razes de B(x), quanto o produto de a . b . c?

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d) possvel termos A(x) = B(x)?

e) possvel termos A(x) B(x)?

2. Considere os polinmios A(x) = x3 3x + 2 e B(x) = x3 2x2 3x + 10. a) possvel termos A(x) = B(x)?

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b) possvel termos A(x) B(x)?

LIO DE CASA 1. Considere os polinmios:

__ P1(x) = ax5 11x4 2x3 + 7x2 + bx + d e P2(x) = bx5 + cx4 2x3 + 7x2 3 x + d

a) Determine os valores de a, b e c, de modo que os polinmios sejam idnticos.

b) Calcule o valor de d sabendo que 1 raiz da equao P1(x) = 0.

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2. Considere o polinmio P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x + 12. a) Mostre que x = 1 raiz da equao P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da diviso de P(x) pelo binmio x 1.

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VOC APRENDEU? 1. Considere o polinmio P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x 46. a) Mostre que x = 2 raiz da equao P(x) = 0.

b) Calcule o quociente da diviso de P(x) pelo binmio x 2.

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Leitura e Anlise de Texto Algoritmo de Briot-Ruffini Retome o enunciado da Atividade 1 da seo Voc aprendeu?. Existe um modo prtico para obter o quociente de P(x) = 3x5 2x4 + 5x3 11x2 7x 46 pelo binmio x 2. Observando os clculos efetuados, notamos que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e: coeficientea igual ao coeficiente de x5 em P(x): a = 3; o coeficienteb obtido somando-se ao coeficiente de x4 em P(x) o produto de 2 por o a: b = 2 + 2a; coeficientec obtido somando-se ao coeficiente de x3 em P(x) o produto de 2 por o b: c = 5 + 2b; coeficiented obtido somando-se ao coeficiente de x2 em P(x) o produto de 2 por o c: d = 11 + 2c; coeficientee obtido somando-se ao coeficiente de x em P(x) o produto de 2 por o d: e = 7 + 2d. Esses clculos podem ser organizados no algoritmo seguinte, conhecido como algoritmo de Briot-Ruffini, para a diviso de um polinmio por um binmio da forma x k:coeficientes de P(x) 3 2 5 11 7 46

raiz 2 3

3.2 4

4.2 13

13 . 2 15

15 . 2 23

23 . 2 0 resto da diviso

coeficientes de Q(x)

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23

Para verificar o entendimento do que se apresentou, construa em seu caderno o algoritmo acima para determinar o quociente da diviso de P(x) = x5 2x4 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x 3.27


VOC APRENDEU? 1. Responda s questes a seguir: a) Dado o polinmio P(x) = a0xn + a1xn1 + a2xn2 + a3xn3 +...+ an1x + an, mostre que o resto da diviso de P(x) por x k P(k).

b) Calcule o resto da diviso de P(x) = 3x5 + x4 + 3x3 7x + pelo binmio x + 3.

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2. Responda s seguintes questes: a) Mostre que a equao 2x4 9x3 + 6x2 + 11x 6 = 0 apresenta razes inteiras.

b) Resolva a equao do item anterior.

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SITUAO DE APRENDIZAGEM 4 NMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAO NO PLANO E SIGNIFICADO DAS OPERAES (TRANSLAES, ROTAES, AMPLIAES)

Leitura e Anlise de Texto Complexos, para qu? muito frequente ouvir falar mal dos nmeros complexos aqueles nmeros estranhos, formados por uma parte real x e uma parte imaginria yi, onde i um nmero tal que seu quadrado igual a 1, ou seja, i2 = 1. Os nmeros complexos so, efetivamente, estranhos ao primeiro olhar. Mas eles podem ser interpretados de modo significativo, bem como as operaes que realizamos sobre eles, e, ao sermos apresentados a tais temas, ampliamos nossa capacidade de expresso, de compreenso de fenmenos que a realidade nos apresenta. Querer limitar o estudo da Matemtica ao de contedos de aplicao imediata, sem levar em considerao seu valor expressivo, como querer limitar o ensino da lngua ao da redao de cartas, de memorandos, de relatrios, desprezando, por exemplo, a apreciao de um poema; afinal, Para que serve um poema?. A aprendizagem da lngua, no entanto, no pode prescindir de recursos expressivos que deem fora ao texto, da construo de imagens metafricas, etc. No se trata apenas de ensinar regras de redao, mas de desenvolver instrumentos e formas pessoais de expresso, e a literatura, de modo geral, fundamental para isso. Tambm no estudo de Matemtica existem assuntos para os quais no vislumbramos aplicaes prticas diretas, mas que se compem com os outros, contribuindo para a construo de uma forma consistente de expresso, de compreenso dos fenmenos que observamos. s vezes, um tema de Matemtica serve apenas de apoio a outro tema, este, sim, com uma ligao direta com a prtica; ambos, tanto o apoiador quanto o apoiado, precisam ser estudados. Como ser visto a seguir, os nmeros complexos e as operaes sobre eles podem ser associados realizao de movimentos de translao, de rotao, de ampliao, etc. Para que isso seja possvel, ser preciso conhecer um novo sistema de representao de nmeros: o plano complexo, ou plano de Argand-Gauss. Plano complexo significado dos complexos e das operaes sobre eles Representa-se um nmero real em uma reta numrica, como voc j deve ter feito inmeras vezes em sua vida escolar. 1 3 2,333... 3 2 2 4 1 0 1 2 2 3

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Um nmero imaginrio como i no pode ter as mesmas propriedades de um nmero real porque no um nmero real, ou seja, no se encontra na reta real ou entre os reais representados na reta. A reta real R encontra-se inteiramente preenchida com os nmeros racionais e os irracionais. Como representar, ento, tal nmero i e seus derivados, como toda a famlia de imaginrios yi, onde y um nmero real, bem como os nmeros mistos ou complexos, resultantes da soma dos reais x com os imaginrios yi? Como representar os nmeros complexos de modo a dar significado s operaes realizadas com eles? A ideia de representar os nmeros na forma z = x + yi como pontos de um plano pode parecer natural, mas permaneceu latente desde os trabalhos de John Wallis (1616-1703), durante muitas dcadas. Wessel e Argand trabalharam com tal ideia em situaes concretas, mas somente quando foi apresentada por Gauss, em 1799, como parte de sua tese de doutorado, tal representao ganhou fora e foi divulgada de modo amplo. Em resumo, a inspirao fundamental a seguinte:

N.(1) 0

N

N.i

N 0

Ni

Ni.i = N.(1) = N 0

N

uando se multiplica um nmero real por 1, sua imagem na reta real deslocada segundo q um arco de 180o, passando da semirreta positiva para a negativa, e vice-versa: N.(1) = N (resultado: rotao de 180o); uandosemultiplicaumnmerorealpori2, ou seja, por 1, como se tivssemos multiplicado o q nmero real por i e multiplicssemos o resultado novamente por i: N.(1) = N.i.i = N; eoresultadodasduasmultiplicaesidnticasesucessivasfoiumarotaode180o, seria natural s considerar o resultado de cada uma das multiplicaes parciais por i como resultado de uma rotao de 90o: N.i = Ni (rotao de 90o);32


ssim, multiplicar um nmero real por i corresponderia a representar tal nmero em um eixo a perpendicular ao eixo real. Essa pode ter sido a inspirao para a representao do nmero imaginrio i no eixo perpendicular ao eixo real, o que conduziu representao de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas unidades real 1 e imaginria i. O plano em que os complexos so representados constitui uma extenso da reta real e conhecido como plano complexo, ou plano de Argand-Gauss.eixo Imaginrio y z = x + yi

Ni

iN 0 1 N x eixo Real

VOC APRENDEU? 1. Dados os nmeros complexos z1 = 3 + 4i; z2 = 7; z3 = 7i e z4 = 3 4i, calcule o nmero complexo a + bi resultado de: a) z1 + z2 b) z1 + z3 c) z1 + z4

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d) z1 z4

e) z1.z2

f ) z1.z3

g) z3.z4

h) (z1.z4)2

i) (z1 + z4)3

j) (z1 z4)3

k) (z3 z1 + z4)3

l) ( z2 + z1 + z4)15

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2. Dados os complexos abaixo, represente-os no plano complexo, determinando o mdulo e o argumento de cada um deles: a) z1 = 3 + 3i b) z2 = 3 + 3i c) z3 = 3 3i d) z4 = 3 3i

a)

Im

b)

Im

Re

Re

c)

Im

d)

Im

Re

Re

35


3. Observe os nmeros complexos a + bi representados nos planos de Gauss e determine, para cada um, a medida do ngulo e do segmento que une o ponto (a, b) origem do sistema. a)Im

1

0 1 Re

b)Im

3

3 0 Re

36


c)

Im

3 2 1 2 1 1 1 3 2 Re

d)

Im

3 0 Re

3

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Leitura e Anlise de Texto Forma trigonomtrica de um nmero complexo Um nmero complexo z = x + yi tambm pode ser escrito de outra forma, destacando-se seu mdulo | z | e seu argumento . Sendo | z | = x 2 + y 2 , basta observarmos na representao plana dos complexos que x = | z |cos y = | z |sen . Substituindo-se na forma algbrica tais expresses,

obtemos z = | z |(cos + isen), que chamada forma trigonomtrica dos nmeros complexos.yeixo Imaginrio

z = x + yi |z| = x + y i 12 2

x = | z |cos y = | z |sen

|z| z = x + yi forma algbricaeixo Real

x

z = | z |(cos + isen) forma trigonomtrica

VOC APRENDEU? 1. Retorne ao enunciado da Atividade 2 da seo anterior. Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na forma trigonomtrica: z = | z | (cos + isen).

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2. Retome o enunciado da Atividade 3 da seo anterior e escreva na forma trigonomtrica cada um dos complexos l representados.

3. Represente no plano complexo os nmeros seguintes e, depois, escreva-os na forma trigonomtrica. a) z1 = 0 + 3iIm

Re

39


b) z2 = 3 + 0iIm

Re

c) z3 = 2 + 0iIm

Re

40


d) z4 = 2iIm

Re

LIO DE CASA

1. Represente no plano complexo os nmeros seguintes e, depois, escreva-os na forma trigonomtrica. a) z1 = 1 + 3iIm

b) z 2 = 1 + 3iIm

Re

Re

41


c) z 3 = 3 + i

Im

Re

d) z 4 = 3 i

Im

Re

42


2. Observe o mdulo | z | e o argumento das imagens dos nmeros complexos representados no plano de Argand-Gauss. Determine, em cada caso, a parte real (a) e a parte imaginria (b) de cada nmero complexo z = a + bi. a)Im

|z|

= 45o |z| = 8 Re

b)Im

|z|

= 120o |z| = 4 Re

43


c)Im

|z|

= 150o |z| = 6 Re

d)

Im

= 240o |z| = 2 Re

|z|

44


VOC APRENDEU? 1. Retome os nmeros complexos representados no plano de Argand-Gauss, na Atividade 2 da seo Lio de casa, e escreva-os na forma trigonomtrica.

2. Considere o complexo z = 5 + 12i, representado no plano de Argand-Gauss. Represente no plano complexo as imagens dos seguintes nmeros: a) z + 9

Im 18 16 14 12 10 8 6 4 2 6 4 2 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Re

|z|

45


b) z + 6i

Im 18 16 14 12 10 8 6 4 2 6 4 2 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Re

|z|

c) z 9

Im 18 16 14 12 10 8 6 4 2 6 4 2 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Re

|z|

46


d) z 6i

Im 18 16 14 12 10 8 6 4 2 6 4 2 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Re

|z|

e) z + 9 6i

Im 18 16 14 12 10 8 6 4 2 6 4 2 0 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Re

|z|

47


3. Escolha uma escala adequada para representar no plano de Argand-Gauss a imagem do nmero complexo z = 5 + 12i e, no mesmo plano, a imagem do complexo: a) 2z

b)

z 2

48


4. Considere a regio do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da regio a imagem de um complexo e ser objeto de uma transformao, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a regio resultante aps a transformao descrita em cada um dos itens a seguir.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

a) A cada ponto da regio ser somado o nmero real 5.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

49


b) A cada ponto da regio ser somado o nmero imaginrio 3i.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

c) A cada ponto da regio ser somado o nmero complexo 3 + 4i.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

50


d) Cada ponto da regio ser multiplicado pelo nmero real 2.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

e) Cada ponto da regio ser multiplicado pelo nmero real

1 . 2

eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

51


5. Considere a regio do plano complexo indicada na figura. Cada ponto da regio a imagem de um complexo e ser objeto de uma transformao. Represente no plano complexo a regio resultante aps a multiplicao de cada ponto da regio pelo imaginrio i.eixo Imaginrio

6

2

2

6

eixo Real

52


6. Considere a regio do plano complexo indicada a seguir. Cada ponto da regio a imagem de um complexo e ser objeto de uma transformao, indicada nas alternativas. Represente no plano complexo a regio resultante, se cada ponto da regio triangular:eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

a) for somado ao nmero real 9;eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

53


b) for somado ao nmero imaginrio 9i;eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

c) for somado ao nmero complexo 9 + 9i;eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

54


d) for multiplicado pelo nmero real 2;eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

e) for multiplicado pelo nmero imaginrio 2i.eixo Imaginrio

8

2

2

5

8

eixo Real

55


56

Caderno do aluno matemática 3ª serie 2º bimestre

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