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  • As Equaes de Schrdinger e Aplicaes

    Prof. Fbio Cezar Gonalves de Souza

    Tucuru/PA 2015

  • IntroduoQual o objetivo da mecnica clssica?

    Resp.: Encontrar x(t)!Para encontrar x(t), aplicamos a

    segunda Lei de Newton:

    Satisfazendo as condies iniciais doproblema x(t0).

    = = =

    2

    2d x UF ma mdt x

  • IntroduoO objetivo da mecnica quntica

    anlogo ao da mecnica clssica.x(t) funciona na mecnica quntica?

    Resp.: no funciona.Devemos encontrar uma funo de

    onda .Equao de Schrdinger:(x,t)

    = +

    2 2

    2(x,t) (x,t)i U(x) (x,t)t 2m x

  • Introduo A equao de Schrdinger desempenha

    um papel central na mecnica quntica.

    Sua importncia comparada as Leis deNewton na mecnica clssica.

    A compreenso de todo o sistema damecnica quntica baseia-se nassolues dessa equao.

  • IntroduoBreve histrico do desenvolvimento da

    teoria quntica: 1900 Max Planck

    A radiao de corpo negro:

    = = =

    pi pi

    = =

    hE hf E h E2 2EE

  • Introduo 1905 Albert Einstein

    Efeito fotoeltrico:

    Teoria da relatividade:= = E hf E

    E hf h hp p p 2c fk

    p k

    = = = =pi

    =

  • Introduo 1924 Louis de Broglie

    Como a luz parece ter ambas aspropriedades, de onda e de partcula, natural perguntar se a matria (por exemplo,eltrons e prtons) pode ter ambas ascaractersticas, de onda e partcula.

    Comprimento de onda dado por:

    = =h hp mv

  • Introduo 1926 Erwin Schrdinger

    Formula a mecnica ondulatria levando em considerao as hipteses de de Broglie.

    1927 Davisson e Germer Confirmam experimentalmente as hipteses

    de de Broglie, comprovando a difrao de eltrons.

  • A Funo de OndaPara caracterizar matematicamente

    uma onda classicamente, precisamos deuma funo do tipo:

    Que atende a seguinte equao de onda:

    f(x vt)

    =

    2 2

    2 2 2f 1 f

    x v t

  • A Funo de Onda Conhecendo para um movimento

    ondulatrio, temos toda informaonecessria sobre o movimento.

    descreve a distribuio deprobabilidade de uma partcula no espao.

    O modulo quadrado da funo deonda , de uma partcula em cadaponto a densidade probabilidade deencontrar a partcula nas vizinhanas doponto.

    (x,t)

    (x,t)

    2(x,t)

  • A Funo de Onda Uma partcula em 1-D, a grande-

    za e a probabilidade de encontraruma partcula no tempo t, no eixo x emtorno do ponto x.

    Essa interpretao, requer que:

    Existe uma probabilidade de 100% deencontrar a partcula em algum lugar douniverso.

    2(x,t) dx

    2(x,t) dx 1 =

  • A Funo de OndaEm geral, podemos dizer que para uma

    onda plana temos:

    Derivando em relao ao tempo:

    = = ikx i t i(kx t )0 0(x,t) e .e e

    (x,t)

    = =

    (x,t) (x,t)i (x,t) E (x,t) it t

    Felipe-PCHighlight

    Felipe-PCSticky Note valido identificar a forma ou artificio matematico utilizado.

    creio que ficar para a hora da apresentao, indicar q para chegar no resultado foi utilizado a relao de numeros complexos q (ixi=-1) e (i/i=1).

  • A Funo de OndaTomando a segunda derivada de em relao a x:

    (x,t)

    = =

    + =

    22

    2

    22

    2

    (x,t) (x,t)ik (x,t) k (x,t)x x

    (x,t) k (x,t) 0x

    Felipe-PCSticky Noteindicar a relao utilizada para o sinal negativo.

  • A Funo de OndaPara a partcula livre ( ):

    Eq. de Schrdinger para a partcula livre.

    = =cinE E ;U 0

    + =

    + = + =

    = =

    22

    2

    22 2

    2 2 2 2

    2 2 2 2

    2 2

    (x,t) k (x,t) 0x

    (x,t) p 2m (x,t) 2m(x,t) 0 E (x,t) 0x 2m x

    (x,t) (x,t) (x,t)E (x,t) i2m x t 2m x

    Felipe-PCSticky Noteno verifiquei uma indicao anteriormente na apresentao de que E=p/2m.

  • A Funo de OndaMas, no caso geral, no-relativstico:

    Eq. de Schrdinger dependente do tempo (postulado).

    = + = +

    = +

    = +

    2

    cin

    2

    2 2

    2

    pE E U(x) E U(x)2m

    pE (x,t) (x,t) U(x) (x,t)2m

    (x,t) (x,t)i U(x) (x,t)t 2m x

  • A Funo de OndaEm determinadas situaes (casos de

    E constante) podemos escrever , daseguinte maneira:

    Substituindo essa expresso na eq. deSchrdinger, obteremos:

    Eq. de Schrdinger independente do tempo.

    (x,t) = i t(x,t) (x)e

    [ ]2 2

    E (x) (x) U(x) (x) (x) E U(x) (x) 02m 2m

    = + + =

    Felipe-PCSticky Notepor que? sugestao que seja explicado matematicamento o porque, e como se parte de uma funo dependente de (x,t) e chega em uma funo dependente apenas de (x).

  • A Partcula Livre em 1-D

    Vamos utilizar o resultado obtidoanteriormente, para analisar o movimentode uma partcula livre (U(x)=0)), que sedesloca em uma dimenso:

    [ ]

    [ ]

    2 2

    2

    2 2

    2 2

    22

    2

    (x) E U(x) (x) 02m x

    2m (x) E U(x) (x)2m x

    (x) k (x) 0x

    + =

    =

    + =

  • A Partcula Livre em 1-D

    A soluo geral da forma:

    Como:

    ikx ikx(x) Ae Be = +ie cos isen =

    [ ]i(kx t )i(kx t )(x) A 'coskx B'senkx A ' (A B);B' i(A B)(x,t) A e Be +

    = + = + = = +

    Felipe-PCSticky NoteRelao de Euler

  • A Partcula Livre em 1-D

    Quando a soluo for do tipo:

    Onda propagantepara a direita.

    i(kx t )(x,t) A e

  • A Partcula Livre em 1-D

    Ou do tipo:

    Onda propagantepara a esquerda.

    [ ]i(kx t )(x,t) e +

  • A Partcula Livre em 1-D

    Para o clculo de , faamos:

    e

    onde

    (x,t)0A

    B 0= =

    ikx0(x) e =

    i(kx t )0(x,t) e =

    2k(k)2m

    = =

  • A Partcula Livre em 1-D

    A densidade de probabilidade de encontrara partcula ser:

    Ou seja, constante para

    2* * 2

    0(x,t) (x,t) = = = =

    x < < +

  • O Princpio da Incerteza

    O