BR9oamp3oLJ_

EMANOEL HENRIQUE CASTRO GOMES

INFLUENCIA DE EFEITOS NAtildeO BINAMOS

NO MEacuteTODO DE CASCATA INTRANUCLEAR

T E S E

o E

M E S T R A D O

CENTRO BRASILEIRO DE PESQUISAS F IacuteS ICAS

R I O OE JANEIRO

1 9 8 5

SUMARIO

RESUMO i

LISTA DE FIGURAS Uuml

INTRODUCcedilAtildeO I

CAPIacuteTULO 1 A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias 1

1 Motivaccedilatildeo 1

2 Fontes Experimentais 3

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densi_

dades e Temperaturas 4

4 Aspectos Experimentais 6

CAPITULO 2 Diferentes Aspectos Envolvidos no Meca

nismos de Reaccedilatildeo 13

1 Geometria da Colisatildeo 13

2 Evidecircncia Experimental para Colisotildees

Muacuteltiplas 16

3 Espectro Inclusivo de Protons 19

4 Produccedilatildeo de Pions 20

CAPIacuteTULO 3 Modelos Empregados no Tratamento das

Reaccedilotildees Nucleares 23

1 Introduccedilatildeo 23

2 Descriccedilatildeo dos Modelos 24

21 Modelos hidrodinacircmicos 24

211 Regiatildeo de Aplicabilidade 24

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica 26

213 Comparaccedilatildeo com Dados Experimentais 31

22 Modelos Teacutermicos 31

221 Modelo de Bola de Fogo 32

222 Modelo de tiras de Fogo 32

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Movimento 35

24 Cascata Intranuclear 36

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos 39

CAPIacuteTULO 4 A Importacircncia de Efeitos natildeo Binaacuterios nos

-Resultados Calculados com CIN 41

0 Introduccedilatildeo 41

1 Tratamentos Utilizados 42

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA 43

21 EQCLAS 44

22 CASCATA 48

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial 50

CAPIacuteTULO 5 Resultados e Anaacutelises 52

1 Introduccedilatildeo de um Sistema-Modelo para

Anaacutelise dos Resultados 52

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-i

Nuacutecleon 55

12 Procedimentos para Obtenccedilatildeo dos Resultados 56

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados 58

2 Formaccedilatildeo de Onda de Choque r-i Mateacuteria

Nuclear 64

21 Sistema-Modelo para Analise da

Formaccedilatildeo de Onda de Choque 64

22 Observaccedilotildees e Analise de Dados 68

CONCLUSSO 76

APEcircNDICE - mdash A 78

APEcircNDICE -laquo-- B 80

APEcircNDICE lt-~ C 84

APEcircNDICE mdash D 91

BIBLIOGRAFIA 96

RESUMO

Ecirc feita uma anaacutelise da importacircncia dos efeitos de

processos natildeo binatilderios no meacutetodo de Cascata Intranuclear vi-se

que nos estaacutegios onde a densidade ecirc maior as colisotildees natildeo bi

naacuterias levam a distribuiccedilotildees de densidade bariocircnica e de rapidez

diferentes das obtidas utilizando o meacutetodo de Cascata Intranu

clear usual (restrito agraves colisotildees puramente binatilderias) Discute-

se a validade da aplicaccedilatildeo do meacutetodo de Cascata Intranuclear

binaria na simulaccedilatildeo do equiliacutebrio teacutermico transparecircncia nu

clear e produccedilatildeo de partiacuteculas

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

SUMARIO

RESUMO i

LISTA DE FIGURAS Uuml

INTRODUCcedilAtildeO I

CAPIacuteTULO 1 A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias 1

1 Motivaccedilatildeo 1

2 Fontes Experimentais 3

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densi_

dades e Temperaturas 4

4 Aspectos Experimentais 6

CAPITULO 2 Diferentes Aspectos Envolvidos no Meca

nismos de Reaccedilatildeo 13

1 Geometria da Colisatildeo 13

2 Evidecircncia Experimental para Colisotildees

Muacuteltiplas 16

3 Espectro Inclusivo de Protons 19

4 Produccedilatildeo de Pions 20

CAPIacuteTULO 3 Modelos Empregados no Tratamento das

Reaccedilotildees Nucleares 23

1 Introduccedilatildeo 23

2 Descriccedilatildeo dos Modelos 24

21 Modelos hidrodinacircmicos 24

211 Regiatildeo de Aplicabilidade 24

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica 26

213 Comparaccedilatildeo com Dados Experimentais 31

22 Modelos Teacutermicos 31

221 Modelo de Bola de Fogo 32

222 Modelo de tiras de Fogo 32

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Movimento 35

24 Cascata Intranuclear 36

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos 39

CAPIacuteTULO 4 A Importacircncia de Efeitos natildeo Binaacuterios nos

-Resultados Calculados com CIN 41

0 Introduccedilatildeo 41

1 Tratamentos Utilizados 42

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA 43

21 EQCLAS 44

22 CASCATA 48

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial 50

CAPIacuteTULO 5 Resultados e Anaacutelises 52

1 Introduccedilatildeo de um Sistema-Modelo para

Anaacutelise dos Resultados 52

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-i

Nuacutecleon 55

12 Procedimentos para Obtenccedilatildeo dos Resultados 56

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados 58

2 Formaccedilatildeo de Onda de Choque r-i Mateacuteria

Nuclear 64

21 Sistema-Modelo para Analise da

Formaccedilatildeo de Onda de Choque 64

22 Observaccedilotildees e Analise de Dados 68

CONCLUSSO 76

APEcircNDICE - mdash A 78

APEcircNDICE -laquo-- B 80

APEcircNDICE lt-~ C 84

APEcircNDICE mdash D 91

BIBLIOGRAFIA 96

RESUMO

Ecirc feita uma anaacutelise da importacircncia dos efeitos de

processos natildeo binatilderios no meacutetodo de Cascata Intranuclear vi-se

que nos estaacutegios onde a densidade ecirc maior as colisotildees natildeo bi

naacuterias levam a distribuiccedilotildees de densidade bariocircnica e de rapidez

diferentes das obtidas utilizando o meacutetodo de Cascata Intranu

clear usual (restrito agraves colisotildees puramente binatilderias) Discute-

se a validade da aplicaccedilatildeo do meacutetodo de Cascata Intranuclear

binaria na simulaccedilatildeo do equiliacutebrio teacutermico transparecircncia nu

clear e produccedilatildeo de partiacuteculas

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

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i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

21 Modelos hidrodinacircmicos 24

211 Regiatildeo de Aplicabilidade 24

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica 26

213 Comparaccedilatildeo com Dados Experimentais 31

22 Modelos Teacutermicos 31

221 Modelo de Bola de Fogo 32

222 Modelo de tiras de Fogo 32

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Movimento 35

24 Cascata Intranuclear 36

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos 39

CAPIacuteTULO 4 A Importacircncia de Efeitos natildeo Binaacuterios nos

-Resultados Calculados com CIN 41

0 Introduccedilatildeo 41

1 Tratamentos Utilizados 42

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA 43

21 EQCLAS 44

22 CASCATA 48

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial 50

CAPIacuteTULO 5 Resultados e Anaacutelises 52

1 Introduccedilatildeo de um Sistema-Modelo para

Anaacutelise dos Resultados 52

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-i

Nuacutecleon 55

12 Procedimentos para Obtenccedilatildeo dos Resultados 56

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados 58

2 Formaccedilatildeo de Onda de Choque r-i Mateacuteria

Nuclear 64

21 Sistema-Modelo para Analise da

Formaccedilatildeo de Onda de Choque 64

22 Observaccedilotildees e Analise de Dados 68

CONCLUSSO 76

APEcircNDICE - mdash A 78

APEcircNDICE -laquo-- B 80

APEcircNDICE lt-~ C 84

APEcircNDICE mdash D 91

BIBLIOGRAFIA 96

RESUMO

Ecirc feita uma anaacutelise da importacircncia dos efeitos de

processos natildeo binatilderios no meacutetodo de Cascata Intranuclear vi-se

que nos estaacutegios onde a densidade ecirc maior as colisotildees natildeo bi

naacuterias levam a distribuiccedilotildees de densidade bariocircnica e de rapidez

diferentes das obtidas utilizando o meacutetodo de Cascata Intranu

clear usual (restrito agraves colisotildees puramente binatilderias) Discute-

se a validade da aplicaccedilatildeo do meacutetodo de Cascata Intranuclear

binaria na simulaccedilatildeo do equiliacutebrio teacutermico transparecircncia nu

clear e produccedilatildeo de partiacuteculas

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

2 Formaccedilatildeo de Onda de Choque r-i Mateacuteria

Nuclear 64

21 Sistema-Modelo para Analise da

Formaccedilatildeo de Onda de Choque 64

22 Observaccedilotildees e Analise de Dados 68

CONCLUSSO 76

APEcircNDICE - mdash A 78

APEcircNDICE -laquo-- B 80

APEcircNDICE lt-~ C 84

APEcircNDICE mdash D 91

BIBLIOGRAFIA 96

RESUMO

Ecirc feita uma anaacutelise da importacircncia dos efeitos de

processos natildeo binatilderios no meacutetodo de Cascata Intranuclear vi-se

que nos estaacutegios onde a densidade ecirc maior as colisotildees natildeo bi

naacuterias levam a distribuiccedilotildees de densidade bariocircnica e de rapidez

diferentes das obtidas utilizando o meacutetodo de Cascata Intranu

clear usual (restrito agraves colisotildees puramente binatilderias) Discute-

se a validade da aplicaccedilatildeo do meacutetodo de Cascata Intranuclear

binaria na simulaccedilatildeo do equiliacutebrio teacutermico transparecircncia nu

clear e produccedilatildeo de partiacuteculas

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

RESUMO

Ecirc feita uma anaacutelise da importacircncia dos efeitos de

processos natildeo binatilderios no meacutetodo de Cascata Intranuclear vi-se

que nos estaacutegios onde a densidade ecirc maior as colisotildees natildeo bi

naacuterias levam a distribuiccedilotildees de densidade bariocircnica e de rapidez

diferentes das obtidas utilizando o meacutetodo de Cascata Intranu

clear usual (restrito agraves colisotildees puramente binatilderias) Discute-

se a validade da aplicaccedilatildeo do meacutetodo de Cascata Intranuclear

binaria na simulaccedilatildeo do equiliacutebrio teacutermico transparecircncia nu

clear e produccedilatildeo de partiacuteculas

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

ii

F I G U R A S

1 - Massas de trojecirctil e energias representativas de aceshy

leradores (te ions pesados

2 - Possiacutevel fases da materia nuclear em altas densidashy

des e temperaturas As linhas tracejadas indicaraquo os

possiacuteveis domiacutenios de densidade e temperatura que se

espera atingir em colisotildees nucleares em diferentes

energias incidentes Os caminhos a e b ilustram difeshy

rentes maneiras em que a energia disponiacutevel pode ser

usad ou para compressatildeo ou para excitaccedilaacuteo interna

d hadrons

3 - Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca + Pb em

21 AGev onde se vecirc

fi) colisatildeo perifeacuterica

(b) colisatildeo um pouco mais violentaraquo mas natildeo frontal

(c) colisatildeo frontal

4 - (a) espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons na coshy

lisatildeo C+C a 21 GevA

(b) espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA

(c) espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA

5 - Representaccedilatildeo diagramacirctica do modelo participante-es-

pectador e a regiatildeo cinemaacutetica em que as partiacuteculas

a-gt possiacuteveis de ser emitidas

8

9

10

11

12

13

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

6 - (a) seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nushy

clear para fragmentos do projeacutetilraquo quando comparashy

da com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

(b) seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas a grandes acircngushy

los quando comparadas com a eq 38 com Zeff dashy

do pela eq 37

18

7 - Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protons na colisatildeo C+C a 800 MevA

Os valores observados do grau de coplanaridade C deli

nido pela eq 38 satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do proton 19

8 - Espectro de energia de proton em e_=9Q9 em colisotildees a

800 AMev de C+C Ne+NaP e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como

exp (-E^IECcedil)) 21

9 - Multiplicidade meacutedia de pions 22

10 - Multiplicidade meacutedia de protons 2

11 - Espectro de energia de pions para acircngulo 9 C Ma 9 0 ccedilraquo n a s

reaccedilotildees de Ne+NaP atildes energias incidentes EinAraquo0408

e 1 Gev 23

12 - Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com ions pesados

na faixa EinAlt2 Gev Xraquolivre caminho meacutedio R-dimen-

satildeo do sistema Tlaquotempo de relaxaccedilatildeo tlaquoescala de

tempo do processo ddistacircncia meacutedia entre nucleons e

olaquoseccedilatildeo de choque total de nucleon-nucleon 24

13 - Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de mateacuteria calculada

com um modelo hldrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs di-

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

ferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de impacshy

to sao sedidos em unidades do paracircmetro de impacto macircxi

bullo que corresponde acirc soma dos raios do projeacutetil e do ai

vo A energiaraquo por nucleon do feixe incidente ecirc 250 Hav 29

14 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados expe

rimentais de espectro de energia de partiacuteculas carrega-

20 238 das da colisatildeo de Ne + U em uma energia de labora

tocircrio de 250 NevA Os histogramas na coluna da esquershy

da datildeo os resultados calculados com o modelo de um uacutenishy

co fluido e aqueles da direita dagraveo os resultados ca leu

lados com o modelo de dois fluidos 29

15 - Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

fireball e firestreak com resultados experimentais de

espectros de energia em pequenos acircngulos da colisatildeo

20Ne + 2 3 8uuml a 250 AHev 32

16 - Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais 35

17 - Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de Man

te Cario) levando em conta o movimento de Fermi compa

rados com dados experimentais 38

18 - Representaccedilatildeo do potencial que i utilizado no modelo

EQCLAS Rnraio de interaccedilatildeo Vcpotencial constante na

regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos raios

r_ e r onde r_ eacute o raio que define a esfera de po -c n c

tencial infinito 42

M - Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

20 - Represoutaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As seshy

taraquo representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa y No

que segue fica entendido que as setas nas figuras reshy

presentaraquo o movimento desta partiacutecula 43

21 - Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1) 43

22 - Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uaa reflexatildeo na reshy

giatildeo de potencial infinito 43

23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizanos A 1JL

nha tracejada representa potenciais degrau que se ajusshy

tam ao potencial representado pela linha continua 47

24 - Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do alshy

vo e suas posiccedilotildees iniciais a=aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapas projeacutetil

e alvo respectivamente 53

25 - Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade 53

26 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS os instanshy

tes foram escolhidos de modo a evidenciar as etapas

principais do processo 58

27 - Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito na

fig 26 58

28 - Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas 64

29 - (a) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso CASCATA Ap-1 representa a parede

(b) desenvolvimento temporal da densidade bariocircnica no

caso EQCLAS Os instantes satildeo os mesmos mostrados

na fig 29 (a)

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

30 - (a) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso CASCATA Os instantes coshy

incideraquo com aqueles da fig 29 (a)

(b) desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densishy

dade de rapidez no caso EQCLAS Os instantes coinshy

cidem coa aqueles da fig 29(a)

66

31 - Representaccedilatildeo da geometria da reflexatildeo em Rn Estatildeo re

presentadas todas as grandezs utilizadas no caacutelculo 80

32 - Geometria da refraccedilatildeo da regiaacuteo (1) para a (2) Estatildeo

representadas todas as grandezas utilizadas no caacutelculo 81

33 - Geometria da refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) e tamshy

beacutem da reflexatildeo no ponto P a qual substitui o processhy

so das duas ref raccedilotildees da regiatildeo (1) para a (2) e desshy

ta para a (1) 82

34 - Geometria da reflexatildeo em Re e tambeacutem da reflexatildeo no

ponto P a qual substitui todo o processo de refraccedilatildeo

da regiaacuteo (1) para a (2) em seguida a reflexatildeo em Re

e por uacuteltimo a refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1) Toshy

das as grandezas utilizadas nos caacutelculos satildeo mostradas 83

35 - Representaccedilatildeo da compressatildeo homogecircnea V0laquovolume inlci

ai V-voluroe final RA-raio de interaccedilatildeo aumentado 86

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

INTRODUCcedilAtildeO

As reaccedilotildees nucleares com Ions pesados a altas

energias (RIP) vem sendo estudadas relativamente haacute pouco tempo

(a partir dos anos 70) Existe uma grande expectativa dos acon

tecimentos nesta aacuterea da fiacutesica especialmente pela possibilida

de prevista pela cromodinatildemica quacircntica da existecircncia de um

estado de plasma de quarks e gluons para a mateacuteria nuclear em

altiacutessimas energia e pressatildeo

Tradicionalmenteraquopodemos dizer que o estudo das

colisotildees nucleares tem sido levado a efeito atraveacutes de vaacuterias

experiecircncias com colisotildees nucleares com feixes de partiacuteculas

elementares as quaispasso a passo estabeleceriam caracteriacutesticas

do nuacutecleo como tamanho forma massa densidade composiccedilatildeo

etc Estas experiecircnciasapesar de muito importantes para o

conhecimento dos estados fundamentais dos nuacutecleos pouco nos

informam sobre as propriedades da mateacuteria nuclear

Com o desenvolvimento dos aceleradores modernos

tornou-se possiacutevel acelerar partiacuteculas de massas maiores como

ions pesados a energias cada vez mais altas e com isso investi

gar mais profundamente o comportamento dinacircmico das partiacuteculas

no interior do nuacutecleo e a possibilidade de existecircncia de novos

estados da mateacuteria nuclear

Por natildeo haver um meacutetodo geral de investigaccedilatildeo das

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

RIP a sua anaacutelise baseia-se ea laquoodeloa que enfatizam diversos

aspectos do processo de reaccedilatildeo Entre esses Modelos existeraquo

aqueles que satildeo baseados no meacutetodo de Cascada Intranuclear (CIN)

Neste seacute todo a hipoacutetese de trabalho ecirc que todas as colisotildees

entre nuacutecleons satildeo do tipo binario isto eacute os nuacutecleons colidem

entre si somente dois a dois No entanto com respeito a isso

uma questatildeo fundamdashntal se coloca quanto atilde utilizaccedilatildeo do meacutetodo

de CIM Seriam os efeitos de colisotildees natildeo binaries realmente

irrelevantes Eles afetas que tipos de resultados oferecidos

por CIM

Observa-se atraveacutes da literatura que o seacutetodo

de CIN eacute amplamente utilizado mas ainda natildeo foi feito um estu

do sistemaacutetico da importacircncia dos efeitos de colisotildees natildeo bina

rias Os dados experimentais das RIP mostram a existecircncia natildeo

despreziacutevel das colisotildees natildeo binaries na medida em que ateacute

mesmo aspectos hidrodinacircmicos chegam a se manifestar

Como podemos estimar os efeitos de processos natildeo

binacircrios os quais o meacutetodo de CIN exclui a priori A nossa

ideacuteia consiste em considerar um sistema de muitas partiacuteculas em

colisatildeo e comparar os resultados do caacutelculo de cascata com os

resultados obtidos com outro meacutetodo (onde as colisotildees binaacuterias

tambeacutem satildeo incluiacutedas)

Neste trabalho introduzimos um sistema modelo

para estabelecer esta comparaccedilatildeo e para o meacutetodo capaz de in

clulr colisotildees natildeo binaacuterias tomamos o meacutetodo de equaccedilatildeo claacutessi

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

ca de movimento Sendo assim apenas os efeitos oriundos de mo

vimento claacutessico de muitas partiacuteculas sem levar em conta os

efeitos quacircnticos ou relativlsticos satildeo considerados Para

efeito de comparaccedilatildeo a soluccedilatildeo das equaccedilotildees de movimento clatildesraquo

sicas eacute tomada como soluccedilatildeo exata do problema

No capitulo 1 damos uma visatildeo geral da fiacutesica de

altas energias juntamente com diversas questotildees hoje em aberto

na atilderea No capiacutetulo 2 tratamos vaacuterias peculiaridades ineren

tes ao mecanismo das RIP Diversos modelos utilizados na aborda

gem das RIP satildeo discutidos no capiacutetulo 3 enquanto que no capiacute

tulo 4 comentamos em detalhe os dois modelos que utilizamos No

capitulo 5 apresentamos os procedimentos adotados e os resulta

dos obtidos Finalmente satildeo apresentadas as conclusotildees e algu

mas sugestotildees Vaacuterios caacutelculos relevantes para o entendimento

dos mcdelos utilizados satildeo apresentados em apecircndices

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

CAPITULO 1

(A Fiacutesica Nuclear de Altas Energias)

1 Motivaccedilatildeo

Ateacute recentemente o estudo experimental das pro

priedades da mateacuteria nuclear em altas densidades eou temperatu

ras tem sido inacessiacutevel Isto por duas razotildees principais

1) A mateacuteria nuclear satura numa densidade fdego ^ O^STfmi com

energia volumecirctrica por nuumlcleon J^ amp t^tl natildeo existindo na

forma com que se apresenta nos estados fundamentais dos nuacutecleos

com densidades e energias maiores que as especificadas acima

2) Os experimentos realizados ateacute entatildeo (ou seja utilizando -

se feixes de eleacutetrons plons procirctons ou nuacutecleos em baixas ener

gias) natildeo podem comprimir apreciavelmente a mateacuteria nuclear nem

excita-la a altas temperaturas Na naturezaa forccedila de gravita

ccedilatildeo comprime a mateacuteria nuclear a altas densidades no interior

de estrelas de neutrons e o processo que leva acirc formaccedilatildeo de

supernovas tambeacutem envolve altas densidades e temperaturas No

entanto o conhecimento que temos sobre estes objetos satildeo for

temente dependentes do proacuteprio comportamento que atribuiacutemos acirc

mateacuteria nuclear

Com o advento dos aceleradores de lons pesados

tem-se a oportunidade de um estudo sistemaacutetico das propriedades

da mateacuteria nuclear fora do estado fundamental Enquanto com fei

xes de partiacuteculas elementares se produzia apenas uma perturba

ccedilao localizada na mateacuteria nuclear feixes nucleares de iacuteons

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

pesados podem alteraacute-la drasticamente em um volume do espaccedilo-

tempo multo maior Todavia como temos acesso experimental ape

nas aos estados finais da colisatildeo onde as partiacuteculas estatildeo

espalhadas ou seja longe da regiatildeo de intensas densidades e

temperaturas a tarefa que se impotildee i a partir da di tribuiccedilatildeo

de partiacuteculas e momenta destes estados finais se tentar extrair

as propriedades da mateacuteria nuclear no auge da colisatildeo Para

isto i necessaacuterio em primeiro lugar entender os mecanismos batilde

sicos de compressatildeo equiliacutebrio expansatildeo e de interaccedilotildees no

estado final

Mesmo na faixa de energia onde natildeo se espera uma

mudanccedila draacutestica no comportamento da mateacuteria nuclear existem

ainda observaccedilotildees natildeo explicadas cuja elucidaccedilatildeo se faz impres

ciacutendlvel para um melhor direcionamento dos objetivos que se de

seja alcanccedilar com as reaccedilotildees nucleares em altas energias Por

exemplo na faixa de energia de fCOMj4 ampfacirc C 1 (rV algumas

destas questotildees potildeem-se em destaque bull (1) Por que a distri

buiccedilatildeo angular de uma e de duas partiacuteculas para fragmentos le

ves apresenta componentes natildeo estatiacutesticos em eventos de alta

multiplicidade (2) A que se deve a pequena razatildeo de deuteron

para protildeton (3) Como explicar o livre caminho meacutedio extrema

mente pequeno de alguns nuacutecleos secundaacuterios produzidos em coli

soes nucleares

A primeira questatildeo se refere ao comportamento dos

nuacutecleons isto atilde eles se comportam como um fluido ou como um

gaacutes de nuacutecleons em cascata 7 Em outras palavras o nuacutecleo flui

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter

Se for esto o caso entatildeo devemos examinar a equaccedilatildeo de estado

da mateacuteria nuclear A segunda questatildeo levanta um aspecto inte

ressante acerca da entropia (os graus de liberdade do sistema

nuclear excitado) Satildeo os graus de liberdade dos nuumlcleons sufi

cientes para explicar a entropia aparentemente alta Finalmenteraquo

a terceira questatildeo levanta suspeitas sobre a possibilidade da

formaccedilatildeo de um novo estado nuclear de vida-meacutedia longa com altas

densidades bariocircnicas e alta energia de excitaccedilatildeo os ancnalons

2 Fontes Experimentais

As duas principais maacutequinas no campo de colisotildees

nucleares a altas energias satildeo o Bevalac construiacutedo em

Berkeley (EUA) e o Synchrophasotronraquo em Dubna (USSR) que

aceleram nuacutecleos de massa intermediaacuteria como Ai ateacute ener

gias da ordem de alguns A poundr A bull Apesar da energia de feixe

fornecida pelo Synchrophasotron ser maior do que aquela forneci

da pelo Bevalac este fornece uma intensidade de feixe

bem maior

Para energias eou massas menores vaacuterios paiacuteses

podem ser citados como Estados Unidos Franccedila Russia Japatildeo

Alemanha etc Um quadro simplificado incluindo estas maacutequinas

(e aquelas que estatildeo sendo projetadas) eacute fornecido pela figl

que relaciona a energia com a massa do projeacutetil para cada uma

Outras fontes experimentais satildeo aquelas forneci

das pelos raios coacutesmicos a vantagem aqui aacute a natildeo limitaccedilatildeo da

4

energia incidente ( poundlaquo raquo fO t w ) Em geral as experiecircn

cias satildeo realizadas em montanhas (por exemplo Clacaltaya) em

balotildees em sateacutelites e espaccedilonaves Espera-se que no futuro

estes dois uacuteltimos meios venham a ser mais explorados Devido acirc

grande experiecircncia do Brasil em raios coacutesmicos (cf o grupo do

prof C Lattes e a colaboraccedilatildeo Brasil-Japatildeo a pesquisa de

reaccedilotildees nucleares a altas energias pode ser desenvolvida hoje

aqui em nosso pais

oraquo

il 10-

01

001

bull I I I | I T I I

VENUS (LBL1

_ SYNCHROPHASOTRON IDUBNA)

BEVALAC (L8L)

SATUHNlSACUiacute)

MSUII

IBM J f - r o S B ^ - ^ ^

SUPBMLACtLeU

- i i mdash j -30

Projectile chorg

CO

Fig 1 Massas de projeacutetil e energias representativas de acele

radores de iacuteons pesados poundUamp 6

3 Fases da Mateacuteria Nuclear em Altas Densidade e

Para colisotildees em energias mais altas

amplaquo gt euroampamp ) esperamos novos aspectos A fig 2

5

ilustra algumas especulaccedilotildees teoacutericas sobre novas fases da

mateacuteria nuclear que podem surgir em altas densidade deg e

temperatura T bull 0 uacutenico ponto desta figura que conhecemos ecirc

ft T ) (ftt 0 ) Em termos especulativos o aumento de deg fi

xando-se T ou vice-versa podem produzir comportamentos dife

rentes da mateacuteria nuclear as transiccedilotildees entre estados e mesmo

os proacuteprios estados podem ser distintos em um e outro caso No

entanto espera-se que em altas densidades eou temperaturas a

mateacuteria nuclear se transforme em um plasma de quarks e gluons

NUCLEAR DENSITY

Fig 2raquo Possiacuteveis fases da mateacuteria nuclear em altas densidades

e temperaturas As linhas tracejadas indicam os possiacute

veis domiacutenios de densidade e temperatura que se espera

atingir em colisotildees nucleares em diferentes energias

incidentes Os caminhos a e b ilustram diferentes manai

ras em qua a energia disponiacutevel pode ser usada ou para

o

compressatildeo ou para excitaccedilatildeo interna de iatildedrons(apound 6)

De um ponto de vista experimental os problemas

que surgem e que atrapalham a deduccedilatildeo das propriedades da matecirc

ria nuclear satildeo em primeiro lugaro fato de que pode natildeo se

conseguir estabelecer um equiliacutebrio teacutermico local em uma fraccedilatildeo

significante do volume nuclear segundo a fase de expantao da

colisatildeo pode distorcer os sinais que esperamos observar da fase

quente e densa da colisatildeo devido a interaccedilotildees ocorridas neste

processo Finalmente o fato de lidarmos com sistemas finitos

nos obriga a levar em conta efeitos de superfiacutecie

4 Aspectos Experimentais

Em colisotildees nucleares a altas energias satildeo pre

dominantes trecircs tipos de ocorrecircncias as figs 3(a) e 3(b)

mostram dois tipos e a fig 3(c) um terceiro tipo a fig 3(a)

mostra um jato dianteiro onde todos os fragmentos da colisatildeo

se concentram na direccedilatildeo do nuacutecleo projeacutetil Tal evento surge

de uma colisatildeo com grande paracircmetro de impacto entre os nuacutecleos

(colisatildeo perifeacuterica) onde o projeacutetil e o alvo tocam-se levemen

te A transferecircncia de energia entre estes dois nuacutecleos eacute rela

tivaroente pequena de modo que o nuacutecleo projeacutetil quebra-se em

alguns fragmentos com velocidades proacuteximas da velocidade do

feixe A fig 3(b) mostra ainda um jato dianteiro mas ao mesmo

tempo metade dos traccedilos satildeo observados em grandes acircngulos Isto

sugere que dois tipos de mecanismos de reaccedilatildeo operam neste even

tot um em que uma parte do nuacutecleo projeacutetil interage fracamente

con o alvo (criando o jato dianteiro) e o outro en que a parte

restante do projeacutetil Interage fortemente (criando o espalhamen

to em grandes acircngulos) A fig 3 (c) ilustra uma colisatildeo muito

mais violenta todas as partiacuteculas satildeo emitidas sobre um largo

intervalo de acircngulos e nenhum jato dianteiro permanece tal

evento origina-se de uma colisatildeo com pequeno paracircmetro de

impacto (colisatildeo central) em que todos os nuacutecleons do projeacutetil

interagem fortemente com os nuacutecleons do alvo

A fig 4(a) mostra o espectro de proacutetons medido

em 0 e HO em uma colisatildeo C + C com energia incidente de labo

ratotilderio Sui raquo i04 Grf O espectro mostra dois picos

um no momentum do projeacutetil e outro no momentum do alvo O pri

meiro pico corresponde ao jato dianteiro e surge como resultado

de pequena fragmentaccedilatildeo do projeacutetil 0 segundo surge da frag

mentaccedilatildeo do alvo Na fig 4(b) estes picos podem ser vistos no

espectro de neutrons obtidos da reaccedilatildeo Ne+Pb para uma energia

de feixe de $0Awv A fig 4(c) mostra o espectro de

procirctons medidos em grandes acircngulos com poundlt - Ott em

colisatildeo de An KcJ os espectros satildeo agora muito suaves

como funccedilatildeo do momentum do proton e se estendem sobre uma lar

ga regiatildeo Estes proacutetons correspondem a espalhamentos em gran

des acircngulos observados nas fig 3(a) e 3(c)

Pig 3(a) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(a) colisatildeo perifeacuterica (rfA i)

Fig 3(b) Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vocirc

(b) colisatildeo um pouco mais violenta mas natildeo frontal

mr-i hraquo

Fig 3(c)s Fotografia em cacircmara de bolhas da colisatildeo Ca+Pb em

21 AGev onde se vecirc

(c) colisatildeo frontal C 0

raquobull

PL^(0raquoV)

Fig 4(a) i Espectros 09 e 1809 de produccedilatildeo de protons

colisatildeo C+C a 21 GevA (iuf i)

na

10

moo Mil-raquo I MOMraquo

0 200 400 COO 000 1000 KINETIC CNCRCT ( M |

Pig 4(b) Espectro de neutrons na colisatildeo Ne+Pb em 390 MevA (tuf j)

1 1 1 1 i i 1 1 bull 1 1 1 1 1 1 ^ 1 1 1 bull 1 1 bull bull 1 1

fig 4(c)$ Espectros de protons a grandes acircngulos da colisatildeo

Ar+KCl em 800 MevA (tuf l)

11

Bataa observaccedilotildees sugerem queraquo nas colisotildees nu

cleares os nuacutecleons podem ser separados em dois grupos parti

cipantes e espectadores Participantes sofrem grande transferecircn

cia de momentum enquanto espectadores natildeo Qualitativamente o

momentum de Fermi ft ~ 20 fibVc t estabelece a escala para

grandes e pequenas transferecircncias de momentum De fato tal

classificaccedilatildeo ecirc algo arbitraacuteria mas ajuda-nos a definir o domiacute

nio cinematildetico em que as partiacuteculas satildeo emitidas como ilustra

do esquematicamente na fig 5 No plano de rapidez 4 e trans

ferecircncia de moraentim transverso fkZm (veja apecircndice A) de uma

partiacutecula emitida os fragmentos espectadores do projeacutetil e do

alvo satildeo juntados em ( fj4poundi ) s (eacutef0) e ( r 0 ) respectiva

mente onde ^ eacute a rapidez do projeacutetil e fo do alvo As par

tiacuteculas emitidas da regiatildeo de overlap entre o projeacutetil e o alvo

satildeo predominantemente participantes e observadas sobre uma lar

ga regiatildeo de rapidez e ncnentun transverso

B Torgtt HMCtOtor

Fig Si Representaccedilatildeo diagramaacutetica do modelo participante es_

pectador e a regiatildeo cinematildetica em que as partiacuteculas

satildeo possiacuteveis de ser emitidas Qff- amp)

fi importante ressaltar que eata separaccedilatildeo ea nuacute

cleons participantes e espectadores socirc se manifesta no acircmbito

das reaccedilotildees nucleares em altas energias E mesmo assimr eacute bom

mencionar que tal separaccedilatildeo estaacute muito presa a aspectos geomecirc

tricocircs e que do ponto de vista da dinacircmica da reaccedilatildeo natildeo ecirc nl

tida esta separaccedilatildeo

CAPIacuteTULO 2

Diferentes Aspectos Envolvidos no Mecanismo de Reaccedilatildeo

1 Geometria da Colisatildeo

Em colisotildees nucleares a altas energias coso se

viu no uacuteltimo capitulo a seccedilatildeo total de espalhamento inelatildestl

co pode ser aproximada pela seccedilatildeo de choque geomeacutetrica

ltpound s fT(r t t) (31)

eacute um fato experimental que

Rrs IacuteUAf (32)

pound s lUt At (33)

onde Ap e At satildeo as massas atocircmicas do projeacutetil e do alvo res

pectivatildemente e liacutecito- ifz km Ou seja

O modelo participante-espectador baseia-se no

principio de que a regiatildeo participante eacute dada pelo volume em

interserccedilatildeo do projeacutetil com o alvo De acordo com este modelo

o nuacutemero meacutedio de proacutetons participantes do nuacutecleo projeacutetil eacute

dado aproximadamente por i (nuacutemero atocircmico do projeacutetil) multi

plicado pela razatildeo da seccedilatildeo de choque do alvo pela seccedilatildeo to

tal 0 s

similarmente tem-se para o alvo

ltampgtbull tftf W raquow-0 numero total de protons participantes -2gt raquo e desta

forma dado por

Vraquo A

o nuacutemero total de proacutetons espectadores do projeacutetil (alvo) eacute da

dopor 7i^+raquo) ^^rtaacute2AgtA)

lt+gt bdquo irU^+tSMV A seccedilatildeo tota l de espalhamento de carga nuclear pa

ra cada uma destas regiotildees eacute expressa como

tacirctTO) raquo 6Iacute (38)

onde ilaquoprojeacutetil alvo projeacutetil + alvo (participante ou especta

dor)

Nas figs 6(a) e (b) dados experimentais satildeo

comparados com a formula acima A dependecircncia com relaccedilatildeo acircs

massas do projeacutetil e do alvo ecirc muito bem reproduzida Observa-

se ainda que a produccedilatildeo total a grandes acircngulos de proacutetons par

ticipantea eacute ajustada com flo laquobull jaacute a produccedilatildeo em peque

nos acircngulos de fragmentos espectadores do projeacutetil ajusta-se

com laquo 0$f6m Por que este pequeno valor de ro na produccedilatildeo

de protons espectadores do projeacutetil uma explicaccedilatildeo simplifica

da para isto ecirc que na realidade a fronteira entre as regiotildees

espectadora e participante natildeo eacute bem definida os nuacutecleos desta

regiatildeo satildeo mais provaacuteveis de contribuir para a produccedilatildeo em gran

des acircngulos desccedila forma diminuindo a produccedilatildeo da rapidez do

projeacutetil Ecirc apontado ainda que nas colisotildees com nuacutecleos de

massas aproximadas para espectadores do projeacutetil (ou do alvo)

eacute sempre igual a jttf para participantes contrariando as predi_

caccedilotildees dadas pelas eqs (35) - (37) que estabelecem uma razatildeo

32 para estas colisotildees

I bull5

t n i 05

t tmt1 mdash t f rlaquofr

Total yields of nucltor chorgo for projtctilt fragments

rraquo093tm y

I O CO TorgttnwMAr

Fig 6(a)s Seccedilatildeo de choque total de espalhamento de carga nu

clear para fragmentos do projeacutetil quando comparada

com a eq 38 com Zeff dado pela eq 37

16

1 - i 1 30 L Total yield of nucltw ctargts

ot lorg onglt (tymmtlric COM)

c

1 o w I I S

I-I

c+c

A

Af+KCI

tlaquo l 2 fm

V

-

JK t 04

bull ccedil f J 2 I i

GtVft 6GeVWV

GtVA

too a raquo soo 400 900

Fig 6(b) Seccedilatildeo transversal total de espalhamento de carga

nuclear para partiacuteculas emitidas em grandes acircngulos

quando comparados com a eg 38 com Seff dado pela

eq 37 (IacuteUP l)

2 Bvidecircncia Experimental para Colisotildees Muacuteltiplas

Uma das questotildees interessantes nas RIP refere-se

acirc utilizaccedilatildeo do conceito de equiliacutebrio local Com respeito a

este fato uma informaccedilatildeo importante que deve auxiliar no escla

recimento da questatildeoeacute a transparecircncia nuclear a qual pode ser

avaliada conhecendo-se o nuacutemero meacutedio de colisotildees que cada nu

cleon sofre durante o processo de reaccedilatildeo Neste ponto eacute interes

17

sante estarmos certos de que os nuacutecleons sofrem muacuteltiplas coli

soes ao longo da colisatildeo entre os nuacutecleos

A mais clara evidecircncia para colisotildees muacuteltiplas

tem sido a medida em grandes acircngulos da correlaccedilatildeo de dois proacute

tons Neste experimento quatro conjuntos de detectores satildeo ar

ranjados como mostrado na fig 7 Eles satildeo colocados em O s

10deg com respeito agrave direccedilatildeo do feixe A separaccedilatildeo angular azi

mu tal entre dois detectores adjacentes eacute de ir = 90

SrtCTMMTER

Uf-TIUlaquoCOlaquo

CO

CEJ Dowi-miKon

RlSMT TflHCOK

1raquo

i U o

t

ciaaotsmuc bull Sl y N y r r 1

m m m m

Fig 7 Configuraccedilatildeo experimental e dados a grandes acircngulos da

correlaccedilatildeo de dois protildetons na colisatildeo C+C a SOO Mev A

Os valores observados do grau de complanaridade C defi

nido pela eq 3$ satildeo exibidos como funccedilatildeo do momento

do protildeton CiuCcedil f)

4 V

Energias do protons foram medidas com o ospectrocircnetro em

coincidecircncia com os telescoacutepios Consideremos a razatildeo

- -Hfe-onde SR por exemplo indica a contagem coincidente entre o

espectrocircmetro e o telescoacutepio R As quantidades SU e (SD) se re

ferem atildes medidas de coincidecircncia entre os telescoacutepios S e 0 (D)

Se C gt J $ significa que ecirc dominante a emissatildeo de dois protildetons

simetricamente com relaccedilatildeo atilde direccedilatildeo do feixe ou seja em um

mesmo plano de reaccedilatildeo(Esta razatildeo pode desta forma ser chama

da de grau de coplanaridade) Se muacuteltiplas colisotildees satildeo dominan

tes a razatildeo C deve tender agrave unidade pois neste caso a emis

satildeo tende a ser estatiacutestica Na colisatildeo C+C a Soo MVA a

razatildeo observada eacute maior do que 1 e assume um pico quando os

momenta dos nuacutecleons satildeo aqueles esperados de colisotildees quase

elaacutesticas como mostrado na fig 7 Desta maneira este experi

mento demonstra a importacircncia de processos de colisotildees binaacuterias

simples No entanto se soacute este processo ocorrece o valor de

C-l deveria ser seis vezes maior do que aquele observado Este

fato indica que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltiplas tambeacutem estatildeo

presentes

Eacute observado que colisotildees nuacutecleon-nuacutecleon muacuteltjL

pias aumentam quando as massas dos nuacutecleons envolvidos na rea

ccedilatildeo aumentam A questatildeo eacute saber se realmente eacute possiacutevel estabe

lecer um equiliacutebrio termodinacircmico com o aumento das massas dos

nuacutecleons

19

3 Espectro Inclusivo de Protons

Na fig 8 satildeo mostrados os espectros de

energias de protons a 909 CM para trecircs colisotildees nucleares

C +C V t t ^ r gt An Kd A energia incidente foi de

100 tAiAgrave para todos os casos Os dados tendem a refletir a

dinacircmica da regiatildeo participante porque em Cem sfO a influecircncia

de espectadores eacute diminuiacuteda

Pig 8x Espectro de energia de proacuteton em Qe = )0 em colisotildees

a 800 AMev de C+C Ne+Naf e Ar+KCl A seccedilatildeo de choque

para altas energias pode ser parametrizada como exp

Observa-se que os trecircs espectros satildeo semelhantes

apesar da energia total de feixe envolvida em uma colisatildeo ser

20

diferente de outra lato indica que nas colisotildees nucleares a

altas energias a energia por nuacutecleon (ou ainda os graus de

liberdade de cada nuacutecleon) ecirc um fator preponderante no que diz

respeito ao mecanismo de reaccedilatildeo Aleacutem disso observamos nuuml

cleons emergentes com energias bem maiores do que aquela de

antes da colisatildeo Tal fato sotilde pode ser explicado se considerar

mos colisotildees muacuteltiplas

4 Produccedilatildeo de PIacuteons

Na fig 9 as multiplicidades meacutedias de meacutesons

satildeo plotadas na escala log-log em funccedilatildeo do nuacutemero de partici

pantes

as retas representam Kiacute1^ OC P bull

(39)

01

i i 11111

041

10 KW

Fig 9raquo Multiplicidade meacutedia de plons (ruf t)

21

Supondo-se uma densidade constante na regiatildeo de interaccedilatildeo (o

que eacute razoaacutevel em termos do modelo participante - espectador )

conclui-se que o nuacutemero de mesons produzidos eacute proporcional acirc

aacuterea da regiatildeo de interaccedilatildeo isto ecirc a produccedilatildeo de mesons ocorre

na superfiacutecie desta regiatildeo Jacirc a produccedilatildeo de protons como eacute de

se esperar ecirc diretamente proporcional ao volume da regiatildeo de

interaccedilatildeo (veja fig 10 )

Em termos de espectros inclusivos observa-se na

fig 11 que na produccedilatildeo de pions o espectro de energias apre

senta uma dependecircncia exponencial tal como acontece no caso da

produccedilatildeo de proacutetons (veja fig 8) Estes espectros sugerem por

tanto que foi atingido um equiliacutebrio teacutermico No entanto o

fator exponencial que se obteacutem no caso da distribuiccedilatildeo de piacuteons

eacute menor do que aquele obtido da distribuiccedilatildeo de protons Isto

significa que a temperatura de piacuteons eacute menor do que aquela de

proacutetons Este fato eacute consistente com a conclusatildeo obtida a par

tir da multiplicidade no paraacutegrafo anterior de que os piacuteons

satildeo produzidos na superfiacutecie da regiatildeo de interaccedilatildeo em outras

palavras a superfiacutecie da regiatildeo de colisatildeo eacute mais fria do que

o aev interior 20

10 N

f 5

WLg 101 Multiplicidade meacutedia de proacutetons (rtffgt iacute)

bull mdash i mdash i raquo i i bull ) r

ltmygt n Pt (b)

800MHVA

y bull i laquo i t

P T

22

i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash i mdash r

bdquo-raquolmdashimdashxmdashimdashx wo

I I I L

bullraquo iwmie laquow^r rtaa puno

Pig 11 Espectro de energia de piacuteons para angulo M W nas

reaccedilotildees de Ne+NaP agraves energias incidentes EinA=0408

e 1 Gev ( ntf $)

CAPITULO 3

Modelos Utilizados no Tratamento das Reaccedilotildees Nucleares

1 Introduccedilatildeo

Uma relaccedilatildeo sumaacuteria dos principais modelos eacute

dada pela fig 12 Ecirc importante ressaltar que os modelos hidro

dinacircmicos e teacutermicos levam em conta uma abordagem macroscoacutepica

para a interaccedilatildeo da mateacuteria nuclear Neste caso natildeo existe a

preocupaccedilatildeo com os graus de liberdade individuais das partlcu

Ias que compotildeem esta mateacuteria a preocupaccedilatildeo reside outrossim

no estabelecimento de uma equaccedilatildeo de astaotildeo que relacione entre

si grandezas macroscoacutepicas tais como pressatildeo densidade volu

me energia interna etc Isto naturalmente jacirc pressupotildee a

existecircncia de um grande nuacutemero de graus de liberdade pois tra

ta-se como se vecirc de um equiliacutebrio termodinacircmico local Por

outro lado os modelos de cascata intranuclear e de equaccedilatildeo

claacutessica de movimento partem dos graus de liberdade indivi

duals das partiacuteculas que compotildeem a mateacuteria nuclear Estes uacutelti

mos satildeo denominados de modelos microscoacutepicos enquanto os primei

ros de modelos macroscoacutepicos Daremos em seguida uma breve des

criccedilatildeo dos mesmos

y fluidraquo

b HiowomtoiCA (raquo ltlaquo W ^ | t - M d f It U Ufto I

Oniecirc eacutet CtK^utJ

1 ^raquoirlaquo itrtrt laquomil Lttil)

lurMWCUAraquo S M I I M M Ilaquo ltCPraquo HnWruliacute)

f) OK HOVIHKWO ciMwv Lgt laquo Agrave

Fig 12 Modelos teoacutericos de reaccedilotildees nucleares com Ions pesados

na faixa EinA 2 Gev raquo livre caminho meacutedio R = dJL

mensatildeo do sistema f - tempo de relaxaccedilatildeo pound - escala

de tempo do processo ltL = distacircncia meacutedia entre nuacutecle

ons e 0 = seccedilatildeo de choque total de nuacutecleon-nucleon Claquof- 9)

2 Descriccedilatildeo dos Modelos

21 Modelo Hidrodinacircmico

211 Regiatildeo de Aplicabilidade (nxf xo)

Para a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica eacute imprescindf

vel que a colisatildeo dure um intervalo de tempo suficiente para

que seja estabelecido equiliacutebrio termodinacircmico local Sendo

assim os requisitos devem ser satisfeitos 1) um grande nuacutemero

de graus de liberdade devem ser envolvidos 2) com um mecanismo

eficiente para reduccedilatildeo da energia incidente por nuacutecleon distri^

buindo-a para todos os graus de liberdade do sistema

A primeira condiccedilatildeo parece ser mais facilmente

atendida se por exemplo consideramos reaccedilotildees entre nu

cleos com um nuacutemero suficientemente grande de nuacutecleons tendo -

se em conta aleacutem disso que a produccedilatildeo de outras partiacuteculas co

mo plonsaumenta o nuacutemero de graus de liberdade envolvidos no

processo de colisatildeo

No entanto a condiccedilatildeo (2) requer uma anaacutelise mais

l

iD

critorlona no aontido do vorlflcar ao ola ocirc roalmonto sntisfoi

ta nas situaccedilotildees reallsticas das RIP O estabelecimento de um

equiliacutebrio local depende do tempo de relaxaccedilatildeo de pequenas por

ccedilotildees da mateacuteria nuclear o que se deseja ecirc que este tempo seja

muito menor que o tempo total da reaccedilatildeo Em primeiro lugar pode

mos fazer uma estimativa grosseira do tempo de reaccedilatildeo como sen

do o diacircmetro nuclear dividido pela velocidade da luz

(540 ) A troca de pion entre dois nuacutecleons adjacentes

requer era torno de ftO copyu seja um deacutecimo deste tempo

estimado Portanto vemos que podemos ainda fazer uma estimati

va do livre caminho meacutedio (e portanto do nuacutemero de colisotildees) Se

o processo fosse uma superposiccedilatildeo de colisotildees individuais NN

com seccedilatildeo de choque ltJ entatildeo na densidade numeacuterica normal de

nuacutecleons | o livre caminho meacutedio seria dado por

Xlaquo r - ~ -r-rrj T-T- 35 1 V fraquo (41)

dal a distacircncia que um nuacutecleon percorre ateacute parar seria dada

por

Xebdquo laquo -pound (42)

onde T e a energia cineacutetica inicial do nuacutecleon e At eacute sua per

da meacutedia de energia cineacutetica por colisatildeo A perda de energia

por nuacutecleon seria em torno de iraquo Ad em baixas energias

(-v Soo rfti ) e aumentaria para roc AbV em altas energias

26

( 11 ampV ) nr seria desta forma em torno de 3fm para

uma ononjla Inicial por uuacuteolouii do aroM o uorla nubnlfiiiulal

bullente maior se a energia inicial fosse de a l poundbull Entatildeo

sob tais argumentos a dinacircmica de fluidos pode ser melhor

aplicada em baixas energias do que em altas

Ho entanto nestes argumentos natildeo foi levada em

conta a produccedilatildeo de novas partiacuteculas efeitos de coerecircncia

etc Tais efeitos mudam profundamente a dinacircmica das colisotildees

(por exemplo a produccedilatildeo de piacuteons leva a um aumento considera

vel da seccedilatildeo de choque) Enfim a aplicaccedilatildeo de hidrodinacircmica em

altas energias ecirc uma questatildeo que deve ser decidida experimen

talmente

212 Equaccedilotildees de Hidrodinacircmica Qnf 13)

Tais equaccedilotildees surgem das leis de conservaccedilatildeo de

massa energia e momentum nos fluxos

2pound- yen V^^) O (42)

Onde deg eacute a densidade numeacuterica de nuacutecleons pound eacute a energia inter

na por unidade de volume ufa t + V eacute a entalpia por unidade de

massa Pgt f satildeo respectivamente a pressatildeo e o volume do elemen

27

to de fluido considerado yJ otilde a volocidndo drsto olnnonto na

uacuteltima equaccedilatildeo

Tfi = PU + (45)

eacute o tensor que daacute o fluxo de nonentun A estas equaccedilotildees junta-

se ainda una equaccedilatildeo de estado estabelecida a priori para a

bullateacuteria nuclear

Quando lidamos con um modelo hidrodinacircmico o

interesse maior ecirc na formaccedilatildeo de onda de choque na mateacuteria

nuclear isto eacute a propagaccedilatildeo de uma descontinuidade das quantida

des termodinacircmicas delineada por uma superfiacutecie que denomina

mos de superfiacutecie de descontinuidade

Vejamos as condiccedilotildees de contorno sobre esta super

flcie ou seja como ficam as equaccedilotildees (42) - (44) Para isto

isolemos um elemento qualquer da superfiacutecie de descontinuidade

e observemos o processo a partir de um sistema de referecircncia

localizado sobre este elemento com o eixo x normal acirc superfiacutecie

Esta eacute tal que manteacutem a continuidade dos fluxos de mateacuteria

energia e momentum de onde se tira que

(deg^J r O (46)

(Vraquo(-7- bullbullUuml0 (47)

(V f ) -z O (48)

ti

onde o niacuteiubnlo f J niqnl fica rpm doveinon hnninr n rii Fornnccedila

da grandeza entre dois pontos Assim a eq (46) eacute a abrevia

ccedillo da equaccedilatildeo

Suponhamos que o fluxo de mateacuteria eacute natildeo nulo

isso implica que d[x Jiacute- natildeo satildeo nulos De (46) e (49) se

ve que Craquo3 = (^1 = deg (410gt

isto eacute que a velocidade tangencial eacute contiacutenua sobre a superfiacute

cie de descontinuidade Quanto a densidade a pressatildeo (e entatildeo

as outras quantidades termodinacircmicas) e a velocidade normal

satildeo submetidas a um salto tais alteraccedilotildees estatildeo ligadas pelas

equaccedilotildees (46) - (48)

Sendo assim podemos escrever

(f f) 0 ^ bull u T j r O (411)

(p + P-amp J - 0 As descontinuidades deste gecircnero satildeo ditas ondas de choque

Para termos uma ideacuteia qualitativa da onda de cho

que algumas soluccedilotildees numeacutericas satildeo apresentadas pela fig13

Cada coluna apresenta uma vista da distribuiccedilatildeo da mateacuteria evo

luindo no tempo para um dado paracircmetro de impacto Observa - se

que para colisotildees centrais o processo eacute bem mais intenso aliaacutes

para colisotildees centrais o tratamento hidrodinacircmico eacute melhor

justificado dado que aquele3 pressupostos iniciais satildeo melhor

atendidos nesta condiccedilatildeo

Time (JCr3s)_

00

51

135

253

20 238 Ne bull U

E 2 0 - 2 5 0 MeV

r

m v bull I

01 05 09 Impoct Parameter (RtRbdquo)

13 Evoluccedilatildeo temporal da distribuiccedilatildeo de materia calculada

com um modelo hidrodinacircmico para a colisatildeo em trecircs

diferentes paracircmetros de impacto Os paracircmetros de

impacto satildeo medidos em unidades do paracircmetro de impac

to maacuteximo que corresponde atilde soma dos raios do projeacutetil

e do alvo A energia por nuumlcleon do feixe incidente

eacute 250 Mev C pound deg)

Uuml IO4

20 238 N e u a t E _ 2 0 laquo 250 MeV

Dom lt l | bull r I | i r l

Fluid dynamics

i i i I i i i i I r bull i i

Two-fluid dynamics

100 200 300

Lobiijtory Kinetic Enorgy per Nucleori (MeV)

Fig 14 Comparaccedilatildeo de resultados calculados com resultados

experimentais de espectro de energia de partiacuteculas car

regadas da colisatildeo de |Ve + ( em uma energia de

laboratoacuterio de 250 MevA Os histogramas na coluna da

esquerda dacirco os resultados calculados com o modelo de

um uacutenico fluido e aqueles da direita datildeo os resulta

dos calculados com o modelo de dois fluidos Ccedilruf Iacute2J

fiacuterraquo uma IacuteIIIIacuteIT ltlrraquo rlioijiio otilde roriunla ltlninitltgt o |irnciraquoi

so de reaccedilatildeo esperamos sua manifestaccedilatildeo nos espectros e d is

tribuiccedilatildeo angular das partiacuteculas emitidas No entanto apesar

da formaccedilatildeo de onda de choque nas RIP despertar uma grande ex

pectat va ainda natildeo conseguimos isolar experimentalmente a ev_i

decircncia deste fenocircmeno

213 Comparaccedilatildeo coa Dados Experimentais

Da fig 14 (coluna da esquerda) vecirc-se que um mo

delo hidrodinacircmico convencional com uma particular equaccedilatildeo de

estado reproduz o comportamento geral exibido pelos dados expe

rimentais No entantoem 309 os valores calculados satildeo substan

cialmente menores do que os valores experimentais e tambeacutem haacute

uma dependecircncia diferente com relaccedilatildeo acirc energia Em 609 e 909

os valores calculados satildeo menores do que os valores experimen

tais enquanto em 1209 eles satildeo duas vezes maiores Observa-se

que atraveacutes de um tratamento que suponha projeacutetil e alvo como

dois fluidos diferentes os valores calculados se aproximam

mais daqueles experimentais (veja a coluna da direita da fig14)

22 Modelos Teacutermicos

A imagem de participantes e espectadores no pro

cesso colisional eacute a motivaccedilatildeo baacutesica para a aplicaccedilatildeo dos mode

los teacutermicos

221 M T H I O I O ltlt Iloli laquoIo Kiw|o

Neste modelo se supotildee que os participantes formam

uma bola de fogo que entra em equiliacutebrio teacutermico e por fim

expande-se isotropicamente com relaccedilatildeo ao centro de massa desta

bola

A suposiccedilatildeo baacutesica eacute de que no sistema de centro

de massa da regiatildeo participante a ser formada toda energia de

translaccedilatildeo das partes do projeacutetil e do alvo que formam esta re

giatildeo eacute totalmente convertida em energia teacutermica

No lado esquerdo da fig 15 resultados deste

modelo satildeo comparados com dados experimentais Vecirc-se que tal

modelo reproduz o comportamento geral apresentado pelos dados

No entanto para ambas baixas e altas energias os resultados

calculados satildeo menores que aqueles experimentais especialmente

em pequenos acircngulos

222 Modelo de Tiras de Fogo

Uma das possiacuteveis causas de discrepacircncia com re

laccedilatildeo aos dados experimentais dos dados calculados com o mode

Io de bola de fogo eacute exatamente a suposiccedilatildeo de uma uacutenica bola

de fogo ou seja de que eacute possiacutevel encontrar um sistema de re

ferecircncia (o de centro de massa) atraveacutes do qual observa-se uma

expansatildeo isotroacutepiacuteca da regiatildeo participante Uma tentativa para

melhorar esto modelo eacute o modelo de tiras de fogo Na verdade

33

este uacuteltimo 5 uma generalizaccedilatildeo do modelo anterior Nento cano

supotildee-se que a energia incidente forma vaacuterias Lolas de lotjo em

diferentes temperaturas que se movimentam umas com relaccedilatildeo as

outras Natildeo se tem entatildeo mais um uacutenico sistema de referecircncia

a partir do qual possa-se observar uma expansatildeo isotroacutepica de

toda a regiatildeo participante A tentativa aqui eacute incorporar num

modelo teacutermico o comportamento bem conhecido de que a seccedilatildeo de

choque NN a altas energias ecirc mais pronunciada em acircngulos peque

nos

No lado direito da fig 15 tera-se uma comparaccedilatildeo

deste modelo com os dados experimentais Para baixas energias

os resultados do modelo de tiras de fogo satildeo maiores do que

aqueles do modelo de bola de fogo e se ajustam melhor com os

dados experimentais 0 modelo se mostra melhor tambeacutem em ou

traacutes faixas de energia Entretanto ele falha em explicar o

comportamento de espectros de partiacuteculas compostas Note que a

suposiratildeo de equiliacutebrio teacutermico no modelo de tiras de fogo eacute

local e natildeo global como no modelo de bola de fogo

I (iboejfry Kmelic Energy per Hirkon (MeV)

Fig 15 Comparaccedilatildeo de resultados calculados via os modelos de

bola de fogo e tiras de fogo com resultados experimen

tais de espectros de energia em pequenos acircngulos da

colisatildeo a 250 AMev (laquobull iacute i)

23 Equaccedilatildeo Claacutessica de Moviaento C^f- 2 0

Este ecirc um tratamento microscoacutepico que inclui ex

plicitamente para as interaccedilotildees nuacutecleon-nuacutecleon um potencial

de dois corpos Por ser um tratamento completamente micros

coacutepico eacute capaz em principio de descrever qualquer correlaccedilatildeo

que se possa atribuir a uma evoluccedilatildeo claacutessica do sistema

A essecircncia deste tratamento eacute o caacutelculo de todas

as trajetoacuterias (A=fle+Ar) dos nuacutecleons estabelecido o poten

ciai de dois corpos para a interaccedilatildeo entre nuacutecleons O resultado

dos caacutelculos das trajetoacuterias eacute subsequumlentemente analisado e pon

derado sobre um conjunto de configuraccedilotildees iniciais de posiccedilatildeo e

momentum representando os nuacutecleos antes da reaccedilatildeo

Uma situaccedilatildeo inevitaacutevel eacute a evaporaccedilatildeo de nuacute

cleons antes da interaccedilatildeo do projeacutetil com o alvo devido a

instabilidade das configuraccedilotildees claacutessicas iniciais Tal evapora

ccedilatildeo eacute minimizada no tempo quando trata-se de nuacutecleos leves e

quando aproximamos inicialmente ao maacuteximo o projeacutetil e o alvo

No entanto estas caracteriacutesticas satildeo indesejaacuteveis e restringem

o intervalo de aplicabilidade do meacutetodo

Aleacutem disto existem as questotildees relacionadas com

os efeitos relativlsticos efeitos quacircnticos produccedilatildeo de parti

cuias etc Tais questotildees acarretam uma aplicaccedilatildeo restrita des

te tratamento na praacutetica restringe-se a faixa de energia

entre 200 a 500 AMevA pois de uma forma geral eutima-ue que

nesta faixa tais efeitos natildeo satildeo importantes

24 Cascata Intranuclear

Este foi um dos primeiros tratamentos aplicados

no estudo das RIP e ainda hoje eacute o mais aplicado e o que

apresenta de forma geral os melhores resultados Uma das ra

zotildees para isso aleacutem da sua grande simplicidade eacute o fato de

natildeo existirem (como pode ser visto abaixo) paracircmetros de mode

Io

Nas RIP ao estudarmos o comportamento dinacircmico

da mateacuteria nuclear via um modelo microscoacutepico a grande difi

culdade eacute a questatildeo de como traduzir as interaccedilotildees entre as

partiacuteculas No tratamento de cascata intranuclear supotildee-se que

as partiacuteculas quaisquer que sejam interagem sempre duas a

duas sendo que a uacutenica informaccedilatildeo da interaccedilatildeo que eacute levada em

conta satildeo dados de seccedilatildeo de choque nuacutecleon-nuacutecleon livres

Os procedimentos baacutesicos na aplicaccedilatildeo de um mode

Io de cascata intranuclear satildeo os seguintes 1) Arranjo inicial

estabelecendo momentun e posiccedilatildeo dos nuacutecleos do projeacutetil e do

alvo 2) Um certo nuacutemero de repeticcedilotildees do processo variando-se

a cada vez o arranjo inicial citado no item (1) 3) Medidas

das grandezas fiacutesicas de interesse a cada repeticcedilatildeo as quais

satildeo acumuladas e depois ponderadas pelo nuacutemero total de repeti

ccedilotildees

Com estes ingredientes e a forma de interaccedilatildeo

apresentada encontram-se diversas variaccedilotildees e sofisticaccedilotildees

de modelos baseados no tratamento de cascata intranuclear Cite

mos alguns exemplos

1) O mais simples modelo tridimensional de

cascata pode ser chamado de modelo de bolas de bilhar Se

reduz aos graus de liberdade dos nuacutecleons que satildeo representa

dos por um coleccedilatildeo de bolas de raio Rs Qsimff) onde 6~ltraquor

ecirc a seccedilatildeo de choque NN total que se obteacutem dos dados experimen

tais A cascata entatildeo segue os caminhos claacutessicos determiniacutes

ticos das muacuteltiplas colisotildees destas bolas (como ocorreria se

tiveacutessemos um jogo de bilhar tridimensional com a uacutenica dife

renccedila que no caso de cascata como foi dito soacute ocorrem coli

soes binaacuterias) Tal modelo natildeo leva em conta importantes pro

priedades do nuacutecleo como energia de ligaccedilatildeo principio de exclu

satildeo de Pauli etc

Uma comparaccedilatildeo com dados experimentais eacute apresen

tada pela fig 16 de onde observa-se que a maior discordacircn

cia ocorre em 309 e tambeacutem em grandes acircngulos para energias

altas

Fig 16 Comparaccedilatildeo dos resultados calculados com o modelo de

cascata de bolas de bilhar com dados experimentais (tiacutef J3)

2) Um modelo mais aprimorado de cascata envoJL

vendo caacutelculo de Monte Cario eacute empregado na investigaccedilatildeo de

equiliacutebrio termodinacircmico nas RIP Neste modelo a distribuiccedilatildeo

inicial dos nuacutecleons eacute arranjada de acordo com a Lei de distri

buiccedilatildeo uniforme de gaacutes de Fermi Satildeo levados em conta efeitos

relativlsticos princiacutepio de exclusatildeo de Pauli e produccedilatildeo de

partiacuteculas (piacuteons) Os nuacutecleons movem-se livremente (ao longo

de linhas retas) com seus respectivos momentun ateacute que a dis

tacircncia entre dois quaisquer tenha alcanccedilado um miacutenimo Se esta

distacircncia for menor que y Giacutet(s)f (onde 6tjr eacute a seccedilatildeo de

choque total para o par sob consideraccedilatildeo e F eacute a energia do

centro de massa do par) eacute permitido o espalhamento dos dois

nuacuteclcons Sc o espalhamcnto c elaacutestico ou inc latildes tico c dctcrtni

nado aleatoriamente de acordo com o peso relativo das seccedilotildees de

choque Os momentan das partiacuteculas apocircs a colisatildeo satildeo determi

nados aleatoriamente de acordo coro a distribuiccedilatildeo anqular da

reaccedilatildeo considerada de maneira a conservar energia e momentum

(neste procedimento momentum angular natildeo eacute conservado) Depois

da colisatildeo os dois nuacutecleons novamente movem-se em linha reta

assim por diante Da fig 17 observa-se que os resultados desraquo

te modelo ajustam-se bastante bem com os dados experimentais

25 Algumas Observaccedilotildees Finais Sobre os Modelos

Nos modelos baseados sobre um tratamento macroscoacute

pico da reaccedilatildeo nuclear tem-se a grande arbitrariedade do esta

belecimento a priori de uma equaccedilatildeo de estado (o que envolve

certos paracircmetros) para a mateacuteria nuclear Algo que eacute muito

artificial visto que no processo da reaccedilatildeo as alteraccedilotildees

ocorridas na mateacuteria nuclear satildeo profundas e se quisermos pen

sar em termos de equaccedilatildeo de estado devemos ter uma eszimativa

da realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico Por outro lado existe a

indagaccedilatildeo de ateacute que ponto eacute vaacutelido um tratamento deste tipo

pois efeitos hidrodinacircmicos eou teacutermicos (se existirem) pro

vavelmente natildeo devem ser observados em todo o transcurso da

reaccedilatildeo mas apenas em certos estaacutegios

Com relaccedilatildeo aos modelos baseados em um tratamento

microscoacutepico das RIP aqueles baseados em equaccedilatildeo claacutessica de

movimento carregam intriiisecuuieiile o problema do deluiuiuiiiaiuu

laquoraquo t l tgt laquo l l l | l ltgt l ( ( l l m M l l I I ( l llt I I 111 |HgtI bullgtbullbullgt I t I lgt l | l l l laquo I l - I I I I I M l l l bullbull bullbull I t l H

ficiente para comportar a gama de efeitos que satildeo esperados nas

reaccedilotildees nucleares Jaacute os modelos de cascata intranuclear tecircm a

grande virtude de natildeo possuir paracircmetros livres e de conside

rar intrinsecamente informaccedilotildees de seccedilatildeo de choque experimental

da interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon muito embora apenas se disponha

da seccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon livre Aleacutem disso este tratamento per

mite de maneira simples extrair resultados facilmente compa

raacuteveis aos aspectos observados nas reaccedilotildees nucleares No entan

to tem o pressuposto baacutesico das interaccedilotildees binarias entre par

tiacuteculas Ecirc exatamente este aspecto que nos dispomos a investi

gar no trabalho que se segue nos proacuteximos capiacutetulos

amp

O

u

I W

bullSli a U f

W

(0-1

T 1 1 1 laquoOAr + ^ A r - p + X

CA0OOMlaquoV

I I 0 I I 0 gt _J_

200 laquo00 Etoraquo(MeV)

laquo00

Fig 17 Histograma dos resultados de cascata (com caacutelculo de

Monte Cario) levando em conta o movimento de Fermi

comparados com dados experimentais (uf 2 1)

CAPfTUIO 4

A Importacircncia de Efeitos Natildeo Binaacuterios nos Resultados Calculados

Coraquo CIN

0 Introduccedilatildeo

Cono podemos deduzir do capiacutetulo 4 em reaccedilotildees

nucleares con ions pesados um dos tratamentos mais empregados

eacute o de cascata intranuclear (CIN) Como vimos neste tratamen

to um dos pressupostos baacutesicos eacute o de colisotildees binatilderias entre

nuacutecleons isto ecirc eles colidem entre si somente dois a dois

Uma questatildeo fundamental que surge quanto atilde aplica

ccedilatildeo do meacutetodo de CIN e a de como os efeitos natildeo bina

rios afetam os resultados calculados Ou seja partindo -se

de que realmente existem tais efeitos nas RIP queremos saber

o quanto nos afastamos da realidade pelo menos neste aspecto

numa abordagem de CIN Neste sentido o trabalho que se segue

eacute o desenvolvimento de um procedimento de como elucidar esta

questatildeo Tal procedimento baseia-se na comparaccedilatildeo de resultados

de caacutelculos de grandezas fiacutesicas de interesse nas reaccedilotildees nu

cleares (veja cap 5) ora com um mecanismo de colisotildees puramen

te binatilderias entre nuacutecleons ora com outro mecanismo natildeo mais

restrito por esta condiccedilatildeo Chamaremos este uacuteltimo de mecanis

mo de colisatildeo de muitos corpos para distingui-lo do primeiro

I TraLaiiKMitoii uti Uzadou

Estes dois mecanismos do colisatildeo satildeo levados a

efeito via simulaccedilatildeo em computador de dois tratamentos micros

cocircpicos (veja cap 4) para sistemas de nuacutecleons em colisatildeo Um

destes tratamentosecirc baseado no meacutetodo de cascata intranuclear

e seraacute chamado de CASCATA simplesmente 0 outro ecirc baseado no

meacutetodo do equaccedilatildeo de movimento claacutessica (EMC) que denominamos

de EQCLAS Neste uacuteltimo ecirc introduzido um determinado potencial

de dois corpos o que possibilita colisotildees de muitos corpos (ve

ja no final deste capiacutetulo como eacute introduzido este potencial)

Natildeo levamos em conta neste trabalho efeitos

quacircntico-relativiacutesticos nem produccedilatildeo de plons ou outras parti

cuias Com isto conseguimos a simplificaccedilatildeo dos caacutelculos em

questatildeo e fundamentalmente evidenciamos os dois mecanismos de

colisatildeo considerados Desta forma nos fixamos apenas nos graus

de liberdade dos nuacutecleons

Como vimos no cap 3 os espectros inclusivos do

processo de RIP satildeo fortemente caracterizados pelos efeitos

geomeacutetricos Ou sejaas propriedades principais dos espectros

inclusivos satildeo basicamente determinadas pela configuraccedilatildeo geo

meacutetrica de projecirctil-alvo Portanto os efeitos de processos de

colisotildees muacuteltiplas se existirem satildeo esperados que sejam rela

tivamente pequenos comparados aos efeitos geomeacutetricos do siste

ma Assim sendo se fizermos uma comparaccedilatildeo doa espectros

1 lie I ui I von (M Ion ludoJ donna IIMIICIII Clt miiiln pi cgtviviraquol tpuraquo on

efeitos que queremos investigar fiquem mascarados peio aspecto

geomeacutetrico Entatildeo i desejaacutevel eliminar ao maacuteximo os efeitos

geomeacutetricos em se tratando daqueles que surgem ao considerar -

se mateacuteria finita Com esta intenccedilatildeo tomamos como sistema de

prova duas chapas planas infinitas de nuumlcleons uma para o

projeacutetil e outra para o alvo (veja as justificativas no cap6)

Supotildee-se que nos planos destas placas a distribuiccedilatildeo bariocircnica

seja homogecircnea

A comparaccedilatildeo eacute feita observando-se o desenvolvi

mento temporal das distribuiccedilotildees de densidades bariocircnica e de

rapidez de um corpo Sendo assim natildeo nos preocupamos com quan

tidades imediatamente relacionadas com dados experimentais que

satildeo extraiacutedos de espectros inclusivos ou distribuiccedilatildeo angular

de um corpo

O objetivo aqui ecirc a comparaccedilatildeo dos resultados

oferecidos pelos dois meacutetodos onde devemos levantar suas dife

renccedilas ou semelhanccedilas Observa-se que em se tratando de uma

comparaccedilatildeo entre resultados oferecidos pelos modelos podemos

simplificar ainda mais os nossos caacutelculos escolhendo a forma de

potencial mais simples possiacutevel a fim de garantir inclusive a

melhor precisatildeo no caacutelculo das trajetoacuterias do meacutetodo EQCLAS

2 Colisotildees no Caso EQCLAS e no Caso CASCATA

21 KQCTIAS

Neste caacutelculo escolhemos um potencial degrau

como mostrado na Fig 18

Rc

Vc

RN R

Fig 18 Representaccedilatildeo do potencial que eacute utilizado no modelo

EQCLAS Rn=raio de interaccedilatildeo Vc=potencial constante

na regiatildeo entre as duas esferas compreendidas pelos

raios c e tfy onde f eacute o raio que define a esfera

de potencial infinito

Fig 19 Representaccedilatildeo das trecircs regiotildees

(1) potencial nulo

(2) potencial constante maior que zero

(3) potencial infinito

Consideremos dois nuacutecleons e vejamos em seguida

quais as possibilidades de interaccedilatildeo entre eles Em termos geo

meacutetricos tudo se passa da mesma forma como ocorre na oacutetica

nos processos de reflexatildeo e refraccedilatildeo de raios luminosos Consi^

deremos o sistema de referecircncia do centro de massa dos nuacutecleons

Neste caso como pode ser visto no apecircndice C as duas partiacutecu

Ias satildeo representadas pela partiacutecula de massa reduzida igt

Seja a regiatildeo (1) a de potencial nulo (2) a regiatildeo de poten

ciai constante e (3) a de potencial infinito como indicado na

fig 19 Desta figura vecirc-se que iacute a (Kn define uma interface

esfeacuterica entre as regiotildees (1) e (2) como t s fc define uma in

terface da mesma maneira entre as regiotildees (2) e (3)

Arraquo |laquovf Iltj | ii|ultgt bullbull lut o n u ~ gt n r~n -|laquo ltilt|iii nl ltbull

a) Como mostra a fig 20 uma reflexatildeo na primeira interface

Fig 20 Representaccedilatildeo da reflexatildeo na primeira interface As se

tas representam a reflexatildeo da partiacutecula de massa

No que segue fica entendido que as setas nas figuras

representam o movimento desta partiacutecula

As setas indicam a reflexatildeo da partiacutecula de

massa reduzida U b) Como mostra a fig 21 duas refraccedilotildees

uma da regiatildeo (1) para a (2) e em seguida uma desta para a

regiatildeo (1)

Fig 21 Diagrama representando duas reflexotildees uma da regiatildeo

(1) para a regiatildeo (2) em seguida desta para a (1)

Pig 22 Representaccedilatildeo das duas refraccedilotildees e uma reflexatildeo

regiatildeo de potencial infinito

na

r) Tomo mortra n fiq 22 rlnnn rofrnccedilotildeon o timn rrraquongtvatilden tlmn

primeira relraccedilatildeo da rufiatildeo (1) pata a (2) cm e()iilili a ruilu

xatildeo na interface entre as regiotildees (2) e (3) para depois uma

nova refraccedilatildeo da regiatildeo (2) para a (1)

Nos casos (b) e (c) distinguem-se duas situaccedilotildees

uma em que os nuacutecleons estatildeo fora da regiatildeo de potencial e

outra em que eles se encontram dentro desta regiatildeo Ecirc nesta si

tuaccedilatildeo que existe a possibilidade de colisatildeo de muitos corpos

Tais colisotildees possibilitam relaccedilotildees cinemaacuteticas entre os nu

clecns que natildeo satildeo permitidos no caso de CASCATA

22 CASCATA

Para fins de comparaccedilatildeo dos resultados oferecidos

pelos dois modelos no nosso caacutelculo de CASCATA a seccedilatildeo de

choques nuumlcleon-nuacutecleon natildeo eacute oferecidas por dados experlmen

tais mas sim estabelecida pelo potencial utilizado no caacutelculo

de EQCLAS Aqui os nuacutecleons natildeo sentem entatildeo a influecircncia de um

potencial (natildeo haacute refraccedilatildeo) 0 que eacute feito i a substituiccedilatildeo de

qualquer processo no caso de EQCLAS por uma uacutenica reflexatildeo no

caso de CASCATA no ponto de maacutexima aproximaccedilatildeo dos dois nu

cleons livres sem nenhuma limitaccedilatildeo para esta distacircncia

Como se vecirc no caso de CASCATA as interaccedilotildees satildeo

sempre instantacircneas sendo exatamente esta a razatildeo de ocorre

rem sempre binarlamente

observamos que com o tratamento cindo no meacutetodo

do CIN para as collsogravec3 nuacutecleonu-iiuumlcleona as cuumliacU-i lut Lcuu tic

|HjUgttulal do KUCIAIacuteraquo no qui re rofVro a collifi(gt laquoNgt pn do

nuacutecleons (como direccedilatildeo de movimento e transferecircncia de energia)

foram completamente levadas em conta (vide apecircndice C) Logo

se todas as colisotildees fossem binatilderias natildeo deveria existir nenhu

ma diferenccedila nos resultados destes dois tratamentos (exceto o

pequeno efeito que pode surgir devido a natildeo conservaccedilatildeo de mo

mento angular no caso de CASCATA No entanto tal efeito deve

desaparecer em decorrecircncia da aleatoriedade das configuraccedilotildees

iniciais veja cap 5) Depreende-se dai que nas condiccedilotildees em

que o meio encontra-se muito rarefeito natildeo devemos esperar ne

nhuma evidecircncia das diferenccedilas (caso existam) dos resultados

dos dois meacutetodos visto que nestas condiccedilotildees predominam as

colisotildees binatilderias

Como se observa estamos tomando um potencial re

pulsivo ( Vc gt O ) A primeira vista seria interessante a uti

lizaccedilatildeo de um potencial negativo ou pelo menos com uma parte

negativa No entanto vale salientar antes de mais nada recor

dando o que discutimos no cap 1 que o estudo das reaccedilotildees nu

cleares baseia-se na anaacutelise dos estados finais onde as partleu

Ias estatildeo espalhadas isto eacute longe da regiatildeo onde de fato

ocorrem os principais processos da reaccedilatildeo Temos acesso dire

to apenas aos estado3 iniciais e finais da colisatildeo Relembra

mos tambeacutem que nosso objetivo principal ecirc a comparaccedilatildeo dos re

sultados oferecidos pelos dois modelos No entanto observe -se

que no caso do caacutelculo de CASCATA onde os nucleons estatildeo sem

pre livres os estados finais que este modelo reproduz satildeo ob

viamente de partiacuteculas livres Os dois modelos devem uti

lizar as mesmas condiccedilotildees iniciais e devem reproduzir canais fi

nais idecircnticos No entanto se utilizarmos um potencial negati

vo em EQCLAS eacute muito provaacutevel que ocorram estados finais de

partiacuteculas ligadas Jaacute com a utilizaccedilatildeo de um potencial positi^

vo de curto alcance os estados finais satildeo sempre de partieu

Ias livres Finalmente a forma de potencial estabelecida (de

grau) leva a que as trajetoacuterias dos nucleons sejam retas com

mudanccedilas apenas nos pontos onde I - | = ou

df-iils ampC C bull fltj sdeg O B vetores posiccedilatildeo de dois

nucleons quaisquer) Estas alteraccedilotildees nas variaacuteveis cinemaacuteticas

por serem calculadas analiticamente (veja apecircndice C) resultam

em um processo de caacutelculo computacional bem raacutepido e sem erros

numeacutericos

3 Criteacuterio de Determinaccedilatildeo do Potencial

0 potencial que estamos utilizando eacute representado

por funccedilatildeo degrau do graacutefico de potencial mostrado na fig23

0 que estamos querendo eacute que este potencial tenha seus para

metros lt Re Vccedil ajustados de alguma maneira atilde realidade

das interaccedilotildees entre nucleons na mateacuteria nuclear

A informaccedilatildeo desta realidade que levamos en conta

para este ajuste foi o valor da velocidade do som na mateacuteria nu

RN

Fifl 23

Pig 23 - Representaccedilatildeo do tipo de potencial que utilizamos A

linha tracejada representa potencial degru que se

ajustam ao potencial representado pela linha contiacutenua

clear

A velocidade do som num meio continuo ecirc dada por

C 8 ^ 7 7 ^ (5-18)

onde pound eacute a densidade de energia e deg a densidade de massa do

meio

Para determinarmos a variaccedilatildeo de pound com deg pro

cedemos como segue

Isolamos um determinado volume Vraquo da mateacuteria

nuclear em condiccedilotildees normais Entatildeo comprime-se essa mateacuteria

homogeneamente fazendo-se variar o volume inicial Esta compres

satildeo faz com que os nuacutecleons toquem-se uns nos outros A medida

que a densidade aumenta o nuacutemero de pares de nuacutecleons que se

superpotildee aumenta cada vez maii aumentando a densidade de ener

gia Calculando a taxa de aumento desta densidade em funccedilatildeo da

densidade numeacuterica encontra-se a velocidade do som como uma

funccedilatildeo de ^ e AV Igualando-se tal velocidade com a velocida

de do som estimada na mateacuteria nuclear ( ^c ~ 4- C ) e

atribuindo um determinado valor para ^ t encontra-se um valor

para R e ficcedil eacute escolhido com valor compatiacutevel com os dados de

interaccedilatildeo nuacutecleon-nuacutecleon

CAPITULO 5

(Resultados e Anaacutelise)

Neste capiacutetulo descrevemos os procedimentos adota

dos discutimos os resultados obtidos apresentamos nossas con

clusotildees por fim damos algumas sugestotildees

Os resultados baseiam-se em medidas de distribui

ccedilotildees de densidades bariocircnicas e de rapidez oferecidos pelos

dois meacutetodos em comparaccedilatildeo

1 Introduccedilatildeo de Um Sisteaa-Modelo para Anaacutelise

dos Resultados

Com a intenccedilatildeo de eliminar efeitos geomeacutetricos

consideramos um sistema-modelo em que o projeacutetil e o alvo satildeo

identificados a chapas planas infinitas de nuacutecleons Elas satildeo

arranjadas de tal maneira que seus planos coincidem com o plano

xy e portanto suas espessuras satildeo medidas no eixo z ( veja

fig 24) Supomos que nos planos destas chapas a distribuiccedilatildeo

bariocircnica ecirc sempre homogecircnea depreende-se dal que trata-se de

um problema unidimensional isto eacute as grandezas dependem ape

nas da coordenada z Surge entatildeo a questatildeo de como tratar a

colisatildeo entre esses dois objetos Dado que o sistema (projeacutetil

+ alvo) mantem-se homogecircneo (no plano xy) durante todo o pro

cesso de colisatildeo entatildeo para conhecermos em um dado Instante

uma das chapas (isto ecirc como estatildeo distribuiacutedos os nuacutecleons no

espaccedilo) basta observamos um pedaccedilo dela Sendo assim cada

chapa seraacute representada por uma amostra ou seja por um nuacutemero

finito de nuacutecleons movimentando-se no espaccedilo de uma maneira que

simule a homogeneidade citada Consideramos tais amostras com a

forma de paralelepipedo regular com duas faces contidas nos pia

nos das chapas (veja fig 24) As faces paralelas ao plano xy

satildeo consideradas iguais e mantecircm suas formas (quadrados) duran

te todo o processo de colisatildeo no entanto as espessuras (na di

reccedilatildeo z) podem variar Escolhemos esta forma geomeacutetrica apenas

por comodidade mas poderiacuteamos considerar outras

Fig 24 Diagrama representando as amostras do projeacutetil e do

alvo e suas posiccedilotildees iniciais a-aresta do quadrado no

plano xy Zp e Zt satildeo as espessuras das chapai projeacute

til e alvo respectivamente

V

Yt

s r |

bull bull

a

Fig 25 Diagrama indicando como eacute feita a homogeneidade

Consideremos uma face paralela do plano xy e mais

oito reacuteplicas desta arranjadas como na fig 25 A homogeneidade

eacute simulada da seguinte maneira se por exemploum nuacutecleon cujas

coordenadas satildeo (bullyen i) gt estaacute caindo da amostra consideramos

um outro com coordenadas (bullltgt ff^laquo J ) (onde os si

nais de bull e ^ satildeo contraacuterios aqueles de e f respectiva

mente e |xlaquof = |^laquo~ Ou ) e momentum igual ao do primeiro Ve

mos que desta maneira o arranjo das projeccedilotildees em um dado

instante eacute o mesmo em todas as faces

Os nuumlcleons satildeo arranjados aleatoriamente no espa

ccedilo de configuraccedilatildeo de modo que a distribuiccedilatildeo inicial seja homo

gecircnea e os seus momenta dirigidos na direccedilatildeo z

11 0 Processamento das Colisotildees Nuumlcleon-NUumlcleon

Tendo dadas as condiccedilotildees Iniciais queremos saber

agora como simula-se a reaccedilatildeo O procedimento eacute o seguinte

Tomam-se dois nuumlcleons e verifica-se a condiccedilatildeo

de choque entre eles (veja apecircndice C) se for decidido que ha

veraacute choque calcula-se o tempo que levariam atecirc interagir Es

se processo repete-se ateacute que tenham sido considerados todos

os pares possiacuteveis Em seguida verifica-se o menor de todos os

tempos e deslocam-se todos os nuumlcleons durante este tempc eacute

claro que aqueles do par correspondente a este tempo devem se

chocar Entatildeo processa-se o choque isto eacute determinam-se as

direccedilotildees sentidos e os momenta dos nuumlcleons ao atingirem as

interfaces das regiotildees de potencial (no caso EQCLAS) ou quando

alcanccedilarem a distacircncia miacutenima (no caso CASCATA) (Veja apecircndice

C)bull Novamente faz-se a tabela de tempos No entanto agora con

sideram-se apenas os pares formados com um dos dois nuumlcleons

que se chocou e um outro qualquer que natildeo fez parte deste cho

que (isto porque as relaccedilotildees entre os tempos dos outros pares

natildeo foram alteradas) 0 processo ocorre ateacute ser atingido um

tempo maacuteximo que eacute estabelecido de tal maneira que se possa ob

serva-rlo ateacute os estaacutegios finais

3 d

12 Procedimentos Para Obtenccedilatildeo dos Resultados

Os resultados para os valores das grandezas calcu

ladas satildeo extraiacutedos considerando-se uma regiatildeo fixa do espaccedilo

cujo volumt eacute dado pela aacuterea de uma das faces multiplicada ror

um comprimento de 20fm na direccedilatildeo z

Os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos para

a distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica do sistema em colisatildeo e a

distribuiccedilatildeo em rapidez de suas partiacuteculas foram da seguinte ma

rteira

1) Distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

Neste caso o espaccedilo considerado eacute divididona

direccedilatildeo z em cem caixas iguais Em seguida em um determinado

instante contamos o nuacutemero de nuacutecleons que se encontra em cada

caixa A densidade meacutedia neste instante acha-se dividindo-se

o nuacutemero de nuacutecleons acumulados em cada caixa pelo nuacutemero de

repeticcedilotildees e pelo volume de uma caixa

2) Distribuiccedilatildeo de densidade de rapidez

A rapidez y eacute expressa por (veja apecircndice A)

Com esta formula estimamos a rapidez maacutexima em moacutedulo para

todos os nucleons do sistema Seja pound este moacutedulo Considera

bullos Cpound iJ como o intervalo de variaccedilatildeo de rapidez Em seguiL

da como antes dividimos este intervalo em cem partes iguais

entatildeo para um determinado instante contamos o numero de nu

cleons que possuem rapidez em cada intervalo A meacutedia encontra-

se dividindo-se o acuacutemulo de rapidez de cada intervalo pela

rapidez total acumulada

A densidade numeacuterica de nucleons antes da coli

satildeo foi tomada de acordo com a foacutermula (veja capitulo 3)

RP = to r = to Ar (62)

O que nos dacirc

p- - -iacutefrr ( 6 - 3 gt onde lt0 s 12 f m Consideramos as duas amostras iguais cujas

dimensotildees satildeo

AEcirc tfraquo ~f lt64)

Com estes valores os nuacutemeros de nucleons do projeacutetil ( ^raquo ) e

do alvo ( r ) satildeo dados por

f)rs f il (65)

O ideal seria se tomaacutessemos flp p r com valores bem

maiores que estes No entanto como as medidas satildeo estatiacutesticas

(isto eacute o processo eacute repetido muitas vezes) isto acarretaria

um aumento consideraacutevel do tempo de caacutelculo Com os valores

que estabelecemos o tempo de caacutelculo de uma repeticcedilatildeo ecirc de apro

ximadamente 2 minutos de computador

13 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Resultados

Nas figs 26 e 27 satildeo mostrados os resultados obti

dos neste caacutelculo

Com respeito acirc distribuiccedilatildeo bariocircnica observamos

o seguinte

1) No instante inicial as duas distribuiccedilotildees satildeo iguais Neste

instante como esperaacutevamos os nuacutecleons distribuem-se homoge

neamente em duas regiotildees que correspondem aos volumes iniciais

das amostras

2) Com o passar do tempo essas distribuiccedilotildees vatildeo se aproximan

do e um pico exatamente na regiatildeo central eacute formado

3) 0 pico cresce ateacute atingir um maacuteximo quando entatildeo comeccedila a

decrescer e ao mesmo tempo toda a distribuiccedilatildeo vai se espa

lhando e homogeneizando-se novamente

4) 0 pico no caso CASCATA eacute sempre maior que no caso EQCLAS

Draquo

5) A distribuiccedilatildeo no caso EQCLAS evolui mais rapidamente

6) Observamos que ate um certo tempo o processo evolui (nos

dois casos) de forma raacutepida ateacute atingir um determinado estaacutegio

quando entatildeo as alteraccedilotildees vatildeo nt-ivixando-se ateacute que pratica

mente natildeo observamos nenhuma varialt( sltraquo com o tempo

7) Vemos que eacute nos estaacutegios em torno da densidade maacutexima que

as diferenccedilas entre os resultados oferecidos pelos dois meacutetodos

se acentuam

8) No final onde o meio torna-se muito rarefeito natildeo observa

mos diferenccedilas dos dois tratamentos

Com respeito agrave distribuiccedilatildeo de rapidez podemos

observar o seguinte

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees satildeo iguais para os

dois casos e concentram-se exatamente em dois pontos dispocircs

tos simetricamente com relaccedilatildeo atilde origem como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo (para os dois casos) esses picos vatildeo

diminuindo e conjuntamente havendo um acreacutescimo de densidade na

regiatildeo central (sendo mais acentuado no caso EQCLAS) Esse

acreacutescimo natildeo atinge picos tatildeo pronunciados quanto no caso da

distribuiccedilatildeo de densidade bariocircnica

CAKtrA CMC

e Rj Vt bull A - O10) J TO iOOOO

iiO 400

AP= Ar ii

pound= 00 fmccedil

Yy-N 1

1

i i

J ^

fraquo Iacute0 iacute iacute

pound^

^

poundz 2 3

rmdashraquo 1

1 1

j is a

j ^ t tf 9i

mdash mdashN

Fig 26r Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de densidade

bariocircnica no caso CASCATA e no caso EQCLAS 03 instarraquo

tes foram escolhidos de modo a evidenciar a3 etapas

principais do processo

(AtCA TA

E H

tf = roo MtV

Pt c Ho laquo r O H0t J S-O (0000

t 2 O V OO

Arz AT = 11

Fig 27 Desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapidez no

caso CASCATA e EQCLAS que estatildeo superpostos em cada

graacutefico Os instantes foram escolhidos como descrito

na fig 26

V ) A pnrtlr dfgt um corto ontacircgio nssns ptcns dorsnpnropom Obspr

va-se ainda que no caso de EQCLAS isso ocorre inalu rapidamen

te

4) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees vatildeo se igualando e

tornando-se mais e mais homogecircneas

Lembramos que os dois tratamentos foram conside

rados de tal maneira que no limite de rarefaccedilatildeo do meio coin

cidem totalmente Consequentemente as diferenccedilas dos resultados

mencionados acima devem ser atribuiacutedas a efeitos puramente de

interaccedilotildees natildeo binarias No caso CASCATA as densidades maacuteximas

satildeo mais pronunciadas do que no caso EQCLAS Isto pode ser ex

plicado pelo fato de que no caacutelculo de CASCATA os centros dos

nuumlcleons podem aproximar-se sem limitaccedilatildeo geomeacutetrica podendo

ultrapassar eventualmente a densidade maacutexima (iacuteraquoax= i raquomdash )

imposta pela condiccedilatildeo geomeacutetrica (presenccedila do caroccedilo duro) em

EQCLAS Isto explicaria a observaccedilatildeo (4)

Por outro lado a observaccedilatildeo (5) mostra que o

mecanismo de transferecircncia de energia e momentum entre partlcu

Ias parece mais eficiente na presenccedila de interaccedilotildees de muitos

corpos do que de interaccedilotildees puramente binarias Isto eacute bem

razoaacutevel pois a relaccedilatildeo cinemaacutetica de muitas partiacuteculas no caso

EQCLAS permite tal facilidade de transferecircncia de energia e

momentum

A observaccedilatildeo (8) sugere que quanto ao estado fl

rial as previsotildees de EQCLAS e CIN satildeo as mesmas apesar da dife

renccedila entre eles nos estaacutegios que correspondem ao auge da

colisatildeo Isto se deve ao fato de que possivelmente apenas coli

soes binacircrias ocorrem nos estados finais quando utilizamos o

meacutetodo de EQCLAS devido a caracteriacutesticas repulsivas do poten

ciai Os dois meacutetodos neste caso satildeo completamente equivalentes

Este fato nos leva acirc conclusatildeo importante de que

mesmo que os resultadoraquo do caacutelculo de CIN aplicado nas RIP re

produza razoavelmente Bem os espectros de nuacutecleons experimental

mente observados isto natildeo justifica a validade do meacutetodo duran

te todo o processo de colisatildeo Especialmente quando trata-se de

quantidades fiacutesicas relacionadas a etapas do auge da colisatildeo

(por exemplodensidade maacutexima temperatura maacutexima produccedilatildeo de

kaons) o meacutetodo de CIN eacute sem duacutevida insatisfatoacuterio para a anaacuteli

se destas grandezas

fi interessante observar que natildeo obtivemos nenhuma

descontinuldade na evoluccedilatildeo da distribuiccedilatildeo bariotildenica Isto

por um lado se deve ao fato de termos tomado o raio de intera

ccedilatildeo relativamente pequeno permitindo que inicialmente o espa

ccedilo livre entre nuacutecleons seja muito pronunciado Seria interes

sante se tomaacutessemos um sistema maior com um raio de interaccedilatildeo

entre nuacutecleons tambeacutem maior e observaacutessemos um processo onde

ocorressem descontinuidades na distribuiccedilatildeo bariotildenica Ou seja

uma situaccedilatildeo propicia para a formaccedilatildeo de ondas de choque na

O I

materia nuclear que ecirc um processo diretamente ligado no aumen

to da densidade bariocircnica em determinadas regiotildees Ecirc exatamente

nesta situaccedilatildeo como jaacute dissemos antes que esperamos a manifes_

taccedilatildeo dos efeitos proacuteprios das interaccedilotildees de muitos corpos Ecirc

com esta intenccedilatildeo que a partir do proacuteximo item desenvolvemos

um outro processo de colisatildeo

2 Formaccedilatildeo de onda de choque na materia nuclear

Como pode ser visto no capiacutetulo 4 eqs 46- 49

a onda de choque caracteriza-se pela descontinuidade das quanti

dades termodinacircmicas No nosso caso o interesse eacute analisar a

influecircncia de colisatildeo de muitos corpos para a formaccedilatildeo e propa

gaccedilatildeo de ondas de choque na mateacuteria nuclear As grandezas toma

das para analise satildeo novamente as distribuiccedilotildees de densidades

bariocircnica e de rapidez

21 Sistema-Motildedulo para Anaacutelise da Formaccedilatildeo de

Onda de Choque

Para a formaccedilatildeo de onda de choque colidimos uma

placa de nucleons (como descrita nos Itens 11 e 12) com uma

parede (o termo parede ecirc utilizado aqui para designar uma

superfiacutecie plana infinita intransponiacutevel pelos nucleons assim

delimitando um semiespaccedilo)

A colisatildeo dos nuacutecleons com a parede eacute completamen

te elaacutestica e aleacutem disso desprezamos o recuo desta dai cons ide

ramos como referencial aquele em que a parede encontra-se em

repouso

Os planos da placa e da parede encontram-se no

plano xy sendo que o plano da parede passa pela origem Na

construccedilatildeo da tabela de tempos (item 15) a parede ecirc representa

da por um ponto de coordenada z=0 e coordenadas x y coincidin

do com aquelas do nuumlcleon considerado

No caacutelculo anterior onde o alcance do potencial

foi de 15 fm o sistema exibia as caracteriacutesticas de um meio

rarefeito jaacute no estado inicial Portanto inicialmente os nuuml

cleons possuem um aspecto livre bastante pronunciado impedindo

os efeitos de compressatildeo (ou seja de interaccedilotildees natildeo binarias)

que soacute comeccedilam a surgir no auge da colisatildeo Para nosso objetivo

de investigaccedilatildeo dos efeitos de compressatildeo e da formaccedilatildeo de onda

de choque este estado inicial de meio rarefeito natildeo eacute deseja

vel Em outras palavras devemos reduzir o espaccedilo livre para

nuacutecleons no estado inicial

Quando tomamos uma amostra da placa automaacutetica

mente fixamos o nuacutemero de nuacutecleons correspondente ao volume da

amostra O alcance do potencial no caso aqui considerado re

presenta o tamanho do ndeleon O que estamos querendo eacute que

fixando-se a densidade e a velocidade do som seja estabelecido

o alcance do potencial (e correspondentemente o valor do

mesmo) de tal maneira que os nuacutecleons se encontrem suficiente

mente proacuteximos Utilizamos a frase suficientemente proacuteximos

porque esperamos que a formaccedilatildeo de onda de choque seja mais

evidente quanto mais proacuteximos encontrarem-se os nuacutecleons uns

dos outros quanto mais homogecircnea for a distribuiccedilatildeo bariocircnica

inicial e quanto maior for a energia incidente sem que no en

tanto os nuacutecleons se encontrem na condiccedilatildeo de cristalizaccedilatildeo

pois natildeo queremos eliminar totalmente no inicio a possibili

dade de movimento livre

O problema que surge entatildeo eacute como satisfazer es

tas trecircs exigecircncias A questatildeo do alcance do potencial eacute resol

vida tomando-se o raio da regiatildeo de potencial compatiacutevel com

aquele estabelecido na condiccedilatildeo cristalinaa qual estabelece o

sistema cristalino regular de faces centradas por ser este o

mais simeacutetrico e denso possiacutevel (tal condiccedilatildeo eacute exigida ten

do-se em vista o potencial que consideramos) Isto eacute faacutecil de

ser encontrado 0 sistema cristalino regular cuacutebico de face

centrada ecirc mostrado na fig 28

- r -

_L pound1 gtj

Flg 28 Representaccedilatildeo do cristal cuacutebico de faces centradas (ruf IO

Na condiccedilatildeo de densidade maacutexima os nuacutecleons tocam-se uns nos

outros Seja Rraquo a distacircncia entre dois nuacutecleons entatildeo deve

mos ter

2 fAraquox = d (6-6)

onde d eacute a diagonal da face do cubo isto eacute ot - o-yl dal

Rlaquo+ zx -mdashbull O (67)

o nuacutemero efetivo de nuacutecleons dentro do cubo eacute 4 A densidade

eacute entatildeo dada por

O =r mdash - r - (68)

a3

Que deve ser igual a Logo

I L l ^ (69) W Entatildeo

A energia incidente eacute tal que os nuacutecleons devem

propagar-se com uma velocidade acima da velocidade do som is

to tambeacutem eacute algo faacutecil de ser estabelecido

Resta entatildeo a questatildeo do sorteio dos nuacutecleons

dentro da amostra

Tomamos os nuacutecleons inicialmente com um raio

de interaccedilatildeo suficientemente pequeno de tal maneira que este

jam localizados aleatoriamente dentro da amostra Atribuiacutemos

tambeacutem aleatoriamente momenta a todos os nuacutecleons em segui

da deixamos o sistema evoluir no tempo com a condiccedilatildeo de que

o raio da regiatildeo de potencial aumente linearmente com o tempo

ateacute alcanccedilar o tamanho estabelecido pela condiccedilatildeo de quase

cristalizaccedilatildeo O movimento dos nuacutecleons dentro da amostra ocor

re da maneira jaacute descrita(item 15) com a uacutenica diferenccedila que

no caso aqui considerado deve-se levar em conta o aumento do

raio nas equaccedilotildees que estabelecem o tempo de colisatildeo e a troca

de momenta entre dois nuacutecleons Vemos que desta maneira os

nuacutecleons tendem a ocupar homogeneamente o espaccedilo dentro da

amostra Quando o raio da regiatildeo de potencial atinge um tama

nho estipulado congelamos os nuacutecleons em suas respectivas

posiccedilotildees em seguida atribuiacutemos novamente momenta aos nu

cleons soacute que desta vez natildeo aleatoriamente mas sim todos

iguais e na direccedilatildeo z de encontro agrave parede dando inicio ao

processo de colisatildeo

22 Observaccedilotildees e Anaacutelise de Dados

Tomamos o sistema inicialmente com 10 fm o que

daacute um total de 22 nuacutecleons Os dados obtidos com este processo

satildeo apresentados pela figs29 e 30

Considerando-se a distribuiccedilatildeo de densidade ba

riacuteocircnica podemos observar o seguinte

CAiCAT

SMC

iacute l a TOO MxV j W = 4 S3

Flt laquo laquo (to 2 lo 17 ltiOO es i i

gtfr eof^yi

Fig 29 (a)iacute Desenvolvimento temporal da densidade b a r i ocirc n i c a

no caso CASCATA e no caso EQCLAS Ap=l r e p r e s e n t a

a parede

Fig 29 (b) Trecho ampliado da fig 29(a) exibindo a regiatildeo de

maior intensidade do processo evidenciando a dishy

ferenccedila dos dois meacutetodos

cAicArA

laquo M C

ttx SOO Mg j Mtfgt2 S3

Re rtrf Vi o s v o i f a)ol i a

s aiacuteX^eacute

s ft^r (70

Fig 30 ( a ) Desenvolvimento temporal da d i s t r i b u i ccedil atilde o da densJL

dade de rapidez nos casos CASCATA e EQCLAS Os ins

t a n t e s coincidem com aqueles da f i g 29

1) Logo nos instantes iniciais observa-se nos dois casos um

acuacutemulo da densidade proacuteximo atilde parede enquanto uma outra par

te permanece com a forma da distribuiccedilatildeo inicial apresentando

desta maneira uma descontinuidade (o que caracteriza a forma

ccedilatildeo de onda de choque)

2) Observamos que a onda de choque no caso EQCLAS eacute mais

pronunciada pois apresenta uma maior descontinuidade

3) No caso EQCLAS a densidade proacutexima atilde parede manteacutem-se em

todos os instantes maior que no caso CASCATA

4) Com o passar do tempo a onda de choque nos dois casos vai

desaparecendo e a distribuiccedilatildeo espalhando-se por toda a re

giatildeo considerada

5) Proporcionalmente a densidade proacutexima atilde parede no caso

CASCATA decresce mais rapidamente que no caso EQCLAS

6) Nos instantes finais a distribuiccedilatildeo no caso CASCATA tende

a uma certa meacutedia jaacute no caso EQCLAS ela permanece mais pro

nunciada em direccedilatildeo acirc parede

72

Com respeito 5 distribuiccedilatildeo de densidade de rapi

dez podemos observar as seguintes caracteriacutesticas

1) No instante inicial as distribuiccedilotildees nos dois casos satildeo

iguais e concentram-se em um uacutenico ponto como esperaacutevamos

2) Com o passar do tempo este pico inicial vai diminuindo e

um outro sendo formado em um ponto simeacutetrico agravequele do pico

inicial enquanto a largura vai aumentando em torno destes pi

cos

3) Os picos satildeo mais pronunciados no caso CASCATA onde obser

va-se uma largura menor

4) 0 pico da esquerda depois de um certo tempo desaparece

nos dois casos sendo que no caso EQCLAS isto acontece de for

ma mais raacutepida

5) No caso EQCLAS a densidade de rapidez distribui-se com o

tempo de forma mais suave o que concorda muito bem com as

observaccedilotildees (3) e (4)

6) No caso EQCLAS a distribuiccedilatildeo espalha-se mais rapidamente

T) No caso EQCLAS haacute uma concentraccedilatildeo em torno da rapidez da

parede (y=0) mais pronunciada que no caso CASCATA

8) Nos instantes finais as distribuiccedilotildees em um e outro caso

tornam-se muito parecidas

As observaccedilotildees (2) (3) o (5) 11ltjim-rltgt a um

mesmo aspecto o qual ecirc traduzido por uma maior transparecircncia

no caso CASCATA Com a presenccedila das colisotildees de muitos corpos

(que satildeo esperadas em densidades altas) e observando-se que no

caso de EQCLAS existe uma regiatildeo central de potencial intrans

poniacutevel os nuumlcleons tem maior dificuldade em atravessar o

meio o que constatamos tambeacutem com a observaccedilatildeo (71) No entan

to apresentam uma maior dissipaccedilatildeo de energia o que eacute confir

mado pelas observaccedilotildees (3) (4 bull ) (5) e (6)

6 interessante observarmos que comparando - se

com o caso anterior onde era menor tem-se a impressatildeo

de que a situaccedilatildeo eacute invertida Naquele processo pronunciava-

se uma maior densidade na regiatildeo central no caso CASCATA

No entanto se analisarmos atentamente percebemos que o me

canismo ecirc o mesmo ao interagir o projeacutetil com c alvo apresen

ta-se uma densidade maior no caso CASCATA exatamente por

ser o sistema mais transparente neste caso (o que favorece uma

maior penetraccedilatildeo dos nuacutecleons do projeacutetil no alvo e vice - ver

sa) No entanto no processo de colisatildeo do projeacutetil com a

parede por ser esta uma regiatildeo intransponiacutevel os nuacutecleons

inicialmente acumulam-se ai Ao chocar-se com a parede estes

invertem seus movimentos e no caso CASCATA a densidade tor

na-se menor novamente porque a transparecircncia eacute maior (o que

favorece o movimento dos nuacutecleons no meio)

Observamos ainda neste uacuteltimo exemplo que o

mecanismo de transferecircncias com o caacutelculo EQCLAS ocirc muito

mais eficiente comparado ao CASCATA como foi enfaticamente

74

mostrado ro desenvolvimento temporal da distribuiccedilatildeo de rapi

dez Ou seja no caacutelculo de CASCATA a transferecircncia de ener

gia e momentum ecirc subestimada comparada ao processo real impli

cando em uma menor eficiecircncia para o estabelecimento de equiacute

librio teacutermico em relaccedilatildeo ao meacutetodo de EMC Podemos dizer en

tatildeo que as interaccedilotildees natildeo binaacuterias satildeo um mecanismo mais efi

ciente para estabelecer o equiliacutebrio teacutermico do que as inte

raccedilotildees puramente binaacuterias

No entanto os dois exemplos mostram que as inte

raccedilotildees finais que tomam lugar nas etapas de baixa densidade

tendem a eliminar as diferenccedilas dos dois meacutetodos Isto eacute as

quantidades associadas ao final do processo satildeo razoavelmente

determinadas pelo meacutetodo de CIN

Neste trabalho o potencial foi representado por

um uacutenico degrau por motivo de simplicidade No entanto seria

interessante observar como se modificam os resultados quando

utilizamos um potencial com variaccedilotildees menos abruptas 0 que

sem duacutevida afeta diretamente as relaccedilotildees cinemaacuteticas entre par

ticulas quando envolvidas por colisotildees natildeo binaacuterias A exten

satildeo do nosso caacutelculo para simular o efeito de variaccedilotildees sua

ves do potencial pode ser feita simplesmente incluindo mais

degraus no potencial No entanto isto acarreta um tempo bem

maior no processo de simulaccedilatildeo

Seria tambeacutem interessante consideramos um siste

ma inicialmente maior do que este utilizado isto nos poss1

bllitaria observar por mais tempo o processo de onda de

choque Alem disso so fizeacutessemos um levantamento tia onda de

choque por energia incidente e tambeacutem pelo alcance do poten

ciai poderiacuteamos observar melhor as caracteriacutesticas presentes

nos meacutetodos que utilizamos

CONCLUSAtildeO

Com o intuito de analisar os efeitos de colisotildees

natildeo binacircrias que a priori satildeo excluiacutedos no caacutelculo de cascata

intranuclear estudamos um modelo idealizado do processo de

RIP Para facilitar o caacutelculo utilizamos um potencial de dois

corpos de forma de degrau repulsivo com caroccedilo duro Compa

ramos dois caacutelculos do processo de colisatildeo o CASCATA e o

EQCLAS Para destacar o efeito de colisotildees natildeo binacircrias ten

tamos eliminar ao maacuteximo o efeito geomeacutetrico introduzindo

uma configuraccedilatildeo de chapa de aacuterea infinita e espessura varia

vel

Calculamos dois exemplos o caso em que o meio

nuclear possuiacutea inicialmente o espaccedilo livre relativamente

grande e o caso de nuacutecleons bastante compactados

Os resultados de caacutelculo mostram que o efeito de

processos natildeo binatilderios atua de maneira a diminuir a transparecircn

cia da mateacuteria nuclear frente acircs colisotildees Ao mesmo tempo es

te efeito eacute mais eficiente para dissipar a energia e momentum

entre nuacutecleons do que se existissem apenas as colisotildees bina

rias

Outra conclusatildeo importante eacute que numa situaccedilatildeo

onde a onda de choque aparece o meacutetodo de CIN subestima a

densidade e temperatura do meio Entretanto foi observado que

as colisotildees que ocorrem nas etapas finais ontJo a cligtnJlaquoladc c

relativamente baixa tendem a eliminar as diferenccedilas de resul

tados entre CIN e EMC Isto mostra que o meacutetodo de CIN pode

ser razoaacutevel para estimar as quantidades que satildeo determinadas

nas etapas finais do processo de RIP No entanto o sucesso de

CIN em reproduzir as quantidades finais natildeo necessariamente

implica a validade do mesmo no auge da colisatildeo Por exemplo

a realizaccedilatildeo de equiliacutebrio teacutermico eacute subestimada por este imito

do

Ecirc conhecido que o caacutelculo de CIN aplicado ao

processo de produccedilatildeo de pfons em geral sobreestima o nuacutemero

de pfons produzidos Prevemos que isto seja devido ateacute certo

ponto atilde excessiva transparecircncia que apresenta-se com este me

todo Eacute interessante testar o caacutelculo de CIN para a produccedilatildeo

de kaons pois estas partiacuteculas satildeo emitidas nos estaacutegios mais

intensos do processo de reaccedilatildeo Prevemos que neste caso a

transparecircncia atuaria para subestimar o nuacutemero de kaons produ

zidos

78

APEcircNDICE A

Processo Inclusive Rapidez e Momentum Transverso

1 Processo Inclusive

O processo inclusivo de uma uacutenica par t iacutecula eacute de

finido da seguinte maneira

A + B gt C + x (Al)

onde A eacute o projeacutetil B o alvo C eacute a partiacutecula que eacute detectada

(isto eacute sobre a qual satildeo feitas as medidas sendo entatildeo a

uacutenica partiacutecula de estudo no processo de reaccedilatildeo) e X eacute o restan

te dos proJutos da reaccedilatildeo Similarmente podemos definir o

processo inclusivo de duas partiacuteculas de trecircs etc Vemos en

tatildeo que nos processos inclusivos o interesse eacute por certos

tipos de partiacuteculas e natildeo por toda a produccedilatildeo da reaccedilatildeo

2 Rapidez e Homentua Transverso

Em colisotildees nucleares a altas energias i conve

niente introduzir variaacuteveis cinematildeticas invariantes para des

crever o domiacutenio do espaccedilo de fase em que as partiacuteculas satildeo

emitidas A quantidade relativisticamente invariante que des

creve o movimento paralelo agrave direccedilatildeo do feixe eacute denominada de

rapidez Suponhamos que a direccedilatildeo do feixe eacute ao longo do eixo

z A rapidez se define entatildeo como

i-+lt-amppoundbull)-WW (A2)

I~3

vecirc-se que y ecirc exatamente o acircngulo que descreve uma rotrccedil-atildeo no

espaccedilo-tempo (portanto descreve uma transformaccedilatildeo de hzrentz)

Por exemplo na colisatildeo iacuteB-raquoCtX a velocidade

1$ do centro de massa do sistema total (relativa ao sistema

do laboratoacuterio) ecirc dada por

onde Ccedilraquo e pound4 satildeo o momentum e a energia total do prcitil A

respectivamente e a eacute a massa do alvo B A rapidez ia partjE

cuia C quando vista no sistema laboratoacuterio estaacute relacionada

acirc rapidez no sistema de centro de massa por

onde

=4(-pound-) (A5)

Tal resultado eacute evidente dado que duas rotaccedilotildees em ur mesmo

eixo (ou o que eacute o mesmo duas transformaccedilotildees de Lore-tz em

uma mesma direccedilatildeo) podem ser substituiacutedas por uma uacutenita rota

ccedilatildeo cujo acircngulo eacute a soma dos acircngulos das rotaccedilotildees indivi

duais

A variaacutevel complementar agrave rapidez eacute o -omentum

transverso Jf l

ampr--laquoilaquoirA

80

APfiNDlCR R

A lagrangeana de um sistema de duas partiacuteculas

de massa m num potencial que depende apenas da distacircncia rela

tiva entre elas pode ser escrita (em coordenadas ciliacutendricas )

como

Onde

M- mdash Tira-se dal a energia

E ^ r t 1 +lt() + - ^ (B2) 1 mui

Onde l-trt iacutef eacute o momentum angular do sistema

Fora da regiatildeo de potencial a energia em rela

ccedilatildeo ao centro de massas eacute expressa por

E iiff (B3

onde AP ecirc a diferenccedila de momento linear dos dois nuacutecleons da

da a partir do sistema laboratoacuterio

Os limites do movimento encontram-se para aque

les valores de ri i tal que t s O No caso um questatildeo

01

como trata-flo do uma energia potencia l p o s i t i v a o movimento oacute

oempre i n f i n i t o la to 6 dove e x i s t i r um r miacutenimo maraquo natildeo um

r maacuteximo Vejamos agora uma condiccedilatildeo necesaaacuteria pata que doia

nilcloona ae choquem Sejam dois nuacutecleons l i v r e s (a) e (b)9uaa bull 1 3

posiccedilotiacutes [to i ft i G suas velocidades voacute- ^ respecti vamonto Sojom

_ - - lt^gt

o a equaccedilatildeo

f()- P^A- VffN^V + otilder~l (B5)

Esta equaccedilatildeo defino a distacircncia em funccedilatildeo do tempo entre 09

dois ndcleons Eles se aproximaratildeo se houver um miacutenimo com

relaccedilatildeo ao tempo de3ta equaccedilatildeo Deve ser verificada entatildeo a

condiccedilatildeo

bulljr - deg ltbull

ou soja

-y Jt bull $ - O (D 7)

O primeiro terno desta equaccedilatildeo eacute positivo logo o produto esca

lar devo uumlor negativo Entatildeo para que dois nuacutecleons ac aproxi

mem eacute necessaacuterio que o produto escalar da diferenccedila de suas

poaiccediloe3 o de aua3 valocldide3 aoja negativo No que segue

rio upotildeo que neja 03te o caso

82

O v a l o r miacutenimo paru rt EIacuteG cncon t tn laquo1 p n r t l r dn

cujuuccedilatildeo (U 2 ) onduuml uo fuz f i s otilde d a l

m I

n^ = bull (D 8)

O moacutedulo do momentum angu la r t o t a l 6

ondo 6 a d i s t acirc n c i a das r c t a a i n i c i a i s dos movimentos de cen

t r o de masaa do cada nucleon a n t e s da qua lque r I n t e r a ccedil atilde o

S u b s t i t u i n d o - s e (B2) egrave (B9) um (D8) f i c a

flmim s ~ (B10) f 4 _ j - j^izn

0 p o t e n c i a l como se s a b e eacute do s e g u i n t e t i p o

copyo carta o eacute ^ plaquo

( ( laquo ) = ( D 1 1 )

ltlaquo laquoV lt

e n t atilde o para t = O

f t raquo (0-12)

lojo a e ^ Hfi havoratilde choque c iuo c o n t r aacute r i o os nuacutellt-on3 pas3a

ratildeo um pe lo o u t r o uumlim se perceberem

03

Suponhamos ltpound tf rjuoronio rwihcr piil 1 con

d iccedilatildeo para quo um nilcloon ponc t r a na r e g i atilde o do p o t e n c i a l do

o u t r o A a n a r g i a i n i c i a l pa ra ti gt fly 6 dada por

pound = J i Uuml ID13

logo para quo isto ocorra 5 necessaacuterio que

ig gt ou seja

fJp- | gt 2 ^ r 7 (B15)

Eacute tambeacutem de interesse a condiccedilatildeo de reflexatildeo

em Re Isto ocorreraacute se flt R e se |Jp|lt 2 JrWVc I

Estando os nuacutecleons um na regiatildeo de potencial do outro a con

diccedilatildeo para que se choquem em Rc pode ser dada a partir da

equaccedilatildeo (B10) Neste caso deve-se ter