MATEMÁTICA PROFESSOR CARLOS CLEY

1

NÚMEROS BINOMIAIS

Número binomial é todo número da forma:

p)!(np!

n!

p

n

−=

, (n, p ∈ N e 0 ≤ p ≤ n).

n é o numerador e p é o denominador do binomial.

Ex: 35!4.6

!4.5.6.7

!4!.3

!7

3)!(73!7!

3

7===

−=

para p = 0 ,

1!0

1

0!.n!

n!

0

n===

para p = 1,

n1)!1.(n

1)!n.(n

1)!1!.(n

n!

1

n=

−

−=

−=

para p = n,

1!0

1

n!.0!

n!

n)!n!.(n

n!

n

n===

−=

Exemplos:

1;0

5=

7

1

7=

e 1

9

9=

.

Atenção!

p n, Cp)!p!.(n

n!

p

n=

−=

Binomiais consecutivos Dois binomiais são consecutivos se têm mesmo numerador e denominadores consecutivos.

p

n e

+1p

n são binomiais consecutivos.

Ex1:

3

7e

4

7 são binomiais consecutivos

Ex2:

5

8 e

4

8 são binomiais consecutivos.

Propriedade (Relação de Stifel)

A soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma.

+

+=

++

1p

1n

1p

n

p

n

Ex:

=+3

6

3

5

2

5

Binomiais complementares Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores resulta o numerador.

p

n e

−pn

n são complementares.

Ex:

2

6 e

4

6 são complementares.

Propriedade Binomiais complementares são iguais.

−=

pn

n

p

n

Ex:

=

1

100

99

100

Igualdade

Se

=

q

n

p

n, então:

p = q ou p + q = n

01. Simplifique a expressão:

+++

7

17

6

16

5

15

4

15

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2

02. Calcule x nas equações:

a)

+=3

9

2

9

x

10

b)

=+

6

11

x

10

5

10

Triângulo de Pascal

Quando expomos os binomiais

p

nem linhas

e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal . Veja!

→

→

→

→

→

→

→

→

n

n . . . .

6

n

5

n

4

n

3

n

2

n

1

n

0

n n linha

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . .

6

6

5

6

4

6

3

6

2

6

1

6

0

6 6 linha

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5 5 linha

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4 4 linha

3

3

2

3

1

3

0

3 3 linha

2

2

1

2

0

2 2 linha

1

1

0

1 1 linha

0

0 0 linha

Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim:

linha 0 → 1

linha 1 → 1 1

linha 2 → 1 2 1

linha 3 → 1 3 3 1

linha 4 → 1 4 6 4 1

linha 5 → 1 5 10 10 5 1

linha 6 → 1 6 15 20 15 6 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades

• O primeiro elemento de cada linha é da forma

0

n,

logo é igual a 1.

• O último elemento de cada linha é da forma

n

n,

logo é igual a 1.

• Em uma linha, binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais. Veja!

1 5 10 10 5 1

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5

↓↓↓↓↓↓

• A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo elemento somado (relação de Stifel).

• A soma de todos os elementos de uma mesma

linha do triângulo de Pascal é igual a n2 , onde n é a ordem da linha.

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3

linha 0 → 1 → 20 = 1

linha 1 → 1 1 → 21 = 2

linha 2 → 1 2 1 → 22 = 4

linha 3 → 1 3 3 1 → 23 = 8

linha 4 → 1 4 6 4 1 → 24 = 16

linha 5 → 1 5 10 10 5 1 → 25 = 32

linha 6 → 1 6 15 20 15 6 1 → 26 = 64

n2 n

n ...

3

n

2

n

1

n

0

n =

++

+

+

+

• A soma dos elementos de uma mesma coluna do

triângulo de Pascal, iniciando-se com o

n

n, é

igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último elemento somado.

+

++=

+++

++

++

1n

1pn

n

pn ...

n

2 n

n

1n

n

n

• A soma dos elementos de uma mesma diagonal do

triângulo de Pascal, iniciando-se com o

0

né igual

ao elemento situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado.

++=

+++

++

++

p

1pn

p

pn ...

2

2 n

1

1n

0

n

03. (Bahiana/04) A expressão

+

=

8

12

7

12E é

equivalente a:

A)

15

24

B)

7

11

C)

7

13

D)

5

13

E)

9

12

04. (UNIFOR) A soma

++

+

+

25

30...

2

7

1

6

0

5é

igual a:

A)

25

31

B)

26

30

C)

26

31

D)

25

30

E)

27

31

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4

BINÔMIO DE NEWTON Denomina-se binômio de Newton a

expressão ( ) n ax + , onde x, a ∈ R e n ∈ N. Vamos

desenvolver ( ) n ax + para alguns valores de n:

( ) 0 ax + =

( )1 ax + =

( ) 2 ax + =

( ) 3 ax + =

( ) 4 ax + =

Veja que no desenvolvimento de ( ) n ax + :

• A quantidade de termos é igual a n + 1.

• Os coeficientes dos termos do desenvolvimento são os números da linha n do triângulo de Pascal.

• Os expoentes de x decrescem de n até 0, enquanto os expoentes de a crescem de 0 até n. • A soma dos expoentes de x e a, em cada termo, é igual ao expoente n do binômio.

• Generalizando, temos:

( ) ++

+

+

=+ −− ....x .a

2

n x.a

1

n .x .a

0

nax 2n21n .1nn 0

0.npnp x.a n

n ....x .a

p

n

++

+ −

• O termo geral ou genérico do binômio (x + a) n é

dado por:

pn p 1p .x.a

p

nT −

+

=

05. Desenvolvendo (2x – 3y)3n obtemos um polinômio

de 16 termos. Determine o valor de n. 06. (UCSal) Desenvolvendo-se (2x – 3)4, obtém-se A) x

4 – x

3 + x

2 – x + 1

B) x4 – 4x

3 + 6x

2 – 4x + 1

C) 16x4 – 8x

3 + 4x

2 – 2x + 1

D) 16x4 – 24x

3 + 36x

2 – 54x + 81

E) 16x4 – 96x

3 + 216x

2 – 216x + 81

07. (UCSAL) O coeficiente do terceiro termo do

desenvolvimento do binômio nx )2( + , segundo as

potências decrescentes de x, é igual a 60. Nessas condições, o valor de n pertence ao conjunto: A) {3,4} B) {5,6} C) {7,8} D) {9,10} E) {11,12} 08. (UNEB/04) O termo independente de x no

desenvolvimento de

6

2

1

+x

x , segundo as

potências decrescentes de x, é igual a: 01) 20 02) 15 03) 10 04) 5 05) 1 09. (UFPE) Calcule o coeficiente do termo

independente de x no desenvolvimento binomial de

.1

2

5

3

2

−x

x

10. (UFBA) Sabendo que a soma dos coeficientes no desenvolvimento de (a + b)

m é igual a 256, calcule

! 2

m

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5

Resolva em casa! 11. (URCA) O coeficiente de x-4 no desenvolvimento

de

61

1

−x

é:

A) –20 D) 20 B) –15 E) 30 C) 15 12. (UNEB) O coeficiente de x4 no desenvolvimento

de

661

.1

−

+

xx

xx é:

01) –6 04) 20 02) 10 05) 120 03) 15 13. (UFPB) Calcule o valor da expressão

kknn

k

n

k

n

+

+

−

=∑

5

2

5

3

5

33

1

,onde n ∈ Ν.

14. (UEPI) O termo independente de x, no

desenvolvimento de

10

x

1x

+ , é igual a:

A) 252 D) 282 B) 262 E) 292 C) 272 15. (UEPI) O valor que deve ser atribuído a k de modo que o termo independente de x, no

desenvolvimento de

6

x

kx

+ , seja igual a 160, é

igual a: A) 1 D) 8 B) 2 E) 10 C) 6 16. (UFPE) Com relação ao desenvolvimento

binomial de ( )183 22 + ,quantos termos são

números racionais? 17. (UFPE) Para qual valor de p temos o maior termo

na expansão de p

pp 5

130

5

11

30

0

30

∑=

=

+

18. (UFPE) Qual o termo independente de x na

expansão de

8

3

5 1

+

xx ?

19. (UFBA) Sendo 23 3 nn AA = , pode-se afirmar:

(01) Se 56)!2(

!=

−m

m,então m > n.

(02) 60=nP

(04) 23nn CC =

(08) O termo independente de x, no desenvolvimento

n

xx

−

3

2 1, é igual a 10.

(16) Com os elementos do conjunto ∈= xA { Ν;

0 < x ≤ 9}, podem-se formar 84 produtos distintos com n algarismos. (32) Com 7 pessoas, pode-se tirar 2520 fotografias diferentes de n pessoas em fila.

20. (UFBA) Sendo 112 −= nn PP e !nPn = , pode-se

afirmar:

(01) Se 23,)2(2, −+ = xnxn CC , então x = 6.

(02) (02) Um polígono regular de n lados tem 54 diagonais. (04) O coeficiente do termo de grau 7 do

desenvolvimento ( ) 2

2232

−

−n

xx é 720.

(08) Com n músicos que tocam bateria, guitarra e contrabaixo indistintamente, pode-se formar 440 conjuntos musicais, cada um com 3 componentes. (16) Ligando-se quatro a quatro os 5 pontos de uma reta aos n pontos de uma outra reta paralela à primeira, pode-se obter 60 quadriláteros.

21. (UNEB/07) O termo médio do desenvolvimento

do binômio (sen(x) – 2cos(x))4 é equivalente a

01) 4cos(2x) 04) 6sen²(2x) 02) 6sen(2x) 05) 4cos²(2x) 03) 6sen²(x)

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6

22. (UECE) O valor do termo médio do

desenvolvimento binomial de

12

2

3

x

1x

− é:

A) 6x6

13

C) 5x

6

12

B) 5x6

13

D) 6x

6

12

23. (UNEB/08) Sabendo que a diferença entre os

números binomiais

3

ne

2

né igual a zero, pode-se

afirmar que o determinante da matriz

−

−

n1

21é igual

a 01) – 3 04) 4 02) – 1 05) 6 03) 2 24. (ITA/06) Determine o coeficiente de x

4 no

desenvolvimento de (1 + x + x2)9.

25. (UPE/08) O professor de Matemática aplicou um

problema-desafio para os alunos: No intervalo aberto ]0, 2π[, quantas são as soluções da equação?

( ) ( ) ( ) ( )2345senx110senx110senx15senx1 +−+++−+

+ ( ) 1/321senx15 =−+

Os alunos Júnior, Daniela, Eduarda, Rebeca e Dan resolveram e determinaram as soluções abaixo para o desafio. Qual delas é a CORRETA? A) Júnior respondeu que o problema não tinha solução. B) Daniela respondeu que o problema tinha uma única solução. C) Eduarda respondeu que o problema tinha duas soluções. D) Rebeca respondeu que o problema tinha três soluções. E) Dan respondeu que o problema tinha 4 e somente 4 soluções. 26. (UPE/09) Sobre o binômio de Newton e análise combinatória, analise as proposições. I II

0 0 Se a e b são soluções da

=

+

8

21

2x

20

13

20,

então a + b = 10

1 1 O desenvolvimento de

88

xx

1

x

1x

−

+ possui

16 termos. 2 2 O valor da expressão

62456 3...3 .5 2

63 .5

1

65 +−

+

− é 64.

3 3 Dentre os subconjuntos de A={2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}, 49 não possuem quatro elementos.

4 4 Se 256n

n...

1

n

0

n=

++

+

, então n = 8.

27. (UNIVASF/09 - 2ªfase) Ao efetuarmos o produto dos polinômios abaixo (1 + x + x

2 +...+ x

100 )(1 + x + x

2 + ... + x

50) qual o

coeficiente de x75?

(Observação: os polinômios têm graus 100 e 50 e todos os coeficientes iguais a 1.)

28. (UFC/09) O símbolo

k

nindica a combinação de

n objetos k a k. O valor de x² - y² quando k

20

0k

20

4

3.

k

20 4x

∑

=

=e

k20

0k

20

5

2.

k

20 5y

∑

=

=é igual a:

A) 0. D) – 25. B) – 1. E) – 125. C) – 5. GABARITO

11 C 17 05 23 01

12 C 18 56 24 414 13 04 19 37 25 C 14 A 20 06 26 V,F,V,V,V

15 B 21 04 27 51 16 04 22 D 28 A