BIFURCACAO E CAOS EM CIRCUITOS ELETRONICOS: SIMULACAO E

EXPERIMENTO

Alıpio Monteiro Barbosa∗, Samir Angelo Milani Martins†

∗Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica, Universidade Federal de Minas GeraisAv. Antonio Carlos 6627, 31270-901

Belo Horizonte, MG, Brasil

†GCoM – Grupo de Controle e Modelagem, Departamento de Engenharia EletricaUniversidade Federal de Sao Joao del-Rei, Praca Frei Orlando 170 - Centro, 36307-352

Sao Joao del-Rei, Minas Gerais, Brasil

Emails: alipiomonteiro@yahoo.com.br, martins@ufsj.edu.br

Abstract— This paper presents numerical and experimental studies, evidence of bifurcation and chaos inelectronic systems by means of numerical and experimental analyzes. Bifurcation and chaos are observed inelectronic circuits as simple as a RLD (resistor-inductor-diode) circuit, an electronic system that emulates theDuffing’s system and an electronic DC-DC Buck converter. For the DC-DC Buck converter, it was verified thepresence of chaotic behavior into the numerical and experimental analysis, equivalently.

Keywords— Chaotic dynamics, chaos, bifurcation, electronic circuits, engineering applications.

Resumo— O presente artigo apresenta estudos numericos e experimentais, evidencias de bifurcacao e caosem sistemas eletronicos, por meio de analises numericas e experimentais. Bifurcacao e caos sao constatados emcircuitos eletronicos muito simples, como um circuito RLD (Resistor-Indutor-Diodo), um sistema eletronico queemula o sistema de Duffing e um conversor eletronico CC-CC Buck. Para o conversor CC-CC Buck, verificou-se apresenca de comportamento caotico por meio de analise numerica e experimental, sendo as mesmas equivalentes.

Palavras-chave— Dinamica caotica, caos, bifurcacao, circuitos eletronicos, aplicacoes em engenharia.

1 Introducao

Dinamica nao linear e o estudo do comporta-mento de sistemas cujas equacoes de evolucao notempo sao nao lineares, ou seja, as variaveis dina-micas que descrevem as propriedades do sistemaaparecem nas equacoes matematicas que descre-vem o sistema na forma nao linear.

Ha na literatura diferentes modelos, teoricos eexperimentais, para estudar e caracterizar o com-portamento de sistemas dinamicos nao lineares.Monteiro (2006) e Ferrara e Prada (1994) apre-sentam em seus livros uma serie de exemplos comilustracoes e detalhadas analises, alem de um ex-tensa lista de referencias.

Uma classe de modelos que tem sido impor-tante para o estudo de sistemas dinamicos sao oscircuitos eletronicos. Os circuitos eletronicos cao-ticos vem se firmando como ambientes ideais paraa exploracao experimental de alguns fenomenostıpicos da dinamica nao linear e caotica (Rochaet al., 2005; Sprott, 2000).

Dois circuitos tradicionalmente exploradossao o circuito de Chua (Chua, 1994; Chua, 1987) eo oscilador de Colpitts (Kennedy, 1994). SegundoTurci (2005), sao circuitos de “construcao elabo-rada”. Diante desse contexto e do ponto de vistapratico-didatico para ensino e estudo do compor-tamento caotico, espera-se poder trabalhar comcircuitos eletronicos tao simples quanto possıvel,de modo que os mesmos apresentem caracterısti-cas de caos.

Neste trabalho estudou-se tres tipos de cir-cuitos eletronicos, bem como sua implementacaopor meio de experimentos de simulacao e empı-ricos. Desse modo, caracterizou-se o comporta-mento caotico em sistemas eletronicos simples, ede facil construcao (para o caso empırico) e simu-lacao.

Dentre os circuitos eletronicos, utilizou-se umcircuito RLD, constituıdo de um indutor, um di-odo, uma resistencia e uma fonte senoidal (Haniaset al., 2009), um circuito eletronico analogico queemula o comportamento dinamico de sistemas fı-sicos e matematicos, em particular o sistema deDuffing (Battelli e Palmer, 1993), e, em especial,um conversor eletronico de potencia CC-CC Buck.

Circuitos eletronicos chaveados apresentamuma dinamica “rica”. Uma das caracterısticasdesses circuitos e a operacao comutada entre di-ferentes topologias de circuitos, o que ocasionauma variedade de comportamentos nao linea-res, incluindo a ocorrencia de cenarios especıficosde bifurcacoes e a presenca de evolucao caotica(Turci, 2009). Ha uma serie de trabalhos preo-cupados em descrever o comportamento caoticodos conversores (Giaouris et al., 2012; Tabordaet al., 2012; Tse, 1994b; Deane e Hamill, 1990).

Estes circuitos sao faceis de construir, exibemuma variedade de comportamentos dinamicos eoferecem uma excelente oportunidade para umacomparacao detalhada com a teoria. Desse modo,o principal objetivo do artigo e constatar fenome-nos nao lineares e comportamentos caoticos em

circuitos eletronicos de simples construcao, simu-lacao e implementacao, do ponto de vista nume-rico (por meio de simulacoes) e pratico (conversorCC-CC Buck).

O presente artigo esta organizado como segue:a presente secao introduziu o tema a ser estudado,bem como apresentou o presente trabalho. A se-cao 2 apresenta a descricao e configuracao dos cir-cuitos eletronicos analisados de forma numerica(circuito RLD e Duffing) e experimental (conver-sor CC-CC Buck). A secao 3 apresenta os resulta-dos obtidos pela analise numerica de simulacoes,mostrando a presenca de caos em circuitos eletro-nicos muito simples. Apos, na secao 4, sao apre-sentados e discutidos os resultados experimentaisobtidos na implementacao do conversor CC-CCBuck. Por fim, sao apresentadas as consideracoesfinais e agradecimentos.

2 Descricao e configuracao dos circuitos

2.1 Circuito RLD

Considere um circuito constituıdo de um di-odo (D), um indutor (L) e uma resistencia (R),excitado por um sinal senoidal (Vin), como mostraa Figura 1, sendo o diodo o elemento nao linear docircuito. Para tensoes mais elevadas, a capacitan-cia interna do diodo depende fortemente da tensaosobre o elemento, deixando de ser constante.

A Equacao 1 mostra o sistema de equacoesdiferenciais, construıdas a partir da analise dastensoes de Kirchhoff. A tensao no diodo e dadopela expressao entre parenteses. Vd consiste emum modelo de capacitancias linear por partes comuma pequena tensao de offset (EO). Cj e Cd sao,respectivamente, capacitancias de deplecao e di-fusao do diodo. Detalhes da descricao do circuitopodem ser vistos em Turci (2009) e Hanias et al.(2009). Nesse sistema, o parametro de bifurcacaoe a amplitude do sinal de entrada.

Figura 1: Circuito a diodo. Vd queda de tensaono diodo D.

dq

dt= I

dI

dt=

Vinsin(θ)

L−

RI

L(1)

−1

L

(

|q|(Cj − Cd)

2CjCd

+(Cj + Cd)

2CjCd

+ EO

)

dθ

dt= 2πf

2.2 Sistema de Duffing

O sistema forcado de Duffing representa umsistema massa-mola nao linear excitado por umaforca externa periodica. A equacao de Duffingdescreve a resposta de uma serie de fenomenos fısi-cos importantes, como destacado por Savi (2004).A Figura 2 ilustra um circuito eletronico capaz deemular o oscilador.

A construcao de um circuito analogico paraemular o sistema dinamico requer basicamente umelemento capaz de produzir a nao linearidade cu-bica, o que foi feito por meio de dois multiplica-dores analogicos e dois integradores (um amplifi-cador operacional com um capacitor na malha derealimentacao) para a obtencao das variaveis u ev a partir das suas derivadas. A adaptacao dosistema original para a implementacao analogicarequer um escalamento das variaveis, como citaRocha et al. (2005).

A Equacao 2 mostra o sistema de Duffingequivalente ao circuito apresentado, sendo a am-plitude do sinal de entrada, Fo, o parametro debifurcacao.

Figura 2: Circuito eletronico baseado no sistemaforcado de Duffing (Rocha et al., 2005).

du

dt=

1

25v (2)

dv

dt= −

2

25v +

4

25u− [

u3

100] +

64

125Focos(

2

25t)

2.3 Conversor CC–CC Buck

A Figura 3 mostra uma possıvel topologiapara o conversor CC-CC Buck realimentado. Emmodo descontınuo a operacao do conversor con-siste em: i) chave fechada: o diodo fica inversa-mente polarizado e a corrente no indutor cresce.O capacitor, o indutor e a carga recebem energiada fonte; ii) chave aberta: a corrente no indutor

e mantida atraves do diodo (roda livre). O indu-tor descarrega auxiliando o capacitor a manter aenergia na carga; e iii) chave ainda aberta, o indu-tor e totalmente descarregado, o diodo bloqueia esomente o capacitor mantem a tensao na carga.

O fato de operar em regime descontınuo, ali-ado ao circuito realimentado, propicia o apareci-mento de comportamento caotico no conversor.

Figura 3: Conversor Buck realimentado(Bernardo et al., 1998).

O modelo dinamico para o conversor e apre-sentado em (3). Quando a tensao de saıda e me-nor que a tensao de referencia a chave e fechada(δ = 1) e quando a tensao de saıda e maior quea tensao de referencia a chave e aberta (δ = 0)(Bernardo et al., 1998; Tse, 1994a).

di

dt= −

1

Lv +

δ(t)

LE

dv

dt=

1

Ci−

1

RCv (3)

Tse (1994a) apresenta um desenvolvimentodetalhado para obtencao do mapa discreto parao circuito do conversor Buck realimentado. Omapa, para T = 333, 33µs, E = 33V , v = 25V ,L = 208µH , C = 222µF e R = 12, 5Ω, e apre-sentado na Equacao 4. k e uma constante relaci-onada ao ganho de realimentacao, sendo h(dn) ezero para dn < 0, um para dn > 1 e dn para osoutros casos.

xn+1 = 0, 8872xn +1, 2 · 33 · (33− xn) · h(dn)

2

xn

dn = 0, 4717− k(xn − 25) (4)

3 Resultados de simulacao

3.1 Circuito RLD

As Figuras 4 e 5 mostram, respectivamente, aevolucao temporal e o espaco de fase para quatrovalores do parametro de bifurcacao Vo. Como ficaevidenciado no mapa de Poincare (Figura 6), osistema, para os valores de Vo de 0,2; 2,5; 7,9 e 10

apresentou perıodos 1, 2, 4 e caos. A rota parao caos por duplicacao de perıodo e ilustrado pelodiagrama de bifurcacao na Figura 7.

Alem da rota para o caos por duplicacao deperıodo, pode-se verificar no sistema transicoesabruptas para o comportamento caotico, ou aindao desaparecimento abrupto do mesmo.

Figura 4: Circuito RLD. Forma de onda temporal.Perıodos 1, 2, 4 e caos.

Figura 5: Circuito RLD. Perıodos 1, 2, 4 e caos.

Figura 6: Circuito RLD. Mapa de Poincare. Pe-rıodos 1, 2, 4 e caos.

3.2 Sistema de Duffing

O sistema de Duffing foi simulado para quatrovalores de Fo (0,5; 0,74; 1,02; e 1,25), nos quais osistema apresentou perıodo 1, 2, 3 e caos, respec-tivamente. As Figuras 8 e 9 mostram, respecti-vamente, a evolucao temporal e os atratores paratais casos. Esse sistema e muito sensıvel aos va-lores de Fo, o que torna computacionalmente difı-cil tracar com precisao o diagrama de bifurcacao.

Figura 7: Circuito RLD. Diagrama de bifurcacao.Vo parametro de controle.

Contudo, por meio da Figura 10 e possıvel visua-lizar algumas transicoes.

Figura 8: Duffing.Forma de onda temporal. Pe-rıodos 1, 2, 3 e caos.

Figura 9: Duffing. Atratores. Perıodos 1, 2, 3 ecaos.

Figura 10: Duffing. Mapa de Poincare. Perıodos1, 2, 3 e caos.

Figura 11: Duffing. Diagrama de bifurcacao. Fo

parametro de controle.

3.3 Conversor CC–CC Buck

A Figura 12 mostra o circuito implementadono PSIM1. O mesmo circuito foi implementado emlaboratorio, como sera apresentado na proxima se-cao.

Figura 12: Circuito do conversor Buck. Circuitopratico utilizado tanto para simulacao quantopara a montagem experimental.

a) Contınuo (ver Equacao 3)

Realizou-se a simulacao do conversor Buckpara duas situacoes: perıodo 1 e regime caotico.A Figura 13 ilustra os atratores e a evolucao tem-poral para as duas situacoes.

b) Discreto (ver Equacao 4)

O diagrama de bifurcacao do conversor, mos-trado na Figura 14 apresenta uma rota para o caospor dobramento de perıodo. O numero de Feigen-baum (ver Equacao 5), que foi proposto como umacaracterıstica universal de razoes entre os valoresdos parametros de controle em cada uma das bi-furcacoes na rota para o caos, e bem definido no

1Software especıfico para simulacao de circuitos. Dis-ponıvel em http://www.powersimtech.com

Figura 13: Conversor Buck. Atratores, correnteno indutor (eixo x) e tensao de saıda (eixo y) e(abaixo) formas de onda temporal da corrente noindutor. Perıodo 1 e caos. Figura ampliada.

diagrama do conversor. Para os dados simuladosapresentou um valor aproximado de 4,2.

Figura 14: Diagrama de bifurcacao para o conver-sor Buck. Parametro de bifurcacao k, constanterelacionado ao ganho de realimentacao.

σlimn→∞=

αn − αn−1

αn+1 − αn

(5)

=0, 16− 0, 18

0, 17− 0, 16= 4, 2

4 Resultado experimental

Alem de analise numerica, implementou-se oconversor Buck tambem em laboratorio2. Os com-portamentos obtidos na teoria foram observadosexperimentalmente. A Figura 15 apresenta a mon-tagem do circuito, que consite em quatro modulos:circuito de controle da chave (modulo PWM), dri-ver de acionamento, conversor e a carga. A tensaode saıda e constantemente corrigida, por meio deajustes no ciclo de trabalho, para manter o valorde referencia.

O fato do circuito ser chaveado, nao lineare realimentado sao condicoes que permitem queo sistema apresente caos. Essa afirmativa e ilus-trada por meio das Figuras 16 e 17, que mostram,

2Utilizou-se a plataforma de testes, isolada, desenvol-vida por Santos Filho et al. (2003).

respectivamente, a evolucao temporal e os atra-tores para diferentes valores de tensao de entrada(Vin).

Figura 15: Diagrama em fotos da montagem docircuito experimental para estudo do conversorBuck.

Figura 16: Forma de onda temporal da correnteno indutor do conversor Buck. Perıodos 1, 2, 4 ecaos.

5 Conclusoes

Neste trabalho estudou-se tres possibilidadede circuitos eletronicos que podem apresentarcomportamento caotico. Tais circuitos sao deconstrucao simples e apresentam comportamentosvaliosos para o estudo e ensino de sistemas dina-micos nao lineares.

Ademais, constatou-se que os resultados teo-ricos, para o conversor CC-CC Buck se aproxi-mam bastante dos praticos, onde tambem foi cons-tatado comportamento caotico, apresentando ce-narios de bifurcacoes e rota para o caos, mos-trando que mesmo circuitos eletronicos relativa-mente simples podem apresentar dinamica alta-mente nao-linear.

Figura 17: Atrator, corrente no indutor (eixo x) etensao de saıda (eixo y). Conversor Buck. Perıo-dos 1, 2, 4 e caos.

Agradecimentos

Agradecimentos ao CNPq e a agencia de fo-mento CAPES – Brasil, pelo apoio financeiro pararealizacao do presente trabalho. Ao CEFET-MG,que disponibilizou os laboratorios para ensaio etestes experimentais.

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