Bielas Tirantes

8/4/2019 Bielas Tirantes

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ISSN 1809-5860

Cadernos de Engenharia de Estruturas, So Carlos, v. 10, n. 46, p. 61-90, 2008

ANLISE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

UTILIZANDO MODELOS DE BIELAS E TIRANTES

Daniel dos Santos1 & Jos Samuel Giongo2

R e s u m o

O modelo de bielas e tirantes apresenta como uma de suas vantagens a generalidade,

ou seja, capaz de representar, de modo aproximado, porm realista e sistemtico, grande parte dos elementos de concreto estrutural da atualidade. Alm disso, permite

ao engenheiro fcil visualizao fsico-intuitiva do comportamento do concretoestrutural. Por outro lado, o modelo ainda tem um enorme potencial no aproveitado.

Ainda no existe um critrio exato para determinao dos ns e das sees transversaisdas bielas de alguns elementos. Apesar de haver certas incertezas no caso de vigas-

parede e principalmente de blocos de fundao, nas vigas esses elementos do modelo

podem ser determinados sem grandes dificuldades. Este trabalho consiste na anlise deuma viga de concreto armado utilizando modelo de bielas e tirantes. Foi realizada a

modelagem da viga no programa computacional CAST (2000) e as verificaes damesma segundo o MC CEB-FIP (1990), a fim de garantir a segurana estrutural do

elemento e comparar resultados.

Palavras-chave: concreto armado; modelo de bielas e tirantes; viga.

1 INTRODUO

Ao se projetarem vigas de concreto armado, o procedimento empregado oque utiliza o dimensionamento relativo teoria da flexo (momento fletor e foracortante). Porm, no s no aspecto cientfico, mas tambm em outros aspectos,como prtico e at didtico, o clculo de vigas de concreto armado utilizando omodelo de bielas e tirantes pode ser muito valioso. Este modelo tem como principaisvantagens a melhor visualizao do comportamento da estrutura, podendo-se verificarde modo mais claro a distribuio das tenses, e a facilidade na identificao das

regies mais solicitadas da estrutura. O modelo tambm permite que o projetista outilize em toda a estrutura, tanto nas regies sem descontinuidades, quanto nasregies com descontinuidades.

Um dos elementos estruturais mais comuns em vrios tipos de construes, aviga elemento fundamental de sustentao da maioria das edificaes de concretoarmado. Ao mesmo tempo, o modelo de bielas e tirantes uma das mais geniaisidias de concepo e anlise estrutural do sculo XX e at da prpria histria doconcreto. Esse modelo passou por evolues e at hoje proposto por cdigos enormas para o clculo de estruturas no usuais de concreto armado, apesar de poder

1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, [email protected] Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, [email protected]


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ser usado, tambm, para dimensionar estruturas usuais, como vigas biapoiadas semdescontinuidades geomtricas.

2 AS VIGAS E O MODELO DE BIELAS E TIRANTES

2.1 Preliminares

Ao se estudar o equilbrio da trelia de MRSCH, idealizada no sculoretrasado, podem ser determinados os deslocamentos no diagrama de momentosfletores, a fim de estabelecer os corretos pontos de interrupo das barraslongitudinais da viga. Segundo a NBR 6118:2003, o dimensionamento das armaduraslongitudinais deve conduzir a um conjunto de esforos resistentes (NRd, MRd) queconstituam envoltria dos esforos solicitantes (NSd, MSd) determinados na anliseestrutural.

O modelo de bielas e tirantes, por sua vez, analisa a viga como um todo, sema necessidade de separar os esforos solicitantes e as foras internas para equilibr-los, constituindo-se em modelo mais realista. Assim, permite que a determinao doscomprimentos das barras longitudinais seja realizada de maneira mais simples do quepelo modo tradicional - anlise do momento fletor resistido por barra e consideraodo diagrama de momentos fletores deslocado. Ao se aplicar o modelo, os pontos deinterrupo das barras longitudinais podem ser determinados facilmente, de acordocom as foras aplicadas em cada barra do banzo da trelia, ou seja, determina-se area de armadura necessria para resistir a fora resultante em cada tramo do banzoque esteja tracionado. Sabendo-se que a fora varia para cada barra da trelia, ospontos de interrupo das barras da armadura longitudinal podem ser definidos,

portanto, a partir dos ns da trelia interna da viga.A anlise da segurana da viga adotando o modelo de bielas e tirantes

permite as verificaes relativas aos banzos tracionado e comprimido, s diagonaiscomprimidas, aos pendurais e s regies nodais.

Para as verificaes das vigas de concreto armado utilizando o modelo debielas e tirantes, necessrio elaborar rotina de projeto que considereconvenientemente:

1. a segurana das regies nodais;

2. as verificaes das diagonais comprimidas, considerando os critrios de

resistncia do concreto;3. as verificaes dos pendurais (estribos), considerando os critrios deresistncia das barras ou fios de ao;

4. os comprimentos de ancoragem das armaduras longitudinais.

2.2 A analogia clssica da trelia

A trelia clssica de RITTER & MRSCH foi concebida no incio do sculo XXe, desde ento, vem sendo utilizada como base para o dimensionamento de vigas deconcreto armado. Apesar de algumas pesquisas sugerirem alteraes em sua teoria,

seu aspecto geral foi mantido e est distante de ser superado, pois o mecanismoresistente desses elementos estruturais pode ser associado ao de trelias.


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Anlise de vigas de concreto armado utilizando modelos de bielas e tirantes


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A Analogia Clssica da Trelia faz a analogia entre uma viga de concretoarmado, depois de fissurada, e uma trelia de banzos paralelos e, apesar deapresentar certas imperfeies, resultantes da incompatibilidade entre modelo e vigareal, ainda hoje empregada em grande escala. Nas ltimas dcadas propostas vmsendo feitas por pesquisadores e engenheiros sugerindo alteraes no modelo

original, a fim de aperfeio-lo e, principalmente, ajustar os resultados experimentaisaos tericos.

Atualmente, como importantes incrementos ao modelo de RITTER &MRSCH, destacam-se os modelos de bielas e tirantes, nos quais regies da vigareal so denotados como elementos da trelia. Neste caso, as armaduras transversaisso os montantes tracionados da trelia, atuando tipicamente como tirantes na viga deconcreto armado. Por sua vez, as diagonais comprimidas, situadas entre duasfissuras consecutivas, trabalham como as barras das diagonais comprimidas datrelia, atuando como as bielas. Por fim, citam-se os banzos da trelia, nos quais aarmadura longitudinal de trao da viga funciona como o banzo tracionado e a faixasuperior de concreto como o banzo comprimido.

As hipteses admitidas pela trelia clssica baseiam-se no panoramafissurado da viga, a partir do qual se pode determinar o mecanismo de funcionamentoda mesma. O modelo prope uma trelia de banzos paralelos em quase toda aextenso da viga, sendo que apenas nas regies dos apoios o banzo superior inclina-se at se encontrar com o inferior.

As diagonais comprimidas apresentam inclinao menor ou igual a 45 emrelao ao eixo longitudinal da viga, sendo que varia conforme a largura da alma e ataxa de armadura transversal. A delimitao das diagonais se d pelas fissuras, poiscada diagonal est compreendida no espao entre duas fissuras. Experimentalmente,observa-se que as inclinaes das fissuras diminuem em direo aos apoios, valendoaproximadamente 90 na regio central da viga. Porm, os modelos de clculodeterminam um ngulo de inclinao e consideram-no constante em toda a extensoda viga.

O ngulo de inclinao mnimo especificado segundo cada norma, pormusualmente admite-se = 45, a fim de simplificar as consideraes para odimensionamento. A NBR 6118:2003 apresenta dois modelos de clculo: o modelo I,que considera o ngulo = 45, e o modelo II, que considera o ngulo arbitradolivremente entre 30 e 45.

A armadura transversal pode apresentar inclinao entre 45 e 90 emrelao ao eixo longitudinal da pea. Na prtica, a grande maioria dos casosapresenta armadura transversal na posio vertical, ou seja, com = 90, em funoda dificuldade de modelagem das barras da armadura com diferentes inclinaes.Pode-se citar, porm, que tais inclinaes, apesar de no usuais, melhoram aeficincia da armadura transversal.

Segundo a NBR 6118:2003, a tenso nas barras da armadura transversal fywdprecisa respeitar os seguintes limites:

Estribos: fywd = fyd = fyk /s 435 MPa (1)

Barras dobradas: fywd = 0,70 fyd = 0,70 fyk /s 435 MPa (2)

sendo:

s = 1,15


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2.3 Deslocamento do diagrama de momentos fletores

Os esforos solicitantes relativos flexo que atuam em uma viga de concretode alma cheia no so exatamente iguais aos atuantes numa trelia. Na viga deconcreto armado a resultante de compresso, que atua no banzo comprimido, e a de

trao, que atua na armadura tracionada, para uma mesma seo, so proporcionaisao momento fletor atuante. Sendo assim, na viga, por se tratar de um elementogeometricamente contnuo, as intensidades das foras atuantes nos banzos variamponto a ponto, ou seja, a cada diferena infinitesimal de espao. Por outro lado, natrelia as foras apresentam valores constantes entre dois ns consecutivos, ou seja,em cada uma de suas barras.

Por conta dessa diferena, precisa-se realizar uma translao a do diagramade momentos fletores de clculo, a fim de compatibilizar modelo e viga real. Para omodelo II da NBR 6118:2003, tal translao admite os valores dados pela seguinteexpresso:

a = (z / 2) (cotg - cotg) + st / 2 (3)sendo:

z = distncia entre a resultante de compresso e a de trao nos banzos(brao de alavanca);

= inclinao da armadura transversal;

= inclinao das bielas de concreto comprimido;

st = espaamento longitudinal entre os estribos.

Para vigas no modelo I, ou seja, com estribos a 90 e inclinao das bielasigual a 45, a expresso anterior resulta:

a = st / 2 (4)A figura a seguir indica a decalagem do diagrama de momento fletor sugerida

pela NBR 6118:2003.

Figura 1 - Cobertura do diagrama de fora de trao solicitante pelo diagrama resistente [NBR6118:2003].


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2.4 Determinao da inclinao das bielas

No projeto da viga, o ngulo formado entre as bielas e o eixo longitudinal doelemento pode ser arbitrado livremente no intervalo minmax.

medida que o ngulo escolhido se aproxima do valor mximo, maior a

taxa de armadura transversal necessria e, por outro lado, menor a tenso nasbielas. Contrariamente, ao se adotar um valor de prximo a min, diminui-se a reade armadura transversal, resultando, porm, em acrscimo nas tenses decompresso atuantes nas bielas. Em vista disso, sugere-se a adoo de valores dainclinao das bielas () os mais prximos possveis de min, pois as tenses decompresso so verificadas diretamente, pois deve-se apenas garantir que taistenses estejam dentro dos limites estabelecidos. O valor mnimo que pode serutilizado para a inclinao das bielas varia de acordo com as normas, os cdigos eos pesquisadores. O MC CEB-FIP (1990) recomenda utilizar inclinao mnima min =18,4 (cotgmin = 3).

Porm, alguns pesquisadores discordam desse valor, justificando ser um valormuito baixo. Sugestes baseadas em investigaes experimentais indicam valorespara inclinao mnima das bielas comprimidas em torno de min = 26,5. A NBR6118:2003 admite, em seu modelo de clculo II, no qual a inclinao das diagonaisde compresso pode ser diferente de 45, valor mnimo igual a 30. Admite ainda quea parcela complementar Vc sofra reduo com o aumento de VSd.

Deve-se salientar que bielas com baixas inclinaes resultam em alta tensona armadura transversal entre o incio da fissurao e o estado limite ltimo, alm derequererem maior comprimento de ancoragem da armadura longitudinal. Nesse caso,o controle da fissurao pode ser limitante no projeto podendo, ento, impedir valores

de prximos a min. Alm disso, aconselha-se no utilizar pequenas inclinaes emelementos submetidos a trao axial.

2.5 O modelo de bielas e tirantes

Durante dcadas, pesquisadores apenas sugeriram modificaes no modeloproposto por Ritter e Mrsch, porm mantendo seus conceitos bsicos. Sugestes emodificaes propostas buscaram adaptar melhor o modelo original aos resultadosexperimentais. Resultados de ensaios levaram adoo da Trelia de MrschGeneralizada, em que a inclinao das bielas comprimidas em relao ao eixo da

viga variava de acordo com os comportamentos observados nos ensaios.Uma grande evoluo se observou nos anos 80, quando SCHLAICH &

SCHFER (1988), pesquisadores de Stuttgart, Alemanha, passaram a aplicar osmodelos de bielas e tirantes em outros elementos estruturais, como vigas-parede,consolos, sapatas, blocos de fundao, ligaes entre viga e pilar, aberturas em vigase apoios em dente.

MARTI (1985) utilizou-se da teoria da plasticidade e de critrios bsicos, queenvolviam conceitos de ns, bielas, tirantes, arcos e leques, para propor a aplicaodos modelos ao dimensionamento das armaduras longitudinais e transversais de umaviga.

Assim sendo, pode-se dizer que o modelo de bielas e tirantes tevesignificativo avano e ampla divulgao somente a partir da dcada de 80, quando


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Schlaich, Schfer e Marti conduziram generalizao da Analogia da Trelia ecriaram uma base cientfica refinada, proporcionando considervel avano para umaaplicao racional dos modelos em vigas.

TJHIN & KUCHMA (2002) discutiram avanos e desafios do dimensionamentoutilizando o modelo de bielas e tirantes com o auxlio de programas computacionais.

SOUZA (2004) analisou amplamente o dimensionamento de elementos deconcreto armado com descontinuidades, no apenas pelo modelo de bielas e tirantes,o qual o autor denomeia Mtodo das Bielas, como tambm pelo Mtodo Corda-Painel.Em seu trabalho foram realizadas anlises em relao determinao de parmetrospolmicos, como a resistncia adequada para bielas e ns, bem como a configuraogeomtrica das regies nodais dependente das foras que nelas atuam.

Vigas com aberturas em suas almas foram dimensionadas por RONCATTO &CAMPOS (2005), utilizando programa computacional desenvolvido pelos prpriosautores. O programa Furos em Vigas de Concreto capaz de estabelecer de formaautomatizada o modelo de bielas e tirantes mais adequado para a situao sob

anlise, determinar as solicitaes nos elementos, realizar as verificaes de bielas ens e as reas de armaduras necessrias para os tirantes.

2.6 Consideraes iniciais sobre o modelo

Sabe-se que a qualidade e a confiabilidade de um projeto estrutural, em geral,esto relacionadas no com seu comportamento global, mas sim com a preciso comque so dimensionadas as regies de descontinuidade de seus elementosisoladamente. O que se verifica, corriqueiramente, o uso de mtodos e rotinasconsagrados e confiveis para o dimensionamento da maior parte dos elementos,

mas isso no acontece quando se trata de regies descontnuas, pois tais regiesgeralmente so projetadas por modelos relativamente simples e ainda noconsagrados, baseados, muitas vezes, na experincia do projetista. O modelo debielas e tirantes um mtodo racional cientificamente comprovado, recomendadopela norma brasileira e por diversas outras normas internacionais para odimensionamento de regies descontnuas de elementos de concreto armado, queatende s necessidades de tais anlises.

A NBR 6118:2003 aborda superficialmente o modelo de bielas e tirantes,permitindo sua utilizao no dimensionamento de vigas-parede, consolos e dentesGerber.

Apesar de o CEB-FIP Model Code (1978) j tratar do modelo de bielas etirantes, somente na verso de 1990 que foram disponibilizadas informaessuficientes para se desenvolver projetos de elementos estruturais utilizando o modelo.

No modelo de bielas e tirantes as bielas so representadas por campos detenses de compresso, resistidas pelo concreto, e os tirantes so representados porcampos de tenses de trao, usualmente resistidas pela armadura. Ocasionalmente,o concreto pode absorver as tenses de trao, desde que sejam respeitadas ascondies de segurana relativas resistncia a trao do concreto.

Buscando-se representar a estrutura real, constri-se um modelo idealizado, oqual constitudo por barras, comprimidas e tracionadas, unidas por ns. As foras

nas bielas e nos tirantes so calculadas por equilbrio entre as foras atuantesinternas e externas.


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O processo do caminho de carga permite que se criem modelos analisando-seos fluxos de tenses na estrutura. Utilizando mtodos numricos, como o mtodo doselementos finitos, podem ser expressas as tenses elsticas e suas direesprincipais, o que permite uma direta determinao do modelo. As bielas podem ter asdirees das linhas mdias dos campos de compresso e os tirantes as direes das

linhas mdias dos campos de trao. Um exemplo simplificado do processo docaminho de carga, e suas etapas bsicas, pode ser observado na viga-parede daFigura 2.

Figura 2 - Processo do caminho de carga.

2.7 Princpios bsicos do modelo de bielas e tirantes

Pode-se entender o modelo de bielas e tirantes como um modelo de treliamais abrangente. Esse modelo tem por base o mecanismo resistente das vigas deconcreto armado, resultando em representaes dos campos de trao e compressodas mesmas. Os campos comprimidos so as diagonais de concreto limitadas porduas fissuras consecutivas e o banzo comprimido de concreto (banzo superior, nocaso de carregamento na face superior da viga), o qual pode apresentar barras deao no caso de vigas com armadura dupla. Os campos tracionados correspondem armadura transversal (pendurais ou montantes das trelias) e ao banzo tracionado(banzo inferior, no caso de carregamento na face superior da viga), composto pelaarmadura longitudinal da viga. O modelo prope analisar a viga de concreto armadocomo uma trelia, estrutura formada por barras, em que as bielas e os tirantes estoligados por ns, como mostrado na Figura 4 - b.

Em outras palavras, o modelo consiste na representao discreta dos camposde tenso de trao e dos campos de tenso de compresso nos elementosestruturais, sendo que as bielas representam os campos principais de compresso eos tirantes representam os campos principais de trao. A trao pode ser absorvidapor uma ou mais camadas de armadura. As bielas e os tirantes so interligados porelementos pontuais denominados de ns, os quais do origem s regies nodais.Estas, por suas vezes, constituem um volume de concreto que envolve os pontos deinterseco dos elementos do modelo. A Figura 3 apresenta um modelo de bielas e

tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga, com todos os seus elementosbsicos descritos.


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O modelo de bielas e tirantes adotado funo da geometria da estrutura edas aes atuantes em seu contorno. Segundo SILVA & GIONGO (2000),normalmente pode-se obter a geometria do modelo analisando-se os seguintesaspectos:

1. tipos de aes atuantes;

2. ngulos entre bielas e tirantes;

3. reas de aplicao de aes e reaes;

4. nmero de camadas das armaduras;

5. cobrimento das armaduras.

Modelos de bielas e tirantes podem ser obtidos por meio do fluxo de tenseselsticas existentes na estrutura, pelo processo do caminho de carga ou por modelospadronizados. Caso se realize uma anlise elstica da estrutura, a fim de sedeterminar as tenses elsticas e suas respectivas direes principais, torna-se muitosimples e imediato o desenvolvimento de um modelo adequado.

Figura 3 - Modelo de bielas e tirantes aplicado a um apoio em dente de uma viga.

2.8 Definio geomtrica do modelo

A determinao da geometria de um modelo de bielas e tirantes deve levarem conta as aes atuantes na estrutura, no que diz respeito aos tipos e reas deaplicao, suas respectivas reas de reaes, ngulos entre bielas e tirantes.

Segundo anlise do fluxo de tenses pelo elemento, por meio do processo docaminho de carga, a definio geomtrica do modelo apresenta como principaisfatores:

1. Consideraes sobre regies contnuas e descontnuas;

2. ngulos entre bielas e tirantes;

3. Tipos de aes atuantes;

4. Esforos solicitantes no contorno;

5. rea de aplicao das aes e das reaes;

6. Nmero de camadas da armadura;

7. Cobrimento da armadura.


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As dimenses das bielas e das regies nodais dependem das reas deaplicao das aes e reaes e tambm da armadura, quanto ao nmero decamadas e ao cobrimento. J o ngulo formado entre biela e tirante est relacionadocom a distribuio de tenses elsticas devida s aes atuantes.

2.9 Regies contnuas (B) e descontnuas (D)

As estruturas em geral ou seus elementos estruturais podem ser divididos emregies contnuas (B) e descontnuas (D), a fim de refinar suas anlises quando daaplicao de modelos.

Tal diviso baseia-se nas hipteses de Bernoulli, relativas distribuio linearde deformaes ao longo da seo transversal. Classificam-se como contnuas asregies nas quais tais hipteses so vlidas e, descontnuas, nas quais no so. Asregies D so originrias de descontinuidades geomtricas e/ou estticas.

Os modelos de trelia usuais so capazes de analisar as regies B fissuradas,enquanto que os modelos de bielas e tirantes representam, simplificadamente, o fluxointerno de tenses em regies D, possibilitando uma anlise simultnea dessas e dascontnuas. Em vista disso, o modelo de bielas e tirantes mostra-se como umprocedimento no s mais abrangente ou geral, como tambm mais sofisticado naanlise e no projeto de estruturas.

As vigas usuais apresentam regies descontnuas apenas nas regies deaplicao de foras concentradas e nos apoios, sendo o restante composto porregies contnuas, como mostra a Figura 4 - a.

Figura 4 - Regies (B) e (D) e modelo de trelia para uma viga (SILVA & GIONGO, 2000).

D B D B D

a)

b )

Tirantes

Bie las

Fd


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2.10 Tipos fundamentais de ns

Um n uma idealizao de uma regio de concreto na qual ocorremmudanas bruscas nas direes das foras, provindas das bielas comprimidas, dostirantes tracionados, de foras de ancoragem e foras externas aes concentradas

ou reaes de apoio. Porm, essa mudana brusca de direo das foras, a qual seidealiza, simplificadamente, acontecer pontualmente, na realidade ocorre numdeterminado comprimento e numa determinada largura do elemento estrutural deconcreto armado.

Segundo SCHLAICH & SCHFER (1988), os ns dos modelos de bielas etirantes podem ser de dois tipos, adiante discutidos:

Ns singulares ou concentrados (concentrated ou singular): so ns ondeforas concentradas so aplicadas e o desvio da fora feito localizadamente. Estesns so crticos e devem ter as suas tenses verificadas, a fim de equilibrar as forasoriundas das bielas e dos tirantes sem produzir deformaes excessivas capazes de

provocar fissurao. Para o dimensionamento, necessrio se dispor da geometriado n, do estado de tenses ao qual est submetido, da resistncia do concreto e dascondies de ancoragem das armaduras;

Ns contnuos (continuous ou smeared): nestes ns o desvio da foraocorre em comprimentos satisfatrios, em que as armaduras podem ser ancoradassem maiores problemas. Desde que os critrios de ancoragem sejam verificados,estes ns usualmente no so crticos, no necessitando de verificaes adicionais.

Figura 5 - Exemplo bsico de ns contnuos e ns singulares em modelo de bielas e tirantes.

H muitas alternativas sugeridas por pesquisadores para a definiogeomtrica dos ns concentrados, tais quais as sugeridas por MARTI (1985),SCHLAICH & SCHFER (1988) e TJHIN & KUCHMA (2002).

Segundo MARTI (1985), deve-se adotar as larguras das bielas de tal formaque todas as que concorrem num mesmo n apresentem a mesma intensidade detenso. Dessa forma, a tenso no interior do n ser igual tenso das bielas,

configurando, assim, um estado de tenses pseudo-hidrosttico. Neste caso emparticular, os lados das regies nodais sero perpendiculares s direes dos eixos

N singular

N contnuo


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das bielas e, para a verificao da segurana, bastar apenas a verificao das bielasconcorrentes em cada n.

De acordo com TJHIN & KUCHMA (2002), tradicionalmente procura-seestabelecer um arranjo nodal de maneira que as tenses em todos os seus ladossejam iguais. Isso pode ser feito dimensionando-se as fronteiras do n, de maneira

que elas sejam proporcionais e perpendiculares s foras atuantes naquele n.Para a definio da largura do n no qual concorre um tirante pode-se admitir

que a fora do tirante seja de compresso e que ela esteja atuando alm do n. Osns considerados dessa maneira so denominados de hidrostticos, pois o estadobiaxial de tenso resultante no interior do n tambm ser hidrosttico. Essarecomendao idntica quela proposta por MARTI (1985), citada anteriormente.

Ainda segundo TJHIN & KUCHMA (2002), principalmente em situaes emque os ns so formados pelo encontro de mais de trs elementos, a idealizaocomo hidrosttico pode ser muito trabalhosa, pois os eixos dos elementos tendem ano ser coincidentes.

SCHLAICH & SCHFER (1988, 1991) propuseram um mtodo simplificadopara configuraes tpicas de ns. Segundo os pesquisadores, o n tem suageometria definida pela interseco das dimenses das bielas e dos tirantes, cujoseixos devem coincidir. Assim, as tenses planas atuantes em todos os lados da regionodal no precisam ser iguais, porm as tenses em cada lado do n devem serconstantes e devem permanecer abaixo de um limite pr-estabelecido para a tensonodal.

2.11 Parmetros de resistncia das regies nodais

Os ns so elementos que merecem ateno especial, pois precisam garantiradequada transferncia de foras entre bielas e tirantes. Um fator limitante para asegurana e a confiabilidade de um n o ngulo formado pelas bielas e tirantes quenele concorrem. Quanto menor este ngulo, menor a resistncia compresso dabiela.

A tabela seguinte apresenta os intervalos permitidos para o ngulo formadoentre uma biela e um tirante, segundo recomendaes das principais normasinternacionais e alguns pesquisadores.


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Tabela 1 - Limites inferior e superior para o ngulo formado entre as diagonais comprimidas e aarmadura longitudinal da viga.

Norma ou pesquisador ngulo permitido

NBR 6118:2003 30o 45o

ACI 318 (2002) 25o 65o

EUROCODE 2 (1992) 31o 59o

Projeto de reviso do EUROCODE 2 (1999) 21o 45o

CEB-FIP Model Code (1990) 18,4o 45o

FUSCO (1984) 26o 63o

SCHLAICH & SCHFER (1988, 1991) 45o 60o

Para a classificao das regies nodais sero adotados os parmetros daASCE-ACI (1998) e da ACI 318 (2002), haja vista que o prprio CAST (2000) tomapor base a norma norte-americana. Suas prescries sugerem a classificao dasregies nodais como:

CCC: regio nodal circundada somente por bielas;

CCT: regio nodal circundada por bielas e por um nico tirante;

CTT: regio nodal circundada por uma nica biela e por tirantes em uma oumais direes;

TTT: regio nodal circundada por trs ou mais tirantes.De acordo com o Apndice A do ACI 318 (2002), os critrios de resistncia da

regio nodal so:

.Fnn Fu (5)

Fnn = fcu.An (6)

fcu = 0,85.s.fc (7)

sendo:

fc = resistncia caracterstica do concreto;

= 0,85;s = 1,0 para regies nodais circundadas por bielas e/ou placas de apoio (ns

tipo CCC);

s = 0,80 para regies nodais ancorando somente um tirante (ns tipo CCT);

s = 0,60 para regies nodais ancorando dois ou mais tirantes (ns tipo CTT).


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2.12 Parmetros de resistncia das bielas

Resistncia das bielas segundo SCHLAICH & SCHFER (1988, 1991)

Os critrios bsicos de resistncia das bielas, segundo SCHLAICH &SCHFER (1988, 1991), so:

0,85 fcd para estado de tenso uniaxial e sem perturbao; (8)

0,68 fcd para campos de compresso com fissuras paralelas s tenses decompresso; (9)

0,51 fcd para campos de compresso com fissuras inclinadas. (10)

Resistncia das bielas segundo o Apndice A do ACI 318 (2002)

Os critrios bsicos de resistncia das bielas, segundo o Apndice A do ACI318 (2002), so:

.Fns Fu (11)Fns = fcu.Ac (12)

fcu = 0,85.s.fc (13)

sendo:

fc = resistncia caracterstica do concreto;

= 0,85;

s = 1,0 para bielas uniformes de seo constante;

s = 0,75 para bielas do tipo garrafa que satisfaam o item A.3.3 dedistribuio de malha de armadura, encontrado no Apndice A do ACI-318 (2002);

s = 0,60. para bielas do tipo garrafa que no satisfaam o item A.3.3 dedistribuio de malha de armadura, encontrado no Apndice A do ACI-318 (2002).

2.13 Parmetros de resistncia dos tirantes

Quase sempre as foras internas de trao na estrutura resultantes do modeloadotado so absorvidas por tirantes constitudos por uma ou mais camadas de barrasde ao, devido limitada capacidade resistente do concreto em absorver esforos detrao. Ainda assim, caso se necessite, pode-se prover a estrutura de tirantes deconcreto. Segundo SCHLAICH & SCHFER (1988, 1991), deve-se considerar aresistncia trao do concreto somente quando se esperar ruptura frgil ou zonasde ruptura localizadas.

A seguir so fornecidas as expresses para o dimensionamento de tirantes deconcreto e tirantes de ao:

As =f.Rst / fyd (14)

Ac =f.Rst / ftd (15)

sendo:

As = rea necessria do tirante de ao;Ac = rea necessria do tirante de concreto;


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Rst = fora de trao atuante;

fyd = resistncia ao escoamento de clculo do ao;

ftd = resistncia trao de clculo do concreto;

f= coeficiente de majorao das aes.

3 VERIFICAO DE VIGAS SEGUNDO O MC CEB-FIP (1990)

As expresses para verificao da segurana de vigas submetidas a foracortante fornecidas pelo Cdigo Modelo CEB-FIP (1990), apesar de apresentaremnomenclatura diferente daquelas fornecidas pela NBR 6118:2003, so do mesmognero, mostrando que os esquemas de foras internas e externas aplicadas treliaconsiderados pelo MC CEB-FIP (1990) so do mesmo gnero dos considerados pelanorma brasileira. Sero apresentadas, a seguir, as expresses para dimensionamentosegundo o MC CEB-FIP (1990), o qual considera, no equilbrio da trelia, a inclinao das bielas livre, no necessariamente = 45o como o modelo de clculo I da NBR6118:2003.

A verificao da compresso diagonal do concreto deve obedecer seguintecondio de segurana:

RScw < RRcw (16)

RScw = (Vd / sen) [cotg / (cotg + cotg)] (17)

e

RRcw = fcd2 bw z cos (18)sendo:

fcd2 = 0,6 (1 - fck / 250) fcd (19)

fcd = fck /c (20)

c = 1,5

A condio de segurana para o clculo da armadura transversal :

RStw < RRtw (21)

RStw = Vd / sen (22)

e

RRtw = Asw fyd z (cotg + cotg) / s (23)

4 O PROGRAMA CAST

4.1 Conceitos gerais

O programa computacional grfico CAST, Computer Aided Strut and Tie(2000), capaz de realizar a anlise e o dimensionamento de uma estrutura de


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concreto armado ou protendido com base no modelo de bielas e tirantes. O programacomeou a ser desenvolvido em 1997 na Universidade de Illinois at Urbana-Champaign, nos Estados Unidos da Amrica, e passou por atualizaes. Uma versoinicial do programa foi introduzida pela primeira vez no Congresso do ACI de 2000,em Toronto, Canad, por Dan Kuchma e Tjen Tjhin, aps a apresentao do trabalho

"Advances and Challenges to Design by the Strut-and-Tie Method".A interface utilizada simples e possibilita a criao e a modificao de

elementos estruturais e de possveis modelos de bielas e tirantes, os quais precisamser determinados pelo usurio. Esse aspecto chama a ateno, pois o programa nodispe de um processo de otimizao que determina automaticamente o modelo maisadequado e, sendo isso tarefa exclusiva do usurio, necessrio embasamentoterico acerca do modelo de bielas e tirantes, suas limitaes e peculiaridades. Poroutro lado, no exige soluo nica, possibilitando grande variedade de solues paracada estrutura. Nesse aspecto, entram o conhecimento tcnico-cientfico e aexperincia do usurio do programa a fim de encontrar o modelo mais adequado, queleve em considerao economia e aspectos construtivos da estrutura. Alm disso, suafacilidade em variar o modelo de bielas e tirantes adotado para um mesmocarregamento, a disponibilidade de rotinas para o dimensionamento de modelos debielas e tirantes submetidos a mltiplos casos de carregamento e a simplesautomatizao dos clculos so fatores que vo ao encontro das necessidades doprojetista de estruturas.

4.2 Definio das propriedades dos elementos

Para a verificao de ns e bielas, h a possibilidade de se utilizar valores dasresistncias propostos por pesquisadores e normas, predefinidos pelo programa,como tambm possvel determinar valores desejados. A Tabela 2 e a Tabela 3apresentam todos os valores predefinidos pelo programa para ns e bielas, os quaispodem ser arbitrariamente adotados pelo usurio.

Tabela 2 - Propriedades dos ns segundo as normas e expresses disponveis no CAST(2000).Propriedades dos ns

fck (MPa)Eq. Cdigos

FatorEficincia

FatorReduoResistncia

FatorResultante 20 30 40 50

ACI CCC 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88ACI CCT 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50ACI CTT 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13Marti (1985) CCC 0,600 0,750 0,450 9,00 13,50 18,00 22,50Schlaich (1987) CCC 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88Schlaich (1987) CCT / CTT 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50MacGregor (1997) CCC 0,777 0,750 0,583 11,66 17,48 23,31 29,14MacGregor (1997) CCT 0,661 0,750 0,496 9,92 14,87 19,83 24,79MacGregor (1997) CTT 0,583 0,750 0,437 8,75 13,12 17,49 21,86


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Tabela 3 - Propriedades das bielas segundo as normas e expresses disponveis no CAST(2000).

Cita-se que o projetista pode, como alternativa, limitar a tenso em cadamembro do modelo. Para isso, ao invs de estabelecer as dimenses dos membros,h a possibilidade de apenas determinar a porcentagem a ser atingida da capacidade(resistncia) ltima do membro, sendo que, no passo de anlise automtica da treliapelo CAST (2000), ao invs de o programa verificar a tenso no membro, ele irdefinir automaticamente suas propriedades geomtricas a fim de configurar aintensidade de tenso definida pelo projetista.

5 MODELAGEM DA VIGA VB E ANLISE DOS RESULTADOS

A seguir esto expressas as propriedades geomtricas e as demaiscaractersticas da viga. O carregamento unifomemente distribudo a que a viga estsubmetida foi distribudo pelos ns da trelia, excetuando-se os dois ns dasextremidades. Foi considerado, para isso, o comprimento efetivo da viga, 3,60 m, e oscarregamentos aplicados em cada n do banzo superior foram determinados deacordo com suas reas de influncia. A carga distribuda aplicada sobre as reas deinfluncia dos ns extremos foi distribuda por toda a extenso restante da viga. Valelembrar que a fora aplicada na trelia j foi majorada, ou seja, j foi aplicada com seuvalor de projeto.

Propriedades das Bielasfck (MPa)

Eq. CdigosFatorEficincia

FatorReduoResistncia

FatorResultante 20 30 40 50

ACI Prismatic 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88

ACI "Forma Garrafa" c/ Armad. 0,637 0,750 0,478 9,56 14,33 19,11 23,89

ACI "Forma Garrafa" s/ Armad. 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13

ACI Bielas em Elem. Tracionados 0,340 0,750 0,255 5,10 7,65 10,20 12,75

ACI Bielas para todos os outros casos 0,510 0,750 0,383 7,65 11,48 15,30 19,13

Nielsen (1978) 0,550 0,750 0,413 8,25 12,38 16,50 20,63

Ramirez & Breen (1983) 0,515 0,750 0,386 7,73 11,59 15,45 19,31

Marti (1985) 0,600 0,750 0,450 9,00 13,50 18,00 22,50

Schlaich (1987) Biela no Fissurada 0,850 0,750 0,638 12,75 19,13 25,50 31,88Schlaich (1987) Biela c/ Armad. TracionadaPerpendicular ao seu eixo 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50Schlaich (1987) Biela c/ Armad. TracionadaPerpendicular ao seu eixo 0,680 0,750 0,510 10,20 15,30 20,40 25,50Schlaich (1987) Biela c/ Fissuras de grandeabertura 0,340 0,750 0,255 5,10 7,65 10,20 12,75

MacGregor (1997) Biela no Fissurada 0,777 0,750 0,583 11,66 17,48 23,31 29,14MacGregor (1997) Biela Fissurada c/ Armad.Perpendicular ao seu Eixo 0,622 0,750 0,467 9,33 14,00 18,66 23,33MacGregor (1997) Biela Fissurada s/ Armad.Perpendicular ao seu Eixo 0,505 0,750 0,379 7,58 11,36 15,15 18,94MacGregor (1997) Biela em Zona 0,466 0,750 0,350 6,99 10,49 13,98 17,48


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A partir dos resultados, foram realizadas comparaes entre os valoresobtidos na modelagem e os obtidos nos dimensionamentos realizados manualmentesegundo o MC CEB-FIP (1990)

Ao: CA-50 fy = 500 MPa

Coeficiente de ponderao das aes:

f= 1,4

Coeficiente de ponderao da resistncia do concreto, para as verificaessegundo o MC CEB-FIP (1990):

c = 1,4

Coeficiente de ponderao da resistncia do ao, para as verificaessegundo o MC CEB-FIP (1990):

s = 1,15

Nas modelagens, foram atribudos coeficientes de ponderao dos materiais

ligeiramente diferentes dos utilizados nas verificaes das normas. O CAST (2000)utiliza como padro para todas as verificaes e, portanto, para todos os coeficientes,os valores e recomendaes do ACI, referentes verso de janeiro de 2000. Sendoassim, o coeficiente de ponderao dos materiais fator multiplicador de suasresistncias.

Nas modelagens optou-se por admitir as consideraes e as verificaesreferentes ao ACI, exceto para os valores dos coeficientes de ponderao do concreto(c) e do ao (s) que assumiram, respectivamente:

cc-1c = 0,75

ss-1s = 0,85

O modelo VB constitui-se de uma viga de concreto armado, biapoiada,submetida a um carregamento uniformemente distribudo em toda a sua extenso.Possui seo transversal retangular de 20 cm x 40 cm. A Figura 6 mostra ocomprimento efetivo da viga VB, suas condies de apoio e o carregamento a que elaest submetida.

Figura 6 - VB - carregamento e comprimento efetivo.

Seo transversal: bw = 20 cm

h = 40 cm

Comprimento efetivo da viga: efetivo,viga = 360 cm = 3,6 m

Concreto: C25 fck = 25 MPa


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Resultantes caractersticas nos apoios:

Rk = 22 [kN/m] . (3,6 / 2) [m] = 39,6 kN

Momento flertor solicitante caractestico e de clculo:

Mk = p.2 / 8 = 22 . 3,62 / 8 Md = 1,4.Mk = 49,90 kN.m

Fora cortante solicitante caractestic e de clculo:Vk = 39,6 kN Vd = 4,1.Vk = 55,44 kN

A seguir, so calculados os parmetros kc e ks, a fim de se determinar a reade armadura longitudinal da viga, As, para resistir ao momento fletor.

kc = b.d2/Md = 20 . 36

2 / 4990 = 5,19

C25 ks = 0,025

ks = As.d / Md As = ks.Md / d = 0,025 . 4990 / 36 = 3,47 cm2

Conhecidos os parmetros geomtricos da viga, podem ser determinadosMd,lim, Vd,u e Vd,min:

Md,lim = b.d2 / kc,lim = 20 . 362 / 1,8 = 14400 kN.cm = 144,00 kN.m

Vd,u = 0,1.wu.b.d = 0,1 . 4,500 . 20 . 36 = 324,0 kN

Vd,min = 0,1.wmin.b.d = 0,1 . 1,182 . 20 . 36 = 85,1 kN

Vd,max = 55,5 kN < Vd,u = 324,0 kN condio ok!

A verificao acima indica que a fora cortante mxima atuante na viga inferior fora cortante ltima a qual a viga capaz de suportar.

5.1 Verificaes segundo o MC CEB-FIP (1990)

A seguir realizada a verificao das bielas segundo o MC CEB-FIP (1990):

RScw = (Vd / sen).[cotg / (cotg + cotg)] (24)

sendo:

= inclinao dos estribos = 90ocotg = 0;

= inclinao das bielas = 45osen = 21/2 / 2 ; cotg = 1;

Quando Vd = Vd,max, temos:

RScw = (55,5 . 21/2 / 2).[1 / (1 + 0)]

O clculo da fora solicitante de compresso atuante nas bielas da viga

tambm visa estabelecer comparao, a fim de verificar a validade da modelagem. Osvalores das foras nos elementos podem ser conferidos adiante, na Figura 11 e naTabela 6. A Figura 12 apresenta os fatores de utilizao dos elementos da trelia.

RScw = 78,5 kN

RScw,CAST = 78,4 kN (Figura 11; Tabela 6)

A diferena entre as foras solicitantes de compresso nas bielas, tomando-seo valor obtido segundo verificao do MC CEB-FIP (1990) e o valor da biela maissolicitada da trelia, segundo modelagem no CAST (2000), praticamente nula(0,1%).

A seguir, realiza-se o clculo da resistncia das bielas segundo o MC CEB-FIP (1990):


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RRcw = fcd2.b.z.cos (25)

fcd2 = 0,60.(1 - fck / 250).fcd = 0,60.(1 - 25 / 250).(2,5 / 1,4) =

= 0,964 kN/cm2

kc = b.d2 / Md = 5,19 x = 0,17

x = x / d x = x.d = 0,17 . 36 = 6,1 cmz = d - 0,4.x = 36 - 0,4 . 6,1 = 33,56 cm obs: z/d = 0,93

RRcw = 0,964 . 20 . 33,56 . 21/2 / 2

RScw = 78,5 < RRcw = 457,5 kN condio ok!

A condio anterior indica que a capacidade resistente das bielas de concretoda viga maior do que a solicitao a que elas esto submetidas.

Conhecendo-se o brao do momento z, de acordo com o prprio momentomximo atuante, pode-se determinar a fora solicitante de trao no banzo inferior daviga (Rst), relativa ao valor do momento aplicado, a fim de estabelecer comparao

com o valor da fora de trao determinada pela modelagem (Rst,CAST). consideradaa fora de trao atuante nas barras mais solicitadas do banzo inferior da viga, queso as duas barras centrais.

Rst = Md / z + Nd (26)

Nd = 0

Rst = 4990 / 33,56

Rst = 148,7 kN

Rst,CAST = 181,4 kN (Figura 11; Tabela 6)

Portanto, o CAST (2000) est 18% a favor da segurana.

5.2 Resultados da modelagem

Neste primeiro modelo sero apresentadas inmeras figuras e tabelas, a fimde representar de maneira completa todas as caractersticas da modelagem no CAST(2000) e de mostrar a grande variedade de respostas, grficas ou numricas, que oprograma capaz de fornecer. Ressalta-se que, para os modelos seguintes, seroapresentadas apenas as figuras e tabelas de maior relevncia para anlise. A Figura7 apresenta as propriedades da trelia, onde as bielas esto representadas por linhasazuis descontnuas e os tirantes por linhas alaranjadas contnuas. Os pontos

vermelhos so os ns internos da viga, pertencentes trelia, e os pontos cinzas soos ns situados nas faces a viga, nos quais so aplicados os carregamentos edefinidos os apoios. As barras vermelhas descontnuas so os estabilisadores,elementos pertencentes trelia definida pelo usurio que, para as determinadascondies de apoio e aes atuantes, no esto solicitados. Como, para as trsprimeiras modelagens, h simetria na viga, na trelia e no carregamento, ser exibidaapenas meia viga, quando se considerar conveniente.


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Figura 7 - VB - a trelia e seus elementos.

A Figura 8 exibe os carregamentos nos ns da viga, de acordo com as reasde influncia e dos critrios anteriormente discutidos.

Figura 8 - VB - aplicao das foras aos ns.

A Figura 9 exibe as propriedades atribudas aos elementos e a Figura 10 aosns, ambas as tarefas de responsabilidade do projetista.

Figura 9 - VB - propriedades dos elementos.


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Figura 10 - VB - propriedades dos ns.

Definidas todas as caractersticas necessrias para se realizar as verificaesconvenientes, o prximo passo analisar as solicitaes que esto submetidos oselementos do modelos de bielas e tirantes. Apesar de o programa ser capaz defornecer uma grande variedade de dados para anlise, os principais so constitudospelas porcentagens das capacidades resistentes de cada elemento e de cada n, oque j suficiente para se verificar a segurana do modelo. Caso as verificaes detodos os elementos e ns apontem que em nenhum elemento a solicitao maiorque a capacidade resistente, pode-se garantir que, ao menos em relao ao modelo

de bielas e tirantes adotado, est garantida a segurana estrutural da viga.Ressalta-se que, para que o modelo seja seguro, o projetista deve se

assegurar de que todas as condies por ele determinadas sejam vlidas. Hinmeros fatores que podem gerar incompatibilidades entre o modelo e a viga real. Osprincipais so:

1) Concepo incorreta do tipo de biela definida, ou do tipo de n definidopelo projetista. Vale lembrar que bielas e ns assumem coeficientes de seguranadependentes de suas configuraes na trelia. Portanto, determines equivocadasou duvidosas podem estar contra a segurana estrutural;

2) Inadequada ancoragem das armaduras que atravessam os ns. Hconfiguraes de ns que consideram tirantes os atravessando. Porm, para segarantir o esperado funcionamento e, consequentemente, a validade das capacidadesresistentes, deve-se garantir que os tirantes estejam corretamente ancorados a essasregies nodais;

3) Insuficientes comprimentos de ancoragem necessrios para armaduras. Ocomprimento de ancoragem um fator muito importante que tambm deve serconsiderado no modelo de bielas e tirantes. Portanto, devem ser consideradas todasas prescries pertinentes a cada caso. No caso das barras da armadura longitudinaldas vigas, deve-se considerar o comprimento de ancoragem bsico alm dos pontosde interrupo de cada barra determinado pelas foras nas barras das trelias;

4) Determinao de dimenses - largura e espessura - incorretas para bielas etirantes. As barras da trelia tm as reas de suas sees transversais definidas pelos


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comprimentos de suas larguras e pela espessura da estrutura. Considerando que aespessura um fator que dificilmente gera dvidas, pois pode-se considerar comoespessura efetiva dos elementos a espessura total da estrutura, as dvidas recaemnas determinaes das larguras efetivas de bielas e tirantes. Deve-se verificar se aslarguras adotadas no ultrapassam os limites da estrutura. Em seguida, interessante

dispor corretamente as barras das armaduras dos tirantes, em camadas quandonecessrio, a fim de garantir que os tirnates da trelia tenham espessuras suficientespara que no ocorra ruptura localizada na face de encontro entre o tirante e o n aoqual ele est conectado;

5) Definio de ns como contnuos ou singulares. At hoje no existemcritrios bem definidos para distinguir ns contnuos e ns concentrados. Tendo emvista que ns singulares, que so aqueles em que h espao suficiente para que osdesvios das foras neles atuantes sejam suaves, no so crticos e, portanto, noprecisam ser verificados, necessrio muita cautela para se definir um n comocontnuo.

Alm desses aspectos principais, todas as demais verificaes necessrias svigas devem ser realizadas, como as verificaes para Estados Limites de Servio.Cita-se que, caso a trelia adotada no seja estaticamente determinada ou caso nohaja correta disposio de suas barras, o CAST (2000) indicar que h algumproblema e no fornecer ao projetista nenhuma resposta.

A seguir apresentam-se as respostas obtidas na modelagem da viga VB.Essas respostas so apresentadas em porcentagens de solicitao dos elementos, ouseja, em foma da relao solicitao dividida pela resistncia. Valores iguais ousuperiores unidade indicam que a capacidade ltima resistente do elemento foiatingida.

A Figura 11 apresenta as foras solicitantes aplicadas em cada membro datrelia. Valores positivos indicam trao e negativos indicam compresso.

Figura 11 - VB - foras nos membros da trelia.

A Figura 12 apresenta a envoltria resistncia a que est submetida a viga.Os valores entre parnteses representam a razo entre a solicitao no elemento e aresistncia do mesmo, tambm chamada de fator de utilizao. Valores baixostendem s cores frias (azul) e valores altos tendem s quentes (vermelho).


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Figura 12 - VB - fatores de utilizao dos elementos.

A Tabela 4 apresenta os fatores de utilizao de todos os elementos da treliae a Tabela 5 de todos os ns.

Tabela 4 - VB - fatores de utilizao dos elementos da trelia.Row # Element ID Force (kN) Stress (MPa) Stress Ratio f'c Ratio

1 E1 0,0 NA NA NA2 E2 45,4 319,44 0,75 NA3 E3 35,3 248,45 0,59 NA4 E4 25,2 177,46 0,42 NA5 E5 15,1 106,48 0,25 NA6 E6 5,0 35,49 0,08 NA7 E7 0,0 NA NA NA8 E8 5,0 35,49 0,08 NA

9 E9 15,1 106,48 0,25 NA10 E10 25,2 177,46 0,42 NA11 E11 35,3 248,45 0,59 NA12 E12 45,4 319,44 0,75 NA13 E13 0,0 NA NA NA14 E14 0,0 NA NA NA15 E15 -55,4 2,77 0,17 0,1116 E16 -100,8 5,04 0,32 0,2017 E17 -136,1 6,80 0,43 0,2718 E18 -161,3 8,06 0,51 0,3219 E19 -176,4 8,82 0,55 0,3520 E20 -176,4 8,82 0,55 0,35

21 E21 -161,3 8,06 0,51 0,3222 E22 -136,1 6,80 0,43 0,2723 E23 -100,8 5,04 0,32 0,2024 E24 -55,4 2,77 0,17 0,1125 E25 0,0 NA NA NA26 E26 55,4 214,88 0,51 NA27 E27 100,8 390,70 0,92 NA28 E28 136,1 263,72 0,62 NA29 E29 161,3 312,56 0,74 NA30 E30 176,4 341,86 0,80 NA31 E31 181,4 351,63 0,83 NA32 E32 181,4 351,63 0,83 NA

33 E33 176,4 341,86 0,80 NA34 E34 161,3 312,56 0,74 NA


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Continuao35 E35 136,1 263,72 0,62 NA36 E36 100,8 390,70 0,92 NA37 E37 55,4 214,88 0,51 NA38 E38 -55,4 2,77 0,17 0,1139 E39 0,0 NA NA NA40 E40 -10,1 2,52 0,16 0,1041 E41 -10,1 2,52 0,16 0,1042 E42 -10,1 2,52 0,16 0,1043 E43 -10,1 2,52 0,16 0,1044 E44 -10,1 2,52 0,16 0,1045 E45 -10,1 2,52 0,16 0,1046 E46 -10,1 2,52 0,16 0,1047 E47 -10,1 2,52 0,16 0,1048 E48 -10,1 2,52 0,16 0,1049 E49 -10,1 2,52 0,16 0,1050 E50 -10,1 2,52 0,16 0,10

51 E51 0,0 NA NA NA52 E52 -55,4 2,77 0,17 0,1153 E53 -78,4 3,92 0,25 0,1654 E54 -64,1 3,21 0,20 0,1355 E55 -49,9 2,49 0,16 0,1056 E56 -35,6 1,78 0,11 0,0757 E57 -21,4 1,07 0,07 0,0458 E58 -7,1 0,36 0,02 0,0159 E59 -7,1 0,36 0,02 0,0160 E60 -21,4 1,07 0,07 0,0461 E61 -35,6 1,78 0,11 0,0762 E62 -49,9 2,49 0,16 0,10

63 E63 -64,1 3,21 0,20 0,1364 E64 -78,4 3,92 0,25 0,16

Tabela 5 - VB - fatores de utilizao dos ns da trelia.Row # Element ID Force (kN) Stress (MPa) Stress Ratio f'c Ratio

1 E1 0,0 NA NA NA2 E2 45,4 319,44 0,75 NA3 E3 35,3 248,45 0,59 NA4 E4 25,2 177,46 0,42 NA5 E5 15,1 106,48 0,25 NA6 E6 5,0 35,49 0,08 NA7 E7 0,0 NA NA NA8 E8 5,0 35,49 0,08 NA9 E9 15,1 106,48 0,25 NA10 E10 25,2 177,46 0,42 NA11 E11 35,3 248,45 0,59 NA12 E12 45,4 319,44 0,75 NA13 E13 0,0 NA NA NA14 E14 0,0 NA NA NA15 E15 -55,4 2,77 0,17 0,1116 E16 -100,8 5,04 0,32 0,20

17 E17 -136,1 6,80 0,43 0,2718 E18 -161,3 8,06 0,51 0,32


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Continuao19 E19 -176,4 8,82 0,55 0,3520 E20 -176,4 8,82 0,55 0,3521 E21 -161,3 8,06 0,51 0,3222 E22 -136,1 6,80 0,43 0,2723 E23 -100,8 5,04 0,32 0,2024 E24 -55,4 2,77 0,17 0,1125 E25 0,0 NA NA NA26 E26 55,4 214,88 0,51 NA27 E27 100,8 390,70 0,92 NA28 E28 136,1 263,72 0,62 NA29 E29 161,3 312,56 0,74 NA30 E30 176,4 341,86 0,80 NA31 E31 181,4 351,63 0,83 NA32 E32 181,4 351,63 0,83 NA33 E33 176,4 341,86 0,80 NA34 E34 161,3 312,56 0,74 NA

35 E35 136,1 263,72 0,62 NA36 E36 100,8 390,70 0,92 NA37 E37 55,4 214,88 0,51 NA38 E38 -55,4 2,77 0,17 0,1139 E39 0,0 NA NA NA40 E40 -10,1 2,52 0,16 0,1041 E41 -10,1 2,52 0,16 0,1042 E42 -10,1 2,52 0,16 0,1043 E43 -10,1 2,52 0,16 0,1044 E44 -10,1 2,52 0,16 0,1045 E45 -10,1 2,52 0,16 0,1046 E46 -10,1 2,52 0,16 0,10

47 E47 -10,1 2,52 0,16 0,1048 E48 -10,1 2,52 0,16 0,1049 E49 -10,1 2,52 0,16 0,1050 E50 -10,1 2,52 0,16 0,1051 E51 0,0 NA NA NA52 E52 -55,4 2,77 0,17 0,1153 E53 -78,4 3,92 0,25 0,1654 E54 -64,1 3,21 0,20 0,1355 E55 -49,9 2,49 0,16 0,1056 E56 -35,6 1,78 0,11 0,0757 E57 -21,4 1,07 0,07 0,0458 E58 -7,1 0,36 0,02 0,0159 E59 -7,1 0,36 0,02 0,0160 E60 -21,4 1,07 0,07 0,0461 E61 -35,6 1,78 0,11 0,0762 E62 -49,9 2,49 0,16 0,1063 E63 -64,1 3,21 0,20 0,1364 E64 -78,4 3,92 0,25 0,16

A Tabela 6 apresenta as armaduras necessrias para a viga calculadassegundo as foras atuantes em cada tirante, determindas pelo CAST (2000).


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Tabela 6 - VB - armaduras necessrias para a viga determinadas pelo CAST (2000).

Arm. longitudinal

Fst (kN) fyd (kN/cm2) As,nec (cm

2) 1,1 As,nec (cm2) As,ef # As,ef(cm

2) Stress ratio

181,40 43,5 4,17 4,59 4 13 1 5,16 0,81176,40 43,5 4,06 4,46 4 13 1 5,16 0,79

161,30 43,5 3,71 4,08 4 13 1 5,16 0,72136,10 43,5 3,13 3,44 4 13 1 5,16 0,61100,80 43,5 2,32 2,55 2 13 2 2,58 0,9055,40 43,5 1,27 1,40 2 13 2 2,58 0,49

Arm. transversal

Fsw (kN) fyd (kN/cm2) Asw,nec (cm

2) 1,1 As,nec (cm2) As,ef # As,ef(cm

2) Stress ratio

45,40 43,5 1,04 1,15 2 10 1 1,42 0,7335,30 43,5 0,81 0,89 2 10 1 1,42 0,5725,20 43,5 0,58 0,64 2 10 1 1,42 0,4115,10 43,5 0,35 0,38 2 10 1 1,42 0,245,00 43,5 0,11 0,13 2 10 1 1,42 0,08

A Figura 13 mostra a disposio das armaduras dos tirantes da treliacalculadas pelo CAST (2000). Vale lembrar que o programa no considera oscomprimentos de ancoragem.

Figura 13 - VB - disposio das armaduras dos tirantes da trelia.

Por fim apresentado o resumo da viga, conforme a Figura 14, onde constamos dados de geometria, carregamento e reaes com valores caractersticos,

diagramas de fora cortante e momento fletor, ambos de clculo, cobrimento dodiagrama pelas barras da armadura longitudinal, j acrescidas dos comprimentos deancoragem necessrios, trelia do modelo de bielas e tirantes e disposio das barrasda armadura longitudinal, tambm j acrescidas dos respectivos comprimentos deancoragem. A representao das barras da armadura longitudinal determinadassegundo o modelo de bielas e tirantes aparece como boa alternativa em relao aomtodo tradicional, pois no h a necessidade do cobrimento do diagrama demomentos fletores.

Cita-se que, tambm nas determinaes das armaduras pelo mtodotradicional, foram utilizadas as bitolas e as respectivas reas das sees transversaisdas barras relativas ao ACI 318 (1995) pois, como para as armaduras do modelo no

CAST (2000) foram utilizadas tais caractersticas, visou-se padronizar e facilitar ascomparaes.


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Figura 14 - VB1 resumo.

6 CONCLUSO

O modelo de bielas e tirantes proporciona ao projetista tima representaoda estrutura e de seu comportamento. Alm disso, pode ser aplicado no somentenas regies contnuas de uma estrutura, mas tambm em suas regies descontnuas,onde no so vlidas as hipteses de Bernoulli.

Apesar de suas significativas vantagens, o modelo apresenta um grandeinconveniente: sua aplicao. A falta de consenso a respeito dos valores limites paraas intensidades das tenses das inmeras configuraes de ns, bem como da

prpria geometria dos mesmos; das corretas configuraes geomtricas das bielas esuas respectivas resistncias, dependentes da geometria da regio D e do

CORTE A-A

A 2 13 (286)

152 13 (400)2 13 (352)

36015

A

3,60 m

22,0 kN/m

55,4

kN

55,4

Md (kN.m)

Vd (kN)

Rk (kN)

55,4

kN

-55,4

49,9

5 5

2 13 (400)155

15360 5

l blb


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caminhamento das aes so fatores que dificultam sua aplicabilidade e difuso.Tambm por esses motivos, vrias normas e cdigos tratam desses assuntos demaneira superficial ou at mesmo nem tratam.

O modelo de bielas e tirantes j , para muitas estruturas ou parte delas ,em geral as mais complexas, a nica alternativa de determinao e verificao

estrutural, mas dificilmente empregado em estruturas comuns, como em vigasusuais. Em vista disso tudo, a utilizao do CAST (2000) aparece como alternativamuito interessante na verificao e no dimensionamento de vigas de concreto armadousuais. Sua interface agradvel e sua fcil e rpida utilizao configuram excelenteauxlio a projetistas que fazem uso de computador, ao passo que o programa dedomnio pblico na rede mundial de computadores. Ao utilizar o CAST (2000), oprojetista pode desfrutar da maior vantagem do modelo de bielas e tirantes, que atima visualizao do comportamento da estrutura. Alm disso, como caractersticainerente ao modelo, o projetista tem o poder de determinar, de certa forma, ocomportamento estrutural e, assim, definir a geometria da trelia de acordo com ocomportamento desejado.

Outra grande vantagem da modelagem de estruturas utilizando bielas etirantes a possibilidade de mltipas solues. Sabe-se que a qualidade e aexperincia do projetista so fundamentais na modelagem, pois h a necessidade dese prever o comportamento estrutural a fim de se construir o modelo mais adequado,ou seja, o que possibilitar o melhor comportamento. No caso das vigas, essa tarefa simples. Como seu comportamento bem conhecido, no h grande variedade depossveis solues e, consequentemente, isso minimiza a chance de erro por parte doprojetista, outro fator estimulante para a utilizao do CAST (2000). Porm, semdvida alguma, a maior vantagem apresentada pelo programa sua capacidade deverificar automaticamente as regies nodais. Tendo em vista que a verificao de ns

a tarefa mais complicada quando da aplicao de um modelo de bielas e tirantes,certamente o CAST (2000) mostra-se como um enorme auxlio aos projetosestruturais por modelos de bielas e tirantes.

necessrio ressaltar a importncia de se distribuir adequadamente as barrasdas armaduras dos tirantes em camadas quando possvel, a fim de se garantir aslarguras efetivas dos mesmos, visando diminuir as tenses nas faces dos ns aosquais cada tirante est conectado. Como so realizadas verificaes para cada facedo n, interessante que as reas de cada um dos elementos conectados a cada nsejam suficientes para resistir a tenso ali existente. Portanto, como as reas efetivasdos tirantes so determinadas pela espessura da estrutura, que um valor fixo, e

pelas larguras efetivas dos respectivos tirantes, visa-se distribuir as barras daarmadura de forma que se obtenha a maior espessura efetiva para cada elemento.

Quanto aos valores da fora cortante, pde-se comprovar a validade dasexpresses para o dimensionamento do MC CEB-FIP (1990), pois elas aparentamrepresentar perfeitamente o esquema resistente das diagonais.

Com a configurao que se optou para transformar o carregamento distribudoem cargas nodais, com a desconsiderao dos dois ns extremos, foi possvelcomprovar a idia de que, para vigas com essa configurao, muito usual nasestruturas, as regies superiores das extremidades praticamente no tm funoestrutural, confirmando o conceito de que o banzo superior, paralelo ao inferior na

regio central da viga, tende a se inclinar at se encontrar com o banzo inferior naregio do apoio.


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Por fim, cita-se que as normas para dimensionamento de estruturas deconcreto armado estabelecem critrios para se prover a estrutura de uma taxa dearmadura mnima. Esse fator, em alguns casos, pode comprometer o comportamentodo modelo de bielas e tirantes adotado. Como a idealizao da trelia depende dadisposio, prevista ou desejada (proposital), dos elementos que ela compem, em

casos em que, segundo o modelo, deveria haver tirantes com taxas de armadurainferiores s mnimas, a necessidade de se dispor a quantidade mnima de armadurapode alterar o comportamento inicialmente esperado pelo engenheiro.

7 AGRADECIMENTOS

Agradecemos CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa nopoderia ter sido realizada.

8 REFERNCIAS

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1995). ACI 318/95 - Building coderequeriments for structural concrete. Detroit, Michigan.

ASSOCIAO BRASILEIRA DE NORMAS TCNICAS (2004). NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto procedimento. Rio de Janeiro.

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Daniel dos Santos & Jos Samuel Giongo90

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