Bibliografia Básica (1)

MAT

EMÁT

ICA

LICENCIATURA

INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL

Irene Magalhães Craveiro

Lilian Akemi Kato

Jader Otavio Dalto

Rafael Monteiro dos Santos

Campo Grande, MS - 2011

PRESIDENTA DA REPÚBLICADilma Rousseff

MINISTRO DA EDUCAÇÃOFernando Haddad

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SULREITORA

Célia Maria Silva Correa OliveiraVICE-REITOR

João Ricardo Filgueiras TogniniCOORDENADORA DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA - UFMSCOORDENADORA DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMS

Angela Maria Zanon

COORDENADOR ADJUNTO DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UFMSRodrigo Juliano de Oliveira

COORDENADORA DO CURSO DE MATEMÁTICA (MODALIDADE A DISTÂNCIA)Sonia Maria Monteiro Burigato

Obra aprovada pelo Conselho Editorial da UFMS - Resolução nº 03/2010

CONSELHO EDITORIAL UFMS

Dercir Pedro de Oliveira (Presidente)Celina Aparecida Garcia de Souza Nascimento

Claudete Cameschi de SouzaEdgar Aparecido da Costa.

Edgar Cézar NolascoElcia Esnarriaga de Arruda

Gilberto MaiaJosé Francisco Ferrari

Maria Rita MarquesMaria Tereza Ferreira Duenhas Monreal

Rosana Cristina Zanelatto SantosSonia Regina JuradoYnes da Silva Felix

CÂMARA EDITORIAL

SÉRIE

Angela Maria ZanonDario de Oliveira Lima FilhoPatricia Graciela da Rocha

Carina Elizabeth MacielSonia Maria Monteiro Burigato

SUMÁRIO

Informações sobre o material 5Prefácio 7

CAPÍTULO I Conjuntos e Funções 9

1. Introdução 112. Conjuntos 12 3. Funções 184. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações 26

CAPÍTULO II Números Reais 31

2. Módulo de um Número Real 392.1 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais 43

CAPÍTULO IIISequências e Séries de Números Reais 49

3.1 Introdução 513.2 Definições e Propriedades 523.3. Limite de uma Sequência 543.4 Sequências Limitadas 593.5 Sequências Monótonas 623.6 Subsequências 633.7 Critério de Convergência de Cauchy 663.8 Séries Numéricas 723.9 Critérios de Convergências de Séries Numéricas 79

3.10 Séries Alternadas 813.11 Convergência Absoluta, Testes da Raiz e da Razão 82

CAPÍTULO IVTopologia da Reta 92

4.1 Introdução 934.2 Conjuntos Abertos 934.3 Conjuntos Fechados 954.4 Pontos de Acumulação 994.5 Conjuntos Compactos 101

CAPÍTULO VFunções, Limites e Continuidade 107

CAPÍTULO VIDerivadas e a Integral de Riemann 119

6.1 Derivadas: Definição e Exemplos 1216.2 Derivadas: Regras Operacionais 1246.3 Derivadas: Regra da Cadeia 1256.4 Derivadas: Interpretação Geométrica 1266.5 Derivadas: Interpretação Cinemática 1276.6 A Soma de Riemann 1276.7 Integral: Interpretação Geométrica 131

Referências Bibliográficas 134

INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL

2

INFORMAÇÕES SOBRE O MATERIAL

PREZADO ALUNO,

Este livro apresenta uma introdução à Análise na reta, contemplando os assuntos

relacionados à análise em uma variável real.

A Análise Real tem características explicativas de conceitos e situações encontradas no

Cálculo Diferencial e Integral I, que em geral é uma das primeiras disciplinas de Cálculo dos

cursos de graduação da área de Ciências Exatas e da Terra. Procuramos descrever os aspectos

organizados do Cálculo I com as suas respectivas demonstrações e justificativas.

Para uma melhor compreensão do conteúdo deste material, orientamos que a leitura deste

material seja feita detalhadamente, de maneira que cada passo de cada demonstração ou

resolução de exercício seja compreendido plenamente antes de se ler o passo seguinte ou de se

analisar o próximo exercício. Para tanto, se for necessário, leia várias vezes até atingir 100%

de compreensão.

Esperamos que este material possa contribuir para sua formação enquanto professor de

Matemática e desejamos a você um bom trabalho.

PREFÁCIO

3

PREFÁCIO

O objetivo principal da Análise Real para a Licenciatura em Matemática é a prática em

demonstrações. Esta abordagem lógico-formal dos conteúdos, bem como a habilidade no trato

com as definições, teoremas e demonstrações é fundamental ao futuro professor de

Matemática da Educação Básica, uma vez que as definições, axiomas, demonstrações

constituem-se como embasamentos lógicos de toda a Matemática.

O Século XIX foi marcante na matemática e desta forma, os matemáticos elegeram-no como

do “Século do Rigor”. Foi nesse século que Cauchy, formalmente, iniciou as ideias de limite e

derivada. Um dos marcos no desenvolvimento da Análise foi o trabalho de Lagrange, que

pode ser encarado como o início da teoria moderna de funções reais de uma variável real.

Antes do Século XIX, muitas descobertas importantes surgiram, mas não houve preocupação

com os fundamentos lógicos dos métodos que funcionavam com tanto êxito. O conceito de

função, apesar de parecer simples nos dias atuais, é resultado de uma evolução histórica,

iniciada na Antiguidade com, por exemplo, os matemáticos babilônicos, que usavam tabelas

de quadrados, raízes quadradas, raízes cúbicas, mas o conceito de função não estava

claramente definido. Outro conceito matemático cujas origens remontam a antiguidade é o

conceito de limite. Durante muitos séculos, as noções de limite eram confusas e vagas. Apesar

dessa noção ser fundamental no que se refere ao desenvolvimento ordenado e lógico do

Cálculo, sua consolidação enquanto conceito ocorreu mais recentemente, há pouco mais de 50

anos.

Sobre os Autores

IRENE MagalhãES CRavEIRoPossui graduação em Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (1996), mestrado em Ciências Matemática pela Universidade Estadual

Paulista Júlio de Mesquita Filho (1999) e doutorado em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas(2004). atualmente é Professor adjunto da Universidade Federal da grande Dourados. Tem experiência na área de

Matemática, com ênfase em Matemática Discreta e Combinatória.

lIlIaN akEMI kaToPossui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá (1992), mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo (1996) e

doutorado em Matemática aplicada pela Universidade Estadual de Campinas (2004). atualmente é Professor adjunto da Universidade Estadual de Maringá.

Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Biomatemática, atuando principalmente nos seguintes temas: modelagem matemática e Ensino

de Ciências e Educação Matemática.

JaDER oTavIo DalToPossui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de londrina (2002), mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática também pela Universidade Estadual de londrina (2007) e atualmente é acadêmico do Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática pela mesma

instituição. É Professor Assistente da Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, atuando principalmente na formação inicial e

continuada de professores de Matemática.

RaFaEl MoNTEIRo DoS SaNToSPossui graduação em Matemática pela Universidade Federal do Rio de

Janeiro (2005) e mestrado pela Universidade Federal do Rio de Janeiro(2008) e atualmente é Professor Assistente da

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.

CAPÍTULO I

CONJUNTOS E FUNÇÕES

CONJUNTOS E FUNÇÕES

CAPÍTULO I

1. Introdução

4

CAPÍTULO 1 Conjuntos e Funções

De modo geral, considera-se que a teoria moderna dos conjuntos foi criada em 1859

pelo famoso matemático Georg Cantor (1845 -1918), que notou a necessidade de tal teoria

quando estudava séries trigonométricas. Cantor escreveu: “Por um „conjunto‟ entenderemos

qualquer coleção dentro de um todo de objetos distintos definidos, de nossa intuição ou

pensamento". Esta definição não proíbe ninguém de considerar o “conjunto” de todos os

conjuntos, como o fez Bertrand Russel. A dificuldade real na definição de Cantor de um

conjunto é a palavra “coleção”. O que é uma coleção? É claro que podemos procurá-la em um

dicionário e encontrar algo como estas definições:

“coleção: um grupo de objetos coletados.”

“grupo: um agregado ou coleção.”

“agregado: uma coleção.”

Tais definições dificilmente nos ajudarão. Quando um matemático dá uma definição,

não é para que seja um mero sinônimo tal como o são “coleção” e “conjunto”, ou uma

definição circular como encontraremos em um dicionário. Aparentemente, Cantor não estava

consciente de que o termo “conjunto” era realmente indefinível.

Para evitar qualquer dificuldade, devemos aceitar os termos “conjunto” e “elemento”

como termos indefinidos, ou primitivos, e guiar estes conceitos primitivos por um número de

axiomas.

Apesar dessas dificuldades relacionadas à definição, a teoria dos conjuntos de Cantor

já penetrou em todos os ramos da matemática moderna e provou ser de importância particular

nos fundamentos da análise moderna e da topologia. Na verdade, mesmo os mais simples e

bem construídos sistemas axiomáticos da teoria dos conjuntos são inteiramente adequados

para a construção de virtualmente toda a matemática clássica (a teoria dos números reais e

complexos, álgebra, topologia, etc.).

Conforme já mencionado, o que é um conjunto é uma questão difícil de se responder.

Não pretendemos aqui entrar em nenhuma abordagem axiomática complicada da Teoria dos

Conjunto. Neste material, consideraremos a definição intuitiva dada primeiramente por Georg

Cantor (1845 – 1918) que considera um conjunto como qualquer coleção dentro de um todo

EaD•UFMS12 INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL

5

de objetos definidos e distinguíveis, chamados elementos, de nossa intuição ou pensamento..

Destacamos os seguintes exemplos:

(a) O conjunto de todas as cadeiras existentes no prédio, destinado para funcionar o

Curso de Matemática;

(b) O conjunto de todas as carteiras na sala aula de número 612, onde ocorrem as

aulas de Análise Real, neste semestre;

(c) O conjunto de todas as salas existentes no prédio, destinado para funcionar o

Curso de Matemática;

(d) O conjunto de todos os estudantes desta universidade;

(e) O conjunto das letras a, b, c e d;

(f) O conjunto das regras de uso do laboratório de informática;

Os conjuntos são frequentemente designados delimitando com chaves os símbolos que

representam seus elementos, quando for possível fazê-lo. Assim, o conjunto no Exemplo (e),

dado na introdução, pode ser representado por {a, b, c, d}. Usaremos letras maiúsculas para

denotar conjuntos, e letras minúsculas para denotar seus elementos. Se a é um elemento de

um conjunto A, escrevemos a A (leia-se: “a é um elemento de A" ou “ a pertence a A"),

enquanto que a A significa que a não é elemento de A.

Definição 1. 1. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que está contido em , ou que

é subconjunto de e denotamos por se e somente se, todo elemento de A também

é elemento de B. Simbolicamente, temos que . Com base na definição acima, podemos concluir que todo conjunto é sempre subconjunto de si mesmo? Definição 1. 2. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que é igual e denotamos por

se, e somente se, e Simbolicamente, equivale a dizer que

.

A ordem em que aparecem os elementos num conjunto não tem importância. Assim, o

conjunto {a; b; c} é o mesmo que {b; c; a}, etc. Além disso, como os elementos de um

conjunto são distintos, a notação {a; a; b}, por exemplo, não é apropriada para designar um

conjunto, e deveria ser substituída por {a; b}. Se a é um elemento de um conjunto, a e {a} são

2. Conjuntos

Conjuntos e FunçõesEaD•UFMS 13

6

considerados diferentes, isto é, a {a}. Pois {a} denota o conjunto que contém o elemento a

somente, enquanto que a é apenas o elemento do conjunto {a}.

Quando e A B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B. Em outras

palavras, A é um subconjunto próprio de B quando todo elemento de A é um elemento de B,

mas existe pelo menos um elemento de B que não é elemento de A. Se A não é subconjunto

de B, escrevemos A B.

Definição 1. 3. Chamamos conjunto vazio, o conjunto que não possui elemento e

denotamos por ou { }

O conjunto é um subconjunto de qualquer conjunto.

Demonstração. Se A é um conjunto qualquer, então temos apenas duas possibilidades A ou A. Porém, se A, então existiria x tal que x A, o que seria uma contradição, uma vez que o conjunto não possui elementos. Logo, a primeira possibilidade, A, é verdadeira. Definição 1. 4. Se A B e B C então A C.

Demonstração. Demonstraremos que para todo x A temos que x C. Se x A então x

B pois A B e como B C então x C. Portanto mostramos que A C.

Definição 1. 5. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto união de e , denotada por

A B, é formado por todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos A e B.

Simbolicamente, { }

Definição 1. 6. Dados dois conjuntos A e B, o conjunto interseção de e , denotada

por , é formado por todos os elementos que estão em A e em B. Simbolicamente,

{ }

Definição 1. 7. Dados dois conjuntos A e B, a diferença de um conjunto em relação

ao conjunto , denotada por é formado por todos os elementos que estão em A e

que não pertencem a B. Simbolicamente, { }

Proposição 1.1.

Definição 1.4.

Definição 1.5.

Definição 1.6.


7

Quando lidamos com subconjuntos de um mesmo conjunto X, entende-se por complementar

de um conjunto A, indicado pelo símbolo , como sendo o conjunto dos elementos

de X que não estão em A, ou seja: = {x X: x A}.

Definição 1. 8. Dados dois elementos e , o par ordenado de e denotado por

( com primeira coordenada e a segunda coordenada é o conjunto ( {{ } { }}

Observação: Observe que ( {{ } { }} {{ } { }} ( . Convém ressaltar,

que ordem neste caso tem importância, daí o significado do nome par ordenado. No par

ordenado a primeira coordenada é chamada abscissa e a segunda ordenada.

Proposição 1. 1 : Sejam dois elementos e ( ( e

Demonstração. Seja A um conjunto qualquer. Provaremos

( Suponha ( ( Segue da definição que: {{ } { }} {{ } { }}. Desta

forma temos duas considerações a fazer, ou seja, { } { } e { } { } ou

{ } { } e { } { } Do primeiro caso concluímos que e Do segundo caso

concluímos que e Logo, Portanto, e como queríamos demonstrar.

( Reciprocamente, suponha e e observe:

e { } { } e { } { } { } { } { } { } { } { } Portanto, ( (

Definição 1. 9. Dados dois conjuntos e quaisquer, o produto cartesiano de e

denotado por é o conjunto

{( } Segue da definição que ( ou

Observação: Considere um conjunto qualquer e o conjunto . Temos que ou seja, é o conjunto dos pares ordenados ( tal que e Como por

definição, o vazio é conjunto não contém nenhum elemento, então neste caso, não existe

consequentemente não existe nenhum par ( Portanto Analogamente,

:Considere { } e { } Exemplo 1. 1

Definição 1.7.

Definição 1.8.

Proposição 1.2.


8

{( ( ( ( ( ( } e

{( ( ( ( ( ( } Observe que, em geral

Proposição 1. 2 : Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então ( ( ( Demonstração: De fato, seja ( ( ( ( e e e ( e ( ( ( (

Sejam { } e { } Determine os conjuntos Exemplo 1. 2

e .

Solução: e { }


e .

Solução: { ou } e { } { }

Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 4

conjuntos e Solução { } e { }

Sejam { } e { } Determine os Exemplo 1. 5

conjuntos e Solução: Neste caso, { } e { } Logo, { } e { }


e Solução: Neste caso, ] [ ] [ e ] [ ] [ Logo,

] [ ] [ e ] [ ] [


e Solução: ] ] [ [ e ] ] [ [

Proposição 1.3.


9


e Solução: ( ] ] [ [ { √ √ } e ] √ ] [ √ [

Sejam { } e { { } { } { }} Determine as partes de e as Exemplo 1. 9

partes de , ou seja, ( e ( . Solução:

( { { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }}

( { { } { } {{ }} {{ }} {{ }} { } { { }} { { }} { { }} { { }}

{ { }} { { }} {{ } { }} {{ } { }} {{ } { }} { { }} { { }} { { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }} {{ } { } { }} { { } { }} { { } { }} { { } { }}

{ { } { } { }} { { } { } { }} { { } { } { }}}.

Sejam e conjuntos. Prove que, se e , então Exemplo 1. 10

Solução: Hipótese: e Tese: . Segue da definição que: e ( ) e ( Seja

( Neste caso, e e daí e Portanto,

: Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 11

Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa.

Solução: A proposição é falsa. Para verificar este fato, considere { } { } e

{ } Neste caso, temos que { } e { }. Logo e .

Sejam e conjuntos quaisquer. Se então Exemplo 1. 12

Prove esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa.

Solução: A proposição é falsa, para verificar este fato, considere { } { } e

{ } Neste caso, temos que { } e { }. Logo e

.


10

Se { } e { }, então Prove Exemplo 1. 13

esta proposição, caso seja verdadeira, ou dê um contraexemplo, caso seja falsa.

Solução: A proposição é verdadeira, para verificar este fato, considere arbitrário

provaremos que . Observe que:

; Podemos escrever: ( e Portanto

Exercícios Propostos

1) Prove que A B = B A.

2) Prove que A (B C) = (A B) C.

3) Prove que A (B C) = (A B) (A C)

4) Demonstre que o conjunto de letras da palavra “catarata” e o conjunto de letras da

palavra “catraca” são iguais.

5) Liste todos os subconjuntos do conjunto { - 1; 0; 1}.

6) Demonstre que se A então A = .

7) Demonstre que se A B e B A então A = B.

8) Em cada um dos seguintes itens, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se

for verdadeira, demonstre-a. Se for falsa, dê um contraexemplo.

(a) Se x A e A B então x B.

(b) Se A B e B C então A C.

(c) Se A B e B C então A C.

(d) Se A B e B C então A C.

(e) Se x A e A B então x B.

(f) Se A B e x B então x A.

9). Prove que A (B C) = (A B) (A C)

10). Prove que (A – B) (B – A) = .

11) ( ( ( 12) ( ( (


3. Funções

11

Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra

que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A

é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.”

Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se

imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de

segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja,

( é o conjunto das imagens dos elementos de E por .

Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou

simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens

também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer ( ( .

Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14

em tal que ( ( ( ( é injetora.

Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma

sobrejeção, quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, ( .

Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15

tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora.

Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16

provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, ( .

Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma

aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17

11

Definição 1. 10. Sendo A e B conjuntos quaisquer, uma função f de A em B é uma regra

que associa a cada elemento x de A um único elemento de B denotado por f(x). Neste caso, A

é o domínio de f, B é o contradomínio de f e f(x) é a imagem de x pela função f.”

Definição 1. 11. Seja uma função. O conjunto { ( } chama-se

imagem de f e é denotado por Im(f) ou f(A). Dado um conjunto , chama-se imagem de

segundo e indica-se por ( o subconjunto de B tal que ( { ( }, ou seja,

( é o conjunto das imagens dos elementos de E por .

Definição 1. 12. Seja uma aplicação. Dizemos que é injetora ou

simplesmente que é uma injeção se dois elementos distintos quaisquer de possuem imagens

também distintas. Em símbolos diz-se que é injetora se para quaisquer ( ( .

Exemplo: Sejam os conjuntos { } e { }, a função de Exemplo 1. 14

em tal que ( ( ( ( é injetora.

Definição 1. 13. Seja uma função. Dizemos que é sobrejetora ou que é uma

sobrejeção, quando se verifica a condição de que a ( , ou seja, ( .

Sejam os conjuntos { } e { }, a aplicação de em Exemplo 1. 15

tal que ( ( ( ( ( é sobrejetora.

Observemos que para toda , temos que ( , portanto, basta Exemplo 1. 16

provar que ( para verificar se a aplicação é uma sobrejeção. Ou seja, ( .

Definição 1. 14. Seja uma função. Dizemos é bijetora quando é uma

aplicação injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

A aplicação ( é uma aplicação bijetora, pois: Exemplo 1. 17

Definição 1.9.

Definição 1.10.

Definição 1.11.

Definição 1.12.

Definição 1.13.


12

(i) Sendo , temos que ( ( . Logo é

uma aplicação injetora;

(ii) ( . Logo é uma aplicação

sobrejetora.

Segue de i) e de ii) que é bijetora.

Definição 1. 15. Há muitas aplicações que não são nem injetoras nem sobrejetoras, Por

exemplo, seja ( . Tomando , mas ( ( ,

logo não é injetora, mas também não é sobrejetora, pois , mas tal que

( , já que tal que .

Proposição 1. 3 Se f:A B é uma função bijetora, então para cada y em B, existe um único x

em A tal que f(x) = y. Seja f-1:BA a função definida a partir de f da seguinte forma: para

cada y em B, f-1(y) = x, sendo que x é tal que f(x) = y. A função f definida desta forma,

chama-se inversa de f.”

É possível definir função inversa de qualquer função?

Definição 1. 16. Se e são duas aplicações, chamamos de aplicação

composta de e a aplicação indicada por , que fica definida da seguinte maneira:

( ( ( ) .

Sejam defina e ( e e defina ( . A Exemplo 1. 18

aplicação composta de e : ( ( ( ) ( ( .

Observações:

(i) A função composta de só está definida quando a imagem da está contida

no domínio de , ou seja, ( ( . (ii) A função composta de tem seu domínio igual ao domínio da função , ou

seja, ( ( . (iii) Se e , então existem e mas nem sempre

. O exemplo anterior da definição deixa isto bem claro, pois conforme este

exemplo .

(iv) se f possui inversa, então fof-1(y) = y e f-1of(x) = x, para todo y em B e para todo x em A.

Definição 1.14.

Proposição 1.4.


13

Proposição 1. 4 Se e são aplicações injetoras, então é injetora.

Demonstração: Se são tais que ( ( , então ( ( ) ( ( e, como é injetora por hipótese, ( ( . Por hipótese , também é

injetora, logo e, portanto, é injetora.

Proposição 1. 5 Se e são aplicações sobrejetoras, então é

sobrejetora.

Demonstração: Se , como é sobrejetora, existe tal que ( . Sendo

sobrejetora, existe tal que ( . Logo, temos: ( ( ( ) ( , o

que prova que é sobrejetora.

( Calcule , e . Exemplo 1. 19

a) (

b) (

c) ( ( ) .

Considere a função ( e Exemplo 1. 20

( Calcule , esboce o gráfico de , calcule e esboce o

gráfico de a) ( ( ( ( b) ( ( ( ) ( (

Considere a função ( Prove que é bijetora e Exemplo 1. 21

determine sua inversa.

Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( . Observe que :

( ( Portanto é

injetiva. Agora, provemos que é sobrejetiva . Para isso, seja e considere

Observe que

( ( ) ( ) Portanto é bijetora.

A inversa de é definida por ( .

Proposição 1.5.

Proposição 1.6.


14

Considere a função { } { } definida por ( Prove Exemplo 1. 22

que é bijetora e determine sua inversa.

Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam { } tais que ( ( Desta forma, e com ( ( . Observe que:

{ } ( (

( ( ( (

Portanto, é injetiva.

Agora, provemos que { } { } é sobrejetiva, para isso, dado

{ } considere { } Ressaltamos, que

, leva-nos a

uma contradição, pois, caso isto aconteça em Desta forma, dado { }

considere { } e observe:

( ( ) ( )

( )

Portanto que { } { } é bijetora.

A inversa de { } { } é { } { } definida por

( .

Considere a função definida por ( Prove que é Exemplo 1. 23

bijetora e determine sua inversa.

Provemos primeiramente que é injetiva. Sejam tais que ( ( Observe que:

( ( √ √

Portanto é injetiva.

Agora, provemos que é sobrejetiva. Para isso, dado considere

√ Observe que ( (√ ) (√ ) Desta forma, é

sobrejetiva.

Portanto é bijetora.


15

A inversa de é definida por ( √ .

Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 24

( Obtenha as leis que definem e ( ( ( ( (

Sejam as funções e , definidas por ( e Exemplo 1. 25

( Determinar ( tal que ( De fato,

( ( Portanto, ou

Sejam as funções reais e , definidas por ( e ( Exemplo 1. 26

Obtenha as leis que definem e . ( ( ( ( (


Determinar os valores dos domínios da função que produzem imagens .

Portanto, ou


Obtenha as leis que definem e .

( ( (

( ( ( (


16

Considere a função em definida por ( Qual é a Exemplo 1. 29

lei que define ( ? E ( )? E (

Temos que ( ( ( ( Portanto, (

( ) ( ) ( )

( )

Portanto,

( )

Finalizando,

( ( ( (

( =

= Portanto,

(

Dadas as funções reais definidas por ( e ( Exemplo 1. 30

determinar o valor de de modo que .

( (

Dadas as funções reais definidas por ( e ( , mostre que Exemplo 1. 31

, temos que ( ( , ou seja, Portanto

Considere as funções definidas por ( √ e ( . Exemplo 1. 32

Determinar os domínios das funções e Por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma,

( ( ( ) √ (

√ ( ( . Vamos encontrar Logo, procuramos o conjunto dos tais que ( ou

seja, que satisfazem Portanto, ( ] ] [ [


17

Por outro lado, por definição, segue que ( ( ( ) Desta forma,

( ( ( ) ( ( (√ ) √

( ( √ Portanto, ( [ [

Sejam as funções reais ( e ( ( . Determinar a Exemplo 1. 33

lei que define a função Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma,

( ( ( Assim, ( Portanto,

( . Observe que (

satisfaz:

( ( ( )

Sejam as funções reais ( e ( ( . Exemplo 1. 34

Determinar a lei que define a função Por definição, segue que ( ( ( ( ) Desta forma,

( ( ( ( ) ( Assim, (

(

( Portanto, (

Observe que ( satisfaz:

( ( ( )

Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 35

De fato, por hipótese, , e sabemos que ( Seja ( ( (

Como e temos que Assim, ( e Portanto, (

Sejam e uma função. ( ( Exemplo 1. 36


18

Por hipótese, , e sabemos que ( Seja ( ( e (

Como ( e temos que ( Assim, e ( Portanto,

(

Sejam e uma função. Então Exemplo 1. 37

( ( ( Lembremos que ( ( ( ( ( ( e ( ( ( I) ( ( (

Seja ( ( ( ( ( ou ( Se ( então, existe tal que ( Como então

Portanto, ( Se ( então existe tal que ( Como então

Portanto, (

II) ( ( ( Seja ( ( ( ou

( . Se ( e então ( Portanto, ( ( Se ( e então ( Portanto ( (

Seja ( calcule ({ } ([ [ e Exemplo 1. 38

([ ] .

({ } { ( }

{ } { } ([ [ { ( [ [ } { }

] ] [ [

([ ] { ( [ ]} { ( } [ ]


4. Apêndice: Relações Binárias e Aplicações

19

Definição 1. 17. Sejam e conjuntos quaisquer. Uma Relação Binária de em é

um subconjunto de que indicamos por . Se o par ( pertence a relação , dizemos

que está relacionado com pela relação e denotamos por .

: Dados os conjuntos { } e { }, se então Exemplo 1. 39

{( ( ( ( ( ( ( ( ( }. Qualquer subconjunto de é

uma relação de em . As seguintes relações são exemplos de relações de em :

;

= {( ( ( };

= {( ( ( };

= {( ( ( };

Definição 1. 18. Dada uma relação binária de em , o conjunto definido por

{ } é chamado domínio da relação e é denotado por

( . O conjunto definido por ( { } é chamado

imagem da relação e é denotado por ( .

Considere o conjunto formado por uma família composta de cinco pessoas, na Exemplo 1. 40

qual o pai é , a mãe é e os filhos são e considere a relação “ser mãe de”. O domínio

da relação considerada é ( { } e a imagem da mesma relação é ( { }.

Definição 1. 19. Seja uma relação de em . Chama-se Relação Inversa de , e

denota-se por a seguinte relação de em {( ( }.

Se {( ( }, então {( ( }. Exemplo 1. 41

Definição 1. 20. Se é uma relação de em e se , então, diz-se que a relação

é reflexiva se, para todo .

20

Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42

como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então,

, logo é reflexiva.

Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando

sempre que então

: Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43

e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de .

Portanto, é simétrica.

Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte

condição é satisfeita: , se .

A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44

é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e ,

então, .

Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se tais que se e , então .

Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45

simétrica, pois, para e , se e , então .

Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de

equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva,

simétrica e transitiva.

A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46

, , também, para todo , se e para todo .

Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de

equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é

Definição 1.15.

Definição 1.16.

Definição 1.17.

Definição 1.18.


20

Seja o conjunto de todos os em um plano e a relação definida Exemplo 1. 42

como: “é congruente a”. Como todo quadrado é congruente a si mesmo, então,

, logo é reflexiva.

Definição 1. 21. Uma relação em um conjunto é denominada Simétrica quando

sempre que então

: Seja o conjunto de todos os filhos do sexo masculino de um casal. Se Exemplo 1. 43

e , logo e , se define a relação de irmão entre os elementos de .

Portanto, é simétrica.

Definição 1. 22. Uma relação em um conjunto é chamada transitiva se a seguinte

condição é satisfeita: , se .

A relação sobre o conjunto dos números naturais definida por Exemplo 1. 44

é transitiva, pois, dados três números naturais , temos que se e ,

então, .

Definição 1. 23. Seja uma relação em . Dizemos que é anti-simétrica se tais que se e , então .

Exemplo: A relação sobre , assim definida: é anti-Exemplo 1. 45

simétrica, pois, para e , se e , então .

Definição 1. 24. Uma relação sobre um conjunto não vazio será uma relação de

equivalência sobre se, e somente se, for uma relação que seja ao mesmo tempo reflexiva,

simétrica e transitiva.

A relação de igualdade sobre é uma relação de equivalência, pois para todo Exemplo 1. 46

, , também, para todo , se e para todo .

Definição 1. 25. Seja uma relação de equivalência sobre o conjunto A classe de

equivalência de segundo a relação é um subconjunto de cuja notação é

21

{ }. Portanto, e é formado pelos elementos de tal que está

relacionado com .

Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47

. é uma relação de equivalência em , pois:

(i) . Logo, é reflexiva;

(ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t

satisfaz ( . Logo é simétrica;

(iii) Sejam . Neste caso, . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação

de equivalência.

Observe que

{ } { } { }. É o conjunto dos números

pares.

{ } { } { }. É o conjunto dos

números ímpares.

Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por é chamado conjunto-quociente de por .

Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48

relação de equivalência definida abaixo:

dados ,

. Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência.

Vejamos como fica o conjunto-quociente .

Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o

resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( ou . Concluímos que é uma classe igual a , em que é o resto da divisão de por .

Como { }, vem: { }.

Definição 1.19.

Definição 1.20.

Definição 1.21.

Definição 1.22.

Definição 1.23.


21

{ }. Portanto, e é formado pelos elementos de tal que está

relacionado com .

Seja a relação binária em definida abaixo: dados , Exemplo 1. 47

. é uma relação de equivalência em , pois:

(i) . Logo, é reflexiva;

(ii) Sejam . Neste caso, o inteiro -t

satisfaz ( . Logo é simétrica;

(iii) Sejam . Neste caso, . Ao somarmos estas duas expressões, obtemos ( o que significa que . Logo é transitiva e, portanto, é relação

de equivalência.

Observe que

{ } { } { }. É o conjunto dos números

pares.

{ } { } { }. É o conjunto dos

números ímpares.

Definição 1. 26. O conjunto das classes de equivalência em módulo denotado por é chamado conjunto-quociente de por .

Seja tal que . A relação de congruência módulo em é a Exemplo 1. 48

relação de equivalência definida abaixo:

dados ,

. Prove que R é, de fato, uma relação de equivalência.

Vejamos como fica o conjunto-quociente .

Sendo , efetuemos a divisão euclidiana de por , obtendo o quociente e o

resto . Temos: e . E daí vem . Portanto: ( ou . Concluímos que é uma classe igual a , em que é o resto da divisão de por .

Como { }, vem: { }.

22

Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as

seguintes proposições são equivalentes:

I) ;

;

III) ;

IV) .

Demonstração:

Devemos provar que . I : É decorrente da definição de classe de equivalência.

II : Como , então . Daí, pela simetria de , e, portanto .

III : Por hipótese, , ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que

provar que e . Tomemos . Então e, levando em conta que ,

concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, .

Analogamente se prova que . IV : Como e , os conjuntos e não são vazios. Tomando ,

como , temos que , ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e

e a transitividade de garante, então, que .

Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de

em se, e somente se:

(i) O domínio de , ( é igual a ;

(ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( .

Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de

pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para

indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de

contradomínio de .

Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por

( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer que é o

conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função .

Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49

Definição 1.24.

Proposição 1.7.


22

Proposição 1. 6 Em uma relação de equivalência sobre na qual e as

seguintes proposições são equivalentes:

I) ;

;

III) ;

IV) .

Demonstração:

Devemos provar que . I : É decorrente da definição de classe de equivalência.

II : Como , então . Daí, pela simetria de , e, portanto .

III : Por hipótese, , ou seja, . é simétrica, logo, . Temos que

provar que e . Tomemos . Então e, levando em conta que ,

concluímos pela transitividade de , que . Daí, e, então, .

Analogamente se prova que . IV : Como e , os conjuntos e não são vazios. Tomando ,

como , temos que , ou seja, e . Segue, pela simetria de , que e

e a transitividade de garante, então, que .

Definição 1. 27. Seja uma relação de em . Dizemos que é uma aplicação de

em se, e somente se:

(i) O domínio de , ( é igual a ;

(ii) Dado um elemento ( é único o elemento tal que ( .

Assim, é uma aplicação de em , escrevemos ( onde se lê “ é imagem de

pela ”, com a finalidade de indicar que ( e utiliza-se a notação para

indicar que é uma aplicação de em . Nesta aplicação o conjunto é chamado de

contradomínio de .

Definição 1. 28. Dado , é chamado imagem inversa de , pela , e indicamos por

( , o subconjunto de : ( { ( }, isto quer dizer que é o

conjunto dos elementos de que têm imagem em pela função .

Seja , assim, ( { ( } √ ( . Exemplo 1. 49

Definição 1.25.

Definição 1.26.

CAPÍTULO II

NÚMEROS REAIS

NÚMEROS REAIS

CAPÍTULO IICAPÍTULO 2

Números Reais

Apesar de a noção de número real já existir antes do século XIX, foi em meados desse século

que os matemáticos começaram a sentir necessidade de uma fundamentação rigorosa dos

diferentes sistemas numéricos. É interessante ressaltar que, conforme encontramos na

literatura, a sistematização dos diferentes conjuntos numéricos ocorreu na ordem inversa do

seu desenvolvimento histórico pelo homem, ou seja, enquanto, historicamente, surgiram as

noções de número natural, inteiro, racional, irracional, real e complexo, nesta ordem, a

sistematização matemática desses conjuntos ocorreu da seguinte forma: primeiro foram

organizados os números complexos, depois os números reais, os racionais, os inteiros e

finalmente, os números naturais.

Neste livro não faremos um estudo sistemático dos conjuntos numéricos em questão, mas

vamos abordar os conjuntos dos racionais, irracionais e dos reais resumidamente, trazendo

algumas de suas principais propriedades e resultados. Para estudos mais aprofundados, o

leitor pode recorrer a bibliografia [38]. Nesse trabalho, o autor faz um tratamento completo da

construção do conjunto dos números reais, iniciando pela construção dos números naturais

( a partir de três axiomas, conhecidos como axiomas de Peano. Em seguida, inicia a

construção do conjunto dos inteiros, dos racionais e dos reais.

Usaremos as seguintes notações:

{ }, para o conjunto dos números naturais.

{ }, para o conjunto

dos números inteiros.

{ }, para o conjunto dos números racionais.

Apesar de as frações serem consideradas apenas como uma das representações dos números

racionais, na Educação Básica elas passam a ser consideradas como um conteúdo a ser

ensinado e, por isso, o conjunto dos números racionais passa a ser definido, nesse nível de

ensino, como sendo o “conjunto das frações”.

Neste livro, iremos verificar propriedades matemáticas que justificam as afirmações que são

feitas, na Educação Básica, para o “conjunto das frações”. Vamos iniciar com as frações do

tipo , sendo . Tais números racionais são identificados com o número inteiro e,

com um certo abuso de linguagem, dizemos que é um subconjunto de , ou seja,

41


2

Quando aprendemos a operar com as frações, a rigor, o que fazíamos era definir operações de

adição e multiplicação, que escreveremos a seguir, que são casos mais gerais da adição e da

multiplicação de números inteiros.

Para quaisquer definimos:

; (1)

(2)

Na Educação Básica, aprendemos a somar duas frações de denominadores diferentes por meio

do cálculo do mínimo múltiplo comum (mmc). Quando calculamos mmc dos denominadores

e efetuamos o procedimento do “divide pelo numerador e multiplica pelo numerador”,

estamos, na verdade, escrevendo os dois números racionais que estão sendo somados sob a

forma de duas outras frações, equivalentes às duas frações iniciais, mas de denominadores

comuns. Esse processo é equivalente à definição (1), uma vez que, aos efetuarmos as

operações indicadas, estamos reescrevendo e por meio de duas frações equivalentes, e

respectivamente.

Observe que, pelas definições (1) e (2), quando temos, temos as operações de

adição e multiplicação de números inteiros, ou seja,

No conjunto dos números racionais, com a soma e a multiplicação definida em (1) e (2), são

verdadeiras as seguintes propriedades:

,

1. Propriedade comutativa da adição e da multiplicação,

respectivamente: p. ex,

e

2. ( ( ( Propriedade associativa da adição e da

multiplicação, respectivamente: p. ex, ( )

(

) e (

)

(

)

3. Existe um elemento tal que Existência do elemento neutro da

adição;

Números ReaisEaD•UFMS 35

3

4. Existe um elemento tal que Existência do elemento neutro da

multiplicação;

5. Dado existe tal que ( Existência do inverso aditivo;

6. Dado existe tal que Existência do

inverso multiplicativo;

7. ( Propriedade distributiva: p. ex: ( )

Podemos associar os números racionais com pontos de uma reta . Para isso,

escolhemos dois pontos dessa reta para associar os racionais 0 e 1. Os números inteiros são

marcados facilmente se usarmos o segmento de extremidades 0 e 1 como sendo a unidade,

marcando os positivos à direita de 0 e os negativos à esquerda de 0.

Os racionais são obtidos por subdivisões adequadas do segmento unidade. Por

exemplo, dados dois segmentos retilíneos AB e CD, dizer que a razão é o número

racional , significa que existe um terceiro segmento EF tal que EF “caiba” p vezes em AB

e que EF “caiba” q vezes em CD. Vamos ilustrar a situação para o caso em que p = 8 e q = 5:

ABCD

pq

85

ABCD

D

B

C

A

E FE

O

0

-3 -2 -1 1 20u u u u u

u 1 2


4

De acordo com a figura anterior, os segmentos AB e CD podem ser subdivididos em

segmentos de tamanho EF. Assim, pode-se verificar que o segmento EF “cabe” oito vezem

em AB e que o segmento EF “cabe” cinco vezes em CD. Assim, podemos dizer que AB está

para CD assim como oito está para cinco, ou seja, .

Observe que AB e CD são segmentos, não números. É por isso que “razão” não é o

mesmo que “fração”. Os gregos não usavam “frações”, apenas “razões”; e não escreviam

para indicar a razão de dois segmentos. Mesmo nos dias de hoje costuma-se escrever AB

: CD = p : q, e dizer “AB está para CD assim como p está para q”

No tempo de Pitágoras (580-500 a. C. aproximadamente) – e mesmo durante boa parte

do século V a. C. – pensava-se que dados dois segmentos quaisquer, AB e CD, seria sempre

possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro de vezes em AB e

outro número inteiro de vezes em CD, situação esta que descrevemos dizendo que EF é um

submúltiplo comum de AB e CD.

Uma simples reflexão revela que essa é uma ideia muito razoável; afinal se algum

segmento EF não servir, podemos imaginar um segmento menor, outro menor ainda, e assim

por diante.

Nossa intuição geométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento EF,

talvez muito pequeno, mas que satisfaz aos propósitos desejados. Você deve ir muito além,

imaginando um segmento EF tão pequeno que nem se possa mais desenhar, para se

convencer, pela sua intuição geométrica, da possibilidade de sempre encontrar um

submúltiplo comum de AB e CD.

Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível

medi-los ao mesmo tempo, com a mesma unidade EF.

Para representar os números racionais, podemos utilizar a escala orientada que

definimos. Se desejarmos representar um racional, cujo denominador é b, devemos dividir

cada segmento de comprimento unitário em b partes iguais. Por exemplo, se b=3,

representamos todos os racionais cujo denominador é 3. Se procedermos com esta construção

para todo valor de b, todos os números racionais se acharão representados por um ponto na

reta. Reciprocamente, a cada ponto da reta estaremos correspondendo uma classe de racionais

equivalentes, por exemplo,

Observe que dado um ponto qualquer da

reta, podemos obter racionais tão perto dele quanto se queira, bastando tomar subdivisões

cada vez mais finas da unidade.

O conjunto dos números racionais tem ordem total compatível com as operações

definidas em (1) e (2). Este ordem é uma extensão da ordem natural dos inteiros, em que a

85

ABCD

ABCD


5

diferença entre dois inteiros consecutivos é sempre igual a 1, daí cada racional fica entre dois

inteiros consecutivos. A ordem natural dos inteiros:

.

Usamos a seguinte notação para comparar dois números racionais ou Proposição 2. 1 Cada racional fica entre dois inteiros

consecutivos.

Demonstração:

Considere o Algoritmo da Divisão para os inteiros Segue do

algoritmo da divisão que existem únicos inteiros tais que . Observe que: que

e

Assim, se n > 0, então Portanto, está entre os inteiros

consecutivos Se n < 0, então , ou seja, . Logo,

Portanto, está entre os inteiros consecutivos .

Por mais que existam infinitos números racionais entre quaisquer dois outros

racionais, esses números não cobrem toda a reta, ou seja, nem todo ponto P da reta

corresponde a um racional. A existência de pontos P da reta que não são relacionados a

números racionais já era conhecida pelos matemáticos da Escola Pitagórica. Apesar de a

interpretação geométrica e o apelo à intuição sugerirem que sempre dois segmentos são

comensuráveis, existem segmentos que não podem ser medidos com a mesma unidade de

medida. Esses fatos caracterizam um novo tipo de número, o qual denominamos número

irracional.

A origem histórica da necessidade da construção dos números irracionais está

relacionada a dificuldades de natureza geométrica e aritmética. Como fazer para dar a medida

da hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujos catetos têm uma unidade de medida?

O Teorema de Pitágoras nos garante que sendo a hipotenusa e e os

catetos de mesma medida. Em particular, se então e denotamos a

medida deste segmento √ O ponto P da reta, correspondente a é obtido traçando a


6

circunferência centrada em 0 e raio igual a hipotenusa e esse número não corresponde a um

racional.

Definição 2. 1. Sejam inteiros, tal que Dizemos a fração é

irredutível se o ( . Caso contrário, diremos que a fração é redutível.

Lembre que ( é o maior divisor positivo comum de e .

Proposição 2. 2

{ ( }

Demonstração:

Claro que { ( } . Agora seja

Então podemos supor com , pois ( é o maior divisor comum

positivo de e , e daí ( ( ( (

Se ( então { ( }

Se ( com então e com Logo

e ( Portanto

{ ( }

Proposição 2. 3 Seja , tal que é fator de . Prove que é fator de .

Proposição 2. 4 A hipotenusa √ de um triângulo retângulo de catetos com medida 1

unidade não é um número racional.

A Proposição 2.4 nos garante que existem pontos da reta que não correspondem a elementos

de e daí constatamos uma deficiência no conjunto dos números racionais. Dessa forma,

vamos descrever um conjunto numérico mais amplo que o conjunto dos números racionais e

cujos elementos estejam em correspondência bijetora com os pontos da reta. O conjunto neste

caso, é conjunto dos números reais, denotado por e formados pelos números racionais e

não racionais.


7

Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são


Dados ,

1. 2. ( ( ( (

3. Existência do neutro: existe um número real denotado por tal que

4. Existência da unidade: existe um número real denotado por tal que

5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que (

6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe tal que

7. ( 8. Para quaisquer, , temos que:

e e e e e 0 e e z qualquer

2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – Assim, por definição:

{ } A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de

medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos

como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real

como sendo { Assim, para todo x real, e

2.1 Módulo de um Número Real

7

Assim como no conjunto dos números racionais, no conjunto dos números reais, são


Dados ,

1. 2. ( ( ( (

3. Existência do neutro: existe um número real denotado por tal que

4. Existência da unidade: existe um número real denotado por tal que

5. Existência do inverso aditivo: para cada existe tal que (

6. Existência do inverso multiplicativo: se , então existe tal que

7. ( 8. Para quaisquer, , temos que:

e e e e e 0 e e z qualquer

2.1. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

Sendo chamamos módulo de e denotamos por ao maior dos números e – Assim, por definição:

{ } A interpretação geométrica do módulo do número real na reta real (em certa unidade de

medida) traduz a distância do ponto correspondente à origem do referencial, que adotamos

como sendo o número 0. A ordem nos permite reescrever o valor absoluto do número real

como sendo { Assim, para todo x real, e


8

Figura 2.1 – Representação geométrica de |x|

O módulo de números reais satisfaz as seguintes propriedades: Para todo 1. ( 2. 3.

A partir dessas, podem ser obtidas as seguintes propriedades:

1. 2. 3. 4. 5.

6. | |

7. | |

8. 9. 10. 11. 12. 13. √

Usaremos as notações abaixo para representar subconjuntos especiais dos números reais.

Dados com , definimos o intervalo de extremos aos seguintes

subconjuntos da reta :

0

0

| x | = x

| x | = - x

x

x


9

( ] [ { }

[ [ [ { }

( ] ] ] { }

[ ] { };

O conjunto { } é a semirreta positiva e o conjunto { } é a semirreta negativa. Em geral, uma semirreta é um conjunto de

uma das seguintes formas: Dados ( ] [ { }

[ [ [ { }

( ] [ { }

( ] ] ] { }

Os intervalos podem ser descritos por meio de valor absoluto, por exemplo:

( { } [ ] { };

Em geral, se com então:

( { } [ ] { }; ( { } [ ] { }.

a

a

a

a

a

a

b

b

b

b

b

b


10

Exemplo 2. 1. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, cuja a distância a 1 é

menor ou igual a 4.

Primeiramente vamos descrever uma expressão para o conjunto pedido. Ou seja, dado

queremos que Assim,

[ ] { } Geometricamente, temos

Exemplo 2. 2. Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por

{ }

Temos que encontrar e ou seja, e , pois x > 0, já que

. Assim, [ [ {

} Geometricamente, temos


1) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por

{ }; 2) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por

{ } 3) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por

{ }; 4) ) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definido por

{ ( ( ( };

5) Dados se mostre que

6) Mostre que quaisquer que sejam

-3

1/2

5

1


11

7) Dados tais que e Mostre que √ Quando é que as

médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre

este fato?


{ }


{ }

2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS

Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou

limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo,

é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior,

respectivamente.

Exemplo 2. 3. a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente,

enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado

superiormente, mas não inferiormente.

b) O conjunto dos números reais x tais que x 2 10 é limitado, tanto à direita como à

esquerda, isto é:

={x R: x 2 10} = { x R: x }.

Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do

conjunto.

Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é

limitado superiormente e inferiormente.

Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um

elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto

.

10, 10 10 10

10

11

7) Dados tais que e Mostre que √ Quando é que as

médias aritméticas e geométricas são iguais? O que podemos dizer geometricamente sobre

este fato?


{ }


{ }

2.2 SUPREMO E ÍNFIMO EM CONJUNTOS DE NÚMEROS REAIS

Definição 2. 2. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado à direita ou

limitado superiormente se existe um número tal que Do mesmo modo,

é limitado à esquerda ou limitado inferiormente se existe um número tal que . Os números e são chamados de cotas do conjunto C, superior e inferior,

respectivamente.

Exemplo 2. 3. a) O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente, mas não superiormente,

enquanto que o conjunto dos números racionais menores do que 8 é limitado

superiormente, mas não inferiormente.

b) O conjunto dos números reais x tais que x 2 10 é limitado, tanto à direita como à

esquerda, isto é:

={x R: x 2 10} = { x R: x }.

Neste caso, é cota inferior do conjunto e √ é cota superior do

conjunto.

Definição 2. 3. Diz-se que um conjunto de números reais é limitado, quando é

limitado superiormente e inferiormente.

Definição 2. 4. Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um

elemento que seja o maior de todos. Nesse caso, é chamado o máximo do conjunto

.

10, 10 10 10

10

2.2 Supremo e Ínfimo em conjuntos de Números Reais


12

Exemplo 2. 4.

a) O conjunto dos números racionais x tais que x 10 tem 10 como máximo;

b) O conjunto A = não tem máximo, embora seja limitado

superiormente. Observe que . Os elementos desse conjunto são

frações dispostas de maneira crescente: e nenhuma dessas

frações é maior do que todas as outras. Pelo contrário, qualquer delas é superada pela

que vem a seguir, isto é, , .

Além disso, qualquer elemento do conjunto é menor do que o número 1, o qual é,

portanto, uma de suas cotas superiores. Aliás, o 1 é a menor dessas cotas. Desta forma,

ilustramos uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente e, apesar de não ter

máximo, tem cota superior mínima. Isto sugere a seguinte definição:

Definição 2. 5. Chama-se supremo de um conjunto de números reais, à menor de

suas cotas superiores. Ou seja, um número S chama-se supremo de um conjunto se satisfaz

as seguintes condições:

a. b. Se r é cota superior de C, então S é menor ou igual a r.

Notação: Denotamos o supremo de C por

Exemplo 2. 5. Seja X o conjunto formado pelos números racionais x tais que x 10. Neste

caso, e

Axioma: Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado superiormente,

possui supremo.

Definição 2. 6. Chama-se ínfimo de um conjunto de números reais, à maior de suas

cotas inferiores. Ou seja, um número é o ínfimo de um conjunto se satisfaz as seguintes

condições:

a) b) Se t é cota inferior de C, então s é maior ou igual a t

1 2 3, , , ,2 3 4 1

nn

11

nn

1 2 32 3 4 1

nn

11 2

n nn n

...

... ...

nn + 1

nn + 1

12

Exemplo 2. 4.

















caso, e


possui supremo.



condições:


1 2 3, , , ,2 3 4 1

nn

11

nn

1 2 32 3 4 1

nn

11 2

n nn n

e


13

Notação: Denotamos o ínfimo de C por ( .

Exemplo 2. 6. a) O conjunto formados pelos números racionais, x tais que Neste caso,

e

b) Considere o conjunto . Neste caso e

Também existe e Os elementos desse conjunto são

frações dispostas de maneira crescente: ; e nenhuma dessas

frações é maior do que todas as outras, pois 0 < , . Tem-se

também que 1 é a menor das cotas superiores dessas e 0 é a maior das cotas inferiores

Teoremos 2. 1. Todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado

inferiormente, possui ínfimo.

A demonstração deste fato, baseia-se no Axioma fundamental da Análise Matemática.

Observe que se nos restringirmos ao conjunto dos números racionais, então não é verdade que

todo conjunto limitado superiormente tenha supremo ou que todo conjunto limitado

inferiormente tenha ínfimo. Este fato está ligado a inexistência de raízes quadradas racionais

de certos números inteiros, dentre outras razões. Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 2. 7. Considere { }. Vamos provar que o conjunto

não tem ínfimo em Para isso, vamos considerar o conjunto { }. Como não existe

racional r tal que dado um racional positivo temos que ou .

P1: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que

De fato, tomemos um racional p tal que e ( )( . Neste caso, (

( . Como e daí ( ( Portanto, implica na existência de 0 < tal que

1 2 30, , , , , ,...2 3 4 1

nn

1 2 32 3 4 1

nn

11 2

n nn n

...

... ...

nn + 1

nn + 1

12

Exemplo 2. 4.

















caso, e


possui supremo.



condições:


123 ,,,,2341

nn

11

nn

1232341

nn

112

nnnn

...

...


14

P2: Se então existe um racional p entre zero e 1 tal que .

De fato, tomemos um racional tal que e ( ) Neste caso,

, ou seja, . Logo, ( Portanto,

implica na existência de 0 < tal que

Temos que ] [ . Suponhamos, por absurdo, que existe ( Então

Segue da P2, Desta forma, Se então existe um racional tal que e Como temos que é cota inferior para e este fato contradiz a hipótese de (

Proposição 2. 5 O conjunto dos números reais não é limitado superiormente

Demonstração:

Suponhamos, por absurdo, que o conjunto dos números naturais seja limitado

superiormente. Como existe tal que Logo, não é cota

superior de Consequentemente, existe tal que ou seja, o que

é absurdo, pois é natural e

Proposição 2. 6 Prove que o conjunto { √ } de números reais não é

limitado superiormente.

Demonstração:

Suponhamos, por absurdo, que o conjunto seja limitado superiormente. Como existe tal que Logo, √ não é cota superior de Consequentemente, existe tal que √ ou seja, √ Observe que √ , para algum , e daí √ √ √ ( √

Absurdo, pois √ e

Proposição 2. 7 Mostre que dado um real existe um inteiro positivo tal

que

Demonstração:

Como . Segue da proposição 2.5 que existe tal que ou seja,


15

Proposição 2. 8 Mostre que dados dois números reais com existe um

inteiro positivo tal que .

Demonstração: Como Segue da proposição 2.7 que existe tal que

ou seja,

Proposição 2. 9 Em qualquer intervalo ] [ existe pelo menos um número

racional.

Demonstração: Sejam com Vamos verificar o caso em que

Considere Temos que existem e tais que e

.

Tome { } e observe que e

Aplicando a proposição 2.8 para os números reais e , concluímos que existe tal

que Logo, . Como (ou seja, mb > 2), Seja

{ } . Temos que

e ou seja,

Provemos que Suponhamos, por

absurdo, que Daí,

e

isto contradiz o fato de que . Portanto, Em outras palavras, existe o número

racional tal que

No caso em que , temos que e vamos aplicar a primeira parte da demonstração ao

intervalo ] [ , pois, neste caso, Pelo que vimos, existe um racional q tal que

– . Logo, -q é um número racional tal que , ou seja, no caso em que

, também existe pelo menos um número racional no intervalo ] [.

Proposição 2. 10 Em qualquer intervalo ] [ existe pelo menos um número

irracional.

Demonstração: Sejam com Vamos verificar o caso em que Considere e { √ }. Segue da proposição 2.9 que existem

e tais que e

. Tome { } e observe que

,

e √ para algum

Aplicando a proposição 2.8 para os números reais e , concluímos que existe tal

que Como então Seja { } . Temos


17

([ ] .

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e

isto contradiz o fato de que . Portanto, , e daí, Provemos que

é irracional.

Suponhamos, por absurdo, que , onde é racional. Daí com

Logo, , ou seja, √ e daí √ (

. Portanto, √ é racional, o que é uma

contradição.

Proposição 2. 11 Em qualquer intervalo ] [ ( ] [ e

( ] [ Demonstração:

i) ( ] [ É claro que é cota inferior de ] [ Provemos que é a maior das

cotas inferiores. Para isso, provemos que para todo tal que não é cota

inferior de ] [ Se então para todo ] [

Se então tomando ] [

ii) ( ] [ É claro que é cota superior ] [ Provemos que é a menor das

cotas superiores. Para isso, provemos que para todo tal que não é cota

superior de ] [ Se então para todo ] [



Exercício 1: Prove que o conjunto { √ } de números reais não é


Exercício 2: Em qualquer intervalo ] ] prove que ( ] ] e

(] ] .

Exercício 3: Em qualquer intervalo [ [ prove que [ [ e

([ [ .

Exercício 4: Em qualquer intervalo [ ] prove que ([ ] e

CAPÍTULO III

SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

SEQUÊNCIAS E SÉRIES DE NÚMEROS REAIS

CAPÍTULO III

Abordaremos, neste Capítulo, os temas sequências e séries de números reais, que são

de grande importância na Matemática, por possibilitar modelar matematicamente alguns

processos discretos e infinitos.

O interesse na determinação de expressões matemáticas para os valores de irracionais

como e 2 , por exemplo, datam de muitos anos. Uma antiga placa de barro continha listas

de aproximações para raízes quadradas. Mais tarde, Ptolomeu calculou uma tabela de valores

trigonométricos para serem usados em Astronomia. Mais recentemente, foram calculadas

tabelas de trigonometria, logaritmos e exponenciais e estas podem ser encontradas como

apêndices de livros de matemática e ciência. Apesar de hoje essas tabelas estarem superadas

pelas calculadoras e computadores, podemos nos perguntar como as calculadoras e os

computadores determinam valores como esses, o que pode ser feito pelo estudo de sequências

e séries de números reais. Além disso, esses conceitos possuem muitas outras aplicações na

matemática pura e aplicada

Ambos os assuntos, aqui tratados, necessitam de diversos conceitos do Cálculo

Diferencial e Integral I, como função, limite, derivada e integral em uma variável real. Assim,

sempre que preciso, recorra ao livro de Cálculo para relembrar alguns conceitos.

Utilizaremos, aqui, o conjunto dos números naturais, , para definir uma sequência

de números reais, para tanto assumiremos o seguinte conjunto, 1,2,3, .

3.1 Introdução

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


= {1, 2, 3, ... n, ...}.


3.2 Definições e Propriedades

2

Consideremos o exemplo de uma partícula A, em movimento, partindo de um ponto

sobre uma reta de modo que a partícula A descreva uma trajetória, no sentido horário do

seguinte forma:

Partindo do ponto a partícula descreve uma semicircunferência de raio e

centro ;

A partir do ponto descreva uma semicircunferência de raio , cuja

extremidade recai no ponto , sobre a reta, que coincide com o ponto A partir do ponto , a partícula descreve uma semicircunferência de raio

= , cuja extremidade recai no ponto .

A curva é obtida repetindo estes passos indefinidamente, sendo o raio da

ésima semicircunferência para As três primeiras

etapas estão representadas na figura [veja, 19], a seguir:

Qual é o ponto sobre a reta, do qual a partícula se aproxima com o passar do tempo? Observe

que podemos definir uma função, cujo domínio é conjunto dos números naturais, a saber, o

tempo e o contradomínio é o conjunto dos números reais e os valores que a função assume

são: ,

, sendo e estes valores descrevem a trajetória da partícula

(BISOGNIN, FERREIRA, & BISOGNIN, 2007).

Definição 3. 1. Uma sequência numérica a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . é uma função f,

definida no conjunto dos números naturais N: f : n f (n) = an. O número n que aí aparece é

chamado o índice e an , o n-ésimo elemento da sequência, ou o termo geral da sequência.

P0

R1R

P1P3P4R2

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


Sequências e Séries de Números ReaisEaD•UFMS 53

3

, onde é um número real positivo. Temos f : N Exemplo 3. 1

, ou seja

a sequência é: (

). Esta sequência descreve a trajetória de uma partícula

A, em movimento, partindo de um ponto sobre uma reta.

an = n. Temos f : N an = n, ou seja a sequência é: (1, 2, 3, 4, . . . ). Exemplo 3. 2

an = 2n; Exemplo 3. 3 Temos f : N an = 2n, ou seja a sequência é: (2, 4, 6, 8, . . . )

an = 2n +1 ; Temos f : N an = 2n+1, ou seja a sequência é: (3, 5, 7, 9, . . . ) Exemplo 3. 4

an = 1n

Exemplo 3. 5

Temos f : N an = 1n

, ou seja a sequência é: 1 11, , ,2 3

.

an = 1

12n Exemplo 3. 6

Temos f : N an = 1

12n , ou seja a sequência é: 1 1 1 11, , , , , ,...

2 4 8 2n .

an = 12n Exemplo 3. 7

Temos f : N an = 12n , ou seja a sequência é: 1,2,4,8, ,2 ,...n

.

Seja e considere Exemplo 3. 8

Temos f : N an = , ou seja a sequência é: , , , , , ,...c c c c c.


Temos f : N an = , ou seja a sequência é: 1, 1,1, 1, , ( 1) ,...n .

Nem sempre o termo geral de uma sequência é dado por uma fórmula, é esse o Exemplo 3. 10

caso da sequência infinita das aproximações decimais por falta de 2 , que formam a

sequência infinita: (1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ; 1,41421 ; 1,414213 ; ...). Outro exemplo é a

sequência dos números primos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, . . ).

Notação: A notação (an) é muito usada para designar uma sequência. Também se escreve:

(an )n N ou (a1 , a2 , a3 , . . .) ou simplesmente an. Convém observar: - existe uma

diferença entre o conjunto dos elementos que formam a sequência an que é representada por

{an } e a sequência (an ). Por exemplo a sequência (an ) = (1, -1, 1, -1, 1, -1, . . .) é infinita e

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


-1 ,

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


... , ...1n'

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


12n - 1

2n - 1

, ......

... , , ...

... , , ...

... , , ...

3


, ou seja

a sequência é: (




an = 2n; Exemplo 3. 3Temos f : N an = 2n, ou seja a sequência é: (2, 4, 6, 8, . . . )


an = 1n

Exemplo 3. 5

Temos f : N an = 1n

, ou seja a sequência é: 11 1,,,23

.

an =1

12

n Exemplo 3. 6

Temos f : N an = 1

12

n, ou seja a sequência é: 1111 1,,,,,,...2482

n.

an =1

2n

Exemplo 3. 7

Temos f : N an = 1

2n

, ou seja a sequência é: 1,2,4,8,,2,...n

.


Temos f : N an = , ou seja a sequência é: ,,,,,,... ccccc.


Temos f : N an = , ou seja a sequência é: 1,1,1,1,,(1),...n

.


caso da sequência infinita das aproximações decimais por falta de 2, que formam a



Notação:A notação (an) é muito usada para designar uma sequência. Também se escreve:




3


, ou seja

a sequência é: (






an = 1n

Exemplo 3. 5

Temos f : N an = 1n


.

an =1

12

n Exemplo 3. 6

Temos f : N an = 1

12


n.

an =1

2n

Exemplo 3. 7

Temos f : N an = 1

2n


.





.









3


, ou seja

a sequência é: (






an = 1n

Exemplo 3. 5

Temos f : N an = 1n


.

an =1

12

n Exemplo 3. 6

Temos f : N an = 1

12


n.

an =1

2n

Exemplo 3. 7

Temos f : N an = 1

2n


.





.









c

(- 1)n

Revisao do livro introducao a Analise Real.

Capıtulo 2 e 3

1) Na pagina 37 do capıtulo de numeros reais a proposicao 2.1 esta duplicada. Elimineda proposicao 2.1 da pagina 33 ate pagina 38, onde aparece a proposicao 2.1, novamenterepete outros textos;

2) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.1 na primeira linha

f : N → R, Rn =R

2n−1

3) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.2 na primeira linhaf : N → R, an = n

4) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.3 na primeira linhaf : N → R, an = 2n

5) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.4 na primeira linhaf : N → R, an = 2n + 1


f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1

8) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.7 na primeira linhaf : N → R, an = 2n−1

9) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.8 na primeira linhaf : N → R, an = c

10) Na pagina 55, do capıtulo de sequencias e series, exemplo 3.9 na primeira linhaf : N → R, an = (−1)n−1

11) Na pagina 58, na quarta linha1

n + 1< �

12) Na pagina 59, na penultima linha n > n0 ⇒ |zn − 1| <�

|a|

13) Na pagina 63, na linha 19 nao tem o ponto final entre B − bn → 0 e 1B.bn

1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


4

cada elemento genérico é dado por an = (-1)n+1 mas seu conjunto de valores possui apenas

dois elementos, ou seja, {an } = {-1, 1}.

O interesse principal no estudo de sequências são as chamadas sequências

convergentes. Em termos intuitivo, uma sequência (an ) é convergente se, à medida que o

índice n cresce, o elemento an vai se tornando cada vez mais próximo de um certo número L,

que é chamado limite da sequência.

A proximidade entre an e L é medida pelo valor absoluto da diferença entre esses dois

números, isto é, por na L . Portanto, dizer que an vai se tornando arbitrariamente próximo

de L significa dizer que na L torna-se inferior a qualquer número positivo , por menor que

seja, desde que façamos o índice n suficientemente grande.

Definição 3. 2. Dizemos que uma sequência (an) converge para o número L, ou possui

limite L R se, para cada número > 0, existe um número N() N tal que:

n > N na L <

Escreve-se, neste caso, lim nna L

ou lim an = L ou ainda an L. Uma sequência que

não converge é chamada divergente.

Considere a sequência (an ) = 1n

. Temos que an 0, pois dado > 0 basta Exemplo 3. 11

tomarmos N() > 1

e teremos que para todo n > N() > 1

tem-se 1 10n n



tomarmos N() > 1


tem-se 1 10n n

OBSERVAÇÃO: Quando dizemos “dado qualquer > 0”, está implícito que este pode ser

arbitrariamente pequeno, ou seja, tão pequeno quanto quisermos. E se a condição da definição

de convergência for satisfeita para um certo = o , estará satisfeita para qualquer > o ;

portanto, basta prová-la para todo positivo, menor do que um certo o , como muitas vezes

se faz, para que ela fique provada para qualquer > 0.

3.3 Limite de uma sequência

16

que e ou seja,


absurdo, que Daí,

e


é irracional.




contradição.















(] ] .


([ [ .


4

cada elemento genérico é dado por an = (-1)n+1 mas seu conjunto de valores possui apenas

dois elementos, ou seja, {an } = {-1, 1}.

O interesse principal no estudo de sequências são as chamadas sequências

convergentes. Em termos intuitivo, uma sequência (an ) é convergente se, à medida que o

índice n cresce, o elemento an vai se tornando cada vez mais próximo de um certo número L,

que é chamado limite da sequência.

A proximidade entre an e L é medida pelo valor absoluto da diferença entre esses dois

números, isto é, por na L . Portanto, dizer que an vai se tornando arbitrariamente próximo

de L significa dizer que na L torna-se inferior a qualquer número positivo , por menor que

seja, desde que façamos o índice n suficientemente grande.

Definição 3. 2. Dizemos que uma sequência (an) converge para o número L, ou possui

limite L R se, para cada número > 0, existe um número N() N tal que:

n > N na L <

Escreve-se, neste caso, lim nna L

ou lim an = L ou ainda an L. Uma sequência que

não converge é chamada divergente.



tomarmos N() > 1


tem-se 1 10n n



tomarmos N() > 1


tem-se 1 10n n

OBSERVAÇÃO: Quando dizemos “dado qualquer > 0”, está implícito que este pode ser

arbitrariamente pequeno, ou seja, tão pequeno quanto quisermos. E se a condição da definição

de convergência for satisfeita para um certo = o , estará satisfeita para qualquer > o ;

portanto, basta prová-la para todo positivo, menor do que um certo o , como muitas vezes

se faz, para que ela fique provada para qualquer > 0.


5

Quanto ao número N, podemos supor que ele é inteiro positivo, ou seja, um índice da

sequência, caso contrário ele poderia ser substituído por qualquer inteiro maior.

Se retirarmos de uma sequência (an) uma quantidade finita de termos, em particular, se

eliminarmos seus k primeiros termos, isso em nada altera o caráter da sequência com n .

Assim, se a sequência original converge para L, ou diverge, a nova sequência (sem os k

primeiros termos) também convergirá para L ou divergirá.

Proposição 3. 1 Seja (an) uma sequência convergente tal an L1 e an L2. Então L1 = L2.

Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que L1L2, e consideremos 1 202

L L

Como an L1 então existe N1() tal que 1 21 2n

L La L

se n > N1(). (1)

Como an L2 então existe N2() tal que 1 22 2n

L La L

se n > N2(). (2)

Se tomarmos N() = max{ N1(),N2()} então temos que valem as condições (1) e (2)

simultaneamente para todo n > N(), e somando membro a membro (1) e (2) teremos que:

1 2 1 2n na L a L L L < 1 2n nL a a L 1 2n na L a L

Ou seja, 1 2 1 2L L L L o que é um absurdo.

Definição 3. 3. Dado um número L qualquer, chama-se vizinhança de L a todos os

números x do intervalo (L - , L + ). Denotaremos esse intervalo com o símbolo V (L).

Observe que: a condição x V (L) pode ser escrita das seguintes maneiras equivalentes:

x V (L) . x L - < x – L < . L - < x < L +

Assim, quando definimos limite de uma sequência , estamos dizendo que:

n > N an V (L).

É importante observar também, na definição de limite de uma sequência, que uma vez dado o

número , esse número permanece fixo; a determinação de N depende do particular que se

considere, de forma que, mudando-se o , deve-se, em geral, mudar também o número N. Em

outras palavras, o valor de pode ser dado arbitrariamente, mas, uma vez prescrito, não pode

ser mudado até a determinação de N.

Dada ( ) Determine os 5 primeiros termos da sequência e, Exemplo 3. 13

seguida responda se é convergente ou divergente.


6

Vamos provar, por definição que a sequência converge para De fato,

dado qualquer temos:

| | | | |

|

Isto quer dizer que, dado qualquer > 0, existe N positivo que é o menor inteiro

. Dessa forma, n > N 1na . Portanto ( ) é convergente.

Complete na tabela a seguir os valores de N para cada fixado.

an 1na

12

| |

15

| |

110

| |

1100

| |

2

| |

Vamos provar, por definição, que a sequência Exemplo 3. 14

(an) = 12

nn

= 1 2 3, , , , ,13 14 15 12

nn

converge para .

De fato, dado qualquer > 0, temos:

Ɛ<

... , , ...

6



| | | | |

|




an 1na

12

| |

15

| |

110

| |

1100

| |

2

| |


(an) = 12

nn

= 1 2 3, , , , ,13 14 15 12

nn

converge para .


6



| | | | |

|




an 1na

12

| |

15

| |

110

| |

1100

| |

2

| |


(an) = 12

nn

= 1 2 3, , , , ,13 14 15 12

nn

converge para .



7

12 121 1 1212 12n

na nn n

Isto quer dizer que, dado qualquer > 0, existe N 12 12

tal que n > N

1na .

Faça como exercício: complete na tabela a seguir os valores de N para cada fixado.

N N an 1na

12

15

110

1100

2

Dada (

) Supondo que persista a tendência Exemplo 3. 15

observada em cada caso, escreva a forma geral da sequência

Observe

que os denominadores dos termos da sequência são:

que são respectivamente, Além disso, o sinal de cada

termo é alternado, começando com 1 que positivo, assim

Sejam e uma sequência de números reais. Considere Exemplo 3. 16

. Prove que se então

Seja . Por hipótese, então dado o número real | | existe tal que

| | | |

Temos que

=


Capıtulo 2 e 3



f : N → R, Rn =R

2n−1





f : N → R, an =1

n


f : N → R, an =q

2n−1





n + 1< �


|a|


1


8

| | | | | | | | | | | | | |

| |

Portanto,


Exercício 1: Prove que a sequência (an) = k R converge para L = k. Construa uma tabela

semelhante ao do exemplo anterior para os mesmos valores de .

Exercício 2: Determine os 5 primeiros termos de cada uma das sequências a seguir,

classificando-as em convergente ou divergente.

a) (an) = (4)

b) (an) = (2 + (0,1)n )

c) (an) = ((-1)n )

d) (an) = (-1 + (-1) n+1 )

e) (an) = (8n + 1)

Exercício 3 Prove, por definição, que a sequência (an) converge para o limite L:

a) (an ) = 11n

converge para L = 1

b) (an ) = 2 1

nn

converge para L = 12

c) (an ) = 31n

converge para L = 0

Exercício 4: Em cada sequência damos os primeiros termos. Supondo que persista a

tendência observada em cada caso, escreva a forma geral de cada uma das sequências:

a) 1 2 3 4, , , ,2 3 4 5

b) 1 1 11, , , ,2 3 4

c) 1 1 11, , , ,4 9 16

...

...

......

...

...


3.4 Sequências Limitadas

9

O cálculo do limite de uma sequência pode tornar-se cada vez mais complicado, se

insistirmos em fazê-lo diretamente pela definição de limite. Assim existem alguns teoremas

que facilitam a determinação da convergência ou divergência de uma sequência.

Definição 3. 4. Dizemos que uma sequência (an) é limitada à esquerda, ou limitada

inferiormente, se existe um número A tal que A an para todo n; e limitada à direita ou

limitada superiormente, se existe um número B tal que an B para todo n. Quando a

sequência é limitada à esquerda e à direita ao mesmo tempo, dizemos simplesmente que ela é

limitada.

Considere tome e observe que Logo ( ) é Exemplo 3. 17

limitada superiormente pela constante positiva 1 e ( ) é limitada inferiormente pela

constante positiva 0. .

Considere tome e observe que Logo Exemplo 3. 18

( ) é limitada superiormente.

Considere , ou seja Temos que é Exemplo 3. 19

limitada inferiormente, pois Porém não é limitada superiormente de

fato, podemos escrever: . Segue que da desigualdade de Bernoulli que . logo , para todo

existe tal que . Basta tomar , tal que e observar que

Daí Logo não é

limitada superiormente.

é limitada tal que | | Exemplo 3. 20

é limitada existem constantes reais, tais que Tome

{| | | |}. Temos que e | |

Suponha que existe o número real tal que | | Tome e . Como | | ou seja, Portanto é limitada.

Considere tome e observe Logo Exemplo 3. 21

é limitada.

Considere tome e observe

Exemplo 3. 22

Logo é limitada.

0.

(2, 4, 16, 32, ... ).


10

O teorema a seguir estabelece uma estreita relação entre sequências convergentes e limitadas.

Proposição 3. 2 Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração: Seja (an) uma sequência convergente com limite L, então dado > 0, existe

um índice N tal que para todo n > N tem-se L - < an < L + . Assim tem-se que a partir do

índice n = N+1, a sequência (an) é limitada à direita por L+ e à esquerda por L-. Considere

agora os números A e B como sendo o menor e o maior, respectivamente, entre todos os a1,

a2, ..., aN, L -, L+, neste caso teremos A an B, logo (an) é limitada

A recíproca da Proposição 3.2 não é válida, ou seja, nem toda sequência limitada é

convergente. Por exemplo, a sequência (-1)n é limitada pela constante real 1, mas não é

convergente. Também, segue da proposição 3.2 que as sequências não limitadas são

divergentes.

Considere A sequência não é limitada superiormente. Dessa Exemplo 3. 23

forma, é ilimitada e daí, segue da proposição 3.2 que é divergente.

Proposição 3. 3 Se uma sequência (an) converge para um limite L, e se A < L < B, então, a

partir de um certo índice N, A < an < B.

Demonstração: Sendo (an) uma sequência convergente com limite L, então temos que dado

> 0, existe um índice N tal que, a partir desse índice, temos L - < an < L + . Assim se

tomarmos como sendo o menor entre os números L – A e B – L, teremos L - > L – (L – A)

= A e L + < L + (B – L) = B. Logo para todo n > N teremos A < an < B.

Teorema 3. 1. Sejam (an) e (bn) duas sequências convergentes, com limites A e B

respectivamente. Então as sequências (an + bn), (an bn) e (k an), onde k é um número real

qualquer, são todas convergentes também, e:

1) lim(an + bn ) = A + B;

2) lim(an bn ) = AB;

Se tivermos que B 0 então também teremos que:

4) lim n

n

a Ab B

.


11

Demonstração:

Prova de (1):Dado > 0, existem N1(), N2() N tais que:

2na A para todo n N1() e

2nb B para todo n N2().

Tomando-se N() = max{ N1(),N2()} temos que as desigualdades anteriores valem

simultaneamente para todo n N(), e além disso teremos:

( ) ( )n n n n n na b A B a A b B a A b B

Ou seja: ( ) ( )2 2n na b A B como queríamos demonstrar.

Prova de (2): Observe inicialmente que:

n n n n n n n n na b AB a b a B a B AB a b B a A B

Como (an) é convergente então é limitada, portanto existe M > 0 tal que na M . Por

outro lado como an A e bn B, então, dado > 0 existem N1(), N2() N tais que:

2 1na AB

para todo n N1() e 2nb B

M

para todo n N2().

Assim temos que para todo n N() = max{ N1(),N2()} valem:

2 2 1n n n n na b AB a b B a A B M BM B

Ou seja: 2 2n na b AB , como queríamos demonstrar.

Prova de (3): Observe que fazendo e em 2) temos que:

e Portanto

Prova de (4): Observe que fazendo basta provarmos que pois

Para

isso, temos que verificar e é limitada. Vamos usar a proposição 3.3, para

confirmar este resultado, tome

e na proposição 3.3. Dessa forma,

conseguimos um tal que, ou seja,

Portanto é limitada.

Exemplo 3. 24


11

Demonstração:

Prova de (1):Dado > 0, existem N1(), N2() N tais que:

2na A para todo n N1() e

2nb B para todo n N2().

Tomando-se N() = max{ N1(),N2()} temos que as desigualdades anteriores valem

simultaneamente para todo n N(), e além disso teremos:

( ) ( )n n n n n na b A B a A b B a A b B

Ou seja: ( ) ( )2 2n na b A B como queríamos demonstrar.

Prova de (2): Observe inicialmente que:

n n n n n n n n na b AB a b a B a B AB a b B a A B

Como (an) é convergente então é limitada, portanto existe M > 0 tal que na M . Por

outro lado como an A e bn B, então, dado > 0 existem N1(), N2() N tais que:

2 1na AB

para todo n N1() e 2nb B

M

para todo n N2().

Assim temos que para todo n N() = max{ N1(),N2()} valem:

2 2 1n n n n na b AB a b B a A B M BM B

Ou seja: 2 2n na b AB , como queríamos demonstrar.

Prova de (3): Observe que fazendo e em 2) temos que:

e Portanto

Prova de (4): Observe que fazendo basta provarmos que pois

Para

isso, temos que verificar e é limitada. Vamos usar a proposição 3.3, para

confirmar este resultado, tome

e na proposição 3.3. Dessa forma,

conseguimos um tal que, ou seja,

Portanto é limitada.

Exemplo 3. 24

12

3 1lim 3lim 3.0 0n n

4 4 4lim lim lim lim 1 0 1 1n nn n n n

2

2

2 2

44 lim 3 lim33 4 3 0 3lim lim 7 75 7 5 0 55 lim 5 lim

n n nnn

n n

Vimos que toda sequência convergente é limitada. Mas nem toda sequência limitada é

convergente. Veremos, entretanto, que há uma classe importante de sequências limitadas – as

chamadas sequências monótonas – que são convergentes.

Definição 3. 5. Dizemos que uma sequência (an) é crescente se a1 < a2 < . . . < an < . .

. e decrescente se a1 > a2 > . . . > an > . . . . Dizemos que uma sequência (an) é não

decrescente se a1 a2 . . . an . .. e não crescente se a1 a2 . . . an . . . ..Uma

sequência que satisfaz qualquer uma dessas propriedades é chamada de sequência monótona.

Exemplo 3. 25

1) A sequencia (an)= 1n

é monótona decrescente.

2) A sequencia (an)= ( )n é monótona crescente.

3) A sequencia (an)= 1 n não é monótona.

Teorema 3. 2. Toda sequência monótona e limitada é convergente.

Demonstração: Consideremos, sem perda de generalidade, uma sequência (an) não

decrescente, portanto, limitada inferiormente pelo elemento a1. Como (an) é limitada, por

hipótese, então ela é limitada superiormente, logo existe um número S tal que an S para

todo n. Vamos provar que S é o limite de (an). Dado > 0 existe um índice N tal que S - <

aN S, por nossa hipótese. Como a sequência é não decrescente então aN < an para todo n >

N, de sorte que:

3.5 Sequências Monótonas

≤


13

n > N S - < an < S + e portanto na S < para todo n > N.

Considere a sequência 2!

n

n

. Os elementos desta sequência são: Exemplo 3. 26

14 2 2 22,2, , , , , ,3 3 ! ( 1)!

n n

n n

. Logo podemos observar que esta sequência é limitada

(inferiormente por 0 e superiormente por 2). Para mostrarmos que esta sequência é não

crescente, devemos mostrar que: 1

12 2 2 ( 1)! 2 ! 2 ( 1) ! 2 2 ! 1 2! ( 1)!

n nn n n nn n n n n n

n n

Logo a sequência é monótona e limitada e, portanto é convergente.

Para todo real com Prove que Exemplo 3. 27

A sequência é limitada, pois, ,


Como é limitada. Como é monótona decrescente e

limitada, então é convergente. Dessa forma, onde { }. Temos que { } com real, . Portanto

Quando eliminamos um ou vários termos de uma dada sequência, obtemos o que se

chama uma subsequência da primeira. Por exemplo, a sequência dos números pares positivos

é uma subsequência da sequência dos números naturais. Também são subsequências da

sequência dos naturais: a sequência dos números ímpares positivos; a sequência dos números

primos; a sequência (an) sendo an = 5n + 17.

Definição 3. 6. Uma subsequência de uma dada sequência (an) é uma restrição dessa

sequência a um subconjunto do conjunto dos números naturais. Ou analogamente, uma

subsequência de (an) é uma sequência do tipo (bj) = jna , onde (nj) é uma sequência

crescente de inteiros positivos, isto é, n1 < n2 , ....

Como consequência desta definição segue que, 1 n1, 2 n2, ..., e em geral, j nj. Mas

como j < nj para algum j, a menos que a subsequência seja a própria sequência dada, esta

3.6 Subsequências

13

n > N S - < an < S + e portanto n aS < para todo n > N.

Considere a sequência 2!

n

n

. Os elementos desta sequência são: Exemplo 3. 26

14222 2,2,,,,,,33!(1)!

nn

nn

. Logo podemos observar que esta sequência é limitada

(inferiormente por 0 e superiormente por 2). Para mostrarmos que esta sequência é não

crescente, devemos mostrar que: 1

1 222(1)!2!2(1)!22!12!(1)!

nnnnnn

nnnnnnnn

Logo a sequência é monótona e limitada e, portanto é convergente.

Para todo real com Prove que Exemplo 3. 27

A sequência é limitada, pois, ,


Como é limitada. Como é monótona decrescente e

limitada, então é convergente. Dessa forma, onde { }. Temos que { } com real, . Portanto

Quando eliminamos um ou vários termos de uma dada sequência, obtemos o que se

chama uma subsequência da primeira. Por exemplo, a sequência dos números pares positivos

é uma subsequência da sequência dos números naturais. Também são subsequências da

sequência dos naturais: a sequência dos números ímpares positivos; a sequência dos números

primos; a sequência (an) sendo an = 5n + 17.

Definição 3. 6. Uma subsequência de uma dada sequência (an) é uma restrição dessa

sequência a um subconjunto do conjunto dos números naturais. Ou analogamente, uma

subsequência de (an) é uma sequência do tipo (bj) = j n a, onde (nj) é uma sequência

crescente de inteiros positivos, isto é, n1 < n2 , ....

Como consequência desta definição segue que, 1 n1, 2 n2, ..., e em geral, j nj. Mas

como j < nj para algum j, a menos que a subsequência seja a própria sequência dada, esta

... , , , ... 2n

n!2n-1

(n+1)!


14

desigualdade permanecerá válida para todos os índices subseqüentes ao primeiro índice para o

qual ela ocorrer.

Descreva os elementos das seguintes subsequências da sequência Exemplo 3. 28

(an) = 11 1n

n

:

(a2n) = 11 ;2n

(a4n) = 114n

(a2n - 1) = 112 1n

(a4n - 1) = 114 1n

(an2) =

2

2

1 2 11 1n n n

Observe que as subsequências (a2n), (a4n) e (an2) convergem para 1 e as subsequências

(a2n - 1) e (a4n - 1) convergem para – 1.

Teorema 3. 3. Se uma sequência (an) converge para um limite L, então qualquer

subsequência (anj) de (an) também converge para L.

Demonstração: Como (an) converge para L então dado > 0 existe um índice N() tal que n >

N implica na L . Como vimos na definição de subsequências, j nj, de forma que j > N

significa que nj > N o que implica também que jna L .

Verifique se a afirmação dada é falsa ou verdadeira. Exemplo 3. 29

1) Toda sequência limitada é convergente.

Falsa. Considere , ou seja, . Vamos considerar duas

subsequências de se é ímpar e se é par. Como e

então segue do Teorema 3.3 é divergente. Porém limitada pela

constante real 2.

2) Considere a sequência definida por . Esta sequência é divergente.

Verdadeiro. Vamos provar que ( ) não é limitada superiormente. Dessa forma, segue da

proposição 3.2 que é divergente.

14) Na pagina 66, na linha 19 fica: ou seja, xn = (−1)n−12

15) Na pagina 73, na linha 6 trocar menor das cotas inferiores por maior das cotasinferiores

16) Na pagina 75, na linha 5 (sn) e minusculo e nao maiusculo como esta



19) Na pagina 75, na linha 17 e para padronizar (un), e nao {un}


21) Na pagina 79, na linha 1 e a serie∞�

n=1

1

2n − 1=

∞�

n=1

1

2

n − 1

2

22) Na pagina 79, na linha 2 segue do Teorema 3.13 que...

23) Depois de corrigir o exemplo 3.44 e para coloca-lo logo apos ao teorema 3.13 coma numeracao 3.45, observe que a ordem dos exemplos ficara invertida;

24) Na pagina 80, na linha 2 nao tem a virgula entre a serie∞�

n=1

1

2ne ”e”

25) Na pagina 80, na linha 4 nao tem o ponto final entre un + tn e ”e”

26) Na pagina 80, no exemplo 3.47 a serie e∞�

n=1

�1

4n+

4

3n

�.

este exemplo passara a ter a numeracao 3.49 e daı a solucao dele sera:

Segue dos exemplos 3.47 e 3.48 e do teorema 3.13 que a serie∞�

n=1

�1

4n+

4

3n

�e

divergente.

27) Na pagina 80, na ultima linha e teorema 3.13 e nao 3.14;

28) Na pagina 82, na linha 5 no Teorema 3.15, Seja∞�

n=1

an e∞�

n=1

bn

2

.


15

( ) não é limitada superiormente, pois dado o real tome ⌊ ⌋= menor inteiro Logo ⌊ ⌋= menor inteiro

Teorema 3. 4. (Teorema dos intervalos encaixados) Seja In = [an ,bn ], com n = 1, 2, ..., uma

família de intervalos fechados e encaixados, isto é, I1 I2 ... In .... Então existe pelo

menos um número c pertencendo a todos os intervalos In. Se, além das hipóteses feitas, o

comprimento nI = bn - an do n-ésimo intervalo tender a zero, então o número c será único,

isto é, I1 I2 ... In ... = {c}.

Demonstração: Como an e bn são os extremos dos intervalos In = [an ,bn ] fechados e

encaixados, temos que a1 a2 ... an ... e b1 b2 ... bn ...ou seja, a sequência (an ) é

não decrescente e (bn ) é não crescente. Além disso, como a1 an bn b1 , temos que (an) é

limitada à direita por b1 e (bn ) é limitada à esquerda por a1. Assim (an ) e (bn ) são sequências

monótonas e limitadas e portanto convergem, digamos, para A e B respectivamente. Como an

< bn , temos que an A B bn . Portanto [A, B] In para todo n, o que significa que se A

< B, a interseção dos intervalos In é o próprio intervalo [A, B]; e se A = B, ou seja se bn - an

tende a zero, essa interseção é o número c = A = B.

Definição 3. 7. Diz-se que L é um valor de aderência ou ponto de aderência de uma

dada sequência (an ) se (an ) possui uma subsequência convergindo para L.

Quando a sequência não é limitada, seus elementos podem se espalhar por toda a reta,

distanciando-se uns dos outros, como acontece com as sequências an = n, an = 1 – n ou an =

(-1)n(2n+1). Em casos como esses não há pontos aderentes.

Se a sequência for limitada, estando seus elementos confinados a um intervalo [A,B],

eles são forçados a se acumularem em um ou mais “lugares” desse intervalo, o que resulta em

um ou mais pontos aderentes da sequência. Esse é o conteúdo do teorema de Bolzano-

Weierstrass, considerado a seguir.

Teorema 3. 5. (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada (an) possui uma

subsequência convergente.

Demonstração: Seja (an) uma sequência limitada, portanto, contida num intervalo I, de

comprimento c. Dividindo esse intervalo ao meio, obtemos dois novos intervalos fechados de

mesmo comprimento c/2, um dos quais necessariamente conterá infinitos elementos da


16

sequência; seja I1 esse intervalo. Caso os dois intervalos contenham infinitos elementos da

sequência, escolhe-se um deles para ser I1. procedendo analogamente com o intervalo I1

obteremos um intervalo fechado I2 de comprimento c/22, que também contém infinitos

elementos da sequência. Continuando indefinidamente esse processo, obtemos uma sequência

de intervalos fechados e encaixados In, de comprimento c/2n, que tende a zero, cada um deles

contendo infinitos elementos da sequência an . Pelo teorema dos intervalos encaixados, existe

um número L que está contido em todos os intervalos In. Agora é só tomar um elemento an1 da

sequência (an) no intervalo I1, an2 da sequência (an) no intervalo I2, etc, tomando-os um após

outro de forma que n1 < n2 < ... . Assim obtemos uma subsequência jna convergindo para L.

De fato, dado qualquer > 0, seja N tal que c/2N < , de sorte que Im (L-, L+) para m > N.

Portanto, para j > N, nj será maior do que N (pois nj j), logo, jna estará no intervalo (L-,

L+), o que prova que jna L.

A demonstração do teorema de Bolzano-Weierstrass permite, eventualmente, duas escolhas

de intervalo em um ou mais estágios da divisão dos intervalos. Isto significa que pode haver

uma, duas ou mais subsequências convergentes, o que significa também que a sequência

original pode ter vários pontos aderentes.

Sabemos, por um teorema demonstrado anteriormente, que toda sequência monótona e

limitada é convergente, ou seja, este teorema é um critério que nos permite saber se uma

sequência é convergente mesmo sem conhecer seu limite, desde que a sequência seja

monótona. O teorema a seguir oferece outro critério de convergência que pode ser aplicado a

qualquer sequência.

Teorema 3. 6. (Teorema de convergência de Cauchy) Uma condição necessária e suficiente

para que uma sequência (an) seja convergente é que, qualquer que seja > 0, exista N tal que:

n, m > N n ma a .

Demonstração: Para provar que a condição é necessária devemos provar que se (an) converge

para L, então para qualquer que seja > 0, existe N tal que n, m > N n ma a . De fato,

3.7 Critério de Convergência de Cauchy


17

pela nossa hipótese, temos que dado > 0, existe N tal que n > N e m > N 2na L

e

2ma L . Assim temos:

n m n m n ma a a L L a a L a L .

Para provar que a condição é suficiente, temos como hipótese que dado qualquer > 0,

existe N tal que n, m > N n ma a e queremos provar que existe L tal que an L.

Vamos provar a existência desse L. Para tanto mostraremos primeiramente que a sequência

(an) é limitada, e portanto pelo teorema de Bolzano-Weierstrass possui uma subsequência

convergente para um certo número L que será o limite de (an).

Fazendo m = N+1 na nossa hipótese, teremos: n > N aN+1 - < an < aN+1 + , e

portanto a sequência é limitada a partir do índice m = N+1. No entanto a quantidade de termos

correspondentes aos N primeiros índices é finita, portanto limitados, ou seja, a sequência toda

é limitada pelo maior dos números: 1 1 1, , , ,N N Na a a a . Assim pelo teorema de

Bolzano-Weierstrass (an) possui uma subsequência jna que converge para um certo L.

Fixando j suficientemente grande para que tenhamos simultaneamente jna L < e nj > N,

então, como:

j j j jn n n n n n na L a a a L a a a L , teremos que, n > N

2j jn n n na L a a a L como queríamos provar.

Dados e tal que . Se , então existe , tal Exemplo 3. 30

que, . Hipóteses: e Tese: tal que Como então para , existe | |

| | Para temos:

Portanto,

Sejam e e . Se então Exemplo 3. 31

Hipóteses: ; e Tese:

|a1|, ... , |an|, |aN+1 - Ɛ|, |aN+1 + Ɛ|.


18

Suponha por absurdo que Como e , então existe tal que,

. Temos que e Dessa forma, segue do exercício 1 que existe

tal que Analogamente, usando que e temos que

existe tal que , Agora, tome { } e observe que:

e ou seja o que é absurdo. Portanto

.

Verifique se as afirmações abaixo são falsas ou verdadeiras. Justifique cada Exemplo 3. 32

uma delas.

a) Se e então

Falso. Basta tomar e Temos que e e .

b) Se e então Verdadeiro. De fato, dado existem tais que

e Seja { }. Então Dessa forma,

Portanto c) | | | | Verdadeiro. De fato, por hipótese, existe tal que

| | Logo, || | | || | | | | | | Dessa forma,

|| | | || Portanto | | | |.

d) Dado tal que | | | | .

Falso. Basta tomar ou seja temos que é

divergente . Por outro lado, | | | | | | e | |

e) e é limitada, então .

Verdadeiro. De fato, por hipótese, é limitada, daí existe tal que | | para

todo Seja Então, por hipótese Dado existe tais

que | | Segue daí,

| | | | | | | | ( ) Portanto

f) A sequência é convergente.


19

Considere as seguintes subsequências

{

Logo,

{

Portanto é divergente.

g) A sequência

Verdadeiro. De fato, tome e no exercício3, item e) e observe

e é limitada. Portanto

h)

Por hipótese, existe , tal que | | Observe que: | | | | Portanto

Por outro lado, suponha existe , tal que

| | Observe que: | | | | Portanto

Seja uma sequência monótona decrescente, tal que Exemplo 3. 33

{ }. Prove que: se é limitada, então .

De fato, Hipótese: monótona decrescente limitada e { } Tese:

Seja uma sequência monótona decrescente e limitada. Considere

{ e } { } com Provemos que Sendo monótona decrescente, então Dado temos que não é cota inferior de X, pois é a maior das cotas

inferiores de e para todo . Como não é cota inferior de X e

então segue da definição de ínfimo de um subconjunto dos reais, que existe

tal que Como uma sequência monótona decrescente, então Dessa forma,

ou seja, Portanto


20

Seja uma sequência monótona não crescente e Exemplo 3. 34

{ }. Prove que se é limitada, então . A resolução do exercício 5 é análoga a prova do exercício 4.

Seja uma sequência monótona crescente e { }. Exemplo 3. 35

Prove que, Se é limitada, então De fato, seja uma sequência monótona crescente e limitada. Considere

{ e } { } e . Para isso seja

Como não é cota superior e , então segue da definição de supremo de

subconjunto dos reais que existe tal que Como uma

sequência monótona crescente então Dessa forma, Assim ou seja, | | Portanto

Seja uma sequência monótona não decrescente e Exemplo 3. 36

{ }. Se é limitada, então . A resolução deste exemplo é é análoga a do exemplo anterior.

Dado . Seja , ou seja, Exemplo 3. 37

. Prove que é convergente.

De fato, considere (I) e (II). Fazendo (I) –(II), temos:

.

Dessa forma,

(

) pois

Considere

ou seja,

Exemplo 3. 38

. Prove que .

De fato, fazendo no exercício 8, temos que e daí

Prove que Exemplo 3. 39


21

Agora provemos que

Para isso, vamos provar que é uma sequência

monótona decrescente e limitada e daí ,

- De fato,

ou seja,

Pois, a função logarítma na base é crescente. Dessa forma, é uma sequência monótona

decrescente. Agora, provemos que: ,

- isto é,

é a menor das cotas inferiores de

(a) Claro que é cota inferior de ,

-.

(b) Provemos que não é cota inferior de .

Se Daí

ou seja, e não é cota inferior de X.

Se , então, tome ⌊ ⌋

Assim, para todo , temos

⌊ ⌋

Assim, para todo

Portanto


De fato, vamos descrever uma forma equivalente para Ou seja

Observe que:

( ) (

)

. Agora faça:

( ) e

. Provemos que é limitada e

Provemos que ( ) De fato, a função log na base é crescente e como

então (

) . Dessa forma, ( ) é limitada.

Segue do exercício 10 que

Portanto, ( )

21

Agora provemos que



- De fato,

ou seja,



- isto é,



-.


Se Daí




⌊ ⌋

Assim, para todo

Portanto



Observe que:

( ) (

)

. Agora faça:

( ) e



então (



Portanto, ( )

21

Agora provemos que



- De fato,

ou seja,



- isto é,



-.


Se Daí




⌊ ⌋

Assim, para todo

Portanto



Observe que:

( ) (

)

. Agora faça:

( ) e



então (



Portanto, ( )

21

Agora provemos que



- De fato,

ou seja,



- isto é,



-.


Se Daí




⌊ ⌋

Assim, para todo

Portanto



Observe que:

( ) (

)

. Agora faça:

( ) e



então (



Portanto, ( )

21

Agora provemos que



- De fato,

ou seja,



- isto é,



-.


Se Daí




⌊ ⌋

Assim, para todo

Portanto



Observe que:

( ) (

)

. Agora faça:

( ) e



então (



Portanto, ( )

maior


3.8 Séries Numéricas

22

Vamos retornar ao exemplo dado na seção 3.2 que consiste em considerar uma

partícula A, em movimento, partindo de um ponto sobre uma reta de modo que a partícula

A descreva uma trajetória, no sentido horário do seguinte forma:

Partindo do ponto a partícula descreve uma semicircunferência de raio e

centro ;

A partir do ponto descreva uma semicircunferência de raio , cuja

extremidade recai no ponto , sobre a reta, que coincide com o ponto A partir do ponto , a partícula descreve uma semicircunferência de raio

= , cuja extremidade recai no ponto ;

A curva é obtida repetindo estes passos indefinidamente, sendo o raio da ésima

semicircunferência para As três primeiras etapas estão representadas

na figura ..., e para a compreensão da situação proposta, considere inicialmente, o caso em

que e

Queremos responder as seguintes questões:

É possível determinar o comprimento da curva descrita pela partícula ?

O comprimento da curva é finito?

Como é calculado o comprimento da curva?

Observe que a partir desta aplicação, podemos construir a seguinte sequência de pontos:

0 1/2 5/8 3/4


23

Em geral,

Observe que a sequência de pontos para é obtida por meio da sequência:

. Por meio desta concepção, considere uma sequência:

u1, u2, u3, ..., un. Agora, construiremos uma nova sequência {sn }, adicionando os sucessivos

elementos de {un }, da seguinte forma:

s1 = u1

s2 = u1 + u2

s3 = u1 + u2 + u3

sn = u1 + u2 + u3 + ... +un

A sequência {sn } obtida dessa maneira da sequência {un } é chamada de série infinita.

Definição 3. 8. Se {un } for uma sequência e sn = u1 + u2 + u3 + ... +un, então a

sequência {sn } será chamada de série infinita, cuja notação:

1nnu = u1 + u2 + u3 + ... +un

+ ...

Os números u1, u2, u3, ... un, ... são chamados de termos da série infinita. Os números s1, s2, s3,

..., sn, ... são chamados de somas parciais da série infinita.

Considere a sequência {un }, onde un = 121n . Então: Exemplo 3. 41

{un } = ,2

1,,161,

81,

41,

21,1 1n

A partir dela, vamos formar uma sequência de somas parciais:

s1 = 1

s2 = 1 + 21 s2 = 2

3

s3 = 1 + 41

21 s3 = 4

7

s4 = 1 + 81

41

21

s4 = 815

sn = 1 + 121

161

81

41

21

n

(sn)

(sn)

(sn)

(un)

(un)

(un)

(un)

(un)


24

Essa sequência de somas parciais {sn } é a série infinita denotada por:

1

11 2

1161

81

41

211

21

nn

n

Quando {sn } é uma sequência de somas parciais, sn-1 = u1 + u2 + u3 + ... + un-1. Assim,

sn = sn-1 + un

Definição 3. 9. Seja

1nnu uma dada série infinita, e seja {sn } a sequência das somas

parciais que definem a série. Então, se nn

slim

existir e for igual a S, dizemos que a série dada

será convergente, sendo S a soma da série infinita dada. Se nn

slim

não existir, a série será

divergente e não terá uma soma.

Considere a série: Exemplo 3. 42

1

11 2

1161

81

41

211

21

nn

n

Então: sn = 1 + 121

161

81

41

21

n

Para determinar se esta série infinita tem uma soma, precisamos calcular nn

slim

. Para tanto,

precisamos encontrar uma fórmula para sn. Mas,

1

1 1 1 1 112 4 8 16 2n =

21211 n

De fato:

(an – bn) = (a – b) (an-1 + an-2 b + an-3 b2 + … + a bn-2 +bn-1)

Para obter a soma acima tome a = 1 e b = ½

Assim sn =

n2

112 e nn

slim

= 22122 limlim

n

nn

Logo, 22

11

1

nn

(sn)

(sn)

(sn)

...+ 12n-1


25

Como na maioria dos casos, não é possível obter uma expressão para sn em termos de n,

precisamos de outros métodos para determinar se uma dada série infinita tem uma soma ou,

equivalentemente, se uma dada série é convergente ou divergente.

Teorema 3. 7. Se é uma série convergente, então Demonstração: Por hipótese, é uma série convergente. Logo é uma

subsequência de . Como é convergente, então e onde .

Podemos escrever:

Dessa forma,

. Portanto , ou seja,

Se lim 0na , não é necessariamente verdadeiro que a série seja convergente. Um exemplo

disso, é a chamada série harmônica, que veremos mais adiante:

1

1n n

.

Definição 3. 10. A série

1

1n n

= n1

31

211 é chamada série harmônica.

Prove que as seguintes séries são divergentes: Exemplo 3. 43

a)

1

2

2 1n n

n b) 311

1

n

n

a) Neste caso e

ou seja,

Portanto

1

2

2 1n n

n

é divergente.

b) Neste caso e é divergente pois possui duas subsequências

e . Portanto é divergente 1

11 3.

n

n

Teorema 3. 8. Seja {sn } a sequência das somas parciais de uma dada série convergente

1nnu .

Então, para todo > 0, existe um número N tal que se R > N e T > N então TR ss < .

Teorema 3. 9. Se

1nna e

1nnb são duas séries infinitas que diferem somente pelos seus m

primeiros termos (isto é, ak = bk se k > m, então ambas convergem ou ambas divergem.

(sn)


26

Demonstração: Basta observar que convergência ou divergência de uma série está relacionada a convergência ou a divergência de uma sequência . Logo a demonstração segue diretamente do conceito de sequências numéricas.

Teorema 3. 10. Seja c uma constante não-nula.

a) Se a série

1nnu for convergente e sua soma for S, então a série

1nncu

também será convergente e sua soma será cS.

b) Se a série

1nnu for divergente, então a série

1nncu também será divergente.


Definição 3. 11. A série: 2 3

0... ...,n n

nba b ba ba ba ba

é chamada de

série geométrica de razão .

Teorema 3. 11. A série geométrica converge para a soma 1

ba

se a < 1 e a série

geométrica diverge se a > 1.

Demonstração: De fato, podemos escrever 0 0

.n n

n nba b a

1Seja as reduzidas da série0

n

na

, assim (I) e

(II). Fazendo (I) –(II), temos:

.

Dessa forma,

(

)

Para a < 1, e daí (

) e

0

n

na

é convergente.

No caso em que a > 1 e daí 0

n

na

é divergente. Segue do Teorema 3.10 que

para e a < 1: 0

1 .1 1

n

n

bba ba a

Segue do Teorema 3.10 que Para | | 0

n

nba

é divergente.


27

Podemos escrever a série 1 1 1

11 1 12 .1 12 1 2

2 2n n nn n n

Dessa forma, Exemplo 3. 44

segue do teoremas 3.10 e 3.11 que a convergência ou a divergência de 1

1n n

implica na

convergência ou na divergência de 1

1 .2 1n n

Segue do Teorema 3.10 que a série 1 1

1 1 1.2 2n nn n

Dessa forma, a Exemplo 3. 45

convergência ou a divergência de 1

1n n

implica na convergência ou na divergência de

1

1 .2n n

Teorema 3. 12. Se

1nna e

1nnb são séries infinitas convergentes com somas S e R,

respectivamente, então:

a)

1nnn ba é uma série convergente e sua soma é S + R;

b)

1nnn ba é uma série convergente e sua soma é S – R.


Teorema 3. 13. Se a série

1nna for convergente e a série

1nnb for divergente, então a

série

1nnn ba será divergente.


prove que a série harmônica é divergente: Exemplo 3. 46

De fato, suponha por absurdo que a série harmônica é convergente e seja as reduzidas da

série 1

1.n n

Dessa forma, existe tal que

1

1 1 1 1 1lim(1 ... ) .2 3 4 n

sn n

Sejam

27


11 1 12 .1 12 1 2

2 2n n nn n n



1n n

implica na


1 .2 1n n


1 1 1.2 2n nn n



1n n


1

1 .2n n

Teorema 3. 12. Se

1nna e



a)


b)






série





série 1

1.n n


1

1 1 1 1 1lim(1 ... ) .2 3 4 n

sn n

Sejam









n=1

1

2n − 1=

∞�

n=1

1

2

n − 1

2




n=1

1

2ne ”e”



n=1

�1

4n+

4

3n

�.



n=1

�1

4n+

4

3n

�e

divergente.



n=1

an e∞�

n=1

bn

2

forma, segue do Teorema 3.13 que a

Exemplo 3. 45

Exemplo 3. 44

27


11 1 12 .1 12 1 2

2 2n n nn n n



1n n

implica na


1 .2 1n n


1 1 1.2 2n nn n



1n n


1

1 .2n n

Teorema 3. 12. Se

1nna e



a)


b)






série





série 1

1.n n


1

1 1 1 1 1lim(1 ... ) .2 3 4 n

sn n

Sejam


29

Como

e 2

1( 1)n n n

é convergente, então segue do critério da

comparação que é 21

1n n

convergente.

Determine se a série infinita é convergente ou divergente: Exemplo 3. 48

1

1 1 .4 4n

n n

Se ambas as séries

1nna e

1nnb forem divergentes, a série

1nnn ba poderá ou não ser

convergente. Por exemplo, se an = n1 e bn =

n1 , então an + bn =

n2 e

1

2n n

será divergente.

Mas se an = n1 e bn =

n1

, então an + bn = 0 e

10

n será convergente.

Considere a série 1

14n n

e observe que

1

14n n

1

1 1.4n n

Desta forma, tome Exemplo 3. 49

14

c e 1 .nun

Portanto

1

14n n

diverge.


43n

n

e observe que

0

43n

n

1

14 .3n

n


4c , 13n nu

e

0

1 33 2n

n

. Portanto 0

4 34 6.3 2n

n


4 1( )3 1n

n n

e observe que segue do exemplo anterior que Exemplo 3. 51

0

4 6.3n

n

Além disso,

0 1

1 1.1n nn n

Como a série

1

1n n

diverge, então segue do

Teorema 3.14 que a série 0

4 1( )3 1n

n n

é divergente.


4 1( )3 2n n

n

e observe que 0

4 6.3n

n

Além disso,

Exemplo 3. 52

0

1 2.2n

n

Então, segue do Teorema 3.12 que 0

4 1( ) 6 2 8.3 2n n

n

Exemplo 3. 49









n=1

1

2n − 1=

∞�

n=1

1

2

n − 1

2




n=1

1

2ne ”e”



n=1

�1

4n+

4

3n

�.



n=1

�1

4n+

4

3n

�e

divergente.



n=1

an e∞�

n=1

bn

2

29

Como

e 2

1( 1)n n n



1n n

convergente.


1

1 1 .4 4n

n n

Se ambas as séries

1nna e





n2 e

1

2n n

será divergente.


n1


10



14n n

e observe que

1

14n n

1

1 1.4n n


14

c e 1 .nun

Portanto

1

14n n

diverge.


43n

n

e observe que

0

43n

n

1

14 .3n

n


4c , 13n nu

e

0

1 33 2n

n

. Portanto 0

4 34 6.3 2n

n


4 1( )3 1n

n n


0

4 6.3n

n

Além disso,

0 1

1 1.1n nn n

Como a série

1

1n n



4 1( )3 1n

n n

é divergente.


4 1( )3 2n n

n

e observe que 0

4 6.3n

n

Além disso,

Exemplo 3. 52

0

1 2.2n

n


4 1( ) 6 2 8.3 2n n

n

29

Como

e 2

1( 1)n n n



1n n

convergente.


1

1 1 .4 4n

n n

Se ambas as séries

1nna e





n2 e

1

2n n

será divergente.


n1


10



14n n

e observe que

1

14n n

1

1 1.4n n


14

c e 1 .nun

Portanto

1

14n n

diverge.


43n

n

e observe que

0

43n

n

1

14 .3n

n


4c , 13n nu

e

0

1 33 2n

n

. Portanto 0

4 34 6.3 2n

n


4 1( )3 1n

n n


0

4 6.3n

n

Além disso,

0 1

1 1.1n nn n

Como a série

1

1n n



4 1( )3 1n

n n

é divergente.


4 1( )3 2n n

n

e observe que 0

4 6.3n

n

Além disso,

Exemplo 3. 52

0

1 2.2n

n


4 1( ) 6 2 8.3 2n n

n

28

e as reduzidas das séries 1

1 ,2n n

1

1 ,2 1n n

respectivamente. Como 1

1n n

é

convergente, então 1

1 ,2n n

e

1

12 1n n

são convergentes e daí e . Temos que

pois ) é subsequência de Por outro lado,

e 1 1

1 1 1 1 .2 2 2 2n n

su sn n

Logo, Podemos escrever:

1 1 1 1 1( ) lim lim 1 ...2 2 3 2 1 2

1 1 1 1lim lim ... 0.1.2 3.4 5.6 (2 1)2

n n

n n

u t u tn n

u tn n

Logo absurdo, pois Portanto a série 1

1n n

é divergente.

prove que a série 21

1 .n n

é convergente: Exemplo 3. 47

De fato, podemos escrever 2 21 2

1 11 .n nn n

Agora vamos trabalhar com a série 22

1 .n n

Observe , com , ou seja

Provemos que a série 2

1( 1)n n n

é convergente. De fato, fazendo

e daí,

2 1

1 1 .( 1) ( 1)n mn n m m

Podemos escrever

Portanto,

1 1

1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m

Seja as reduzidas da série1 1

1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m

Temos que e

( ) Portanto

1

1( 1)n m m

é convergente.

29

Como

e 2

1( 1)n n n



1n n

convergente.


1

1 1 .4 4n

n n

Se ambas as séries

1nna e





n2 e

1

2n n

será divergente.


n1


10



14n n

e observe que

1

14n n

1

1 1.4n n


14

c e 1 .nun

Portanto

1

14n n

diverge.


43n

n

e observe que

0

43n

n

1

14 .3n

n


4c , 13n nu

e

0

1 33 2n

n

. Portanto 0

4 34 6.3 2n

n


4 1( )3 1n

n n


0

4 6.3n

n

Além disso,

0 1

1 1.1n nn n

Como a série

1

1n n



4 1( )3 1n

n n

é divergente.


4 1( )3 2n n

n

e observe que 0

4 6.3n

n

Além disso,

Exemplo 3. 52

0

1 2.2n

n


4 1( ) 6 2 8.3 2n n

n

Exemplo 3. 47

Exemplo 3. 48

Exemplo 3. 50

3.13









n=1

1

2n − 1=

∞�

n=1

1

2

n − 1

2




n=1

1

2ne ”e”



n=1

�1

4n+

4

3n

�.



n=1

�1

4n+

4

3n

�e

divergente.



n=1

an e∞�

n=1

bn

2


3.9 Critérios de Convergências de Séries Numéricas

30

Exercícios Propostos:

Para os exercícios abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas

parciais {sn }, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série

infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma:

1)

1 12121

n nn 2)

1 23135

n nn

3)

1 14342

n nn 4)

115

2n

n

5)

1

1

32

nn

n

6)

1 1n nn 7)

1 2312

n nn

8)

111

n

n 9)n

n

1 32

10)

12

2

13

n nn 11)

113

2n

n

12) n

n

n 231

1

1

13) n

n cos

1

14) nn

sen1

Teorema 3. 14. Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se

sua sequência de somas parciais tiver um limitante superior.

Demonstração: Para uma série infinita de termos positivos, a sequência das somas parciais

tem um limitante inferior de 0. Se a sequência das somas parciais também tiver um limitante

superior, então ela será limitada. Além disso, a sequência das somas parciais de uma série

infinita de termos positivos é crescente. Como uma sequência monótona limitada é

convergente, segue, então, do Teorema, que a sequência das somas parciais é convergente e,

portanto, a série infinita é convergente.

30

Exercícios Propostos:

Para os exercícios abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas

parciais {sn }, e obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série

infinita é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a sua soma:

1)

1 12121

n nn 2)

1 23135

n nn

3)

1 14342

n nn 4)

115

2n

n

5)

1

1

32

nn

n

6)

1 1n nn 7)

1 2312

n nn

8)

111

n

n 9)n

n

1 32

10)

12

2

13

n nn 11)

113

2n

n

12) n

n

n 231

1

1

13) n

n cos

1

14) nn

sen1

Teorema 3. 14. Uma série infinita de termos positivos será convergente se e somente se

sua sequência de somas parciais tiver um limitante superior.

Demonstração: Para uma série infinita de termos positivos, a sequência das somas parciais

tem um limitante inferior de 0. Se a sequência das somas parciais também tiver um limitante

superior, então ela será limitada. Além disso, a sequência das somas parciais de uma série

infinita de termos positivos é crescente. Como uma sequência monótona limitada é

convergente, segue, então, do Teorema, que a sequência das somas parciais é convergente e,

portanto, a série infinita é convergente.

29

Como

e 2

1( 1)n n n



1n n

convergente.


1

1 1 .4 4n

n n

Se ambas as séries

1nna e





n2 e

1

2n n

será divergente.


n1


10



14n n

e observe que

1

14n n

1

1 1.4n n


14

c e 1 .nun

Portanto

1

14n n

diverge.


43n

n

e observe que

0

43n

n

1

14 .3n

n


4c , 13n nu

e

0

1 33 2n

n

. Portanto 0

4 34 6.3 2n

n


4 1( )3 1n

n n


0

4 6.3n

n

Além disso,

0 1

1 1.1n nn n

Como a série

1

1n n



4 1( )3 1n

n n

é divergente.


4 1( )3 2n n

n

e observe que 0

4 6.3n

n

Além disso,

Exemplo 3. 52

0

1 2.2n

n


4 1( ) 6 2 8.3 2n n

n

Exemplo 3. 51

(sn)


31

Vamos supor agora, que uma série infinita de termos positivos seja convergente. Então, a

sequência das somas parciais também será convergente. Como uma sequência monótona

convergente é limitada, segue do Teorema que a sequência das somas parciais será limitada, e

assim sendo, terá um limitante superior.

Teorema 3. 15. Sejam 1

nn

b

e

1n

nb

séries de termos não negativos. Se existem

e tais que e temos e Então:.

a) Se 1

nn

b

for convergente, então

1n

na

será convergente.

b) Se 1

nn

a

for uma série divergente, então

1n

nb

será divergente.

Demonstração: a) De fato, sem perda de generalidade vamos supor Sejam e as reduzidas das séries

1n

na

e

1,n

nb

respectivamente. Podemos

escrever e Dessa forma, sendo então e são sequências monótonas crescentes. Temos que assim é limitada, pois por hipótese é

convergente. Sendo monótona e limitada, então é convergente e daí 1

nn

a

é

convergente.

b) Como 1

nn

a

é divergente por hipótese e é crescente, então ) é ilimitada. Temos

que e é ilimitada, então e ilimitada, logo divergente. Exemplo: Use o teste da comparação e verifique se a série

∑

é convergente ou divergente. De fato, temos

, para Vimos que

0

12n

n

que é convergente, então segue

do teste da comparação que a série é convergente.









n=1

1

2n − 1=

∞�

n=1

1

2

n − 1

2




n=1

1

2ne ”e”



n=1

�1

4n+

4

3n

�.



n=1

�1

4n+

4

3n

�e

divergente.



n=1

an e∞�

n=1

bn

2


32

Teorema 3. 16. Seja 1

nn

b

uma série de termos positivos com tal que

1n

nb

é

convergente. Considere um sequência de números reais positivos. Se a sequência ( )

for um sequência limitada, então a série1

nn

a

é convergente.

Demonstração: De fato, ( ) limitada. Logo existe tal que | | Como então |

| Ou seja, existe tal que 0<

Como, por hipótese, 1

nn

b

é convergente, então segue do critério da comparação que

1n

na

é convergente.

Consideraremos agora, séries infinitas constando tanto de termos negativos como positivos.

Discutiremos primeiramente um tipo de série cujos termos são alternadamente positivos e

negativos – as chamadas séries alternadas.

Definição 3. 12. Se an > 0 para todo n inteiro positivo, então a série:

1

11n

nn a = a1 – a2 + a3 – a4 + ... + (-1)n+1an + ... e a série:

11

nn

n a = - a1 + a2 - a3 + a4 - ... + (-1)nan + ..., são chamadas de séries alternadas.

A série dada descreve um exemplo de uma série alternada. Exemplo 3. 53

.1141

31

21111 1

1

1

nnn

n

n

O próximo teorema fornece um teste de convergência para uma série alternada. Ele é

chamado de teste de séries alternadas; também é conhecido com teste de Leibniz, pois foi

formulado por ele em 1705.

3.10 Séries Alternadas

Exemplo 3. 52


33

Teorema 3. 17. (Critério de Leibniz) Considere a série alternada

1

11n

nn a ou a série

alternada

11

nn

n a , onde an > 0 e an + 1 < an para todo n inteiro positivo. Se 0lim

nn

a , a

série alternada converge.

Demonstração: Caso o leitor queira ver e entender a demonstração do Critério de Leibniz veja Lima (2004)

Se todos os termos de uma série infinita forem substituídos pelos seus valores absolutos e a

série resultante for convergente, então dizemos que a série dada é absolutamente convergente.

Definição 3. 13. Dizemos que a série infinita

1nnu será absolutamente convergente se a

série

1nnu for convergente.

Considere a série: Exemplo 3. 54

nn

nn

n

321

32

32

32

32

321 1

4321

1 (1)

Essa série será absolutamente convergente se a série:

n

nn 3

232

32

32

32

32

4321

for convergente.

Como se trata de uma série geométrica com 131r , ela será convergente. Logo a série

(1) é absolutamente convergente.

Teorema 3. 18. Se a série infinita 1

nn

a

for absolutamente convergente, então

1n

na

e

será convergente. .

Demonstração: De fato, vamos definir { e {

3.11 Convergência Absoluta, Testes da Raiz e da Razão

Exemplo 3. 53


34

Observe que: | | { .

Dessa forma, por definição,

| | | |

Como | |, | | é 1| |n

na

convergente, então segue do critério da

comparação que 1

nn

p

e

1n

nq

são convergentes. Note que Assim,

1 1 1 1( )n n n n n

n n n na p q p q

e 1

nn

a

é convergente, como queríamos demonstrar.

Utilize o teorema 3.19 para mostrar que a série abaixo é convergente: Exemplo 3. 55

12

31cos

n n

n

De fato, temos 2 2 2 21 1 1 1

1 1cos cos 1 13 3 .n n n n

n n

n n n n

Como 21

1n n

é convergente,

então segue do critério da comparação que 21

1cos3

n

n

n

é absolutamente convergente e,

portanto convergente.

Teorema 3. 19. (Teste da Razão) Seja para todo . Se existe tal que

| |

(em particular, | | ). Então a série 1

nn

a

é absolutamente convergente.

Demonstração: Por hipótese, e existe tal que | | Dessa forma,

| |

| || |

| |

| |

Fazendo | | e

| | Temos que é monótona

decrescente e limitada. Como ( | | ) é limitada e é convergente então

segue do teorema 3.16 que | | é convergente.

Portanto 1

nn

a


28


1 ,2n n

1

1 ,2 1n n


1n n

é


1 ,2n n

e

1

12 1n n



e 1 1

1 1 1 1 .2 2 2 2n n

su sn n


1 1 1 1 1( ) lim lim 1 ...2 2 3 2 1 2

1 1 1 1lim lim ... 0.1.2 3.4 5.6 (2 1)2

n n

n n

u t u tn n

u tn n


1n n

é divergente.


1 .n n



1 11 .n nn n


1 .n n



1( 1)n n n


e daí,

2 1

1 1 .( 1) ( 1)n mn n m m

Podemos escrever

Portanto,

1 1

1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m


1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m

Temos que e

( ) Portanto

1

1( 1)n m m

é convergente.

28


1 ,2n n

1

1 ,2 1n n


1n n

é


1 ,2n n

e

1

12 1n n



e 1 1

1 1 1 1 .2 2 2 2n n

su sn n


1 1 1 1 1( ) lim lim 1 ...2 2 3 2 1 2

1 1 1 1lim lim ... 0.1.2 3.4 5.6 (2 1)2

n n

n n

u t u tn n

u tn n


1n n

é divergente.


1 .n n



1 11 .n nn n


1 .n n



1( 1)n n n


e daí,

2 1

1 1 .( 1) ( 1)n mn n m m

Podemos escrever

Portanto,

1 1

1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m


1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m

Temos que e

( ) Portanto

1

1( 1)n m m

é convergente.

28


1 ,2n n

1

1 ,2 1n n


1n n

é


1 ,2n n

e

1

12 1n n



e 1 1

1 1 1 1 .2 2 2 2n n

su sn n


1 1 1 1 1( ) lim lim 1 ...2 2 3 2 1 2

1 1 1 1lim lim ... 0.1.2 3.4 5.6 (2 1)2

n n

n n

u t u tn n

u tn n


1n n

é divergente.


1 .n n



1 11 .n nn n


1 .n n



1( 1)n n n


e daí,

2 1

1 1 .( 1) ( 1)n mn n m m

Podemos escrever

Portanto,

1 1

1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m


1 1 1 .( 1) ( 1)n mm m m m

Temos que e

( ) Portanto

1

1( 1)n m m

é convergente.

34



| | | |

Como | |, | | é 1| |n

na


comparação que 1

nn

p

e

1n

nq


1 1 1 1( )n n n n n

n n n na p q p q

e 1

nn

a



12

31cos

n n

n

De fato, temos 2 2 2 21 1 1 1

1 1cos cos 1 13 3 .n n n n

n n

n n n n

Como 21

1n n

é convergente,


1cos3

n

n

n




| |


nn

a



| |

| || |

| |

| |

Fazendo | | e




Portanto 1

nn

a


Exemplo 3. 54

3.18


35


nn

a

uma série infinita para a qual é não nulo. Então:

1) 1 1lim n

n n

a La

, a série dada é absolutamente convergente.

2) Se 1 1n

n

a La ou em particular se 1 1lim n

n n

a La

ou

1lim n

n n

aa

, então série dada é divergente.

3) Se 1 1lim n

n n

aa

, nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada

do teste.

Demonstração: 1) É um caso particular do teorema 3.9; 2) Se então | | então| | | | para todo Dessa forma | | é monótona crescente | |. Se | | é limitada então | | onde {| | } . Portanto, neste caso, | | e daí segue do teorema que

1| |n

na

é divergente. Caso contrário, | | é ilimitada então | | é divergente. Dessa

forma, 1| |n

na

é divergente.

3) A série harmônica é divergente 1

1n n

e | | |

|

Por outro lado, 21

1n n

é convergente e | | |

|

prove que a série: Exemplo 3. 56

∑

é convergente. Fazendo

e

. Temos

34



| | | |

Como | |, | | é 1| |n

na


comparação que 1

nn

p

e

1n

nq


1 1 1 1( )n n n n n

n n n na p q p q

e 1

nn

a



12

31cos

n n

n

De fato, temos 2 2 2 21 1 1 1

1 1cos cos 1 13 3 .n n n n

n n

n n n n

Como 21

1n n

é convergente,


1cos3

n

n

n




| |


nn

a



| |

| || |

| |

| |

Fazendo | | e




Portanto 1

nn

a


35


nn

a


1) 1 1lim n

n n

a La


2) Se 1 1n

n


n n

a La

ou

1lim n

n n

aa


3) Se 1 1lim n

n n

aa


do teste.


1| |n

na


forma, 1| |n

na

é divergente.


1n n

e | | |

|

Por outro lado, 21

1n n


|


∑


e

. Temos

35


nn

a


1) 1 1lim n

n n

a La


2) Se 1 1n

n


n n

a La

ou

1lim n

n n

aa


3) Se 1 1lim n

n n

aa


do teste.


1| |n

na


forma, 1| |n

na

é divergente.


1n n

e | | |

|

Por outro lado, 21

1n n


|


∑


e

. Temos

3.19;

.


36

Como ( ) então segue do critério da razão que

∑

é convergente.

Exercício: Determine se a série é convergente ou divergente:

1

1

21

nn

n n

Exercício: Mostre que a série

1 1

21n

n

nnn é convergente. Em seguida, verifique se ela é

absolutamente convergente ou condicionalmente convergente: Teorema 3. 21. (Critério da raiz) Seja uma sequencia tal que √| | ,

para todo e para algum , (em particular √| | ). Então a série é é

absolutamente convergente.

Demonstração: Por hipótese, existe tal que √| | Dessa forma,

(√| | ) | |

é convergente então segue do teorema 3.16 que | | é convergente.

Portanto 1

nn

a

é absolutamente convergente. .

Teorema 3. 22. (Critério da raiz)

Seja 1

nn

a

uma série infinita para a qual un é diferente de zero. Então:

1) Se | | 1limnn

na L


2) Se 1limnn

na L

ou selimnn

na

, a série dada é divergente.

3) Se 1limnn

na


do teste.

35


nn

a


1) 1 1lim n

n n

a La


2) Se 1 1n

n


n n

a La

ou

1lim n

n n

aa


3) Se 1 1lim n

n n

aa


do teste.


1| |n

na


forma, 1| |n

na

é divergente.


1n n

e | | |

|

Por outro lado, 21

1n n


|


∑


e

. Temos

36


∑

é convergente.


1

1

21

nn

n n


1 1

21n

n






(√| | ) | |


Portanto 1

nn

a



Seja 1

nn

a


1) Se | | 1limnn

na L


2) Se 1limnn

na L

ou selimnn

na


3) Se 1limnn

na


do teste.

36


∑

é convergente.


1

1

21

nn

n n


1 1

21n

n






(√| | ) | |


Portanto 1

nn

a



Seja 1

nn

a


1) Se | | 1limnn

na L


2) Se 1limnn

na L

ou selimnn

na


3) Se 1limnn

na


do teste.

36


∑

é convergente.


1

1

21

nn

n n


1 1

21n

n






(√| | ) | |


Portanto 1

nn

a



Seja 1

nn

a


1) Se | | 1limnn

na L


2) Se 1limnn

na L

ou selimnn

na


3) Se 1limnn

na


do teste.

critério da comparação

36


∑

é convergente.


1

1

21

nn

n n


1 1

21n

n






(√| | ) | |


Portanto 1

nn

a



Seja 1

nn

a


1) Se | | 1limnn

na L


2) Se 1limnn

na L

ou selimnn

na


3) Se 1limnn

na


do teste.


37

Demonstração: 1) Segue diretamente do teorema 3.20) Se e √| | | | com Dessa forma, | | para todo com assim

1| |.n

nc

Logo, segue do critério da comparação 1| |n

na

é divergente. Portanto

1n

na

é divergente.


1n n

e 2

1

1n n

a série servem como exemplos, que o teste

da raiz não é conclusivo, neste caso.

Verifique se a série dada, a seguir é absolutamente convergente Exemplo 3. 57

2

21

3 .4 7

n

n

nn

Segue do Teste da raiz que : 141

743

743

2

2

2

2

n

nlimnnlim

nn

n

n, logo esta série converge

absolutamente.

Verifique se a série dada, a seguir é absolutamente convergente

1313n

n

nn ; Exemplo 3. 58

Segue do Teste da Raiz:

127273

33333 3

1313131

.

nlimnlimnlimnlim on

nnn

nn

nnn

nn

n

n. Logo, a série é

divergente.

Prove que 0

1 10 .10 9n

n

Exemplo 3. 59

De fato, considere (I)

Multiplicando (I) por temos: (II)

Assim, fazendo (I)-(II) obtemos:

Ou seja,

(

)

Portanto,

3.16; 2)

29) Na pagina 84, na linha 17 nao tem o ”e”entre∞�

n=1

an sera convergente

30) Na pagina 85, na linha 18 no exemplo 3.55 e para corrigir Utilize o teorema 3.18

31) Na pagina 86, na linha 16 e para corrigir do teorema 3.19

32) Na pagina 86, na linha 18 e para tirar o sımbolo |an| entre as palavras cresente.Se

33) Na pagina 87, na linha 18 e para corrigir entao segue do criterio da comparacaoem vez de teorema 3.16

34) Na pagina 88, apartir da linha 1 e para corrigir:

35) Segue diretamento do teorema 3.16; 2) Se c > 1, e ∀n ∈ N n�

|an| > c ⇔ .... com

c > 1. Como∞�

n=1

|cn| e divergente, pois c > 1, entao segue do criterio da comparacao que

∞�

n=1

|an| e divergente.

37) Na pagina 88, acima do exemplo 3.58 escrever: Exercıcios Resolvidos

38) Na pagina 90, na penultima linha bem no final e para tirar o sinal de = que esta

entre os sımbolos → e1

3

39) Na pagina 90, na ultima linha e para colocar Segue do criterio da razao que

40) Na pagina 91, linha 10 e para mudar para Segue do criterio da razao que


Capıtulo 4 e 5

41) Na pagina 96, linha 4 e para eliminar o exemplo 4.4, pois esta repetido, a partirdai a numeracao do exemplos irao mudar

42) Na pagina 96, linha 6 e para mudar a numeracao do exemplo este passara a sero exemplo 4.4


3

29) Na pagina 84, na linha 17 nao tem o ”e”entre∞�

n=1

an sera convergente

30) Na pagina 85, na linha 18 no exemplo 3.55 e para corrigir Utilize o teorema 3.18

31) Na pagina 86, na linha 16 e para corrigir do teorema 3.19

32) Na pagina 86, na linha 18 e para tirar o sımbolo |an| entre as palavras cresente.Se

33) Na pagina 87, na linha 18 e para corrigir entao segue do criterio da comparacaoem vez de teorema 3.16

34) Na pagina 88, apartir da linha 1 e para corrigir:

35) Segue diretamento do teorema 3.16; 2) Se c > 1, e ∀n ∈ N n�

|an| > c ⇔ .... com

c > 1. Como∞�

n=1

|cn| e divergente, pois c > 1, entao segue do criterio da comparacao que

∞�

n=1

|an| e divergente.

37) Na pagina 88, acima do exemplo 3.58 escrever: Exercıcios Resolvidos

38) Na pagina 90, na penultima linha bem no final e para tirar o sinal de = que esta

entre os sımbolos → e1

3

39) Na pagina 90, na ultima linha e para colocar Segue do criterio da razao que



Capıtulo 4 e 5

41) Na pagina 96, linha 4 e para eliminar o exemplo 4.4, pois esta repetido, a partirdai a numeracao do exemplos irao mudar



3

37

Demonstração: 1) Segue diretamente do teorema 3.20) Se e √| | | | com Dessa forma, | | para todo com assim

1| |.n

nc

Logo, segue do critério da comparação 1| |n

na

é divergente. Portanto

1n

na

é divergente.


1n n

e 2

1

1n n

a série servem como exemplos, que o teste

da raiz não é conclusivo, neste caso.

Verifique se a série dada, a seguir é absolutamente convergente Exemplo 3. 57

2

21

3 .4 7

n

n

nn

Segue do Teste da raiz que : 141

743

743

2

2

2

2

n

nlimnnlim

nn

n

n, logo esta série converge

absolutamente.

Verifique se a série dada, a seguir é absolutamente convergente

1313n

n

nn ; Exemplo 3. 58

Segue do Teste da Raiz:

127273

33333 3

1313131

.

nlimnlimnlimnlim on

nnn

nn

nnn

nn

n

n. Logo, a série é

divergente.

Prove que 0

1 10 .10 9n

n

Exemplo 3. 59

De fato, considere (I)

Multiplicando (I) por temos: (II)

Assim, fazendo (I)-(II) obtemos:

Ou seja,

(

)

Portanto,

Exercícios Resolvidos


38

*

+

Prove que 1

1 1.( 1)n n n

Exemplo 3. 60

De fato, fazendo

, podemos determinar constantes tais que

,

Assim,

Dessa forma,

.

1

1 1lim lim 1 1.( 1) 1n

nS

n n n

Mostre que a série dada é convergente: Exemplo 3. 61

∑(

)

.

De fato, temos que

∑

Assim:

∑(

) ∑

∑


39

Podemos escrever Exemplo 3. 62

. Prove que

∑

onde, Podemos escrever:

(

)

Pois,

∑

Prove que a série 1

1 1 1 1 11 2 3p p p p p

n n n

diverge se a constante p Exemplo 3. 63

1 .

Se p = 1, a série em questão é a série harmônica a qual diverge. E se p < 1, então n p n;

assim, nn p11

para todo n inteiro positivo. Logo pelo teste da comparação, a série p é

divergente se p < 1.

Prove que a série Exemplo 3. 64

∑

é são absolutamente convergente

De fato,

Temos que

|

|

( )

(

)

Portanto segue do critério da comparação que

+ +1np

......

→

razão que


40

∑

é convergente.


∑


De fato,

Temos que

|

|

(

)

(

)


∑



∑


De fato, temos que

|(

)

|

( )

(

)


∑


razão que

razão que

CAPÍTULO IV

TOPOLOGIA DA RETA

TOPOLOGIA DA RETA

CAPÍTULO IV

A topologia se preocupa com grandes generalidades, por exemplo, a noção de limite de uma

função, as propriedades de funções contínuas e dos conjuntos onde estas funções são

definidas e tomam valores. Para que tenha sentido este tipo de investigação, é necessário

estabelecer um ambiente adequado, tal ambiente de investigação destes objetos, é definido

por espaço topológico. Os espaços topológicos são estruturas onde fazem sentido questionar

características sobre as funções, como por exemplo, o limite e a continuidade destas funções.

O espaço topológico que frequentemente trabalhamos nos ensino médio e de graduação em

áreas exatas é o conjunto dos números reais.

Definição 4. 1. Dizemos que é ponto interior ao conjunto se somente se,

existe tal que ( ) . O conjunto dos pontos interiores a chama-se

interior do conjunto e denotamos por ( ) * é ponto interior+

Definição 4. 2. Dizemos que um conjunto é aberto em , se somente se,

( ) .

Seja . /. Para todo é ponto interior a

, tome Exemplo 4. 1

Observe que ( ) Para todo

, é ponto interior a

Seja . /. Temos que não é ponto interior de , pois para todo Exemplo 4. 2

o intervalo . / não esta contido . /

4.1 Introdução

4.2 Conjuntos Abertos


2

Seja . /. Para todo é ponto interior a , tome Exemplo 4. 3

Observe que ( ) Para todo , é ponto interior a

Portanto . / ( . /) Como não é ponto interior, então ( . /)

. / Neste caso, . / é aberto em

. / é aberto para todo . Exemplo 4. 4

Seja 0 / Exemplo 4. 5

, não é ponto interior a 0 /. Pois , temos que . /

0 / Analogamente o exemplo anterior, temos para todo é ponto interior a

Portanto . / (0 /) Como não é ponto interior ,então

(0 /) . / Neste caso, 0 / não é aberto em

Sejam Prove que ( ) é aberto em Exemplo 4. 6

De fato, para todo ( ) tome 0 *| | | |+ Temos que

( ) Portanto ( ) (( )) Além disso, ( ) ( ) Desta forma, ( ) (( )) Portanto ( ) (( )) e ( ) é aberto.

. / é aberto para todo Exemplo 4. 7

Teorema 4. 1. a) Se e são conjuntos abertos em , então a interseção, é um

conjunto aberto em .

b) Se( ) é uma família qualquer de conjuntos abertos em então

⋃ é um conjunto aberto em .

Demonstração: Suponha que e são abertos e seja Temos que:

e Como e é aberto, então existe tal que ( ) .

Analogamente é aberto, então existe tal que ( ) . Agora,

considere * +. Logo, ( ) e ( ) Ou seja,

( ) e é ponto interior a Portanto é aberto em

b) Seja ⋃ Temos que ⋃ , para algum Como e é aberto, então existe tal que ( ) Mas,

2

Seja . /. Para todo é ponto interior a , tome Exemplo 4. 3

Observe que ( ) Para todo , é ponto interior a

Portanto . / ( . /) Como não é ponto interior, então ( . /)

. / Neste caso, . / é aberto em

. / é aberto para todo . Exemplo 4. 4

Seja 0 / Exemplo 4. 5

, não é ponto interior a 0 /. Pois , temos que . /

0 / Analogamente o exemplo anterior, temos para todo é ponto interior a

Portanto . / (0 /) Como não é ponto interior ,então

(0 /) . / Neste caso, 0 / não é aberto em

Sejam Prove que ( ) é aberto em Exemplo 4. 6

De fato, para todo ( ) tome 0 *| | | |+ Temos que

( ) Portanto ( ) (( )) Além disso, ( ) ( ) Desta forma, ( ) (( )) Portanto ( ) (( )) e ( ) é aberto.

. / é aberto para todo Exemplo 4. 7

Teorema 4. 1. a) Se e são conjuntos abertos em , então a interseção, é um

conjunto aberto em .

b) Se( ) é uma família qualquer de conjuntos abertos em então

⋃ é um conjunto aberto em .

Demonstração: Suponha que e são abertos e seja Temos que:

e Como e é aberto, então existe tal que ( ) .

Analogamente é aberto, então existe tal que ( ) . Agora,

considere * +. Logo, ( ) e ( ) Ou seja,

( ) e é ponto interior a Portanto é aberto em

b) Seja ⋃ Temos que ⋃ , para algum Como e é aberto, então existe tal que ( ) Mas,

3

( ) ⋃ Portanto é o ponto interior a ⋃ e é

aberto.

Seja Considere . / . Fazendo { no Teorema, temos Exemplo 4. 8

que é aberto, Observe que ⋃ ( ) e é aberto.

Seja Considere ( ) . Fazendo { no Teorema, temos Exemplo 4. 9


Definição 4. 3. Dizemos que um ponto é aderente a um conjunto , quando

é limite de alguma sequência de pontos . Ou seja,

é ponto aderente a ;( ) e .

Seja Para todo temos que é ponto aderente a . Exemplo 4. 10

De fato, tome ( ) ( ), ( ) e . Portanto é ponto aderente a .

Considere . / Provemos que e é ponto aderente ao Exemplo 4. 11

conjunto .

De fato, tome

Observe que

. Logo .

/

Além disso, Portanto é ponto aderente a .

Considere ( ) . Prove que e são pontos aderente a Basta Exemplo 4. 12

tomar . Observe que ( ) e

Da mesma forma, provamos que é ponto de aderência de considerando a sequência

em

Definição 4. 4. Chama-se fecho de um conjunto ao conjunto formado pelos

pontos aderentes de e denotamos por * é o ponto aderente a +.

Para todo prove que Exemplo 4. 13

, considere . ( ) e . Logo,

Exemplo 4.4

Exemplo 4.5

Exemplo 4.6

3


aberto.











conjunto .

De fato, tome

Observe que

. Logo .

/





em





Segue diretamente do exemplo 4.5

Topologia da RetaEaD•UFMS 95

3


aberto.











conjunto .

De fato, tome

Observe que

. Logo .

/





em





4.3 Conjuntos Fechados

A = [-1,1]

Exemplo 4.7

Exemplo 4.8

Exemplo 4.9

Exemplo 4.10

Exemplo 4.11

Exemplo 4.12


4

Considere ( ). Calcule o fecho Exemplo 4. 14

Temos que e ou seja, são pontos aderente a Além disso, para todo temos que é ponto aderente Basta tomar ( ) ( ), ( ) e . Portanto

, - Como ( ) Então e é fechado é fechado em

Considere . / Calcule o fecho do conjunto Exemplo 4. 15

Para todo temos que é ponto aderente a .

De fato, tome ( ) ( ), ( ) e . Portanto é ponto aderente a e

Observe que , mas . Desta forma, 0 /.

Para todo Prove que: Exemplo 4. 16

Seja . Como , então ( ) com . Por hipótese, , então

concluímos que ( ) Desta forma, ( ) e . Portanto

Proposição 4. 1 Um ponto é aderente a um conjunto , temos que:

( )

Demonstração:

( ) Hipotése: é ponto aderente a Tese: temos que ( ) Seja tal que é ponto aderente. Segue da definição que é ponto aderente

a ( ) e .

/ | | / (

). Como e ( ), então ( )

( )Hip.: ( )

Tese: é ponto aderente a

Por hipótese dado ( )

Assim seja ( )

Dado .

/ assim, seja .

/

Em geral, dado .

/ assim, seja,

.

/.

4












( )

Demonstração:


a ( ) e .

/ | | / (


( )Hip.: ( )



Assim seja ( )

Dado .

/ assim, seja .

/

Em geral, dado .

/ assim, seja,

.

/.

;

xn∈

4












( )

Demonstração:


a ( ) e .

/ | | / (


( )Hip.: ( )



Assim seja ( )

Dado .

/ assim, seja .

/

Em geral, dado .

/ assim, seja,

.

/.

(∀n > n0 ⇒ | xn - a | < Ɛ )∀n > n0 ⇒ | xn - a | < Ɛ ⇔ ∀n > n0 ⇒ - Ɛ < xn - a < Ɛ∀n > n0 ⇒ - Ɛ + a < xn < Ɛ + a ⇔ ∀n > n0 ⇒ xn ∈ (a - Ɛ, a + Ɛ)

Exemplo 4.13

Exemplo 4.14

Exemplo 4.15


5

Logo, e

ou seja, e

Portanto e .

Corolário: Um ponto é aderente ao conjunto , intervalo, com , tem-se

.

Definição 4. 5. Seja é fechado em se, e somente, se




Observe que , mas . Desta forma, 0 / e não é fechado em

Considere 0 0 Calcule o fecho do conjunto Exemplo 4. 18



Desta forma, 0 / Portanto, e é fechado em

Considere Calcule Exemplo 4. 19

De fato, segue da definição . Por outro lado,

( ) Portanto, . Daí, concluímos que

, ) não é fechado. Exemplo 4. 20

De fato, observe que , - e Desta forma, não é fechado em

Teorema 4. 2. Um conjunto é fechado é aberto.

( )Hipótese: é fechado

Tese: é aberto

é fechado . Queremos provar que é aberto,

ou seja, ( )

(i) Sempre é valido ( ) .

- a

Exemplo 4.16

Exemplo 4.17

Exemplo 4.18

Exemplo 4.19

5

Logo, e

ou seja, e

Portanto e .

Corolário: Um ponto é aderente ao conjunto , intervalo, com , tem-se

.

Definição 4. 5. Seja é fechado em se, e somente, se




Observe que , mas . Desta forma, 0 / e não é fechado em

Considere 0 0 Calcule o fecho do conjunto Exemplo 4. 18



Desta forma, 0 / Portanto, e é fechado em


De fato, segue da definição . Por outro lado,

( ) Portanto, . Daí, concluímos que

, ) não é fechado. Exemplo 4. 20

De fato, observe que , - e Desta forma, não é fechado em

Teorema 4. 2. Um conjunto é fechado é aberto.

( )Hipótese: é fechado

Tese: é aberto

é fechado . Queremos provar que é aberto,

ou seja, ( )

(i) Sempre é valido ( ) .


6

(ii) Agora provemos que ( ). Seja . Logo

não é ponto aderente a / ( ) Como e ( ) então ( ) .

Portanto ( ). Segue de (i) e (ii) que ( ) e é aberto.

( ) Hipótese: é aberto

Tese:

(i) Sempre vale .

(ii) Provemos que . Para isso, seja , queremos provar que .

Suponha por absurdo que . Logo,

Como e é aberto, então é ponto interior de . Segue da

definição, que existe tal que ( ) . Logo, ( ) e

, o que é absurdo. Portanto e . Segue de (i) e (ii) que e é fechado

em .

Corolário: Um conjunto é aberto em é fechado em .

Corolário: a) Se e são conjuntos fechados em , então a interseção, ⋃ é um

conjunto fechado .

b) Se( ) é uma família qualquer de conjuntos fechados em então

é um conjunto fechado em .

Este corolário é uma aplicação direta do teorema combinado com as das Leis de Morgan [].

Considere Prove que é fechado em . Exemplo 4. 21

De fato, já vimos que é aberto em Como e é aberto em então

segue do Teorema que é fechado em Como conseqüência do corolário e do exemplo, temos que é fechado em Desta forma,

os subconjuntos a saber, e são fechados e abertos ao mesmo tempo.

Prove que todo conjunto finito * + é fechado em . Exemplo 4. 22

De fato, suponha . Observe que:

( ) ( ) ( )

0

[37].

Exemplo 4.20

Exemplo 4.21


7

Como ( ) ( ) ( ) ( ), são abertos, então ( ) ( ) ( ) é aberto. Portanto, * + é fechado em .

Considere o conjunto dos números inteiros Prove que é fechado Exemplo 4. 23

em .

De fato, vamos definir a seguinte família de conjuntos fechados em que são

* + * + * + * + * + Em geral,

* + e * + Segue do exemplo anterior que e * + são conjuntos fechados em Logo, e são conjuntos

abertos de Podemos escrever ⋃

. Logo, é aberto em . Portanto,

é fechado.


Em geral, a interseção de uma família qualquer de conjuntos abertos em Exemplo 4. 25

não gera um subconjunto aberto em . De fato, Considere a seguinte família de abertos em

, . / Temos que ⋂ ⋂ .

/ * + e * + é fechado.

Definição 4. 6. Seja . Dizemos que é denso em quando .

Considere e Prove que é denso em Exemplo 4. 26

De fato, vimos no capítulo de Conjuntos Inumeráveis e não enumeráveis que todo intervalo da

reta contém número racionais e irracionais, ou seja, , temos que ( ) . Desta

forma, todo é aderente a pois , ( ) Portanto,

, temos que Portanto o conjunto dos números racionais é denso no

conjunto dos reais.

Definição 4. 7. Dizemos que é ponto de acumulação do conjunto se, e

somente, se dado ( ) ( * +) . O conjunto dos pontos de

acumulação de um conjunto C é e representado pela notação:

* é o ponto de acumulação de +.

Considere conjunto e Prove que 0 é ponto de acumulação de . Exemplo 4. 27

4.4 Pontos de Acumulação

7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






7



em .


* + * + * + * + * + Em geral,




é fechado.




, . / Temos que ⋂ ⋂ .








conjunto dos reais.






, X = { ; n ∈ }.1n

3


aberto.











conjunto .

De fato, tome

Observe que

. Logo .

/





em





é representado pela notação:

Exemplo 4.22

Exemplo 4.23

Exemplo 4.24

Exemplo 4.25


8

De fato, dado temos que ( ) ( * +) Portanto 0 é ponto de

acumulação de Sejam conjunto e Prove que * + Exemplo 4. 28

De fato, segue da definição é ponto de acumulação de se, e somente se dado

( ) ( * +) . Segue da proposição () que:

( ) ( * +) * +

Definição 4. 8. Se não é ponto de acumulação de , então dizemos que é

ponto isolado de .

Segue da definição () que não é ponto de acumulação de um conjunto se, e

somente, se existe tal que, ( ) * +. Ou seja,

é ponto isolado de ( ) * + Teorema 4. 3. Dados e , as seguintes afirmações são equivalentes.

(a) é um ponto de acumulação em .

(b) é limite de uma sequência de pontos * +. (c) Todo intervalo aberto de centro contém uma infinidade de pontos de .

Demonstração:

( ) ( ) é ponto de acumulação de ( ) ( * + .

Dado existe ( ) ( * +)

Dado existe .

/ ( * +).

Dado existe .

/ ( * +).

Portanto temos que:

.

/ e | | . Como , então .

( ) ( ) Suponha que é limite de uma sequência de pontos * +

Temos que ( ). Consideremos o conjunto * +. Vamos provar que é um conjunto infinito. De fato, suponha por absurdo que

Y é finito. Desta forma, existe tal que * + e irá se repetir uma

infinidade de vezes. Logo obtemos uma sequência constante ( ) com Isto que a

acabamos de verificar gera um absurdo, pois obtemos uma subseqüência de ( ) que é

diferente de e isto contradiz nossa hipótese.

(4.1) que:

(a) a

(b) a

(c) Todo intervalo aberto de centro a contém uma infinidade de pontos de X.

Exemplo 4.26


9

( ) ( ) Por hipótese, temos que ( ) tem infinitos pontos de Logo, ( ) ( * + .

Definição 4. 9. Seja um conjunto Dizemos que é compacto se, e

somente, se é limitado e fechado.

Considere , - Prove que é compacto. Exemplo 4. 29

De fato, já vimos que todo intervalo da reta da forma , - com é fechado e

limitado inferiormente por e superiormente por Portanto , - é compacto.

Considere * + com Prove que é Exemplo 4. 30

compacto.

De fato, já vimos que todo conjunto finito de números reais é fechado em Vamos verificar

que é limitado. Seja *| | | | | | | |+ Temos que limitado

inferiormente por e superiormente por Portanto é compacto.

Considere { } Prove que não é compacto. Exemplo 4. 31

De fato, apesar de limitado inferiormente por e superiormente por não é fechado,

pois e

Considere o conjunto dos números inteiros Prove que não é Exemplo 4. 32

compacto.

De fato, apesar de ser fechado em como vimos anteriormente, temos que não é

limitado. Portanto não é compacto.

Teorema 4. 4. Um conjunto não compacto ( ) com ( ) possui

uma subseqüência ( ) tal que Demonstração:

( ) Suponha que é compacto, ou seja, é limitado e fechado. Considere ( ) com

Provemos que com De fato, seja

* + Observe que e é limitado por hipótese, logo é

limitado.

4.5 Conjuntos Compactos

é

Exemplo 4.27

Exemplo 4.28

Exemplo 4.29

Exemplo 4.30


10

Como ( ) é limitada, então segue do teorema de Bolzano-Weierstrass ( ) com

. Temos que para todo , e por hipótese, é fechado,

desta forma, ( ) Reciprocamente, suponha ( ) com ( ) possui uma subseqüência

( ) tal que Provemos que é fechado e limitado. De fato, que é

fechado segue diretamente da hipótese. Suponha por absurdo que não seja limitado, ou

seja, para cada com | | Logo podemos construir uma

subseqüência ( ) tal que é divergente, o que é um absurdo. Portanto é limitado.

Seja limitado, não vazio. Então e são aderentes a Exemplo 4. 33

.

Por hipótese é limitado e não vazio. Sejam e Provemos que

e são aderentes . De fato,

, como , pois Logo e é aderente a

. Da mesma forma, , com pois

Logo e é aderente a

Prove que ( ) ( ( )) Exemplo 4. 34

Faça ( ) Provemos que:

(i) ( ) e (ii) ( ) i) Sempre é válido.

) Seja Como ( ), então existe tal que, ( ) Provemos que ( ) ( ) Seja ( ), queremos provar que

( ), ou seja, é ponto interior de .

Tome *| ( )| | ( )| e observe que ( ) ( ) Logo ( ) Portanto, segues de (i) e (ii) que ( ) ( ( ))

Dados . Prove que ( ) ( ) ( ) Exemplo 4. 35

De fato, temos que provar:

i) ( ) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) ( )

i) Seja ( ).

Exemplo 4.31

Exemplo 4.32

Exemplo 4.33


11

( ) tal que ( ) . Temos que

( ) e ( ) Logo existe

( ) e ( ) Dessa forma, ( ) e

( ) Portanto ( ) ( ) ii) Seja ( ) ( ).

( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ) .

( ) ( ) Tome * + Logo,

( ) ( ) e

( ) ( ) Como ( ) e ( ) então ( ) Portanto

( ).

Dados . Prove que ( ) ( ) ( ) Exemplo 4. 36

De fato, seja ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se ( ), então existe tal que ( ) ( ) ( ) E se ( ), então existe

tal que ( ) Portanto ( )

Mostre que ( ) ( ) ( ) Exemplo 4. 37

De fato dado ( - e , ) temos

( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e

( ) ( ) ( ) ( ). Portanto, ( ) ( ) ( ) Para todo O conjunto , chama-se a fronteira de e é definido por Exemplo 4. 38

( ) * ( ) e ( ) ( ) + Segue da definição que: ( )

a) Seja Prove que é aberto

( ) De fato, suponha por absurdo ( ) ( ) existe tal que ( ) existe tal que

( ) e ( ) ( ) . Dessa forma,

Exemplo 4.34

Exemplo 4.35

Exemplo 4.36


12

( ) Logo ( ) O que é contradição da hipótese dada.

Portanto ( ) .

( ) Reciprocamente, suponha ( ) e provemos em seguida que ( ) Ou seja: (i) ( ) e (ii) ( )

(i) ( ) É sempre válido.

ii) Seja Como e ( ) então ( ) ( ) ( ) ou o que é uma contradição, pois supomos, inicialmente, Logo

existe ( ) ( ) Dessa forma, existe

( ) Portanto ( ) Segue de (i) e (ii) que ( ) e A é aberto.

b) Prove que, para todo , vale De fato, provemos:

(i) ( ) (ii) ( )

(i)Seja . Temos que ou Caso então ( ) Caso então Logo e ou seja,

( ) Portanto ( )

(ii) Seja ( ) ( ) ou ( ). Caso

Caso ( ) ( ) Segue de i) e ii) que

Para cada um dos conjunto seguintes determine sua fronteira: , - Exemplo 4. 39

( ) - , .

( ) * + ( ) * +

12

( ) Logo ( ) O que é contradição da hipótese dada.

Portanto ( ) .

( ) Reciprocamente, suponha ( ) e provemos em seguida que ( ) Ou seja: (i) ( ) e (ii) ( )

(i) ( ) É sempre válido.

ii) Seja Como e ( ) então ( ) ( ) ( ) ou o que é uma contradição, pois supomos, inicialmente, Logo

existe ( ) ( ) Dessa forma, existe

( ) Portanto ( ) Segue de (i) e (ii) que ( ) e A é aberto.

b) Prove que, para todo , vale De fato, provemos:

(i) ( ) (ii) ( )

(i)Seja . Temos que ou Caso então ( ) Caso então Logo e ou seja,

( ) Portanto ( )

(ii) Seja ( ) ( ) ou ( ). Caso

Caso ( ) ( ) Segue de i) e ii) que

Para cada um dos conjunto seguintes determine sua fronteira: , - Exemplo 4. 39

( ) - , .

( ) * + ( ) * +

(A)

Exemplo 4.37


13

( ) (Segue do exercício 5 e 6 do capítulo 1capitulo que todo intervalo da

reta tem racionais e irracionais )

Sejam Exemplo 4. 40

a) Prove que De fato, (i) e vem e Logo (ii) Seja

existe ( ) com e Se para infinitos valores de então Ou para infinitos valores de

então Logo Portanto

Segue de (i) e (ii) que b) que ;

De fato, e para quaisquer Logo, e Portanto .

c) Dê exemplo em Considere , ) e ( - Claro que Assim,

, - , - * +. Por outro lado, , -

(Segue das proposições 2.9 e 2.10, do capítulo 2 que todo

Exemplo 4.38

13



Sejam Exemplo 4. 40







, - , - * +. Por outro lado, , -

13



Sejam Exemplo 4. 40







, - , - * +. Por outro lado, , -

CAPÍTULO V

FUNÇÕES, LIMITES E CONTINUIDADE

FUNÇÕES, LIMITES E CONTINUIDADE

CAPÍTULO V

O objetivo principal deste capítulo é estudar o comportamento de uma classe de funções,

denominadas na literatura como funções reais de uma variável. Uma função é real se o seu

campo de definição é o conjunto dos números reais, ou subconjuntos deste e o seu

contradomínio é o conjunto dos números reais. Para isso, é fundamental definir o conceito de

limite e continuidade. A noção de limite não surgiu de uma hora para outra, foi um processo

que começou na antiguidade. Na Grécia Antiga, Arquimedes (287 – 212 A.C) já utilizava este

conceito que ele denominou método de exaustão (BOYER, 1996, pg 62 ). Séculos depois,

Cavaliere repete a ideia de Arquimedes, cujo nome dado por ele foi método dos indivisíveis

(BOYER, 1996).

Euler (1707 -1783) foi quem utilizou pela primeira vez o símbolo para representar uma

função, definindo-a como qualquer expressão analítica. Euler dividiu as funções em duas

classes, levando em consideração a lei de formação de cada uma delas; as definidas por uma

única expressão analítica seriam classificada como contínuas e caso esta lei mudasse em cada

intervalo então chamaríamos de descontínuas ou mistas.

Perto do fim do século XVIII, quando muitos absurdos e contradições tinham surgidos na

matemática em decorrência do emprego descontrolado da intuição e da falta de formalismo

deste século, sentiu-se que era essencial examinar as bases da análise, para dar-lhes uma

fundamentação rigorosa a diversos conceitos de matemática. Foi, então, que a ideia de função

foi esclarecida e noções como a de limite, continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade

foram cuidadosamente definidos.


2

Definição 5. 1. Seja uma função definida num intervalo contendo um ponto Dizemos que o limite de , quando tende a podendo não estar definida no

ponto precisa ser ponto de acumulação do é igual ao número real e

escrevemos

se, para todo número real podemos obter de tal forma que | | | |

Seja { { } Mostre que Exemplo 5. 1

De fato, dado tome e observe que { } se | | então

| | | | Portanto

Seja { Mostre que Exemplo 5. 2

De fato, dado tome e suponha que | |

| | | | | |

| | | |

Dessa forma, | | | | Portanto

Teorema 5. 1. Sejam e com ponto de acumulação de Se

e então

Demonstração: Suponha por absurdo que e com

Como então tome | | Para este | | temos:

a) Existe , com | | | |

b) Existe , com | | | | Dessa forma, tome { } e daí com | | | | e | | Assim, com | | | | | | | |

Funções, Limites e ContinuidadeEaD•UFMS 111

3

| | | | | | Logo, | | | | o que é

absurdo. Portanto

O Teorema 5.2 descreve o conceito de limite segundo Heine, ou seja, o conceito de limite é

caracterizado por meio de convergência de sequências de números reais.

Teorema 5. 2. Sejam e com ponto de acumulação de { } Demonstração: Suponha que Dessa forma,

dado podemos obter de tal forma que | | | | Seja { } tal que Queremos provar que Para isso,

considere para este podemos obter de tal forma que { } | | | | Como então, em particular para , existe tal que implica

| | Logo, que implica que | | Portanto Reciprocamente suponha que { }, Faremos a recíproca deste teorema, supondo por absurdo que o limite da função quando é diferente do número real Ou seja, dado existe

{ } e | | Para existe

(

) { } e | | Assim, sucessivamente ...

Para do existe (

) { } e | |

Portanto temos que uma sequência ( com { } e | | Este fato contraria a hipótese que

Sejam { } definida por ( ) Prove que não existe Exemplo 5. 3

3

| | | | | | Logo, | | | | o que é

absurdo. Portanto








(


Para do existe (

) { } e | |



3

| | | | | | Logo, | | | | o que é

absurdo. Portanto








(


Para do existe (

) { } e | |




4

De fato, Tome

e

Observe que ( )

( ) e que ( ) (

) diverge. Logo

diverge. Portanto, segue do Teorema 5.1 que não existe

Sejam definida por Exemplo 5. 4

{

Prove que não existe

De fato, seja Considere o intervalo da reta Segue do

Exercício 5 do capítulo (números reais) que existe tal que Da

mesma forma, para o intervalo ( ) existe tal que (

).

Seguindo este raciocínio sucessivamente, temos que existe tal que (

) e assim obtemos a sequência de números racionais , tal que e

Considere o intervalo da reta Segue do do Exercício 6 do capítulo

(números reais) que existe tal que é irracional e Da mesma forma,

para o intervalo ( ) que existe tal que é irracional e (

). Seguindo este raciocínio sucessivamente, temos que existe irracional tal que

( ) e assim obtemos a sequência de números irracionais , tal que e

Dessa forma, segue do Teorema 5.2 não existe

Definição 5. 2. Sejam e com ponto de acumulação de { } e O número real é chamado de limite lateral a direita de

Definição 5. 3. Sejam e com ponto de acumulação de { } e O número real é chamado de limite lateral a esquerda de Teorema 5. 3. Sejam e Demonstração:

A demonstração da recíproca deste Teorema a consiste em juntar as definições 5.2 e 5.3 e

obter uma sequência de pontos arbitrária { } A partir daí, temos , tal

da

proposição 2.9 do capítulo (números reais)

proposição 2.10 do capítulo


5

que e Como então

Teorema 5. 4. Sejam , com e . Então:

a) [ ] b) [ ]

c)

, se

Demonstração: Seja tal que Temos que e assim Também e daí a) Portanto a sequência arbitrária e Segue do Teorema 5.2 que [ ]

b) Portanto a sequência arbitrária e Segue do Teorema 5.2 que [ ]

c) Portanto a sequência arbitrária e ( ) Segue do Teorema 5.2

que

, se

Definição 5. 4. Seja uma função, tal que e sendo ponto de acumulação do Dizemos que é contínua em se e somente se

caso contrário, dizemos que , é descontínua em . Dado dizemos que é contínua em se é contínua em para todo caso

contrário, dizemos que , é descontínua em

: Seja [ ] definida por Exemplo 5. 5

{

Pode-se verificar que a função não é contínua em e mas é contínua no ] [ A função não é contínua no ponto [ ] pois não é contínua em


6

O Teorema a seguir caracteriza a continuidade de uma função em ponto , por

meio de sequências, este resultado é obtido pelo Teorema 5.2 fazendo neste

Teorema.

Teorema 5. 5. Sejam e com com ponto de acumulação de é contínua em , se e só se, para toda sequência tal que A demonstração deste Teorema é análoga a demonstração do Teorema 5.2., pois é um caso

particular (quando Este Teorema é de grande utilidade na resolução dos

exercícios sobre continuidade.

Teorema 5. 6. Sejam , contínuas em Então:

a) definida por: é contínua em b) definida por: é contínua em

a) definida por: ( ) é contínua em

Demonstração: A demonstração deste Teorema é análoga a demonstração do Teorema 5.3.

Uma função é contínua num intervalo ] [ se e somente se é contínua em todos os pontos do intervalo ] [ Uma função é contínua num intervalo [ ] se e somente se é contínua em todos os pontos do intervalo ] [ Além disso, os seguintes limites laterais existem, e

Seja [ ] definida por Exemplo 5. 6

{

Pode-se verificar que a função não é contínua em e mas é contínua no ] [ A função não é contínua no ponto [ ] pois não é contínua em Teorema 5. 7. Seja contínua em Se então existe

tal que Demonstração:

Como é contínua em então dado então tal que

| | implica | | Dessa forma, implica Portanto,


7

implica

Teorema 5. 8. Sejam [ ] contínua. Se então existe ] [ tal que Demonstração: Considere { [ ] } Observe que [ ] pois Temos que é limitado superiormente sendo uma cota superior de Assim, seja e com Como então Sendo contínua em [ ] e então . Portanto

Agora temos e então concluímos que Assim

] [ Provemos que ou

Caso então segue do Teorema 5.6, que então existe tal que Logo podemos encontrar [ ] tal que com Daí e o que absurdo pois

Portanto,

Sejam e . Se , Exemplo 5. 7

então existe tal que .

De fato, seja Tome e observe

Dado existe tal que

| | | |

Dado existe tal que

| | | | Agora, tome { } então temos:

} Assim,

Sejam e . Exemplo 5. 8

Se { } então .

De fato, dado arbitrariamente existem e tais que:

5.7,


8

| | e

| | .

Tome { } e veja, | | temos

Portanto, Sejam e tais que e existe tal Exemplo 5. 9

que

| | Prove que ( ) De fato, seja o Assim,

para existe tal que | | | |

Observe que,

| | | | | | | |

Portanto, ( )

Sejam e { } . Prove que: Exemplo 5. 10

.

De fato,

tal que, { } e Como e então Assim, existe ( ) tal que

Portanto

Sejam continuas no ponto , com . Prove que Exemplo 5. 11

existe tal que

De fato, seja e considere .

Para este em particular, temos que e além disso, existem

e tais que :

| | e

| | .

Dessa forma, para { } temos, | | .

Portanto, existe tal que Sejam contínua em contínua no ponto Exemplo 5. 12

e . Então é contínua no ponto a.

8

| | e

| | .

Tome { } e veja, | | temos

Portanto, Sejam e tais que e existe tal Exemplo 5. 9

que

| | Prove que ( ) De fato, seja o Assim,

para existe tal que | | | |

Observe que,

| | | | | | | |

Portanto, ( )

Sejam e { } . Prove que: Exemplo 5. 10

.

De fato,

tal que, { } e Como e então Assim, existe ( ) tal que

Portanto

Sejam continuas no ponto , com . Prove que Exemplo 5. 11

existe tal que

De fato, seja e considere .

Para este em particular, temos que e além disso, existem

e tais que :

| | e

| | .

Dessa forma, para { } temos, | | .

Portanto, existe tal que Sejam contínua em contínua no ponto Exemplo 5. 12

e . Então é contínua no ponto a.


9

De fato, seja Para este existe, pela continuidade de g no ponto b, um numero tal

que | | implica que | | .

Por sua vez a continuidade de f no ponto a assegura que existe tal que

| | implica | | .

Dessa forma , implica | | e daí

| ( ) | | ( ) | | | | ( ) | | | Portanto é contínua no ponto a.

Sejam contínuas. Prove que X é aberto, então o conjunto Exemplo 5. 13

{ } é aberto em

De fato, temos que onde { } Provemos que é fechado

em Daí, concluímos que é aberto.

Provemos que F é fechado, ou seja, Claro que Agora pois : seja ; tal que e . Queremos provar que . Seja tal que

Temos que Sendo, f contínua em , então Da mesma forma é contínua em ,

então Como a unicidade do limite garante que

Logo Portanto e é fechado em

Sejam . Prove que Exemplo 5. 14

| | | |

De fato, seja Para este , em particular, existe tal que | | temos

que | | Assim, | | temos que || | | || | | Portanto, | | | |

(4) Prove que Exemplo 5. 15

| |

69) Na pagina 104, linha 25 e para mudar a numeracao do exemplo este passara aser o exemplo 4.33




73) Na pagina 107, linha 1 e para substituir Segue das proposicoes 2.9 e 2.10


75) Na pagina 107, linha 11 e para tirar o que que aparece entre b) e o sımboloX ∩ Y

76) Na pagina 107, eliminar as 3 ultimas linhas, ou seja o item c todo.

77) Na pagina 113, linha 23 tirar do bem no comeco desta linha que esta entre opara e o sımbolo δn =

78) Na pagina 114, linha 9 trocar o exercicio 5 por proposicao 2.9


80) Na pagina 115, linha 20 tirar a virgula que esta entre dizemos que f e e

81) Na pagina 117, linha 12 corrigir Segue do Teorema 5.7 e nao 5.6 como esta

82) Na pagina 118, ultima linha e para corriigir e f(X) ⊂ Y (o y e maiusculo e naominusculo como esta

83) Na pagina 119, linha 7 aparece a igualdade = onde nao deve e para corriigir

|g(f(x))−g(b)| = |g(f(x))−g(f(a))| = |(gof(x))−(gof)(a)| = |g(f(x))−g(f(a))| =|g(y) − g(b)| < �

84) Na pagina 120, linha 25 corrigir para

De fato, g(0) = 0 ⇒ 0 ≤ |f(0)| ≤ g(0) = 0. Logo f(0) = 0.

6


10

De fato, seja | | existe tal que

| | || | | Assim | | | | | | || || || | |

Portanto, Use a caracterização de continuidade por meio de sequências de números reais Exemplo 5. 16

e verifique:

a) definida por { | |

,

não é contínua no ponto

De fato, tome e Assim,

Portanto não é contínua no ponto

b) definida por { Prove que não é contínua em

De fato, tome Temos que e

Portanto e não é contínua em

Seja [ ] [ ] contínua em [a, b], tal que e Exemplo 5. 17

Prove que f possui um ponto fixo, ou seja, existe [ ] tal que De fato, vamos definir [ ] [ ] tal que Sendo e contínuas, então é continua,

[ ] Observe que e assim, Tome [ ] é contínua, então existe tal que

Mas e então

Sejam , . Se g contínua em com Exemplo 5. 18

| | | | Prove que f é contínua em .

De fato, | | Como | | | | Então | | | | | | | | Pois, por hipótese g contínua em com

Portanto | | e f é contínua em .


















De fato, g(0) = 0 ⇒ 0 ≤ |f(0)| ≤ g(0) = 0. Logo f(0) = 0.

6.


















De fato, g(0) = 0 ⇒ 0 ≤ |f(0)| ≤ g(0) = 0. Logo f(0) = 0.

6

CAPÍTULO VI

DERIVADAS E A INTEGRAL DE RIEMANN

DERIVADAS E A INTEGRAL E RIEMANN

CAPÍTULO VI

Neste capítulo será descrita uma breve introdução dos conceitos de derivada e integral de

Riemann. A origem da derivada encontra-se nos problemas geométricos clássicos de

tangência, ou seja, problemas cujo objetivo era determinar quando uma reta intercepta uma

curva dada, em um único ponto. Euclides constatou que a reta tangente a um círculo em

qualquer ponto P é perpendicular ao raio deste em P. (BOYER, 1996, p. 62 ). As aplicações

de derivadas são muitas; diversas áreas contemplam este conceito como a Física, Química,

Engenharias, Economia, Administração, Biologia, entre outras.

O cálculo integral se originou com os problemas de quadratura. Resolver um problema de

quadratura significa encontrar o valor da área de uma região do plano, cuja fronteira consiste

de uma ou mais curvas. Na Grécia Antiga, Arquimedes (287 – 212 A.C) utilizou uma técnica

de aproximação para encontrar a quadratura da parábola, cujo nome na literatura é dado por

método de exaustão (BOYER, 1996, p. 62 ). Séculos depois, Cavaliere repete a ideia de

Arquimedes, cujo nome dado por ele foi método dos indivisíveis (BOYER, pg 226 ).

6.1 Derivadas: Definição e exemplos

Definição 6. 1. Seja e A derivada da função no ponto é o

limite, denotado por ( ) definido por

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Se existir tal limite, dizemos que derivável (ou diferenciável) no ponto Quando existe a

derivada ( ) dizemos que é derivável (ou diferenciável) no

conjunto Quando a derivada é contínua, então dizemos que de classe

: Seja { ( ) Calcule a derivada da no ponto Exemplo 6. 1

6.1 Derivadas: Definição e exemplos


2

De fato, seja

( ) ( ) ( )

( )

( ) Portanto ( )

Seja { ( ) sendo uma constante arbitrária. Prove que ( ) Exemplo 6. 2

De fato, seja

( ) ( ) ( )

Portanto ( )

Seja { ( ) sendo constantes arbitrárias. Prove que Exemplo 6. 3

( ) De fato, seja

( ) ( ) ( )

( )

Portanto ( )

Para qualquer considere { ( ) . Prove que ( ) Exemplo 6. 4

De fato, seja Segue do Teorema Binomial ou Binômio de Newton que

Derivadas e a Integral de RiemannEaD•UFMS 123

3

( ) ( ) ( )

∑ . /

. /

. /

∑ . /

. /

Assim,

( ) ( )

∑ ( )

(

)

∑ . /

.

/ ∑ . /

( )

( ) ( )

( ∑ . /

)

Portanto ( ) Teorema 6. 1. Toda função derivável em um ponto do seu domínio é contínua neste

ponto.

Demonstração: Seja com ( ) Podemos escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Fazendo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) Portanto

( ) ( ) ou seja

( ) ( )

6.2 Derivadas: Regras Operacionais


6.2 Derivadas: Regras Operacionais

4

Teorema 6. 2. Sejam deriváveis no ponto e uma constante real. Então:

a) definida por: ( )( ) ( ) ( ) é derivável em b) definida por: ( )( ) ( ) é derivável em c) definida por: ( )( ) ( ) ( ) é derivável em

d) ( ) definida por: . / ( ) ( ) ( ) é derivável em

Demonstração:

a) Basta notar que

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b) Basta notar que

( )( ) ( )( ) (

( ) ( ))

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( )

c) Basta notar que

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d) Basta notar que


4

Teorema 6. 2. Sejam deriváveis no ponto e uma constante real. Então:

a) definida por: ( )( ) ( ) ( ) é derivável em b) definida por: ( )( ) ( ) é derivável em c) definida por: ( )( ) ( ) ( ) é derivável em

d) ( ) definida por: . / ( ) ( ) ( ) é derivável em

Demonstração:

a) Basta notar que

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

b) Basta notar que

( )( ) ( )( ) (

( ) ( ))

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ( ) ( ))

( ) ( )

( ) ( )

( )

c) Basta notar que

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Portanto

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d) Basta notar que

5

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) )

Portanto

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

6.3 Derivadas: Regra da Cadeia

Teorema 6. 3. Sejam , e com ( ) Considere e sendo ( ) Se é derivável no ponto e derivável no ponto Então é derivável em e além disso ( ) ( ) ( ( )) ( ) Demonstração: Vamos definir

( ) { ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

( )

( )

( ) ( ( )) Se e ( ) então ( ) ( ( )) ( ( ))( ( )) ( )( ( )) Observe que ( ) ( ( )) ( ( ))( ( )) ( )( ( )) é trivialmente satisfeita para o caso ( ) Agora, fazendo ( ) com Neste caso

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( )

( ) ( ( )) ( )

( )

Como é contínua em e é contínua em ( ) então

6.3 Derivadas: Regra da Cadeia

Observe que y ∈ Y

�f

g

�(x) −

�f

g

�(a)

x − a=

1

g(x)g(a)

�f(x) − f(a)

x − ag(a) − f(a)

g(x) − g(a)

x − a

�.

Portanto

limx→a

�f

g

�(x) −

�f

g

�(a)

x − a= lim

x→a

1

g(x)g(a)

�f(x) − f(a)

x − ag(a) − f(a)

g(x) − g(a)

x − a

�=

f�(a)g(a) + f(a)g

�(a)

g(a)2.

1


6

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ( ))

( ) ( )

( ( ))

( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )

Seja definida por ( ) ( ) Calcule a função derivada Exemplo 6. 5

De fato, segue da fórmula do Teorema 6.4 que ( ) 2( ) 6.4 Derivadas: Interpretação Geométrica

Considere a curva ilustrada na figura abaixo, dada por ( ) onde será definida a

seguir.

Seja uma função real contínua definida no intervalo , - O gráfico de ou

seja, os pontos do plano da forma ( ) com ( ), O gráfico de é chamado de

curva, cujo ponto inicial é o ponto ( ( )) e o final é ( ( )) Considere , - A razão

onde ( ) e ( ) ( ) representa o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos ( ) e ( ) Esta razão mede inclinação que esta reta faz com o eixo Estamos interessados na reta que passa pelo ponto ( ) e tangencia esta curva, ( ), neste ponto Tal reta é chamada reta tangente à curva no ponto Quando existe

então temos que

( )

é o coeficiente angular da reta

Considere a curva definida por , - Encontre a inclinação da Exemplo 6. 6

reta tangente a curva no ponto ( )

6.4 Derivadas: Interpretação Geométrica

0β

αy0

x0 x

y r

P

Q

S

y = f(x)y0 + ∆y0

x0 + ∆x0

∆y0

∆x0

6

( ) ( ) ( ( )) ( ( ))

( ( ))

( ) ( )

( ( ))

( ) ( )

( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( )

Seja definida por ( ) ( ) Calcule a função derivada Exemplo 6. 5

De fato, segue da fórmula do Teorema 6.4 que ( ) 2( ) 6.4 Derivadas: Interpretação Geométrica

Considere a curva ilustrada na figura abaixo, dada por ( ) onde será definida a

seguir.

Seja uma função real contínua definida no intervalo , - O gráfico de ou

seja, os pontos do plano da forma ( ) com ( ), O gráfico de é chamado de

curva, cujo ponto inicial é o ponto ( ( )) e o final é ( ( )) Considere , - A razão

onde ( ) e ( ) ( ) representa o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos ( ) e ( ) Esta razão mede inclinação que esta reta faz com o eixo Estamos interessados na reta que passa pelo ponto ( ) e tangencia esta curva, ( ), neste ponto Tal reta é chamada reta tangente à curva no ponto Quando existe

então temos que

( )

é o coeficiente angular da reta

Considere a curva definida por , - Encontre a inclinação da Exemplo 6. 6

reta tangente a curva no ponto ( )

De fato, segue do Teorema 6.3 que


7

De fato, a derivada da função , no ponto, cuja a primeira coordenada é =5 é igual a Este valor ( ) significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva no ponto ( ), será igual a 10 , conforme visto acima. Ora, sendo o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo , então será um ângulo, tal que . Logo, 84,28o.

6.5 Derivadas: Interpretação Cinemática

Consideremos uma partícula deslocando-se de um ponto inicial e um ponto final sobre

uma reta Considere a função , - que para cada instante - , da posição

da partícula sobre a reta Fixado um , - a razão ( ) ( ) representa a velocidade

média da partícula no trecho entre ( ) e ( ) O limite

( ) ( ) ( ) representa a

velocidade no instante

Um corpo cai em queda livre de uma altura de metros. Sabendo que a Exemplo 6. 7

equação horária do mesmo é dada por sendo em metros e em segundos,

encontrar com que velocidade este corpo atinge o solo.

De fato, quando metros, então será o tempo de queda, portanto ou seja , isto é Como não tem sentido tempo negativo, devemos considerar segundos. A velocidade do corpo é dada por ( ) ( )

Para segundos teremos Observe que a aceleração é constante igual a

6.6 A Soma de Riemann

Seja , - uma função definida no intervalo , - tal que é limitada. Dessa

forma, existem números reais e tais que ( ) , - onde

* ( ) , - + e * ( ) , - +

6.5 Derivadas: Interpretação Cinemática

6.6 A Soma de Riemann

A

B

r

t


8

Definição 6. 2. Considere , - as intercalações de pontos da reta real

tais que e , - é denominado partição do

intervalo , - e denotamos por ou ( ) Observe que , - foi divido em intervalos. Para cada um destes intervalos intercalamos novos pontos entre eles, e daí

obtemos uma nova partição, esta nova partição ( ) ou é chamada

de refinamento da partição Também podemos dizer que refina

Definição 6. 3. Seja , - uma função limitada e ( ) uma

partição de , - chamamos somas de Riemann as seguintes expressões:

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

onde, * ( ) , -+ e { ( ) [ ]} ( ) e ( ) são chamadas de soma superior e soma inferior das somas de Riemann.

Observação: Os e são finitos, uma vez que a função é limitada e daí, existem reais

e tais que ( ) , - Assim, Como

consequência ( ) ( )

Definição 6. 4. Sejam e duas partições do intervalo , - Dizemos que é

um refinamento de se o conjunto dos pontos que formam contiver o conjunto dos

pontos de Considere , - Seja uma partição de , - tal que e Exemplo 6. 8

Agora vamos definir a partir de da seguinte

forma:

e A

partição ( ) refina

Considere , - Seja uma partição de , - tal que e Exemplo 6. 9

Agora vamos definir a partir de da

seguinte forma: * + e , - Temos que ( ) refina

85) Na pagina 120, linha 27 bem no final corrigir para g(0) = 0.

86) Na pagina 120, linha 2 e para corrigir o simbolo que aparece do lago direito daigualdade entre parentese depois do sinal menos, neste momento esta f(x) e para trocarpor f(a)

87) Na pagina 128, linha 5 e para corrigir

De fato, segue do Teorema 6.3

88) Na pagina 130, linha 11 tem vırgula entre os sımbolos [xj−1, xj] atualmente naoconsta esta virgula nas duas vezes em que ele aparace na linha 11

89) Na pagina 131, linha 2 eliminar o e que esta no ınicio da linha

90) Na pagina 132, entre as linhas 15 e inıcio da 16 corrigir substituindo por a =x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b

91) Na pagina 133, entre as linhas 02 e inıcio da 3 corrigir substituindo por 0 = x0 <x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = 1

7









7


9

Teorema 6. 4. Sejam , - uma função limitada e uma partição de , -tal que

e Seja * + com , -. Então

) ( ) ( ) ) ( ) ( ). Demonstração: De fato, temos que Sejam e respectivamente os

ínfimos de nos intervalos , - e [ ] Temos que e

( ) ( ) Temos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) Ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) Dessa forma, provamos 1). Analogamente

prova-se 2), ou seja, ( ) ( )

Para obter um resultado mais geral para do que este teorema que acabamos de demonstrar,

basta acrescentarmos pontos na partição e * + e é válido:

( ) ( ); ( ) ( ) Este resultado garante que quando refinamos uma

partição a soma superior não aumenta e soma inferior não diminui.

Teorema 6. 5. Para quaisquer partições do intervalo , - e qualquer função

, - limitada tem-se ( ) ( ) Demonstração: De fato, tome Neste caso refina e simultaneamente.

Dessa forma, ( ) ( ) ( ) ( )

Segue do Teorema 6.5, que o conjunto,

* ( ) , -+ das somas inferiores é limitado superiormente

por ( ), fixada qualquer partição de , - Da mesma forma, podemos concluir que

o conjunto

* ( ) , -+ das somas superiores é limitado inferiormente. E isto justifica as definições a seguir.

Definição 6. 5. Seja , - limitada. Denominamos integral superior, e

denotamos

∫

* ( ) , -+

9

Teorema 6. 4. Sejam , - uma função limitada e uma partição de , -tal que

e Seja * + com , -. Então

) ( ) ( ) ) ( ) ( ). Demonstração: De fato, temos que Sejam e respectivamente os

ínfimos de nos intervalos , - e [ ] Temos que e

( ) ( ) Temos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) Ou seja,

( ) ( ) ( ) ( ) Dessa forma, provamos 1). Analogamente

prova-se 2), ou seja, ( ) ( )

Para obter um resultado mais geral para do que este teorema que acabamos de demonstrar,

basta acrescentarmos pontos na partição e * + e é válido:

( ) ( ); ( ) ( ) Este resultado garante que quando refinamos uma

partição a soma superior não aumenta e soma inferior não diminui.

Teorema 6. 5. Para quaisquer partições do intervalo , - e qualquer função

, - limitada tem-se ( ) ( ) Demonstração: De fato, tome Neste caso refina e simultaneamente.

Dessa forma, ( ) ( ) ( ) ( )

Segue do Teorema 6.5, que o conjunto,

* ( ) , -+ das somas inferiores é limitado superiormente

por ( ), fixada qualquer partição de , - Da mesma forma, podemos concluir que

o conjunto

* ( ) , -+ das somas superiores é limitado inferiormente. E isto justifica as definições a seguir.

Definição 6. 5. Seja , - limitada. Denominamos integral superior, e

denotamos

∫

* ( ) , -+

,,


10

Definição 6. 6. Seja , - limitada. Denominamos integral inferior , e

denotamos

∫

* ( ) , -+

Também segue do Teorema 6.5,

∫

∫

Definição 6. 7. Seja , - limitada. Dizemos que , - é integrável

se

∫

∫

O valor comum das integrais superior e inferior é chamado integral de que se denota por

∫ ∫ ( )

Assim, se f é integrável, temos

∫

∫

∫

Seja , - e ( ) onde é uma constante real Exemplo 6. 10

arbitrária.

De fato, seja qual for a partição de de , - digamos, dada por temos que em todos os intervalos [ ] Logo, e pois sempre existe um número irracional em , -, de forma que ( ) ( ) Assim, é integrável, com

∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11

( ) , , Temos que é uma função em escada.

Seja , - e definida por Exemplo 6. 12

( ) {

10


denotamos

∫

* ( ) , -+


∫

∫


se

∫

∫


∫ ∫ ( )


∫

∫

∫


arbitrária.


∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11



( ) {

10


denotamos

∫

* ( ) , -+


∫

∫


se

∫

∫


∫ ∫ ( )


∫

∫

∫


arbitrária.


∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11



( ) {

10


denotamos

∫

* ( ) , -+


∫

∫


se

∫

∫


∫ ∫ ( )


∫

∫

∫


arbitrária.


∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11



( ) {

10


denotamos

∫

* ( ) , -+


∫

∫


se

∫

∫


∫ ∫ ( )


∫

∫

∫


arbitrária.


∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11



( ) {

Temos que: f = 1 + 7.4 + 3.1 = 320

6









7

10


denotamos

∫

* ( ) , -+


∫

∫


se

∫

∫


∫ ∫ ( )


∫

∫

∫


arbitrária.


∫

∫

∫ ( )

Seja , , e ( ) , , ( ) , , Exemplo 6. 11



( ) {


11

Mostre que não é integrável em , - De fato, se é uma partição de , - digamos, dada por temos que pois sempre existe um número racional em , -, e pois sempre existe um número irracional em , -, de forma que

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

∑ ( )

Logo

∫

∫

Teorema 6. 6. Toda função contínua , - limitada é integrável.

Demonstração: A demonstração deste fato, baseia-se da continuidade uniforme da função no conjunto compacto , - 6.8: Integral: Interpretação Geométrica

Seja uma função real contínua definida no intervalo , - Suponha que seja positiva no intervalo , - ou seja, ( ) , Considere uma partição de , - dividindo este intervalo , - em subintervalos,

cada um terá largura Dessa forma,

( )

( )

( )

Considere ( ), para algum [ ] Lembre que { ( ) [ ] }

e { ( ) [ ] }. Assim,

( ) e daí ( )

Logo, fazendo divisões

sucessivas do intervalo , - em partes iguais, obtemos uma sequência, cujo termo geral é

6.7 Integral: Interpretação Geométrica

11

Mostre que não é integrável em , - De fato, se é uma partição de , - digamos, dada por temos que pois sempre existe um número racional em , -, e pois sempre existe um número irracional em , -, de forma que

( ) ∑ ( )

( ) ∑ ( )

∑ ( )

Logo

∫

∫

Teorema 6. 6. Toda função contínua , - limitada é integrável.

Demonstração: A demonstração deste fato, baseia-se da continuidade uniforme da função no conjunto compacto , - 6.8: Integral: Interpretação Geométrica

Seja uma função real contínua definida no intervalo , - Suponha que seja positiva no intervalo , - ou seja, ( ) , Considere uma partição de , - dividindo este intervalo , - em subintervalos,

cada um terá largura Dessa forma,

( )

( )

( )

Considere ( ), para algum [ ] Lembre que { ( ) [ ] }

e { ( ) [ ] }. Assim,

( ) e daí ( )

Logo, fazendo divisões

sucessivas do intervalo , - em partes iguais, obtemos uma sequência, cujo termo geral é

x0c1 c2 c3 c4x1 x2 x3 x4

1,









7


12

∑ ( )

onde a partição de , - varia, de acordo com número de divisões em partes iguais do

intervalo , - E para todo

∫

∫

Portanto,

∫

∑ ( )

Seja a área entre e o eixo , para Exemplo 6. 13

Esta área é igual a:

Como ( ) é contínua em , - então

∫

∫

∫

Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Considere uma

partição de , - dividindo este intervalo , - em subintervalos, cada um terá

largura , - Dessa forma,

Temos que ( ) ( )

( )

( )

b

b

y

x

x1 xn-1

y = x

0


13

( )

( ) ∑ ( )

∑

( )

∑

( )

( )

( )

Analogamente, provamos que

( ) ∑ ( )

∑

( )

Como

∫

* ( ) , -+ ( )

Também,

( ) ∫

* ( ) , -+

Portanto

∫

∫

∫

Segue do Teorema do Confronto, para sequências de números reais que

∫


Referências Bibliográficas

AABOE, Asger. Episódios da História Antiga da Matemática. 2 ed, Rio de janeiro. Publicação da SBEM, 2002.

ÁVILA, G. Limites e Derivadas no Ensino Médio? In: Revista do Professor de Matemática, n.60, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 2006, p.30-38.

ÁVILA, G. O Ensino do Cálculo no Segundo Grau. In: Revista do Professor de Matemática, n.18, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991, p.1-9.

ÁVILA,G. Arquimedes, o Rigor e o Método. Matemática Universitária,Publicações da SBM. Volume 04, páginas 27-45, 1986.ÁVILA,G.S.S. , . Introdução à análise matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1993.

BALL,W.W.R.A Short Account of the History of Mathematics. NewYork: Dover Publications Inc., 1960.

BARBOSA,J.L.M. Geometria Hiperbólica. Rio de Janeiro: IMPA,1995.BARRETO FILHO, B. Coleção Matemática Aula por Aula. São Paulo, FTD, 2003.

BECKMANN, P. A history of π. NewYork: St. Martin’s Press, 1971.BISOGNIN E.; FERREIRA, M.V. & BISOGNIN, V. Convergência de Sequências e Séries Numéricas por meio da Resolução de Problemas – IX ENEM : Diálogos entre a Pesquisa e a Prática Educativa, Belo Horizonte, MG Julho de 2007.

BOLD, B. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. NewYork: Dover Publications Inc., 1982.BONJORNO, R.A. Física Fundamental, Segundo Grau, volume único, São Paulo, FTD, 1993.BOYER, Carl B. História da Matemática, Editora Edgard Blucher Ltda, 2a Edição, 1996.

BRESSOUD, D. (1994). Student Attitudes in First-Semester Calculus. Focus, 14(3), 6-7.

BUNCH,B. Mathematical Fallacies and Paradoxes. NewYork: Dover Publications Inc., 1982.CARVALHO, J. B. P. de. O cálculo na escola secundária – algumas considerações históricas. Caderno CEDES. Campinas: Papirus, n. 40, p. 68-81, 1996.COURANT, R. (1963). Cálculo Diferencial e Integral (3ª imp. da 1ª ed.). Rio de Janeiro: Editora Globo.


DANYLUK, OcsanaS. Alfabetização Matemática, EDUCS, 3a Edição Caxias do sul, 2002

DAVIS, P. J. & Hersh, R. A Experiência Matemática. Rio de Janeiro: Francisco Alves Editora S.A., 1985.DAVIS, P. J. & Hersh, R. O Sonho de Descartes. Rio de Janeiro: Francisco Alves Editora S.A., 1988.DOERING, C. I. Introdução à Análise Matemática na Reta – 1º Colóquio de Matemática da Região Sul. UFSM, Santa Maria, RS, Abril de 2010.

DOMINGUES, H.H; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 3. ed. São Paulo. Editora Atual, 2001.

DUCLOS, R.C. Cálculo no Segundo Grau. In: Revista do Professor de Matemática, n.20, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1992, p.26-30.

FIGUEIREDO, D. G. Números Irracionais e Transcendentes. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Brasília: Publicações da SBM, 1980FIGUEREDO, G.S.S. ; Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

FIGUEREDO, G.S.S. ; Números Irracionais e Transcendentes – Coleção Fundamentos de Matemática Elementar, 1980.

GERÔNIMO J.R. e FRANCO V.S. Fundamentos de Matemática. Editora da UEM. Maringá PR, 2006.

GLEASON, A. Calculus (Preliminary ed.). Reading: Addison-Wesley. 1993

GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. 5. ed. Rio de Janeiro. IMPA, 2005.

GRATTANGUINNESS, I. The Norton History of the Mathematical Sciences. London: W.W. Norton & Company, 1997. GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática, Volumes 1 e 4, Editora Ática, 1996

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo vol I . 5 ed. Rio de Janeiro. Editora LTC, 2001.HEFEZ, A. Elementos de Aritmética. 3. ed. Rio de Janeiro. IMPA, 2005. IFRAH, Georges.Os Números, A História de uma Grande Invenção, Editora Globo, SP 1985

LIMA, E. L. Análise Real. Volume 1, 7a. Edicão. São Paulo: Ed. , 2004LIMA, E.L.; Análise Real Vol.1. Rio: IMPA–CNPq (Coleção Matemática Universitária), 1989. LIMA, E.L.; Curso de Análise. Rio: IMPA – CNPq (Projeto Euclides), 1995.

MAOR, E. e: The Story of a Number. New Jersey: Princeton University Press,1994.MAOR, E. To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite. New Jersey: Princeton University Press, 1991.MAOR, E. Trigonometric Delights. New Jersey: Princeton University Press, 1998.


EaD - UFMS

Projeto gráfi co:Lennon Godoi

Editoração Eletrônica:Marcos Paulo de Souza

MILIES, César Polcino . Números: Uma Introdução à Matemática, Editora da USP, SP 2000

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCN-EM). Brasil.MEC/SEMTEC – Secretaria de Educação Média e Tecnológica, Brasília, 2002.NAHIN, P. J. An Imaginary Tale: The Story of 1 − .New Jersey: Princeton University Press, 1998.NIVEN, I. Números: Racionais e Irracionais. Coleção Fundamentos de Matemática Elementar. Rio de Janeiro: Publicações da SBM, 1984.OLIVEIRA, J.P. ; SILVA, J. C. e. (1990). O Ensino da Análise Elementar. Coimbra: Dep. Matemática, Univ. Coimbra.

RALSTON, A. (1981). The Decline of Calculus - The Rise of Discrete Mathematics. In L. A. Steen (Eds.), Mathematics Tomorrow (pp. 213-220). New York: Springer-Verlag.

ROBERTS , A. W. (1993). Resources for Calculus. Washington: M.A.A.

SANTOS, J.P.O. Introdução à Teoria dos Números. 3 ed. Rio de Janeiro. IMPA, 2003.

SILVA, J. C. e. (1990). O Ensino da Análise Elementar. Coimbra: Dep. Matemática, Univ. Coimbra.

SODRE, U. . Análise Real (Notas de aulas de Matemática). Departamento de Matemática. Universidade Estadual de Londrina. Londrina-PR, 2008.

VITTI, Catarina Maria. Matemática com Prazer. Piracicaba: Editora Unimep, 1995

WHITE, A. J. I. Análise Real: uma introdução. São Paulo. Editora Edgard Blucher Ltda. USP, 1973.

Bibliografia Básica (1)

Documents

Transcript of Bibliografia Básica (1)