BASE ALTURA 2 Geometria Plana II - UNEMAT – Campus Sinop...
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Geometria Plana II
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
CURSO DE ENGENHARIA CIVILDISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
Geometria Plana II
1.Área do triângulo
2.Área do paralelogramo
3.Área dos paralelogramos notáveis
4.Área do trapézio
5.Área de um quadrilátero qualquer
6.Área do círculo e suas partes
7.Áreas das figuras semelhantes
3
Vamos apresentar as formas de calcular aárea de um triângulo considerando trêspossibilidades: (a) Área de um triângulo em funçãode um lado e da altura relativa a ele; (b) Área dotriângulo em função de dois lados e do ângulocompreendido e (c) Área do triângulo em funçãodos lados (fórmula de Herão).
1. Área do triângulo
4
A área de um triângulo é dada pela fórmula:
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
2BASE ALTURA×
Aqui é importante saber que qualquer ladodo triângulo pode ser tomado como base, desdeque se utilize a altura relativa ao respectivo ladona aplicação da fórmula.
5
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do ladoque escolhemos como base.
2 2 2a b ca h b h c h
S∆⋅ ⋅ ⋅= = =
6
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do ladoque escolhemos como base.
2 2 2a b ca h b h c h
S∆⋅ ⋅ ⋅= = =
2
7
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
A área de um triângulo não depende do ladoque escolhemos como base.
2 2 2a b ca h b h c h
S∆⋅ ⋅ ⋅= = =
8
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Esta propriedade é demonstrada com oauxílio da semelhança de triângulos, traçando asalturas ha e hb de um triângulo ABC.
9
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Nesta figura, vamos destacar os triângulosAHC e BIC.
10
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Os triângulos AHC e BIC são semelhantes,pois e é um ângulo comum aosdois triângulos. Assim,
ba b
a
hBC BI aa h b h
AC AH b h= ⇒ = ⇒ ⋅ = ⋅
90oH I= =⌢ ⌢
C∢
11
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
(1)2 2
a ba h b h⋅ ⋅=
(2)2 2
a ca h c h⋅ ⋅=
Logo,
De forma análoga, demonstra-se que:
2 2 2a b ca h b h c h⋅ ⋅ ⋅= =
E de (1) e (2), conclui-se que:
12
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Exercício 1: Seja ABC um triângulo isósceles emque AB = AC = 13 cm e BC = 10 cm.
Calcular:
a) a área desse triângulo;
b) a altura relativa ao lado AC.
3
13
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Resolução:
a) Para o cálculo da área, convém utilizar o lado BCcomo base, já que a altura relativa a ele é tambémmediana e, por isso, pode ser facilmente calculadapelo teorema de Pitágoras.
14
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Do triângulo AHC, temos:
Então, a área do triângulo é:
2 2 2
2
2
5 13
169 25
144
12 cm
h
h
h
h
+ =
= −
==
210 1260 cm
2S S
⋅= ⇒ =△ △
15
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
b) Como a área do triângulo é igual a 60 cm2,temos:
13 12060 cm
2 13c
c
hh
⋅= ⇒ =
16
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Exercício 2: Seja P um ponto interno qualquer deum triângulo equilátero. Demonstrar que a somadas distâncias de P aos lados desse triângulo éigual à sua altura.
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1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Resolução:
Observe a figura. P é um ponto internoqualquer do triângulo equilátero ABC. Queremosprovar que: x + y + z = h.
18
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Unindo o ponto P aos vértices do triângulo,este fica decomposto nos triângulos PBC, PAC ePAB. A soma das áreas desses três triângulos éigual à área do triângulo ABC.
2 2 2 2
2
PBC PAC PAB ABCS S S S
l x l y l Z l h
l
∆ ∆ ∆ ∆+ + =⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + =
( )2l
x y z+ + = h
x y z h
⋅
+ + =
4
19
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Exercício 3: Calcule a área do triângulo ABC dafigura abaixo.
20
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Exercício 4: Calcule a área de um triânguloequilátero de lado l.
21
1.1. Área do triângulo emfunção de um lado e da altura
Exercício 5: Calcule x, sabendo que BC = 10 eAC = 8.
22
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
Considere um triângulo ABC qualquer e umade suas alturas. Por exemplo, a altura AH.
No triângulo retângulo ABH, temos:
hsen B h c sen B
c= ⇒ = ⋅⌢ ⌢
23
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
Substituindo h por na fórmula daárea do triângulo ABC, obtemos
2 2ABC ABC
a h a c sen BS S∆ ∆
⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =⌢
c sen B⋅⌢
24
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
Note que a última igualdade dá a área do triânguloABC em função dos lados a e c e do ângulo B, compreendidoentre esses dois lados. De modo análogo, demonstra-se queessa fórmula se aplica a quaisquer dois lados do triângulo.
2 2 2b c sen A a c sen B a b sen C
S∆⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =
⌢⌢ ⌢
5
25
Exercício 6: Calcular a área do triângulo da figuraabaixo.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
26
Resolução:
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
28 10 sen45 240 20 2 cm
2 2
o
S⋅ ⋅= = ⋅ =△
27
Exercício 7: Na figura abaixo, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 6. Calcular a área doquadrilátero AMNC, sabendo que AM = 2 e BN = 3.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
28
Resolução:
Inicialmente observe que BM = 4 e que oângulo B é igual a 60o, pois o triângulo ABC éequilátero. Por outro lado, note que a área S, doquadrilátero AMNC, é igual à diferença das áreasdos triângulos ABC e BMN.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
29
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
6 6 sen60 4 3 sen602 2
3 318 6
2 2
9 3 3 3
6 3
ABC BMN
o o
S S S
S
S
S
S
∆ ∆= −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅= −
= ⋅ − ⋅
= −
=
30
Exercício 8: Na figura abaixo, ABC é um triânguloequilátero de lado l = 4a e AK = BL = CM = a.Calcule a área do triângulo KLM em função de a.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
6
31
Exercício 9: Na figura abaixo, sabe-se que ,AD = 4, DB = 2, AE = 6 e = 45o. Calcule a área dotrapézio BDEC.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
DE // BCA⌢
32
Exercício 10: Na figura seguinte, os triângulosABC e ECD são equiláteros. Se AB = 6 cm eED = 4 cm, calcule a área do quadrilátero ABDE.
1.2. Área do triângulo emfunção de dois lados e do ângulo
33
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Seja ABC um triângulo qualquer e aaltura relativa ao vértice A.
AH
34
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Pelo teorema de Pitágoras, nos triângulosAHB e AHC, temos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
(1)
( )
2 (2)
c h m
b h a m
b h a am m
= +
= + −= + − +
35
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Subtraindo membro a membro a igualdade(1) da igualdade (2), vem:
2 2 2 2b c a am− = −E isolando m nesta última igualdade, teremos:
2 2 2
(3)2
a b cm
a− +=
36
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Agora, vamos substituir em (1) o valor de mencontrado em (3).
( )
( )( )
( ) ( )
22 2 22 2
22 2 2
2 22
22 2 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2 2
222 2 2 2 2
2
4
4 4
4 4
4 2
a b cc h
a
a b cc h
a
a c a h a b c
a h a c a b c
a h ac a b c
− += +
− += +
= + − +
= − − +
= − − +
7
37
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Fatorando a diferença de quadrados dosegundo membro da última igualdade, temos:
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
4 (2 ) (2 )
4 ( 2 ) ( 2 )
( )4 ( 2 ) ( ( 2 ))
4 [( ) )] [( ( ) ]
a h ac a b c ac a b c
a h a ac c b b a ac c
a h a ac c b b a ac c
a h a c b b a c
= + − + ⋅ − + −= + + − ⋅ − + −
= + + − ⋅ − − += + − ⋅ − −
38
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Agora, vamos fatorar as diferenças dequadrados que estão entre o colchetes.
2 2
2 2
) ) ) )4 ( ( ( (
) ) ) ) (4)4 ( ( ( (
a c b a c b b a c b a ca h
a b c b c a a c b a b ca h
+ + + − + − − += ⋅ ⋅ ⋅+ + + − + − + −= ⋅ ⋅ ⋅
Fazendo a + b + c = 2p, podemos representaros demais fatores do 2o membro de (4) comosegue:
2
2
2
2 2 2 2( )
2 2 2 2( )
2 2 2 2( )
p
p
p
b c a a b c a p a p a
a c b a b c b p b p b
a b c a b c c p c p c
+ − = + + − = − = −
+ − = + + − = − = −
+ − = + + − = − = −
�����
�����
�����
39
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Então, podemos escrever a igualdade (4) dasegunda maneira:
2 2
2 2
2 2
2 2( ) 2( ) 2( )4
16 ( )( )( )4
4 ( )( )( )
p p a p b p ca h
p p a p b p ca h
p p a p b p ca h
− − −= ⋅ ⋅ ⋅− − −=
− − −=
2 ( )( )( )p p a p b p cah − − −=
Logo,
Ou ainda,
( )( )( )2
ahp p a p b p c− − −=
40
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
Como ah/2 é a área do triângulo ABC,concluímos que:
A área de um triângulo de lados a, b e c édada pela fórmula:
( )( )( )S p p a p b p c∆ = − − −
41
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
onde p é o semiperímetro do triângulo. Isto é,
Com esta fórmula, denominada fórmula deHerão, podemos calcular a área de qualquertriângulo do qual conhecemos os lados.
2a b c
p+ +=
42
Exercício 11: Calcule a área de um triângulo delados a = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
8
43
Resolução:
Inicialmente, temos:
Então,
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
5 6 79
2 2a b c
p p p+ + + += ⇒ = ⇒ =
2
( ) ( ) ( )
9 (9 5) (9 6) (9 7)
9 4 3 2
6 6 cm
S p p a p b p c
S
S
S
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= ⋅ ⋅ ⋅
=
△
△
△
△
44
Exercício 12: Na figura, o ponto P é equidistantedos lados do triângulo. Calcule a distância de P acada um dos lados.
1.3. Área do triângulo emfunção dos lados
45
1.4. Cálculo do raio dacircunferência inscrita
Seja I o incentro de um triângulo ABCqualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices dotriângulo, este fica decomposto nos triângulosBIC, AIC e AIB.
46
1.4. Cálculo do raio dacircunferência inscrita
2 2 2( )
2
BIC AIC AIBS S S S
ar br crS
a b cS r S pr
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
= + +
= + +
+ += ⋅ ⇒ =
47
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
Da lei dos senos, temos:
22
a aR sen A
Rsen A= ⇒ =
⌢⌢
48
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
Por outro lado, sabemos que a área dotriângulo ABC é dada por
2bc sen A
S∆ =⌢
9
49
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
Substituindo por a/2R nesta fórmula,obtemos
22 4
abc abcRS S
R∆ ∆= ⇒ =
sen A⌢
50
Exercício 13: Calcular os raios das circunferênciasinscrita e circunscrita num triângulo de ladosa = 5 cm, b = 6 cm e c = 7 cm.
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
51
Resolução:
Calculando a área do triângulo pela fórmulade Herão, obtemos:
Então,
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
26 6 cmS =△
6 6 9
2 6 cm
3
S p r
r
r
= ⋅
=
=
△
52
Por outro lado,
1.5. Cálculo do raio dacircunferência circunscrita
4
6
abcS
R=△
5 66
⋅= 74
4 6 35
35 6
4 6 6
35 6 cm
24
R
R
R
R
⋅
⋅ =
= ⋅
=
53
2. Área do paralelogramo
A área de um paralelogramo qualquer é dadapela fórmula:
BASE X ALTURA
54
2. Área do paralelogramo
Do mesmo modo que ocorre com o triângulo,também no paralelogramo qualquer lado pode sertomado como base. A altura será a distância desselado ao lado oposto.
'pS a h b h= ⋅ = ⋅
10
55
3. Área dos paralelogramosnotáveis
Os paralelogramos notáveis são o retângulo,o losango e o quadrado. Suas áreas também sãodadas pela fórmula base x altura.
Retângulo Losango Quadrado
RS a b= ⋅ LS l h= ⋅ 2QS a a a= ⋅ =
56
3. Área dos paralelogramosnotáveis
Porém, como as diagonais do losango sãoperpendiculares, é possível expressar sua área emfunção de suas diagonais.
Pelos vértices de um losango traçamos asretas paralelas às diagonais, obtendo um retângulode lados congruentes a essas diagonais.
57
3. Área dos paralelogramosnotáveis
Os lados e as diagonais do losangodecompõem o retângulo em 8 triângulos retânguloscongruentes, dos quais 4 formam o losango. Então,a área do losango é a metade da área do retângulo.Isto é, é o semiproduto das diagonais.
2 2R
L L
S D dS S
⋅= ⇒ =
58
Exercício 14: Na figura abaixo, ABCD é umparalelogramo. Se a área do triângulo ABM é iguala 10 cm2, qual é a área do paralelogramo?
3. Área dos paralelogramosnotáveis
59
Exercício 15: Calcule a área do quadrado MNPQem função de a.
3. Área dos paralelogramosnotáveis
60
Exercício 16: M e N são os pontos médios doslados AB e BC de um quadrado ABCD. Se MN = 5,calcule a área do quadrado.
3. Área dos paralelogramosnotáveis
11
61
Exercício 17: O perímetro de um losango é igual a40 cm e sua diagonal maior é D = 16 cm. Calcule aárea desse losango.
3. Área dos paralelogramosnotáveis
62
Exercício 18: Um retângulo de área igual a540 cm2 está inscrito num círculo e tem seus ladosproporcionais a 5 e 12. a) Calcule as medidas doslados do retângulo. B) Calcule o raio do círculo.
3. Área dos paralelogramosnotáveis
63
Exercício 19: Na figura abaixo, ABCD é umretângulo, , , LDMO é um quadradoe as áreas dos retângulos OLCN e OKAM são iguaisa 15 e 6, respectivamente. Se x + y = 7, calcule aárea do retângulo OKBN.
3. Área dos paralelogramosnotáveis
MN // AB KL // BC
64
4. Área do trapézio
A área de um trapézio qualquer é dada pelafórmula:
( )2
BASE MAIOR BASE MENOR ALTURA+ ×
65
4. Área do trapézio
Essa fórmula pode ser facilmente obtidadecompondo o trapézio em dois triângulos por meiode uma de suas diagonais.
( )2 2 2
T ABD BCD
T T
S S S
ah bh a b hS S
∆ ∆= ++ ⋅= + ⇒ =
66
5. Área de um quadriláteroqualquer
A área de um quadrilátero qualquergeralmente é calculada decompondo-o emtriângulos, por meio de suas diagonais.
1 2QS S S= + 1 2 3 4QS S S S S= + + +
12
67
Exercício 20: Num trapézio de altura h = 5 cm abase média mede 6 cm. Calcule a área dessetrapézio.
5. Área de um quadriláteroqualquer
68
Exercício 21: Na figura abaixo, M e N são ospontos médios dos lados AD e BC do trapézioABCD. Calcule a área desse trapézio, sabendo quea área do trapézio MABN é igual a 18.
5. Área de um quadriláteroqualquer
69
Exercício 22: Se , calcule a área do tra-pézio BCDE.
BE // CD
5. Área de um quadriláteroqualquer
70
Exercício 23: Na figura, AB = AC = BC = 10 eCD = 6. Calcule a área do quadrilátero ABCD.
5. Área de um quadriláteroqualquer
71
Exercício 24: A figura seguinte mostra a planta deum terreno. Para calcular a sua área o proprietáriodispõe das seguintes medidas.
22 m 24 m 18 m 30 45o oa b c α β= = = = =
5. Área de um quadriláteroqualquer
72
6. Área de um círculo e desuas partes
A área de um círculo de raio r é dada pelafórmula
2CS rπ=
13
73
6. Área de um círculo e desuas partes
Pi (π) é o número irracional que representa arazão entre o comprimento de uma circunferênciae seu diâmetro. Assim sendo, sendo C ocomprimento de uma circunferência de diâmetro d,então: C
dπ=
74
6. Área de um círculo e desuas partes
Ou, ainda,
C d π= ⋅E como d = 2r, temos:
2 2C r C rπ π= ⋅ ⇒ =
75
6.1. Área da coroa circular
Considere dois círculos concêntricos, isto é,de mesmo centro, de raios R e r, R > r. Chama-secoroa circular o conjunto de todos os pontos quepertencem ao círculo maior e que não estão nointerior do círculo menor.
76
6.1. Área da coroa circular
A área da coroa circular é:2 2
2 2( )coroa
coroa
S R r
S R r
π ππ
= −
= −
77
Exercício 25: Calcule a área do círculo inscritonum triângulo de lados 5 cm, 6 cm e 7 cm.
6.1. Área da coroa circular
78
Exercício 26: Calcule a área da coroa circularlimitada pelas circunferências inscrita ecircunscrita num mesmo quadrado de lado l = 4 cm.
6.1. Área da coroa circular
14
79
Exercício 27: Qual é a razão entre as áreas doscírculos inscrito e circunscrito num mesmotriângulo equilátero?
6.1. Área da coroa circular
Ver slides 66 e 67.
Aula: Geometria Plana I
80
6.2. Área do setor circular
Chama-se setor circular a intersecção de umcírculo qualquer com um ângulo também qualquerque tenha seu vértice no centro do círculo.
O setor circular é uma fração do círculo.Desse modo, para calcular a área de um setorcircular basta descobrir qual é a fração que elerepresenta do círculo.
81
6.2. Área do setor circular
Suponha, então, que seja conhecida a medidaα, em graus, do ângulo que define o setor. Nessecaso, perceba que a fração que ele representa docírculo é:
360o
α
82
6.2. Área do setor circular
isto é, estão sendo tomadas α partes de um totalde 360. Assim, como a área do círculo é igual a πr2,a área desse setor será:
2
360setor oS rα π= ⋅
83
6.2. Área do setor circular
Se a medida α do ângulo do setor estiverexpressa em radianos, basta, na fórmula da área,substituir 360o por 2π. Isto é, para α em radianos
22
2 2setor setor
rS r S
α αππ
= ⋅ ⇒ =
84
6.3. Área do segmento cir-cular
Chama-se segmento circular qualquer umadas partes em que um círculo fica dividido por umacorda qualquer.
A área de um segmento circular é calculadaa partir das áreas de um setor circular e de umtriângulo, segundo dois casos possíveis.
15
85
6.3. Área do segmento cir-cular
1o Caso: O segmento circular não contém o centrodo círculo.
seg setor AOBS S S∆= −
86
6.3. Área do segmento cir-cular
2o Caso: O segmento circular contém o centro docírculo.
seg setor AOBS S S∆= +
87
Exercício 28: Na figura abaixo, ABC é umtriângulo equilátero de lado l = 2. Os arcos decircunferência têm centros em A e B e ambos têmraio r = 1. Calcular a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-cular
88
Resolução: Como o triângulo é equilátero, cada umde seus ângulos mede 60o. Assim, a área Sprocurada é igual à área do triângulo subtraída dasáreas de dois setores circulares de 60o.
6.3. Área do segmento cir-cular
2
2
ABC SETORS S S
S
∆= − ⋅
= 2 sen 60
2
o⋅ ⋅ 2602. . .1
360
2
o
o
S
π−
= 3
2⋅ 2− 1
6⋅
33
S
π
π
⋅
= −
89
Exercício 29: ABCD é um quadrado de lado 2a. Osarcos de circunferência têm centros em A e C.Calcular a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-cular
90
Resolução: A área procurada é o dobro da área Sdo segmento circular da figura abaixo. Por sua vez,a área desse segmento circular é igual à diferençaentre as áreas do setor circular de 90o e dotriângulo BCD.
6.3. Área do segmento cir-cular
2
2 2
2 2
2
2
90 2 2(2 )
23601
4 24
2
( 2)
2 2 ( 2)
SETOR BCD
o
o
S S S
a aS a
S a a
S a a
S a
S a
π
π
ππ
π
∆= −
⋅= ⋅ ⋅ −
= ⋅ ⋅ −
= −
= −
= −
16
91
Exercício 30: Na figura abaixo, ABC é umtriângulo equilátero de lado l = 4. As semicir-cunferências têm centros nos pontos médios doslados, são tangentes duas a duas e têm raios iguais.Calcule a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-cular
92
Exercício 31: As três circunferências da figuratêm o mesmo raio r e são tangentes duas a duas.Calcule a área da região indicada.
6.3. Área do segmento cir-cular
93
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Se dois triângulos são semelhantes e a razãode semelhança entre eles é igual a k, então a razãoentre suas áreas é igual a k2.
94
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Se ' ' 'ABC ABC∆ ∆∼
' ' ' '
a b c hk
a b c h= = = = =…com
então' ' '
2ABC
A BC
Sk
S∆
∆
=
'
95
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Por hipótese, temos: ' '
a hk e k
a h= =
Então,' ' ' ' ' '
2' ' ' ' ' '2
2
ABC ABC
A B C A BC
ahS Sah a h
k k ka hS a h a h S
∆ ∆
∆ ∆
= = = ⋅ = ⋅ ⇒ =
'
96
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Assim, se S e S’ são as áreas de doistriângulos semelhantes, sendo k a razão desemelhança, temos:
2 2 ''
Sk S k S
S= ⇒ = ⋅
'
17
97
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Considere, agora, dois polígonos semelhantesP e P’ quaisquer, e seja k a razão de semelhançaentre eles. Vamos provar que a razão entre asáreas de P e P’ é igual a k2. Para tanto, observe queos polígonos podem ser decompostos em pares detriângulos semelhantes.
98
7. Áreas das figuras seme-lhantes
É de imediata verificação que a razão desemelhança entre cada um desses pares detriângulos semelhantes é igual a k. Representandosuas áreas por S1, S2, S3, … e S1’, S2’, S3’ …,teremos:
' ' ' '1 1' 2 2 '( ) , ,ABCD ABC D ⇒ ∆ ∆ ∆ ∆…∼ … ∼ ∼ …
99
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Somando essas igualdades membro amembro, obtemos:
2
2
2
1 1'
2 2 '
3 3 '
S k S
S k S
S k S
= ⋅
= ⋅
= ⋅⋮ ⋮
100
7. Áreas das figuras seme-lhantes
Logo,
22 3 1' 2 ' 3 '1 ( )S S k S S SS + + + = + + +… …
22 31
1' 2 ' 3 '
S SSk
S S S+ + + =+ + +
…
…
101
7. Áreas das figuras seme-lhantes
A última igualdade mostra que a razão entreas áreas dos polígonos é igual a k2.
102
Exercício 32: Os quadriláteros da figura abaixosão semelhantes. Calcular os lados do quadriláteromaior, sabendo que sua área é o dobro da área domenor.
7. Áreas das figuras seme-lhantes
18
103
Resolução: Seja S a área do quadrilátero menor.Então, a área do quadrilátero maior é igual a 2S ecomo a razão entre suas áreas é k2, temos:
7. Áreas das figuras seme-lhantes
2 222 2
2 3 23
2 4 24
2 7 27
2 6 26
Sk k k
Sx
x
yy
uu
vv
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
104
Exercício 33: Na figura abaixo . Calcular xem função de h, sabendo que a área do trapézioBDEC é o dobro da área do triângulo ADE.
7. Áreas das figuras seme-lhantes
DE // BC
105
Exercício 33: Como , sabemos que os triân-gulos ADE e ABC são semelhantes. Seja k a razãode semelhança entre eles. Se a área do triânguloADE é S, a área do trapézio BDEC é igual a 2S e aárea do triângulo ABC é 2S + S = 3S. Logo,
7. Áreas das figuras seme-lhantes
DE // BC
2
2
3
1 33 3
Assim,
3 33 3
ADE
ABC
S Sk
S S
k k
x hx
h
∆
∆
= =
= ⇒ =
= ⇒ =
106
Exercício 34: Os triângulos ABC e DEF da figurasão semelhantes. a) Calcule a razão de semelhançae a razão entre as áreas desses dois triângulos. b)Se a área do triângulo ABC é igual a S, qual é aárea do triângulo DEF?
7. Áreas das figuras seme-lhantes
107
Exercício 35: Na figura . Calcule x emfunção de h, sabendo que o triângulo ADE e otrapézio BDEC são equivalentes.
7. Áreas das figuras seme-lhantes
DE // BC