B R P alvo - Programa de Pós-Graduação em...

Questão 1-A Em um sistema de deposição de filmes finos elétrons são emitidos de um filamento aquecido, acelerados por uma diferença de potencial V e defletidos por um campo magnético B até cair sobre um alvo, provocando sua fusão. O material evapora e condensa sobre um substrato colocado acima do alvo. Todo o sistema é montado numa câmara de vácuo. A figura representa o princípio de funcionamento. Considere uma situação em que o feixe cai no ponto P, à esquerda do alvo. Escolha a alternativa que descreva corretamente o procedimento de ajuste da posição para que o feixe caia no alvo. Justifique.

A- ( ) Diminuir o potencial V e aumentar a corrente if do filamento. B- ( ) Diminuir potencial V e diminuir a corrente if do filamento. C- ( ) Aumentar o potencial V ou diminuir o campo magnético B D- ( ) Diminuir o potencial ou aumentar o campo E – ( ) Nenhuma das opções anteriores.

A- errada. Diminuir o potencial reduz a energia cinética e os elétrons caem antes. A corrente do filamento só controla a quantidade de elétrons emitidos (corrente eletrônica) não alterando a sua velocidade. B) Errada C) correta. Usando segunda lei de Newton para movimento circular e BvqF

��

R

vmqvB e

2

� , qB

vmR e�

D) errada. A redução do potencial reduz o raio da trajetória assim como o aumento de B.

V

B

R

alvo

if

P

V

B

R

alvo

if

P

Questão 1-B Considere os segmentos de três fios, paralelos, longos e retos, de comprimento L, igualmente espaçados pela distância d. Em cada segmento circula uma corrente i com sentido indicado pela seta na figura (corrente convencional). Assinale a resposta correta justificando a escolha. A) ( ) A força no fio central é maior que a dos fios das extremidades e estas tem mesma intensidade. B) ( ) A intensidade das forças nos fios das extremidades é nula e no centro é máxima. C) ( ) As forças são iguais em todos os fios. D) ( ) As forças nos fios das extremidades são mais intensas que a do centro e tem o mesmo sentido. E) ( X ) As forças nos fios das extremidades são mais intensas que a do centro e tem sentidos opostos. Resposta: E. O campo produzido por um fio longo reto, percorrido por uma corrente i, a uma

distancia r é r

irB

��2

)( 0�

O campo total em a: kd

ik

dd

iBa

��

��

��

4

3

2

11

200 ��

��

��

O campo total em b: 011

20 ��

��

�� k

dd

iBa

��

��

O campo total em c: kd

ik

dd

iBc

��

��

��

4

3

2

11

200 ��

��

��

Os fios experimentam uma força efeBLiF��

�� , onde Beff é o campo resultante em cada

fio produzido pelos vizinhos.

d d

Li i i

a b c

d d

Li i i

d d

Li i i

a b c

A força no fio “a” é jd

LikiiLBF aa

��

��

4

3)( 0

2

�� , ortogonal a corrente e ao campo,

dirigido para dentro na direção do fia a, usando a regra da mão direita. A força do fio “c” tem a mesma intensidade e também é dirigida para dentro, logo,

direção oposta a força no fio “a”. jd

LikiiLBF ac

��

��

4

3)( 0

2

��

A força no fio “b” é nula pois o campo efetivo é nulo.

Questão 2-A Um imã na forma de uma barra é deixado cair por um tubo onde uma bobina é enrolada, conforme mostrado na figura. Os terminais da bobina são conectados a um osciloscópio onde se pode observar a tensão induzida enquanto o imã atravessa a região da bobina. Qual dos gráficos a seguir representa melhor como a tensão induzida varia com o tempo? Justifique a sua escolha. A (X ) Gráfico A B ( ) Gráfico B C ( ) Gráfico C D ( ) Gráfico D E ( ) Gráfico E A resposta correta é o gráfico A. O fluxo magnético inicialmente aumenta a medida que o imã se aproxima das bobinas, atinge um valor máximo quando o imã esta centralizado nas bobinas e diminui a medida que se afasta (note que o campo não muda de sentido) . A tensão induzida,

determinada pela lei de Faraday-Lenz � ��S

sdBdt

dtv

��)( .

O gráfico B identifica qualitativamente o fluxo magnético esperado na bobina em função do tempo. A tensão induzida é sua derivada no tempo. Os gráficos C e D mostram descontinuidades nas funções e portanto não descrevem o comportamento que seria observado.

v(t)

t A)

v(t)

t D)

v(t)

t B)

v(t)

t C)

v(t)

t E)

v(t)

t A)

v(t)

t

v(t)

t A)

v(t)

t D)

v(t)

t D)

v(t)

t B)

v(t)

t B)

v(t)

t C)

v(t)

t C)

v(t)

t E)

v(t)

t

v(t)

t E)

v

N

Svv

N

S

Questão 2-B Uma espira retangular com área d x D m2 e resistência R, atravessa uma região com campo magnético constante orientado para dentro do plano, como mostrado na figura. Esboce um gráfico mostrando qual a dependência da corrente induzida na espira em função do tempo, a medida que atravessa a região com campo. Determine os valores da escalas dos eixos de tempo e tensão e em termos de v, D, B e R. Considere correntes no sentido convencional, negativa no sentido anti-horário, positiva no sentido horário. Resposta

O fluxo na espira � ��s

BxDBAsdB��

é proporcional ao comprimento x da bobina

sobreposta à região do campo. Como a velocidade é constante x é proporcional ao tempo. O Fluxo máximo é obtido quando toda a bobina esta na região do campo.

BdD��max .

A tensão induzida BDvdt

dxBDsdB

dt

dtv

S

��

)(

A corrente induzida Rtvti /)()( � O tempo começa a ser contado quando a borda da bobina entra na região de campo.

B

v

2d

d

D

B

v

2d

d

D

�DdB

td/v 2d/v 3d/v

BDv/R

i

t-BDv/R

�DdB

td/v 2d/v 3d/v

BDv/R

i

t-BDv/R

Questão 3-A Uma placa de cobre com espessura b é inserida exatamente no meio das placas paralelas de um capacitor de área A, separadas pela distância d. Se a carga é mantida igual ao do valor inicial, compare as energias armazenadas no capacitor antes e depois da inserção da placa de cobre. Como a diferença de energia foi convertida? Justifique suas respostas. A ( X ) U1/U2=d/(d-b) B ( ) U1/U2=2d/(d-b) C ( ) U1/U2= (d-b)/d D ( ) U1/U2= b/d E ( ) U1/U2= (d-b)/(d+b) Resposta: opção A Capacitancia inicial

d

AC 0��

Após inserção da placa de cobre

21

111

CCCeq

�� onde 2/)(021 bd

ACC

��

Logo bd

ACeq �

� 0�

A energia armazenada inicialmente no capacitor

0

22

1 22 �A

dq

C

qU ��

A energia armazenada após a inserção da placa de cobre.

0

2

2

)(

�A

bdqUUU bat

��

A razão entre as energias bd

d

bdq

A

A

dqUU t �

��

��)(

2

2/

20

0

2

1

��

A energia armazenada é inicialmente maior. Parte da diferença foi convertida em trabalho realizado pela força que atrai a placa de cobre para dentro das placas do capacitor, ou para deslocar as cargas no condutor.

Questão 3-B O capacitor de placas paralelas da figura possui um seção central rígida que possui mobilidade vertical. Esta parte móvel eventualmente poderia ser aproveitada como um sensor de deslocamento. Discuta esta possibilidade mostrando como a capacitância é modificada por um deslocamento vertical da parte móvel. Este dispositivo não poderia ser usado como sensor de posição do modo como foi concebido pois a capacitância resultante não é alterada por uma mudança de posição � medida em relação ao centro das placas externas:

21

111

CCCeq

��

�ba

AC 0

1

2�,

��

ba

AC 0

1

2�

� ��

��

��

��

��

��

�

babaA

baba

A

CC

CCCeq 11

2

14

0

20

21

21

�

�

ba

ACeq �

� 0�

a ba b

Questão 4-A

Duas partículas de spin 21 estão num estado singleto dado segundo por

��

��

��

��)2()1()2()1(

2

1)2,1(

2

1

2

1

2

1

2

1 ��T onde as funções )2,1(2

1�

� são as auto

funções da projeção do momento angular de spin ZS . Cada uma das partículas é

distribuída para dois laboratórios diferentes, A e B. Elas não sofrem nenhuma influência de agentes externos. Responda: (Você deve justificar suas respostas. )

A) Se no laboratório A é medido ZS obtendo-se como resultado 2

�� qual a probabilidade

de que numa medida de ZS no laboratório B se obtenha como resultado 2

�� .

B) Se no laboratório A é medido ZS obtendo-se como resultado 2


de que numa medida de xS no laboratório B se obtenha como resultado 2

�� .

C) Se no laboratório A é medido xS obtendo-se como resultado 2


de que numa medida de xS no laboratório B se obtenha como resultado 2

�� .

D) Se no laboratório A não é realizada nenhuma medida, qual a probabilidade de que numa

medida de ZS no laboratório B se obtenha como resultado 2

�� .

R: 100%, 50%, 0%, 50%.

a) A=100%, B=50%, C=0% D=50%

b) A=50%, B=50%, C=50%, D=50%

c) A=100%, B=100%, C=100%, D=25%

d) A=25%, B=25%, C=50%, D=25%

e) Nenhuma das anteriores.

Questão 4-B

Duas partículas distinguíveis estão confinadas num poço de potencial de um oscilador harmônico. O sistema está num estado tal que função de onda é dada por

��

��

�

��

��

�

��

��

�

tiC

b

xx

b

xAtxx expexpexp),,(

22

2

21

21

Onde A, b e C são constantes. (Justifique claramente suas respostas)

A) Se uma medida da posição da partícula 1 é feita, qual o valor mais provável da posição.

B) Numa medida de posição da partícula 2 ela será encontrada com maior probabilidade em X>0 ou X<0.

C) Qual é a energia total do sistema descrito por ),,( 21 txx� .

D) Os resultados acima dependem do instante em que as medidas foram feitas?

Resposta:

a) Basta notar que é uma função gaussiana em 1x . Logo, o valor mais provável é zero.

b)Serão iguais pois a função tem paridade definida.

c)O operador de evolução temporal é dada por ��

��

�

iEtexp logo, a energia total é C.

d) O estado é nitidamente estacionário, logo os resultados são independentes do tempo.

Questão 5-A

Nas questões abaixo, assinale verdadeiro ou falso. Você precisa justificar suas respostas. Respostas sem justificativas serão desconsideradas.

A) ( ) Num pião simétrico sujeito ao campo gravitacional da superfície da terra, o momento angular total nunca se conserva.

Falso: Basta que ele esteja na vertical.

B) ( ) A transição atômica espontânea que leva o átomo de hidrogênio do estado em que o número quântico l sofre variação total 2��l é impossível de ocorrer.

Falso: Pode ocorrer por mecanismos que não o de dipolo elétrico.

C) ( ) É condição suficiente para se estabelecer o equilíbrio de um sistema termodinâmico que sua energia interna seja mínima.

Falso: É preciso que a entropia seja também máxima.

D) ( ) A existência dos bósons de Higges está plenamente estabelecida.

Falso: É só uma hipótese.

E) ( ) Num semicondutor intrínseco, o número de estados vagos na banda de valência é sempre maior que o número de estados ocupados na bando de condução.

Falso: São iguais, evidentemente.

Questão 5-B

5-B) Nas questões abaixo, assinale verdadeiro ou falso. Você precisa justificar suas respostas. Respostas sem justificativas serão desconsideradas.

A) ( )É impossível determinar simultaneamente, num único experimento realizado com uma partícula, seu comportamento ondulatório e corpuscular.

V: Só podemos determinar um dos comportamentos.

B) ( ) Todo corpo sólido pode ser, em boa aproximação, pensado como um corpo negro.

F: Se o corpo é transparente não é uma boa aproximação.

C) ( ) A segunda lei de Newton é invariante por mudança de referencial.

F: Só para transformações entre referenciais inerciais.

D) ( ) As grandezas físicas carga elétrica, momento magnético de spin e massa são sempre quantizadas.

F: massa não é quantizada.

E) ( ) Nos últimos três anos, alguns laboratórios do mundo conseguiram detectar diretamente ondas gravitacionais.

F: Elas ainda não foram detectadas.

Questão 6-A

Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial unidimensional dado por

��

��

��

��

��

��

c

x

c

xAxV exp2exp)( . Determine a energia do estado fundamental para

pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio desse sistema sabendo que

��2

1�E onde � é a frequência de pequenas oscilações.

R: Ítem E.

A) m

A

CE

2��

B) ��

m

A

CE

2�

C) ��

m

A

CE

2�

D) ��

m

A

CE

)22(

2

��

E) Nenhuma das anteriores

Derivando o potencial encontramos o ponto de mínimo dado por:

2

1lnmin Cx �� .

Temos que a constante elástica será;

min

2

2

XXdx

Vd

�

��

��

�. Isso resulta em

22C

Ak � .

Aproximando a energia par �m

kE

2

1� temos �

m

A

CE

22

1� , ou �

m

A

CE

8

1� .

Questão 6-B

Um oscilador harmônico tri-dimensional isotrópico tem hamiltaniana dada por

)(2222

2222222

zyxmw

m

P

m

P

m

PH zyx �� . Determine:

a) A soma das energias dos três primeiros estados não degenerados. Ou seja, do fundamental, primeiro e segundo estados excitados.

b) Qual o número total de estados até o segundo nível? Ou seja, determine a soma do número total de estados desde o fundamental até o segundo estado excitado.

Resposta: e

a) ��2

9, 3

b) ��2

9, 7

c) ��2

11, 10

d) ��2

13, 7

e) ��2

15, 10

Resposta: Basta notar que o hamiltoniano é separável. Então, total será dada por

��

��

2

1

2

1

2

1zyx nnnE .

A soma do fundamenal, 0�� zyx nnnn , com primeiro excitado

1�� zyx nnnn , com segundo excitado 2�� zyx nnnn resulta ��2

15

.

O estado fundamental é não degenerado, o primeiro excitado é triplamente degenerado e o segundo excitado é composto por seis estados degenerados.

Resulatando então 10 estados no total.

Questão 7-A

Um corpo de massa m, enfiado em um aro circular de raio R situado em um plano vertical, está preso por uma mola de constante k ao ponto C, no topo do aro. O corpo pode se deslocar ao longo do aro com atrito desprezível. Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com

θ = o60 , k = 2g/R e � �232 ��m , com unidades no SI, a velocidade da partícula no

ponto B será: (adotando a energia potencial em B igual a zero)

c) gR3

Tomando a energia potencial em B igual a zero, assim como a energia cinética em A, temos

2

2

1kxmghUE AA �� .

Para θ = o60 o comprimento da mola é Rl 3� , x=2R-l, e utilizando a conservação da energia vem a resposta c).

Questão 7-B

7-B) Uma pessoa pegou um disco homogêneo de massa M e raio R, fez um furo circular de raio R/2 no centro dele e colocou o disco furado para girar sem atrito num plano vertical em torno de um eixo perpendicular a esse plano. O eixo de rotação passa pelo ponto 0 indicado na figura, e o disco é abandonado sob a ação do seu próprio peso a partir da posição indicada. O momento de inércia de um disco maciço de raio R e massa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco, passando por seu centro

vale 2/2MRI � . A velocidade angular do disco furado na posição vertical (inferior) será:

b) R

g

13

16

O momento de inércia do disco, em relação a um eixo perpendicular ao plano, passando pelo seu centro é a diferença entre o momento de inércia de um disco completo e da parte retirada no centro

22

2

32

15

242

1

2

1MR

RMMRI cm ��

��

�� .

Utilizando o teorema dos eixos paralelos obtemos o momento de inércia em relação a 0

20 32

39MRI � .

Utilizando a conservação da energia (com energia potencial zero na altura inicial, por exemplo) obtemos a resposta b).

Questão 8-A

Um garoto malcriado resolve comemorar o dia das bruxas atirando objetos de massa m nas janelas das casas. Considere, além do peso, uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, do tipo vb

�� , onde b é uma constante, tal que b/m =1 (com

unidades no sistema internacional). Se ele se encontra a 6,3 m da parede da casa, e faz

um lançamento a o45 , com velocidade, em módulo, de 10 m/s, a que altura em relação ao chão o objeto irá atingir a casa, considerando que o percurso, plano, irá demorar 1 segundo.

(utilize � �11 �� e =0,63)

e) nenhuma das anteriores.

Devemos considerar o problema em duas dimensões:

dt

rdbzmg

dt

rdm

��

�� ˆ2

2

.

Resolvendo em z obtemos:

� �mbtz eb

gm

b

mvt

b

mgtz /

2

20 1)( ��

�

��

�� ,

e em x,

� �mbtx eb

mvtx /0 1)( ��

que com os dados do problema (t=1s), vemos que o tempo de percurso é insuficiente para atingir a casa.

Questão 8-B

Considere o problema de uma gota de chuva caindo no interior de uma nuvem que contém muitas gotas minúsculas. Algumas dessas gotículas aderem sobre a gota que cai, fazendo, portanto, aumentar a sua massa a medida que ela cai. Como um modelo simples, suponha que a massa da gota de chuva dependa da distância vertical x percorrida durante a sua queda, m(x) = kx (inicialmente sua massa é considerada como desprezível), onde k = 0,12 g/m é uma constante. Considerando a velocidade inicial nula, e a única força externa como sendo o peso, determine a massa da gota após 4 segundos de queda.

(dica: tomar a velocidade proporcional a x pode ser útil)

a) 3,2 g

Esse é um problema de massa variável:

dt

dmv

dt

dvmmg ��

Como m(x) = kx, a equação fica

2vdt

dvxxg �� ,

e se substituirmos v xc� na equação, vemos que a aceleração é constante. Resolvendo, vemos que a = g/3 e assim

2

6t

gkm � .

Substituindo os valores, obtemos a resposta a).

Questão 9-A

Um cilindro contendo 1 kg de hélio a 150 atm, em equilíbrio térmico com o ambiente a

Co17 , tem um pequeno vazamento através do qual o gás escapa para a atmosfera, até que o tanque se esvazia por completo do hidrogênio. Que quantidade de trabalho é desperdiçada por este processo?

a) J6103�

Nesse caso, temos que

��

��

��

i

f

p

pnRS ln .

Para 1 kg de hélio, n=250, e observando que STW �� , obtemos a resposta a).

Obs. É obvio que o termo hidrogênio apareceu por erro de digitação no enunciado, mas mesmo assim, a resposta e) (nenhuma das anteriores), justificada coerentemente, foi aceita.

Questão 9-B

Considere um gás ideal, à temperatura T, tal que suas velocidades podem ser descritas pela distribuição de velocidades de Maxwell. Determine a sua velocidade quadrática média. (todas as passagens do cálculo são necessárias durante a solução)

c) m

kT3

Considerando a distribuição de velocidades

��

��

��

��

�� kT

mv

evkT

mvF

222/3

2

24)(

��

e efetuando a integração,

� �dvvFvv ��

�0

22

,

obtemos a resposta c).

Questão 10-A

Dado o poço de potencial ��

��

�axpara

axparaxV

.......

.......0)( , sabemos que a energia do estado

fundamental é ��

��

��

��

��

2

22

042 am

E��

. Suponha agora que a função de onda do estado

fundamental seja dada por 220 )( xax �� , que não está normalizada. Encontre a razão

entre 0/ EH sendo H o valar esperado da energia na função de onda dada.

a) 2

10

�

b) 1

c) 2

3

�

d)�3


Resposta: A função de onda dada não é auto função da hamiltoniana dada. Assim, a

energia esperada será dada por ��

�

��

dx

dxHE

��

��

Resolvendo a integral, resulta que a razão será 2

10

� .

Questão 10-B

Uma certa experiência foi elaborada para estudar a aniquilação do positrônio, que é um sistema ligado, formado por um elétron e um pósitron, que movem-se juntos. Num certo instante, o pósitron e o elétron se aniquilam, criando dois fótons que se movem em direções que formam ângulos θ iguais em relação à direção definida pela trajetória do

positrônio. Considere que a energia de repouso do elétron vale 0,5 MeV/ 2c e despreze a energia de ligação entre o elétron e o pósitron. Se nesta experiência foi medido o ângulo θ, tal que

tg(θ) = 3/8, a velocidade inicial do positrônio é:


O positrônio possui energia 2.2 cmE ep �� e momento vmp ep �.2� . Cada fóton

produzido possui energia cpE �� . Considerando a conservação da energia

�EE p 2� , e do momento, �� cos2 pp p � , com o ângulo dado, resolvendo

obtemos

94.073

738��v c .

��

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