Avalia˘c~ao da ader^encia de t abuas de mortalidade para a...

Gabrielle Carvalho da Cruz Fernandes

Avaliacao da aderencia de tabuas de

mortalidade para a previdencia

complementar fechada: um estudo de caso

Niteroi - RJ, Brasil

17 de dezembro de 2018

Universidade Federal Fluminense


Avaliacao da aderencia de tabuas demortalidade para a previdencia

complementar fechada: um estudo decaso

Trabalho de Conclusao de Curso

Monografia apresentada para obtencao do grau de Bacharel emEstatıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientadora: Profa. Ana Beatriz Monteiro Fonseca

Niteroi - RJ, Brasil

17 de dezembro de 2018

Universidade Federal Fluminense


Avaliacao da aderencia de tabuas de

mortalidade para a previdencia

complementar fechada: um estudo de caso

Monografia de Projeto Final de Graduacao sob o tıtulo “Ava-

liacao da aderencia de tabuas de mortalidade para a pre-

videncia complementar fechada: um estudo de caso”, defendida

por Gabrielle Carvalho da Cruz Fernandes e aprovada em 17 de

dezembro de 2018, na cidade de Niteroi, no Estado do Rio de

Janeiro, pela banca examinadora constituıda pelos professores:

Profa. Ana Beatriz Monteiro FonsecaDepartamento de Estatıstica – UFF

Prof. Luis Guillermo Coca VelardeDepartamento de Estatıstica – UFF

Andre Claudio Veiga Cunha de Mendonca

Niteroi, 17 de dezembro de 2018

Ficha catalográfica automática - SDC/BIMEGerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

F363a Fernandes, Gabrielle Carvalho da Cruz Avaliação da aderência de tábuas de mortalidade para aprevidência complementar fechada: um estudo de caso /Gabrielle Carvalho da Cruz Fernandes ; Ana Beatriz MonteiroFonseca, orientador. Niterói, 2018. 68 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação emEstatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto deMatemática e Estatística, Niterói, 2018.

1. Previdência Complementar. 2. Aderência. 3. Tábuas deMortalidade. 4. Kolmogorov e Smirnov. 5. Produçãointelectual. I. Monteiro Fonseca, Ana Beatriz, orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática eEstatística. III. Título.

CDD -

Resumo

Ao utilizar uma tabua de mortalidade que nao reflita a verdadeira massa de segurados,podem ocorrer grandes distorcoes nas previsoes previdenciarias. As entidades que atuamna area de previdencia utilizam tabuas estrangeiras, que representam a mortalidade dediferentes culturas e nıveis socioeconomicos. Com isso, o presente trabalho tem o objetivode analisar a aderencia das tabuas de mortalidade para uma determinada entidade fechadade previdencia complementar com a finalidade de verificar a melhor tabua, ou seja, aquelaonde os valores ajustados sejam proximos aos valores observados e, sendo assim, adequadapara os estudos previdenciarios da entidade no estudo em questao. Com as probabilidadesde morte ajustadas, elaboraram-se tabuas de mortalidade para ambos os sexos e para osexo masculino. Para realizar as comparacoes, utilizou-se a tabua do IBGE 2016 paraambos os sexos e as tabuas da famılia Annuity Table AT-83, AT-2000 e a BR-EMSsb2010para a comparacao com o sexo masculino. Apos a elaboracao das tabuas da Entidade emestudo, utilizou-se o Teste de Kolmogorov-Smirnov para avaliar a aderencia entre as tabuaselaboradas com as tabuas do mercado. Apos a aplicacao do Teste de Kolmogorov-Smirnov,foi possıvel concluir que entre as tabuas de referencia estudadas (IBGE, BR-EMSsb 2010,AT-2000 e AT-83), nenhuma delas foram aderentes aos dados observados para o grupo departicipantes da entidade analisada. Ressalta-se, que a escolha da tabua de mortalidadeque mais se adeque as probabilidades de mortalidade da Entidade em estudo e essencialpara uma adequada gestao do plano, pois com a devida escolha serao obtidos os resultadosatuariais apropriados com a realidade vivida pela massa de participantes e tambem naocomprometendo a solvencia economica e

financeira do plano.

Palavras-chaves: Previdencia Complementar, Entidade de Previdencia Fechada, Tabuasde Mortalidade, Hipoteses, Aderencia, Kolmogorov-Smirnov.

Dedicatoria

Dedico este trabalho a todos aqueles que acreditaram em mim, que me ajudaram,

apoiaram e me amaram ao longo dessa jornada.

Agradecimentos

Agradeco em primeiro lugar a Deus pela vida e pelo tamanho privilegio de ter estudado

em uma universidade que tanto desejei. Foi uma longa caminhada e por muitas vezes com

vontade de desistir. Durante a minha vida academica ganhei tantos amigos que nao tenho

duvidas de que levarei todos eles, se nao para a minha vida, com certeza em meu coracao

e num lugar muito mais do que especial.

A minha famılia que e a base da minha vida e que tanto amo. Foram eles e que

sempre estiverem comigo, aos meus amigos por me ajudarem incansavelmente e a minha

orientadora que foi alem de uma grande professora, inspiracao mas tambem uma grande

mae que me abracou, puxou minhas orelhas mas acreditou em mim e no meu sonho.

Sumario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Glossario p. 11

1 Introducao p. 12

1.1 Previdencia Social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12

1.2 A Previdencia Social no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 13

1.3 A Previdencia Complementar no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14

1.4 Planos Previdenciarios de Fundos de Pensao . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

1.5 Tabuas de Mortalidade no Mercado Brasileiro de Seguros . . . . . . . . p. 17

1.5.1 Principais tabuas biometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18

1.5.2 Componentes das tabuas de mortalidade . . . . . . . . . . . . . p. 19

2 Objetivos p. 22

2.1 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 22

3 Materiais e Metodos p. 23

3.1 Bases de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 23

3.2 Tabuas de mortalidade utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 24

3.3 Calculo das probabilidades de morte para a populacao estudada . . . . p. 25

3.4 Modelos Lineares e Nao Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 28

3.5 Teste de Aderencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 30

3.5.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31

3.6 Recursos Computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 33

4 Resultados p. 34

4.1 Perfil da massa de participantes em 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

4.2 Probabilidades de morte por idade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

4.3 Tabua de mortalidade da Entidade em estudo . . . . . . . . . . . . . . p. 48

4.4 Comparacao com as tabuas do mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5 Conclusao p. 55

Referencias p. 57

Anexo A -- Tabua AT-83 p. 59

Anexo B -- Tabua AT-2000 p. 61

Anexo C -- Tabua BR-EMSsb 2010 p. 63

Anexo D -- Tabua IBGE -2016 p. 65

Lista de Figuras

1 Evolucao dos ativos, assistidos e obitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34

2 Distribuicao percentual de ativos, assistidos e obitos por sexo. . . . . . p. 35

3 Boxplots das idades por grupo e por sexo . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

4 Piramide Etaria dos ativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 37

5 Piramide Etaria dos assistidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38

6 Estado Civil dos assistidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 39

7 Tipo de benefıcio dos assistidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

8 Piramide Etaria dos Obitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 40

9 Probabilidade de morte por sexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 41

10 Modelo exponencial (linearizado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

11 Modelo exponencial (linearizado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 43

12 Modelo exponencial (linearizado) para a serie masculina . . . . . . . . . p. 46

13 Modelo exponencial (linearizado) para a serie masculina . . . . . . . . . p. 46

14 Comparacao das tabuas para ambos os sexos . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

15 Comparacao das tabuas para o sexo masculino . . . . . . . . . . . . . . p. 54

Lista de Tabelas

1 Analise exploratoria das idades nos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36

2 Modelos para cada caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 42

3 Modelos para cada caso do sexo masculino . . . . . . . . . . . . . . . . p. 45

4 Resultado do Teste Kolmogorov-Smirnov entre as tabuas para ambos os

sexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 53

5 Resultado do Teste Kolmogorov-Smirnov entre as tabuas para o sexo

masculino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 54

11

Glossario

Para melhor entendimento e clareza no trabalho, segue abaixo a terminologia utilizada

no presente estudo:

• Assistido: Participante ou seu beneficiario, em gozo de benefıcio;

• Ativo: Participante que esta em atividade profissional e no plano de aposentadoria

de previdencia;

• Beneficiario: Pessoa com direito aos benefıcios estabelecidos no ambito de um plano

de pensao a partir da morte do participante coberto pelas condicoes desse especıfico

plano;

• Benefıcio: Toda e qualquer parcela assegurada pelo plano de pensao aos seus parti-

cipantes e respetivos beneficiarios, de acordo com as regras do plano;

• EFPC: Entidades Fechadas de Previdencia Complementar responsavel pelo plano

de benefıcio oferecido;

• EAPC: Entidades Abertas de Previdencia Complementar;

• Invalidez: Pessoa nao mais capaz de realizar suas atividades profissionais;

• Morbidez: Risco de contrair doencas, que representa motivo para afastamento das

atividades;

• Patrocinador: Empregador (empresa ou grupo de empresas) que cria plano de be-

nefıcio previdenciario para os seus empregados, a ser administrado por uma EFPC;

• Participante: Pessoa fısica que aderir ao plano de benefıcio administrado por uma

EFPC;

• Pensao: Tipo de benefıcio pago aos sobreviventes do participante (em geral, conjuge

e filhos);

12

1 Introducao

Este capıtulo tem a finalidade de introduzir os principais conceitos ligados a Pre-

videncia Social explicando a sua importancia para a populacao, alem de apresentar uma

descricao sobre o funcionamento da Previdencia Social no Brasil e os regimes vigentes,

atualmente, no paıs. Por fim, serao destacados a importancia e os detalhamentos da

previdencia complementar no Brasil.

1.1 Previdencia Social

As lutas para garantir os direitos a classe trabalhadora sao marcos da historia e, com

isso, trouxeram a preocupacao em garantir a protecao aos trabalhadores. Assim, a aflicao

relacionada as incertezas futuras, tanto do ponto de vista economico-financeiro quanto

nos aspectos relacionados a saude, caminham junto com a evolucao da humanidade desde

o princıpio ate os dias de hoje.

A Seguridade social tem por princıpio a necessidade de dar protecao social aos in-

divıduos contra adversidades que os impecam de prover as suas necessidades pessoais

basicas e de suas famılias. E constituıda por iniciativas dos Poderes Publicos e da socie-

dade, com o objetivo de assegurar os direitos relativos a saude, a previdencia e assistencia

social. Portanto, e uma forma especial de seguranca que esta relacionada a protecao do

trabalhador.

Com a intencao de providenciar uma aposentadoria segura, que pudesse manter o

nıvel e a qualidade da vida semelhante ao momento em que os trabalhadores estavam na

ativa, houve um impulso para o desenvolvimento de novos instrumentos de protecao de

natureza previdenciaria.

1.2 A Previdencia Social no Brasil 13

1.2 A Previdencia Social no Brasil

Segundo Pinheiro (2007), a previdencia social brasileira teve seu marco inicial na

decada de 1920, onde foi instituıda uma indenizacao obrigatoria aos trabalhadores aci-

dentados em servico, com o Decreto no4.682, de 24 de janeiro de 1923, mais conhecido

como a Lei Eloi Chaves, que criou as Caixas de Aposentadorias e Pensoes (CAP), dos

funcionarios da Casa da Moeda e das ferrovias.

Apos essa lei, a protecao social no Brasil passou a obter uma confianca com as ins-

tituicoes que cobriam os riscos de invalidez, velhice e morte, oferecendo os benefıcios de

pensao por morte, aposentadoria, assistencia medica e auxılio farmaceutico. Ate 1923,

as instituicoes de previdencia e assistencia apenas cediam um ou outro benefıcio, quando

nao ofereciam apenas a assistencia medica ou algum tipo de peculio.

De acordo com Leite (1994), durante algumas decadas, ocorreu um acumulo de insu-

ficiencias como os elevados custos administrativos, o desvio de verbas previdenciarias para

outros setores da administracao e os deficits decorrentes do regime de reparticao simples

adotado, acelerando o processo de desequilıbrio do Sistema Oficial de Previdencia.

Ao final dos anos de 1960, algumas empresas, em sua grande maioria estatais, passa-

ram a instaurar planos privados de benefıcios complementares aos da previdencia social

para seus empregados. A pioneira na criacao de uma Entidade de Previdencia Com-

plementar foi a Fundacao Petrobras de Seguridade Social (PETROS), que foi criada em

1969, onde serviu de modelo para muitas outras empresas organizarem suas fundacoes de

seguridade. Porem, com o decreto da Constituicao Federal de 1988, sucedeu-se a maior

inovacao do seguro social, unindo as tres areas da seguridade social: saude, previdencia

social e assistencia social.

Atraves do artigo 194 da Constituicao Federal Brasileira, de 1988, foi estabelecido

que a Previdencia Social e um dos direitos e garantias fundamentais do cidadao. Sendo

assim, sua definicao ficou estabelecida como sendo um seguro disponıvel para todos os

brasileiros, que garante toda ou parte da renda do contribuinte e de seus beneficiarios.

Com isso, o sistema previdenciario brasileiro foi definido em 3 regimes, tais como:

(i) Regime Geral de Previdencia Social (RGPS): operado pelo Instituto Nacional do

Seguro Social (INSS), destinado aos trabalhadores do setor privado e empregados

publicos celetistas com carater contributivo obrigatorio (automaticamente filiado), e

estruturado pelo regime de reparticao simples, ou seja, a variavel central de equilıbrio

1.3 A Previdencia Complementar no Brasil 14

orcamentario e a estrutura etaria da populacao. Os benefıcios pagos aos trabalhado-

res inativos sao custeados pelas contribuicoes dos trabalhadores em atividade. Em

2018, o INSS possui um teto de benefıcio de R$5.645, 80, onde todos os benefıcios

e os salarios de contribuicao sao limitados a esse teto. A aposentadoria por idade e

concedida aos homens desde que tenha contribuıdo 180 meses e com a idade mınima

de 65 anos e para as mulheres com o mesmo tempo de contribuicao mas com a idade

mınima de 60 anos. Ja a aposentadoria por tempo de contribuicao requer, para os

homens, 35 anos de contribuicao e, para as mulheres, 30 anos. Vale ressaltar que

os que trabalham por conta propria precisam se inscrever e contribuir mensalmente

para ter os benefıcios previdenciarios.

(ii) Regime Proprio de Previdencia Social (RPPS): Obrigatorio e destinado aos servido-

res estatutarios e militares da Uniao, dos Estados do Distrito Federal e Municıpios

garantindo, assim, o amparo necessario no momento de sua inatividade;

(iii) Regime de Previdencia Complementar: Permite que empresas e entidades oferecam

planos de benefıcios para seus empregados e associados, tendo como objetivo melho-

rar a protecao previdenciaria e, assim, preservar a qualidade de vida na aposentado-

ria. E estruturado pelo regime de capitalizacao, ou seja, a variavel importante para

este equilıbrio orcamentario e a mortalidade da populacao participante dos planos

de benefıcios. O benefıcio tambem podera possibilitar cobertura para os casos de

morte ou invalidez. O seu maior objetivo e complementar e constituir uma opcao

para os segurados de outros regimes que desejam receber valores superiores aos tetos

dos benefıcios dos regimes aos quais pertencem.

1.3 A Previdencia Complementar no Brasil

Aos poucos, a Previdencia Complementar vem ganhando espaco e maior entendimento

na sociedade brasileira e, assim, vem facilitando o acumulo de recursos financeiros, sendo

eles convertidos em um grande instrumento de financiamento das atividades produtivas

e, por consequencia, uma melhor condicao de vida na velhice.

O Regime de Previdencia Complementar tem carater adicional e esta organizado de

forma autonoma em comparacao ao regime geral da previdencia social. E uma opcao que

o trabalhador tem para programar melhor a sua seguranca e construir o seu bem-estar no

futuro.

1.4 Planos Previdenciarios de Fundos de Pensao 15

O seu funcionamento transcorre da seguinte forma:

(i) a pessoa faz a contribuicao para o plano;

(ii) essas contribuicoes sao aplicadas no mercado financeiro e o saldo acumulado podera

ser resgatado ou sacado, integralmente ou mensalmente como uma aposentadoria,

ou pensao dependendo das regras dos planos de benefıcios.

As entidades de previdencia complementar tem como o seu maior objetivo instaurar

planos privados de concessao de bens ou rendas, mediante a contribuicao dos participantes

deste plano.

Suas classificacoes sao de acordo com a relacao entre a entidade e os planos de be-

nefıcios:

(i) Entidades Fechadas de Previdencia Complementar (EFPC’s): Sociedades civis ou

fundacoes, sem fins lucrativos, destinadas a instituicao de planos privados de con-

cessao de benefıcios complementares. A participacao do empregador no plano de

previdencia complementar ja esta inclusa em sua remuneracao total, apesar de sua

participacao ser voluntaria;

(ii) Entidades Abertas de Previdencia Complementar (EAPC’s): Sociedades anonimas,

com fins lucrativos que se destinam a atividade de suplementacao de benefıcios e

uma maneira de investimento financeiro. Neste caso, a empresa nao tem interesse

em criar e gerir um fundo de pensao proprio mas tem o interesse em oferecer aos

seus empregados, principalmente aqueles com maior remuneracao salarial, um plano

de previdencia complementar.

A grande diferenca entre esses dois grandes grupos de empresas ligadas a previdencia

complementar esta na forma como cada um foi constituıdo.

1.4 Planos Previdenciarios de Fundos de Pensao

Os fundos de pensoes sao um conjunto de ativos financeiros com o unico objetivo de

permitir o pagamento futuro dos benefıcios, que foram propostos no plano adquirido.

Segundo a definicao de Crisan (2016), um plano de pensoes e um conjunto de regras,

que define as condicoes em que se constitui o direito ao recebimento de um benefıcio

1.4 Planos Previdenciarios de Fundos de Pensao 16

caso ocorram os acontecimentos que indiquem a necessidade desse pagamento previstos

nas regras do plano. Essa pensao pode tomar diversas formas e pode envolver diferentes

tipos de risco (morte, invalidez, morbidez) de acordo com o que tiver sido considerado no

contrato.

Ao aderir a um plano de pensao, alguns benefıcios sao oferecidos pelas entidades de

previdencia complementar e, normalmente, as suas classificacoes sao quanto a capacidade

de programacao do inıcio de pagamento e quanto a forma com que ocorrera o pagamento

dos benefıcios.

Os planos de benefıcios oferecidos pelas Entidades Fechadas de Previdencia Com-

plementar podem ser de tres modalidades, definidos pela Superintendencia Nacional de

Previdencia Complementar (Previc), da seguinte forma:

(i) Planos de benefıcio definido (BD): o valor do benefıcio do participante e definido no

momento de sua adesao e suas contribuicoes vao variar a medida de suas atividades

de trabalho, para alcancarem o valor estipulado inicialmente;

(ii) Planos de contribuicao definida (CD): decide-se o tamanho da contribuicao a ser

efetuada ao plano, e o benefıcio do participante e definido no momento da aposen-

tadoria, com base no montante de recursos que o participante tenha contribuıdo

durante o perıodo que trabalhou;

(iii) Planos de contribuicao variavel (CV): entram aqueles planos que tem presentes ca-

racterısticas de ambos os tipos de planos. Trata-se de uma mistura entre os planos

de contribuicao e de benefıcio definido.

Vale ressaltar que o custo de um plano de benefıcios depende de alguns fatores, como:

(i) o nıvel de riscos atuariais assumidos pelo plano (sobrevida do aposentado, morte,

invalidez e desemprego do participante, pensao necessaria para a sobrevida da famılia

do participante);

(ii) a boa administracao dos riscos envolvidos;

(iii) a execucao da carteira de investimentos do fundo de pensao e o gerenciamento de

seus respectivos riscos financeiros;

(iv) o custo geral de gestao e fiscalizacao da entidade previdenciaria.

1.5 Tabuas de Mortalidade no Mercado Brasileiro de Seguros 17

1.5 Tabuas de Mortalidade no Mercado Brasileiro de

Seguros

De acordo com Caetano (2006), a duracao de um benefıcio programado de aposenta-

doria por idade ou tempo de contribuicao e uma variavel aleatoria pela impossibilidade

de se calcular o momento preciso em que se completarao as condicoes para um indivıduo

se aposentar (criterios de elegibilidade). Com isso, a estimativa do tempo de duracao de

recebimento de aposentadoria se da por meio de tabuas de mortalidade.

Conforme Ortega (1987) descreve, a tabua de mortalidade, tambem conhecida como

tabua de vida ou de sobrevivencia, e um instrumento que permite medir as probabilidades

de sobrevivencia e morte de uma populacao em funcao da idade, em um determinado

momento ou perıodo do tempo.

Ja Chan (2010) define que a taxa de mortalidade pode variar conforme a idade, o

sexo, a regiao geografica, a raca, a ocupacao profissional, a faixa de renda salarial etc.

Com isso, e viavel construir diversas tabuas especıficas para uma determinada populacao

em estudo.

Assim, e possıvel observar as diferencas no grau de longevidade estimada em cada

tabua e entre as taxas de mortalidade no decorrer das idades, produzindo, como con-

sequencia, diferencas significativas nos custos dos planos de benefıcios.

Uma das hipoteses mais discutidas no cenario atual e a que diz respeito a expectativa

de sobrevivencia de cada indivıduo do grupo segurado. Tal expectativa sera obtida por

meio das probabilidades anuais de sobrevivencia ou de morte, que, para uma determinada

populacao, sao consolidadas na tabua de mortalidade.

Gomes (2008), em seu trabalho, afirma que “as tabuas biometricas disponibilizadas

no mercado da previdencia complementar constituem o modelo estatıstico que melhor

representa o comportamento da mortalidade, morbidez e invalidez segundo a idade”.

Na literatura, poucos estudos baseiam-se para selecionar a tabua de mortalidade a

ser considerada para determinar os compromissos atuariais de um plano de benefıcios,

para a populacao avaliada, pois o levantamento dos dados necessarios sao de tamanha

dificuldade.

A escassez de tabuas especıficas desenvolvidas para a populacao brasileira dificulta

ainda mais essa selecao. Mesmo a tabua de mortalidade geral do Instituto Brasileiro

de Geografia e Estatıstica (IBGE), divulgada anualmente, que apresenta a expectativa de


vida as idades exatas ate os 80 anos, torna-se pouco utilizada pelo mercado previdenciario,

pois alem de ser proveniente de uma projecao da mortalidade feita a partir da tabua de

mortalidade construıda para o ano de 2010, a qual foram incorporados dados populacionais

do Censo Demografico 2010, a populacao abrangida se estende a totalidade da populacao

brasileira onde as condicoes sociais, sanitarias, de saude e de seguranca sao desiguais e,

sendo assim, tendo taxas relativas a esse conjunto, o que apresenta diferencas profundas

de perfil socio-economico em relacao a massa participante desse mercado.

1.5.1 Principais tabuas biometricas

Segundo Gomes (2008), as principais tabuas biometricas utilizadas no mercado da

previdencia complementar sao:

• Annuity Table 1949, conhecida como AT-49: Desenvolvida nos Estados Unidos e

referente ao perıodo de 1941 a 1946, esta tabua trabalha com expectativa media de

vida de 78 anos, onde suas probabilidades de morte foram calculadas para as idades

0 (mınima) e 109 anos (maxima);

• Annuity Table 1955, conhecida como AT-55: Tambem foi desenvolvida nos Estados

Unidos e refere-se ao perıodo de 1948 a 1953, onde suas probabilidades de morte

foram calculadas para as idades mınima e maxima respectivamente, 5 e 114 anos;

• Annuity Table 1983, conhecida como AT-83: E uma atualizacao da AT-49, cons-

truıda entre os anos de 1971 a 1976, tendo suas probabilidades de morte calculadas

para as idades mınima e maxima de 0 e 115 anos;

• Annuity Table 2000 Basic, conhecida como AT-2000: Onde representa a expectativa

de vida de uma populacao a partir de um estudo feito no ano 2000, considerando

que as pessoas vivem, em media, 84 anos e suas probabilidades de morte foram

calculadas para as idades mınima e maxima de 0 e 115 anos;

• 1971 US GAM Basic, conhecida como GAM-71: E uma tabua elaborada pela Asso-

ciacao de Seguro de Vida da America, tambem desenvolvida pelos Estados Unidos,

onde as idades mınima e maxima para as quais as probabilidades de morte foram

calculadas sao, respectivamente, 0 e 110 anos.

• Experiencia do Mercado Segurador Brasileiro, conhecida como BR-EMSsb 2010,

onde os dados baseiam-se na experiencia do mercado segurador brasileiro de pro-

dutos de vida, para os anos 2004, 2005 e 2006 e as idades mınima e maxima para


as quais as probabilidades de morte foram calculadas sao, respectivamente, 0 e 116

anos.

• Tabua Completa de Mortalidade para o total da populacao brasileira, conhecida

como Tabua do IBGE anual, que e proveniente de uma projecao dos nıveis de

mortalidade a partir da Tabua de Mortalidade construıda para o ano de 2010, na

qual foram incorporados dados populacionais do Censo Demografico 2010, onde as

idades mınima e maxima para as quais as probabilidades de morte foram calculadas

sao, respectivamente, 0 e 80 anos.

1.5.2 Componentes das tabuas de mortalidade

Os elementos da tabua de mortalidade englobam informacoes mınimas constantes nas

tabuas e sendo as seguintes funcoes biometricas, segundo Ortega (1987):

• x = Idade exata (completa em anos);

• lx= Numero de sobreviventes a idade exata (x);

• dx= Numero de falecimentos entre a idade (x) e a idade (x+1);

• qx= Probabilidade de morte de um indivıduo com idade (x), antes de completar

(x+1) anos;

• px= Probabilidade de um indivıduo com idade (x) chegar com vida a idade (x+1);

• Ex= Esperanca de vida a idade (x);

De acordo com Filho (2009), em geral, a morte das pessoas acontece de maneira

padronizada. Nos primeiros anos de vida os falecimentos sao percentualmente grandes,

pois a grande maioria tem dificuldade em ter o acesso as condicoes mınimas de saude,

principalmente a populacao residente nas zonas perifericas, cujo poder aquisitivo nao

permite que tenham acesso a isso. Depois, decrescem enquanto criancas, voltando a crescer

na adolescencia e meia idade, ja que ha uma maior exposicao a muitos fatores externos,

sejam eles economicos ou sociais. E, em seguida, ha um crescimento mais acelerado,

pois com o acesso a qualidade de saude e tambem com uma estabilidade financeira mais

centrada, ocorre a aproximacao do limite maximo de sobrevivencia do ser humano.

Considerando esses efeitos, definiu-se uma funcao importante de probabilidade: a

funcao sobrevivencia s(x) linear.


Seja (x) a idade de uma pessoa. Logo, (x) pode assumir qualquer valor, da idade 0

(zero) ate o limite maximo de sobrevivencia (w). Se alguem da idade (x) conseguir chegar

a idade (x+ 1), entao houve uma probabilidade de sobrevivencia que e funcao de (x). A

essa funcao, chamaremos de s(x).

A funcao sobrevivencia s(x) mede a probabilidade de uma pessoa estar viva na idade

exata (x), observando as seguintes propriedades:

(a) E uma funcao contınua, decrescente;

(b) Esta definida no intervalo:

0 ≤ x ≤ w

decrescendo o numero de sobreviventes de s(0) = 1 ate s(w) = 0;

(c) As idades w sao normalmente pouco maiores que 100 anos.

As probabilidades de morte qx e sobrevivencia px podem ser obtidas diretamente pelas

colunas lx e dx da tabua de mortalidade. A soma das probabilidades, px + qx = 1.

Assim, as probabilidades sao calculadas da seguinte maneira:

(1) Probabilidade de uma pessoa de idade (x) sobreviver mais 1 ano, ou seja, de atingir

a idade (x+ 1):

px =lx+1

lx

onde:

• lx: e a quantidade de pessoas vivas de idade (x);

• lx+1: e a quantidade de pessoas vivas de idade (x+ 1).

(2) Probabilidade de uma pessoa de idade (x) falecer antes de atingir a idade (x+ 1):

qx =lx − lx+1

lx=dxlx

onde:

• dx: e a quantidade de pessoas que faleceram entre a idade (x) e a idade (x +

1), ou seja, e a diferenca entre os numeros de sobreviventes entre duas idades

consecutivas, (x) e (x+ 1):


dx = lx − lx+1

(3) Media aritmetica de sobreviventes entre as pessoas de idade x (lx) e as pessoas de

idade x+ 1 (lx+1):

Lx = lx −1

2∗ dx

ou seja:

• Lx: corresponde ao numero medio de sobreviventes entre as sucessivas idades

(x) e (x+ 1).

(4) Soma dos anos vividos pelas pessoas componentes de um grupo de idade x ate o

instante da sua extincao:

Tx =1

2∗ lx +

w−x∑t=1

lx+t

ou seja:

• Lx: corresponde ao numero medio de sobreviventes entre as sucessivas idades

(x) e (x+ 1).

22

2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho e verificar a aderencia de algumas tabuas de

mortalidade, gerais e especıficas por sexo, para um determinado fundo de previdencia

complementar fechada.

2.1 Objetivos Especıficos

1. Descrever as caracterısticas demograficas da populacao estudada;

2. Estimar as taxas de mortalidade especıficas por morte dessa populacao;

3. Calcular as probabilidades de morte e, a partir delas, as demais informacoes da

tabua de mortalidade observada;

4. Utilizar e comparar modelos que possam ser ajustados as probabilidades observadas

e que ajudem a estimar as probabilidades de morte por idade;

5. Realizar uma analise exploratoria comparando as probabilidades de morte ajustadas

com as definidas pelas tabuas de mortalidade;

6. Realizar testes de aderencia para verificar a adequacao do uso das tabuas de mor-

talidade a realidade da populacao pertencente ao fundo de previdencia estudado.

23

3 Materiais e Metodos

A seguir, serao apresentados a base de dados utilizada no estudo, as devidas tabuas

de mortalidade que serao aplicadas, os calculos das probabilidades de morte realizados,

os ajustes das probabilidades e a aplicacao do teste de aderencia.

3.1 Bases de dados

Os dados analisados neste trabalho foram obtidos junto a uma entidade de previdencia

complementar fechada, mantendo-se em sigilo sua identificacao e dos dados de seus par-

ticipantes. Foi possıvel ter acesso as bases de dados dos anos de 2013 a 2017, que foram

utilizadas para o cumprimento dos objetivos apresentados.

O conjunto de dados estudado contem, 14.163 registros pertencentes ao perıodo de

estudo. Foram separados em tres grupos associados aos status dos participantes: ativos,

assistidos e obitos. No grupo dos ativos, ha 11.143 usuarios, no grupo de assistidos, tem-se

1.015 registros e, por fim, foram registrados 2.005 obitos.

As informacoes mais relevantes e utilizadas no estudo, estavam separadas da seguinte

forma. No grupo do ativos, foram utilizadas as variaveis: matrıcula, data de nascimento

e sexo. Ja no grupo dos assistidos foram utilizadas: matrıcula, data de nascimento, sexo,

estado civil e tipo de benefıcio. E no grupo dos obitos utilizou-se: matrıcula, sexo e data

inıcio de benefıcio.

E importante ressaltar que um dos grandes problemas na elaboracao de uma tabua

de mortalidade e a qualidade da informacao, volume e consistencia dos dados. Como a

tabua de mortalidade construıda sera utilizada para um grupo especıfico da populacao

(Entidade de Previdencia Complementar Fechada), outro problema a enfrentar sera o

baixo numero de registros de obitos, que chega a zero para algumas idades.

Com o objetivo de trabalhar com uma base de dados com registros confiaveis, realizou-

se, em primeiro lugar, um levantamento e a correcao de problemas que afetariam a qua-

3.2 Tabuas de mortalidade utilizadas 24

lidade da informacao e os resultados a serem obtidos.

A partir dos dados levantados junto ao fundo de pensao, foram calculadas as probabili-

dades de morte para futura comparacao com aquelas existentes nas tabuas de mortalidade

mais comumente usadas.

3.2 Tabuas de mortalidade utilizadas

A tabua de mortalidade e uma forma de representacao da dinamica populacional

com grande aplicabilidade, tanto em setores publicos como privados, como por exemplo

na compreensao de aspectos epidemiologicos da populacao, no estudo da evolucao de

programas de saude, fecundidade, migracao entre outras, auxiliando na compreensao e

resolucao de problemas de diversas naturezas, tanto em ciencias exatas como sociais.

No presente trabalho, foram utilizadas como referencias as tabuas de mortalidade

geral e de origem norte-americana, especificamente da familıa AT (Annuity table) e alem

disso duas brasileiras.

As tabuas utilizadas foram:

• AT-83, da famılia Annuity table;

• AT-2000, da famılia Annuity table;

• BR-EMSsb 2010, do Mercado Segurador Brasileiro;

• Tabua do IBGE de 2016.

Para a comparacao global (total da populacao) foi utilizada a tabua do IBGE de

2016 e para a comparacao do sexo masculino utilizou-se as tabuas AT-83, AT-2000 e a

BR-EMSsb 2010.

As tabuas estao disponıveis nos anexos A, B, C e D.

3.3 Calculo das probabilidades de morte para a populacao estudada 25

3.3 Calculo das probabilidades de morte para a po-

pulacao estudada

A probabilidade de morte e a funcao basica, fundamental, de construcao da tabua de

mortalidade, pois a partir dela e possıvel determinar os valores das demais funcoes.

Apos analisar a estrutura do banco de dados, optou-se por calcular a probabilidade

de morte atraves de taxas especıficas de mortalidade. Segundo Siegel (2012), uma taxa se

define como uma razao entre a quantidade de indivıduos que experimentam um evento,

em um perıodo de tempo, e o total do tempo vivido por todos os indivıduos da populacao.

Medronho(2009) diz que “a mortalidade pode ser entendida como um caso particular

do conceito de incidencia, quando o evento de interesse e a morte”. Tal como a incidencia,

a mortalidade pode ser medida por meio de taxas ou proporcoes. A interpretacao da taxa e

da proporcao de mortalidade e analoga as respectivas medidas de incidencia, substituindo-

se o evento adoecimento pela morte. Questoes conceituais, entretanto, fazem com que o

calculo das medidas de mortalidade apresente diferencas sutis com relacao as de incidencia.

A taxa de mortalidade por uma doenca x, TMx, tambem denominada densidade de

mortalidade, e estimada segundo a equacao:

TMx(t0,t) =Mx

PT

onde:

• (t0, t): refere-se ao intervalo entre a origem t0 e o instante t;

• Mx: representa o numero de mortes por (ou com) x que ocorreram entre t0 e t,

• PT : representa a quantidade de pessoa-tempo acumulada pela populacao durante

o estudo.

No denominador, considera-se a quantidade de pessoa-tempo de uma determinada

populacao N, composta tanto pelos indivıduos nao-doentes (N’), sob risco de adoecimento,

quanto pelos ja doentes, ou seja, os casos prevalentes (C). Nota-se que ambos os grupos

estariam, em ultima instancia, sob risco de morrer por, ou com x.

Se a duracao dos i-esimos seguimentos individuais e conhecida, entao a quantidade de

pessoas-tempo PT e calculada como:


N∑i=1

∆ti

onde:

• ∆ti: representa o perıodo durante o qual o i-esimo indivıduo foi observado, desde o

inıcio do estudo ate a morte por (ou com) x;

• N : representa a populacao de estudo composta pelos indivıduos sob risco de morrer.

Os perıodos de seguimento individuais (∆ti) sao variaveis, independentes se a po-

pulacao envolvida no estudo e fixa ou dinamica. Nestes casos, a incidencia acumulada e

estimada a partir da equacao:

IA(t0,t) =I

N ′0 − (W2

)

onde:

• I: representa o numero de casos incidentes entre t0 e t;

• N ′0: representa a populacao de onde se originaram os casos incidentes I, constituıda

por indivıduos nao-doentes no instante t0;

• W : representa o numero de perdas de seguimento ocorridas entre t0 e t.

A incidencia acumulada e uma proporcao que representa uma estimativa do risco de

desenvolvimento de uma doenca ou agravo em uma populacao, durante um intervalo de

tempo determinado.

Tendo como base Medronho (2009), para o trabalho, o calculo da taxa especıfica de

mortalidade, considera-se, para cada idade x, a razao entre o total de obitos a idade x

observados durante o perıodo de avaliacao e o total de pessoas-tempo, ou seja, o total de

indivıduos de idade x que estavam expostos ao risco de morte durante o perıodo, ao longo

de todo o perıodo considerado.

Para a obtencao da quantidade de pessoas-tempo expostas ao risco de morte, considerou-

se como perıodo de analise dos dados de 2013 a 2017, ou seja, um total de 4 anos e


utilizou-se o numero de ativos ou assistidos encontrados em 2013, subtraindo pelo total

de assistidos no perıodo de 2013 a 2015 e multiplicando pelo numero de anos do perıodo.

Com isso, aproximou-se o denominador do tempo real de exposicao ao risco de morte,

uma vez que os participantes estiveram expostos ao risco todo o perıodo de analise, porem

com entradas e saıdas durante o perıodo.

A taxa especıfica de mortalidade pode ser calculada de seguinte forma:

mx =Oi

((Ax − (Assx2

)) ∗ h)

onde:

• Oi: sao os obitos ocorridos desde 2013 ate o final do ano de 2017, dentre aqueles

que estavam vivos em 2013, por idade (x);

• Ax: sao os ativos e assistidos vivos em 2013, por idade (x);

• Assx: sao os assistidos em 2015 (no meio do perıodo);

• h: numero de perıodos (anos) de observacao apos o inıcio de observacao;

Segundo Jordan (1967), a probabilidade de morte e obtida transformando as taxas

especıficas de mortalidade encontradas, pela formula:

qx =2 ∗mx

2 +mx

onde:

• mx e a taxa especıfica de mortalidade (calculada anteriormente)

Como as probabilidades de morte nao foram observadas em todas as idades e como,

por falta de dados, as estimativas dessas probabilidades nao e constantemente crescente

com a idade para as idades mais avancadas, sera realizada uma modelagem da relacao

entre estas probabilidades e as idades, de forma a produzir um modelo que possa ser

usado para estimar as probabilidades segundo este padrao crescente ao longo das idades.

A secao seguinte apresenta os modelos que foram testados.

3.4 Modelos Lineares e Nao Lineares 28

3.4 Modelos Lineares e Nao Lineares

Os modelos de regressao estudam a forma de descrever matematicamente a relacao en-

tre duas ou mais variaveis contınuas. Eles podem ser classificados em simples ou multiplo,

lineares ou nao lineares, dependendo essencialmente do numero e variaveis explicativas

sendo usadas para modelar a variavel dependente e da forma matematica da relacao entre

elas.

Como o interesse no presente trabalho e modelar a probabilidade de morte em funcao

da idade, entao, conta-se com uma variavel dependente (Q = Probabilidade de morte)

e uma variavel explicativa (X = Idade). Neste caso, modelos de regressao linear ou nao

linear simples seriam as propostas mais adequadas.

Quando apenas uma variavel X e usada para explicar o comportamento da variavel

dependente Q, a equacao de uma reta, pode ser escrita da forma:

Qi = a+ bXi + εi

onde εi e um erro aleatorio que se supoe, em geral, seguir uma distribuicao normal

de media zero e variancia σ2. Neste modelo, o coeficiente a e denominado de intercepto,

ou coeficiente linear, e b e chamado de coeficiente angular do modelo, pois determina a

inclinacao da reta que tenta se ajustar aos dados.

A Analise dos Resıduos (diferenca entre Qi - variavel resposta observada e Qi - variavel

resposta estimada) e um conjunto de tecnicas utilizadas para investigar a adequabilidade

de um modelo de regressao com base nos resıduos. Assim, e possıvel verificar se as

suposicoes do modelo sao validas para que seus resultados sejam confiaveis, testando

a normalidade (QQ Plot), independencia (Grafico de resıduos x valor previsto (Q)) e

verificando se o valor esperado dos erros e igual a zero (Grafico de resıduos ao longo do

ındice i).

Vale ressaltar que Q e uma probabilidade e, portanto, so assume valores entre 0 e 1.

Logo, o modelo com suposicao de normalidade (que assume valores de (−∞; +∞)) nao

poderia ser considerado ideal.

Usando o metodo de mınimos quadrados, pode-se obter estimativas para os parametros

a e b do modelo e encontrar a expressao que propicia a estimacao do valor da variavel

dependente Q para todo possıvel valor da variavel regressora X pertencente ao intervalo

3.4 Modelos Lineares e Nao Lineares 29

de valores que efetivamente foram observados na amostra.

Por outro lado, um modelo e dito nao linear se pelo menos um de seus parametros

aparece na expressao matematica em uma forma nao linear de relacao com a variavel

dependente. Ele e considerado “intrinsecamente linear” ou linearizavel se puder ser con-

vertido em um modelo linear atraves de uma transformacao apropriada da formulacao

matematica da relacao entre as variaveis dependente e independente. Em muitos estudos,

por exemplo, aplicam-se logaritmo em ambos os lados da equacao, reduzindo-a a forma

linear. Uma das possibilidades adotadas na literatura cientıfica para modelar a curva de

crescimento das probabilidades de morte com a idade e a utilizacao de um modelo de

crescimento exponencial da forma:

Q = aebX+εi

onde a e b sao os parametros a serem estimados a partir dos dados e εi sao erros

aleatorios independentes e identicamente distribuıdos (segundo uma distribuicao normal

de media zero e variancia constante.).

No entanto, e facil verificar que este modelo e facilmente linearizavel atraves da

aplicacao da transformacao logarıtmica, usando o logaritmo neperiano para cancelar a

funcao exponencial presente no modelo. Uma vez linearizada a relacao, podemos admitir

que se esta diante de um modelo de regressao linear simples que relaciona o logaritmo da

variavel dependente (Q) com a variavel independente (X).

Assim:

ln(q) = ln(aebX + εi) (3.1)

ln(q) = ln(a) + ln(ebX) (3.2)

ln(q) = ln(a) + bX ln(e) (3.3)

ln(q) = ln(a) + bX (3.4)

Desta forma, destaca-se que a maior vantagem deste modelo e que, ao passar o lo-

garitmo, a variavel dependente passaria a assumir valores em uma faixa de valores mais

adequada a modelagem pelo modelo normal (−∞;0). Sendo assim, serao apresentados

todos os resultados desse modelo exponencial.

3.5 Teste de Aderencia 30

A partir dos coeficientes estimados, a e b, e possıvel escrever a equacao de previsao

do modelo dada por:

Q = aebX

A qualidade do ajuste do modelo e avaliada pelo Coeficiente de Determinacao (R2),

que varia entre os valores 0 e 1, onde valores proximos a unidade representam melhores

ajustes dos modelos aos dados.

Outra forma de avaliar a qualidade do ajuste e, portanto, modelos diferentes, pode

ser feita atraves do Desvio Absoluto Medio dos erros de previsao, que e definido como a

media dos resıduos, tomados em valor absoluto.

Como proposta de avaliacao do presente trabalho, foi realizada a modelagem atraves

de regressao linear simples tanto considerando como variavel dependente a probabilidade

de morte, como o seu logaritmo. Como variavel regressora, em ambos os casos, foi utilizada

a variavel idade. Por outro lado, tambem foi avaliada a qualidade do ajuste para o caso em

que todas as idades observadas foram consideradas no processo de estimacao do modelo e

para o caso em que apenas a faixa etaria com maior proporcao de indivıduos da populacao

(de 20 a 90 anos), para identificar se existe um ganho em considerar apenas as idades de

obito mais frequentemente encontradas.

Apos a producao das probabilidades de morte estimadas pelo melhor modelo, foi

testada a existencia de aderencia de sua distribuicao aquelas propostas pelas tabuas de

mortalidade consideradas.

3.5 Teste de Aderencia

De acordo com Bussab e Morettin (2012), o objetivo do teste estatıstico de hipotese

e “fornecer uma metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem

evidencias que apoiem ou nao uma hipotese (estatıstica) formulada”.

O teste de hipotese e um procedimento estatıstico que permite inferir, a partir de uma

amostra, se uma dada afirmacao sobre uma populacao e verdadeira, sendo essa afirmacao

denominada de hipotese.


Existem varios tipos de testes de hipoteses, adequados a varios tipos de situacao. No

presente trabalho, sera utilizado o teste de aderencia, uma vez que o objetivo principal e

a verificacao do ajuste de distribuicoes estatısticas a um conjunto de dados.

Os testes de aderencia sao empregados para detectar se existe similaridade entre a

distribuicao de probabilidades observada (empırica) e aquela que esta definida por um

modelo ou distribuicao de probabilidade de referencia.

A aderencia para a hipotese de mortalidade geral, pode ser testada por diferentes testes

estatısticos. Dentre eles, estao o Teste Qui-Quadrado para diferencas de probabilidades

que tem por objetivo verificar se a probabilidade de determinado evento e a mesma para

as duas populacoes e o teste de Kolmogorov-Smirnov, que sera apresentado a seguir.

3.5.1 Teste de Kolmogorov-Smirnov

De acordo com Bussab e Morettin (2012), o teste de Kolmogorov-Smirnov para

aderencia e indicado para testar a hipotese de que um conjunto de dados provem ou

nao de uma determinada distribuicao.

Assim, considera-se uma v.a X e suponha uma amostra X1, X2, · · · , Xn de uma po-

pulacao P . Define-se por f(x) a funcao densidade (f.d) e por F (x) a funcao de distribuicao

acumulada (f.d.a) de X. O teste calcula as diferencas entre os valores da F (x) observada

e da Fr(x) proposta pela referencia adotada, em cada ponto de avaliacao, e se atem a

maior dessas diferencas. Se a maior diferenca estiver alem do que seria esperado sob H0,

entao existem evidencias de que as amostras pretencem a populacoes distintas.

Para realizar o teste de Kolmogorov-Smirnov para as tabuas atualizadas, utiliza-se

como hipoteses:

{H0 : F (x) = Fr(x)

Hα : F (x) 6= Fr(x)

No ambito especıfico do presente trabalho, onde as probabilidades de mortes obser-

vadas a cada idade x serao usadas para construir sua f(x) e, portanto, uma F (x) para

a distribuicao empırica, e onde as tabuas de mortalidade fornecerao tambem uma dsitri-

buicao teorica sobre as probabilidades de morte a cada idade, entao pode-se reescrever as

hipoteses acima, como:


{H0 : A distribuicao dos dados se assemelha a distribuicao proposta pela tabua

Hα : A distribuicao dos dados nao se assemelha a distribuicao proposta pela tabua

Este teste observa a maxima diferenca absoluta entre a funcao de distribuicao acu-

mulada assumida para os dados e a funcao de distribuicao empırica dos dados e com isso,

testa se a amostra observada veio de uma distribuicao de probabilidades especificada.

Se Fr(x) for um bom estimador de F (x) as duas curvas devem estar proximas. Como

em todo teste de hipotese, para testar a hipotese acima, tera que definir o que significa

“proximo”. Os probabilistas Kolmogorov e Smirnov propuseram uma estatıstica para

o teste, obtida tomando o maximo dos valores absolutos das diferencas F (xi) − Fr(xi),i=1,· · · , n.

A estatıstica utilizada para o teste e:

D = max | F (xi)− Fr(xi) |

Esta funcao corresponde a distancia maxima vertical entre os graficos de F (x) e Fr(x).

Se H0 for verdadeira, a distancia vertical maxima entre as duas distribuicoes nao deve

ser muito grande e espera-se que D tome um valor pequeno. Rejeita-se H0, para um nıvel

de significancia α, se o valor observado da estatıstica teste D for superior ou igual ao

ponto crıtico Dα onde a probabilidade de rejeitar H0 seja igual a:

P (D ≥ Dα | H0 e verdadeira) = α

3.6 Recursos Computacionais 33

3.6 Recursos Computacionais

Para a realizacao das analises do estudo, foram utilizados o software R-Project version

3.5.0 (2018-04-23) com o RStudio e a planilha eletronica excel versao 2016.

Os principais pacotes e funcoes utilizados para as analises foram:

• dplyr: pacote que fornece uma gramatica de manipulacao de dados;

• bindrcpp: pacote que fornece uma maneira mais facil para preenchimento de um

ambiente;

• plotrix: pacote que contem graficos, funcoes de rotulagem e a funcao pyramid.plot(),

que permite graficar uma piramide etaria;

• ggplot2: pacote voltado para a criacao de graficos estatısticos de forma declarativa;

• forcats: pacote para manipular fatores (strings);

• RColorBrewer: pacote que disponibiliza paletas de cores; a funcao utilizada foi

brewer.pal();

• gridExtra: pacote que disponibiliza a funcao grid.arrange(), que junta uma lista de

graficos em um grafico so.

34

4 Resultados

Neste capıtulo, serao apresentados os resultados que descrevem a populacao de ativos,

assistidos e obitos, alem das probabilidades de morte observadas e suas estimativas pelos

modelos lineares e nao lineares testados, bem como os resultados do teste de Kolmogorov-

Smirnov que avaliam a aderencia das probabilidades de morte estimadas as tabuas de

mortalidade testadas.

4.1 Perfil da massa de participantes em 2017

Para a Entidade estudada, os dados estao disponıveis do ano de 2013 ate 2017. O

perıodo estatıstico de analise possui 14.163 registros de usuarios e classificados em tres

grupos definidos como: ativos, assistidos e obitos.

A Figura (1) apresenta a evolucao do numero de ativos, assistidos e obitos desse fundo

de pensao no perıodo de observacao.

Figura 1: Evolucao dos ativos, assistidos e obitos

4.1 Perfil da massa de participantes em 2017 35

As analises exploratorias foram feitas sobre o ano de 2017 mostrando como estao os

3 grupos na ultima base completa.

Nesse ano de 2017, o numero de participantes ativos registrados na entidade foi de

4.683 pessoas, sendo 3.665 do sexo masculino e 1.018 do sexo feminino. O numero de

participantes assistidos registrados na entidade foi de 5.976, sendo 4.685 do sexo masculino

e 1.291 do sexo feminino. E o numero de obitos registrados foi de 2.006, sendo 1.940 do

sexo masculino e 66 do sexo feminino.

Do total de registros, verifica-se que o sexo masculino esta em maior numero nos tres

grupos da populacao, sendo possıvel apreciar atraves da Figura (2).

Figura 2: Distribuicao percentual de ativos, assistidos e obitos por sexo.


A Tabela (1) apresenta um resumo das estatısticas das idades de ativos, assistidos e

obitos.

Tabela 1: Analise exploratoria das idades nos grupos

Estatısticas Ativo Assistido Obito

Mınimo 20 26 24

Primeiro Quartil 39 49 55

Moda 61 50 66

Mediana 51 53 65

Media 49, 1 53, 3 64, 2

Terceiro Quartil 59 58 74

Maximo 87 80 102

Desvio-padrao 11, 6 6, 3 13, 1

CV 23, 6 11, 8 20, 4

Assimetria -0, 2 0, 11 -0, 05

Desagregando por sexo, nota-se, pela Figura (3) que a mediana do grupo dos ativos

para o sexo feminino (50 anos) e proxima em relacao ao sexo masculino (51 anos). No

grupo dos assistidos, a mediana do sexo feminino e a do sexo masculino sao iguais (53

anos). E no grupo dos obitos, a mediana para o sexo feminino e menor (60 anos) em

relacao ao sexo masculino (65 anos).

Figura 3: Boxplots das idades por grupo e por sexo


Tanto para ativos quanto para assistidos, a faixa etaria de 55 a 59 anos, concentra

o maior numero de indivıduos, para ambos os sexos. Os dois histogramas possuem pra-

ticamento o mesmo padrao. Ambos os sexos tem suas maiores concentracoes, em faixas

etarias baixas e nas altas, conforme pode ser visto na Figura (4).

Figura 4: Piramide Etaria dos ativos


Conforme pode ser visto na Figura (5), para os assistidos, a faixa etaria de 45 a 49

anos tem a maior concentracao de indivıduos do sexo feminino, enquanto que , para os

participantes do sexo masculino, a maior concentracao esta na faixa de 50 a 54 anos.

Os dois histogramas nao possuem o mesmo padrao. O sexo masculino tem suas maiores

concentracoes, em geral, em faixas etarias maiores do que acontece para o sexo feminino.

Figura 5: Piramide Etaria dos assistidos

Para ambos os grupos e sexo, as faixas vizinhas apresentam uma leve queda. A medida

que a idade avanca, diminuem o numero de expostos ao risco.


Em relacao a variavel Estado Civil, encontrada somente no banco de dados dos assis-

tidos, o total de indivıduos neste grupo foi de 5.976 usuarios, onde a grande maioria e de

casados (72,62%), conforme pode ser visto na Figura (6).

Figura 6: Estado Civil dos assistidos

Alem do estado Civil, outra variavel em destaque para o grupo dos assistidos e o tipo

de benefıcio, onde a classificacao e definida pelas normas do plano da Entidade de Pre-

videncia Privada. O tempo de servico e o grupo de maior destaque, representando 52,60%

dos assistidos, e o grupo de aposentadoria normal e o segundo com maior frequencia (25%

dos assistidos). Na Figura (7), podemos observar esses destaques e as participacoes das

demais classificacoes.


Figura 7: Tipo de benefıcio dos assistidos

Analisando a piramide etaria associada aos obitos, apresentada na Figura (8), pode-

se verificar que, a partir dos 20 anos de idade na data de obito, as frequencias crescem

na medida em que a idade avanca, como e o esperado. Porem, para o sexo feminino, o

decrescimento e diferente do que acontece no sexo masculino.

Figura 8: Piramide Etaria dos Obitos

4.2 Probabilidades de morte por idade 41

4.2 Probabilidades de morte por idade

Para a elaboracao da tabua de vida com base nos dados dos usuarios da entidade de

previdencia privada, a primeira parte a ser realizada e o calculo das probabilidades de

morte, aplicando a formula de transformacao as taxas especıficas de mortalidade calcula-

das, mencionadas na secao 3.3, usando os dados dos obitos de 2013 ate 2017, a quantidade

de ativos em 2013 e metade da quantidade de assistidos de 2015 (o meio do perıodo) re-

presentando as perdas de seguimento no perıodo de observacao.

Ao analisar os resultados obtidos, nota-se que as probabilidades de morte do sexo fe-

minino, apresentam um comportamento pouco consistente com o esperado, provavelmente

por conta da pequena quantidade de obitos femininos registrados (66 ao total), levando,

inclusive, a varias idades sem registro de obitos. Ja para o sexo masculino, observou-se um

total de 1.940 obitos, com poucas idades sem qualquer registro. Assim, o sexo masculino

obteve um comportamento mais parecido com o esperado para uma distribuicao etaria de

probabilidades de morte do que comparado ao sexo feminino, conforme a Figura (9).

Figura 9: Probabilidade de morte por sexo

Devido as flutuacoes apresentadas e, principalmente, a pequena quantidade de regis-

tros para o sexo feminino, optou-se por realizar um ajuste de um modelo de regressao para

estimar melhor as probabilidades de morte por idade, considerando apenas dois casos: o

da populacao de usuarios, como um todo, e a populacao masculina.

Com base em todos os usuarios do plano, as series completa e truncada sao apresenta-


das, a seguir, os principais resultados e os graficos com a curva ajustada as probabilidades

de morte por idade.

Foram testados o modelo exponencial, considerando todas as idades observadas (serie

completa - idades mınima = 20 e maxima = 99) ou apenas aquelas com maior representa-

tividade (serie truncada - idades mınima = 20 e maxima = 90). Entao, sendo X a variavel

Idade e Q a probabilidade de morte, a Tabela (2) apresenta os modelos estimados para

cada caso e o valor do R2 que define a qualidade do ajuste.

Tabela 2: Modelos para cada caso geral

Tamanho da serie Tipo de modelo Modelo estimado R2 Shapiro-Wilks(Valor-p)

Completa exponencial −4.2561e0.0217x 0.4388 1.026e− 07

Truncada exponencial −4.5341e0.0278x 0.6678 0.2753

A avaliacao do R2 do modelo exponencial para a serie completa e menor que a da

serie truncada. O valore-p de Shapiro-Wilks indica que, a suposicao de normalidade para

os resıduos nao teria sido valida, ou seja, os resıduos nao seguem normalidade e nao

sendo valido este modelo para a serie completa. Ja para a serie truncada a suposicao de

normalidade dos resıduos teria sido valida e com isso o modelo sendo valido e apresentando

o melhor ajuste. Os graficos com os modelos estimados da series completa e truncada, sao

apresentados nas Figuras (10) e (11). Foi feita a avaliacao da suposicao de independencia

dos resıduos e da existencia de valores sistematicos de resıduos positivos ou negativos.


Graficos com os modelos estimados das series:

• Serie completa:

Figura 10: Modelo exponencial (linearizado)

• Serie truncada:

Figura 11: Modelo exponencial (linearizado)


Sugere-se a indicacao de usar o modelo exponencial para a serie truncada como um

bom descritor do comportamento das probabilidades de morte em funcao de idades que

variariam entre 20 e 90 anos, pois apresenta um melhor coeficiente de Determinacao (R2),

ou seja, um melhor ajuste do modelo aos dados, comparado ao modelo exponencial para

a serie completa.


Para as series de obitos masculinos, foram feitas as comparacoes entre os modelos

exponenciais, para as series completa e truncada, produzindo as informacoes colocadas

na Tabela (3).

Tabela 3: Modelos para cada caso do sexo masculino

Tamanho da serie Tipo de modelo Modelo estimado R2 Shapiro-Wilks(Valor-p)

Completa exponencial −4.1443e0.02169x 0.4206 2.368e− 08

Truncada exponencial −4.4684e0.0289x 0.6782 0.3253

O modelo exponencial para a serie truncada do sexo masculino, apresenta o melhor

ajuste dos dados, sendo o seu R2 maior do que o da serie completa. Alem disso, importante

observar atraves dos valores-p de Shapiro-Wilks, os resıduos da serie truncada seguem

normalidade e assim, sendo possıvel dizer que o modelo exponencial para a serie truncada

do sexo masculino foi o melhor modelo a ser utilizado.

Os graficos com os modelos estimados das series completa e truncada para o sexo

masculino, sao apresentados nas Figuras (12) e (13). Foi feita a avaliacao da suposicao de

independencia dos resıduos e da existencia de valores sistematicos de resıduos positivos

ou negativos.


Graficos com os modelos estimados das series para o sexo masculino:

• Serie completa:

Figura 12: Modelo exponencial (linearizado) para a serie masculina

• Serie truncada:

Figura 13: Modelo exponencial (linearizado) para a serie masculina


Sugere-se, apresenta um melhor coeficiente de Determinacao (R2), ou seja, um melhor

ajuste do modelo aos dados e comparado ao modelo exponencial para a serie completa,

a indicacao de usar o modelo exponencial para a serie masculina truncada como aquela

que domina o comportamento da curva global em termos de probabilidades de morte por

idade.

4.3 Tabua de mortalidade da Entidade em estudo 48

4.3 Tabua de mortalidade da Entidade em estudo

Apos estabelecer as probabilidades de morte por idade e realizados os ajustes ade-

quados, admitiu-se um grupo inicial de participantes (l0 = 100.000) servir de base para a

construcao de uma tabua de mortalidade associada ao fundo de pensao avaliado.

A adocao de 100.000 nascidos vivos para a tabua de mortalidade, tem como objetivo

a comparabilidade com diversas tabuas em um mesmo instante ou ate mesmo ao longo

do tempo.

A partir do modelo exponencial estimado para a serie truncada global e para o sexo

masculino, foram utilizadas as relacoes entre qx e as demais funcoes biometricas (lx, dx,

px, Tx, Ex), todas descritas na secao 1.5, com as quantidades da tabua de mortalidade,

para cada idade, de forma a produzir uma tabua completa para a entidade.

Com a construcao da tabua de mortalidade, e possıvel utiliza-la como base para os

varios calculos atuariais e demograficos associados a essa populacao.

A seguir sao apresentadas as tabuas de mortalidade para ambos os sexos e para o sexo

masculino.


Idade lx qx dx px Lx Tx Ex20 100000 0,01872833 1873 0,9812717 99064 2754741 27,521 98127 0,01925665 1890 0,9807434 97182 2655678 27,122 96238 0,01979988 1905 0,9802001 95285 2558495 26,623 94332 0,02035844 1920 0,9796416 93372 2463211 26,124 92412 0,02093275 1934 0,9790673 91444 2369839 25,625 90477 0,02152327 1947 0,9784767 89504 2278394 25,226 88530 0,02213044 1959 0,9778696 87550 2188891 24,727 86571 0,02275474 1970 0,9772453 85586 2101341 24,328 84601 0,02339665 1979 0,9766034 83611 2015755 23,829 82621 0,02405667 1988 0,9759433 81628 1932144 23,430 80634 0,02473531 1995 0,9752647 79637 1850516 22,931 78639 0,02543310 2000 0,9745669 77639 1770880 22,532 76639 0,02615057 2004 0,9738494 75637 1693241 22,133 74635 0,02688828 2007 0,9731117 73632 1617603 21,734 72628 0,02764680 2008 0,9723532 71624 1543972 21,335 70620 0,02842671 2008 0,9715733 69617 1472347 20,836 68613 0,02922863 2005 0,9707714 67610 1402731 20,437 66607 0,03005317 2002 0,9699468 65606 1335121 20,038 64606 0,03090098 1996 0,969099 63607 1269514 19,739 62609 0,03177269 1989 0,9682273 61615 1205907 19,340 60620 0,03266900 1980 0,967331 59630 1144292 18,941 58640 0,03359060 1970 0,9664094 57655 1084663 18,542 56670 0,03453819 1957 0,9654618 55691 1027008 18,143 54713 0,03551251 1943 0,9644875 53741 971317 17,844 52770 0,03651432 1927 0,9634857 51806 917576 17,445 50843 0,03754439 1909 0,9624556 49888 865770 17,046 48934 0,03860352 1889 0,9613965 47989 815881 16,747 47045 0,03969253 1867 0,9603075 46111 767892 16,348 45178 0,04081226 1844 0,9591877 44256 721781 16,049 43334 0,04196357 1818 0,9580364 42424 677525 15,650 41515 0,04314737 1791 0,9568526 40620 635101 15,351 39724 0,04436456 1762 0,9556354 38843 594481 15,052 37962 0,04561609 1732 0,9543839 37096 555638 14,653 36230 0,04690292 1699 0,9530971 35380 518542 14,354 34531 0,04822605 1665 0,951774 33698 483162 14,0

Tábua de Mortalidade da Entidade de Previdência Complementar Fechada - Ambos os sexos


Idade lx qx dx px Lx Tx Ex

55 32865 0.04958651 1630 0.9504135 32051 449464 13.7

56 31236 0.05098535 1593 0.9490147 30439 417413 13.4

57 29643 0.05242365 1554 0.9475764 28866 386974 13.1

58 28089 0.05390252 1514 0.9460975 27332 358108 12.7

59 26575 0.05542311 1473 0.9445769 25839 330775 12.4

60 25102 0.05698660 1430 0.9430134 24387 304937 12.1

61 23672 0.05859420 1387 0.9414058 22978 280550 11.9

62 22285 0.06024714 1343 0.9397529 21613 257572 11.6

63 20942 0.06194672 1297 0.9380533 20293 235958 11.3

64 19645 0.06369424 1251 0.9363058 19019 215665 11.0

65 18394 0.06549106 1205 0.9345089 17791 196646 10.7

66 17189 0.06733856 1157 0.9326614 16610 178854 10.4

67 16031 0.06923819 1110 0.9307618 15476 162244 10.1

68 14921 0.07119140 1062 0.9288086 14390 146768 9.8

69 13859 0.07319971 1014 0.9268003 13352 132377 9.6

70 12845 0.07526468 967 0.9247353 12361 119025 9.3

71 11878 0.07738790 919 0.9226121 11418 106664 9.0

72 10959 0.07957102 872 0.920429 10523 95246 8.7

73 10087 0.08181572 825 0.9181843 9674 84723 8.4

74 9261 0.08412375 779 0.9158763 8872 75049 8.1

75 8482 0.08649688 734 0.9135031 8116 66177 7.8

76 7749 0.08893696 689 0.911063 7404 58061 7.5

77 7060 0.09144588 646 0.9085541 6737 50657 7.2

78 6414 0.09402557 603 0.9059744 6112 43920 6.8

79 5811 0.09667804 562 0.903322 5530 37808 6.5

80 5249 0.09940533 522 0.9005947 4988 32278 6.1

81 4727 0.10220956 483 0.8977904 4486 27290 5.8

82 4244 0.10509290 446 0.8949071 4021 22804 5.4

83 3798 0.10805757 410 0.8919424 3593 18783 4.9

84 3388 0.11110588 376 0.8888941 3200 15190 4.5

85 3011 0.11424018 344 0.8857598 2839 11990 4.0

86 2667 0.11746290 313 0.8825371 2511 9151 3.4

87 2354 0.12077654 284 0.8792235 2212 6641 2.8

88 2070 0.12418365 257 0.8758164 1941 4429 2.1

89 1813 0.12768688 231 0.8723131 1697 2488 1.4

Tábua de Mortalidade da Entidade de Previdência Complementar Fechada - Ambos os sexos

Fonte: Elaborado pela autora


Idade lx qx dx px Lx Tx Ex20 100000 0,02042129 2042 0,979579 98979 2576725 25,821 97958 0,02101926 2059 0,978981 96928 2477746 25,322 95899 0,02163473 2075 0,978365 94861 2380817 24,823 93824 0,02226822 2089 0,977732 92779 2285956 24,424 91735 0,02292026 2103 0,97708 90684 2193176 23,925 89632 0,02359140 2115 0,976409 88575 2102493 23,526 87518 0,02428219 2125 0,975718 86455 2013918 23,027 85393 0,02499320 2134 0,975007 84325 1927463 22,628 83258 0,02572503 2142 0,974275 82187 1843137 22,129 81117 0,02647830 2148 0,973522 80043 1760950 21,730 78969 0,02725362 2152 0,972746 77893 1680907 21,331 76817 0,02805164 2155 0,971948 75739 1603015 20,932 74662 0,02887303 2156 0,971127 73584 1527276 20,533 72506 0,02971847 2155 0,970282 71429 1453692 20,034 70351 0,03058866 2152 0,969411 69275 1382263 19,635 68199 0,03148434 2147 0,968516 67126 1312988 19,336 66052 0,03240624 2140 0,967594 64982 1245862 18,937 63912 0,03335514 2132 0,966645 62846 1180881 18,538 61780 0,03433182 2121 0,965668 60719 1118035 18,139 59659 0,03533710 2108 0,964663 58605 1057316 17,740 57551 0,03637182 2093 0,963628 56504 998711 17,441 55457 0,03743683 2076 0,962563 54419 942207 17,042 53381 0,03853303 2057 0,961467 52353 887788 16,643 51324 0,03966133 2036 0,960339 50306 835435 16,344 49289 0,04082267 2012 0,959177 48283 785129 15,945 47277 0,04201801 1986 0,957982 46283 736846 15,646 45290 0,04324835 1959 0,956752 44311 690563 15,247 43331 0,04451472 1929 0,955485 42367 646252 14,948 41403 0,04581817 1897 0,954182 40454 603885 14,649 39506 0,04715978 1863 0,95284 38574 563431 14,350 37642 0,04854069 1827 0,951459 36729 524857 13,951 35815 0,04996202 1789 0,950038 34921 488128 13,652 34026 0,05142497 1750 0,948575 33151 453207 13,353 32276 0,05293076 1708 0,947069 31422 420056 13,054 30568 0,05448065 1665 0,945519 29735 388634 12,7

Tábua de Mortalidade da Entidade de Previdência Complementar Fechada - Sexo Masculino


Idade lx qx dx px Lx Tx Ex

55 28902 0.05607591 1621 0.943924 28092 358899 12.4

56 27282 0.05771789 1575 0.942282 26494 330808 12.1

57 25707 0.05940794 1527 0.940592 24943 304313 11.8

58 24180 0.06114749 1479 0.938853 23441 279370 11.6

59 22701 0.06293797 1429 0.937062 21987 255929 11.3

60 21272 0.06478087 1378 0.935219 20583 233942 11.0

61 19894 0.06667774 1327 0.933322 19231 213359 10.7

62 18568 0.06863015 1274 0.93137 17931 194128 10.5

63 17294 0.07063973 1222 0.92936 16683 176197 10.2

64 16072 0.07270816 1169 0.927292 15488 159514 9.9

65 14903 0.07483715 1115 0.925163 14346 144027 9.7

66 13788 0.07702848 1062 0.922972 13257 129681 9.4

67 12726 0.07928397 1009 0.920716 12222 116424 9.1

68 11717 0.08160551 956 0.918394 11239 104202 8.9

69 10761 0.08399503 904 0.916005 10309 92963 8.6

70 9857 0.08645451 852 0.913545 9431 82654 8.4

71 9005 0.08898601 801 0.911014 8604 73223 8.1

72 8204 0.09159164 751 0.908408 7828 64619 7.9

73 7452 0.09427357 703 0.905726 7101 56791 7.6

74 6750 0.09703402 655 0.902966 6422 49691 7.4

75 6095 0.09987530 609 0.900125 5790 43268 7.1

76 5486 0.10279978 564 0.8972 5204 37478 6.8

77 4922 0.10580990 521 0.89419 4662 32274 6.6

78 4401 0.10890815 479 0.891092 4162 27613 6.3

79 3922 0.11209712 440 0.887903 3702 23451 6.0

80 3482 0.11537947 402 0.884621 3281 19749 5.7

81 3080 0.11875794 366 0.881242 2898 16468 5.3

82 2715 0.12223532 332 0.877765 2549 13570 5.0

83 2383 0.12581453 300 0.874185 2233 11021 4.6

84 2083 0.12949855 270 0.870501 1948 8788 4.2

85 1813 0.13329044 242 0.86671 1692 6840 3.8

86 1572 0.13719336 216 0.862807 1464 5148 3.3

87 1356 0.14121056 191 0.858789 1260 3684 2.7

88 1164 0.14534539 169 0.854655 1080 2424 2.1

89 995 0.14960129 149 0.850399 921 1344 1.4

Tábua de Mortalidade da Entidade de Previdência Complementar Fechada - Sexo Masculino

Fonte: Elaborado pela autora

4.4 Comparacao com as tabuas do mercado 53

4.4 Comparacao com as tabuas do mercado

As Figuras (14) e (15) representam a comparacao das funcoes de distribuicao acumu-

ladas da tabua construıda a partir dos dados com aquelas utilizadas no mercado.

Figura 14: Comparacao das tabuas para ambos os sexos

A Figura (14) compara as funcoes de distribuicoes acumuladas ajustadas da EPCF

(para ambos os sexos) com as probabilidades de morte da tabua de mercado do IBGE de

2016 (para ambos os sexos). Nota-se que para as idades iniciais da tabua ate 50 anos, as

probabilidades observadas sao bem proximas as apresentadas na tabua do IBGE de 2016.

Porem, para as idades acima de 50 anos, as probabilidades vao se distanciando cada vez

mais ate as idades restantes.

Atraves do teste de Kolmogorov-Smirnov, foi feita a avaliacao da existencia de aderencia

entre as duas tabuas, considerando apenas as idades da serie truncada. Com o resultado

do valor-p e considerando um nıvel de significancia de 5%, a tabua dos dados nao adere

a tabua de referencia (IBGE 2016), conforme pode ser observado pela Tabela (4).

Tabela 4: Resultado do Teste Kolmogorov-Smirnov entre as tabuas para ambos os sexos

Tabua D-calculado p-valor Decisao

IBGE 2016 0.4321 7.64e− 07 Rejeita H0

4.4 Comparacao com as tabuas do mercado 54

Ja para a populacao exclusivamente masculina, nota-se que a probabilidade de morte

ajustada as probabilidades de morte das tabuas de mercado, possuem grandes diferencas

ao longo das idades. Pelo teste de Kolmogorov-Smirnov, pode-se fazer uma verificacao de

qual tabua melhor adere aos dados.

Figura 15: Comparacao das tabuas para o sexo masculino

Com os resultados do p-valor do teste de Kolmogorov-Smirnov, a um nıvel de sig-

nificancia de 5%, verificou-se que a tabua estimada a partir dos dados nao e aderente a

nenhuma das tabuas, especıficas para o sexo masculino, existentes no mercado, conforme

visto pela Tabela (5):

Tabela 5: Resultado do Teste Kolmogorov-Smirnov entre as tabuas para o sexo masculino

Tabua D-calculado p-valor Decisao

AT-2000 M 0.61207 1.243e− 14 Rejeita H0

AT-83 M Basic 0.59483 7.661e− 14 Rejeita H0

BR-EMSsb 2010 M 0.62393 3.109e− 15 Rejeita H0

Assim, ressalta-se que as diferencas entre as tabuas estimada e do mercado terao

impacto sobre os calculos atuariais para o plano.

55

5 Conclusao

E de extrema importancia ter uma ferramenta confiavel para a descricao da morta-

lidade dos participantes de um plano de previdencia.Para estudar o comportamento das

probabilidades de morte por idade em uma populacao especıfica, construiu-se a tabua

de mortalidade da Entidade de Previdencia Privada Complementar Fechada em estudo.

Atraves das informacoes fornecidas pelas tabuas, pode-se realizar comparacoes que pos-

suam impacto sobre os calculos atuariais e influenciem as reservas do plano. Em uma

analise inicial, observou-se uma grande diferenca entre a quantidade de registros de obitos

do sexo masculino e do sexo feminino, e com isso, optou-se por modelar os dados para

ambos os sexos, e depois, apresentar conclusoes apenas para o sexo masculino. A expec-

tativa de vida entre ambos os sexos e o sexo masculino apresentam diferencas, sendo que

o sexo masculino possui menor expectativa de vida comparada a expectativa de vida para

ambos os sexos.

A realizacao de teste de Aderencia utilizado nas avaliacoes atuariais de um plano de

previdencia complementar e essencialmente importante, pois e realizado para testar se

as hipoteses estao adequadas as caracterısticas da massa de participantes e assistidos,

evitando ganhos e perdas atuariais ao longo do tempo. A escolha de uma tabua que apre-

sente aderencia satisfatoria a tabua apresentada pelos dados reais do plano, e primordial

para uma adequada gestao do plano, pois com a devida escolha, sera obtido os resultados

atuariais apropriados com a realidade vivida pela massa do plano.

Destaca-se tambem, que o risco atuarial pode ser decorrente da adocao de premissas

atuariais que nao cumpram ou que mostrem pouca aderencia a massa de participantes e

assistidos. Alem disso, sabe-se que a utilizacao de parametros incoerentes com os cenarios

reais dos participantes e assistidos, pode comprometer a solvencia economica e financeira

do plano. Na gestao financeira do plano de previdencia, a tabua de mortalidade auxi-

lia na precificacao adequada dos seus produtos, calculo da reserva matematica e outras

aplicacoes. Dessa forma, e imprescindıvel que as hipoteses utilizadas estejam as mais

aderentes possıveis, conforme tambem e determinada pela legislacao em vigor.

5 Conclusao 56

Com os dados que deram origem ao presente estudo, na modelagem em ambos os

casos, ou seja, para o caso geral e para o caso do sexo masculino, a serie que representa um

melhor ajuste dos dados e a serie truncada, pois apresenta um coeficiente de determinacao

proximo a 1 e os resıduos seguindo os criterios da normalidade. Por isso, utilizou-se a

modelagem exponencial para as series truncadas nos dois casos (geral e sexo masculino)

e assim, foi possıvel concluir que, entre as tabuas de referencia estudadas (IBGE, BR-

EMSsb 2010, AT-2000 e AT-83), nenhuma delas foram aderentes aos dados observados

para o grupo de participantes da entidade analisada. Vale ressaltar que as observacoes

incluem em algumas idades mais dados de expostos ao risco (ativos) do que em outras e

com isso, as informacoes obtidas nessas idades em que os expostos sao mais numerosos,

deve-se buscar maior aderencia entre as taxas de mortalidade observadas e aquelas obtidas

das tabuas que se quer testar.

Entre outras abordagens, sugere-se para trabalhos futuros, que sejam testadas outras

tabuas, outros testes de aderencia, realizar uma modelagem e analise de aderencia dentro

de faixas etarias e usar ferramentas de analise de sobrevivencia.

57

Referencias

[1] WILBERT, M. D.; LIMA, D. V. de; GOMES, M. M. F. O impacto da utilizacao dediferentes tabuas de mortalidade nas estimativas de pagamento de benefıcios no rgps.Revista Brasileira de Risco e Seguro, n. 16, Maio/Out. 2013.

[2] BELTRaO, K. I. et al. Tabuas de mortalidade no mercado brasileiro de seguros —uma comparacao. IPEA - Instituto de Pesquisa Economica Aplicada, n. 1047, Outubro2004. Disponıvel em: <https://www.researchgate.net/publication/237801713>.

[3] MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. de O. Estatıstica Basica. 5. ed. [S.l.]: EditoraSaraiva, 2012.

[4] CAETANO, M. A.-R. Subsıdios cruzados na previdencia social brasileira. Ipea, n. 1211,Agosto 2006.

[5] CARVALHO, V. V.; SABINO, M. A. de S.; DANIELI, C. L. Metodologia de estudode aderencia das hipoteses biometricas, demograficas,cnonomicas e financeiras. Agosto2017.

[6] CHAN, B. L.; SILVA, F. L. da; MARTINS, G. de A. Fundamentos da PrevidenciaComplementar. Sao Paulo, Brasil: Fundacao Instituto de Pesquisas Contabeis, Atuari-ais e Financeiras. FEA/USP, 2010.

[7] FILHO, A. C. Calculo Atuarial Aplicado: teoria e aplicacoes: exercıcios resolvidos epropostos. Sao Paulo, Brasil: Editora Atlas S.A., 2009.

[8] CRISAN, S. Uso das tabelas de mortalidade no calculo de um plano de pensao alemao.Lisboa, Portugal: Mestrado em Matematica Aplicada a Economia e Gestao - Universi-dade de Lisboa, 2016.

[9] INSTITUTO Brasieiro de Geografia e Estatıstica.Https://www.ibge.gov.br/estatisticas-novoportal/sociais/populacao/9126-tabuas-completas-de-mortalidade.html?=t=notas-tecnicas. Accessed: 2018-06-23.

[10] CONTEuDO Jurıdico. Http://www.conteudojuridico.com.br/artigo,evolucao-historica-da-previdencia-social-no-brasil-e-no-mundo,35915.html. Accessed: 2018-06-17.

[11] MEDRONHO, R. de A. et al. Epidemiologia. 2. ed. [S.l.]: Camara Brasileira do Livro,SP, 2009.

[12] GOMES, M. M. F.; OKUBO, M. H.; VASCONCELOS, A. M. N. Aplicacoes dastabuas de vida para a previdencia complementar: Estimativas e comparacao com astabuas do mercado. Revista Brasileira de Risco e Seguro, n. 7, Setembro 2008. Dis-ponıvel em: <http://www.rbrs.com.br/arquivos/RBRS7-1/20Marilia-Okubo.pdf>.

Referencias 58

[13] RAMIREZ, M. R. et al. Tabuas Biometricas de mortalidade e sobrevivencia - Ex-periencia do Mercado Segurador Brasileiro. Rio de Janeiro, Brasil: Fundacao EscolaNacional de Seguros - Funenseg, 2012.

[14] PINHEIRO, R. P. A demografia dos Fundos de Pensao. Brasılia, Brasil: Ministerioda Previdencia Social. Secretaria de Polıticas de Previdencia Social, 2007.

[15] PREVIC - Superintendencia Nacional de Previdencia Complementar.Http://www.previc.gov.br/a-previdencia-complementar-fechada/sobre-o-setor. Ac-cessed: 2018-05-25.

[16] R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna,Austria, 2018. Disponıvel em: <https://www.R-project.org/>.

[17] SANTOS, J. B. N. dos. Desenvolvimento de metodos alternativos para avaliacao deriscos segundo o conceito de supervisao baseada em riscos. 2012.

[18] SWANSON, D. A.; SIEGEL, J. S. The Methods and Materials of Demography. Bin-gley, United Kingdom: Emerald Publishing Limited, 2004.

[19] SOCIETY of Actuaries. Https://mort.soa.org/. Accessed: 2018-06-22.

59

ANEXO A -- Tabua AT-83

Idades Probabilidades de MorteExatas entre Duas Idades Exatas

(x) q (x)0 0,0000001 0,0000002 0,0000003 0,0000004 0,0000005 0,0004196 0,0003897 0,0003708 0,0003919 0,00040910 0,00042411 0,00043812 0,00045013 0,00046114 0,00047215 0,00048316 0,00049517 0,00050818 0,00052319 0,00054020 0,00055921 0,00058122 0,00060523 0,00063224 0,00066125 0,00069226 0,00072427 0,00075628 0,00078829 0,00081930 0,00085031 0,00088132 0,00091333 0,00094534 0,00098035 0,00102336 0,00107737 0,00114638 0,00123239 0,00134140 0,00147641 0,00164142 0,00184243 0,00207944 0,00235245 0,00265746 0,002988

47 0,00334348 0,00371849 0,00411050 0,004518

51 0,00493852 0,00537053 0,00581154 0,00626055 0,00671856 0,00718457 0,00765858 0,008146

(Continua)

AT-83 MALE

Anexo A -- Tabua AT-83 60


(x) q(x)59 0,00867160 0,00926661 0,00996162 0,01078763 0,01176964 0,01292065 0,01424866 0,01576167 0,01746768 0,01937369 0,02148670 0,02381071 0,02635372 0,02912073 0,03212374 0,03539875 0,03898676 0,04293077 0,04727278 0,05205479 0,05732580 0,06313281 0,06952382 0,07654783 0,08422984 0,09249885 0,10126186 0,11042487 0,11989488 0,12960989 0,13964390 0,15009991 0,16108292 0,17269993 0,18504994 0,19821995 0,21229196 0,22734697 0,24346798 0,26090399 0,279903

100 0,300716101 0,323592102 0,348780103 0,376529104 0,407088105 0,440707

106 0,477634107 0,518120108 0,562412109 0,610761

110 0,663417111 0,720626112 0,782640113 0,849708114 0,922077115 1,000000

Fonte: www.soa.org (Society of Actuaries)

AT-83 MALE

61

ANEXO B -- Tabua AT-2000


(x) q (x)0 0,0023111 0,0009062 0,0005043 0,0004084 0,0003575 0,0003246 0,0003017 0,0002868 0,0003289 0,000362

10 0,00039011 0,00041312 0,00043113 0,00044614 0,00045815 0,00047016 0,00048117 0,00049518 0,00051019 0,00052820 0,00054921 0,00057322 0,00059923 0,00062724 0,00065725 0,00068626 0,00071427 0,00073828 0,00075829 0,00077430 0,00078431 0,00078932 0,00078933 0,00079034 0,00079135 0,00079236 0,00079437 0,00082338 0,00087239 0,00094540 0,00104341 0,00116842 0,00132243 0,00150544 0,00171545 0,00194846 0,002198

47 0,00246348 0,00274049 0,00302850 0,003330

51 0,00364752 0,00398053 0,00433154 0,00469855 0,00507756 0,00546557 0,00586158 0,006265

(Continua)

AT-2000 MALE

Anexo B -- Tabua AT-2000 62


(x) q(x)59 0,00669460 0,00717061 0,00771462 0,00834863 0,00909364 0,00996865 0,01099366 0,01218867 0,01357268 0,01516069 0,01694670 0,01892071 0,02107172 0,02338873 0,02587174 0,02855275 0,03147776 0,03468677 0,03822578 0,04213279 0,04642780 0,05112881 0,05625082 0,06180983 0,06782684 0,07432285 0,08132686 0,08886387 0,09695888 0,10563189 0,11485890 0,12461291 0,13486192 0,14557593 0,15672794 0,16829095 0,18024596 0,19256597 0,20522998 0,21868399 0,233371

100 0,249741101 0,268237102 0,289305103 0,313391104 0,340940105 0,372398

106 0,408210107 0,448823108 0,494681109 0,546231

110 0,603917111 0,668186112 0,739483113 0,818254114 0,904945115 1,000000

Fonte: www.soa.org (Society of Actuaries)

AT-2000 MALE

63

ANEXO C -- Tabua BR-EMSsb 2010


(x) q(x)0 0,0020001 0,0006902 0,0003503 0,0002204 0,0001605 0,0001306 0,0001207 0,0001108 0,0001109 0,00012010 0,00013011 0,00015012 0,00019013 0,00024014 0,00031015 0,00039016 0,00048017 0,00057018 0,00066019 0,00074020 0,00080021 0,00085022 0,00089023 0,00092024 0,00093025 0,00093026 0,00093027 0,00092028 0,00092029 0,00091030 0,00092031 0,00093032 0,00094033 0,00099034 0,00103035 0,00109036 0,00115037 0,00121038 0,00128039 0,00136040 0,00144041 0,00153042 0,00164043 0,00175044 0,00187045 0,00200046 0,002150

47 0,00231048 0,00249049 0,00268050 0,002900

51 0,00313052 0,00339053 0,00367054 0,00398055 0,00431056 0,00468057 0,00509058 0,005540

(Continua)

BR-EMSsb-v.2010-M

Anexo C -- Tabua BR-EMSsb 2010 64


(x) q(x)59 0,00603060 0,00656061 0,00715062 0,00780063 0,00851064 0,00929065 0,01014066 0,01107067 0,01210068 0,01323069 0,01446070 0,01581071 0,01730072 0,01893073 0,02072074 0,02268075 0,02483076 0,02719077 0,02977078 0,03261079 0,03573080 0,03914081 0,04289082 0,04700083 0,05150084 0,05645085 0,06187086 0,06782087 0,07434088 0,08150089 0,08935090 0,09796091 0,10741092 0,11777093 0,12913094 0,14160095 0,15527096 0,17027097 0,18672098 0,20477099 0,224570100 0,246280101 0,270100102 0,296220103 0,324880104 0,356320105 0,390800

106 0,428620107 0,470110108 0,515620109 0,565530

110 0,620290111 0,680350112 0,746230113 0,818490114 0,897760115 0,984710116 1,000000

Fonte: Circular SUSEP 402/2010

BR-EMSsb-v.2010-M

65

ANEXO D -- Tabua IBGE -2016

BRASIL: Tábua Completa de Mortalidade - Ambos os Sexos - 2016 (Continua)

Idades Probabilidades de Morte Óbitos Expectativa de VidaExatas entre Duas Idades Exatas D (X, N) à Idade X

(X) Q (X, N) (Por Mil) E(X)0 13,297 1330 100000 98790 7577025 75,81 0,878 87 98670 98627 7478235 75,82 0,569 56 98584 98556 7379608 74,93 0,435 43 98528 98506 7281053 73,94 0,358 35 98485 98467 7182546 72,95 0,308 30 98450 98434 7084079 72,06 0,274 27 98419 98406 6985645 71,07 0,251 25 98392 98380 6887239 70,08 0,237 23 98368 98356 6788859 69,09 0,231 23 98344 98333 6690503 68,010 0,235 23 98322 98310 6592170 67,011 0,252 25 98299 98286 6493860 66,112 0,285 28 98274 98260 6395574 65,113 0,342 34 98246 98229 6297314 64,114 0,436 43 98212 98191 6199085 63,115 0,724 71 98169 98134 6100894 62,116 0,900 88 98098 98054 6002760 61,217 1,058 104 98010 97958 5904706 60,218 1,183 116 97906 97848 5806748 59,319 1,282 125 97790 97728 5708899 58,420 1,380 135 97665 97598 5611172 57,521 1,477 144 97530 97458 5513574 56,522 1,543 150 97386 97311 5416116 55,623 1,572 153 97236 97160 5318804 54,724 1,573 153 97083 97007 5221645 53,825 1,561 151 96931 96855 5124638 52,926 1,555 150 96779 96704 5027783 52,027 1,560 151 96629 96553 4931079 51,028 1,587 153 96478 96401 4834526 50,129 1,631 157 96325 96246 4738124 49,230 1,682 162 96168 96087 4641878 48,331 1,732 166 96006 95923 4545791 47,332 1,786 171 95840 95754 4449868 46,433 1,841 176 95669 95581 4354114 45,534 1,901 182 95492 95402 4258533 44,635 1,971 188 95311 95217 4163132 43,736 2,055 195 95123 95025 4067915 42,837 2,152 204 94928 94825 3972889 41,938 2,265 215 94723 94616 3878064 40,939 2,395 226 94509 94396 3783448 40,0

Notas:N = 1Q(X, N) = Probabilidades de morte entre as idades exatas X e X+N.l(X) = Número de sobreviventes à idade exata X.D(X, N) = Número de óbitos ocorridos entre as idades X e X+N.L(X, N) = Número de pessoas-anos vividos entre as idades X e X+N.

T(X) = Número de pessoas-anos vividos a partir da idade X.E(X) = Expectativa de vida à idade X.

l ( X ) L (X, N) T(X)

Anexo D -- Tabua IBGE -2016 66

BRASIL: Tábua Completa de Mortalidade - Ambos os Sexos - 2016 (Conclusão)

Idades Probabilidades de Morte Óbitos Expectativa de VidaExatas entre Duas Idades Exatas D (X, N) à Idade X

(X) Q (X, N) (Por Mil) E(X)40 2,540 240 94282 94163 3689052 39,141 2,703 254 94043 93916 3594890 38,242 2,890 271 93789 93653 3500974 37,343 3,103 290 93518 93373 3407321 36,444 3,342 312 93227 93072 3313948 35,545 3,604 335 92916 92748 3220877 34,746 3,886 360 92581 92401 3128128 33,847 4,190 386 92221 92028 3035727 32,948 4,514 415 91835 91627 2943699 32,149 4,861 444 91420 91198 2852072 31,250 5,235 476 90976 90738 2760874 30,351 5,637 510 90500 90244 2670136 29,552 6,065 546 89989 89716 2579892 28,753 6,519 583 89444 89152 2490175 27,854 7,002 622 88861 88549 2401023 27,055 7,528 664 88238 87906 2312474 26,256 8,095 709 87574 87220 2224568 25,457 8,691 755 86865 86488 2137348 24,658 9,317 802 86110 85709 2050861 23,859 9,983 852 85308 84882 1965152 23,060 10,703 904 84456 84004 1880270 22,361 11,498 961 83552 83072 1796265 21,562 12,386 1023 82592 82080 1713193 20,763 13,386 1092 81569 81023 1631113 20,064 14,500 1167 80477 79893 1550090 19,365 15,704 1245 79310 78687 1470197 18,566 17,014 1328 78064 77400 1391510 17,867 18,484 1418 76736 76027 1314109 17,168 20,141 1517 75318 74559 1238082 16,469 21,983 1622 73801 72990 1163523 15,870 23,968 1730 72179 71314 1090533 15,171 26,104 1839 70449 69529 1019220 14,572 28,454 1952 68610 67634 949690 13,873 31,051 2070 66657 65623 882057 13,274 33,898 2189 64588 63493 816434 12,675 36,958 2306 62398 61245 752941 12,176 40,244 2418 60092 58883 691696 11,577 43,835 2528 57674 56410 632813 11,078 47,777 2635 55146 53828 576403 10,579 52,087 2735 52511 51143 522575 10,0

80 ou mais 1000,000 49776 49776 471432 471432 9,5Fonte: IBGE, Diretoria de Pesquisas (DPE), Coordenação de População e Indicadores Sociais (COPIS).

Notas:N = 1Q(X, N) = Probabilidades de morte entre as idades exatas X e X+N.l(X) = Número de sobreviventes à idade exata X.D(X, N) = Número de óbitos ocorridos entre as idades X e X+N.L(X, N) = Número de pessoas-anos vividos entre as idades X e X+N.

T(X) = Número de pessoas-anos vividos a partir da idade X.E(X) = Expectativa de vida à idade X.

l ( X ) L (X, N) T(X)

Avalia˘c~ao da ader^encia de t abuas de mortalidade para a...

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