lgebra linearTransformao Linear; Auto Valores e Auto VetoresMaria Rosangela

1. TRANSFORMAES LINEARES O objeto principal da lgebra linear so os espaos vetoriais de dimenso finita e as transformaes lineares entre tais espaos. Nesta unidade estudaremos um tipo especial de funo, onde o domnio e o contradomnio so espaos vetoriais reais. Assim, tanto a varivel independente como a varivel dependente so vetores. Essas funes so chamadas funes vetoriais ou transformaes vetoriais. Sejam V e W conjuntos arbitrrios no vazios. Suponha que cada elemento de A esteja associado a um nico elemento de W. O conjunto V o domnio da transformao. O conjunto W o contradomnio. Denota-se uma transformao f de V em W. : . f uma transformao do espao vetorial V no espao vetorial W. sendo f uma funo, cada v V tem s um vetor imagem w W que ser indicado f(v) = w

Exemplo: 1. Uma transformao f : R R associa vetores v = (x, y) R com vetores w = (a, b, c) R. se a lei que define f tal que a = 3x; b=-2y e c = x y, a imagem de cada vetor (x,y) ser representada por: f(x, y) = (3x, -2y, x-y) por exemplo, se v = (2,1) ento w = (6, -2, 1) 2. A transformao f : R R dada por S = (x, y) = ( x, -y). S pode ser visualizada na figura ao lado e leva cada ponto do R no seu simtrico em relao ao eixo x. o Em particular a imagem da reta y = x a reta x + y = 0 (e vice versa). A imagem do eixo x o prprio eixo x e a imagem do eixo y o prprio eixo y. 1 3 5 3. Considere a matriz 2 X3 . Se os vetores so escritos em R e R como vetores colunas, 2 4 1 ento A determina a aplicao f: definida por . 3 10 . Assim, se 1 12 2 4. Seja V o espao vetorial de polinmios na varivel t sobre o corpo real R. Ento a derivada define uma aplicao : onde, para qualquer polinmio , fazendo D(f) = df/dt, por exemplo D(3 5 2 6 5. **relembrando: i. Uma ii. aplicao : . Uma aplicao : , . Uma aplicao : , ,

iii. , , . Obs.: A transformao linear possui uma propriedade importante: preserva a soma e a multiplicao por escalar. Definio:

,

,

,

,

1

Exemplo:

2. : Essa funo linear pois:

, ,

,2

,

, ,

.

3. :

3

.

,

:

5. A transformao nula :

4. A transformao identidade :

,

0

.

6. Verificar se a aplicao F: R R definida por F(x, y) = (x + y, x) uma TL.

7.

Seja a :

matriz

.

de

ordem

3

,

x

:

2.

Essa

matriz

determina

a

transformao

Por exemplo, se:

2

E portanto: , 2

8. A transformao : , , 3 : Enquanto

,

,3

4 ,5

.

2

,

,3

4 ,5

,

,

,

,

.

,

FAZER EXERCCIOS DE 1 7 e 22 - 23. 1.1 MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANNICA 1. Seja A uma matriz de ordem 3 x 2. Essa matriz determina a transformao fA: RAR v A v ou fA (v) = A v que linear. De fato: I) fA ( u + v) = A (u + v) = Au + Av = fA(u) + fA(v) II) fA (u) = A (u) = (Au) = fA(u ) 2 1 Por exemplo, se tiver A(2,3) = 3 0 e v = (x, y) for considerado um vetor coluna , o produto Av : 5 4 2 2 1 e portanto, fA(x,y)=(2x-y, 3x+4y, 5x), o que significa que a matriz A(3,2) determinou a 3 4 3 0 5 4 5 transformao do vetor v = (x, y) R no vetor w = (2x - y, 3x + 4y, 5x) R, transformao essa que linear. Importante: ** De forma : genrica, toda matriz A(m,n) determina , a transformao , : linear

Em TL desse tipo chama-se multiplicao por A.

FAZER EXERCCIOS DE 8 13. 1.2 INTERPRETAO GEOMTRICA Considere o operador linear : , , 3 1, 1 0, 1 , Aplicando as propriedades para confirmar que f uma TL. ,2 3 . 4,1

1,3 .

3

I - A figura ao lado mostra que, sendo u + v a diagonal do paralelogramo determinado por u e v, sua imagem f(u+ v) representa a diagonal do paralelogramo por , , . .

II A prxima figura mostra que, ao se multiplicar o vetor u por 2, por exemplo, sua imagem f(u) tambm fica multiplicada por 2. Esse fato vale para qualquer , , . Assim, f preserva a multiplicao de um vetor por um escalar. FAZER EXERCCIO DE 14. 1.3 PROPRIEDADE DE TRANSFORMAES LINEARES Teorema: Dados dois espaos vetoriais reais V e W e uma base V, {v1, ...,vn}, sejam w1, ..., wn elementos arbitrrios de W. Ento existe uma nica aplicao linear f:VW / f(v1) = w1, ..., f(vn) = wn. Ento existe uma aplicao linear f:VW tal que f(v1) = w1, ..., f(vn)=wn. Esta aplicao dada por: v = a1v1 + ... + anvn Ento, f (v) = a1 f (v1) + ... + an f (vn) = a1 w1 + ... + anwn Verifique que T assim definida linear e que a nica que satisfaz as condies exigidas. Em outras palavras, sempre que forem dados f(v1), ..., f(vn), onde {v1, ...,vn} base do domnio V, a transformao linear f est perfeitamente definida. Exemplos

4

5

5) Qual a transformaolinear f: RR tal que f(1, 0) = (2, -1, 0) e f(0, 1) = (0, 0, 1)? 2 Temos que e1 = (1,0) e e2 = (0,1) base de R e w1=(2, -1, 0) e w = (0, 0, 1). Dado v = (x1, x2) arbitrrio, v = x1e1 + x2e2 e f(v) = x1f(e1) + x2f(e2) =x1(2, -1, 0) + x2(0,0,1) = (2x1, -x1, x2)

1.4 IMAGEM E NCLEO DA TL A cada transformao linear f: V W podemos associar dois conjuntos: o ncleo e a imagem. 1. Definio: Seja f: V W uma transformao linear. O conjunto ; 0 chamado de ncleo (kernel em ingls). Chama-se ncleo de uma transformao linear f: V W ao conjunto de todos os vetores v V que so transformados em 0 W. Indica-se esse conjunto por N(f) ou ker(f): ; 0 Tanto o ncleo de f quanto a sua imagem, so subespaos vetoriais de V. A dimenso do ncleo de L denominada de nulidade de f. A Figura ao lado mostra que ker (f) V e todos seus vetores tm uma nica imagem que o vetor zero de W. Observe que o N(f) , pois 0 N(f) uma vez que f (0) = 0. Exemplo: 1) O ncleo da transformao linear f:R2R2, f (x,y) = (x - 2y, x + 3y) o conjunto , / , 0,0 , 2 , 3 0,0 2 0 ,sistema cuja soluo x = y = 0. Logo, N(f) = (0,0) 3 0

2. Definio: Chama-se imagem de uma transformao linear f: V W ao conjunto dos vetores w W que so imagens de vetores v V. Indica-se esse conjunto por Im(f) ou f(V): Im(f) = {w W / f (v) = w para algum v V}. 6

A Figura ao lado a apresenta o conjunto Im (f) W e tambm o ncleo de f. Observe-se que Im (f) 0, pois 0 = f(0) Im (f). Se Im(f) = W, f diz-se sobrejetora, isto , para todo w W, existe pelo menos um v V tal que f(v) = w. Exemplos:

2) A imagem da transformao identidade I: VV, definida por I(v) = v, v V, todo espao V. O ncleo, nesse caso, N(f) = {0}. 3) A imagem da transformao nula f: V W, com f(v) = 0, v V, o conjunto Im (f) = {0}. O ncleo, nesse caso, todo o espao V. 1.5 PROPRIEDADES DA IMAGEM E NCLEO DA TL

7

Exemplos

c) verificar a propriedade da dimenso

sistema que s admite soluo se a + b - c = 0

8

3) Seja f: , , ,2 a) dar uma base e a dimenso de ker(f); b) dar uma base e a dimenso de Im (f).

.

4) Determinar uma aplicao linear f:RR4 tal que Im(f) = [(1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 1)].

5) Seja :

a aplicao linear definida por , , , , 2 3 4 ,2

5

4

5

5 ,

4

5

2

9

Ache uma base e a dimenso da imagem de f.Achar os vetores da base usual de R : f( 1, 0, 0, 0, 0) = (1, 2, 1) f(0, 1, 0, 0, 0) = (2, 5, 4) f( 0, 0, 1, 0, 0) = (1, 4, 5) f(0, 0, 0, 1, 0) = (-3, -5, -1) v( 0, 0, 0, 0, 1) = (4, 5, -2) pela definio Im f forma a matriz cujas linhas so esses vetores imagem. Reduzindo as linhas na forma escada, temos: 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 5 4 0 1 2 0 1 2 1 4 5 ~ 0 2 4 ~ 0 0 0 3 5 1 0 1 4 0 0 0 4 5 2 0 3 6 0 0 05

, , 2 , , 2 0, 0, 0 Iguale as componentes correspondentes, formando o sistema homogneo cujo espao soluo o ncleo de W de G. 2 0 2 0 2 0 0 0 ou ou 0 2 0 0 A nica varivel independente z, logo, dimW = 1. Seja z = 1 ento y = -1 e x = 3. Assim, (3, -1, 1) forma uma base para ker G. Faamos G(v) = 0, onde v = (x, y, z):

6) Seja G: :

3 a aplicao linear definida por G(x, y, z) = (x+2y-z, y + z, x + y 2z). Ache uma base e a dimenso do ncleo de G3

1.6 MATRIZ DE TRANSFORMAO LINEAR EM BASES QUAISQUER

10

Assim, uma TL : pode ser representada por infinitas matrizes, no entanto, fixadas uma base de V e uma base de W , a matriz que representa f nica.

11

Algoritmo Dado um operador linear T em V e uma base , ,, , . Passo 1. Repita para cada vetor uk em S: (a) Ache T(uk) (b) Escreva T(uk) como combinao linear dos vetores da base , , , para obter as coordenadas de T(uk) na base S. Passo 2. Forme a matriz [T]S cujas colunas so os vetores das coordenadas [T(uk)]S obtidos no passo 1(b). Passo 3. Fim Obs. Note que o passo 1b repetido para cada vetor de base uk. Consequentemente, pode ser conveniente aplicar primeiro: Passo 0. Ache a frmula para as coordenadas de um vetor arbitrrio v em relao base S. Exemplos:

12

13

1.7 TRANSFORMAES LINEARES E MATRIZES Do mesmo modo, dada uma matriz qualquer e fixadas duas bases uma no domnio e outra no contradomnio , ela representa uma transformao linear. Na prtica, cada matriz pode ser interpretada como matriz cannica de uma transformao linear f. Assim, por

14

Outros problemas resolvidos 1. Seja v o espao 1, , 1 : , :

0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 2 0 3 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 2 0 note que os vetores das coordenadas [D(1), D(t), D(t), D(t)] so as colunas e no as 0 0 0 3 0 0 0 0 linhas em [D]. , 4 2 ,2 2. Considere o operador linear : : 1,1 , 1,0 1,0 , 0,1 temos 1,0 2,3 3 1,1 1,0 3 1,0 4, 2 2 1,1 2 1,0 2 2 3 2 . 1 2 2 1,0 4, 2 4 1,0 2,1 2 , ,, .

vetorial

de

polinmios

em

t

sobre .

R,

de

grau