Automatos Celulares

Leandro Aparecido Sangalli

sangalli@dca.fee.unicamp.br

Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

FEEC - Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computacao

DCA - Departamento de Engenharia de Computacao e Automacao Industrial

15 de junho de 2015

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Roteiro

I O que sao Automatos Celulares (AC’s)?

I Tipos de AC’s

I Aplicacoes em Criptografia

I Classificacao de AC’s

I Objetivos

I Estrutura da Proposta

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O que sao Automatos Celulares?

I Um AC e um sistema dinamico discreto no espaco e tempo,

formado por celulas cujo o estado se altera no decorrer do

tempo (iteracoes), de acordo com certas regras de transicao.

Estas regras levam em consideracao o estado atual da celula

e/ou vizinhanca para gerar o proximo estado (Wolfram, 1982).

I Aplicacoes:

I Fenomenos naturais, Computacao, entre outras.

I Aplicacoes em Computacao (Criptografia)

I Gerador de Numeros Pseudo-aleatorios; Funcoes Hash; etc.3 / 13

Tipos de Automatos Celulares

I Os AC’s podem ser classificados pelos seguintes tipos:

unidimensionais, bidimensionais ou tridimensionais.

I binarios, ternarios, etc.

Figura: Automato

unidimensional

Figura: Automato

bidimensional

Figura: Automato

tridimensional

I Se as celulas de um automato assumir apenas os valores 1

(preto) e 0 (branco) este e classificado como binario.4 / 13

Automatos Celulares em Criptografia

I A seguranca de aplicacoes criptograficas baseadas em AC’s e

diretamente relacionada com o quao a regra(s) utilizada nesta

aplicacao e nao determinıstica (maior aleatoriedade).

I Exemplo de aplicacoes de AC’s em criptografia

I Algoritmos de Hash

I Cifras de bloco e cifras de fluxos

I Geracao de numeros aleatorios

I A linguagem Wolfram (Mathematica) utiliza AC’s no seu

geradores de numeros pseudo-aleatorios.

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Classificacao de Automatos Celulares

I Para selecionar as regras de AC’s que sao nao determinısticas

(ou quase) sao utilizadas ferramentas estatısticas como:

entropia, correlacao, autocorrelacao, expoente de Lyapunov,

distancia de Hamming, entre outras.

Pensando na geracao de numeros aleatorios via AC’s

I A partir de um certo numero de evolucoes vao existir estados

que se repetem (completamente)?

I Qual e o numero limite de evolucoes antes haja a repiticao do

primeiro estado? (Ciclo)

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Metodos estatısticos

I A entropia de uma variavel aleatoria X pode ser interpretada

como, a quantidade de incerteza que esta presente nessa

variavel (Teoria da Informacao).

I A correlacao mede o ındice de relacao entre duas variaveis

aleatorias. Conceito bastante similar a autocorrelacao.

I O expoente de Lyapunov mede o grau de perturbacao de

determinado sistema a cada iteracao.

I A distancia de Hamming e utilizada para medir a diferenca

entre duas variaveis binarias.

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Ciclos de Automatos Celulares

I Em 2010, Jae-Gyeom Kim publicou o trabalho entitulado “A

Characterization of Cycle Lengths of Cellular Automata” onde

mostrou como estimar o comprimento do ciclo de automatos

celulares evoluıdos a partir das regras 60 e 102 utilizando

matrizes de transicao.

I Regra 60: Xi (t + 1) = Xi−1(t)⊕ Xi (t).

I Regra 102: Xi (t + 1) = Xi (t)⊕ Xi+1(t).

Nao e trivial aplicar um modelo semelhante ao proposto por Kim

em regras cujo estado de transicao dependa tanto das celulas

vizinhas como da celula central do estado anterior. Por exemplo, a

regra 30.8 / 13

Regras Lineares

Figura: Regra 60 Figura: Regra 102

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Objetivos

I Desenvolver uma forma de estimar o tamanho do ciclo de

geradores de numeros pseudo-aleatorios baseados em

automatos celulares.

I Metodo:

I desenvolver metricas que combinem ferramentas estatısticas

para comprovar quais sao as regras dos AC’s que geram os

resultados menos privisıveis possıvel (quase aleatorios).

I desenvolver uma demonstracao matematica que comprove o

tamanho dos ciclo destes AC’s. Isto prova se os automatos

celulares sao em potencial bons geradores de numeros

aleatorios (inovacao).

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Evolucao de Automatos Celulares

I Evolucao de AC unidimensional de raio 1 a partir da regra 30.

Figura: Regra 30

xi (t + 1) = xi−1(t)⊕ [xi (t) ∨ xi+1(t)]

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Ciclo de Outros Tipos de Automatos Celulares

I Tendo em maos, as classificacoes retornadas pela aplicacao

das metricas desenvolvidas nas 256 possıveis regras

unidimensionais, e a conjectura do tamanho do ciclo dos

automatos gerados a partir destas regras (selecionadas), estes

conceitos tambem deverao ser aplicados para outros tipos de

automatos, como:

I Unidimensionais com raio maior que um.

I Automatos bi e tridimensionais, com diferentes tamanhos de

raio (Nao tao simples!).

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Estrutura da Proposta

I 1a etapa: desenvolvimento das metricas estatısticas

I estas serao desenvolvidas a fim de avaliar a regra mais caotica

dentro do conjunto das caoticas (Classe 3, provavelmente!).

Pois, ja e esperado que o metodo desenvolvido para avaliar o

comprimento dos ciclos dos automatos deva ser diferente para

cada regra.

I 2a etapa: desenvolver o metodo de avaliacao do comprimento do ciclo

dos AC’s

I Esta etapa consiste em desenvolver uma conjectura de como

avaliar o tamanho do ciclo dos automatos. Por exemplo,

utilizar o conceito de matriz de transicao, ou outros.

I 3a etapa: validacao da conjectura do tamanho do ciclos dos AC’s.

I 4a etapa: Aplicar estes passos para os demais tipos de AC’s.13 / 13