autocorrelacao_2015
-
Upload
alejandroherreraguridechile -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
description
Transcript of autocorrelacao_2015
-
AutocorrelaAutocorrelaoo SerialSerial
Prof. Jos [email protected]
-
Autocorrelao serialProblema tpico da aplicao da anlise de regresso linear dados de sries de tempo:
No entanto, a sequncia cronolgica das observaes de uma srie temporal exibe padres de tendncia e sazonalidade.
Tais padres implicam em observaes relacionadas ou autocorrelacionadas. Por esta razo possvel prever as observaes futuras a partir das observaes passadas.
As observaes em uma srie temporal no podem ser consideradas como sendo provenientes de uma amostra aleatria (em amostras aleatrias as observaes so independentes) como suposto pela anlise de regresso linear.
ttt XY ++= 10 X e Y so sries temporaisEm sua verso bsica a anlise de regresso pressupe que os termos aleatrios so independentes e no correlacionados ( cov(i,)) =0 para ij ).
Tal pressuposto implica em admitir que as observaes so provenientes de uma amostra aleatria, ou seja, a varivel Y relaciona-se com os valores da varivel X, porm Y no depende dos seus prprios valores passados.
-
Autocorrelao serialQuando as variveis X e Y so sries de tempo, o pressuposto de erros independentes na regresso linear ( cov(i,)) = 0 para ij ) raramente verificado.
Nestas situaes os erros so autocorrelacionados, ou seja, cov(i,j)) 0 para ij.
Um tipo comum de autocorrelao do erro a autocorrelao serial de primeira ordem ou AR(1), em que o erro do perodo atual t se relaciona com o erro do perodo imediatamente anterior t-1. Neste caso tem-se a seguinte especificao para o modelo de regresso linear:
ttt XY ++= 10ttt v+= 1
um escalar no intervalo ]-1;1[ que mede a correlao entre t e t-1.
A magnitude de indica a fora da correlao serial, se zero os erros so independentes ( = v) e no h autocorrelao serial do erro.
Erros independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v
-
Autocorrelao serial
ttt XY ++= 10ttt v+= 1
Autocorrelao serial de primeira ordem do erro ou AR(1)
( ) 0,cov
SStt
Covarincia entre erros defasados por S perodos de tempo proporcional a S
Erros no so independentes
]-1;1[ correlaes entre os erros decaem exponencialmente:
( ) =1, ttcorrelao
( ) 22, =ttcorrelao( ) 33, =ttcorrelao( ) SSttcorrelao =,
O efeito de um choque aleatrio persiste ao longo do tempo, porm sua magnitude decrescente
-
Autocorrelao serial
Considere uma situao com autocorrelao serial de primeira ordem positiva (>0), tpica em sries econmicas.
Se o 1 valor de Y est acima da verdadeira reta de regresso, ento os valores seguintes tambm tm maior probabilidade de estarem acima da verdadeira reta de regresso ( provvel que um erro positivo seja seguido de outro erro positivo).
Eventualmente provvel que exista uma sequncia de Y abaixo da verdadeira reta de regresso ( provvel que um erro negativo seja seguido de outro erro negativo).
Porm o mtodo dos mnimos quadrados supe erros independentes (=0), logo a reta de regresso estimada por mnimos quadrados passar pelo meio da nuvem de pontos com outra inclinao. O uso desta reta para fazer inferncias ou prognsticos pode ser muito enganoso,
-
Autocorrelao serial
Note que a disperso das observaes sobre a reta estimada por mnimos quadrados menor que a disperso ao redor da verdadeira reta de regresso.
Se h autocorrelao de primeira ordem positiva, a estimao por mnimos quadrados subestima a varincia do erro (2).
Nesta situao os estimadores de mnimos quadrados parecem mais precisos do que eles realmente so (os erros padro so subestimados).
E os procedimentos de inferncia estatstica (teste t e F) podem indicar que a regresso de Y em X seja significativa, mesmo que ela seja falsa.
-
Autocorrelao serialA autocorrelao serial de primeira ordem pode ser negativa (0), HANKE & WICHERN (2006) e GUJARATI (2000).
Seja a autocorrelao do erro negativa ou positiva, a violao do pressuposto de independncia dos erros implica em problemas de interpretao dos resultados dos coeficientes de regresso estimados pelo mtodo dos mnimos quadrados, pois o mtodo pressupe erro no correlacionados.
-
Diagnstico da autocorrelao serial
( )ttt XY 10 +=resduosEstimativas obtidas pelo mtodo dos
mnimos quadrados
1) Grficos dos residuos ao longo do tempoSe os erros so autocorrelacionados, provavelmente a srie dos residuos da estimao por mnimos quadrados exibir um padro sistemtico (no aleatrio) ao longo do tempo.
0 5 10 15 20 25 30 35-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
tempo
r
e
s
d
u
o
s
Note as sequncias de resduos positivos seguidas por sequncias de resduos negativos, um padro sistemtico tpico de aucorrelao serial positiva de primeira ordem do erro.
Quando a anlise de regresso aplicada em sries de tempo importante examinar a srie dos resduos da estimao por mnimos quadrados para saber se a autocorrelao serial est presente e assim ter meios para detectar se a regresso entre Y e X falsa e evitar uma interpretao errada dos resultados.
-
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Diagnstico da autocorrelao serial2) Grfico do residuo em t contra resduo em t-1
Se os erros so autocorrelacionados de primeira ordem, os pares de resduos em t e t-1 espalham-se ao longo de uma reta que passa pela origem e com coeficiente angular igual a .
resduo em t-1
r
e
s
d
u
o
e
m
t >0
Autocorrelao serial de primeira ordem positiva
-
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
Diagnstico da autocorrelao serial2) Grfico do residuo em t contra resduo em t-1
A estimativa dada por:
resduo em t-1
r
e
s
d
u
o
e
m
t
Esta estimativa o coeficiente angular da reta de regresso que passa pela origem.
=
=
=n
tt
n
ttt
1
2
21
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
KWH = total de energia consumida nos EUA em milhes de kWh
PELEC = preo da eletricidade por kWh (em centavos de dlar de 1972)
GNP = PIB dos EUA em bilhes de dlares (a preos de 1972)
( ) ( )tttt GNPPeleckWh expexp 210 =Equao a ser estimada
onde
tttt LnGNPLnPelecLnkWh +++= 210
t=1951.1984
1 e 2 so as elasticidades preo e renda respectivamente
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)Ano KWH PELEC GNP LNKWH LNPELEC LNGNP
dez/51 330 3,12 579,4 5,7991 1,1378 6,3620dez/52 356 3,09 600,8 5,8749 1,1282 6,3983dez/53 396 3,01 623,6 5,9814 1,1019 6,4355dez/54 424 2,97 616,1 6,0497 1,0886 6,4234dez/55 497 2,75 657,5 6,2086 1,0116 6,4884dez/56 546 2,61 671,6 6,3026 0,9594 6,5097dez/57 576 2,57 683,8 6,3561 0,9439 6,5277dez/58 588 2,59 680,9 6,3767 0,9517 6,5234dez/59 647 2,5 721,7 6,4723 0,9163 6,5816dez/60 689 2,65 737,2 6,5352 0,9746 6,6029dez/61 723 2,63 756,6 6,5834 0,9670 6,6288dez/62 778 2,55 800,3 6,6567 0,9361 6,6850dez/63 833 2,47 832,5 6,7250 0,9042 6,7244dez/64 896 2,38 876,4 6,7979 0,8671 6,7758dez/65 954 2,29 929,3 6,8607 0,8286 6,8344dez/66 1035 2,16 984,8 6,9422 0,7701 6,8924dez/67 1099 2,09 1011,4 7,0022 0,7372 6,9191dez/68 1203 1,97 1058,1 7,0926 0,6780 6,9642dez/69 1314 1,88 1087,6 7,1808 0,6313 6,9917dez/70 1392 1,83 1085,6 7,2385 0,6043 6,9899dez/71 1470 1,84 1122,4 7,2930 0,6098 7,0232dez/72 1595 1,86 1185,9 7,3746 0,6206 7,0783dez/73 1712,91 1,85 1254,3 7,4459 0,6152 7,1343dez/74 1705,92 2,16 1246,3 7,4419 0,7701 7,1279dez/75 1747,09 2,32 1231,6 7,4657 0,8416 7,1161dez/76 1855,25 2,33 1298,2 7,5258 0,8459 7,1687dez/77 1948,36 2,44 1369,7 7,5747 0,8920 7,2223dez/78 2017,92 2,45 1438,6 7,6098 0,8961 7,2714dez/79 2071,1 2,44 1479,4 7,6358 0,8920 7,2994dez/80 2094,45 2,65 1474 7,6470 0,9746 7,2957dez/81 2147,1 2,79 1502,6 7,6719 1,0260 7,3150dez/82 2086,44 2,96 1479,98 7,6432 1,0852 7,2998dez/83 2150,96 2,92 1534,68 7,6737 1,0716 7,3361dez/84 2278,37 2,92 1639,32 7,7312 1,0716 7,4020
Sries temporais
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)Resultados gerados pelo Excel
SUMMARY OUTPUT
Regression StatisticsMultiple R 0,9942R Square 0,9884Adjusted R Square 0,9877Standard Error 0,0670Observations 34
ANOVAdf SS MS F Significance F
Regression 2 11,8963 5,9482 1325,8905 9,398E-31Residual 31 0,1391 0,0045Total 33 12,0354
Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%Intercept -4,8438 0,2860 -16,9345 3,21E-17 -5,4272 -4,2605LNPELEC -0,3692 0,0762 -4,8429 3,37E-05 -0,5247 -0,2137LNGNP 1,7609 0,0373 47,1969 1,94E-30 1,6848 1,8370
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)Resultados gerados pelo Excel
Resduos da estimao
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted LNKWH Residuals1 5,94 -0,142 6,01 -0,133 6,08 -0,104 6,07 -0,025 6,21 0,006 6,26 0,047 6,30 0,058 6,29 0,089 6,41 0,06
10 6,42 0,1111 6,47 0,1112 6,58 0,0713 6,66 0,0614 6,77 0,0315 6,89 -0,0216 7,01 -0,0717 7,07 -0,0718 7,17 -0,0819 7,23 -0,0520 7,24 0,0021 7,30 -0,0122 7,39 -0,0223 7,49 -0,0524 7,42 0,0225 7,38 0,0926 7,47 0,0627 7,54 0,0328 7,63 -0,0229 7,68 -0,0430 7,64 0,0031 7,66 0,0132 7,61 0,0333 7,68 -0,0134 7,79 -0,06
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
1951
1953
1955
1957
1959
1961
1963
1965
1967
1969
1971
1973
1975
1977
1979
1981
1983
R
E
S
D
U
O
S
Sequncias de resduos positivos seguidas de sequncias de resduos negativos sugerem autocorrelao positiva
Grfico dos resduos ao longo do tempo
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)Grfico resduo em t contra resduo em t-1
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15
Resduo t-1
R
e
s
d
u
o
t
= 0,76851
=
=
= 1
1
2
21
T
tt
T
ttt
Autocorrelao serial do errotipo AR(1) com estimado em 0,77
-
Diagnstico da autocorrelao serial3) Teste de Durbin Watson
Empregado com a finalidade de detectar se a autocorrelao serial de primeira ordem (t = t-1 + vt) est presente.
H0: no h autocorrelao serial de primeira ordem entre os erros (=0)H1: h autocorrelao serial de primeira ordem entre os erros (0)
Estatstica teste:
A estatstica DW relaciona-se com o coeficiente :
( )
=
=
=n
t
t
n
ttt
DW
1
2
2
21
( )= 12DW Autocorrelao serial positiva >0 e DW < 2, no limite =1 e DW=0. Para erros independentes =0 e DW assume um valor prximo de 2 Autocorrelao serial negativa 2, , no limite =-1 e DW=4. 0 < DW < 4 Estimativa de em funo da estatstica DW:
n = tamanho da amostra= resduos da estimao por
mnimos quadradost
2/1 DW=
-
Diagnstico da autocorrelao serial3) Teste de Durbin Watson
Regra de deciso do teste
20 4dL dU 4 - dU 4 - dL
Se DW < dL > 0 e rejeita H0
Se DW > 4 - dL < 0 e rejeita H0
Aceita H0=0
Teste inconclusivo Teste inconclusivo
Valores crticos tabelados em funo do tamanho da amostra, do nvel de significncia e do nmero de variveis explicativas.
Para dL < DW < dU ou 4-dU < DW < 4- dL o teste inconclusivo.
-
Diagnstico da autocorrelao serial3) Teste de Durbin Watson
Como e a estatstica DW se relacionam, Hanke & Wichern (2006) sugerem o seguinte procedimento quando o teste inconclusivo:
Estime o coeficiente
=
=
=n
tt
n
ttt
1
2
21
H0 no rejeitada se a estimativa de pertencer ao intervalo n
20
-
RESIDUAL OUTPUT
Observation Predicted LNKWH Residuals1 5,94 -0,142 6,01 -0,133 6,08 -0,104 6,07 -0,025 6,21 0,006 6,26 0,047 6,30 0,058 6,29 0,089 6,41 0,06
10 6,42 0,1111 6,47 0,1112 6,58 0,0713 6,66 0,0614 6,77 0,0315 6,89 -0,0216 7,01 -0,0717 7,07 -0,0718 7,17 -0,0819 7,23 -0,0520 7,24 0,0021 7,30 -0,0122 7,39 -0,0223 7,49 -0,0524 7,42 0,0225 7,38 0,0926 7,47 0,0627 7,54 0,0328 7,63 -0,0229 7,68 -0,0430 7,64 0,0031 7,66 0,0132 7,61 0,0333 7,68 -0,0134 7,79 -0,06
Estatstica Durbin Watson (DW) = 0,39327
Menor 2 sugere autocorrelao positiva
80337.02/1 == DW
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
( )
=
=
=n
t
t
n
ttt
DW
1
2
2
21
t
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)n = n de observaes
n=34
K = n de variveis independentes
Para n = 34 e k = 2
Os limites tabelados ao nvel de 5% sodL = 1,514dU = 1,933
Estatstica DW = 0,39327 < dL
Logo ao nvel de significncia de 5% rejeita-se a hiptese nula de que no h autocorrelaoserial de primeira ordem no erro, ou seja, rejeita-se a hiptese de que =0
-
Soluo para o problema de autocorrelao serial
Detectada a presena de autocorrelao no modelo de regresso linear, ela deve ser eliminada ou modelada antes que os parmetros do modelo sejam estimados.
A soluo do problema depende da origem da autocorrelao.
Origens da autocorrelao: omisso de varivel explicativa erros autocorrelacionados em um modelo corretamente especificado
No caso de omisso de varivel explicativa a soluo consiste na incluso de nova varivel explicativa no modelo de regresso, bem como na identificao da forma funcional mais adequada para o modelo de regresso, por exemplo, linear ou quadrtica ?.
Quando os erros so autocorrelacionados a soluo do problema consiste em trabalhar com as diferenas das variveis ao longo do tempo e no com seus nveis. Ou seja, no lugar de relacionar Y com X, deve-se fazer a regresso da diferena da varivel Y na diferena da varivel X, uma soluo conhecida como mtodo das diferenas generalizadas.
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialMtodo das diferenas generalizadas
ttt XY ++= 10ttt v+= 1
Considere a equao de regresso linear com autocorrelao de primeira ordem no erro:
Erros independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v
A equao de regresso vale para qualquer instante de tempo t, assim para t-1 temos que:
11101 ++= ttt XY Multiplicando ambos os lados da equao para t-1 pelo coeficiente tem-se:
11101 ++= ttt XY A diferena generalizada entre as equaes dos instantes t e t-1 definida como:
( ) ( ) 11101 1 ++= tttttt XXYY
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialMtodo das diferenas generalizadas
ttt v+= 1
Da equao do erro temos queAs diferenas generalizadas de primeira ordem entre erros autocorrelacionados produz temos aleatrios independentes normalmente distribudos com mdia zero e varincia 2v
A diferena generalizada das equaes de regresso produz uma equao com erros independentes vt:
( ) ( ) 11101 1 ++= tttttt XXYY
ttt v= 1
tv
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialMtodo das diferenas generalizadas
T equaes de regresso, uma para cada observao
( ) ( ) 11101 1 ++= TTTTTT XXYY ( ) ( ) 21211021 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY
11101 ++= TTT XY
22102 ++= TTT XY
33103 ++= TTT XY
TTT XY ++= 10
33103 ++= XY
22102 ++= XY
11101 ++= XY
- +
- +
- +
- +
- +
- +
?
?
T-1 diferenas generalizadas
Fazendo as diferenas generalizadas perde-se uma equao
.
.
.
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialMtodo das diferenas generalizadas
Ao conjunto de T-1 diferenas generalizadas adiciona-se a seguinte equao:
( ) ( ) 11101 1 ++= TTTTTT XXYY ( ) ( ) 21211021 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY
21
211
20
21 1111 ++= XY
Ao final obtm-se um conjunto de T equaes de regresso com erros independentes (a autocorrelao tipo AR(1) foi eliminada):
21
211
20
21 1111 ++= XY
. . .
erros no autocorrelacionados
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialEstimao
O coeficiente no conhecido e deve ser estimado com os coeficientes de regresso .Porm, o modelo com as equaes transformadas no linear nos parmetros (note que aparece produto 9 e 1) e a estimao por mnimos quadrados ordinrios no pode ser aplicada.
( ) ( ) 11101 1 ++= TTTTTT XXYY ( ) ( ) 21211021 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 32321032 1 ++= TTTTTT XXYY
( ) ( ) 23231023 1 ++= XXYY( ) ( ) 12121012 1 ++= XXYY
21
211
20
21 1111 ++= XY
. . .
Equaes de regresso transformadas
Modelo no linear nos parmetros
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
Equaes transformadas
( ) ( ) ( ) 3334210 3361,74020,70716,10716,116737,77312,7 +++=
21
22
21
20
2 113620,611378,1117991,5 +++=
6,43551,10195,9814195336,39831,12825,8749195226,36201,13785,799119511
LNGNPLNPELECLNKWHAnot
7,40201,07167,73121984347,33611,07167,67371983337,29981,08527,6432198232
( ) ( ) ( ) 3233210 2998,73361,70852,10716,116432,76737,7 +++=
( ) ( ) ( ) 23210 3983,64355,61282,11019,118749,59814,5 +++=( ) ( ) ( ) 12210 3620,63983,61378,11282,117991,58749,5 +++=
...
Sries histricas
Primeiras diferenas generalizadas
...
-
Soluo para o problema de autocorrelao serialEstimao (Algoritmo de Cochrane Orcutt)
Algortmo iterativo
1) Estime o modelo original por mnimos quadrados e obtenha a srie de resduos.
2) Use os resduos para obter uma estimativa inicial para :
3) Nas equaes de regresso transformadas substitua por sua estimativa obtida no passo 2 e estime os coeficientes de regresso por mnimos quadrados.
4) Pare se a preciso desejada for alcanada ou o n mximo de iteraes for atingido, as estimativas so os ltimos valores obtidos. Caso contrrio obtenha uma nova srie de resduos e retorne ao passo 2.
ttt XY ++= 10Modelo original ttt XY 10 =Resduos
=
=
= 1
1
2
21
T
tt
T
ttt
12
112
02
1 111 vXY ++= ( ) ( ) ttttt vXXYY ++= 1101 1 para t=2.T
para t=1 1
0
ttt XY 10 =
-
0 5 10 15 20 250.8
0.805
0.81
0.815
0.82
0.825
0.83
0.835
Estimativas aps as iteraes do algortmo Cochrane-Orcutt
0.803370.815180.820780.823650.825180.826010.826470.826720.826860.826940.826980.827010.827020.827030.827030.827030.827030.827040.827040.827040.827040.827040.827040.827040.82704
iteraes
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatstica de regressoR mltiplo 0,99R-Quadrado 0,99R-quadrado ajustado 0,96Erro padro 0,04Observaes 34,00
ANOVAgl SQ MQ F F de significao
Regresso 3 4,08 1,36 970,15 6,02097E-30Resduo 31 0,04 0,00Total 34 4,12
Coeficientes Erro padro Stat t valor-P 95% inferiores 95% superioresInterseo 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/Dintercepto* -4,7548 0,6056 -7,8514 0,0000 -5,9900 -3,5197LNPELEC* -0,2385 0,1244 -1,9170 0,0645 -0,4922 0,0152LNGNP* 1,7269 0,0816 21,1669 0,0000 1,5605 1,8933
Estimativas aps as iteraes do algortmo Cochrane-Orcutt
-
Caso exemplo (BERNDT, 1991)Estimativas por mnimos quadrados
(considera os erros no autocorrelacionados)Coefficients Standard Error t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept -4,8438 0,2860 -16,9345 3,21E-17 -5,4272 -4,2605LNPELEC -0,3692 0,0762 -4,8429 3,37E-05 -0,5247 -0,2137LNGNP 1,7609 0,0373 47,1969 1,94E-30 1,6848 1,8370
Estimativas pelo mtodo de Cochrane-Orcutt(reconhece que os erros so autocorrelacionados e
corrige o efeito da autocorrelao do erro)Coeficientes Erro padro Stat t valor-P 95% inferiores 95% superiores
Interseo 0 #N/D #N/D #N/D #N/D #N/Dintercepto* -4,7548 0,6056 -7,8514 0,0000 -5,9900 -3,5197LNPELEC* -0,2385 0,1244 -1,9170 0,0645 -0,4922 0,0152LNGNP* 1,7269 0,0816 21,1669 0,0000 1,5605 1,8933
Comparando os dois conjuntos de estimativas pode-se observar que os coeficientes de regresso so da mesma ordem de grandeza.
Porm, conforme esperado, o mtodo dos mnimos quadrados subestim os erros-padro
-
Equao de previso com autocorrelao do erro tipo AR(1)
1101
++ += TT XY
TTT XY 1101 ++= ++
TS
STST XY 10 ++= ++
Considere t observaes
Equao para previso um passo frente sem considerar que os erros so autocorrelacionados
Equao para previso um passo frente considerando que os erros oautocorrelacionados segundo um processo AR(1)
Equao para previso S passos frente considerando que os erros oautocorrelacionados segundo um processo AR(1)
ltimo erro de previso
-
55,5
6
6,5
7
7,5
8
1951
1953
1955
1957
1959
1961
1963
1965
1967
1969
1971
1973
1975
1977
1979
1981
1983
L
N
k
W
H
estimadoobservado
Projees 1 passo frente sem correo AR(1)
ttt LnGNPLnPelecLnkWh 7269,12385,07548,4 +=
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
-
55,5
6
6,5
7
7,5
8
1951
1953
1955
1957
1959
1961
1963
1965
1967
1969
1971
1973
1975
1977
1979
1981
1983
L
N
k
W
H
estimadoobservado
Caso exemplo (BERNDT, 1991)
182704,07269,12385,07548,4 ++= tttt LnGNPLnPelecLnkWh
Projees 1 passo frente com correo AR(1)
ltimo erro de previso
-
EXERCCIOS DE AUTOCORRELAO
-
Exerccio 1Considere a relao entre empregos oferecidos (JV) e a taxa de desemprego (U) :
Ln(JVt) = 1+2Ln(Ut) +tA partir das sries anuais das variveis acima, pede-se:a) Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de
regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
b) Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo.c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelaod) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao e construa um
intervalo de confiana de 95% para 2.
Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )
-
Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Ln(JVt) = 3,5027-1,6112Ln(Ut)
-
Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao acima e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
-
Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo
Seqncias de resduos negativos seguidas de seqncias resduos positivossugerem a autocorrelao do erro
-
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao
H0: no h autocorrelao de primeira ordemH1: h autocorrelao de primeira ordem
-
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao
Concluso: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Cochrane-Orcuttt=2 at 24
Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Cochrane-Orcutt
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Hildreth-Lut=2 at 24
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Hildreth-Lu
Ln(JVt) = 3,5034-1,6001Ln(Ut)
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Com equao de Prais-Winsten
t=1
t=2 at 24
Ln(JVt) = 3,5137-1,6160Ln(Ut)
-
Exerccio 2Considere a funo investimento:
It = 1+2Yt+3Rt+tem queIt = investimento no ano tYt = PIB no ano tRt = taxa de juros no ano t
A partir das sries anuais das trs variveis acima, pede-se:a) Obtenha as estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de
regresso da equao de investimento.b) Faa o grfico dos resduos ao longo do tempo.c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelaod) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelaoe) Preveja o nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores
correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.
Use o programa Gretl (http://gretl.sourceforge.net/ )
-
5
10
15
20
25
30
35
1970 1975 1980 1985 1990 1995
I
Investimento
5
10
15
20
25
30
35
40
1970 1975 1980 1985 1990 1995
Y
PIB
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
1970 1975 1980 1985 1990 1995
R
Taxa de juros
-
a) estimativas de mnimos quadrados ordinrios dos coeficientes de regresso da equao de investimento
It = 6,2249 + 0,7699Yt 0,1842Rt + t
-
b) faa o grfico dos resduos ao longo do tempo
Seqncias de resduos negativos seguidas de seqncias resduos positivossugerem a autocorrelao do erro
-
c) Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao
Tabela Durbin-Watsonhttp://www.eco.uc3m.es/~ricmora/ECII/materials/Durbin_Watson_tables.pdf
Limites dL e dU para k=2 variveis explicativas e n=30 observaes ao nvel de 5% de significncia:dL = 1,284 e dU = 1,567 (Concluso: Durbin-Watson calculado < dL, logo rejeitar H0)
H0: no h autocorrelao de primeira ordemH1: h autocorrelao de primeira ordem
-
FAC e FACP dos resduos da estimao por MQO
-
Aplique o teste de Durbin-Watson para verificar a existncia de autocorrelao
-
d) Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao
It = 7,3298 + 0,7849Yt 0,2958Rt + tt = 0,6146t-1 + vt
Cochrane-Orcutt
-
Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao
It = 7,3298 + 0,7849Yt 0,2958Rt + tt = 0,6146t-1 + vt
Hildreth-Lu
-
Reestime o modelo para corrig-lo quanto autocorrelao
Hildreth-Lu
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Com equao de Prais-Winsten
t=1
t=2 at 24
-
Reestime o modelo para corrigi-lo quanto autocorrelao e construa um intervalo de confiana de 95% para 2.
Com equao de Prais-Winsten
t=1
t=2 at 24
It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + tt = 0,6275t-1 + vt
-
e) Previso do nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que
seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.
It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + tt = 0,6275t-1 + vt
Equao de previso considerando a autocorrelao do termo aleatrio
It = 8,7043 + 0,7338Yt 0,2894Rt + 0,6275t-1ltimo resduo MQO
It = 8,7043 + 0,7338*36 0,2894*14 + 0,6275*2,2079 = 32,4545
It = 8,7043 + 0,7338*36 0,2894*14 = 31,3630
Previso MQG
Previso MQO
Veja planilha Excel que acompanha a apresentao para pegar o ltimo resduo (clula Q32)
-
e) Previso do nvel de investimento do prximo ano, dado que os valores correspondente de Y e R so Y=36 e R=14. Compare com a previso com a que
seria obtida com se no levasse em conta a autocorrelao.
Veja planilha Excel que acompanha a apresentao
-
Referncias bibliogrficasBerndt, E.R. The practice of econometrics classic and contemporary, Addison Wesley, California, 1996.
Gujarati, D. Econometria Bsica, terceira edio, Pearson Makron Books, So Paulo, 2000.
Hanke, J.E. ; WICHERN, D.W. Pronsticos em los negocios, octava edicin,Pearson Prentice Hall, Mxico 2006.